Apostila de Exercícios daDisciplina de PesquisaOperacional ILuís Alberto Duncan RangelUFF – EEIMVRDepto. de Engenharia de ...
SUMÁRIO2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes:2.1. Introdução - Notação:2.2. Matriz qualquer;2.3. Matriz nula;2.4. Matriz...
2.8. Matriz Singular;2.9. Matriz Não Singular;2.10. Matriz inversa2.11. Utilização do software Excel.2.11.1 Transposta de ...
2.13. Sistemas de equações lineares;2.13.1 Solução através do produto da inversa damatriz pelo vetor C;2.13.2 Solução do s...
Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer umabreve apresentação da notação de matrizes, dos tipos dematrizes e al...
Uma matriz é definida como sendo um conjunto de númeroscomplexos ou reais, dispostos ordenadamente, em formaretangular ou ...
Diz-se que B é uma matriz qualquer.B é uma matriz qualquer de três linhas (m) ecinco colunas (n).2.2 Matriz Qualquer875310...
Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) equatro colunas (n).Uma matriz é nula quando todos os seus elementos dam...
Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número delinhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais.D é uma matriz quadrad...
Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nestamatriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 etodos os outros...
Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transpostadesta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhaspor c...
2.7.1 Adição de Matrizes:A adição de matrizes só pode ser realizada quando onúmero de linhas e colunas da primeira matriz ...
2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar:A multiplicação de um número por uma matriz terá comoresultado o produto ...
2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá serrealizada quand...
2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:A ordem da operação de multiplicação não pode seralterada, pois a operaçã...
2.7.4 Determinante de uma Matriz:Por definição, o determinante de uma matriz só pode sercalculado se a matriz for quadrada...
2.7.4 Determinante de uma Matriz:Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setaspara baixo, somando-se os produto...
Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresentao determinante igual a zero.det B = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 7x5x3 –...
Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada queapresenta o determinante diferente de zero.det C = 1x1x5 + 2x6x4 + 2x1x3 ...
Dada uma matriz quadrada E, com determinante de Ediferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1,resulta na ...
Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linearobtemos as matrizes “ I . H-1”, se a matriz H for não-singular.P...
Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos:Por TL fazendo: L1 = L1 - (2)*L2, e L3 = L3 – (-5)*L2, temos:2.10 Matriz Inversa321104...
Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos:Por TL fazendo: L1 = L1 - (10)*L3, e L2 = L2 - (-4)*L3, temos:2.10 Matriz Inversa3211...
Como resultado das transformações lineares, obtemos:Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação dematrizes HxH...
Existem diversas funções pré-definidas na planinha Excelque podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear.Todas as e...
2.11.1 Transposta de Matriz:2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.2 Soma de Matriz:Após a digitação das matrizes, que queremos realizar aoperação de adição, posiciona o cursor em um l...
2.11.2 Soma de Matriz:2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.3 Determinante da Matriz:Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante.Posicionando o cursor em uma loca...
2.11.3 Determinante da Matriz:2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, oprimeiro, após a d...
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte,primeiro digi...
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,mude a forma ...
2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.5 Multiplicação de Matrizes:Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular asua multiplicação, seleciona-se ...
2.11.5 Multiplicação de Matrizes:Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmotempo, sem soltar estas teclas seleciona...
2.11.5 Multiplicação de Matrizes:2.11 Utilização do Software EXCEL
2.11.6 Matriz Inversa:Após a digitação da matriz que se quer calcular a suainversa, seleciona-se com o cursor a dimensão d...
2.11.6 Matriz Inversa:2.11 Utilização do Software EXCEL
Dada as Matrizes abaixo:Calcule as operações empregando os recursos da planilhaExcel:2.12 Exercício sobre Matrizes:3 51 1 ...
Calcule:a1) AT; a2) BT; a3) CT;b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B;c) A2 = K * AT; B2 = J * BT(empregue a função “F4” parafixar...
A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela:ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo planopode-se ve...
Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetorcoluna C.Existem diversas modos de resolver este sistema.Apresen...
2.13.1 Através do produto da A-1pelo vetor CDado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelovetor C:Verifica-se q...
2.13.1 Através do produto da A-1pelo vetor CCalculando o produto de A-1x C temos a solução dosistema:2.13 Sistemas de Equa...
2.13.2 Solução de sistema por adição dasequações:Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:Multiplica-se a primeira equa...
2.13.2 Solução de sistema por adição dasequações:Logo tem-se:determinando o valor de y temos:substituindo este valor na pr...
2.13.3 Solução de sistema por substituição:Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:Retira-se o valor de x da primeira ...
2.13.3 Solução do sistema por substituição:Resolvendo esta equação temos:Substituindo o valor de y na primeira equação, ob...
2.13.4 Método de Gaus-Jordan:Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus-Jordan:Primeiramente divide-se a primeir...
2.13.4 Método de Gaus-Jordan:Temos o seguinte resultado:Divide-se a segunda equação por (-7).Elimina-se o elemento a12 da ...
2.14.1 Exemplo 1:Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto deinterse...
2.14.1 Gráfico:2.14 Representação de retas no plano einterseção de retas no plano.
2.14.2 Exemplo 2:Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto deinterse...
2.14.2 Gráfico:2.14 Representação de retas no plano einterseção de retas no plano.
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:2.16 Representação de Inequação noPlano0>=x−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−4−3−...
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:2.16 Representação de Inequação noPlano0>=y−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−4−3−2−...
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:2.16 Representação de Inequação noPlano632 >=+ yx−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 ...
2.17 Determinação de Região Viável deInequações no Plano0>=x0>=y632 >=+ yx824 <=+− yx3065 <=+ yx−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 ...
Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:a)3X + 6Y >= 365X >= 104Y >= 122X + 4Y <= 40X >= 0Y >= 0b)2X + 5Y >= ...
No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões.Em “Equações” trabalhar com”3-Implícita”.Digitar as equações.2.19 So...
2.19 Software Winplot
2.19 Software Winplot
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Plano de Aula Duncan PO1 CAP 2

  1. 1. Apostila de Exercícios daDisciplina de PesquisaOperacional ILuís Alberto Duncan RangelUFF – EEIMVRDepto. de Engenharia de Produção de Volta Redondaluisduncan@id.uff.brVolta Redonda 22/04/2013
  2. 2. SUMÁRIO2. Revisão de Álgebra Linear – Matrizes:2.1. Introdução - Notação:2.2. Matriz qualquer;2.3. Matriz nula;2.4. Matriz quadrada;2.5. Matriz identidade;2.6. Matriz transposta;2.7. Operações com Matrizes:2.7.1. Adição de Matrizes;2.7.2. Multiplicação de Matriz por um Escalar;2.7.3. Multiplicação de Matrizes2.7.4. Determinante de uma Matriz;
  3. 3. 2.8. Matriz Singular;2.9. Matriz Não Singular;2.10. Matriz inversa2.11. Utilização do software Excel.2.11.1 Transposta de uma Matriz;2.11.2 Soma de matrizes;2.11.3 Determinante de uma Matriz;2.11.4 Multiplicação de Matriz por um Escalar;2.11.5 Multiplicação de Matrizes;2.11.6 Matriz inversa;2.12. Exercício sobre matrizes através do Excel;SUMÁRIO
  4. 4. 2.13. Sistemas de equações lineares;2.13.1 Solução através do produto da inversa damatriz pelo vetor C;2.13.2 Solução do sistema por adição dasequações;2.13.3 Solução do sistema por substituição;2.13.4 Solução do sistema pelo método de Gaus-Jordan;2.14. Representação de retas no plano einterseção de retas no plano;2.15. Exercícios: Determinação de interseções deretas no plano;SUMÁRIO
  5. 5. Pretende-se nesta revisão de álgebra linear, fazer umabreve apresentação da notação de matrizes, dos tipos dematrizes e algumas operações com matrizes, tais como,transformações lineares, que serão muito úteis na resoluçãode problemas de programação linear empregando oalgoritmo Simplex.Para uma revisão completa consultar a seguinte referênciabibliográfica (Kolman, B. Introdução a Álgebra Linear comAplicações. 7a ed. Rio de Janeiro, Ed. Prentice-Hall doBrasil, 1998; Lay, D.C. Álgebra Linear e suas Aplicações. 2aed. Rio de Janeiro, Ed. LTC S.A., 1999).2.1 Introdução - Notação
  6. 6. Uma matriz é definida como sendo um conjunto de númeroscomplexos ou reais, dispostos ordenadamente, em formaretangular ou quadrada. Uma matriz pode ser representadada seguinte forma:Nesta revisão, considera-se que os elementos da matriz aij∈ R, isto é, assumam somente valores reais, e que i = {1, 2,..., m} e j = {1, 2, ..., n}. Em cada elemento da matriz aij, irepresenta a i-ésima linha e j representa a j-ésima coluna.Desta forma, uma matriz A com a notação Amxn informa quea matriz A possui m linhas e n colunas.2.1 Introdução - NotaçãomnmmnnaaaaaaaaaA.....................212222111211=
  7. 7. Diz-se que B é uma matriz qualquer.B é uma matriz qualquer de três linhas (m) ecinco colunas (n).2.2 Matriz Qualquer87531098765432153 =xB
  8. 8. Diz-se que C é uma matriz nula de duas linhas (m) equatro colunas (n).Uma matriz é nula quando todos os seus elementos damatriz são nulos.2.3 Matriz Nula0000000042 =xC
  9. 9. Diz-se que D é uma matriz quadrada, quando o número delinhas (m) e colunas da matriz (n) são iguais.D é uma matriz quadrada de ordem 4.2.4 Matriz Quadrada1185296308642753144 =xD
  10. 10. Uma matriz identidade é uma matriz quadrada e nestamatriz todo elemento da diagonal principal é igual a 1 etodos os outros elementos da matriz, fora da diagonalprincipal, são zeros. E1 é uma matriz identidade de ordem 3,e E2 é uma matriz quadrada de ordem 5.2.5 Matriz Identidade1000100011 33 =xE10000010000010000010000012 55 =xE
  11. 11. Dada uma matriz qualquer F, diz-se que a matriz transpostadesta matriz é uma nova matriz obtida, invertendo-se linhaspor colunas e as colunas por linha de forma ordenada.Por exemplo, dada a matriz F, a matriz transposta de F édenotado por FTe tem como resultado:2.6 Matriz Transposta098765432125 =xF086429753152 =xTF
  12. 12. 2.7.1 Adição de Matrizes:A adição de matrizes só pode ser realizada quando onúmero de linhas e colunas da primeira matriz (G) for igualao número de linhas e colunas, respectivamente, dasegunda matriz (H). Os elementos da matriz resultante (R)serão obtidos somando-se os elementos de mesma posiçãoda primeira e da segunda matriz. Desta forma, a matriz Rresultante da soma de G com H é:2.7 Operações com Matrizes65432132 =xG65432132 =xH1210864232 =xI
  13. 13. 2.7.2 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar:A multiplicação de um número por uma matriz terá comoresultado o produto de número por cada elemento da matriz.Por exemplo, multiplicando o número dois pela matriz J,obtém-se a matriz K. α =2 (escalar). K = 2 * J:2.7 Operações com Matrizes10365498732134 =xJ2061210818161464234 =xK
  14. 14. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:A operação de multiplicação de duas matrizes só poderá serrealizada quando o número de colunas da primeira matriz(n1) for igual ao número de linhas da segunda matriz (m2).A matriz resultante deste produto terá como dimensão onúmero de linhas da primeira matriz (m1) e o número decolunas da segunda matriz (n2). Desta forma, uma matrizL2x3 multiplicada pela matriz M3x4 terá como resultado amatriz N2x4. A ordem da operação não pode ser alterada.N2x4 = L2x3 x M3x4.2.7 Operações com Matrizes
  15. 15. 2.7.3 Multiplicação de uma Matriz por uma Matriz:A ordem da operação de multiplicação não pode seralterada, pois a operação pode não ser viável.N = L x M.2.7 Operações com Matrizes:8765411212012103214332 resultadocomoteráMdamultiplicaL xx ==82411072112062110052211083421173122163120153221142xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxN x++++++++++++++++=201513123325202042 =xN
  16. 16. 2.7.4 Determinante de uma Matriz:Por definição, o determinante de uma matriz só pode sercalculado se a matriz for quadrada. O valor obtido é umvalor real que é associado a matriz.Utiliza-se det M como sendo a notação para representar odeterminante de uma Matriz. Por exemplo, dada uma matrizA3x3:Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setaspara baixo e três setas para cima de tal forma a interceptartrês elementos da matriz de cada vez:333231232221131211aaaaaaaaaA =2.7 Operações com Matrizes
  17. 17. 2.7.4 Determinante de uma Matriz:Repete-se as duas primeiras colunas, traça-se três setaspara baixo, somando-se os produtos de cada multiplicação,e três setas para cima, subtraindo os produtos de cadamultiplicação. Assim, por exemplo, dada a matriz A, verifica-se o calculo do determinante da matriz A, da seguinteforma:det A = 1x5x9 + 2x6x7 + 4x4x8 – 7x5x4 – 8x6x1 – 9x4x2 =det A = 45 + 84 + 128 – 140 – 48 – 72 = 257 – 260 =det A = -32.7 Operações com Matrizes852741987654421det =A987654421=A
  18. 18. Uma Matriz Singular é uma matriz quadrada que apresentao determinante igual a zero.det B = 1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8 – 7x5x3 – 8x6x1 – 9x4x2 =det B = 45 + 84 + 96 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 =det B = 0.2.8 Matriz Singular852741987654321det =B
  19. 19. Uma Matriz Não-Singular é uma matriz quadrada queapresenta o determinante diferente de zero.det C = 1x1x5 + 2x6x4 + 2x1x3 – 4x1x2 – 3x6x1 – 5x1x2 =det C = 5 + 48 + 6 – 8 – 18 – 10 = 59 – 36 =det C = 232.9 Matriz Não-Singular312411534611221det =C
  20. 20. Dada uma matriz quadrada E, com determinante de Ediferente de zero, o produto da matriz E pela sua inversa E-1,resulta na matriz identidade I de ordem igual a da matriz E.Portanto, uma matriz só é inversível se seu determinante fordiferente de zero (matriz não-singular). Só podemos calculara matriz inversa de uma matriz quadrada.Existem diferentes formas de se calcular a matriz inversa deuma matriz, a seguir será empregada o procedimento queutiliza a seguinte seqüencia de cálculo: Dada uma matriz H eao seu lado a matriz identidade I, isto é, “H.I” realizandotransformação lineares para obter na posição de H a matrizidentidade I, com estas transformação lineares, ao seu ladosurge a matriz inversa de H-1, na posição da matrizidentidade.2.10 Matriz Inversa
  21. 21. Assim, dada as matrizes “ H . I”, por transformação linearobtemos as matrizes “ I . H-1”, se a matriz H for não-singular.Por transformação linear (TL), fazendo, L2 = L2 – L1, eL3 = L3 – 4*L1, temos:2.10 Matriz Inversa53461122133 =xH10001000133 =xI321100534010611001221. 3333LLLIH xx =
  22. 22. Por TL fazendo: L2 = L2/(-1), temos:Por TL fazendo: L1 = L1 - (2)*L2, e L3 = L3 – (-5)*L2, temos:2.10 Matriz Inversa321104350011410001221. 3333LLLIH xx−−−−−=321104350011410001221. 3333LLLIH xx−−−−−=3211043500114100211001. 3333LLLIH xx−−−−−−=
  23. 23. Por TL fazendo: L3 = L3/(-23), temos:Por TL fazendo: L1 = L1 - (10)*L3, e L2 = L2 - (-4)*L3, temos:2.10 Matriz Inversa32115123000114100211001. 3333LLLIH xx−−−−−=32104348,021739,004348,01000114100211001. 3333LLLIH xx−−−−−=32104348,021739,004348,0100011410434783,017391,056522,0001. 3333LLLIH xx−−−−−−=
  24. 24. Como resultado das transformações lineares, obtemos:Assim, temos “ I x H-1”. Se procedermos a multiplicação dematrizes HxH-1, obtemos a matriz identidade I.I = H x H-1.2.10 Matriz Inversa32104348,021739,004348,010017391,013043,0826087,0010434783,017391,056522,0001. 3333LLLIH xx−−−−−−=53461122133 =xH04348,021739,004348,017391,013043,0826087,0434783,017391,0565221,0331−−−−−−=−xH10001000133 =xI
  25. 25. Existem diversas funções pré-definidas na planinha Excelque podem ser utilizadas para auxiliar a Álgebra Linear.Todas as exposições feitas a seguir consideram-se queestamos trabalhando com o Excel.2.11.1 Transposta de Matriz:Seleciona a matriz na planilha Excel que se quer realizar asua transposta.Posiciona o cursor em um local da planilha, fora da área deedição da matriz, seleciona-se a função Editar, seleciona-seColar Especial, seleciona-se a seguir Transpor e tecle Enter.A operação é realizada.2.11 Utilização do Software EXCEL
  26. 26. 2.11.1 Transposta de Matriz:2.11 Utilização do Software EXCEL
  27. 27. 2.11.2 Soma de Matriz:Após a digitação das matrizes, que queremos realizar aoperação de adição, posiciona o cursor em um local daplanilha, digite “=” na célula, seleciona a primeira célula daprimeira matriz, digite “+”, seleciona a primeira célula dasegunda matriz e tecle Enter.Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,mude a forma de seleção do cursor para “+”, e arraste ocursor o mesmo número de células (colunas) da dimensãodas matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a diretada última célula, mude a forma de seleção do cursor para “+”e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células dadimensão das matrizes e solte o cursor. Lembrando, sópodemos proceder a soma de duas matrizes com a mesmadimensão, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.2.11 Utilização do Software EXCEL
  28. 28. 2.11.2 Soma de Matriz:2.11 Utilização do Software EXCEL
  29. 29. 2.11.3 Determinante da Matriz:Seleciona a matriz que se quer calcular o seu determinante.Posicionando o cursor em uma local qualquer da planilhaExcel, seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona afunção “Matriz.Determinante” e tecle Enter. O valor retornadodesta operação é o determinante da matriz selecionada.Lembrando, só podemos calcular o determinante de matrizquadrada.2.11 Utilização do Software EXCEL
  30. 30. 2.11.3 Determinante da Matriz:2.11 Utilização do Software EXCEL
  31. 31. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:Existem dois procedimentos que podem ser utilizados, oprimeiro, após a digitação da matriz, posicione o cursor emum local da planilha Excel, digite “=”, a constante que vocêquer multiplicar a matriz, por exemplo, “2” digite “*” e emseguida tecle na primeira posição da matriz. Posicionando ocursor no canto inferior a direta da célula, mude a forma deseleção do cursor para “+” e arraste o cursor o mesmonúmero de células (colunas) da dimensão das matrizes.Posicionando o cursor no canto inferior a direta da últimacélula à direita, mude a forma de seleção do cursor para “+”e arraste o cursor para baixo, mesmo numero de células dadimensão das matrizes e solte o cursor. O produto daconstante “2” pela matriz será apresentado.2.11 Utilização do Software EXCEL
  32. 32. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:2.11 Utilização do Software EXCEL
  33. 33. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:O segundo procedimento que pode ser utilizado é o seguinte,primeiro digite matriz, depois em uma célula qualquer digite aconstante que você quer multiplicar a matriz digitada.Posicione o cursor em um local da planilha Excel, digite “=”,selecione a celular onde foi digitado a constante que se quermultiplicar a matriz, em seguida tecle “F4”, irá aparecer“$Coluna$Linha”. A seleção da célula com a função “F4” fixao valor que está na célula. Em seguida, digite “*” e selecionea primeira célula da matriz que se quer executar o produto.2.11 Utilização do Software EXCEL
  34. 34. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:Posicionando o cursor no canto inferior a direta da célula,mude a forma de seleção do cursor para “+” e arraste ocursor o mesmo número de células (colunas) da dimensãodas matrizes. Posicionando o cursor no canto inferior a diretada última célula à direita, mude a forma de seleção do cursorpara “+” e arraste o cursor para baixo, mesmo numero decélulas da dimensão das matrizes e solte o cursor. Oproduto da constante digitada na célula pela matriz seráapresentado.A diferença destes dois procedimentos é que ao se alterar ovalor que está na célula do segundo procedimento descrito,por exemplo, alterando o valor de “2” para “10”, e teclandoEnter, o produto do valor de “10” pela matriz seráautomaticamente apresentado.2.11 Utilização do Software EXCEL
  35. 35. 2.11.4 Multiplicação de uma Matriz por um escalar:2.11 Utilização do Software EXCEL
  36. 36. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes:Após a digitação das duas matrizes que se quer calcular asua multiplicação, seleciona-se com o cursor a dimensão damatriz resultante do produto das duas matrizes, em um localda planilha Excel.Seleciona-se a função “fx” da planilha Excel, em seguida,seleciona-se a função “Matriz.Produto” e tecle Enter.Selecionando através da seta vermelha, a primeira matriz dacaixa aberta pelo Excel. Após a sua seleção acionenovamente a seta vermelha da primeira matriz.Selecionando a seta vermelha da segunda matriz da caixaaberta pelo Excel, seleciona a segunda matriz na planilhaExcel, após a sua seleção acione novamente a setavermelha da segunda matriz.2.11 Utilização do Software EXCEL
  37. 37. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes:Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmotempo, sem soltar estas teclas selecionadas.O produto das duas matrizes será apresentado na planilhaExcel.2.11 Utilização do Software EXCEL
  38. 38. 2.11.5 Multiplicação de Matrizes:2.11 Utilização do Software EXCEL
  39. 39. 2.11.6 Matriz Inversa:Após a digitação da matriz que se quer calcular a suainversa, seleciona-se com o cursor a dimensão da matrizinversa, isto é, a mesma dimensão da matriz que se quercalcular a sua inversa.Seleciona a função “fx” da planilha Excel, seleciona a função“Matriz.Inversa” e tecle Enter. Selecionando a seta vermelhada caixa aberta pelo Excel, seleciona a matriz na planilhaExcel, após a sua seleção acione novamente a setavermelha da caixa aberta pelo Excel.Em seguida tecle, “SHIFT + CTRL + ENTER” ao mesmotempo sem soltar estas teclas selecionadas. A matriz inversaserá apresentada pelo Excel, se esta matriz for inversível.Lembrando, só podemos calcular a matriz inversa de umamatriz em que o seu determinante é diferente de “zero”.2.11 Utilização do Software EXCEL
  40. 40. 2.11.6 Matriz Inversa:2.11 Utilização do Software EXCEL
  41. 41. Dada as Matrizes abaixo:Calcule as operações empregando os recursos da planilhaExcel:2.12 Exercício sobre Matrizes:3 51 1 1 1 12 2 2 2 23 3 3 3 3xA  =     5 41 1 1 12 2 2 21 2 1 21 2 3 12 1 2 1xB    =    4 44 3 2 11 2 3 41 1 1 23 4 2 1xC   =   2K =3J ==52453224133xD=31324035633xH=10001000133xL
  42. 42. Calcule:a1) AT; a2) BT; a3) CT;b1) A1 = K * A; b2) B1 = J * B;c) A2 = K * AT; B2 = J * BT(empregue a função “F4” parafixar os valores de “K” e de “J” para estas operações);d) det. C; e) det. CT; f) E = A x B;g) F = B x C; h) C-1; i) (CT)-1;j) Para a matriz D e a matriz identidade L associada amatriz D, calcule o inverso da matriz D portransformações lineares ( D . L => L . D-1 ).k) Para a matriz H e a matriz identidade L associada amatriz H, calcule o inverso da matriz H portransformações lineares ( H . L => L . H-1 ).2.12 Exercício sobre Matrizes:
  43. 43. A equação de uma reta no plano (x,y) é representada pela:ax + by = c. Quando duas retas pertencem ao mesmo planopode-se verificar se há interseção entre estas retas no planoatravés da resolução de um sistema de equações lineares.A representação dessas duas retas na forma de um sistemaé dada por:A sua representação na forma matricial é dada por:2.13 Sistemas de Equações Lineares1 1 12 2 2a x b y ca x b y c+ =+ =1 11 2a bAa b =   xXy =   12cCc =   
  44. 44. Desta forma, tem-se a matriz A, o vetor coluna X e o vetorcoluna C.Existem diversas modos de resolver este sistema.Apresenta-se a seguir algumas maneiras de resolver estesistema através de exemplos.2.13 Sistemas de Equações Lineares
  45. 45. 2.13.1 Através do produto da A-1pelo vetor CDado o sistema abaixo, resolva-o pelo produto da A-1 pelovetor C:Verifica-se que os valores da matriz X (ou vetor coluna)podem ser determinados através do seguinte produto:Calculado a A-1, tem-se:2.13 Sistemas de Equações Lineares2 5 104 3 12x yx y+ =+ =1 0,214,92 0,3571430,285714 0,14286A− − =  − CA.X = .C.A.XA 1-1 −= A.CI.X 1−= A .CX 1−= A=> =>=>
  46. 46. 2.13.1 Através do produto da A-1pelo vetor CCalculando o produto de A-1x C temos a solução dosistema:2.13 Sistemas de Equações Lineares1 0,214,92 0,357143 10 2,142857. .0,285714 0,14286 12 1,142857X A C− −     = = =     −     
  47. 47. 2.13.2 Solução de sistema por adição dasequações:Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:Multiplica-se a primeira equação por (-2) e adiciona estaequação a segunda equação:Executando-se a soma temos:2.13 Sistemas de Equações Lineares2 5 104 3 12x yx y+ =+ =4 10 204 3 12x yx y− − = −+ =10 203 12yy− = −+ =
  48. 48. 2.13.2 Solução de sistema por adição dasequações:Logo tem-se:determinando o valor de y temos:substituindo este valor na primeira equação temos o valorde x:2.13 Sistemas de Equações Lineares7 8y− = −1,142857y =2,142857x =
  49. 49. 2.13.3 Solução de sistema por substituição:Dado o sistema abaixo, resolva-o por adição:Retira-se o valor de x da primeira equação e o substituía nasegunda equação.Substituindo x na segunda equação temos:2.13 Sistemas de Equações Lineares2 5 104 3 12x yx y+ =+ =(10 5 ) / 2x y= −4.(10 5 ) / 2 3 12y y− + =
  50. 50. 2.13.3 Solução do sistema por substituição:Resolvendo esta equação temos:Substituindo o valor de y na primeira equação, obtém-se ovalor de2.13 Sistemas de Equações Lineares2.(10 5 ) 3 12 20 10 3 12 7 8 1,142857y y y y y y− + = => − + = => − = − => =.2,142857x =
  51. 51. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan:Dado o sistema abaixo, resolva-o pelo método de Gaus-Jordan:Primeiramente divide-se a primeira equação por 2 paraobter 1 na posição a11 da matriz.Elimina-se o elemento a21 da segunda equação portransformação linear. Multiplica-se toda a primeira equaçãopor (- 4) e adiciona-se a segunda equação.2.13 Sistemas de Equações Lineares2 5 104 3 12x yx y+ =+ =2,5 54 3 12x yx y+ =+ =
  52. 52. 2.13.4 Método de Gaus-Jordan:Temos o seguinte resultado:Divide-se a segunda equação por (-7).Elimina-se o elemento a12 da primeira equação portransformação linear. Multiplica-se toda a segunda equação(-2,5) e adiciona-se a primeira equação.2.13 Sistemas de Equações Lineares2,5 50 7 8x yy+ =− = −2,5 50 1,142857x yy+ =+ =0 2,1428570 1,142857xy+ =+ =
  53. 53. 2.14.1 Exemplo 1:Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto deinterseção das equações no plano, que é a solução dosistema.2.14 Representação de retas no plano einterseção de retas no plano.2 5 104 3 12x yx y+ =+ =
  54. 54. 2.14.1 Gráfico:2.14 Representação de retas no plano einterseção de retas no plano.
  55. 55. 2.14.2 Exemplo 2:Dado o sistema abaixo resolva-o graficamente:Empregando-se o software Winplot, obtém-se o ponto deinterseção das equações no plano, que é a solução dosistema.2.14 Representação de retas no plano einterseção de retas no plano.3 2 62 5 8x yx y− =− + =
  56. 56. 2.14.2 Gráfico:2.14 Representação de retas no plano einterseção de retas no plano.
  57. 57. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:2.16 Representação de Inequação noPlano0>=x−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5−4−3−2−11234xy
  58. 58. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:2.16 Representação de Inequação noPlano0>=y−4 −3 −2 −1 1 2 3 4−4−3−2−11234xy
  59. 59. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:2.16 Representação de Inequação noPlano632 >=+ yx−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6−4−3−2−11234567xy
  60. 60. 2.17 Determinação de Região Viável deInequações no Plano0>=x0>=y632 >=+ yx824 <=+− yx3065 <=+ yx−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8−112345678910xyx=0y=02x+3y=6-4x+2y=85x+6y=30(x,y) = (0.00000000000000,4.00000018210949)(x,y) = (0.00000000000000,1.99999958503024)(x,y) = (2.99999937754536,0.00000000000000)(x,y) = (5.99999886095456,0.00000000000000)(x,y) = (0.35294110754127,4.70588221508255)
  61. 61. Dado as inequações abaixo, represente-a graficamente:a)3X + 6Y >= 365X >= 104Y >= 122X + 4Y <= 40X >= 0Y >= 0b)2X + 5Y >= 108X + 4Y <= 32X >= 0Y >= 02.18 Exercício sobre interseção deinequações no plano
  62. 62. No Software Winplot assinalar “2-dim”, duas dimensões.Em “Equações” trabalhar com”3-Implícita”.Digitar as equações.2.19 Software Winplot
  63. 63. 2.19 Software Winplot
  64. 64. 2.19 Software Winplot

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