Séries de Potência 
Definição: Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro , 
da seguinte forma: 
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Exemplo 1: 
Exemplo 2:
Exemplo 3: 
Encontre o rio de convergência e o intervalo de convergência da serie.
Séries de Taylor 
Exemplo 4: 
Exemplo 5: 
Em matemática, a série de Taylor ou série de potências é uma série de funções da...
A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real 
ou complexa. Se a= 0, a série também é chamada...
5- Funções hiperbólicas: 
6- Função W de Lambert: 
Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n 
Seja f uma função com deriv...
f (x) P (x) R (x) n n = + 
O valor absoluto R (x) f (x) P (x) n n = - é chamado de erro associado à 
aproximação. 
Teorema...
(a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 1 de f ( x ) = ln ( x ) em 
volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange . 
(b) Calcu...
Exemplo 2: 
(a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 2 de f ( x ) = ln ( x ) em 
volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange ...
(b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro .
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Trabalho equações

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Trabalho equações

  1. 1. Séries de Potência Definição: Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro , da seguinte forma: o número , a sequência e o parâmetro podem ser em geral números complexos. 1 A convergência da série de potências depende da distância entre e no plano complexo: Convergência: da série de potências ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série, originam uma série numérica convergente. Uma série de potências é uma função, que está definida no seu domínio de convergência. O valor 0 pertence sempre ao domínio de convergência da série. Raio de convergência: Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge ( o valor da série quando ); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência ( ) e calcula-se a partir de:
  2. 2. Exemplo 1: Exemplo 2:
  3. 3. Exemplo 3: Encontre o rio de convergência e o intervalo de convergência da serie.
  4. 4. Séries de Taylor Exemplo 4: Exemplo 5: Em matemática, a série de Taylor ou série de potências é uma série de funções da seguinte forma:
  5. 5. A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a= 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin). Série de Taylor associada a uma função A série de Taylor associada a uma função f infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (a − r, a + r) é a série de potências dada por Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a. Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios. Lista de série de Taylor de algumas funções comuns 1- Função exponencial e logaritmo natural: 2- Série geométrica: 3- Teorema binomial: 4- Funções trigonométricas: onde Bs são números de Bernoulli.
  6. 6. 5- Funções hiperbólicas: 6- Função W de Lambert: Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio P x = f a + f a x - a + f a x -a + + f a - + + - ( ) . n x a f a ( ) ... ( ) ! ( ) ... ( ) ! ( ) ( ) ´( )( ) ´´( ) 2! ( ) ( ) 2 k n k n x a n k Resto de um Polinômio de Taylor Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um resto Rn(x) definido por
  7. 7. f (x) P (x) R (x) n n = + O valor absoluto R (x) f (x) P (x) n n = - é chamado de erro associado à aproximação. Teorema de Taylor Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que f ( x ) f ( a ) f ´( a )( x a ) f ´´( a ) x a f a ( ) n ( ) ( ), ( ) ... ( ) ! 2! ( ) 2 x a R x n n n = + - + - + + - + onde ( 1) R x f c ( ) = ( ) n 1 ( ) . ( 1) + + - + n n x a n Teorema da Estimativa do Resto Se existirem constantes positivas M e r tais que f (n+1) (t) £Mr n+1 para todo t entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a desigualdade . - ( 1)! ( ) 1 1 + £ + + n r x a R x M n n n Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x). Combinando Séries de Taylor Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e assim por diante. Exemplos 1:
  8. 8. (a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 1 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange . (b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro Solução : (a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 1 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange . (b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro .
  9. 9. Exemplo 2: (a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 2 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange . (b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro . Solução : (a) Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 2 de f ( x ) = ln ( x ) em volta de xo = 1 e o Resto de Lagrange .
  10. 10. (b) Calcule um valor aproximado para ln ( 1,003 ) e avalie o erro .

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