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Estudos de Controle
– Espaço de Estados
1
Teorias Controle
• Teoria de Controle Moderno
• Entradas e saídas múltiplas, podendo ser
variantes no tempo.
• Abordagem no domínio do tempo.
• Possibilidade de lidar com sistemas não-
lineares.
• Base no conceito de estado.
2
Definições
• Estado:
• É o menor conjunto de variáveis de estado que
determinam completamente o
comportamento do sistema.
• Variáveis de estado:
• Especificado o estado inicial em 𝑡 = 𝑡0 e a
entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determinam o
comportamento do sistema para 𝑡 ≥ 𝑡0.
3
Definições
• Vetor de estado:
• Possui como componentes as variáveis de
estado.
• Determinam o estado do sistema para
qualquer instante 𝑡 ≥ 𝑡0, dada a entrada e o
estado inicial.
• Espaço de estados:
• Espaço cujos eixos coordenados representam
as variáveis de estado (um eixo para cada
variável).
4
Análise no espaço de estados
• Envolve três tipos de variáveis:
• Variáveis de entrada;
• Variáveis de saída;
• Variáveis de estado.
• O sistema dinâmico deve conter elementos que
memorizem seus dados.
• Integradores, em um sistema de controle de
tempo contínuo , servem como dispositivos de
memória. Portanto, a saída desses integradores
podem ser consideradas variáveis de estado.
5
Análise no espaço de estados
• O número de variáveis de estado é igual ao
número de integradores.
• Supondo um sistema com:
• r entradas: 𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 , … , 𝑢 𝑟 𝑡 ;
• m saídas: 𝑦1 𝑡 , 𝑦2 𝑡 , … , 𝑦 𝑚 𝑡 ;
• n variáveis de estado: 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 , … , 𝑥 𝑛 𝑡
6
Equações no espaço de estados
• O sistema pode ser escrito como:
𝑥1 𝑡 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
𝑥2 𝑡 = 𝑓2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡
⋮
𝑥 𝑛 𝑡 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
𝑦1 𝑡 = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
𝑦2 𝑡 = 𝑔2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡
⋮
𝑦 𝑚 𝑡 = 𝑔 𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 7
Equações no espaço de estados
• Definindo:
𝒙 𝑡 =
𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)
⋮
𝑥 𝑛(𝑡)
, 𝒚 𝑡 =
𝑦1(𝑡)
𝑦2(𝑡)
⋮
𝑦 𝑚(𝑡)
, 𝒖 𝑡 =
𝑢1(𝑡)
𝑢2(𝑡)
⋮
𝑢 𝑟(𝑡)
,
𝒇(𝒙, 𝒖, 𝑡) =
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
⋮
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
,
𝒈(𝒙, 𝒖, 𝑡) =
𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
𝑔2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
⋮
𝑔 𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)
,
8
Equações no espaço de estados
• Equação de estado:
𝒙 𝑡 = 𝒇 𝒙, 𝒖, 𝑡
• Equação de saída:
𝒚 𝑡 = 𝒈 𝒙, 𝒖, 𝑡
• Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 envolverem
explicitamente o tempo t, então o sistema é
chamado de variante no tempo.
9
Equações no espaço de estados
• Se as equações forem linearizadas em torno de
um ponto de operação, temos:
𝒙 𝑡 = 𝑨 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑩 𝑡 𝒖(𝑡)
𝒚 𝑡 = 𝑪 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑫 𝑡 𝒖(𝑡)
• 𝑨 𝑡 é chamada de matriz de estado,
𝑩 𝑡 de matriz de entrada, 𝑪 𝑡 de matriz de
saída e 𝑫 𝑡 de matriz de transmissão direta.
10
Equações no espaço de estados
• Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 não envolverem
explicitamente o tempo t, então o sistema é
chamado de invariante no tempo.
• Nesse caso, temos:
𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡)
𝒚 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝒖(𝑡)
11
Equações no espaço de estados
• Exemplo:
• Admitimos que o sistema é linear.
• A força externa u(t) é a entrada.
• O deslocamento y(t) da massa m
é a saída.
• O deslocamento é medido a partir
da posição de equilíbrio, na
ausência da força externa.
12
Equações no espaço de estados
• Exemplo:
• Equação dinâmica do sistema:
𝑚𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑘𝑦 = 𝑢
• Sistema de segunda ordem, com
dois integradores e duas
variáves de estado:
𝑥1 𝑡 = 𝑦 𝑡
𝑥2 𝑡 = 𝑦(𝑡)
13
Equações no espaço de estados
• Equação de estado:
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𝑥2 = −
𝑘
𝑚
𝑥1 −
𝑏
𝑚
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14
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• Forma vetorial-matricial:
𝑥1
𝑥2
=
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𝑘
𝑚
−
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𝑚
𝑥1
𝑥2
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𝑚
𝑢
𝑦 = 1 0
𝑥1
𝑥2
15
Função de Transferência
• Podemos encontrar 𝐺 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
para a equação
do espaço de estados, considerando um sistema
de entrada e saída únicas:
𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡)
𝒔𝑿(𝑠) = 𝑨𝑿 𝑠 + 𝑩𝑈(𝑠)
𝑌 𝑠 = 𝑪𝑿 𝑠 + 𝐷𝑈 𝑠
16
Função de Transferência
• Isolando 𝑿(𝑠):
𝒔𝑿 𝑠 − 𝑨𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈(𝑠)
𝒔𝑰 − 𝑨 𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈 𝑠
𝑿(𝑠) = 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩𝑈(𝑠)
• Substituindo em 𝒀 𝑠 :
𝑌 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈 𝑠
𝑌 𝑠 = [𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷]𝑈(𝑠)
𝐺 𝑠 =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
= 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1
𝑩 + 𝐷
17
Função de Transferência
• Exemplo:
• Considerando o sistema mecânico
anterior, podemos encontrar G(s):
𝐺 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷
𝐺 𝑠 = 1 0
𝑠 0
0 𝑠
−
0 1
−
𝑘
𝑚
−
𝑏
𝑚
−1
0
1
𝑚
𝐺 𝑠 = 1 0
𝑠 −1
𝑘
𝑚
𝑠 +
𝑏
𝑚
−1
0
1
𝑚
𝐺 𝑠 = 1 0
1
𝑠2 +
𝑏
𝑚
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𝑚
𝑠 +
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𝑚
1
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𝑘
𝑚
𝑠
0
1
𝑚
𝐺 𝑠 =
1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
18
Matriz de Transferência
• Considerando um sistema com múltiplas
entradas e saídas:
𝑮 𝒔 =
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= 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝑫
• Como o vetor de entrada tem dimensão r e o
vetor de saída tem dimensão m, a matriz de
transferência terá dimensões m x r.
19
Obrigada!
ays@icmc.usp.br
www.lsec.icmc.usp.br
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  • 2. Teorias Controle • Teoria de Controle Moderno • Entradas e saídas múltiplas, podendo ser variantes no tempo. • Abordagem no domínio do tempo. • Possibilidade de lidar com sistemas não- lineares. • Base no conceito de estado. 2
  • 3. Definições • Estado: • É o menor conjunto de variáveis de estado que determinam completamente o comportamento do sistema. • Variáveis de estado: • Especificado o estado inicial em 𝑡 = 𝑡0 e a entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determinam o comportamento do sistema para 𝑡 ≥ 𝑡0. 3
  • 4. Definições • Vetor de estado: • Possui como componentes as variáveis de estado. • Determinam o estado do sistema para qualquer instante 𝑡 ≥ 𝑡0, dada a entrada e o estado inicial. • Espaço de estados: • Espaço cujos eixos coordenados representam as variáveis de estado (um eixo para cada variável). 4
  • 5. Análise no espaço de estados • Envolve três tipos de variáveis: • Variáveis de entrada; • Variáveis de saída; • Variáveis de estado. • O sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem seus dados. • Integradores, em um sistema de controle de tempo contínuo , servem como dispositivos de memória. Portanto, a saída desses integradores podem ser consideradas variáveis de estado. 5
  • 6. Análise no espaço de estados • O número de variáveis de estado é igual ao número de integradores. • Supondo um sistema com: • r entradas: 𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 , … , 𝑢 𝑟 𝑡 ; • m saídas: 𝑦1 𝑡 , 𝑦2 𝑡 , … , 𝑦 𝑚 𝑡 ; • n variáveis de estado: 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 , … , 𝑥 𝑛 𝑡 6
  • 7. Equações no espaço de estados • O sistema pode ser escrito como: 𝑥1 𝑡 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 𝑥2 𝑡 = 𝑓2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡 ⋮ 𝑥 𝑛 𝑡 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 𝑦1 𝑡 = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 𝑦2 𝑡 = 𝑔2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡 ⋮ 𝑦 𝑚 𝑡 = 𝑔 𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 7
  • 8. Equações no espaço de estados • Definindo: 𝒙 𝑡 = 𝑥1(𝑡) 𝑥2(𝑡) ⋮ 𝑥 𝑛(𝑡) , 𝒚 𝑡 = 𝑦1(𝑡) 𝑦2(𝑡) ⋮ 𝑦 𝑚(𝑡) , 𝒖 𝑡 = 𝑢1(𝑡) 𝑢2(𝑡) ⋮ 𝑢 𝑟(𝑡) , 𝒇(𝒙, 𝒖, 𝑡) = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) ⋮ 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) , 𝒈(𝒙, 𝒖, 𝑡) = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 𝑔2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) ⋮ 𝑔 𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) , 8
  • 9. Equações no espaço de estados • Equação de estado: 𝒙 𝑡 = 𝒇 𝒙, 𝒖, 𝑡 • Equação de saída: 𝒚 𝑡 = 𝒈 𝒙, 𝒖, 𝑡 • Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema é chamado de variante no tempo. 9
  • 10. Equações no espaço de estados • Se as equações forem linearizadas em torno de um ponto de operação, temos: 𝒙 𝑡 = 𝑨 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑩 𝑡 𝒖(𝑡) 𝒚 𝑡 = 𝑪 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑫 𝑡 𝒖(𝑡) • 𝑨 𝑡 é chamada de matriz de estado, 𝑩 𝑡 de matriz de entrada, 𝑪 𝑡 de matriz de saída e 𝑫 𝑡 de matriz de transmissão direta. 10
  • 11. Equações no espaço de estados • Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 não envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema é chamado de invariante no tempo. • Nesse caso, temos: 𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡) 𝒚 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝒖(𝑡) 11
  • 12. Equações no espaço de estados • Exemplo: • Admitimos que o sistema é linear. • A força externa u(t) é a entrada. • O deslocamento y(t) da massa m é a saída. • O deslocamento é medido a partir da posição de equilíbrio, na ausência da força externa. 12
  • 13. Equações no espaço de estados • Exemplo: • Equação dinâmica do sistema: 𝑚𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑘𝑦 = 𝑢 • Sistema de segunda ordem, com dois integradores e duas variáves de estado: 𝑥1 𝑡 = 𝑦 𝑡 𝑥2 𝑡 = 𝑦(𝑡) 13
  • 14. Equações no espaço de estados • Equação de estado: 𝑥1 = 𝑥2 𝑥2 = − 𝑘 𝑚 𝑥1 − 𝑏 𝑚 𝑥2 + 1 𝑚 𝑢 • Equação de saída: 𝑦 = 𝑥1 • Diagrama de blocos: 14
  • 15. Equações no espaço de estados • Forma vetorial-matricial: 𝑥1 𝑥2 = 0 1 − 𝑘 𝑚 − 𝑏 𝑚 𝑥1 𝑥2 + 0 1 𝑚 𝑢 𝑦 = 1 0 𝑥1 𝑥2 15
  • 16. Função de Transferência • Podemos encontrar 𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) para a equação do espaço de estados, considerando um sistema de entrada e saída únicas: 𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡) 𝒔𝑿(𝑠) = 𝑨𝑿 𝑠 + 𝑩𝑈(𝑠) 𝑌 𝑠 = 𝑪𝑿 𝑠 + 𝐷𝑈 𝑠 16
  • 17. Função de Transferência • Isolando 𝑿(𝑠): 𝒔𝑿 𝑠 − 𝑨𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈(𝑠) 𝒔𝑰 − 𝑨 𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈 𝑠 𝑿(𝑠) = 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩𝑈(𝑠) • Substituindo em 𝒀 𝑠 : 𝑌 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈 𝑠 𝑌 𝑠 = [𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷]𝑈(𝑠) 𝐺 𝑠 = 𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷 17
  • 18. Função de Transferência • Exemplo: • Considerando o sistema mecânico anterior, podemos encontrar G(s): 𝐺 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷 𝐺 𝑠 = 1 0 𝑠 0 0 𝑠 − 0 1 − 𝑘 𝑚 − 𝑏 𝑚 −1 0 1 𝑚 𝐺 𝑠 = 1 0 𝑠 −1 𝑘 𝑚 𝑠 + 𝑏 𝑚 −1 0 1 𝑚 𝐺 𝑠 = 1 0 1 𝑠2 + 𝑏 𝑚 𝑠 + 𝑘 𝑚 𝑠 + 𝑏 𝑚 1 − 𝑘 𝑚 𝑠 0 1 𝑚 𝐺 𝑠 = 1 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘 18
  • 19. Matriz de Transferência • Considerando um sistema com múltiplas entradas e saídas: 𝑮 𝒔 = 𝒀(𝒔) 𝑼(𝒔) = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝑫 • Como o vetor de entrada tem dimensão r e o vetor de saída tem dimensão m, a matriz de transferência terá dimensões m x r. 19