Protocolo de monagrafia

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA
UNAN- MANAGUA
RECINTO UNIVERSITARIO RUBÉN DARÍO
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ESTADÍSTICA
LOS NÚMEROS TRIANGULARES Y CUADRADOS EN LA
ECUACIÓN DE PELL
AUTORES :
 BR. ROBERTO JOSÉ ÑURINDA RIVAS
 BR. PABLO JOSÉ ARÍAS LÓPEZ
TUTORA: MSC. PILAR ANGELINA MARÍN RUIZ

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua.
U.N.A.N-(Managua)
MANAGUA, OCTUBRE 2013
INDICE
I. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 4
II. ANTECEDENTES ..................................................................................................................................... 6
III. JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................................. 10
IV. OBJETIVOS ....................................................................................................................................... 12
V. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................................. 13
5.1 Números Triangulares ................................................................................................................. 13
5.1.1 Historia de los números triangulares .................................................................................. 13
5.1.2 Definición de números triangular ........................................................................................ 15
5.1.3 Descripción de los números triangulares ............................................................................ 16
5.2 Números Cuadrados .................................................................................................................... 20
5.2.1 Historia de los números cuadrados ..................................................................................... 20
5.2.2 Definición de los Números cuadrados ................................................................................. 21
5.2.3 Descripción de los números cuadrados............................................................................... 24
5.3 Números triangulares y cuadrados perfectos ............................................................................. 28
5.3.1 ¿Cómo se calculan los números que son cuadrados y triangulares a la vez? ..................... 28
5.4 Ecuación de Pell ........................................................................................................................... 29
5.4.1 Definición de la ecuación de Pell ......................................................................................... 29
VI. DISEÑO METODOLOGICO ................................................................................................................ 30
VII. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES .................................................................................................... 31
VIII. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................. 32
IX. ANEXOS............................................................................................................................................ 33
9.1 Pitágoras de Samos(engriego antiguoΠυθαγόρας) (C.A.580 A.C. –C.A.495 A.C.) ....................... 34
9.2 Bhaskara Matemático y astrónomo (1114 Bijapur, India, 1185 Ujjain, India) ............................ 35
9.3 Karl Friedrich Gauss (Brunswick, actual Alemania, 1777 Gotinga, id., 1855) .............................. 37
9.4 Pierre de FermatMatemático (1601 Beaumont, 1665 Castres, Francia) .................................... 38
9.5 Arquímedes(Siracusa, actual Italia, h. 287 A.C.-id., 212 A.C.) ..................................................... 41
9.6 NÚMEROS FIGURADOS ................................................................................................................ 43
Resolución de la ecuación de Pell a través de los números triangulares y cuadrados Página 2

U.N.A.N-(Managua)
9.5.1 Los diez primeros números poligonales .............................................................................. 43
9.6.2 Ecuaciones de los números poligonales .............................................................................. 44
9.7 NÚMEROS POLIGONALES ............................................................................................................ 45
9.7.1 Números cuadrados ............................................................................................................ 46
9.7.2 NÚMEROS POLIGONALES CENTRADOS ................................................................................... 48
9.7.2.1 Números Triangulares Centrados ....................................................................................... 48
9.7.2.2 Números Cuadrado Centrado ............................................................................................. 48
9.7.2.3 Números Pentagonales Centrados ..................................................................................... 49
9.7.3 Definición de números poligonales ..................................................................................... 49
9.7.4 Pentagonales Centrados ...................................................................................................... 50
9.8 La ecuación de Pell ...................................................................................................................... 51
9.9 VOCABULARIO ............................................................................................................................. 53

U.N.A.N-(Managua)
I. INTRODUCCIÓN
A lo largo de la historia de las matemáticas y la humanidad se ha planteado una
pregunta que hasta la actualidad prevalece ¿Qué son los números?
Aunque en la actualidad existen diversas explicaciones y aplicaciones y su uso según
sea necesario en estos días; algunos creen en el antiguo concepto de los Pitagóricos
que los números controlan e influyen en todas las cosas esto se ve en la numerología
(practica esotéricas de descodificar nombres y fecha de nacimiento asignarles
números).
¿Cuáles fueron en realidad estos descubrimientos de los pitagóricos y otros antiguos
griegos que llevaron a creer en el poder de los números?
Las civilizaciones antiguas utilizaron la aritmética básica desde el siglo antes que los
griegos, ya que incluso los mercaderes griegos poseían buena comprensión de las
operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división). Los antiguos
pensadores griegos consideraban que las cuatro operaciones básicas de aritmética la
llamaron logística era inferior al estudio que ellos realizaban sobre la teoría de
números(a lo que nombraron aritmética).La teoría de números es el estudio de las
características de los números; en lugar de la forma de manipularlos en los cálculos.
Sin embargo la teoría de números ha evolucionado hasta convertirse en un profundo
campo dentro de las matemáticas.
Los primeros descubrimientos de la teoría de números parecen ser simples, pero esto
es engañoso ya que al abordar la investigación “Resolución de la ecuación de Pell a
través de los números triangulares y cuadrados” se puede dar cuentas que aun
simple preguntas que se plantearon en la antigüedad por los principales matemáticos
griegos de la antigüedad aún no han sido respondidas.
En este trabajo se describen los números cuadrados y los triangulares, y se explica por
qué la ubicación de aquellos que son cuadrados y triangulares a la vez es la solución de
la ecuación de Pell.

U.N.A.N-(Managua)
En consecuencia de la recopilación de datos que por cierto hay pocos; se dará cuenta
que son escasos los trabajos realizados en lo que se refiere a los números triangulares,
cuadrados y a la ecuación de Pell como una investigación. Se encontró trabajos
realizados para la ecuación de Pell independiente de los números triangulares y
cuadrados.
En vista que tanto los números triangulares y cuadrados están presente en las
diferentes áreas de las matemáticas; y que de igual manera se encuentran presente en
el nuestro entorno. Es bastante interesante que la combinación de estos números sea
la solución a la ecuación de Pell.
Sin embargo la ecuación de Pell es una ecuación indeterminada a la cual para
resolverla es necesario aplicar diferentes métodos, entre los cuales podemos utilizar
son: fracciones continuas, ecuaciones modulares y los números triangulares y
cuadrados solo por mencionar algunos.

U.N.A.N-(Managua)
II. ANTECEDENTES
Los griegos estaban interesados en los números que utilizaban para contar. Ellos no
sabían de números negativos y consideraban las fracciones como simples relaciones
entre números naturales, en lugar de asumir que eran números por derecho propio.
Además para los griegos era una cantidad o una medida representada por un entero
natural, o por una relación de dos enteros naturales.
Un número puede considerarse como una abstracción ligada a un conjunto de objetos y
que se escinde, por consideración de los conjuntos infinitos, en dos conceptos
diferentes.
Actualmente un número se define como elemento de un conjunto de números que debe
verificar ciertas propiedades así como se han definidos los conjuntos ℂ, ℝ, ℚ´, ℚ, ℤ, ℕ.
Cuya construcción se hace por etapas sucesivas a partir del conjunto ℕ de los números
naturales.
La primera muestra de registro numérico encontrado es Suazilandia, al sur de África; se
trata de un hueso, el peroné de un babuino con 29 muescas bien marcadas y data de
aproximadamente, 35000 A.C tiene un parecido extraordinario con el calendario de
varillas que aún se usan en Namibia para registrar el paso del tiempo.
Primeras clasificaciones de los números: Entre las muchas clasificaciones que pueden
hacerse de los números, hay dos de universal conocimiento: la pariedad, que las divide
en par e impar en la primalidad, que los divide en primos y compuestos.
Sin embargo desde la antigüedad, el hombre ha distinguido los números enteros como
pares; 2, 4, 6, ⋯ o como impares; 1, 3, 5,⋯ Una antigua costumbre de los griegos,
llamada notación con guijarros, era la utilización de grupos de guijarros para
representar números. Por ejemplo, los guijarros que representan los números 3, 6, 10
pueden disponerse en forma triangular:

U.N.A.N-(Managua)
3
6
10
Por lo tanto estos números se convirtieron en los ¨números triangulares¨. Además los
griegos observaron también que se calculaban con sumas consecutivas de números
naturales tal como aparecen en las secuencias numéricas, siempre obteniendo
números triangulares. Por ejemplo si sumaban el uno y el dos obtenían el número
triangular tres. Por ejemplo:
Este proceso continuo de manera interminable. Esta ley para formar números
triangulares puede remontarse hasta el mismo Pitágoras.
Pero esto no quedo ahí; luego de descubrir los números triangulares surge la pregunta
¿existen otros tipos de números especiales además de los números triangulares?¡Por
supuesto¡ la notación de guijarros, se pudo observar que también podían acomodarse
en forma de cuadrados como se presentan a continuación:
Figura 2
Figura 1
Arreglos de guijarros para los números triangulares 3, 6, 10.
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
4 9 16
Arreglos de guijarros para los números cuadrados 4, 9, 16.

U.N.A.N-(Managua)
A estos números se les llamó números cuadrados además descubrieron que si
sumaban en formas consecutivas los números impares se obtienen siempre números
cuadrados como por ejemplo:
1=1*1=12
1+3=4=2*2=22
1+3+5=9=3*3=32
1+3+5+7=16=4*4=42
Si se observa cuidadosamente la formación de los guijarros en los primeros cuadrados,
entonces se comprende como el descubridor (posiblemente Pitágoras) se dio cuenta de
esta ley.
Sin lugar a dudas los descubrimientos de los números impares y cuadrados asombró a
los griegos y los hizo pensar que los números tenían gran magia al permitir generar
números cuadrados y triangulares de manera infinita. El descubrimiento de estos
números los llevó a pensar que los números generaban muchas cosas más, una idea
que ajustaba con las creencias pitagóricas de que los números era la causa que
originaba todo el universo.
A medida que avance descubrirá que las secuencias numéricas es una herramienta
importante para generar conceptos matemáticos adicionales. También se darán cuenta
de las existencias de números triangulares que generan números cuadrados perfectos y
en relación con la ecuación de Pell, 푥2 = 1 + 61푦2 , casi resuelta por Brahmagupta,
Bhaskara dio un método, llamado proceso Chakravala, para resolverla. Estudia la
ecuación de Pell: 푥2 = 1 + 푝푦2 para p=8, 11, 32, 61 y 67. Cuando p=61 encuentra la
solución 푥 = 226153980 , 푦 = 1776319049 . Cuando 푝 = 67 encuentra la solución 푥 =
5967, 푦 = 48842 . Bhaskaracharya estudia la ecuación diofántica 195x = 221y + 65,
obteniendo las soluciones (푥, 푦) = (6,5), (23,20), (40,35), ⋯

U.N.A.N-(Managua)
Entre los problemas geométricos da una resolución del teorema de Pitágoras: teniendo
en cuenta el cuadrado de una suma, (푏 + 푐)2 = 푏2 + 푐2 + 2푏푐 y observado la figura
(푏 + 푐)2 = 2푏푐 + 푎2 y por tanto se obtiene푎2 = 푏2 + 푐2 . También da algunos valores
aproximados de 휋 como 22/7 푦 3927/1250.

U.N.A.N-(Managua)
III. JUSTIFICACIÓN
Con el objetivo de constatar las causas, perspectiva y facilitar la solución de la solución
de la ecuación de Pell a través de números triangulares y cuadrado se realizó una
revisión bibliográfica.
Se propuso indagar sobre los estudios hechos con anterioridad sobre el tema antes
mencionado, en la biblioteca de la UNAN – Managua “Salomón de la Selva”, luego el
Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias e Ingeniería y el
Departamento de Matemática Educación únicamente se encontró información acerca
de significado espiritual de los números y las historia de los números triangulares en la
Biblioteca Dr. Roberto Incer Barquero-Banco Central de Nicaragua no encontrando así
información acerca de nuestro trabajo finalmente se visito sitio web y no se encontró
tema alguno relacionado a esta investigación.
En el Departamento de Matemática de la facultad de ciencias e Ingeniería seimparten
cursos de Fundamento de Matemática, Geometría Euclidiana, no Euclidiana, y
Geometría Diferencial sin embargo estas asignaturas no abordan nada acerca de la
teoría de números, que es muy importante que conozca los estudiantes de la carrera de
matemática.
Los números triangulares y cuadrados, es un tema de suma importancia tanto en el
desarrollo de las matemáticas como en sus aplicaciones y otras ramas del
conocimiento.Dentro de las matemáticas no solo es el punto de partida para dar paso a
importantes descubrimientos como los son los números impares y cuadrados ya que
hasta nuestros días continuamos utilizándolos. Sin embargo dichos números han
abierto el camino a nuevas áreas de estudio como los son la teoría de números y el
análisis matemático que son una herramienta poderosa para el estudio de las
matemáticas así como su área de estudio.
Sin embargo al ver la existencias de estos números es un inmenso mar que se le ve
inicio pero no un final, porque esto no termina ahí ya que existen otros números
además de los triangulares y cuadrados; estos dan paso a los números oblongos,

U.N.A.N-(Managua)
poligonales entre otros números verdaderamente asombrosos que no se abordan por
falta de tiempo y debido a que el tema se extendería y se podría pasar mucho tiempo
hablando de números ya que este tema es un mundo fascinante y como decían los
pitagóricos viajaríamos a un mundo lleno de magia y misterio.
Dentro de este mundo numérico que nos legó Pitágoras no solo se encuentran estos
tipos de número (triangulares, cuadrados); sino que al estudio de estos números se les
llamo números figurados donde encontramos un sin número de figuras.
El estudio a estos números es de suma utilidad no solo para conocer los inicios del
estudio de los números; sino que también son muchas sus aplicaciones en el área que
se trabaje, por ejemplo en teoría de número, análisis numérico, en la teoría de números
figurados, etc.
Como podrán a preciar en el documento que los números triangulares y cuadrados se
utilizan y se encuentran presente en nuestra actualidad y en el entorno, por ejemplo en
las construcciones en la forma de colocar los ladrillos en los pisos, en informática para
la resolución de las pantallas y en fractales.Sin lugar a duda el mundo numérico posee
una gran gama de estudio, en el cual se puede encontrar con un mundo lleno de magia,
y misterio en el cual se dará cuenta que matemáticos prominentes estudiaron el legado
que nos dejó su creador (Pitágoras).
En el presente trabajo se aborda los números figurados para la solución de la ecuación
de Pell, de una manera sencilla, divertida y con todo el rigor científico, que permita
despertar el interés y la curiosidad del lector.

U.N.A.N-(Managua)
IV. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
 Resolver la ecuación de Pell a través de los números triangulares y cuadrados.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
 Explicar las características de los números triangulares y cuadrados.
 Utilizar herramientas científicas que nos permitan visualizar cálculos en diversos
programas.
 Aplicar los números cuadrados y triangulares en la solución de la ecuación de Pell

U.N.A.N-(Managua)
V. MARCO TEÓRICO
5.1 Números Triangulares
5.1.1 Historia de los números triangulares
Los griegos fueron los primeros de los que se tiene noticias, en representar los números
con formas geométricas. Ellos estudiaron los números triangulares, cuadrados,
rectangulares, etc. A su vez descubrieron los números pares e impares ya que para
ellos solo existían los números naturales.
Entre su costumbre estaba, la llamada notación con guijarros para representar los
números. Diferentes cantidades de guijarros solían agruparse para representar los
diferentes números. Además los clasificaban según las formas poligonales (Mora, W
2010.Introducción a la Teoría de Números. Ejemplos y algoritmos. “Un número
poligonal es un tipo de número figurado, que cuenta la cantidad de objetos en un
arreglo en forma de cuadrado, triángulo”, etc.). De estas distribuciones de puntos, es
decir, se asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la posición regular
de puntos, cuya suma determina el número representado. De esta manera ellos
obtenían los diversos tipos de números poligonales.
Los números poligonales aparecieron en los inicios de la escuela pitagórica como
elemento esencial de su misticismo numérico es decir ¨no solo las cosas son en
esencia números sino también los números son concebidos como cosas¨, de modo que
los números triangulares y los números cuadrados no son solo metáforas por el
contrario son efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos, triángulos y cuadrados
respectivamente como apreciara más adelante.
La asociación del número con la imagen geométrica permitió a los pitagóricos la
representación visual de los números combinando las dos esencias con la que tiene
que ver la matemática: el número y su forma, dando a los números propiedades y
relaciones entre ellos que son completamente independiente de todo simbolismo
introducido para representarlos, otorgándoles de este modo un carácter universal e
inmutable.

U.N.A.N-(Managua)
La consideración de los números poligonales y su representación geométrico-visual
permitía, por una parte, constatar que ciertos números tienen características diferentes
que otros al obtener las diferentes configuraciones geométricas a que dan lugar, y por
otra, el descubrimiento de forma geométrico-empírica, casi corpóreo, de importantes
propiedades de los números y la obtención de interesantes relaciones entre ellos. La
poli figuración numérica llevaba a extender conceptos de la Aritmética como
generalización de la experiencia práctica, desarrollando un atomismo numérico
bellamente ilustrado en una geometría de números figurados.
Éstos son las primeras y las más simples estructuras de la Geometría numérica están
en el corazón de las Matemáticas y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la
Teoría de los Números (Aguilar, S (2008). Una divagación matemática y
mística).Además los pitagóricos asociaban a los números con el espíritu, al universo;
hicieron del número el principio universal por excelencia.Lo esencial de las matemáticas
de Pitágoras refleja: ¨La primera división de los números naturales es entre pares e
impares”. Un número par es aquel que es divisible sin que se quede una monada1
Rafael Parra Machío. Fundamento de los números pág. 4 “Origen de todas las
cosas. Número de la razón. Representa a Demiurgo, Dios creador y ordenador del
mundo en la filosofía de los platónicos y alejandrinos” entre ellas. Todos los números
pares excepto el 22 (duada), pueden ser escritos en dos partes iguales o dos partes
desiguales; veamos el siguiente ejemplo: el número 8 se puede escribir como 4 y 4, así
como 5 y 3; el 6 como en 3 y 3, también como 4 y 2
Estos números triangulares y cuadrados son de gran interés para nuestro trabajo en su
desarrollo y descripción como en sus características y propiedades.
Para describir podemos decir que es una ecuación cuadrática indeterminada:
푐푥2 + 1 = 푦2 Donde 푐 es un entero dado y estamos buscando soluciones enteras (푥, 푦).
Con 푥, 푦, 푐 ∈ ℤ
1La monada es el principio de todas las cosas esto hace referencia al número 1.
2También conocida como duada por los pitagóricos, esta se divide en dos divisiones simples y esto da
lugar a una sola división.

U.N.A.N-(Managua)
5.1.2 Definición de números triangular
Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo
equilátero (por convención el primer número triangular es 1). Los números triangulares,
junto con otros números figurados, fueron objetos de estudio de Pitágoras y los
pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que
llamaban Tetraktys(Aguilar, S(2008). Una divagación matemática y mística “esunafigura
triangular que consiste en diez puntos ordenados en cuatro filas, con uno, dos, tres y
cuatro puntos en cada fila. Como símbolo místico, fue muy importante para los
seguidores de los pitagóricos”).Los números triangulares 푡푛corresponden a la cantidad
círculos (o puntos u otra cosa) en un arreglo triangular con n columnas como se ven en
la figuras.
Figura 3
1
2 3 4
1
2
3
5 6
1
2
1
3
4 5 6
7 8 9 1
En la figura 3 podemos observar 푡1 = 1, 푡2 = 3, 푡3 = 6, 푡4 = 10, ⋯
0
O cada columna tiene un elemento más que la columna anterior, tenemos que
푡푛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 푛 − 1 + 푛

U.N.A.N-(Managua)
Podemos tomar dos copias de 푡푛 y hacerlas encajar, de tal manera que se obtenga un
rectángulo, como apreciamos en las figuras siguientes:
Figura 4
Lo que está en la figura 4 implícito es nada más que 2t1=2*1, 2t2=3*2, 2t3=4*3. Esto nos
lleva a la fórmula:
2푡푛 = 푛(푛 + 1)
푡푛 =
푛(푛 + 1)
2
La fórmula anterior nos define un número triangular.
5.1.3 Descripción de los números triangulares
Los números triangulares son parte importante no solo en las matemáticas de los
pitagóricos, también son parte fundamental en la vida cotidiana. Ya que podemos
observar como los pitagóricos formaban figuras triangulares utilizando piedras u otra
cosa con que representarla.
Hoy en día podemos observarlas no solo en las ubicaciones o posiciones en los pisos
de las casas, sino también las encontramos en los decorados de las ventanas, en las
figuras de portones, puertas, etc. Esto nos indica que sin darnos cuentas se utilizan
inconscientemente conocimientos que ya en la antigüedad estaban siendo utilizados.
Dichos conocimientos se han perdidos por que actualmente se les da poca importancia
al estudio de estos números figurados. Pero sin embargo nos hemos tomado la tarea de
abordar este documento para dar a conocer los números cuadrados y triangulares.
De lo anterior podemos decir que un número triangular es aquel cuyas unidades se
pueden situar en forma de triángulo como por ejemplo:
Figura 5

U.N.A.N-(Managua)
Tabla de los números triangulares:
Tabla 1
Nº 1 2 3 4 ........... N . .
Tn 1 3 6 10
¿Tn? . .
Si se observa la naturaleza de los números triangulares es fácil reconocer las dos
propiedades siguientes:
푇푛 = 푇푛−1 + 푛
푇푛 = 1 + 2 + 3 +. . . . +푛
Basándote en la última propiedad, y procediendo como Gauss, descubre la expresión
del enésimo número triangular (Baker, A. (1986).Breve introducción a la teoría de
números “Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un
triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1”).

U.N.A.N-(Managua)
Representación de algunos números triangulares se presentan en la siguiente tabla:
Tabla 2.
N
푛
Σ 푛
푛=1
Figura Valor de Tn
1 1 1
2 1+2 3
3 1+2+3 6
4 1+2+3+4 10
5 1+2+3+4+5 15
6 1+2+3+4+5+6 21
7 1+2+3+4+5+6+7 28

U.N.A.N-(Managua)
8 1+2+3+4+5+6+7+8 36
9 1+2+3+4+5+6+7+8+9
45
10 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
55
De esta manera se puede continuar y seguir formando un triángulo a partir de una
sucesión de número inagotable.
Pero esto no termina sino que nos da paso al descubrimiento de los números
triangulares.

U.N.A.N-(Managua)
5.2 Números Cuadrados
5.2.1 Historia de los números cuadrados
Pitágoras, matemático griego que vivió entre 572 y 500 antes de Cristo, basó todos sus
trabajos matemáticos en el estudio de los números pero no contaba con un sistema de
numeración, es decir, no tenía manera de hacer cuentas. Trabajaba los números
poniendo piedrita, formando figuras geométricas. De esa forma consideraba números
triangulares, cuadrados, etc. Al igual que los números triangulares los números
cuadrados se originaron de observaciones de los griegos. Los griegos observaron que
si sumaban en forma de secuencia los números impares obtenían números
¨cuadrados¨. Se puede escribir dicho números en diversas formasconvenientes.
1 = 1 ∗ 1 = 12
1 + 3 = 4 = 2 ∗ 2 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 3 ∗ 3 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 ∗ 4 = 42
Si se observa la formación de los guijarros en los números cuadrados; con lo cual se
puede comprender como el descubridor3 se dio cuenta de esta ley.
Figura 6
En la figura 6 se muestra la secuencia de números cuadrados iniciando con el 1 hasta
llegar al 36. Cada siguiente número cuadrado se forma al añadir al número anterior un
3 Posiblemente Pitágoras.

U.N.A.N-(Managua)
grupo de guijarros en la forma de una L. Es decir, el 4 se forma al añadir el grupo de 3
guijarros en forma de L al guijarro inicial. El siguiente número cuadrado, el 9, se forma
al añadir al número cuadrado 4 un grupo de 5 guijarros en forma de L. Para obtener el
siguiente número cuadrado, simplemente añadimos un grupo de guijarros en forma de L
que contenga al siguiente número impar de elementos. Los griegos llamaban gnomon4
a esta forma de L, y originalmente se refería a un instrumento importado de Babilonia
que se utilizaba para medir el tiempo. Para obtener el valor de un numero cuadrado,푛2,
sumamos los números impares hasta2푛 − 1. Es decir, para calcular el cuadrado de 5, ó,
52 sumamos todos los números impares hasta 2 ∗ 5 − 1 , ó 9. Por lo tanto tenemos
que:52 = 1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 9 = 25. Todo lo que tenemos que hacer para formar el
siguiente número cuadrado después de 25 es sumar 2푛 + 1. Para obtener 62, a 25 le
sumamos 2 ∗ 5 + 1, u 11 para que el resultado sea el siguiente número cuadrado36.
Aunque esta sea solo una breve introducción de los números cuadrados; presentamos
ciertas operaciones para irnos familiarizándonos con las definiciones y como se pueden
calcular.
5.2.2 Definición de los Números cuadrados
Un número natural 푎se llama cuadrado cuando existe otro número natural 푛tal que es el
producto de dos enteros idénticos. Los números cuadrados siempre se pueden
representar por puntos en la forma de un cuadrado.
Figura 7
Los primeros números cuadrados son: 1, 4, 9, 16, 25,…
En la figura se observa la generación de cada número cuadrado:
푐 1 = 1 = 1
푐2 = 1 + 3 = 4
4 Gnomon: escuadra.

U.N.A.N-(Managua)
푐3 = 1 + 3 + 5 = 9
푐4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
Los números cuadrados terminan en 1, 4, 5, 6 o 9
Todos siguen la fórmula 푛2, como es evidente. Todo número cuadrado es suma de dos
triangulares consecutivos.Sin embargo los Pitagóricos usaban la palabra gnomon (=
⊿)para referirse a los enteros impares 1, 3, 5,7,.... De manera figurada, cada gnomon
es una “configuración” de puntos que se agrega a la configuración anterior,
manteniendo su forma (figura 1). Ellos observaron que 푛2es la suma de lo n primeros
impares.
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
⋮
Francesco Maurolico (1494-1575), probó este hecho usando por primera vez, inducción
matemática. Una “prueba algebraica” se puede observar en la figura (8).
Figura 8
1 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52
Cada cuadrado es construido agregando un número impar (los círculos azules)
Los números cuadrados se disponen:

U.N.A.N-(Managua)
4 9 16
Figura 9
En general, el primer número poligonal es 1. El segundo número poligonal es n,
considerando que el polígono en cuestión tiene n vértices, y cada lado tendrá 2
elementos. El tercer poligonal se obtiene agregando al conjunto los elementos
necesarios para que cada lado del polígono tenga 3 elementos, y así sucesivamente.
Los números cuadrados 푐푛 , corresponden a la cantidad de puntos en un arreglo
cuadrangular de n. En este caso 푐푛 = 푛2 A los números 푆푛 también se les llama
cuadrados perfectos, y como acabamos de ver, son una suma de números impares.
También notamos que la suma 푐푛+1 = 푐푛 + 2푛 + 1 , es decir, el siguiente cuadrado
perfecto se obtiene agregando un gnomon (la escuadra de 2푛 + 1 puntos verdes) al
número figurado anterior:
9 8 7 6 5
6 5 4 4
3 3 3
4
2
7
5
3
1 1
2 2
1 1
2
1
Figura 10.Cuadrados perfectos.
Probaremos el hecho 푐푛 = 푛2 o bien 1 + 3 + 5 + 7 + 9+. . . . . . . . +(2푛 − 1) = 푛2.

U.N.A.N-(Managua)
5.2.3 Descripción de los números cuadrados
Al igual que los números triangulares, los números cuadrados se descubren al observar
que si se sumaban dos números triangulares consecutivos se originaba un número
cuadrado. El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relación
entre los números triangulares y los cuadrados:
Figura 11
Si el triángulo tiene tres lados, el cuadrado tiene cuatro (y cuatro ángulos rectos, de 90
grados), por lo cual era de esperar que la sucesión de los números cuadrados fuese
muy distinta de la de los triangulares. Ahora bien, un solo punto aislado encajaba igual
de bien en un cuadrado que en un triángulo, de manera que la sucesión de cuadrados
empezaba también por el número 1.
Los siguientes cuadrados se podían formar colocando orlas de puntos adicionales a lo
largo de dos lados adyacentes del cuadrado anterior. Añadiendo tres puntos al cuadrado
de uno se formaba un cuadrado de cuatro puntos, que representaba el número 4. Y el
de nueve se obtenía de forma análoga, ordenando con cinco puntos más el cuadrado de
cuatro.
La secuencia proseguía con cuadrados de dieciséis puntos (el cuadrado de nueve, más
siete puntos), veinticinco puntos (dieciséis más nueve), treinta y seis (veinticinco más
once), etc. El resultado era la sucesión de números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36,...
Como los triángulos crecían de manera regular, no le cogió de sorpresa a Pitágoras el
que los cuadrados hicieran lo propio. El número de puntos añadidos a cada nuevo
cuadrado era siempre un número impar, y siempre era dos puntos mayores que el
número añadido la vez anterior. (Las cursivas vuelven a indicarlo.).

U.N.A.N-(Managua)
Dicho de otro modo, los números cuadrados podían formarse mediante una sucesión
de sumas de números impares consecutivos:
1 = 1 16=1+3+5+7
4 = 1 + 3 25=1+3+5+7+9
9 = 1 + 3 + 5 … etcétera
Los cuadrados también se podían construir a base de sumar dos números triangulares
consecutivos:
4 = 1 + 3
9 = 3 + 6
16 = 6 + 10
25 = 10 + 15
O multiplicando un número por sí mismo: 1 = 1 x 1; 4 = 2 x 2; 9 = 3 x 3;...
Este último método es una manera especialmente importante de formar cuadrados.
Puesto que 9 = 3 x 3, decimos que 9 es el cuadrado de 3; y lo mismo para 16, el
cuadrado de 4, o para 25, el cuadrado de 5, etc. Por otro lado, decimos que el número
más pequeño -el que multiplicamos por sí mismo- es la raíz cuadrada de su producto: 3
es la raíz cuadrada de 9, 4 la de 16, etcétera.

U.N.A.N-(Managua)
En la siguiente tabla se presenta algunos números cuadrados y como se forman
gráficamente:
Tabla 3
푛
푛
Σ(2푛 − 1)
푛=1
Figura Resultado de 푐푛
1 1 1
2 1+3 4
3 1+3+5
9
4 1+3+5+7 16
5 1+3+5+7+9 25
6 1+3+5+7+9+11
36

U.N.A.N-(Managua)
7 1+3+5+7+9+11+13
49
8 1+3+5+7+9+11+13+15
64
9 1+3+5+7+9+11+13+15+17
10 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
De esta manera se deja atrás los números cuadrados.
81
100

U.N.A.N-(Managua)
5.3 Números triangulares y cuadrados perfectos
5.3.1 ¿Cómo se calculan los números que son cuadrados y triangulares a la vez?
Los números triangulares determinado por la ecuación
푛(푛+1)
2
aún siguen interesando a
los matemáticos. Se han descubierto varias relaciones interesantes y casi místicas
miremos unas cuantas:
2 = Σ (푛 + 1)3 푛푛
=0 donde se puede deducir que la suma de los primeros n
2 − 푡푛
 푡푛+1
cubos es el cuadrado del número triangular de orden n. la suma de los cuatro
primeros cubos por ejemplo: veamos el numero triangular de orden 4: 1 + 8 +
27 + 64 = 100 = 102
 La suma de números triangulares dan origen a muchas estructuras
sorprendentes por ejemplo: 푡1 + 푡2 + 푡3 = 푡4; miremos con sus valores
correspondientes 1 + 3 + 6 = 10 calculemos el valor de 푡4 =
4(4+1)
2
= 10 con lo
que podemos apreciar la veracidad de la afirmación. Aunque no es la única suma
existen más.

U.N.A.N-(Managua)
5.4 Ecuación de Pell
5.4.1 Definición de la ecuación de Pell
La ecuación de Pell es una ecuación cuadrática por ejemplo, son aquellas en las que al
menos una de sus incógnitas tiene un exponente de grado 2. Para tener una idea de
este tipo de ecuación, veamos la siguiente ecuación.
푥2 − 푐2푦2 = 푑
En el siguiente teorema nos indica cuando se puede encontrar soluciones para la
ecuación.
Teorema1:
La ecuación diofántica 푥2 − 푐2푦2 = 푑 tiene como solución 2푥 = 푟 + 푡 , 2푢푦 = 푟 − 푡 ,
donde 푟푡 = 푑 y 푟 − 푡 = 2푘푢, con 푘 ∈ ℤ .
El teorema anterior dice que la ecuación tiene solamente un número finito de
soluciones.
Esto contrasta con la ecuación:
푥2 − 푐푦2 = 푑, 푐표푛 푐 ∈ ℤ
Y c no es un cuadrado perfecto, pues dicha ecuación o bien tiene un numero finito de
ecuaciones, o no tiene solución.
Un caso particular de esta situación se da cuando 푑 = 1. La ecuación obtenida es la
ecuación de Pell.
푥2 − 푐푦2 = 1
En esta ecuación si 푥 = 푥0 , 푒 푦 = 푦0 es una solución y 푦0 ≠ 0, entonces existe un infinito
número de soluciones.

U.N.A.N-(Managua)
VI. DISEÑO METODOLOGICO
El presente trabajo, Resolución de la ecuación de Pell a través de los números
cuadrados y triangulares, en lo que respecta al alcance de los resultados es un trabajo
de investigación, ya que su realización se hará a través del análisis de libros,
monografías, etc.
La realización de este trabajo será de la siguiente manera:
1. En la fase explorativa del trabajo, las fuentes de información a consultar serán:
 Fuentes primarias se utilizarán formatos de recolección de información que
permitieron comprender y explicar el trabajo de manera simple, clara y con
todo el rigor científico, tales como libros de teoría de números, monografías y
todo material que se pueda encontrar en la biblioteca central “Salomón de la
Selva” o el departamento de la UNAN – Managua u otras universidades.
 Las principales fuentes secundarias para la obtención de la información serán
en general, todo medio impreso que se relacionaban con el tema abordado.
2. Una vez obtenida toda la información se procederá hacer una revisión y análisis
de todo lo obtenido, lo que a su vez nos permitirá teneruna mejor comprensión y
claridad del trabajo, así como también una mejor visión para la presentación.
3. En el momento de la elaboración del informese buscara de hacer de una manera
clara, concisa y con todo el rigor científico, que permita al lector seguir la lectura
y comprender el trabajo realizado.
4. En la parte final para presentar el trabajo, toda la información obtenida se
escribirá en el Microsoft Word, versión 2010 y la presentación en PowerPoint,
versión 2010, Microsoft Excel y Geogebra 2010.

U.N.A.N-(Managua)
VII. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
Actividades Feb Mar Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Ene. Feb.
Fase explorativa.
Determinación del problema de
investigación.
Definición del tema.
Formulación de los objetivos.
Elaboración del marco teórico.
Redacción del protocolo.
Entrega de protocolo
Corrección de protocolo
Avance en la redacción del
informe final.
Presentación del primer borrador
del informe final.
Entrega del informe final.
Preparación de la defensa
Defensa monográfica

U.N.A.N-(Managua)
VIII. BIBLIOGRAFIA
 Aguilar, S(2008). Una divagación matemática y mística. Managua: Primera
edición.
 Apóstol, T. (1984). Introducción a la Teoría de Números. España: Editorial
Reverté.
 Baker, A. (1986).Breve introducción a la teoría de números. Madrid: Alianza
Editorial.
 Bravo, R. (1971).Fundamentos de los sistemas numéricos. México: Editorial
Interamericana.
 Clawson, Calvin C. (1999). Misterios matemáticos: Magia y belleza de los
números. México: Editorial Diana.
 Gardner, M. (1993). El universo ambidextro: simetrías y asimetrías en el cosmos.
Labor, Barcelona.
 García, F. Significado espiritual de los números.
 Mora, W.Introducción a la Teoría de Números. Ejemplos y algoritmos. Instituto
Tecnológico de Costa Rica: 1ra ed. Escuela de Matemática.
 Niven, I. & Zuckerman, H. (1976). Introducción a la Teoría de los Números.
México: Editorial Limusa.
 Soledad, V. (2009) La Ecuación de Pell y sus aplicaciones
criptográficas.Universidad de la República: Facultad de Ciencias.
 Pettofrezzo, A. J. (1972). Introducción a la Teoría de los Números. España:
Editorial Prentice-Hall.
 Shildlovski, A.B. (1989). Aproximaciones diofánticas y números trascendentes.
Universidad del País Vasco: Servicio editorial.
 Vinagradov, I. (1977). Fundamentos de la Teoría de Números. Mir Moscú:
Editorial interamericana.

U.N.A.N-(Managua)
IX. ANEXOS

U.N.A.N-(Managua)
9.1 Pitágoras de Samos(engriego antiguoΠυθαγόρας) (C.A.580 A.C. –C.A.495 A.C.)
De manera significativa en el avance de lamatemática helénica, lageometríay
laaritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro.
Contribuyó por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la
astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era
de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina,
cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló
principios que influyeron tanto enPlatóncomo en Aristóteles y, de manera más general,
en el posteriordesarrollo de la matemáticay en La filosofíaracional en Occidente.
No se conserva ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos –los pitagóricos-invariablemente
justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma
indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los
de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de
los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como
lainconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras
para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela
pitagórica.
La historia de las matemáticas comienza en el año 532 A.C la fecha que señala el
nacimiento de Pitágoras de Samos (579-500) como matemático. A Pitágoras se le
atribuye la suma de los números impares, que tiene la particularidad de ser un
cuadrado perfecto.
También se le atribuye a Pitágoras la suma de los números naturales. Los pitagóricos
solían representar los números mediantes puntos en un pergamino o piedrecillas en la
arena y los clasificaban según las formas poligonales de distribuciones de puntos, es
decir asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular

U.N.A.N-(Managua)
de puntos, cuya suma determina el número representado. Así obtenían los diversos
tipos de números polígonos o figurados:
Los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15,…
Los números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25. …
Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35.
Los números poligonales aparecieron en los albores de la Escuela Pitagórica como un
elemento esencial de sus misticismos numérico “no sólo las cosas son en esencias
números sino que los números son concebido como cosas” de modo que las
expresiones <<números triangulares>> o <<números cuadrados>> no son meras
metáfora sino que esos números son, efectivamente, ante el espíritu y ante los ojos.
Triángulos y cuadrado.
9.2 Bhaskara Matemático y astrónomo (1114 Bijapur, India, 1185 Ujjain, India)
Bhaskara es también conocido como Bhaskara II o como Bhaskaracharya, que significa
"Bhaskara el maestro". Bhaskaracharya es probablemente el matemático hindú de la
antigüedad mejor conocido. Nació en 1114 en Bijjada Bida cerca de las montañas de
Sahyadri, Bijjada Bida es hoy conocido como Bijapur en el estado de Mysore, India.
Bhaskaracharya murió en el año 1185, en Ujjain, India.
Bhaskaracharya representa la cima del conocimiento matemático del siglo XII.
Consigue un conocimiento de los sistemas de numeración y de la resolución de
ecuaciones que no se alcanzaría en Europa hasta varios siglos después. Fue el último
de los matemáticos clásicos de la India. Descubrió el doble signo de los radicales
cuadráticos y el carácter anormal de los mismos cuando el radicando es negativo. En
su obra Vijaganita aparece por primera vez el intento de resolver la división por cero,
indicando que se trata de una cantidad infinita.
Su trabajo matemático parte del de Brahmagupta que ya manejaba el cero y los
números negativos. Pero va más allá en su uso, por ejemplo Bhaskara afirma que 푥 2 =

U.N.A.N-(Managua)
9 tiene dos soluciones. También obtiene la fórmula sorprendente para el siglo
XII:√푎 ± √푏 = √푎+√푎2−푏
2
± √푎−√푎2−푏
2
En el Lilavati, estudia algunas ecuaciones diofánticas, interés, progresiones aritméticas
y geométricas, geometría plana y sólida, combinaciones, etc. También da dos
algoritmos famosos de multiplicación de números en base diezBhaskaracharya, como
muchos matemáticos hindúes, considera el cuadrado como un caso especial de la
multiplicación que merece un algoritmo especial. En el Lilavati da 4 métodos para hallar
el cuadrado de dos números en base diez.

U.N.A.N-(Managua)
9.3 Karl Friedrich Gauss (Brunswick, actual Alemania, 1777 Gotinga, id., 1855)
Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde,
desde muy temprana edad KarlFriedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa
capacidad para lasmatemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su
padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error
de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus
profesores de la escuela primaria.
Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela
cuando su profesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras
trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100.
El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta
correcta poco después de ser formulada la pregunta.
En 1799, la ecuación 푥2 = 푛푦2 + 1 pasó a ser representada como 푥2 − 퐷푦2 = ±1 .
Cuando Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicó su obra Disquisitiones Arithmeticae,
donde expone la factorización única en cuerpos complejos y, a partir del conjugado,
establece la norma 푁(∝) = (푎 + 푏√퐷)(푎 − 푏√퐷) = 푎2 − 퐷푏2 = ±1 , que permite otra
solución a la ecuación de Pell,
푥 =
(푥+푦√퐷)
푛
+(푥−푦√퐷)푛
2
푦 =
(푥+푦√퐷)푛−푥−푦√퐷)푛
2√퐷
, donde 퐷 = 푏2 − 4푎푐 es el discriminante o
dominio de integridad de los sistemas cuadráticos.

U.N.A.N-(Managua)
9.4 Pierre de FermatMatemático (1601 Beaumont, 1665 Castres, Francia)
Pierre de Fermat nació el 17 de agosto de 1601, Beaumont-de-Lomagne (Tarn et
Garonne) y murió el 12 de enero de 1665, Castres (Tarn). Aunque sus contribuciones
matemáticas nunca fueron publicadas en vida, fueron de tal calidad que la
relativamente modesta difusión que tuvieron entre la comunidad científica europea fue
suficiente como para que se le recuerde como uno de los mejores matemáticos del siglo
diecisiete entre los muchos de primera fila que fueron contemporáneos: Descartes,
Leibniz, Newton, Jacobo y Juan Bernoulli, etc.
Pero fue nuestro admirado Pierre de Fermat quien profundizó en la ecuación de Pell. En
1657, al final de su carrera, mandó el siguiente desafío a los matemáticos ingleses:
Dado un número cualquiera que no es un cuadrado existe un número infinito de
cuadrados tal que si el cuadrado es multiplicado por el número dado y la unidad es
añadida al producto el resultado es un cuadrado.
Es decir, dado푑 que no es un cuadrado, existen infinitos cuadrados, 푥2 tales que si los
multiplicamos por푑 y añadimos 1 a este producto el resultado es un cuadrado, digamos
푦2. Esto nos lleva a la ecuación 푑푥2 + 1 = 푦2 que es precisamente la ecuación de Pell.
Dado que, según parece, en la época de Diofanto se tomaban las soluciones racionales
como las soluciones válidas de estas ecuaciones, los ingleses resolvieron muy pronto el
desafío de Fermat (¿podéis vosotros?). Fermat había incluido en su desafío un
preámbulo donde explicaba que se pedían soluciones enteras, pero dicha explicación
debió perderse y no llegó a sus destinatarios.
El caso es que Fermat aclaró este punto a los ingleses cuando recibió las soluciones.
Estos, aunque indignados por el cambio de las condiciones del problema, se dedicaron
a ello. Wallis y Brouncker son los que parece que pusieron más empeño.
En este y en algún otro desafío aparecían separados tres casos particulares de la
ecuación de Pell. Concretamente los casos 푑 = 61, 109, 149. La razón es que estos

U.N.A.N-(Managua)
casos son bastante más complicados de analizar para 푑 < 200. Esto nos indica que
Fermat debía poseer un método general para resolver la ecuación de Pell (no creemos
que tuviera tanta suerte al elegir los casos particulares).
La cuestión es que los ingleses, al parecer Brouncker (o al menos Wallis se lo atribuye
a él), consiguieron resolver los casos particulares y además dieron un procedimiento
general para llegar a la solución para cualquier valor de푑 . El problema de este método
(y posiblemente también del que poseía Fermat, si es que no eran el mismo) es que en
ningún momento se demostraba que el método funcionaba siempre. Se aplicaba a una
ecuación con un dconcreto y se obtenían las soluciones, pero no se demostraba que el
método era válido para todos los casos. Puede parecer que esto es un detalle que no
tiene demasiada importancia, pero no es así. El mismo Euler fracasó al intentar
demostrar este hecho y hubo que esperar más de un siglo para que Lagrange
consiguiera dicha prueba.
En 1638, Fermat propuso que todo entero positivo es la suma de uno, dos o tres
números triangulares; uno, dos, tres o cuatro números cuadrangulares; uno, dos, tres,
cuatro o cinco pentagonales y así sucesivamente.
Fermat afirmó que tenía una prueba de este teorema pero dicha prueba no ha sido
encontrada. Gauss probó el caso triangular y anotó este acontecimiento en su diario el
10 de julio de 1796 con la siguiente notación:
∗∗ 피Υℝℋ풦풜푛푢푚 = Δ + Δ + Δ
Ponemos unos ejemplos interesantes
a) Con números triangulares
100 = 91 + 6 + 3 = 푇13 + 푇3 + 푇2
100 = 55 + 45 = 푇10 + 푇9

U.N.A.N-(Managua)
b) Con números cuadrangulares
50 = 49 + 1 = 퐶7 + 퐶1
50 = 25 + 25 = 퐶5 + 퐶5
50 = 25 + 16 + 9 = 퐶5 + 퐶4 + 퐶3
50 = 36 + 9 + 4 + 1 = 퐶6 + 퐶3 + 퐶2 + 퐶1
Tetraktys, símbolo de Dios y del Universo; emblema supremo, suma de las
dimensiones geométricas, fundamento de todo. Anagrama místico del juramento
pitagórico5, depositario de la escala musical. Representa el infinito, aquello que no
se ve: la fe y lo representaban de la siguiente forma:
Desde Euclides (324-265) hasta Gauss (1777-1855) el avance en el conocimiento de
los números fue espectacular y aunque pueden faltar muchas cosas por descubrir,éstas
5Juramento Pitagórico: ¨Juro en el nombre del Tetractus que ha sido conferido a nuestra alma. La
fuente y las raíces de la naturaleza eternamente fluyente están contenidas en el¨.

U.N.A.N-(Managua)
serán siempre sobre la base de la obra de Gauss. Alrededor del año 300 A.C. Euclides
de Alejandría recoge todo el saber disponible en ese momento en lo referente a
matemática antigua, que plasma en treces libros que denomino elementos, obra que
con el devenir de los siglos ha sido fuente de consulta de muchos sabios. Alrededor del
año 1800, Gauss lleva a cabo algo parecido con su obra Disquisitiones Aritmeticae, que
recoge todo el saber que hasta entonces se tenía de la teoría de número y que no
pasaba de ser una mera colección de resultado aislado. En sus Disquisiciones, Gauss
introdujo la noción de congruencia y al hacerlo, unificó la teoría de los números. Dado el
numero entero ℤ, 합 푒 핪 serán congruente módulo 핫 si y solo si (합 − 핪)es divisible por 핫.
Esta nomenclatura se puede expresar mediante 합 − 핪 (푚ó푑. 핫).
9.5 Arquímedes(Siracusa, actual Italia, h. 287 A.C.-id., 212 A.C.)
Matemático griegoArquímedesHijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo
en las matemáticas, Arquímedes estudió en Alejandría, donde tuvo como maestro a
Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes; a este último dedicó Arquímedes
su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la
que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su
valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico.
Arquímedes recoge en su obra Libro de los lemas el problema de los bueyes, donde
plantea la ecuación:
푥2 = 4729494푦2 + 1, de la que no da solución.
En su aritmética, Diofanto de Alejandría (sobre 250d.c.) plantea las ecuaciones 푥2 =
26푦2 + 1 y 푥2 = 30푦2 + 1 que, aunque no da solución, bien podrían considerarse como
de Pell
En el año 628, el astrónomo y matemático hindú Brahmagupta (598-665), plantea el
primer método razonado para la solución de esta ecuación. Este método fue mejorado
por otro astrónomo y matemático hindú, Bhaskara (1114-1185), que queda recogido en
su obra Lilavati, Fue Joseph- Louis Lagrange (1736-1813), con la aprovechando las

U.N.A.N-(Managua)
aportaciones de Pierre de Fermat(1601-1665) y de Leonhard Euler(1707-1813), y con la
ayuda de fracciones continuas, dio uno de los métodos que se aplica en la actualidad.
Fue precisamente Euler el que, por equivocación dio a la ecuación el nombre de Pell,
atribuyendo su descubrimiento a John Pell (1610-1685), matemático ingles que ha
pasado a la historia de las matemáticas, precisamente por esta equivocación.

U.N.A.N-(Managua)
9.6 NÚMEROS FIGURADOS
Se llaman números figurados a aquellos números que pueden representarse mediante
figuras geométricas “regulares”, con la condición de que los puntos que los representan
guarden siempre entre ellos la misma distancia. Cuando dichas figuras son polígonos
regulares, se habla de números poligonales.
Los números poligonales se remontan al comienzo mismo de la matemática. Fueron los
pitagóricos los que los descubrieron. Tal vez, la mejor forma de comprender los
números poligonales es percatarse que en aquella época los números se
representaban mediante piedras (calculi) que se ponían sobre una superficie. Algunos
números pueden disponerse formando figuras geométricas, por ejemplo 3 piedras se
pueden disponer formando un triángulo, 4 forman un cuadrado, etc.
El estudio de los números figurados pertenece a una rama de la teoría de números,
llamada análisis diofántica, que trata de la determinación de las soluciones enteras de
las ecuaciones con infinitas soluciones. Los grandes pioneros de la teoría de números
dedicaron un enorme esfuerzo al estudio de las propiedades de los números figurados.
9.5.1 Los diez primeros números poligonales
Nombre Regular Centrado
Triangular 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ⋯ 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85,
109,⋯
Cuadrado 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ⋯ 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113,
145,⋯
Pentagonal 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117,
⋯
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141,
181, ⋯
Hexagonal 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120,
153, ⋯
1, 7, 18, 34, 55, 66, 91, 120,
153, ⋯

U.N.A.N-(Managua)
Heptagonal 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148,
189, ⋯
1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197,
253, ⋯
Octagonal 1, 8,21, 40,65, 96, 133, 176,
225, ⋯
1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225,
289, ⋯
Nonagonal 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204,
261, ⋯
1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253,
325,
Decagonal 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232,
297, ⋯
1, 11, 31, 60, 101, 151, 211,
281, 361, ⋯
9.6.2 Ecuaciones de los números poligonales
Números de lados Forma regular Forma centrada
3 푛(푛 − 1)
2
3푛2 − 3푛 + 2
2
4 푛2 2푛2 − 2푛 + 1
5 푛(3푛 − 1)
2
5푛2 − 5푛 + 2
2
6 푛(2푛 − 1) 3푛2 − 3푛 + 1
7 푛(5푛 − 3)
2
7푛2 − 7푛 − 2
2
8 푛(3푛 − 2) 4푛2 − 4푛 + 1
9 푛(7푛 − 5)
2
9푛2 − 9푛 + 2
2
10 푛(4푛 − 3) 5푛2 − 5푛 − 1

U.N.A.N-(Managua)
La fórmula general para un número k- gonal es: 1, 푘, ⋯
1
2
푘(푛2 − 푛) − 푛2 + 2푛
Otra forma de obtener la fórmula general es:
Los números triangulares 1, 3,6,10,15, ⋯ son del tipo 푁 = 1 + 2 + 3 + ⋯ 푛
Los números c cuadrados 1, 4, 9, 16, ⋯ son del tipo 푁 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ (2푛 − 1)
Los números pentagonales 1, 5, 12, 22, ⋯ son del tipo 푁 = 1 + 4 + 7 + ⋯ + (3푛 − 2)
Los números hexagonales 1, 6, 15, 28, ⋯ son del tipo 푁 = 1 + 5 + 9 + ⋯ + (4푛 − 3)
En general, los números poligonales son del tipo 푛 +
푛(푛−1)푏
2
se pueden obtener
Si 푏 = 1 se obtiene un número triangular
Si 푏 = 2 se obtiene un número cuadrado
9.7 NÚMEROS POLIGONALES
Tal y como lo definieron los pitagóricos, los llamados números poligonales, son
números que pueden representarse mediante polígonos regulares. A partir de estos
polígonos se pueden observar (y estudiar) progresiones aritméticas.
Según esto, las series de números poligonales serían
Triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21,…
Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…
Pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70,…
Hexagonales: 1, 6, 15, 28, 45,…

U.N.A.N-(Managua)
9.7.1 Números cuadrados
De igual forma que los números triangulares, los números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25,…
son la suma de los términos de una progresión aritmética con primer término 1 y
diferencia 2. Por tanto su fórmula es Cn = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2
NÚMERO Orden
TRIÁNGULO
1 2 3 4 5
CUADRADO
PENTAGONO

U.N.A.N-(Managua)
HÉXAGONO
HÉCTAGONO
OCTÁGONO
NONÁGONO
DECAGONO

U.N.A.N-(Managua)
9.7.2 NÚMEROS POLIGONALES CENTRADOS
Tal y como están formados, los números poligonales crecen a partir de un vértice, y no
tienen centro. Si los formamos a partir de un punto (centro) rodeando después con un
polígono regular se obtiene lo que se denomina número poligonal centrado.
9.7.2.1 Números Triangulares Centrados
Orden
1(1)
Orden 2(4) Orden 3(10) Orden 4(19) Orden 5(31)
9.7.2.2 Números Cuadrado Centrado
Orden
1(1)
Orden 2(5) Orden 3(13) Orden 4(25) Orden 5(41)

U.N.A.N-(Managua)
9.7.2.3 Números Pentagonales Centrados
Orden 1(1) Orden 2(6) Orden 3(16) Orden 4(31) Orden 5(51)
9.7.3 Definición de números poligonales
Llamaremos números poligonales centrados a aquellos números figurados que
partiendo de un punto (centro) se obtienen rodeando dicho punto de sucesivos
polígonos regulares. Así obtenemos:
Números triangulares centrados: 1, 4, 10, 19, 31,…
Números cuadrados centrados: 1, 5, 13, 25, 41,…
Números pentagonales centrados: 1, 6, 16, 31, 51,…
Números hexagonales centrados: 1, 7, 19, 37, 61,…
Nomenclatura
Para el trabajo escribiremos los números poligonales centrados como CKn
Dónde: C=Centrado; K = Nº de lados del polígono; n = orden del número
Fórmula
CKn =
Kn2 − kn + 2
2

U.N.A.N-(Managua)
Demostración:
Se ha podido observar que los números poligonales centrales son la suma de
progresiones aritméticas más uno (primer elemento):
Triangulares Centrados:
a1 = 0
d = 3
n
} → an = 0 + (n − 1) ∗ 3 = 3n − 3 → CTn = 1 + Σai = 1 +
0 + (3n − 3)
2
i=1
∗ n
=
3n2 − 3n + 2
2
Cuadrados centrados:
a1 = 0
d = 4
n
} → an = 0 + (n − 1) ∗ 4 = 4n − 4 → CCn = 1 + Σ ai = 1 +
0 + (4n − 4)
2
i=1
∗ n
=
4n2 − 4n + 2
2
9.7.4 Pentagonales Centrados
a1 = 0
d = 5
n
} → an = 0 + (n − 1) ∗ 5 = 5n − 5 → CPn = 1 + Σai = 1 +
0 + (5n − 5)
2
i=1
∗ n
=
5푛2 − 5푛 + 2
2
푎1 = 0
푑 = 6
푛
} → 푎푛 = 0 + (푛 − 1) ∗ 6 = 6푛 − 6 → 퐶퐻푛 = 1 + Σ 푎푖 = 1 +
0 + (6푛 − 6)
2
푖=1
∗ 푛
=
6푛2 − 6푛 + 2
2
푎1 = 0
푑 = 푘
푛
} → 푎푛 = 0 + (푘 − 1) ∗ 푘 = 푘푛 − 푘 → 퐶퐻푛 = 1 + Σ푎푖 = 1 +
0 + (푘푛 − 푘)
2
푖=1
∗ 푛
=
푘푛2 − 푘푛 + 2
2

U.N.A.N-(Managua)
Las principales relaciones de los números poligonales son:
Relación con los números poligonales CKn = kn + (n − 1)2
Relación con los números triangulares:CKn = kTn − k. n + 1
9.8 La ecuación de Pell
¿Quién es Pell? John Pell fue un matemático inglés que vivió durante el siglo XVII. La
cuestión es que no está muy claro por qué este tipo de ecuaciones llevan su nombre. Al
parecer el error lo cometió en gran Euler al asociar un método de resolución de este
tipo de ecuaciones a Pell. Este problema fue hecho, propuesto por Pierre de Fermat
primero en Bernard Frenicle de Bessy, y en 1657 a todos los matemáticos. Conexión de
Pell con el problema es a través de Rahn. Consistió en la publicación de las soluciones
de John Wallis y Brouncker Señor, en su edición de Thomas Branker Traducción@s de
Algebra Rhonius de (1968); agregado a sus contribuciones editoriales anteriores,
cualquiera que fuesen, al libro de álgebra 1659 escrito por Rahn (es decir Rhonius) .
esta nueva edición de lo que fue esencialmente obra Rahn, por Pell, incluyó una gran
cantidad de materiales adicionales en la teoría de números, que asciende a una
respuesta al libro de165 Exercitationes mathematicae por Frans Van Schooten. Es
también notable por su inclusión de un cuadro de Incomposits, uno de las primeras
grandes tablas de factores.
El estudio de la ecuación de Pell se remonta a la antigua Grecia. En algunos trabajos
de Arquímedes se muestra el conocimiento de alguna solución para el caso 푑 = 3 y
hasta se conjetura que los griegos tenían más nociones sobre el asunto, aunque no se
tienen documentos que lo corroboren. Sí se sabe más del estudio sobre esta ecuación
realizado en la antigua India. Brahmagupta encontró la solución más pequeña para el
caso 푑 = 92 y Bhaskara una técnica general para encontrar soluciones.
Una ecuación de Pell es una ecuación diofántica que tiene la siguiente forma: 푥2 −
푑푦2 = 1

U.N.A.N-(Managua)
Con 푑 un entero que no es un cuadrado perfecto. Por ser una ecuación diofántica lo
que se pide es encontrar las soluciones enteras de dicha ecuación.

U.N.A.N-(Managua)
9.9 VOCABULARIO
Anagrama. (Del lat. anagrama. Transposición de las letras de una palabra o sentencia,
de la que resulta otra palabra o sentencia distinta. Palabra o sentencia que resulta de
esta transposición de letras; p. ej., de amor, Roma, o viceversa. Símbolo o emblema,
especialmente el constituido por letras.
Atomismo: Doctrina que concibe la formación del universo por el concurso fortuito de
los átomos.
Babuino: Mono cinocéfalo africano que puede alcanzar unos 75 cm de altura y cuyo
pelaje es de color marrón oliváceo.
Corpóreo: Que tiene cuerpo. Corporal, relativo al cuerpo
Escinde: cortar, dividir.
Guijarros: Canto rodado, fragmento rocoso de unos 4 a 74mm.
Gnomon:(Del lat. Gnomon. Indicador de las horas en los relojes solares más comunes,
frecuentemente en forma de un estilo. Antiguo instrumento de astronomía, compuesto
de un estilo vertical y de un plano o círculo horizontal, con el cual se determinaban el
acimut y altura del Sol, observando la dirección y longitud de la sombra proyectada por
el estilo sobre el expresado círculo Constr. Escuadra (plantilla que se utiliza en
delineación).Movible. m. escuadra falsa.
Inconmensurable. (Del lat. incommensurabilis).Adj. No conmensurable. 2. Enorme,
que por su gran magnitud no puede medirse.
Tetraktys:(Τετρακτύς en griego) o Tetorakutesunafigura triangular que consiste en diez
puntos ordenados en cuatro filas, con uno, dos, tres y cuatro puntos en cada fila. Como
símbolo místico, fue muy importante para los seguidores de los pitagóricos.
Desafortunadamente no existen fuentes fidedignas acerca del Tetraktys, porque todo lo
escrito sobre Pitágoras es de siglos posteriores. Lo que sí parece cierto es que el cuarto

U.N.A.N-(Managua)
número triangular, el de diez puntos y que ellos llamaban Tetraktysen griego, era parte
fundamental de la religión pitagórica. Figura triangular consistente en diez puntos
ordenados en cuatro filas, con uno, dos, tres y cuatro puntos en cada fila. Como
símbolo místico, fue muy importante para los seguidores de los pitagóricos.
Ulterior:(Del lat. Ulterior, -óris). Adj. Que está de la parte de allá de un sitio o territorio.
Que se dice, sucede o se ejecuta después de otra cosa. Se han tomado providencias
ulteriores.

Protocolo de monagrafia

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Protocolo de monagrafia

Semelhante a Protocolo de monagrafia (20)

Último

Último (20)

Protocolo de monagrafia