Comparar a média, a mediana e a moda

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Compararar a média, a mediana e a moda
Uma breve explicação destes conceitos com exemplos
Luis Borges Gouveia
Fev 2014, versão 1.0

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Comparar a média, a mediana e a moda

  1. 1. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014 Luis Borges Gouveia (lmbg@ufp.edu.pt) COMPARAR A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA O que são estas três medidas? Média, moda e mediana são medidas alternativas de tendência central e propõe, cada uma delas, um valor para descrever um conjunto de dados, identificando a posição central desse conjunto de dados. Desta forma, as medidas de tendência central são por vezes designadas de medidas de localização central. São também chamadas de estatísticas sumárias e fazem parte da estatística descritiva, por ajudarem a descreverem um conjunto de dados. A média é a medida de tendência central mais comum. A média, a mediana e a moda são todas medidas de validade de tendência central e podem ser mais adequadas em função dos casos e dos conjuntos de dados específicos que se pretendam analisar. Por vezes, umas são mais apropriadas que outras ou conseguem ajudar na análise de dados por complementarem a informação que proporcionam. Como se define cada uma delas? A média é igual ao total (soma dos elementos) dividido pelo número de elementos Exemplo: Considere a idade de três elementos: 26, 47, 32 anos, respetivamente. A sua média é resultado do cálculo 105 / 3, logo 35 anos A mediana é o valor central que ocorre e que corresponde ao ponto que representa 50% das ocorrências. Para estabelecer o ponto central, os elementos são listados em ordem crescente Exemplo: Considere a idade dos mesmos três elementos: 26, 47, 32 A sua mediana é o valor central da lista ordenada 26, 32, 47 logo a mediana é 32 anos A moda é o elemento que ocorre com maior frequência (é repetido mais vezes) Exemplo: considere desta vez a idade de quatro elementos: 26, 47, 32 e 26 A moda corresponde ao elemento (neste caso, idade) que ocorre duas vezes A moda é 26
  2. 2. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014 Luis Borges Gouveia (lmbg@ufp.edu.pt) Como podem ser interpretadas? A média funciona como um parâmetro de comparação de cada elemento em relação ao todo É conhecida a expressão daquele que não come bife nenhum e se um outro comer dois, cada um come um: permite pois avaliar o que come cada elemento comparando com o todo Exemplo Considere que o resultado médio de uma prova ser 85%, significa que poderemos compara um resultado de 75% (bom) com a média e verificar que, se calhar, não é tão bom assim, pois este fica aquém da média de resultados A mediana é o ponto central da amostra e significa que metade dos elementos da amostra alcança o valor indicado Uma mediana de 1 bife, indica que, pelo menos metade da amostra observada, comia efetivamente um bife Exemplo Considere os resultados do exame de Programação em que 62 alunos tiveram resultados entre 4 e 18 valores e a mediana foi de 10 valores. Tal indica que pelo menos 50% tiveram resultados, considerando como positivo o resultado de 10 valores e assumindo uma escala de 0 a 20 valores A moda revela qual o resultado mais comum dos elementos da amostra Uma moda de 1 bife, indica que a maioria dos elementos da amostra come pelo menos um bife Exemplo: Considere os resultados do exame de Programação em que 62 alunos tiveram resultados entre 4 e 18 valores e foram observadas duas modas, de 6 e 13 valores respetivamente. Tal indica que os resultados mais comuns e em igual valor foram obtidos pelos alunos que obtiveram uma nota baixa (4 valores) e uma nota média (13), o que revela um comportamento de extremos e muito dividido, bastante observado neste tipo de matérias práticas que muitas vezes separam os talentos (com trabalho, estas diferenças seriam atenuadas, claro…)
  3. 3. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014 Luis Borges Gouveia (lmbg@ufp.edu.pt) Como usar estas 3 medidas? Normalmente, os seus valores, para a mesma lista de elementos, são diferentes e indicam diferentes aspetos associados com as características dessa lista de elementos Exemplo: Considere um sistema de controle de qualidade que para as duas instalações fabris, com linhas de produção idênticas de 19 células, contou os defeitos associados com cada uma delas, para as duas situações: A: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 14 B: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4 Se forem efetuados os cálculos para a médio, mediana e moda, percebemos que as duas situações apresentam valores diferentes (o que é normal, visto terem séries de defeitos diferentes) A B Média 1,6 1,5 Mediana 1 1 Moda 0 1 Em qualquer das linhas de produção, a média de defeitos é maior que o número de defeitos da maioria das células observadas (em A, existem 8 com zero defeitos e 5 com apenas um defeito, logo 13 das 19 células observadas; em B, existem 2 com zero defeitos e 10 com apenas um defeito, logo, 12 das 19 células observas). A médio maior observada em A, resulta do valor de 14 defeitos apresentado por uma das células, que distorceu os resultados aparentemente melhores de A) A mediana é 1 para ambas situações A e B. Considerando as listas de defeitos devidamente ordenadas de forma crescente e sendo constituídas por 19 elementos, tomados o seu elemento central (neste caso, o 10º elemento, que possui 9 elementos antes e nove elementos depois). Como seria esperado, o controle de qualidade é normalizado e os resultados tendem a ser semelhantes (tratando de linhas de montagem com as mesmas funções, é bom e esperado sinal). A moda é diferente para as duas linhas de montagem. Assim, no caso de A, verificação que existem 8 células com zero defeitos, pelo que a moda é 0 (cuja ocorrência é maior que a dos restantes valores). No caso de B, contabilizam-se 10 ocorrências de células com 1 defeito. Qual a medida de maior utilidade neste caso particular? É possível afirmar que se trata da moda, pois indica que no caso de A, existem mais células sem defeitos, o que acontece apenas para duas das 19 células, no caso de B. De facto, a média de A está distorcida, pelo valor anormal da célula que apresentou mais defeitos, 14.
  4. 4. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014 Luis Borges Gouveia (lmbg@ufp.edu.pt) E o que se pretende dizer por uma média distorcida? Nem sempre os resultados obtidos são representativos de todo o conjunto de dados. Podem existir situações em que alguns dos dados promovem uma influência ou distorção sobre as medidas de localização central (não apenas da média) por apresentarem valores muito diferentes dos restantes. A estes, designamos por discrepâncias (em Inglês, outliers) Exemplo: Considere uma empresa que os seus funcionários com a seguinte folha de pagamentos (valores anuais): Perfil 1 2 3 4 5 Função Secretária Programador Programador Comercial Diretor Valor anual (euros) 12000 16000 14000 14000 150000 A média de vencimentos é 41200 euros, um valor claramente superior ao vencimento de quatro dos cinco funcionários. Como resultado, dizemos que a média é distorcida, pois devido há existência de um valor anormalmente elevado, a média não corresponde à maioria dos valores reportados: neste caso, tanto o valor da mediana como o da moda é 14000 euros Para refletir… A interpretação de qualquer valor estatístico deve utilizar de bom senso e da máxima cautela para entender de forma aprofundada o que é mesmo pretendido e como pode ser utilizada a medida, tendo em consideração o tipo e o conjunto de dados observado Exemplo: Considere o preço médio da habitação (metro quadrado). É necessário tomar o seu valor com cautela, porque pode estar distorcido pela existência de casos em que as vendas foram de valor muito superior (casos de casas de luxo ou muito bem localizadas e com extras) ou menores (casas a necessitar de muitas obras ou em locais com problemas). Assim, os preços individuais podem ser menores ou maiores (normalmente é mais comum…) que o preço médio poderia sugerir. O preço médio das casas é o conceito comunicado, mas trata-se da média de preços de vendas de casas (metro quadrado), o que não é bem a mesma coisa…
  5. 5. Textos: conceitos básicos para a interpretação de informação, v. 1 – Fev 2014 Luis Borges Gouveia (lmbg@ufp.edu.pt) Podem as medidas serem valores não observados? O cálculo do elemento médio da mediana, para listas de elementos com número par de ocorrências tem de ter em linha de conta, um aspeto adicional No caso da mediana, se a lista de elementos não for impar, é necessário obter o elemento médio. Exemplo: Considere-se uma lista par de elementos que constituem as observações das notas de 6 alunos: 12, 15, 16, 13, 14, 12. O primeiro passo é ordenar os valores: 12, 12, 13, 14, 15, 16 e tomar as posições do centro: se fossem 5 elementos, seria a 3ª posição, sendo seis elementos, temos de tomar o 3º e o 4º elemento: neste caso 13 e 14 e tomar a sua média como ponto central: 13,5, a que corresponde a mediana da lista de notas apresentadas. Neste caso a moda é 12 e a média 13,67. Podemos assim dizer que para metade dos alunos, o resultado obtido foi de, pelo menos, 13,5 valores; que a média das notas foi 13,67; e que o resultado mais comum foi 12 valores.

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