Colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial

1. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación A. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑦) = 0 no lineal, de primer orden B. y′′ + y′+ y = 0. Lineal de segundo orden C. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑦 = 𝑒 𝑥 lineal de segundo orden D. (2𝑦 + 1) 𝑑𝑥 + ( 𝑦2 𝑥 − 𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 primer orden, no lineal E. 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 lineal de primer orden F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦2 + 𝑦 𝑥 − 1 𝑥2 = 0 𝑦 = 1 𝑥 𝑦1 = − 1 𝑥2 Sustituyo − 1 𝑥2 + ( 1 𝑥 ) + ( 1 𝑥 ) 𝑥 − 1 𝑥2 = 0 − 1 𝑥2 + 1 𝑥2 + 1 𝑥2 − 1 𝑥2 = 0 0 = 0 Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables: A. Solucione porseparaciónde variables 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫−2𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 2 = − 2𝑥2 2 + 𝑐 𝑦2 = −2𝑥2 + 𝑐 Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala B. Determine si esexacta,si loesresuélvala 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦2 − 2𝑥 = 0 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = (2𝑥 − 𝑦2)𝑑𝑥 ( 𝑦2 − 2𝑥) 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0

2. 𝜕𝑚 𝜕𝑦 = 2𝑦 𝜕𝑛 𝜕𝑥 = 2𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝜕𝑚 𝜕𝑦 = 𝜕𝑛 𝜕𝑥 Por tanto Si es exacta, entonces ∫( 𝑦2 − 2𝑥) 𝑑𝑥 𝑥𝑦2 − 𝑥2 + ℎ( 𝑦) 𝜕 𝜕𝑦 [ 𝑥𝑦2 − 𝑥2 + ℎ( 𝑦)] 2𝑥𝑦 + ℎ′( 𝑦) = 2𝑥𝑦 ℎ′( 𝑦) = 0, ℎ( 𝑦) = 𝑐 𝑥𝑦2 − 𝑥2 = 𝑐 Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante: C. (3𝑥𝑦 + 𝑦2) 𝑑𝑥 + ( 𝑥2 + 𝑥𝑦) 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑚 𝜕𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 𝜕𝑛 𝜕𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 𝑚 𝑦 − 𝑚 𝑥 𝑛 = 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑦 − 𝑦 𝑥2 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑥(𝑥 + 𝑦) = 1 𝑥 𝜇( 𝑥) = 𝑒∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥) (3𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦2) 𝑑𝑥 + ( 𝑥3 + 𝑦𝑥2) 𝑑𝑦 = 0 𝜕𝑚 𝜕𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝜕𝑛 𝜕𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 ∫(3𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦2) 𝑑𝑥 𝑥3 𝑦 + 𝑥2 2 𝑦2 + ℎ( 𝑦) 𝜕 𝜕𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 𝑦 + ℎ′( 𝑦) 𝑥3+𝑥2 𝑦+ ℎ′( 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦𝑥2 ℎ′( 𝑦) = 0 ℎ( 𝑦) = 𝑐 𝑥3 𝑦 + 𝑥2 2 𝑦2 = 𝑐

3. D. Resuelvalaecuación 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 + 𝑥 𝑦 𝑉 = 𝑦 𝑥 𝑥𝑉 = 𝑦 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Sustituyo 𝑣 + 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑣 + 𝑣−1 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 𝑣 ∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣2 2 = 𝐿𝑛| 𝑥| + 𝑐 𝑣2 = 2𝐿𝑛| 𝑥| + 𝑐 ( 𝑦 𝑥 ) = 2𝐿𝑛𝑥 + 𝑐 𝑦 = 2𝑥𝐿𝑛𝑥+ 𝑐𝑥 E. Resuelvalaecuación √ 𝑦𝑥4 + 𝑦′ = 0 𝑦(1) = 1 ( 𝑦𝑥) 1 4 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑦 1 4 𝑥 1 4 𝑑𝑦 𝑦 1 4 = −𝑥 1 4 𝑑𝑥 ∫ 𝑦 −1 4 𝑑𝑦 = ∫ −𝑥 1 4 𝑑𝑥 4 3 𝑦 3 4 = − 4 5 𝑥 5 4 + c 𝑦 3 4 = − 3 5 𝑥 5 4 + 𝑐 𝑜 = 𝑐 𝑦 3 4 = − 3 5 (1) 5 4 𝑦(1) 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙.

4. Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3 . Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3 /s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3 /s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días). Los datosconocidosde losejerciciossonlossiguientes: 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 10000 𝑚3 𝑠 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000 𝑚3 𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2 𝑚3 𝑠 8000 𝑚3 𝑠 = 0.00025 = 0.025% 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 ( 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒) = 6000 ∗ 106 𝑚3 𝑠 Esquema: Este ejercicioes unmodelode ejerciciodelcasode mezclasque tiene algunasconsideraciones importantesparatenerencuenta: Durante el día solose va a presentarentradadel contaminante en4horas luegoesoimplicaría tenerecuacionesque trabajaranporintervaloslo cual seríamás complicado.Parasolventareste problemavamosa considerarunaentradapromediopordía del contaminante así: 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2 𝑚3 𝑠 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 = 2 𝑚3 𝑠 ∗ 60 𝑠 1 𝑚𝑖𝑛 ∗ 60 𝑚𝑖𝑛 1 ℎ ∗ 4 ℎ = 28.800 𝑚3

5. 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 28800 𝑚3 𝑑𝑖𝑎 1. El volumendel lagose mantieneconstante yaque loscaudalesde entradaysalidason iguales. 2. 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000 𝑚3 𝑠 ∗ 60 𝑠 1 𝑚𝑖𝑛 ∗ 60 𝑚𝑖𝑛 1 ℎ ∗ 24 ℎ 1 𝑑𝑖𝑎 = 691200000 𝑚3 𝑑𝑖𝑎 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 ( 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒) = 6000 ∗ 106 𝑚3 𝑠 Luegode presentarlasanterioresconsideracionesvamosaplantearlaecuaciónque relacionala cantidadde contaminante enel tiempo.estase representapor: 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑄𝑖 − 𝑄 𝑜 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑉𝑖 − 𝑉𝑜 Ahoravamos a reemplazar 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 28800 − 691200000 ∗ 𝑄( 𝑡) 6000 ∗ 106 Simplificando: 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 28800 − 0.1152𝑄( 𝑡) 𝑑𝑄 𝑑𝑡 + 0.1152𝑄( 𝑡) = 28800 𝜇 = 𝑒∫0.1152𝑑𝑡 = 𝑒0.1152𝑡 𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑑𝑄 𝑑𝑡 + 𝑒0.1152𝑡 ∗ 0.1152𝑄( 𝑡) = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800 𝑑 𝑑𝑡 (𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡)) = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800 ∫ 𝑑 (𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡)) = ∫( 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800) 𝑑𝑡 𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡) = 28800 ∫ 𝑒0.1152𝑡 𝑑𝑡 𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡) = 28800 0.1152 𝑒0.1152 + 𝐶

6. 𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡) = 250000𝑒0.1152𝑡 + 𝐶 𝑄( 𝑡) = 250000𝑒0.1152𝑡 + 𝐶 𝑒0.1152𝑡 𝑄( 𝑡) = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152𝑡 Tenemoslacantidadde contamiente enel lago.Ahorasustituimoslascondicionesiniciales: 𝑄(0) = 0 0 = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152(0) 0 = 250000 + 𝐶 𝐶 = −250000 𝑄( 𝑡) = 250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡 Con estaecuaciónse puede hallarunaexpresiónparadeterminarlaconcentraciónde contaminante enel lago 𝐶( 𝑡) = 𝑄( 𝑡) 𝑉( 𝑡) = 250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡 6000 ∗ 106 Entonces: 𝑡 = 1 𝑑í𝑎 𝐶(1) = 250000 − 250000𝑒−0.1152(1) 6000 ∗ 106 = 0.00000453 = 0.000453% 𝑡 = 30 𝑑í𝑎 𝐶(30) = 250000 − 250000𝑒−0.1152(30) 6000 ∗ 106 = 0.0000403 = 0.00403% 𝑡 = 365 𝑑í𝑎 𝐶(365) = 250000 − 250000𝑒−0.1152(365) 6000 ∗ 106 = 0.0000416 = 0.00416%

Colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial

Colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial

Colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados(20)

Destaque

Destaque(20)

Similar a Colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial

Similar a Colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial(20)

Colaborativo 1 2015-1 ecuacion diferencial