Power and Roots of COmplex Numbers Potencias y Raíces de Númerps Complejos

3. Objetivo
Que el estudiante convierta números complejos de la forma
binómica a la forma trigonométrica y aplique el Teorema de De
Möivre para elevar un número complejo a una potencia y/o
obtenga la raíz cuadrada, cúbica, o de cualquier otro índice.

4. Introducción
Al igual que ocurre con los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, existen
algoritmos para efectuar operaciones. En esta presentación se explican, paso a paso, los algoritmos
necesarios para convertir un número complejo de la forma binómica a la forma trigonométrica y,
posteriormente, aplicar el Teorema De Möivre para obtener potencias y raíces de dichos números.
Tablilla egipcia que muestra el uso de algunos
números empleados por esta civilización.
Es notable lo mucho que ha avanzado la
matemática desde esa época hasta nuestros
días.
Los números complejos son, sencillamente,
un producto intelectual más avanzado que
esta numeración, pero que responde a la
misma necesidad: resolver problemas.

5. Introducción
Este sencillo problema geométrico conduce a la ecuación de segundo grado: 𝟔𝒙 𝟐
− 𝟒𝟑𝒙 + 𝟖𝟒 = 𝟎.
Utiliza la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado y te encontrarás con los
números complejos.
Podríamos suponer que los números se desarrollaron conforme al
orden lógico con el que se enseñan en la escuela: primero los
naturales, enteros, racionales, irracionales, luego reales y finalmente
los complejos. Sin embargo, los números complejos eran conocidos de
los griegos desde el siglo III d. C. En esta época Diofanto de Alejandría
se encontró con los números imaginarios al tratar de resolver un
problema geométrico:
“Determinar las medidas de los lados de un triángulo rectángulo cuyo
perímetro es de 12 unidades y su área es de 7 unidades al cuadrado.”

6. Contenido 6
Esta presentación aborda los siguientes tres temas
Forma trigonométrica
Conversión entre la forma
binómica y trigonométrica
de un número complejo.
Potencias
Elevar un número
complejo a una potencia
empleando el Teorema de
De Möivre
Raíces
Obtener las raíces
cuadradas, cúbicas o de
cualquier otro índice, de
un número complejo
mediante el Teorema de
Möivre

7. Forma Trigonométrica
Conversión de un número complejo de la forma binómica 𝒂 + 𝒃𝒊
a la trigonométrica 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽) mediante la
interpretación vectorial de dicho número complejo.

8. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica 8
Para elevar un número complejo a una potencia, o extraer
raíces cuadradas, se emplea el Teorema de Möivre, el cuál
requiere que el número esté expresado en forma
trigonométrica.

9. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica 9

10. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica 10
Para comprender mejor
el proceso que nos
permite convertir la
expresión de un
número complejo de la
forma binómica a la
forma trigonométrica
debemos recordar el
plano complejo.

11. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica 11
En el diagrama se observa que el valor de r es la magnitud del vector r
que se obtiene mediante el teorema de Pitágoras, y el valor de q
Puede calcularse mediante la inversa de la tangente llamada arctan.

12. Conversión de la forma binómica a la forma trigonométrica 12
Son dos fórmulas muy sencillas para obtener los valores de r y q
a partir de a y b.

13. Ejemplo 13
Recuerda las fórmulas para obtener los valores de r y q a partir
de a y b.
Expresar el siguiente número complejo en forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂

14. Ejemplo 14
Sustituyendo en las fórmulas los valores de a y b para obtener r
Expresar el siguiente número
complejo en forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2
𝒓 = 𝟐𝟖2 + 𝟒𝟓2
𝒓 = 𝟕𝟖𝟒 + 𝟐𝟎𝟐𝟓
𝒓 = 𝟐𝟖𝟎𝟗
𝒓 = 53

15. Ejemplo 15
Sustituyendo en las fórmulas los valores de a y b para obtener q .
Expresar el siguiente número
complejo en forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝟒𝟓
𝟐𝟖
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏. 𝟔𝟎𝟕
𝜽 = 𝟏. 𝟎𝟏𝟒

16. Ejemplo 16
Expresar el siguiente número
complejo en forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
Con los valores de r y q escribimos el número complejo 𝒛 en
forma trigonométrica.
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)

17. Ejemplo 17
Expresar el siguiente número
complejo en forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
Se obtiene seno y coseno del ángulo obtenido:
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)
𝒛 = 𝟓𝟑 𝟎. 𝟓𝟐𝟖𝟐𝟗 + 𝟎. 𝟖𝟒𝟗𝟎𝟓𝒊

18. Ejemplo 18
Es el mismo número complejo escrito de dos formas:
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊Forma binómica:
Forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟓𝟑 𝟎. 𝟓𝟐𝟖𝟐𝟗 + 𝟎. 𝟖𝟒𝟗𝟎𝟓𝒊

19. Potencia de un número complejo
Aunque es posible elevar un número complejo en forma binómica
𝒂 + 𝒃𝒊, a cualquier potencia; elevarlo en forma trigonométrica
𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽) resulta mucho más sencillo.

20. Potencia de un número complejo: 20
Para elevar un número complejo a una potencia se aplica el Teorema de:
De Möivre

21. Ejemplo 21
Previamente ha sido convertido a la forma trigonométrica:
Elevar al cuadrado el número complejo:
𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)
𝒛 = 𝟓𝟑 𝟎. 𝟓𝟐𝟖𝟐𝟗 + 𝟎. 𝟖𝟒𝟗𝟎𝟓𝒊

22. Ejemplo 22
Sustituyendo en la fórmula de De Möivre
𝒛 = 𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝟏. 𝟎𝟏𝟒) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟎𝟏𝟒)

23. Ejemplo 23
Solución al elevar al cuadrado el número complejo: 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊

24. Ejemplo 24
Solución al elevar al cuadrado el número complejo: 𝒛 = 𝟐𝟖 + 𝟒𝟓𝒊

25. Análisis de la información 25
Puede parecer muy complicado convertir
primero a la forma trigonométrica y
luego aplicar el teorema de De Möivre,
sin embargo, este método muestra su
utilidad cuando se eleva a potencias
grandes.

26. Ejemplo 26
Debemos calcular:
Elevar a la décima potencia el número complejo:
𝒛 = 𝟏 − 𝒊
𝒛 𝟏𝟎
= 𝟏 − 𝒊 𝟏𝟎

27. Ejemplo 27
Debemos calcular:
𝒛 𝟏𝟎
= 𝟏 − 𝒊 𝟏𝟎
Podríamos utilizar el Triángulo de Pascal o el Binomio de Newton
para elevar, algebraicamente, el número complejo Z, a la décima
potencia. Sin embargo, es mucho más sencillo aplicar el Teorema
de De Möivre, como se describe en las siguientes diapositivas.

28. Ejemplo 28
El primer paso será convertir a la forma trigonométrica mediante
las fórmulas:
Elevar a la décima potencia el número complejo:
𝒛 = 𝟏 − 𝒊
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂

29. Ejemplo 29
Los valores de a y b son:
Convertir a la forma trigonométrica el número complejo: 𝒛 = 𝟏 − 𝒊
𝒓 = 𝒂2 + 𝒃2 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
𝒃
𝒂
𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟏
𝒓 = (𝟏)2+(−𝟏)2
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
−𝟏
𝟏

30. Ejemplo 30
Los valores de a y b son:
Convertir a la forma trigonométrica el número complejo: 𝒛 = 𝟏 − 𝒊
𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟏
𝒓 = (𝟏)2+(−𝟏)2
𝒓 = 𝟏 + 𝟏
𝒓 = 𝟐
𝒓 = 1.4142
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
−𝟏
𝟏
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(−𝟏)
𝜽 = −𝟎. 𝟕𝟖𝟓𝟑

31. Ejemplo 31
Expresar el siguiente número
complejo en forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟏 − 𝒊
Con los valores de r = 1.4142 y q = -0.7853 escribimos el número
complejo 𝒛 en forma trigonométrica.
𝒛 = 𝟏. 𝟒𝟏𝟒𝟐 𝒄𝒐𝒔(−𝟎. 𝟕𝟖𝟓𝟑) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(−𝟎. 𝟕𝟖𝟓𝟑)

32. Ejemplo 32
Ahora podemos elevar a la décima potencia el número complejo: 𝒛 = 𝟏 − 𝒊

33. Raíz enésima de un número complejo
El mismo método empleado para elevar un número complejo en
forma trigonométrica 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽) a cualquier potencia,
se emplea para obtener la raíz de cualquier índice.

34. Raíz enésima de un número complejo. 34
Para obtener la raíz de cualquier índice (cuadrada, cúbica, etc.) de un
número complejo se aplica el Teorema de:
De Möivre

35. Ejemplo 35
Debemos calcular:
Obtener la raíz cúbica del número complejo:
𝒛 = 𝟐 + 𝒊
𝟑
𝟐 + 𝒊

36. Ejemplo 36
Debemos calcular:
Obtener la raíz cúbica del número complejo:
𝒛 = 𝟐 + 𝒊
𝟑
𝟐 + 𝒊
𝒂 = 𝟐
𝒃 = 𝟏

37. Ejemplo 37
Los valores de a y b son:
Para aplicar el Teorema de De Möivre, primero debemos
expresar el número complejo en forma trigonométrica: 𝒛 = 𝟐 + 𝒊
𝒂 = 𝟐 𝒃 = +𝟏
𝒓 = (𝟐)2+(+𝟏)2
𝒓 = 𝟒 + 𝟏
𝒓 = 𝟓
𝒓 = 2.2361
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
+𝟏
𝟐
𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝟎. 𝟓)
𝜽 = 𝟎. 𝟒𝟔𝟑𝟔

38. Ejemplo 38
Expresar el siguiente número
complejo en forma trigonométrica:
𝒛 = 𝟐 + 𝒊
Con los valores de r = 2.2361 y q = 0.4636 escribimos el número
complejo 𝒛 en forma trigonométrica.
𝒛 = 𝟐. 𝟐𝟑𝟔𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟎. 𝟒𝟔𝟑𝟔) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟎. 𝟒𝟔𝟑𝟔)

39. Ejemplo 39
Ahora podemos obtener las raíces cúbicas del número complejo: 𝒛 = 𝟐 + 𝒊

40. Ejemplo 40
La primera raíz cúbica de:

41. Ejemplo 41
La segunda raíz cúbica de:

42. Ejemplo 42
La tercera raíz cúbica de:

43. Gracias por su atención
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