1. Vectores
Luis Fernando Aguas

2. DEFINICIÓN DE VECTORES:
Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud
vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que
cabe distinguir:
Un origen o punto de aplicación: A.
Un extremo: B.
Una dirección: la de la recta que lo contiene.
Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

3. Origen:
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto donde
comienza del vector.
Módulo: Es la longitud del vector, se expresa como un valor numérico.
Dirección: Recta sobre la que se apoya el vector. Esta inclinación se
mide a través del ángulo menor que forma el vector con el eje OX ó un
eje paralelo a éste.
Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo
del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el
vector.

4. El sistema de referencia de los vectores, estará formado por un origen y tres
ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición
de un punto cualquiera con exactitud, este sistema es conocido como el
Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas
cartesianas, usaremos tres vectores unitarios unidimensionales, esto es,
tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada
uno de los ejes del sistema de referencia.

5. • Magnitudes Escalares
Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las
medidas quedan correctamente expresadas por medio de un
número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las
siguientes magnitudes, entre otras:
Masa
Temperatura
Presión
Densidad

6. • Magnitudes vectoriales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas
precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de
aplicación.
La fuerza o la velocidad son ejemplos de magnitudes vectoriales, ya que
no quedan bien determinadas con un valor numérico solo.
• Vectores iguales
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma
dirección.
• Vector libre
Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El
vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

7. Vectores en 2 Dimensiones
• Repaso de Vectores
Vuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.

8. Fig 7.1 (Vectores geométricos)

9. Fig 7.2 (Vectors equivalentes)

10. Fig 7.3 (Vectores paralelos)

11. Fig 7.4 (suma)

12. Fig 7.5 (resta)

13. Fig 7.6 (vectores de posición)

14. Ejemplo 1
• Observe la Fig 7.7.
Fig 7.7

15. DEFINICIÓN 7.1
Suma, Producto por un Escalar, Igualdad
Sea a = <a1, a2>, b = <b1, b2> vectores en R2
(i) Suma: a + b = <a1 + a2, b1 + b2> (1)
(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>,
k es un escalar (2)
(iii)Igualdad: a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2 (3)
a – b = <a1− b1, a2 − b2> (4)
   
P P2 = OP2 − OP = < x2 − x1 , y2 − y1 >
1 1

16. Solución Gráfica
• Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y
resta de dos vectores.

17. Ejemplo 2
Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a +
3b.
Solución
Usando (1), (2), (4), tenemos
a + b = < 1 + (−6), 4 + 3 >=< −5, 7 >
a − b = < 1 − ( −6), 4 − 3 >=< 7, 1 >
2a + 3b = < 2, 8 > + < −18, 9 >=< −16, 17 >

18. Propiedades
• (i) a + b = b + a
(ii) a + (b + c) = (a + b) + c
(iii) a + 0 = a
(iv) a + (−a) = 0
(v) k(a + b) = ka + kb k escalar
(vi) (k1 + k2)a = k1a + k2a k1, k2 escalares
(vii) k1(k2a) = (k1k2)a k1, k2 escalares
(viii) 1a = a
(ix) 0a = 0 = <0, 0>
• 0 = <0, 0>

19. Longitud, Norma
• a = <a1 , a2>, entonces || a || = a12 + a2
2
Naturalmente, tenemos ||a|| ≥ 0, ||0|| = 0

20. Vector Unitaros
• Un vector cuya norma vale 1 se denomina
vector unitario.
u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto
que
1 1
|| u || = a = || a ||= 1
|| a || || a ||

21. Ejemplo 3
• Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la
misma dirección u es
1 1 2 −1
u= a= < 2, − 1 >= ,
5 5 5 5
y
2 1
−u = − ,
5 5

22. Los vectores i, j
• Si a = <a1, a2>, entonces
< a1 , a2 >
= < a1 , 0 > + < 0, a2 > = a1 < 1, 0 > + a2 < 0, 1 > (5)
Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>, entonces (5) se
transforma en
a = a1i + a2j (6)

23. Fig 7.10

24. Ejemplo 4
• (i) <4, 7> = 4i + 7j
(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j
(iii) || i + j || = 2
(iv) 10(3i – j) = 30i – 10j
(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos
y b = (3/2)a

25. Ejemplo 5
Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b
Solución
Fig 7.11

26. • Un avión vuela a 40 m/s , Este
y es empujado al norte por un
VR viento que sopla a 30 m/s,
VV Norte
• a) Haz el diagrama
VH • b) Determina la velocidad
resultante.
• Usando el Teorema de Pitágoras:
• c2=a2+b2
• VR2= VH2+VV2  VH2= 40m/s, VV2=30m/s
• = (40m/s)2 + (30m/s)2 = 2500 m2/s2
• VR = 50 m/s rapidez (magnitud)
• ¿Cómo obtenemos la velocidad? θ =Tan-1 (VV/VH) =
θ= Tan-1[(30m/s)/(40m/s)] =37° VR = 50 m/s, 37°

27. Problemas de aplicación de
vectores
• Suma los siguientes vectores
20 m
15 m
25 m

28. Solución
• Dibujando a escala:
Componente en Componente en
X y
20m cos 45º = 20m sen 45º =
14.14 m 14.14 m
25m cos 300º = 25m sen 300º =
12.50 m -21.65 m
15m cos 210º = 15m sen 210º =
-12.99 m -7.50 m
Dr=20.2 m , 312 º 13.65 m -15.01 m

29. 7.2 Vectores en 3 Dimensiones
• Repaso
Vualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24.
• Fig 7.22

30. Fig 7.23

31. Fig 7.24

32. Ejemplo 1
Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).
Solución
Fig 7.25.

33. Formula de Distancia
d ( P , P2 ) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 (1)
1
• Fig 7.26

34. Ejemplo 2
Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
2 2 2
d = (2 − (−1)) + (−3 − (−7)) + (6 − 4) = 29

35. Formula del Punto Medio
 x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 
  (2)
 2 2 2 

36. Ejemplo 2
Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4)
Solución
De (2), tenemos
 2 + (−1) , − 3 + (−7) , 6 + 4  =  1 , − 5, 5 
   
 2 2 2  2 

37. Vectores en 3 Dimensiones
a =< a1, a2 , a3 >
• Fig 7.27.

38. DEFINICIÓN 7.2
Definiciones en 3 Dimensiones
Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3
(i) a + b = <a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3>
(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>
(iii) a = b si y sólo si a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
(iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>
(v) a – b = <a1 − b1, a2 − b2, a3 − b3>
(vi) 0 = <0, 02, 0> 2 2
|| a || = a1 + a2 + a3
(vi)

39. Fig 7.28

40. Ejemplo 4
Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)
Solución
P P2 = OP2 − OP
1 1
= < 1 − 4, 8 − 6, 3 − (−2) >
=< −3, 2, 5 >

41. Ejemplo 5
• De la Definición 7.2, tenemos
2 2 2
 − 2  +  3  +  6  = 4 + 9 + 36 = 1
|| a ||=      
 7 7 7 49

42. Los vectores i, j, k
• i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>
< a1 , a2 , a3 >
= < a1 , 0, 0 > + < 0, a2 , 0 > + < 0, 0, a3 >
= a1 < 1, 0, 0 > + a2 < 0, 1, 0 > + a3 < 0, 0, 1 >
a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j + a3j

43. Fig 7.29

44. Ejemplo 6
a = <7, −5, 13> = 7i − 5j + 13j
Ejemplo 7
(a) a = 5i + 3k está en el plano xz
(b) || 5i + 3k || = 52 + 32 = 34
Ejemplo 8
Si a = 3i − 4j + 8k, b = i − 4k, hallar 5a − 2b
Solución
5a − 2b = 13i − 20j + 48k

45. 7.3 Producto Escalar
DEFINICIÓN 7.3
Producto Escalar de Dos Vectores
El producto escalar de a y b es el escalar
a．b = || a || || b || cos θ (1)
donde θ es el ángulo que forman los vectores 0 ≤ θ ≤ π.

46. Fig 7.32

47. Ejemplo 1
• De (1) obtenemos
i ⋅ i = 1, j ⋅ j = 1, k ⋅ k = 1 (2)

48. Producto Escalar en Forma de Componentes
|| c ||2 =|| b ||2 + || a ||2 −2 || a || || b || cosθ
|| a || || b || cosθ = 1 / 2(|| b ||2 + || a ||2 − || c ||2 (3)
a．b = a1b1 + a2b2 + a3b3 (4)
• Fig 7.33

49. Fig 7.33

50. Ejemplo 2
• Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k,
entonces
 − 1  + (2)(4) + (−6)(−3) = 21
a．b = (10) 
 2

51. Propiedades
• (i) a ⋅ b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0
(ii) a ⋅ b = b ⋅ a
(iii) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
(iv) a ⋅ (kb) = (ka) ⋅ b = k(a ⋅ b)
(v) a ⋅ a ≥ 0
(vi) a ⋅ a = ||a||2

52. Orthogonal Vectors
• (i) a ⋅ b > 0 si y sólo si θ es agudo
(ii) a ⋅ b < 0 si y sólo si θ es obtuso
(iii) a ⋅ b = 0 si y sólo si cos θ = 0, θ = π/2
TEOREMA 7.1
Criterio de Vectores Ortogonales
Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si
a ⋅ b = 0.
• Observación: Como 0 ⋅ b = 0, decimos que el
vector nulo es ortogonal a todos los vectores.

53. Ejemplo 3
i, j, k son vectores ortogonales.
i ⋅ j = j ⋅ i = 0, j ⋅ k = k ⋅ j = 0, k ⋅ i = i ⋅ k = 0 (5)
Ejemplo 4
Si a = −3i − j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces
a ⋅ b = –6 – 14 + 20 = 0
Son ortogonales.

54. Ángulo que Forman Dos Vectores
a1b1 + a2b2 + a3b3
cos θ = (6)
|| a || || b ||

55. Ejemplo 5
Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k.
Solución
|| a || = 14, || b || = 27 , a．b = 14
14 42
cosθ = =
14 27 9
−1 
42 
θ = cos   ≈ 0.77
 9 
θ ≈ 44.9°

56. Cosenos Directores
Observando la Fig 7.34, los ángulos α, β, γ se llaman
ángulos directores. Ahora por (6)
a．i a．j a．k
cos α = , cos β = , cos γ =
|| a || || i || || a || || j || || a || || k ||
a1 a2 a3
cos α = , cos β = , cos γ =
|| a || || a || || a ||
decimos que cos α, cos β, cos γ son cosenos directores,
y
1 a1 a2 a3
a= i+ j+ k = (cosα )i + (cos β ) j + (cos γ )k
|| a || || a || || a || || a ||
cos2α + cos2β + cos2γ = 1

57. Fig 7.34

58. Ejemplo 6
Hallar los cosenos directores y los ángulos
directores de a = 2i + 5j + 4k.
Solución
|| a || = 22 + 52 + 42 = 45 = 3 5
2 5 4
cos α = , cos β , cos γ =
3 5 3 5 3 5

59. Componentes de a en b
• Como a = a1i + a2j + a3k, entonces
a1 = a．i, a2 = a．j, a3 = a．k (7)
Escribimos los componentes de a como
compia = a．i, comp ja = a．j, compk a = a．k (8)
Observe la Fig 7.35. El componente de a en
cualquier vector b es
compba = ||a|| cos θ (9)
escribiendo (9) como
|| a || || b || cos θ a．b
comp ba = =
|| b || || b ||
(10)
 1  a⋅b
= a． b =
 || b ||  b

60. Fig 7.35

61. Ejemplo 7
Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar compba y
compab.
Solución
De (10), a ⋅ b = −3
1 1
|| b || = 6, b= (i + j + 2k )
|| b || 6
1 3
compba = (2i + 3 j − 4k )． (i + j + 2k ) = −
6 6
1 1
|| a || = 29, a= (2i + 3 j − 4k )
|| a || 29
1 3
compbb = (i + j + 2k )． (2i + 3 j − 4k ) = −
29 29

62. Interpretación Física
• Observe la Fig 7.36. Si F produce un
desplazamiento d de un cuerpo, entonces el
trabajo realizado es
W=F⋅d (11)

63. Fig 7.36

64. Ejemplo 8
Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a
(4, 6), hallar el trabajo realizado por F.
Solución
d = 3i + 5j
W = F ⋅ d = 26 N-m

65. Proyección de a sobre b
• Observe la Fig 7.37. La proyección de a sobre i
es
proy i a = (compi a)i = (a ⋅ i )i = a1i
• Observe la Fig 7.38. La proyección de a sobre
b es
 1   a ⋅b 
proy b a = (compb a) b  = 
 b   b ⋅ b b (12)
  

66. Fig 7.37

67. Fig 7.38

68. Ejemplo 9
Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i +
3j.
Solucióna = (4i + j) ⋅ 1 (2i + 3j) = 11
compb
13 13
 11  1  22 33
proyb a =   (2i + 3 j) = i+ j
 13  13  13 13

69. Fig 7.39

70. 7.4 Cross Product
DEFINICIÓN 7.4
Producto Vectorial de Dos Vectores
El producto vectorial de dos vectores a y b es
(1)
a × b = (|| a || || b || sin θ )n
donde θ es el ángulo entre ellos, 0 ≤ θ ≤ π, y n
es un vector unitario perpendicular al plano de a y b
Con la dirección que viene dada por la regla de la
mano derecha.

71. Fig 7.46

72. Ejemplo 1
• Para entender el sentido físico del producto
vectorial, observe las Fig 7.37 y 7.48. El momento τ
producido por la fuerza F que actúa en la posición
final del vector r está dado por τ = r × F.
Fig 7.47 Fig 7.48

73. Propiedades
• (i) a × b = 0, if a = 0 or b = 0
(ii) a × b = −b × a
(iii) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(iv) (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
(v) a × (kb) = (ka) × b = k(a × b)
(vi) a × a = 0
(vii) a ⋅ (a × b) = 0
(viii) b ⋅ (a × b) = 0
TEOREMA 7.2
Criterio de Vectroes Paralelos
Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo si
si a × b = 0.

74. Ejemplo 2
• (a) De propiedades (iv)
i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0 (2)
(b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a,
entonces a y b son paralelos. Así a × b = 0
• Si a = i, b = j, entonces
i× j=  || i || || j || sin π  n = n
 (3)
 2
Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k.
Por lo que i× j=k

75. Ejemplo 3
• De Fig 7.49, tenemos
i× j = k   i × i = −k
 
j × k = i  y de la propiedad (ii)  k × j = −i
k×i = j   i × k = −j (4)
 

76. Fig 7.49

77. Alternative Definition
• Como
a × b = (a1i + a2 j + a3k ) × (b1i + b2 j + b3k )
= a1i × (b1i + b2 j + b3k ) + a2 j × (b1i + b2 j + b3k )
+ a3k × (b1i + b2 j + b3k )
= a1b1 (i × i ) + a1b2 (i × j) + a1b3 (i × k ) (5)
+ a2b1 ( j × i ) + a2b2 ( j × j) + a2b3 ( j × k )
+ a3b1 (k × i ) + a3b2 (k × j) + a3b3 (k × k )
tenemos
a × b = (a2b3 − a3b2 )i − (a1b3 − a3b1 ) j + (a1b2 − a2b1 )k (6)

78. También podemos escribir (6) como
a2 a3 a1 a3 a1 a2
a×b = i− j+ k (7)
b2 b3 b1 b3 b1 b2
Por otro lado, (7) se transforma en
i j k
a × b = a1 a2 a3
(8)
b1 b2 b3

79. Ejemplo 4
Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a × b.
Solución
De (8), tenemos
i j k
a×b = 4 − 2 5
3 1 −1
−2 5 4 5 4 −2
= i− j+ k
1 −1 3 −1 3 1

80. Productos Especiales
• Tenemos
a1 a2 a3
a．(b × c) = b1 b2 b3 (9)
c1 c2 c3
se denomina el producto mixto. Los
resultados siguientes se dejan como ejercicio.
a × (b × c) = (a．c)b − (a．b)c (10)

81. Area y Volumen
• Area de un paralelograma
A = || a × b|| (11)
Area de un triángulo
A = ½||a × b|| (12)
Volumen del paralelepípedo
V = |a ⋅ (b × c)| (13)
Fig 7.50 y Fig 7.51

82. Fig 7.50

83. Fig 7.51

84. Ejemplo 5
Hallar el area del triángulo definido por los puntos
(1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1).
Solución
Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos
vectores a = <1, 2, 3>, b = <2, –1, –2>
i j k
2 3 1 3 1 2
P P2 × P2 P3 = 1
1 2 3 = i− j+ k
−3 −5 1 −5 1 −3
1 −3 −5
= −i + 8 j − 5k
1 3
A = || −i + 8 j − 5k || = 10
2 2

85. Vectores Coplanarios
a ⋅ (b × c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.

86. 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones
• Rectas: Ecuación Vectorial
Fig 7.55. Hallamos que r2 – r1 es paralelo a r – r2,
entonces r – r2 = t(r2 – r1) (1)
Si escribimos
a = r2 – r1 = <x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1>
= <a1, a2, a3> (2)
luego (1) implica que una ecuación vectorial para
la recta es
r = r2 + ta
donde a se llama vector director.

87. Fig 7.55

88. Ejemplo 1
Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por
(2, –1, 8) y (5, 6, –3).
Solución
Definimos a = <2 – 5, –1 – 6, 8 – (– 3)> = <–3, –7, 11>.
Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones
vectoriales de la recta:
< x, y, z > = < 2, − 1, 8 > + t < −3, − 7, 11 > (3)
< x, y, z > = < 5, 6, − 3 > + t < −3, − 7, 11 > (4)
< x, y, z > = < 5, 6, − 3 > + t < 3, 7, − 11 > (5)

89. Ecuación Paramétrica
• También podemos escribir (2) como
x = x2 + a1t , y = y2 + a2t , z = z2 + a3t (6)
las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones
paramétricas .

90. Ejemplo 2
Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del
Ejemplo 1.
Solución
De (3), se tiene
x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = 8 + 11t (7)
De (5),
x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t (8)

91. Ejemplo 3
Determinar un vector a que sea paralelo a la
recta:
x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3t
Solución
a = 9i + 5j – 3k

92. Ecuación continua
• De (6)
x − x2 y − y2 z − z2
t= = =
a1 a2 a3
siendo ai son no nulos. Entonces
x − x2 y − y2 z − z2
= = (9)
a1 a2 a3
se dice que es una ecuación continua.

93. Ejemplo 4
Determinar la ecuación continua para la recta
que pasa por
(4, 10, −6) y (7, 9, 2)
Solución
Definimos a1 = 7 – 4 = 3, a2 = 9 – 10 = –1, a3
= 2 – (–6) = 8, luego
x−7 y −9 z −2
= =
3 −1 8

94. Ejemplo 5
Determinar la ecuación continua para la recta
que pasa por
(5, 3, 1) y (2, 1, 1)
Solución
Definimos a1 = 5 – 2 = 3, a2 = 3 – 1 = 2, a3
= 1 – 1 = 0,
luego x−5 y −3
= , z =1
3 2

95. Fig 7.56

96. Ejemplo 6
Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y
continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es
paralela a a = 5i – 10j + 2k.
Solución
Ec. Vectorial: <x, y, z> = < 4, 6, –3> + t(5, –10, 2)
Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 +
2t,
x−4 y−6 z+3
= =
Ec. Continua: 5 − 10 2

97. Planos: Ecuación Vectorial
• Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector
normal a un plano. Cualquier vector del plano
debe ser perpendicular al vector normal, esto
es
n ⋅ (r – r1) = 0 (10)

98. Fig 7.57