explicación básica de las tablas de la verdad y su aplicación a proposiciones y algunos ejercicios

1. CALCULO PROPOSICIONAL
Simbolización de proposiciones.
Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un
nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas.
Una proposición se denomina simple cuando en ella no interviene ninguna
conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si...entonces..., si y sólo si).
Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace,
se forma una proposición compuesta.
Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se
usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se
agrega a una sola proposición.
Proposiciones simples o Atómicas.
Son aquellas que se pueden representar con una sola variable o
letra (No tiene Conectivos).
Ejemplos:
a) p : Pamela tiene 20 años.
b) q : 5 x 6 = 30
c) r : El mundial de futbol es en Sudáfrica.
Proposiciones Compuestas o Moleculares
Son aquellas que están constituidas por proposiciones simples
enlazadas entre si por conectivos lógicos. El valor de la verdad de una
proposición compuesta depende de los valores de la verdad de las
proposiciones que lo forman y de la manera como están unidas.

2. Conectivas lógicas
Conectiva Notación
Ejemplo
de uso
Análogo
natural
Ejemplo de uso en
el lenguaje natural
Negación no No está lloviendo.
Conjunción y
Está lloviendoy la
calle está mojada.
Disyunción o
Está lloviendoo la
calle está mojada.
Condicional
material
si...
entonces
Si está
lloviendo,entonces la
calle está mojada.
Bicondicional
si y sólo
si
Está lloviendosi y
sólo si la calle está
mojada.
Negación
conjunta
ni... ni
Ni está lloviendo ni la
calle está mojada.
Disyunción
excluyente
o bien...
o bien
O bien está
lloviendo, o bien la
calle está mojada.

3. Ejemplo:
Hoy es jueves
Hay clases de matemáticas
Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se
pueden construir proposiciones compuestas tales como:
Hoy es jueves y hay clases de matemáticas.
Hoy es jueves o hay clases de matemáticas.
Si hoy es jueves entonces hay clases de matemáticas.
Hoy no es jueves.
La forma de las proposiciones compuestas depende del término de
enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones
simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las
proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la
forma de la proposición compuesta se conserva.
Ejemplo:
Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.
Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden
colocarse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar
las proposiciones se utilizan letra latinas mayúsculas tales como P, Q, R,
etc. Por ejemplo, sea:
p: Hoy es jueves.
q: Hay clase de matemáticas.
Luego la proposición: Hoy es jueves y hay clase de matemáticas. Se
simboliza así:
p ^ q
En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o". Es tarde o
está muy oscuro. Otro giro de "o" es: O es tarde o está muy oscuro. En este

4. último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma
de la proposición es:
Es tarde = p
Está muy oscuro = q
p v q
En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso
indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener
distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se
presentan de acuerdo a la colocación de ciertas palabras o mediante la
puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis o
por su jerarquía
Ejemplos:
a) ~ p : No aprobé el curso de matemática.
b) P Λ q : Hoy es sábado y mañana es domingo.
c) P → q : Si 5 es primo, entonces 15 es número par
d) r Λ s : Carlos es ingeniero y Luis tiene 10 años
e) p Ѵ q : Ronaldo gano el partido o esta enfermo.
Símbolo Lenguaje natural
~ No
^ Y
v O
→ Si…entonces; implica
↔ Si y solo si

5. Nota: para armar una tabla de la verdad y estar
seguro que contamos con el número correcto de
posibilidades o combinaciones Cn, aplicamos la
siguiente formula cn = 2n
, donde n representa el
numero de variables y asi evitamos confusiones
Ejemplo:
Para 3 variables
2n
=23
=8

6. TABLAS DE LA VERDAD
Negación ( NO)
La negación es un operador que se ejecuta, sobre un
único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de
la proposición considerada.
Conjunción (Y)
La conjunción es un operador que opera sobre
dos valores de verdad, típicamente los valores de
verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de
verdad verdaderocuando ambas proposiciones son
verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es
verdadera cuando ambas son verdaderas
Disyunción (O)
La disyunción es un operador que opera sobre
dos valores de verdad, típicamente los valores de
verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de
verdad verdadero cuando una de las proposiciones es
verdadera, o cuando ambas lo son, y falsocuando
ambas son falsas.
Implicación o Condicional (Implica)
El condicional material es un operador que
opera sobre dos valores de verdad, típicamente los
valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el
valor de falso sólo cuando la primera proposición es
verdadera y la segunda falsa, y verdadero en
cualquier otro caso.
Equivalencia, doble implicación o Bicondicional
El bicondicional o doble implicación es un
operador que funciona sobre dos valores de verdad,

7. típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el
valor de verdadverdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo
valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad diferente.

8. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Los deseos son caballos, a condición de que los caballos no vuelan.
También, los mendigos no cabalgan, a condición de que los deseos no sean
caballos. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no
sean equinos, entonces los caballos vuelan. Si la imposibilidad de los
caballos para volar y la imposibilidad de los mendigos para cabalgar no
son alternativas, entonces los mendigos no son ricos. Pero los mendigos
cabalgan, ¿son ricos los mendigos?
El primer paso es convertir las frases resaltantes o las premisas
en variables tomándolas siempre como positivas o afirmativas, en
caso que aparesca de forma negativa se emplea en conector ( ~ )
Q W = los deseos son caballos
P Hf = los caballos vuelan
R brd = los mendigos cabalgan
S brch= los mendigos son ricos
Luego de asignar las variables, separamos la proposición en
oraciones y las representamos
1. Los deseos son caballos, a condición de que los caballos no vuelan.
La condición a cumplir es los caballos no vuelan por lo tanto toma el
~p→q
2. También, los mendigos no cabalgan, a condición de que los deseos
no sean caballos
~q→~r
3. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean
equinos, entonces los caballos vuelan

9. Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean
equinos
r^~q
entonces los caballos vuelan
→p
Si se da el caso de que los mendigos cabalgan y los deseos no sean
equinos, entonces los caballos vuelan
(r^~q )→p
4. Si la imposibilidad de los caballos para volar y la imposibilidad
de los mendigos para cabalgar no son alternativas
~(~p v ~r)
entonces los mendigos no son ricos
→~s
Si la imposibilidad de los caballos para volar y la imposibilidad
de los mendigos para cabalgar no son alternativas, entonces los
mendigos no son ricos
~(~p v ~r)→~s
5. Pero los mendigos cabalgan r

10. 2. Arma la tabla de la verdad para los siguientes ejercicios:
a) estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco.
p = estar seguro.
q = decir la verdad.
r = mentir como un bellaco
Cn=23=8
( p ˄ q ) ˅ r
cn p q r ( p ˄ q ) ( p ˄ q ) ˅ r
1 v v v v v
2 v v f v v
3 v f v f v
4 v f f f f
5 f v v f v
6 f v f f f
7 f f v f v
8 f f f f f

11. EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Escriba la Simbolización de los siguientes enunciados:
a) Las computadoras trabajan más rápido que los hombres.
b) No tengo un auto azul.
c) Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja.
d) Bailamos o tomamos café.
e) Si cantamos entonces necesitamos viajar.
f) Leeré este libro si solo si tiene pocas hojas.
g) No es cierto que si no tomamos café implica que no es de día.
h) La tierra gira alrededor del sol ó no se da que la luna es un planeta.
i) Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no
perdería el vuelo.
j) 10. Es falso que vivo en Loja, pero visitaré a mi familia en Cuenca.
k) No iremos al partido a menos que salga el sol.
l) Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la
vez.
II. Formaliza la siguiente inferencia:
Si Rosa participa en el municipio escolar entonces los estudiantes se
enojan con ella, y si no participa en el municipio escolar, los profesores se
enojan con ella. Pero, Rosa participa en el municipio escolar o no
participa. Por lo tanto, los estudiantes o los profesores se enojan con ella.
III Realice la tabla de verdad de las siguientes expresiones, indicando
si es una contradicción, una tautología o una proposición empírica.

12. 1. p ∧ q
2. (p ∧ q) ∧ r
3. ¬(p → ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)
4. (p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q)
5. p ∧ q ∧ r
6. ¬(p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)
7. ¬¬(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q)
8. p ∨ q ∧ r
9. ¬(¬p ∧ ¬q) ∧ (¬p ∧ ¬q)
10. p ∨ q ∧ ¬r
11. p ∧ q → r
12. p ∧ q → ¬r
13. p ↔ ¬ p
14. ¬ (p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)
15. ¬¬ p ∨ ¬¬ q
16. p ∨q
17. p ↔ q v r
18. [ (¬p ∨ q) v (p ∧ q)] →[ (¬p ∨ q) v ¬p ]
19. (p ∨ ¬q) → ( ¬p → ¬q)
20. (p ↔ ¬q) v (p ∨ ¬q)
21. (¬p ∧ q) ∨ (¬p → q)

13. 22. ¬q ∨ ¬p
23. (p → q ∧ r) ↔ ¬(¬q v r) v ¬r
24. (¬q ∧ r) → ¬(¬q v r) v ¬r
25. (p → q ) ∧ r Æ ¬(p v r) v ¬r
26. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ ¬r)
27. ¬p ↔ (q ∧ r) ∨ ¬(¬q v r)
28. [ (p v ¬ q) → (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p] v ¬p
29. [ ¬(p v q) v (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p]
30. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ r)
31. (p ∧ q → r) → (p v r )
60. (¬p v q → p ∧ r) ↔ ¬(¬q ∧ ¬r) ∧ r
61. (p v q) ↔ (¬p →¬q v r)
62. p v q → (p ↔ q)
63. ¬p v (¬q ∧ r) → (¬r↔ p)
64. (p → ¬q) ∧ (r v ¬p ↔ ¬r)
65. ((p v ¬r Æ ¬p) ∧ ¬(¬q Æ r) ↔ ¬r

14. 66. (p Æ q → r) → p ∧ r*
67. (p ↔ q ∧ ¬r ) ↔ ¬¬(¬q v ¬r) v(r v s)
68. (¬p ↔ q) ← (p v ¬p → ¬q v r)
69. (p v ¬q→ p ∧ r) ↔ [ ¬(¬q v ¬r) v (r→ ¬q) ]*
70. (p Æ q) ∧ (q Æ r) Æ(p Æ r)
71. (p ← q → p) → (q v r) ∧(¬q ∧ ¬r)
72. ¬(p ∧ ¬q → r) → ¬(q ↔ s v t) ∧ ¬(¬ p ∧ ¬ s)
73. ¬(p ∧ ¬q → r) → ¬(q ↔ ¬r v q) ∧ ¬(¬ p ∧ ¬ ¬¬p)
74. (¬q → r) v (¬r ∧ ¬p ↔ ¬¬r) →p ∧ ¬¬r
IV Descubra si las siguientes expresiones son EQUIVALENTES, es
decir, si tienen la misma tabla de verdad.

15. 1.- (p ↔ q) v (p → q)
(p v q) ∧ (¬p →¬q)
2.- p ∧ ¬q → ¬p
(p ↔ ¬q) v q
3.- ¬p v q ↔ p
p ∨ q
V. Si p es V y q es F, determínese el valor de verdad de las siguientes
fórmulas:
1.- ¬p ← q.
2.- ¬p v ¬p
3.- ¬¬p v ¬¬q
4.- ¬q → ¬p
5.- p →¬(p v¬q)

16. 6.- p v q →q
7.- ¬(¬q→p) v (¬p →q)
8.- (¬p v ¬q) ↔ (¬p v ¬q → p)
9.- (p → q) v ¬q → ¬p
10.- ¬¬¬p → ¬p
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Link de interés
https://www.youtube.com/watch?v=pwJK-4Op438