MATRIZES
DEFINIÇÃO E
REPRESENTAÇÃO
DEFINIÇÃO

A=

m linhas

nome

mxn
n colunas

tipo: m x n
DEFINIÇÃO

linha i

A=

mxn
coluna j

elemento aij
REPRESENTAÇÕES
Explícitas:

a b
A=
 c d




a b 
B=
c d



a b
C=
c d

Implícita: A = (aij)m x n, tal que <....
MATRIZES
ESPECIAIS
MATRIZ QUADRADA
O número de linhas é igual ao número de colunas.
Ao invés de “tipo m x m”, preferiremos “ordem m”.

a11
A=...
MATRIZ QUADRADA
O número de linhas é igual ao número de colunas.
Ao invés de “tipo m x m”, preferiremos “ordem m”.

a1m
di...
MATRIZ TRIANGULAR
É uma matriz quadrada.
Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.

a

0 b

...
MATRIZ TRIANGULAR
É uma matriz quadrada.
Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.

a 0 0 0 
...
MATRIZ IDENTIDADE
É uma matriz quadrada.
Todos os elementos da diagonal principal são todos 1.
Os elementos fora da diagon...
MATRIZ NULA
É uma matriz de qualquer tamanho.
Todos os elementos são 0.
IMPORTANTE: É o elemento neutro da soma de matrize...
VETOR
É uma matriz de apenas 1 linha ou 1 coluna.
Também chamados de matriz linha ou matriz coluna.
Podem ser representada...
IGUALDADE
DE MATRIZES
IGUALDADE
Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais.

a=r

r s 
a b
c d = t u




IGUALDADE
Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais.

a=r

r s 
a b
c d = t u





b=s
IGUALDADE
Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais.

a=r

r s 
a b
c d = t u





b=s
c=t
IGUALDADE
Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais.

a=r

r s 
a b
c d = t u





b=s
c=t
d=u
OPERAÇÕES
BÁSICAS
ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO
Adição
 1 0 3
 − 4 7 2 +



2 3 1 
5 0 −2



=

3 3 4 
1 7 0 



Subtração
 1 0 3
 −...
MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO
 1 0 3
2 ⋅  − 4 7 2



 2 0 6
= 
− 8 14 4 



2 3 1 
 −2 − 3 −1
−1 ⋅ 
 = 
5 0 ...
MATRIZ TRANSPOSTA
Matriz transposta de A: At
Linhas de uma = colunas da outra.

 1 0 3
A= 
− 4 7 2



At =





...
MATRIZ TRANSPOSTA
Matriz transposta de A: At
Linhas de uma = colunas da outra.

 1 0 3
A= 
− 4 7 2



At =

1
0

...
MATRIZ TRANSPOSTA
Matriz transposta de A: At
Linhas de uma = colunas da outra.

 1 0 3
A= 
− 4 7 2



At =

1
0

...
MATRIZ TRANSPOSTA
Matriz transposta de A: At
Linhas de uma = colunas da outra.

 1 0 3
A= 
− 4 7 2



Se At = A
Se A...
FIM
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  1. 1. MATRIZES
  2. 2. DEFINIÇÃO E REPRESENTAÇÃO
  3. 3. DEFINIÇÃO A= m linhas nome mxn n colunas tipo: m x n
  4. 4. DEFINIÇÃO linha i A= mxn coluna j elemento aij
  5. 5. REPRESENTAÇÕES Explícitas: a b A=  c d    a b  B= c d   a b C= c d Implícita: A = (aij)m x n, tal que <...regra(s)...> define o tamanho da matriz... define as regras de montagem da matriz
  6. 6. MATRIZES ESPECIAIS
  7. 7. MATRIZ QUADRADA O número de linhas é igual ao número de colunas. Ao invés de “tipo m x m”, preferiremos “ordem m”. a11 A= a22 diagonal principal a33 aij tal que i = j amm mxm
  8. 8. MATRIZ QUADRADA O número de linhas é igual ao número de colunas. Ao invés de “tipo m x m”, preferiremos “ordem m”. a1m diagonal secundária A= am1 mxm
  9. 9. MATRIZ TRIANGULAR É uma matriz quadrada. Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. a  0 b    A= 0 0 c    0 0 0 d diagonal principal triângulo de zeros
  10. 10. MATRIZ TRIANGULAR É uma matriz quadrada. Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. a 0 0 0   b 0 0   A=  c 0   d  diagonal principal triângulo de zeros
  11. 11. MATRIZ IDENTIDADE É uma matriz quadrada. Todos os elementos da diagonal principal são todos 1. Os elementos fora da diagonal principal são todos 0. IMPORTANTE: É o elemento neutro do produto de matrizes. I2 = 1 0  0 1    1 0 0  0 1 0  I3 =   0 0 1   
  12. 12. MATRIZ NULA É uma matriz de qualquer tamanho. Todos os elementos são 0. IMPORTANTE: É o elemento neutro da soma de matrizes. 0 0  02 =  0 0    0 0 0  02 x 3 =  0 0 0  
  13. 13. VETOR É uma matriz de apenas 1 linha ou 1 coluna. Também chamados de matriz linha ou matriz coluna. Podem ser representadas por uma ênupla ordenada. A = [ 2 3 5 0] B= 2 5   = (2, 3, 5, 0) = (2, 5)
  14. 14. IGUALDADE DE MATRIZES
  15. 15. IGUALDADE Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais. a=r r s  a b c d = t u    
  16. 16. IGUALDADE Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais. a=r r s  a b c d = t u     b=s
  17. 17. IGUALDADE Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais. a=r r s  a b c d = t u     b=s c=t
  18. 18. IGUALDADE Elementos nas mesmas posições precisam ser iguais. a=r r s  a b c d = t u     b=s c=t d=u
  19. 19. OPERAÇÕES BÁSICAS
  20. 20. ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO Adição  1 0 3  − 4 7 2 +   2 3 1  5 0 −2   = 3 3 4  1 7 0    Subtração  1 0 3  − 4 7 2   2 3 1  − 5 0 −2   =  −1 − 3 2  − 9 7 4   
  21. 21. MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO  1 0 3 2 ⋅  − 4 7 2    2 0 6 =  − 8 14 4    2 3 1   −2 − 3 −1 −1 ⋅   =  5 0 −2 −5 0 2     −1 ⋅ A = −A é dita matriz oposta de A
  22. 22. MATRIZ TRANSPOSTA Matriz transposta de A: At Linhas de uma = colunas da outra.  1 0 3 A=  − 4 7 2   At =          
  23. 23. MATRIZ TRANSPOSTA Matriz transposta de A: At Linhas de uma = colunas da outra.  1 0 3 A=  − 4 7 2   At = 1 0  3      
  24. 24. MATRIZ TRANSPOSTA Matriz transposta de A: At Linhas de uma = colunas da outra.  1 0 3 A=  − 4 7 2   At = 1 0  3      
  25. 25. MATRIZ TRANSPOSTA Matriz transposta de A: At Linhas de uma = colunas da outra.  1 0 3 A=  − 4 7 2   Se At = A Se At = −A 1 0 t A=  3  −4 7  2  Matriz simétrica Matriz anti-simétrica
  26. 26. FIM

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