Mecânica elementar

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Mecânica elementar

  1. 1. LEANDRO BERTOLDO 1Mecânica Elementar MECÂNICA ELEMENTAR LEANDRO BERTOLDO
  2. 2. LEANDRO BERTOLDO 2Mecânica Elementar Aos meus pais, José Bertoldo Sobrinho e Anita Leandro Bezerra; A minha esposa. Daisy Menezes Bertoldo; A minha filha, Beatriz Maciel Bertoldo; A meu irmão, Francisco Leandro Bertoldo; E ao querido leitor, decido estas singelas páginas.
  3. 3. LEANDRO BERTOLDO 3Mecânica Elementar “A ciência desvenda novas maravilhas à nossa vista; faz altos vôos, e explora novas profundidades”. Ellen Gould White Escritora, conferencista, conselheira e educadora norte-americana. (1827-1915)
  4. 4. LEANDRO BERTOLDO 4Mecânica Elementar Prefácio O presente texto de Mecânica Elementar é caracterizado pro sua clarezae demonstrações lúcidas de termas difíceis e complexos. É destinado, a princípio,aos mais diferentes estudiosos da natureza. Apesar de tratar de um tema técnico, o livro está estruturado na relaçãocausal. Escrito num linguajar simples apresenta uma evolução elegante dosfenômenos abordados, definindo cada etapa com clareza e detalhadasdemonstrações matemáticas de fácil acesso. Tais condições facilitam a assimilaçãodas questões envolvidas, tornando a tese extremamente convincente. Tudo istosem prejuízo da correção conceitual técnica, podendo ser compreendida porcientistas, pesquisadores, professores, alunos ou qualquer outra pessoa. A matemática apresentada nesta obra é apenas um instrumento depesquisa posto em atividade para explanar de forma objetiva o fenômeno“corpuscular-ondulatório”, que pode ser explorado a partir de poucos dadosdisponíveis. Julguei conveniente, do ponto de vista didático, apresentar esta obradividida em sete capítulos. Iniciando com uma rápida introdução à MecânicaElementar, seguindo-se os conceitos relacionados com as propriedadescorpusculares-ondulatórias, e conseqüentes implicações cinemáticas e dinâmicas.Foi discutido o movimento ondulatório uniforme e uniformemente variado. Comessas bases chegou-se ao conceito de movimento ondulatório circular doscorpúsculos, que é o objetivo central da presente tese. No capítulo final, foiapresentado o conceito de trabalho aplicado aos corpúsculos em movimentoondulatório. As propriedades do movimento ondulatório-corpuscular foram discutidasde maneira a dar uma visão geral da Mecânica Elementar sem, contudo aprofundaro seu estudo sistemático. Esta monografia foi composta no primeiro semestre de 1982, quando oautor contava vinte e três anos de idade. Na época, seu objetivo consistia emverificar o comportamento do movimento ondulatório dos corpúsculos, quandoestes fossem descritos pela filosofia da Mecânica Clássica. Essa visão permite aoestudioso responder a uma série de questões relacionadas com o mundomicroscópico. A presente obra não tem a pretensão de esgotar todas as possibilidadesque envolvem a descrição clássica do movimento ondulatório-corpuscular, de talforma que uma porta permanece aberta aos curiosos. Portanto, de todo o coração,desejo ardentemente que possa o estudo desta memória desperta muitos espíritos àreflexão e à pesquisa da Mecânica Elementar. Leandro Bertoldo
  5. 5. LEANDRO BERTOLDO 5Mecânica Elementar SumárioCAPÍTULO I – Introdução Geral à Mecânica Quântica Elementar01. Introdução02. Divisão da Mecânica Quântica Elementar03. Leis Ternárias04. Freqüência05. Unidades de FreqüênciaCAPÍTULO II – Cinemática Quântica Elementar01. Introdução02. Onda e Matéria03. Conceito de Onda04. Conceitos Fundamentais de Ondas05. Ondas Periódicas06. Classificação do Movimento07. Movimentos com Velocidade Constante08. Movimento UniformeCAPÍTULO III – Movimento Corpuscular Uniformemente Variado01. Introdução02. Movimentos com Velocidade Variável03. Grandezas de um Corpúsculo Acelerado04. Aceleração05. Equação Independente da Freqüência ou do Período06. Somatória de Velocidades Corpusculares07. Classificação do Movimento Corpuscular Uniformemente Variado08. Movimento Corpuscular com Velocidade Positiva09. Movimento Corpuscular com Velocidade Negativa10. Movimento Uniformemente VariadoCAPÍTULO IV – Movimento Circular01. Introdução02. Abcissa Angular03. Velocidade Angular04. Aceleração Angular05. Movimento Circular e Uniforme de Um Corpúsculo06. Definições Importantes no Movimento Circular Uniforme de Um Corpúsculo07. Movimento Circular e Uniformemente Variado de Um Corpúsculo08. Equações Angulares do Movimento Ondulatório Circular UniformementeVariado
  6. 6. LEANDRO BERTOLDO 6Mecânica ElementarCAPÍTULO V – Dinâmica Quântica Elementar01. Introdução02. Noções de Força03. Sobre a Massa04. Princípio Fundamental05. Equação Newtoniana e os Corpúsculos06. A Intensidade de Força e o Movimento CircularCAPÍTULO VI – Momentos Quânticos Elementares01. Introdução02. Definição Matemática de Impulso03. Impulso e o Movimento Circular Uniforme04. Movimento Circular Uniformemente Variado05. Definição de quantidade de Movimento06. Quantidade de Movimento e M.C.U.07. Quantidade de Movimento e o M.C.U.V.CAPÍTULO VII – Trabalho01. Introdução02. Trabalho de Uma Força Constante03. Observações04. Classificação do Trabalho05. Propriedade Fundamental06. Os Corpúsculos e o Trabalho07. Trabalho e Movimento Circular08. Impulso e Trabalho09. Trabalho e M.C.U.10. Hipóteses a considerar
  7. 7. LEANDRO BERTOLDO 7Mecânica Elementar CAPÍTULO I INTRODUÇÃO GERAL À MECÂNICA QUÂNTICA ELEMENTAR1. INTRODUÇÃO A palavra "mecânica" vem do termo grego (mêkhaniké). A palavra "quântica" vem de "quantum" (quân-tum) palavra latina quesignifica uma quantidade. A mecânica quântica Elementar são resultados generalizados dostrabalhos de Planck, Einstein, Bohr e De Broglie.2. DIVISÃO DA MECÂNICA QUÂNTICA ELEMENTAR. Com toda a consciência do que é escrito, afirmo que, historicamente edidaticamente, a Mecânica Quântica Elementar constitui o primeiro dos Ramos daFísica Quântica Elementar, servindo como sustentação de todos os demais. Estudatanto o movimento dos corpúsculos em geral quanto as forças, energia e outrasgrandezas. Costumo dividir a Mecânica Quântica Elementar em quatro partes:1- Cinemática Quântica Elementar Realiza o estudo das leis matemáticas que regem o movimentoondulatório dos corpúsculos.2- Dinâmica Quântica Elementar Concluí os estudos das forças e os movimentos que provocam.3- Momento Quântico Elementar Estuda os diferentes momentos que um corpúsculo pode caracterizar.4- Energética Quântica Elementar Estuda as equações fundamentais que traduzem o estado de energia etrabalho de um corpúsculo.3. LEIS TERNÁRIAS
  8. 8. LEANDRO BERTOLDO 8Mecânica Elementara) Lei I "Todas as grandezas físicas que envolvem os corpúsculos sãoquantizadas". Com essa lei quero dizer que os corpúsculos são caracterizados por umaqualidade do que é suscetível de aumento ou de diminuição.b) Lei II "Toda forma de corpúsculo apresenta a propriedade de se propagaratravés de movimento ondulatório”. A experiência tem demonstrado largamente que não apenas os elétrons,mas todas as demais partículas elementares existentes apresentam característicasondulatórias e quânticas.c) Lei III Foi largamente demonstrado que todos os corpúsculos apresentam umaquantidade de movimento igual ao quociente da chamada constante de Planck,inversa pelo comprimento de onda que os corpúsculos caracterizam. Simbolicamente o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: Q = h/λ4. FREQÜÊNCIA Sabe-se que os corpúsculos se propagam através de movimentosondulatórios. Então, entre dois pontos do espaço, deve existir associados aoscorpúsculos uma freqüência. Um fenômeno qualquer é "periódico" quando o mesmo se repete,identicamente, em intervalos de tempos iguais. Portanto, o "período" é o intervalode tempo que dura a repetição do fenômeno. Costuma-se representar o períodopela letra maiúscula (T). Logo, em fenômenos periódicas, chama-se período o intervalo de tempodecorrido para o referido fenômeno completar um ciclo. Nos fenômenos periódicos, além do período T, deve-se considerar umaoutra grandeza, a "freqüência" que é representada pela letra minúscula (f). Chama-se freqüência "f" o número de vezes que o fenômeno se repete na unidade detempo. Desse modo, a freqüência nada mais é do que o número de ciclosrealizados em uma unidade de tempo qualquer. Vou demonstrar que o período T e a freqüência f relacionam-se. Paraisso vou propor os seguintes postulados:a) Primeiro Postulado
  9. 9. LEANDRO BERTOLDO 9Mecânica Elementar O período T é o intervalo de tempo decorrido para o fenômeno se repetir. Cada repetição é denominada por ciclo. Então, em termos matemáticos operíodo é igual ao quociente da variação de tempo t decorrido no processamentodos ciclos do fenômeno periódico considerado, inverso pelo número de ciclosocorridos durante esse intervalo de tempo. Simbolicamente o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: T = Δt/n Portanto, pode-se observar que o período nada mais é do que o intervalode tempo decorrido em cada ciclo. As unidades de período são as de tempo: segundo (s); minuto (min); hora(h) e muitas outras.b) Segundo Postulado A freqüência f é o número de vezes que o fenômeno ocorre na unidadede tempo. Logo, em termos matemáticos, posso afirmar que a freqüência é igual aoquociente do número de ciclos periódicos do fenômeno considerado inverso pelavariação de tempo decorrido no processamento do referido fenômeno. O referido enunciado é expresso simbolicamente pela seguinte relação: f = n/Δt Logo, pode-se observar que a freqüência nada mais é do que o númerode ciclos na unidade de tempo considerada.c) Último Postulado Através dos dois primeiros postulados, passarei a demonstrar que afreqüência e o período são relações inversas: conhecido o período determina-se afreqüência e vice-versa. Multiplicando-se as duas últimas expressões, resulta que: T . f = Δt . n/n . Δt Eliminando os termos em evidência, resulta na seguinte expressão: T.f=1 Logo se conclui que a freqüência é o inverso do período.5. UNIDADES DE FREQÜÊNCIA
  10. 10. LEANDRO BERTOLDO 10Mecânica Elementar As unidades de freqüência são: voltas por tempo; rotações por minuto oude forma generalizada, é o número de ciclos por unidade de tempo. A unidade de freqüência no Sistema Internacional (S.I.) (Ciclos porsegundo) é denominada por hertz, abrevia-se Hz. Desse modo conclui-se que: 1 ciclo por segundo = 1 Hertz = 1 Hz O quilohertz, abreviado por (KHz) corresponde: 1 KHz = 1000 Hz
  11. 11. LEANDRO BERTOLDO 11Mecânica Elementar CAPÍTULO II CINEMÁTICA QUÂNTICA ELEMENTAR1. INTRODUÇÃO No presente capítulo vou procurar analisar os movimentos ondulatórios,suas leis e propriedades gerais. Discutindo dois movimentos ondulatóriosparticulares:a) O movimento uniforme, de velocidade constante;b) E o movimento uniformemente variado, de aceleração constante com o período. A partir deste capítulo iniciarei o estudo da Cinemática QuânticaElementar. Ela é a parte da mecânica quântica Elementar que descreve osmovimentos ondulatórios independentemente de suas causas. Porém, algumasnoções fundamentais são necessárias para dar início ao estudo da cinemáticaquântica Elementar.2. ONDA DE MATÉRIA Entre as mais notáveis realizações científicas do século XX, está adescoberta das propriedades fundamentais dos corpúsculos elementares. Umadessas propriedades foi apresentada em 1924 por Louis De Broglie que propôs aexistência de ondas de matéria. Foi Elsasser quem mostrou, em 1926, que a natureza ondulatória doscorpúsculos poderia ser testada experimentalmente, fazendo-se com que um feixede elétrons de energia apropriada incida sobre um sólido cristalino. Esta idéia foiconfirmada por experiências realizadas por Davisson e Germer nos EstadosUnidos e por Thonson na Escócia.3. CONCEITO DE ONDA Para introduzir o conceito de ondas, vou apresentar uma clássicaexperiência, que é a seguinte: Ao atirar uma pedra nas águas tranqüilas de um lago; o impacto da pedracontra a água origina o aparecimento de uma elevação circular em torno dadepressão. A elevação denomina-se "crista" e a depressão "vale". Observa-se uma série de cristas e vales propagando-se pela superfície daágua, como circunferências concêntricas com o ponto onde se origina aperturbação, possuem raios cada vez maiores.
  12. 12. LEANDRO BERTOLDO 12Mecânica Elementar As séries de cristas e vales constituem uma onda, propagando-se nasuperfície da água.4. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ONDAS Passarei a mostrar alguns conceitos fundamentais indispensáveis aoestudo das ondas.a) Período de uma onda O período de uma onda é o tempo decorrido no processamento de umaoscilação completa de um pulso.b) Freqüência de uma onda Corresponde ao número de oscilações efetuadas na unidade de tempo.c) Comprimento de onda O comprimento de onda é a distância entre duas cristas consecutivas.Generalizadamente, costuma-se representar o comprimento de onda pela letragrega  (Lambda). Considere o seguinte esquema que caracteriza matematicamente omodelo de uma onda unidimensional:   Observe que a distância entre duas cristas adjacentes ou entre dois valesadjacentes é sempre a mesma. Portanto o comprimento de onda  é a distânciaentre duas cristas ou dois vales consecutivos.5. ONDAS PERIÓDICAS Quando um pulso segue o outro em uma sucessão regular tem-se umaonda periódica. Nas ondas periódicas, o formato das ondas individuais se repeteem intervalos de tempos iguais. Isso significa que o corpúsculo descrevemovimento uniforme; pois para os mesmos períodos correspondem a um mesmo
  13. 13. LEANDRO BERTOLDO 13Mecânica Elementarcomprimento de onda. Logo o tempo que o corpúsculo leva para percorrer adistância  é o período T que o mesmo leva para efetuar uma oscilação completa. Pela mecânica clássica, sabe-se que a velocidade de um corpúsculo emmovimento retilíneo uniforme é igual ao quociente do espaço percorrido, inversopela variação de tempo decorrido no deslocamento do referido corpúsculo. O referido enunciado é expresso simbolicamente pela seguinte relação: V = Δx/Δt Porém, como o corpúsculo percorre periodicamente uma distância quecorresponde ao comprimento de onda  e gasta para percorrê-la um intervalo detempo igual ao período T; então, conclui-se que a velocidade de um corpúsculoque se propaga-se através de um movimento ondulatório é igual ao quociente docomprimento de onda, inversa pelo período T. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: V = λ/T Demonstrei que o período é igual ao inverso da freqüência. O referido enunciado é expresso simbolicamente pela seguinte relação: T = 1/f Então substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resultaque: V=λ.f Logo, conclui-se que a velocidade de propagação de um pulso é igual aocomprimento de inda em produto com a freqüência do pulso que caracteriza ocorpúsculo.6. CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTOa) Movimento Progressivo Toda vez que o movimento de um corpúsculo apresentar uma velocidadepositiva, ela simplesmente indica que o dito corpúsculo desloca-se no mesmosentido da orientação positiva de uma trajetória qualquer que tenha que percorrer.Neste caso particular o movimento é chamado progressivo.b) Movimento Retrógrado Toda vez que o movimento de um corpúsculo apresentar uma velocidadenegativa, ela simplesmente indica que o referido corpúsculo desloca-se em sentido
  14. 14. LEANDRO BERTOLDO 14Mecânica Elementarcontrário ao da orientação da trajetória. Neste caso particular o movimento échamado de Retrógrado.7. MOVIMENTOS COM VELOCIDADE CONSTANTE Toda vez que um corpúsculo percorrer comprimentos de onda iguais, emperíodos iguais, sua velocidade em qualquer período tem sempre o mesmo valor;quando isso ocorre diz-se que a velocidade é constante no decurso do período. Eos movimentos que possuem velocidade constante com o período, são chamadosmovimentos uniformes; neles, o corpúsculo percorre comprimento de ondas iguaisem períodos iguais. O movimento cuja velocidade varia no decorrer do período échamado por movimento variado.8. MOVIMENTO UNIFORME Um corpúsculo se encontra em movimento retilíneo e uniforme quandosua velocidade escalar se mantém constante durante todo o movimento e suatrajetória retilínea. Dessa maneira, posso concluir que:a) Os corpúsculos apresentam comprimentos de ondas iguais em períodos iguais;b) Em qualquer trecho do movimento, a velocidade do corpúsculo é a mesma;c) A freqüência permanece invariável durante todo o processamento domovimento do corpúsculo.
  15. 15. LEANDRO BERTOLDO 15Mecânica Elementar CAPÍTULO IIIMOVIMENTO CORPUSCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO1. INTRODUÇÃO Os movimentos de corpúsculos com velocidade variável no decurso doperíodo são muito comuns na natureza. Nestes movimentos existe aceleração e omovimento do corpúsculo pode ser acelerado ou retardado. O movimentocorpuscular uniformemente variado é o movimento particular de velocidadevariável; sua aceleração é constante com o período. Esse movimento édetalhadamente discutido no presente capítulo.2. MOVIMENTOS COM VELOCIDADE VARIÁVEL Os movimentos são classificados em duas amplas categorias:a) Movimentos Uniformes Os movimentos uniformes são aqueles que apresentam velocidade constante;b) Movimentos Variados Os movimentos variados são aqueles cuja velocidade do corpúsculo varia com operíodo.3. GRANDEZAS DE UM CORPÚSCULO ACELERADO Quando um corpúsculo é submetido à ação de uma força, ele passa asofrer uma aceleração; nessas condições sua velocidade é variável. Assim, passa a apresentar um comprimento de onda variável. Observe o esquema indicado na seguinte figura:  1  2  3  4  5  6 T1 T2 T3 T4 T5 T6
  16. 16. LEANDRO BERTOLDO 16Mecânica Elementar Evidentemente a cada comprimento de onda o período é sempre omesmo, ou seja: T1 = T2 = T3 = T4 = T5 = T6 = ... = Tn Portanto a somatória de todos os períodos envolvidos nos pulsos é igualao número de pulsos em produto com o período. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: ΣT = n . T A somatória dos comprimentos de ondas é expressa por: Σλ = λ1 + λ2 + λ3 + ... + ?n-1 + λn4. ACELERAÇÃO Aceleração é a grandeza que mede a variação da velocidade do decursodo período. Dessa maneira, a aceleração é igual ao quociente da variação davelocidade, inversa pela somatória do período. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: G = ΔV/ n .T Demonstrei que o período é o inverso da freqüência. Simbolicamente, oreferido enunciado é expresso pela seguinte relação: T = 1/T Portanto, a somatória do período é igual a somatória do inverso dafreqüência. O referido enunciado é expresso simbolicamente pela seguinte relação: ΣT = Σ (1/T) Porém como: ΣT = n . T
  17. 17. LEANDRO BERTOLDO 17Mecânica Elementar Então posso escrever que n . T = n . 1/f Logo, a referida expressão permite escrever que: G = ΔV/(n/f) Portanto vem que: G = ΔV . f/n Onde "n" é um número inteiro positivo. Assim, posso concluir que a aceleração é igual à variação da velocidadedo corpúsculo em produto com a freqüência do mesmo e inverso pelo número depulsos que ocorrem no processamento do movimento. As experiências mostram que a variação da velocidade de um corpúsculoem movimento uniformemente variado é igual a somatória dos comprimentos deondas inversa pelo número de pulsos em produto com o período. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: ΔV = Σλ/n . T Porém, demonstrei que: n . T = n/f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, obtém-seque: V = Σλ/(n/f) Logo resulta que: ΔV = Σλ . f/n Substituindo convenientemente as expressões da aceleração e a davelocidade, vem que: G = ΔV . f/n Como:
  18. 18. LEANDRO BERTOLDO 18Mecânica Elementar ΔV = Σλ . f/n Então, vem que: G = Δλ . f . f/n . n Logo, resulta que: G = Δλ . f2/n2 Portanto, conclui-se que a aceleração de um corpúsculo é igual asomatória do comprimento de onda em produto com o quadrado da freqüência,inversa pelo quadrado do número de pulsos. É possível demonstrar que o quadrado do número de pulsos em produtocom o quadrado do período é igual ao quadrado do número de pulsos, inverso peloquadrado da freqüência. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: n2 . T2 = n2/f2 Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: G = Σλ/ n2 . T2 Isso permite afirmar que a aceleração de um corpúsculo é igual asomatória do comprimento de onda, inversa pelo quadrado do número de pulsosem produto com o quadrado do período.5. EQUAÇÃO INDEPENDENTE DA FREQÜÊNCIA OU DO PERÍODO No movimento corpuscular uniformemente variado um corpúsculoacelerado apresenta comprimentos de ondas variáveis. Já em um movimentouniforme os comprimentos de ondas são absolutamente iguais. Porém, isso serámotivo de discussão em outra parte. No presente parágrafo, vou procurar estabelecer uma equação para ocomprimento de onda que independe da freqüência ou do período. Demonstrei que em um movimento uniformemente variado, o quocientedo número de ciclos de um corpúsculo inverso pela freqüência é igual à variaçãode velocidade, inversa pela aceleração corpuscular. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por:
  19. 19. LEANDRO BERTOLDO 19Mecânica Elementar n/f = ΔV/G Cheguei a demonstrar, também que a somatória dos comprimentos deondas de um corpúsculo em movimento uniformemente variado é igual aoquociente da variação da velocidade corpuscular em produto com o número deciclos inversos pela freqüência de propagação corpuscular. O referido enunciado é expresso simbolicamente pela seguinteigualdade: Σλ = ΔV . n/f Igualando convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: Σλ = ΔV . ΔV/G Portanto, vem que: Σλ = ΔV2/G Ou simplesmente: ΔV2 = G . Σλ Logo, posso concluir que o quadrado da variação da velocidade de umcorpúsculo em movimento uniformemente variado é igual à aceleração a que estásubmetido em produto com a somatória dos comprimentos de ondas que o referidocorpúsculo apresenta.6. SOMATÓRIA DE VELOCIDADES CORPUSCULARES No movimento uniformemente variado, a velocidade corpuscular, emcada período, sofre uma variação. Por esse motivo achei muito interessante empregar uma fórmula quetraduza a somatória da velocidade de um corpúsculo. Evidentemente, a velocidade de um corpúsculo em cada período, crescenuma progressão aritmética. Porém, a soma dos termos de uma progressão aritmética finita é expressapor: Sn = n/2 . (a1 + an ) Então, traduzido para os termos cinemáticos, posso escrever que:
  20. 20. LEANDRO BERTOLDO 20Mecânica Elementar ΣV = n/2 . (V1 + Vn) (A) Isso me permite afirmar que a somatória das velocidades corpusculares éigual à metade do número de pulsos em produto com a soma entre a velocidade noprimeiro intervalo do período (T1) com a última velocidade expressa por (Tn). Porém, afirmei que o número de pulsos é igual à velocidade final emproduto com a freqüência, inversa pela aceleração corpuscular. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: n = Vn . f/G (B) Substituindo (B) em (A); resulta que: ΣV = Vn . f/2G . (V1 + Vn) Logo, depois demonstrei que o número de pulsos é igual ao quociente dasomatória dos comprimentos de ondas em produto com a freqüência, inversa pelavelocidade final. O referido enunciado é expresso simbolicamente por: n = Σλ . f/Vn (C) Substituindo convenientemente (C) em (A); resulta que: ΣV = [(V + Vn)/2Vn] . Σλ . f Posso escrever, ainda que: ΣV = ½ . [(V1/Vn) + 1] . Σλ . f7. CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO CORPUSCULARUNIFORMEMENTE VARIADO Quando um corpúsculo está acelerado sua velocidade aumenta a cadaintervalo do período e, portanto em cada período o comprimento de onda aumenta.Se um corpúsculo apresenta movimento retardado, sua velocidade diminui comcada intervalo de período e logo, em cada período o comprimento de ondadiminui.8. MOVIMENTO CORPUSCULAR COM VELOCIDADE POSITIVA
  21. 21. LEANDRO BERTOLDO 21Mecânica Elementar Vou estudar agora um movimento no qual a velocidade é positiva; nessecaso o sinal somente indica que o corpúsculo se desloca no sentido de orientação etrajetória. Suponha, agora, que o corpúsculo esteja em movimento acelerado; isto é,em períodos iguais, apresentando comprimentos de ondas cada vez maiores. Logo, depreende-se daí que a variação de velocidade para cada períodoserá positiva e, portanto, a aceleração também o será. G = ΔV . f/n Onde a V representa a variação da velocidade do corpúsculo no períodode tempo. Pelo fato de V > 0 e f > 0, pode-se notar que a equação G = ΔV . f/ntambém é maior que zero, logo o movimento é acelerado. Por outro lado, tomarei um corpúsculo em movimento retardado; isto é,apresentando comprimentos de ondas, em períodos iguais, cada vez menores.Depreende-se daí que a variação de velocidade, para cada freqüência, seránegativa (V < 0) e, portanto, a aceleração também (g < 0), nesse caso omovimento corpuscular é dito retardado.9. MOVIMENTO CORPUSCULAR COM VELOCIDADE NEGATIVA Estudarei agora, o movimento de um corpúsculo em que a velocidade énegativa (V < 0). Ressaltarei que V < 0, indica somente que o corpúsculo sedesloca no sentido contrário ao da orientação da trajetória. Vou supor que o corpúsculo esteja submetido a uma intensidade deforça, portanto, há um movimento acelerado. A variação de velocidade para cadafreqüência, será negativa (V < 0) e, portanto, a aceleração também (G < 0); logoo movimento do corpúsculo é acelerado. Por outro lado, suponha que o corpúsculo esteja em movimentoretardado. A variação de velocidade, para cada freqüência, será positiva (V > 0)e, portanto, a aceleração também (G > 0).10. MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO Um corpúsculo está em movimento retilíneo e uniformemente variadoquando sua aceleração escalar se mantém constante durante todo o movimento esua trajetória é retilínea. Dessa maneira, posso concluir que:a) O corpúsculo apresenta variações de velocidades iguais em freqüências iguais;b) Em qualquer estágio do movimento do corpúsculo, sua aceleração é a mesma.
  22. 22. LEANDRO BERTOLDO 22Mecânica Elementar CAPÍTULO IV MOVIMENTO CIRCULAR1. INTRODUÇÃO No presente capítulo serão largamente estudados os comprimentos deondas, velocidades e acelerações angulares. Analisarei ainda o corpúsculo demovimento em trajetórias circulares:a) Movimento circular uniforme;b) Movimento circular uniformemente variado. Afirmo que um corpúsculo está animado de movimento circular se atrajetória descrita por ele for uma circunferência. Uma grande gama de movimentos registrados na natureza corpuscularsão circulares ou aproximadamente circulares, o que vem a destacar a relevânciado estudo que farei. Entre vários, posso citar como exemplo os movimentos doselétrons em torno do núcleo atômico, que obedecem a trajetórias bastantepróximas das circulares. A seguir, passo a apresentar alguns conceitos iniciais que serãonecessários neste estudo.2. ABSCISSA ANGULAR Denomina-se abscissa angular de um corpúsculo que percorre umatrajetória circular ao ângulo  formado entre o eixo CO (tomado como origem) e o vetor posição CP do ponto P. O ângulo  (fase) é, por convenção, sempre tomadono mesmo sentido do comprimento de onda . Supondo o raio da circunferência como R, sabe-se pela geometria planaque:  = λ/R Ou seja: o ângulo é igual ao comprimento de onda dividido pelo raio. Posso escrever que: λR
  23. 23. LEANDRO BERTOLDO 23Mecânica Elementar Onde a letra  representa a medida do ângulo expressa em radiano. Portanto, radiano é o ângulo central cujos lados interceptam umacircunferência, determinando sobre a mesma um arco que corresponde aocomprimento de onda de comprimento igual ao do raio. Observe que a unidade "radiano" foi introduzida arbitrariamente pararepresentar o resultado de um quociente entre duas medidas de comprimento;portanto, o radiano é um número puro.3. VELOCIDADE ANGULAR Chama-se velocidade angular média de um corpúsculo a razão entre oângulo que ele descreve e o período de tempo que ele leva para descrever talângulo. Geralmente a velocidade angular é representada pela letra (ômega,letra do alfabeto grego). O último enunciado é expresso simbolicamente pela seguinte relação: ω Em outra parte foi demonstrado que o período é igual ao inverso dafreqüência. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: T = 1/f Substituindo convenientemente as duas últimas relações, obtém-se que: ωf Logo, posso concluir que a velocidade angular de um corpúsculo é igualao ângulo que ele descreve em produto com a freqüência.4. ACELERAÇÃO ANGULAR Em se tratando de movimento circulares, a aceleração angular é definidacomo sendo o quociente da variação da velocidade angular, inversa pelo númerode pulsos em produto com o período. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: α = Δωn . T
  24. 24. LEANDRO BERTOLDO 24Mecânica Elementar Porém, demonstrei que o número de pulsos em produto com o período éigual ao número de pulsos, inverso pela freqüência corpuscular. O referido enunciado é expresso simbolicamente pela seguinte relação: n . T = n/f Substituindo convenientemente as duas últimas relações; vem que: α = Δω/(n/f) Portanto resulta: α = Δω . f/n Logo posso concluir que a aceleração angular é igual à variação davelocidade angular em produto com a freqüência, inversos pelo número de pulsos.5. MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME DE UM CORPÚSCULO Digo que um corpúsculo está animado de movimento circular e uniformese a trajetória descrita por ele é uma circunferência e sua velocidade escalar éconstante. É fácil perceber que o ângulo  corresponde ao comprimento de onda de um corpúsculo que órbita numa circunferência. Como, entre o comprimento deonda e o ângulo, subsiste a seguinte relação: φ = λ/R Onde R é o próprio raio da circunferência, posso escrever que: λ=φ.R Porém, demonstrei que: λ=V.T Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: φ . R = V. T Como no movimento uniforme o período é o inverso da freqüência,posso escrever que:
  25. 25. LEANDRO BERTOLDO 25Mecânica Elementar T = 1/f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, vem que: V=φ.R.f Lembrando ainda, que no referido movimento, a velocidade angular éigual ao ângulo em produto com a freqüência. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: ω=φ.f Então, substituindo convenientemente as duas últimas expressões,resulta que: V=R.ω Esta é a expressão que traduz a relação existente entre a velocidadeescalar V e a velocidade angular . Como V é constante no movimento uniforme e o raio R da circunferênciatambém, tem-se evidentemente velocidade angular constante. Portanto, nomovimento circular e uniforme, tanto a velocidade escalar quanto a angular sãoconstantes. Voltando à expressão: λ = V . f Substituindo convenientemente os valores de  e V, tem-se que: λ=V.f φ.R=ω.R.T Eliminando os temos em evidência, resulta que: φ=ω.T Porém, demonstrei que no movimento uniforme, existe a seguinterelação: T = 1/f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, obtém-seque: φ = ω/f
  26. 26. LEANDRO BERTOLDO 26Mecânica Elementar Isso me permite concluir que o ângulo descrito por um corpúsculo emmovimento circular uniforme é igual ao quociente da velocidade angular, inversapela freqüência do corpúsculo.6. DEFINIÇÕES IMPORTANTES NO MOVIMENTO CIRCULARUNIFORME DE UM CORPÚSCULO. Os corpúsculos, genericamente apresentam um movimento ondulatório;então, apresentam também um período T e uma freqüência f, característico doscorpúsculos, tanto no movimento retilíneo quanto no circular. Porém, quando apresentam um movimento circular passam a apresentarum período t e uma freqüência F de revolução, característica do movimento e nãoda natureza do corpúsculo. Portanto, passarei às definições:a) Período Circular (t) O período circular no movimento uniforme é o tempo gasto para ocorpúsculo dar uma volta completa na circunferência.b) Freqüência Circular (F) A freqüência circular é o número de revoluções completas efetuadas pelocorpúsculo, por unidade de tempo. Os livros de física clássica demonstram que a freqüência circular e operíodo circular são inversamente proporcionais. Simbolicamente, posso escrever que: t.F=1 Já o período e a freqüência característica do corpúsculo sãocaracterizados por: T.f=1 Igualando convenientemente as duas últimas equações, resulta que: t.F=T.f Logo, posso escrever que: t/T = f/F
  27. 27. LEANDRO BERTOLDO 27Mecânica Elementar O que corresponde a um número inteiro: t/T = f/F = n Onde n = 1, 2, 3, ... n; que corresponde ao número de pulsos docorpúsculo. Então, analisando os referidos resultados, posso afirmar que o período docorpúsculo é aquele que utiliza para descrever um comprimento de onda,enquanto que o período circular é aquele empregado para o corpúsculo efetuaruma volta completa em um círculo. Agora, retornando ao estudo inicial, suponha que um corpúsculo emmovimento circular uniforme descreva uma volta completa; ou seja,  = 2. Comoo tempo gasto para o corpúsculo efetuar uma volta completa, em movimentocircular uniforme, é o próprio período circular, então, tem-se: ω = φ/T = 2π/t Como: t = 1/F Tem-se que: ω = 2π . F Por outro lado, como: V = ω . R, substituindo convenientemente , resulta que: V = 2π . R/t = 2π . F. R Demonstrei em outra parte que a velocidade escalar de um corpúsculoem movimento uniforme é igual ao comprimento de onda que descreve, emproduto com a freqüência corpuscular. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte equação: V=λ.f Igualando convenientemente as duas últimas expressões, obtém-se que: λ . f = 2π . R/t = 2π . F . R Logo, posso escrever que:
  28. 28. LEANDRO BERTOLDO 28Mecânica Elementar λ . f = 2π . F . R f = 2π . F. R/λ f/F = 2π . R/λ Porém, demonstrei que: n = t/T = f/F Substituindo convenientemente as duas últimas relações; vem que: n = 2π . R/λ Ou seja: n . λ = 2π . R Logo, posso afirmar que o número de pulos característicos doscorpúsculos que estão numa certa órbita, em produto com o comprimento de ondados referidos corpúsculos é igual ao dobro de  em produto com o raio da órbita. Em outro parágrafo demonstrei que o comprimento de onda é igual aoângulo em produto com o raio da órbita. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: λ=φ.R Substituindo convenientemente as duas últimas equações, obtém-se que: n . φ . R = 2π . R Eliminando os termos em evidência, resulta que: n . φ = 2π Isso me permite afirmar que o número de pulsos que um corpúsculoapresenta em uma certa órbita, multiplicado pelo ângulo é igual ao dobro de . Em outro parágrafo demonstrei que o ângulo descrito por um corpúsculoao completar o seu comprimento de onda é igual ao quociente da velocidadeangular, inversa pela freqüência do corpúsculo. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação:
  29. 29. LEANDRO BERTOLDO 29Mecânica Elementar φ = ω/f Substituindo convenientemente as duas últimas equações, obtém-se que: n . ω/f = 2π Desse modo, posso escrever que: n . ω = 2π . f Logo, posso concluir que o número de pulsos que um corpúsculoapresenta numa determinada órbita multiplicada pela velocidade angular doreferido corpúsculo é igual ao dobro de  em produto com a freqüência natural docorpúsculo. Demonstrei também, que a velocidade angular de um corpúsculo é igualao quociente da velocidade escalar, inversa pelo raio da órbita na qual circula ocorpúsculo. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: ω = V/R Substituindo convenientemente as duas últimas equações, obtém-se que: n . V/R = 2π . f Logo, posso escrever que: n . V = 2π . f . R Portanto, posso concluir que o número de pulsos de um corpúsculo queestá em órbita em produto com a velocidade escalar é igual ao dobro demultiplicado pela freqüência do corpúsculo em produto com o raio da órbita.7. MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORMEMENTE VARIADO DE UMCORPÚSCULO Digo que um corpúsculo está animado com movimento circular euniformemente variado se a trajetória por ele descrita é uma circunferência e sesua aceleração escalar é constante. A partir da própria definição, observe que, como a aceleração escalar éconstante, o movimento circular uniformemente variado apresenta todas aspropriedades do movimento retilíneo uniformemente variado, adaptadas,evidentemente, à forma da trajetória (circular).
  30. 30. LEANDRO BERTOLDO 30Mecânica Elementar A mecânica clássica demonstra largamente que a aceleração centrípeta éigual ao quociente do quadrado da velocidade escalar, inversa pelo raio. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: a = V2/R Em parágrafos anteriores, foi demonstrado que a velocidade escalar éigual à velocidade angular em produto com o raio da órbita. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: V=ω.R Substituindo convenientemente as duas últimas equações, obtém-se que: a = ω2 . R2/R Eliminando os termos em evidência; resulta que: a = ω2 . R Isso permite concluir que a aceleração centrípeta é igual ao quadrado davelocidade angular em produto com o raio. Em outra parte demonstrei que o raio da órbita de um círculo é igual aoquociente do comprimento de onda, inversa pelo ângulo descrito pelo corpúsculo. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: R = λ/φ Sabe-se que: a = V2/R Substituindo convenientemente as duas últimas relações, obtém-se: a = V2/(λ/φ) Logo, resulta que: a = V2 . φ/λ Demonstrei, também, que: a = ω2 . R
  31. 31. LEANDRO BERTOLDO 31Mecânica Elementar Que substituída convenientemente em R = λ/φ, vem que: a = ω2 . λ/φ Em outra parte demonstrei que: ω . V/R Porém, sabe-se que: a = V2/R Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, obtém-seque: a=ω.V Logo, posso concluir que a aceleração centrípeta é igual à velocidadeangular multiplicada pela velocidade escalar. Porém, sabe-se que: V=f.λ Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: a=ω.f.λ Em outra parte, demonstrei que: n . V = 2π . f . R Isso me permite escrever que:A) V2 = 4π2 . f2 . R2/n2B) R = n . V/2π . f Sabe-se que:C) a = V2/R Substituindo a equação (A) com a relação (C), obtém-se que:
  32. 32. LEANDRO BERTOLDO 32Mecânica Elementar a = (4π2 . f2 . R2/n2)/(R/1) Logo, resulta que: a = 4π2 . f2 . R2/n2. R Eliminando os termos em evidência, vem que: a = 4π2 . f2 . R/n2 Assim, resulta: n2 . a = 4π2 . f2 . R Assim, posso concluir que o quadrado do número de pulsos de umcorpúsculo que encontra-se em órbita através de um movimento circularuniformemente variado em produto com a aceleração centrípeta é igual a quatrovezes o quadrado do valor de  em produto com o quadrado da freqüência docorpúsculo multiplicado pelo raio da órbita do corpúsculo. Agora, substituindo B em C, resulta que: a = V2/(n . V/2π . f) Logo, resulta que: a = V2 . 2π . f/n . V Eliminando os termos em evidência, resulta que: n . a = 2π . f . R Isso me permite concluir que o número de pulsos de um corpúsculo emórbita multiplicado pela aceleração centrípeta é igual ao dobro do valor de  emproduto com a freqüência do corpúsculo multiplicada pela velocidade escalar queo mesmo apresenta. Finalmente, substituindo convenientemente A, B e C; resulta que: a = V2/R = (4π2 . f2 . R2/n2)/(n . V/2π .f) Logo, resulta que: a = 4π2 . f2 . R2 . 2π .f/ n2 . n . V Assim, vem que:
  33. 33. LEANDRO BERTOLDO 33Mecânica Elementar a = 8π3 . f3 . R2/n3 . V Como V = f . λ, vem que: a = 8π3 . f3 . R2/n3 . λ . f Eliminando os termos em evidência, resulta que: a = 8π3 . f2 . R2/n3 . λ Sabe-se que:a) a = ω2 . Rb) a = 8π3 . f2 . R2/n3 . λ Então, substituindo convenientemente as duas últimas equações, obtém-se que: ω2 . R = 8π3 . f2 . R2/n3 . λ Eliminando os termos em evidência; vem que: ω2 = 8π3 . f2 . R/n3 . λ Como demonstrei que: R = a/ω2 Logo, substituindo convenientemente as duas últimas relações, obtém-seque: ω2 = 8π3 . f2 . a/n3 . ω2 . λ Eliminando os termos em evidência, resulta que: ω4 = 8π3 . f2 . a/n3 . λ Isso permite concluir que o cubo da velocidade angular é igual a oitovezes o valor de  elevado à terceira potência em produto com o quadrado dafreqüência do corpúsculo, multiplicado com a aceleração centrípeta, inversa pelo
  34. 34. LEANDRO BERTOLDO 34Mecânica Elementarcomprimento de onda do corpúsculo em produto com a terceira potência donúmero de pulsos corpuscular.8. EQUAÇÕES ANGULARES DO MOVIMENTO ONDULATÓRIOCIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADOa) EQUAÇÕES DA VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Em capítulos anteriores demonstrei que: ΔV = G. n . T Empregando a relação entre velocidade escalar e angular: ΔV = Δω . R Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: Δω . R = G . n . T Assim, posso escrever que: Δω/n . t = G/R Porém demonstrei que: n . T = n/f Substituindo convenientemente as duas últimas relações, resulta que: Δω . f/n = G/R Logo, posso concluir que a variação da velocidade angular de umcorpúsculo, em produto com a freqüência do referido corpúsculo, e inversa pelonúmero de pulsos é igual ao quociente da aceleração linear inversa pelo raio daórbita. A aceleração angular de um corpúsculo é expressa por: α = Δω/n . T Dessa maneira, tem-se que: α = Δω . f/n = G/R
  35. 35. LEANDRO BERTOLDO 35Mecânica Elementar Assim, resulta: α = G/R Em outros capítulos, demonstrei que: G = ΔV . f/n Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: α = ΔV . f/n . R Isso permite concluir que a aceleração angular é igual ao quociente davariação da velocidade linear em produto com a freqüência corpuscular inversapelo número de pulsos em produto com o raio da órbita do corpúsculo. Porém, demonstrei que: ΔV . Σλ . f/n Substituindo convenientemente as duas últimas equações, resulta que: α = Σλ . f2/R . n2 Logo, posso concluir que a aceleração angular é igual à somatória docomprimento de onda em produto com o quadrado da freqüência corpuscularinversa pelo quadrado dos pulsos ondulatórios em produto com o raio da órbita docorpúsculo. Afirmei que a aceleração centrípeta é expressa pela seguinte relação: a = V2/R Demonstrei que: α = G/R Substituindo convenientemente as duas últimas relações, resulta que: α = G/(V2/a) Logo, vem que: α = G . a/V2
  36. 36. LEANDRO BERTOLDO 36Mecânica Elementar Assim posso concluir que a aceleração angular é igual ao quociente entrea aceleração linear em produto com a aceleração centrípeta inversa pelo quadradoda velocidade.b) EQUAÇÕES ANGULARES Em capítulos anteriores, demonstrei que: ΔV2 = G . Σλ Porém, sabe-se que:1) ΔV2 = R2 . Δω22) G=α.R3) Σλ = R . Σφ Substituindo, obtém-se que: R2 . Δω2 = α . R . R . Σφ Então, resulta que: R2 . Δω2 = α . R2 . Σφ Eliminando os termos em evidência, vem que: Δω2 = α . Σφ Dessa maneira, conclui-se que o quadrado da variação da velocidadeangular do corpúsculo é igual à aceleração angular em produto com a somatóriados ângulos. Em outra parte do presente tratado, demonstrei que: Δλ = G . n2/f2 Porém, sabe-se que:I) Σλ = R . ΣφII) G=α.R Então, substituindo convenientemente os resultados expostos, obtém-seque:
  37. 37. LEANDRO BERTOLDO 37Mecânica Elementar R . Σφ = α . R . n2/f2 Eliminando os termos em evidência, resulta que: Δφ = α . n2/f2 Isso me permite concluir que a somatória do ângulo corpuscular é igualao quociente da aceleração angular em produto com o quadrado do número depulsos inversos pelo quadrado da freqüência corpuscular.
  38. 38. LEANDRO BERTOLDO 38Mecânica Elementar CAPÍTULO V DINÂMICA QUÂNTICA1. INTRODUÇÃO A Dinâmica Quântica Elementar é a parte da mecânica quânticaElementar que estuda tanto as correlações entre os movimentos - causas e efeitos -quanto as relações entre os movimentos e a massa dos corpúsculos que semovimentam. No presente capítulo, duas novas grandezas surgem:a) Força;b) Massa. A força é uma grandeza vetorial e a massa uma grandeza escalar. Noscapítulos anteriores houve apenas uma descrição matemática dos movimentoscorpusculares, sem discussão das causas que os geraram. Portanto, posso afirmar que, a Dinâmica Quântica Elementar é a partede sua mecânica que estuda os movimentos corpusculares e suas causas.2. NOÇÕES DE FORÇA A noção de força é inteiramente intuitiva. E independentemente dascausas que as provocam, as forças são estudadas pelos efeitos que produzem.Pode-se perceber claramente que, para movimentar, acelerar ou retardar omovimento de um corpúsculo é absolutamente necessário exercer uma força. Em síntese dinâmica, o conceito de força pode ser resumido na seguintefrase: "Força é toda ação, num corpo, capaz de modificar seu estado de repousoou de movimento".3. SOBRE A MASSA O conceito de massa provém das características que produz. A massa éuma grandeza caracterizada como sendo a quantidade de matéria que o corpoapresenta. Sua existência implica que dois corpos não ocupam o mesmo lugar noespaço. Em última análise a massa é um dos estados da energia.04. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL
  39. 39. LEANDRO BERTOLDO 39Mecânica Elementar O conceito dinâmico de força mostra ser esta o agente físico responsávelpela aceleração de um corpúsculo. As alterações de velocidade ocorrem quando existe aceleração, cujascaracterísticas são expressas pelo conhecido princípio fundamental da dinâmicanewtoniana; ou segunda lei do movimento de Newton, que apresenta o seguinteenunciado: "Uma força atuando em um ponto material produz uma aceleração nasua direção e no seu sentido, cuja intensidade dessa força é igual à massa do corpoem produto com a aceleração a qual está sujeito”. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: F=m.G E assim está apresentada a equação fundamental da mecânicanewtoniana.5. A EQUAÇÃO NEWTONIANA E OS CORPÚSCULOS Em capítulos anteriores demonstrei que a aceleração de um corpúsculo éigual à variação da velocidade corpuscular em produto com a freqüência docorpúsculo em um dado instante e inverso pelo número de pulsos que caracterizamo movimento de um corpúsculo. Simbolicamente o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: G = ΔV . f/n Sabe-se que a intensidade de força é igual à massa do corpúsculo emproduto com sua aceleração. O referido enunciado é expresso simbolicamente por: F=m.G Então, substituindo convenientemente as duas últimas equações, resultaque: F = m . f . ΔV/n Isso permite concluir que a força é igual a massa do corpúsculo emproduto com a freqüência multiplicado pela variação da velocidade, inversa pelonúmero de pulsos. Logo depois demonstrei que a aceleração de um corpúsculo é igual asomatória dos comprimentos de ondas em produto com o quadrado da freqüência,inversa pelo quadrado do número de pulsos.
  40. 40. LEANDRO BERTOLDO 40Mecânica Elementar Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: G = Σλ . f2/n2 Sabe-se que: F = m . G Então, substituindo convenientemente as duas últimas expressões;resulta que: F = m . f2 . Σλ/n2 Assim, posso concluir que a intensidade de força é igual a massa docorpúsculo em produto com o quadrado da freqüência multiplicados pelasomatória do comprimento de ondas, inversos pelo quadrado do número de pulsos. Também, cheguei a demonstrar que a aceleração adquirida por umcorpúsculo é igual ao quadrado da variação da velocidade, inversa pela somatóriados comprimentos de ondas. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: G = ΔV2/Σλ Sabe-se que: F = m . G Logo, substituindo convenientemente as duas últimas expressões, vemque: F = m . ΔV2/Σλ Isso permite concluir que a intensidade de força é igual ao quadrado davariação da velocidade, inversa pela somatória do comprimento de ondacorpuscular.6. A INTENSIDADE DE FORÇA E O MOVIMENTO CIRCULAR. Considere um corpúsculo de massa (m) percorrendo uma trajetóriacurvilínea qualquer. Evidentemente em qualquer instante, sua velocidade estámudando; pois pelo princípio da inércia, o corpúsculo continuaria para semprecom a mesma velocidade vetorial, caso nenhuma força sobre ele atuasse. Sabendoque o corpúsculo descreve uma trajetória curvilínea, tendo, portanto velocidadevariável, conclui-se que existe ao menos uma força atuando sobre o referidocorpúsculo.
  41. 41. LEANDRO BERTOLDO 41Mecânica Elementar A força responsável pela trajetória curvilínea que o corpúsculo apresentaé denominada por força centrípeta; esta força provoca o aparecimento daaceleração centrípeta, que altera somente a direção do vetor velocidade. A física clássica mostra que a aceleração centrípeta é igual ao quocientedo quadrado da velocidade inversa pelo raio da órbita. Simbolicamente o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: a = ΔV2/R Newton mostrou que: F=m.a Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: FC = m . ΔV2/R Em capítulos anteriores demonstrei que a aceleração centrípeta é igual aoângulo descrito em produto com o quadrado da variação da velocidade, inversapelo comprimento de onda. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: a = φ . ΔV2/λ Logo, substituindo convenientemente a referida expressão em FC = m . a FC = m . φ . ΔV2/λ Assim, posso concluir que a força centrípeta é igual à massa docorpúsculo em produto com o ângulo multiplicado pelo quadrado da variação davelocidade, inversa pelo comprimento de onda que o corpúsculo apresenta. Logo depois demonstrei que a aceleração centrípeta é igual aocomprimento de onda corpuscular em produto com a freqüência multiplicada pelavelocidade angular. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: a=ω.f.λ Substituindo convenientemente a referida expressão com FC = m . a;resulta que: FC = m . ω . f . λ
  42. 42. LEANDRO BERTOLDO 42Mecânica Elementar Desse modo, posso concluir que a força centrípeta é igual à massa docorpúsculo em produto com a velocidade angular que multiplica a freqüência emproduto com o comprimento de onda. Demonstrei que a aceleração centrípeta é igual ao valor quatromultiplicado pelo quadrado de  em produto com o quadrado da freqüênciamultiplicados pelo raio da órbita, inversa pelo quadrado do número de pulsos. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: a = 4π2 . f2 . R/n2 Logo, substituindo convenientemente a última expressão em FC = m . a;vem que: FC = m . 4π2 . f2 . R/n2 Desse modo, posso escrever que: n2 . FC = m . 4π2 . f2 . R Assim, posso concluir que o quadrado do número de pulsos em produtocom a força centrípeta é igual a massa do corpúsculo em produto quatro vezes oquadrado do valor de pi ( em produto com o quadrado da freqüênciamultiplicados pelo raio da órbita corpuscular. Cheguei a demonstrar que a aceleração centrípeta é igual ao dobro dovalor de  (piem produto com a freqüência e multiplicados pela variação davelocidade, inversa pelo número de pulsos. Simbolicamente o referido enunciado é expresso por: a = 2π . f . V/n Que substituída convenientemente com a expressão FC = m . a; resultaque: FC = m . 2π . f . V/n Assim, posso escrever que: n . FC = m . 2π . f . V Logo, depois demonstrei que a aceleração centrípeta é igual a oito vezeso cubo de  em produto com o quadrado da freqüência multiplicada pelo quadradodo raio , inverso pelo cubo do valor do número de pulsos multiplicado pelocomprimento de onda. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por:
  43. 43. LEANDRO BERTOLDO 43Mecânica Elementar a = 8π3 . f2 . R2/n3 . λ Sabe-se que FC = m . a. Assim, substituindo convenientemente as duasúltimas expressões, obtém-se: FC = m . 8π3 . f2 . R2/n3 . λ Demonstrei também, que a aceleração centrípeta é igual a oito vezes ocubo de  em produto com o cubo da freqüência multiplicado pelo quadrado doraio, inverso pelo cubo do número de pulsos em produto com a velocidade docorpúsculo. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: a = 8π3 . f3 . R2/n3 . V Sabe-se que FC = m . a. Desse modo, substituindo convenientemente asduas últimas expressões, resulta que: FC = m . 8π3 . f3 . R2/n3 . V
  44. 44. LEANDRO BERTOLDO 44Mecânica Elementar CAPÍTULO VI MOMENTOS QUÂNTICOS ELEMENTARES1. INTRODUÇÃO No presente capítulo vou procurar estudar os mais distintos momentosaplicados à Mecânica Quântica Elementar. Vou considerar no presente capítulo o estudo do Momento Linear de umcorpúsculo, do Impulso e o Momento Angular do corpúsculo. O Impulso e o Momento Linear são duas grandezas vetoriais regidaspelo teorema do impulso. Essas duas grandezas são absolutamente importantespara a análise dos choques dos corpúsculos. Neste mesmo capítulo é estabelecidoum princípio de conservação: a conservação do momento linear em sistemas decorpúsculos isolados de forças externas.02. DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE IMPULSO Na mecânica newtoniana o impulso é definido como sendo igual àintensidade de força em produto com a variação de tempo. Simbolicamente o referido enunciado é expresso por: I = F. Δt A referida equação analisa o comportamento de uma força que atuadurante um certo intervalo de tempo sobre um corpúsculo. O impulso é uma grandeza vetorial e possui intensidade, direção esentido. Aplicando a referida equação nos conceitos de corpúsculos bastasimplesmente substituir o conceito de tempo por período. Logo posso escrever que: I = F. T A referida equação expressa o impulso de um corpúsculo em movimentoretilíneo uniforme; pois o referido corpúsculo apresenta uma intensidade de forçaao se chocar contra qualquer objeto material. Em capítulos anteriores, demonstrei que o período é o inverso dafreqüência. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por:
  45. 45. LEANDRO BERTOLDO 45Mecânica Elementar T = 1/f Então, substituindo convenientemente as duas últimas expressões,resulta que: I = F/I Estudando o movimento corpuscular retilíneo uniformemente variado;posso afirmar que o impulso é igual à intensidade de força em produto com operíodo multiplicado pelo número de pulsos. O referido enunciado é expresso simbolicamente por: I=F.T.n Porém, demonstrei que o número de pulsos em produto com o período éigual ao número de pulsos, inverso pela freqüência. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinteigualdade: n . T = n/f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: I = F . n/f Logo posso concluir que a intensidade de impulso é igual à intensidadede força em produto com o número de pulsos inverso pela freqüência corpuscular. Demonstrei que a intensidade de força é igual à massa do corpúsculo emproduto com a freqüência multiplicada pela variação da velocidade, inversa pelonúmero de pulsos. Simbolicamente o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: F = m . f . ΔV/n Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: I = m . f . ΔV . n/n . f Eliminando os termos em evidência, vem que: I = m . ΔV Logo, posso concluir que a intensidade de impulso é igual à massa docorpúsculo em produto com a variação da velocidade.
  46. 46. LEANDRO BERTOLDO 46Mecânica Elementar Demonstrei que a intensidade de força que atua sobre um corpúsculo éigual à sua massa em produto com o quadrado da freqüência, multiplicados pelasomatória dos comprimentos de onda, inversa pelo quadrado do número de pulsos. Simbolicamente o referido enunciado é expresso por: F = m . f2 . Σλ/n2 Sabe-se que: I = F . n/f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, vem que: F = m . f2 . Σλ . n/n2 . f Eliminando os termos em evidência, vem que: I = m . f . Σλ/n Isso permite concluir que a intensidade de impulso é igual à massa docorpúsculo em produto com a freqüência, multiplicados pela somatória doscomprimentos de ondas, inversos pelo número de pulsos. Afirmei que a intensidade de força que atua sobre um corpúsculo é igualà massa desse corpúsculo em produto com o quadrado da variação da velocidade,inversa pela somatória dos comprimentos de ondas. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: F = m . ΔV2/Σλ Sabe-se que: I = F . n/f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, vem que: I = n . m . ΔV2/f . Σλ Logo posso afirmar que a intensidade do impulso é igual ao número depulsos do corpúsculo em produto com sua massa, multiplicado pelo quadrado davariação da velocidade, inversa pela freqüência em produto com a somatória doscomprimentos de ondas.3. IMPULSO E O MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
  47. 47. LEANDRO BERTOLDO 47Mecânica Elementar Demonstrei que a intensidade do impulso de um corpúsculo é expressopelas seguintes equações:a) I = FC . Tb) I = FC/f No movimento circular uniforme, demonstrei que a freqüência de umcorpúsculo é igual ao quociente da velocidade angular, inversa pelo ângulodescrito pelo corpúsculo em sua órbita. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: f = ω/φ Então, substituindo convenientemente a referida relação, com aexpressão (b); resulta que: I = FC/(ω/φ) Logo vem que: I = FC . ω/φ Assim, posso concluir que a intensidade de impulso é igual à intensidadeda força centrípeta em produto com o ângulo descrito, inverso pela velocidadeangular. Logo depois demonstrei que o ângulo descrito por um corpúsculo é igualao quociente do seu comprimento de onda, inverso pelo raio da órbita. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: φ = λ/R Substituindo convenientemente as duas últimas expressões; resulta que: I = FC . λ/ω . R Isso me permite concluir que a intensidade do impulso de um corpúsculoé igual à intensidade de força centrípeta em produto com o comprimento de onda,inversos pela velocidade angular em produto com o raio da órbita do corpúsculo. Porém foi demonstrado que a velocidade linear é igual à velocidadeangular em produto com o raio da órbita do corpúsculo. Simbolicamente o referido enunciado é expresso por: V=ω.R
  48. 48. LEANDRO BERTOLDO 48Mecânica Elementar Substituindo convenientemente as duas últimas expressões; resulta que: I = FC . λ/V Logo, posso concluir que a intensidade de impulso é igual ao quocienteda intensidade da força centrípeta em produto com o comprimento de onda,inversa pela velocidade Linear. Porém, esta largamente demonstrado no presente tratado que avelocidade linear do corpúsculo é igual ao seu ângulo corpuscular em produto coma freqüência e multiplicados pelo raio da órbita do corpúsculo. Simbolicamente o referido enunciado é expresso por: V=φ.f.R Substituindo convenientemente as duas últimas expressões; resulta que: I = FC . λ/φ . f . R Dessa maneira, posso concluir que a intensidade do impulso de umcorpúsculo em movimento circular e uniforme é igual à intensidade da forçacentrípeta em produto com o comprimento de onda, inverso pelo ângulocorpuscular em produto com a freqüência, multiplicados pelo raio da órbita docorpúsculo. Em outra parte, demonstrei que a freqüência de um corpúsculo é igual aoquociente de sua velocidade linear, inversa pelo raio da órbita do corpúsculo emproduto com o ângulo descrito. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: f = V/R . φ Como: I = FC/f Então, substituindo convenientemente as duas últimas relações, vem que: I = FC/(V/R . φ) Logo, resulta que: I = FC . R . φ/V Isso me permite concluir que o impulso de um corpúsculo é igual àintensidade de força que atua sobre esse corpúsculo em produto com o raio da
  49. 49. LEANDRO BERTOLDO 49Mecânica Elementarórbita multiplicado pelo ângulo descrito pelo corpúsculo, inverso pela velocidadelinear do corpúsculo. Demonstrei que, quando o corpúsculo apresenta comprimentos de ondaiguais em freqüência iguais sua velocidade linear será igual ao comprimento deonda em produto com a freqüência. Simbolicamente o referido enunciado é expresso por: V=λ.f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: I = FC . R . φ/λ .f Logo, posso concluir que o impulso de um corpúsculo é igual aoquociente da intensidade de força que atua sobre um corpúsculo em produto com oraio de sua órbita, multiplicado pelo ângulo descrito por tal corpúsculo, inversopelo comprimento de onda multiplicada pela freqüência. Em capítulos anteriores, demonstrei que o número de pulsos em produtocom o comprimento de onda é igual ao dobro do valor de  (pi) em produto com oraio da órbita do elétron. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: n . λ = 2π . R Porém, demonstrei que o comprimento de onda de um corpúsculo é igualao quociente da intensidade do impulso em produto com a velocidade linearinversa pela intensidade da força centrípeta. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: λ = I . V/FC Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, vem que: n = I . V/FC = 2π . R Logo, posso escrever que: n . I = FC . 2π . R/V Demonstrei que a velocidade linear de um corpúsculo é igual ao raio emproduto com a velocidade angular. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por:
  50. 50. LEANDRO BERTOLDO 50Mecânica Elementar V=R.ω Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, vem que: n . I = FC . 2π . R/R . ω Eliminando os termos em evidência, resulta que: n . I = FC . 2π/ω Isso me permite concluir que o número de pulsos em produto com aintensidade de impulso é igual ao quociente da intensidade da força centrípetamultiplicada pelo dobro do valor de  (pi), inverso pela velocidade angular. A intensidade de impulso de um corpúsculo é igual ao quociente daintensidade de força em produto com o ângulo descrito, inverso pela velocidadeangular. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso pela seguinte relação: I = FC . φ/ω Demonstrei que o número de pulsos em produto com a velocidadeangular é igual ao dobro do valor de  (pi) em produto com a freqüênciacorpuscular. Simbolicamente, o referido enunciado é expresso por: n . ω = 2π . f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: n . FC . ω/I = 2π . f Logo, posso escrever que: n/I = 2π . f/FC . φ Assim, posso concluir que a razão existente entre o número de pulsospela intensidade do impulso é igual ao quociente do dobro do valor de  (pi) emproduto com a freqüência, inversa pela intensidade de força centrípeta em produtocom o ângulo descrito pelo corpúsculo4. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Demonstrei a seguinte verdade:
  51. 51. LEANDRO BERTOLDO 51Mecânica Elementar I = FC/f Sabe-se que a força centrífuga é expressa por: FC = m . V2/R Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: (m . V2/R)/(f/1) Logo vem que: I = m . V2/R . f Porém sabe-se que: a = V2/R Substituindo as duas últimas expressões, vem que: I = m . a/f Sabe-se que: a = ω . f. λ Então, vem que: I = m . ω . f. λ/f Assim, resulta que: I=m.ω.λ Sabe-se que: I = m . a/f Porém, demonstrei que: a = 4π2 . f2 . R/n2 Substituindo, resulta que:
  52. 52. LEANDRO BERTOLDO 52Mecânica Elementar I = m . 4π2 . f2 . R/f . n2 Então vem que: n2 . I = m . 4π2 . f2 . R/f n2 . I = m . 4π2 . f . R Logo depois, demonstrei que: a . 2π . f . V/n Substituindo convenientemente com: I = m . a/f, resulta que: I = m . 2π . f . V/f . n n . I = m . 2π . f . V/f n . I = m . 2πV Logo depois demonstrei que: a = 8π3 . f2 . R2/n3 . λ Que substituída em I = m . a/f resulta que: I = m . 8π3 . f2 . R2/f . n3 . λ Então resulta que: n3 . I = m . 8π3 . f . R2/λ Depois demonstrei a seguinte lei: a = 8π3 . f3 . R/n3 . ω Que substituída convenientemente em I = m . a/f, resulta que: I = m . 8π3 . f3 . R/f . n3 . ω Então, resulta:
  53. 53. LEANDRO BERTOLDO 53Mecânica Elementar n3 . I = m . 8π3 . R . f2/ω5. DEFINIÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO Na mecânica newtoniana a quantidade de movimento de um corpúsculo éigual ao valor da massa do referido corpúsculo em produto com a velocidade depropagação do mesmo. O referido enunciado é expresso por: Q=m.V Porém, a velocidade de um corpúsculo é igual a: V=λ.f Então resulta que: Q=m.λ.f No M.U.V. demonstrei que: V = Σλ . Σf Então resulta que: Q = Σλ . Σf Logo depois, afirmei que: V = G . Σf Então, vem que: Q = m . G/Σf Sei que: Q = m . Σλ . Σf Demonstrei que: Σf = G/V Então, vem que: Q = m . Σλ . G/V
  54. 54. LEANDRO BERTOLDO 54Mecânica Elementar6. QUANTIDADE DE MOVIMENTO E M.C.U. Afirmei que: Q.m.V Demonstrei que: V=R.ω Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, obtém-se: Q=m.R.ω Defini que: R = λ/φ, então vem que: Q = m . λ . ω/φ Demonstrei que: n . λ = 2π . R Sabe-se que: Q=m.λ.f Substituindo as duas últimas expressões, resulta que: Q = m . f . 2π . R/n Demonstrei que: φ = 2π/n Afirmei que: Q.φ=m.λ.ω Substituindo as duas últimas expressões, resulta que: Q . 2π/n = m . λ . ω
  55. 55. LEANDRO BERTOLDO 55Mecânica Elementar Logo, resulta que: Q = n . m . λ . ω/2π (A) Demonstrei que: ω = 2π . f/n Afirmei que: Q=m.R.ω Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: Q = m . R . 2π . f/n (B) Igualando A com B, resulta que: m . R . 2π . f/n = n . m . ω . λ/2π Que resulta em R . 4π2 . f = n2 . ω . λ Demonstrei que: V = 2π . f. R/n Sabe-se que: Q=m.V Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: Q = m . 2π . f . R/n Então resulta que: n . Q = m . 2π . f . R7. QUANTIDADE DE MOVIMENTO E O M.C.U.V. Demonstrei que:
  56. 56. LEANDRO BERTOLDO 56Mecânica Elementar Q=m.V Porém: V=R.ω Substituindo convenientemente as duas últimas expressões vem que: Q=m.ω.R Demonstrei que: R = ω2/a Então substituindo, resulta que: Q = m . ω3/a Demonstrei que: a = ω2 . λ/φ, então, resulta que: Q = (m . ω3)/( ω2 . λ/φ) Então, vem que: Q = m . ω . φ/λ Demonstrei que: R = n2 . a/4π2 . f2 Afirmei que: Q=m.ω.R Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: Q = m . ω . n2 . a/4π2 . f2 Demonstrei que: Q=m.V Afirmei que:
  57. 57. LEANDRO BERTOLDO 57Mecânica Elementar V = n . a/2π . f Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resulta que: Q = m . n . a/2π . f Demonstrei que: Q.λ=m.ω.φ Em outra parte afirmei que: λ = 8π3 . f2 . R2/a . n3 Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, vem que: Q = 8π3 . f2 . R2/a . n3 = m . ω . φ Ou melhor: Q = a . n3 . m . ω . φ/8π3 . f2 . R2
  58. 58. LEANDRO BERTOLDO 58Mecânica Elementar CAPÍTULO VII TRABALHO1. INTRODUÇÃO Neste capítulo vou procurar estabelecer a noção de trabalho de uma forçaque atua sobre um corpúsculo.2. TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE Considere um corpúsculo em movimento, no qual esteja sendo aplicadauma força “F” constante, durante todo o decorrer do movimento corpuscular.Suponho que durante um determinado intervalo de tempo o corpúsculo tenhasofrido um deslocamento de comprimento de onda Σλ. Define-se por trabalhodessa força constante, durante o intervalo de tempo considerado, o produto daintensidade de força pelo deslocamento e pelo co-seno do ângulo  formado entrea força e o deslocamento. Simbolicamente o referido enunciado é expresso por: τ = F. Σλ . cosα Onde a letra grega τ (tau) representa o trabalho. Agora considere uma força constante e paralela ao deslocamentoretilíneo. Então, a expressão que traduz o conceito de trabalho de uma força serácaracterizada por: τ = F. Σλ Deve-se observar cuidadosamente que somente existe trabalho quando aforça examinada admite um componente na direção do deslocamento.3. OBSERVAÇÕESa) Embora estejam envolvidas no cálculo do trabalho duas grandezas vetoriais(força e deslocamento), esse trabalho é uma grandeza puramente escalar.
  59. 59. LEANDRO BERTOLDO 59Mecânica Elementarb) Ao estudar o trabalho realizado por uma força constante, o comprimento dodeslocamento de onda Σλ que ocorre enquanto atua uma força "F" não énecessariamente a produzida por esta, pois se deve levar em conta que outrasforças podem estar agindo simultaneamente.4. CLASSIFICAÇÃO DO TRABALHO O trabalho é classificado em:a) Trabalho motor;b) Trabalho resistente. O trabalho de uma força constante é motor quando a mesma atua a favordo deslocamento. Nesse caso o ângulo entre a força e o deslocamento é agudo. τ = F. Σλ . cosα Como 90º > α = 0, isto implica que 0 < cosα = 1 Portanto vem que: τ>0 Isso significa que o trabalho motor é sempre positivo. O trabalho de uma força constante é resistente quando a mesma atua emoposição ao deslocamento. Nesse caso, o ângulo entre a força e o deslocamento docomprimento de onda é obtuso. τ = F. Σλ . cosα Como 180º = α > 90º, isto implica que - 1 = cosα 0 Portanto: τ<0 Isso permite concluir que o trabalho resistente é sempre negativo.5. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
  60. 60. LEANDRO BERTOLDO 60Mecânica Elementar É possível demonstrar matematicamente que o trabalho realizado poruma força constante, atuando sobre um corpúsculo, somente depende das suasposições inicial e final sendo medidas pelo produto da intensidade da força pelaprojeção do deslocamento na sua direção. Costuma-se afirmar, nessas condições, que o trabalho independe datrajetória descrita pelo deslocamento do ponto de aplicação da força.6. OS CORPÚSCULOS E O TRABALHO Demonstrei que: τ = F. Σλ Demonstrei que: Σλ = V/Σf Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, obtém-se: τ = F. V/Σf Sabe-se que: τ = F. Σλ Demonstrei que: Σλ = G/Σf2 Então, substituindo convenientemente as duas últimas expressões,resulta que: τ = F. G/Σf2 Logo depois, demonstrei que: Σλ = V2/G Então, substituindo convenientemente com τ = F. Σλ, resulta que: τ = F. V2/G Demonstrei que:
  61. 61. LEANDRO BERTOLDO 61Mecânica Elementar F = m . v . Σf Como, τ = F. Σλ Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, obtém-se: τ = m . V . Σf . Σλ Demonstrei que: F = m . Σλ . Σf2 Como: τ = F . Σλ Substituindo convenientemente; resulta que: τ = m . Σf2 . Σλ2 Demonstrei que: F = m . V2 . Σλ Sabe-se que: τ = F . Σλ Logo, substituindo convenientemente, resulta que: τ = m . V2 . Σλ/Σλ Então, vem que: τ = m . V27. TRABALHO E MOVIMENTO CIRCULAR No estudo do movimento circular demonstrei que a força centrífuga éexpressa por: FC = m . V2/R Como τ = F . Σλ, então vem que: τ = m . V2 . Σλ/R Demonstrei que:
  62. 62. LEANDRO BERTOLDO 62Mecânica Elementar FC = m . 4π2 . f2 . R/n2 Como τ = F . Σλ, resulta que: τ = m . 4π2 . f2 . R . Σλ/n2 Demonstrei que: FC = 2π . f . V . m/n Como τ = F . Σλ, resulta que: τC = 2π . f . V . m . Σλ/n Demonstrei que: FC = 8π3 . f2 . R2 . m/n3 . Σλ Como τ = F . Σλ, resulta que: τC = 8π3 . f2 . R2 . m . Σλ/n3 . Σλ Logo, resulta que: τC = 8π3 . f2 . R2 . m/n3 Demonstrei que: FC = 8π3 . f3 . R2 . m/n3 . V Como τC = FC . Σλ, resulta que: τC = 8π3 . f3 . R2 . m . Σλ/n3 . V8. IMPULSO E TRABALHO Demonstrei que: F = ΣI . Σf
  63. 63. LEANDRO BERTOLDO 63Mecânica Elementar Como τ = F . Σλ, vem que: F = ΣI . Σf . Σλ Demonstrei que: Σλ = m . V2/I . Σf Como τ = F . Σλ, então, resulta que: τ = F . m . V2/I . Σf Demonstrei que: Σλ = I/m . Σf Como τ = F . Σλ, resulta que: τ = F . I/m . Σf9. TRABALHO E M.C.U. Demonstrei que: FC = I . ω/φ Como τ = FC . Σλ, resulta que: τ = I . ω . Σλ/φ Demonstrei que: FC = I . V/R . ω Como τ = FC . Σλ, resulta que: τ = I . V . Σλ/R . ω Demonstrei que: FC . Σλ = I . ω . R Como τ = FC . Σλ, resulta que:
  64. 64. LEANDRO BERTOLDO 64Mecânica Elementar τ=I.ω.R Demonstrei que: Σλ = FC . R . ω/I . Σλ Como τ = FC . Σλ, resulta que: τ = F2C . R . ω/I . Σf Demonstrei que: FC = n . I . ω/2π Como τ = FC . Σλ, resulta que: τ = n . I . ω . Σλ/2π Demonstrei que: FC = 2π . Σf . I/n . ω Como τ = FC . Σλ, resulta que: τ = 2π . Σf . I . Σλ/n . ω Demonstrei que: FC = 2π . Σf . I/n . ω Como τ = FC . Σλ, resulta que: τ = 2π . Σf . I . Σλ/n . ω
  65. 65. LEANDRO BERTOLDO 65Mecânica Elementar BibliografiaALONSO, M. & E.J. FINN. 1977. Física: um curso universitário. 2ª ed. SP:Edgard Blücher. Tradução Mário A. Guimarães, Darwin Bassi, Mituo Uehara ealvimar A. Bernardes.EISBERG, R. & R; RESNICK. 1979. Física quântica: átomos, moléculas, sólidos,núcleos e partículas. RJ: Campus. Tradução Paulo Costa Ribeiro, Enio Frota daSilveira e Marta Feijó Barroso.FERREIRA, L.C. 1975. Estudo dirigido de Física. 2ª ed. SP: Nacional.GONÇALVES, Dalton. Física do Científico e do vestibular. 7ª ed. Rio de Janeiro,Ao Livro Técnico, 1970.JUNIOR, F. R., J. I. C. dos SANTOS, N. G. FERRARO & P. A. de T. SOARES.1976. Os fundamentos da Física. 1ª ed. SP: Moderna.MASTERTON, W. L. & E. J. SLOWINSKI. 1978. Química Geral Superior. 4ª ed.RJ: Interamericana. Tradução Domingos Cachineiro Dias Neto e AntonioFernando Rodrigues.RESNICK, R. & D. HALLIDAY. 1979. Física. 2ª ed. RJ: Livros Técnicos eCientíficos. Tradução Antonio Maximo R. Luz, Beatriz Alvarenga Alvarez, Jésusde Oliveira e Márcio Quintão Moreno.TIPLER, P. A. 1978. Física. RJ: Guanabara, Tradução Horacio Macedo.

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