Artigos Matemáticos

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Livro de Leandro Bertoldo

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  1. 1. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGOS MATEMÁTICOS Leandro Bertoldo
  2. 2. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Dedico esta obra à minha querida mãe Anita Leandro Bezerra, que com grande esforço, sabedoria e esmerada dedicação foi bem sucedida em educar-me nos caminhos da honestidade, da responsabilidade e do conhecimento.
  3. 3. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Nada é realmente grande, senão o que é eterno em suas propensões. Ellen Gould White Escritora, conferencista, conselheira e educadora norte-americana. (1827-1915)
  4. 4. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos PREFÁCIO Os artigos apresentados nesta obra é resultado da intensa atividadeintelectual desenvolvida pelo autor como pesquisador nas áreas da Físicae da Matemática. Neste livro encontram-se reunidos uma parcela dosartigos matemáticos produzidos pelo autor entre 1978 a 1984, quandoainda era estudante colegial e universitário. Os artigos estão sendo publicados da forma como foramoriginalmente produzidos, sem qualquer alteração significativa. É claroque eles não pretendem ser um texto completo sobre o assunto queaborda, mas procura apenas apresentar a tese central defendida pelo autor. Estes artigos abrangem diversos campos da Matemática. Todosrepresentando idéias, soluções e reflexões originais cogitadas pelo autor,e possuem um certo grau de inovação no mundo da Matemática. As teses aqui apresentadas foram escritas e demonstradas numalinguagem algébrica elementar. Sendo que em alguns poucos casos, ondeeram indispensáveis, os artigos foram ilustrados com gráficos ou figurasgeométricas, com o único propósito de facilitar a visualização da tese queo autor defende no artigo considerado. Destarte, o conhecimento deMatemática exigido, para a perfeita compreensão de cada uma das tesesdefendidas neste livro, corresponde ao programa do Ensino Médio. A obra que o leitor possui em mãos é constituída por trinta e seisartigos matemáticos, cada qual totalmente independente dos demais.Portanto, os artigos podem ser individualizados e estudadosisoladamente. Aqui o leitor encontrará idéias como: Distribuição deCombinações; Progressão Fatorial Especial; Produtos Invariáveis;Cálculo Variável; Pacotes de Classes Numéricas; Números Virtuais;Propriedades dos Números Primos; Teoria dos Grupos; Legitimação;Cálculo Modular; Modulação; Cálculo Seguimental; GeometriaSeguimental. É esperança do autor que esta obra possa de alguma forma ser útil atodos aqueles que estudam e apreciam a Matemática como um amplo einesgotável campo de pesquisas científicas. Leandro Bertoldo leandrobertoldo@ig.com.br
  5. 5. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos SUMÁRIOArtigo I: Cálculo ModularArtigo II: ModulaçãoArtigo III: Soma de Uma ProgressãoArtigo IV: Progressão Fatorial EspecialArtigo V: Produtos InvariáveisArtigo VI: TricaisArtigo VII: PrensãoArtigo VIII: LegitimaçãoArtigo IX: Diferença Sucessiva Entre PotênciasArtigo X: Cálculo VariávelArtigo XI: Pacotes de Classes NuméricasArtigo XII: Equação SucessivaArtigo XIII: Espiral CaracolArtigo XIV: Números VirtuaisArtigo XV: Determinação do Raio a Partir do ArcoArtigo XVI: Selo na AdiçãoArtigo XVII: Selo de MultiplicaçãoArtigo XVIII: Razões ArcométricasArtigo XIX: Fórmula de Juros MensaisArtigo XX: Leandronização (I)Artigo XXI: Arco QuadriláteroArtigo XXII: Inclusões GeométricasArtigo XXIII: Propriedades dos Números PrimosArtigo XXIV: DivisibilidadeArtigo XXV: Teoria dos GruposArtigo XXVI: Série do Quadrado PerfeitoArtigo XXVII: Série ao CuboArtigo XXVIII: Cálculo de Áreas de Algumas FigurasArtigo XXIX: Valor BiaArtigo XXX: Distribuição de CombinaçõesArtigo XXXI: Gráfico Quadriculado (I)Artigo XXXII: Gráfico Quadricular (II)Artigo XXXIII: Gráfico Quadricular (III)Artigo XXXIV: Geometria EstéticaArtigo XXXV: Cálculo SeguimentalArtigo XXXVI: Geometria SeguimentalBibliografia
  6. 6. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO I CÁLCULO MODULAR1. Introdução O cálculo modular é uma tese altamente científica e poderosa paraa solução de vários problemas de engenharia. Verdade é que ageneralidade desse cálculo permite sua aplicação nos mais diversos ramosdo conhecimento humano. O cálculo modular que apresento, pode ser considerado como umaimportante inovação da matemática, desde o método matemático dasfluxões de Newton, que originaria o cálculo diferencial e integral. Essainovação não é somente caracterizada pelo cálculo em si; mas, pelométodo que foi composto.2. Fi de uma grandeza Uma definição matemática implica que o “fi” de uma grandeza é arazão entre um valor posterior pelo valor anterior da referida grandeza. De uma maneira geral, representando a grandeza por G e o seu fipor G, onde  (fi), corresponde à letra maiúscula do alfabeto grego;então, posso escrever que: G = valor posterior de G/valor anterior de G Simbolicamente, posso escrever que: G = GB/GA Deve-se observar que no presente artigo, a letra grega  indicamódulo ou fi de uma grandeza desconhecida.3. Empregos do Cálculo Modular O cálculo modular de Leandro é largamente empregado na física.Um dos exemplos mais simples é o seu emprego nas grandezasadimensionais, como o coeficiente de atrito; o coeficiente de restituição;certos coeficientes dinamoscópicos e tantos outros.
  7. 7. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos4. Funções Quando dois fis estão relacionados de modo tal que o valor doprimeiro é conhecido quando se expressa o valor da segunda, digo que oprimeiro fi é uma função do segundo.5. Grandezas fis e Constantes Toda grandeza é fi quando apresenta um número ilimitado devalores. Já uma grandeza é uma constante, quando apresenta um valorfixo. Os fis são indicados pelas últimas letras do alfabeto e as constantespelas primeiras.6. Fis Independentes e Dependentes Um fi, à qual se podem atribuir valores arbitrariamente escolhidos,diz-se fi independente. O outro fi, cujo valor é determinado quando se dáo valor do fi independente, diz-se fi dependente ou função.7. Notação das Funções O símbolo f(x) é usado para indicar uma função de x. Para indicardistintas funções, basta simplesmente mudar a primeira letra como emT(x), d(x) etc.8. Intervalo de um Fi Com uma certa freqüência, emprega-se o símbolo (a, b) sendo amenor do que b, para caracterizar todos os números compreendidos nointervalo a e b, eles inclusive, a menos que o contrário seja estabelecido.9. Fi Contínuo Um fi x fia continuamente em um intervalo (a, b) quando x crescedo valor a, para o valor b, de tal modo a tomar todos os valorescompreendidos entre a e b na ordem de suas grandezas; ou quando xdecresce de x = b para x = a tomando sucessivamente todos os valoresintermediários.
  8. 8. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos10. Unitésimo Um fi v, que tende a “um”, digo “unitésimo”. E escreve-se: lim v = 1 ou v  1 Isto significa que os valores sucessivos de v se aproximam de um. Se lim v = l, então lim v/l = 1, isto é, a razão entre o fi e o seulimite é um unitésimo.
  9. 9. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO II MODULAÇÃO1. Introdução Vou investigar o modo pelo qual uma função muda de valorquando o fi independente sofre modulação.2. Acréscimo Modular O acréscimo modular de um fi que muda de um valor numéricopara outro é a razão entre este segundo valor e o primeiro. Um acréscimomodular de x é indicado pelo símbolo x, que se lê “fi de x”. Um acréscimo modular pode ser positivo se o fi cresce e negativose decresce. Paralelamente, posso afirmar que:a - x indica um acréscimo modular de x;b - y indica um acréscimo modular de y,c - f (x) indica um acréscimo modular de f(x);d - etc. Se em y = f(x) o fi independente x toma um acréscimo modular x,então y indicará o correspondente acréscimo modular do fi dependentey. O acréscimo modular y é, pois, a razão entre o valor que a funçãotoma em x . x e o valor da função em x.3. Comparação de Acréscimo Modulares Primeiramente considere a seguinte função: y = x2 Tomarei um valor inicial para x e darei a este valor um acréscimomodular x. Evidentemente y receberá um acréscimo modularcorrespondente y, e tem-se:
  10. 10. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos y . y = (x . x)2ou y . y = x2 . x2 Dividindo a referida igualdade por: y = x2, resulta que: y . y/y = x2 . x2/x2 Eliminando os termos em evidência: y = x2 Dessa forma, obtém-se o acréscimo modular y em termos de x. Para achar a diferença entre os acréscimos modulares, subtraem-seambos os membros da última igualdade por x; tem-se: y - x = x2 - x4. Taxa de Acréscimos Modulares Considere uma função contínua e os números reais x0 e x. Arelação: [f(x)/f(x0)] – (x/x0) A referida diferença é chamada por “taxa de acréscimo modular” def em x0 é, está bem definida para todo x pertencendo a o intervaloqualquer do corpo dos números reais, diferente de x0, porém não para x =x0.5. Modulada de uma Função de um Fi A definição de modulada, fundamental no cálculo modular é aseguinte: Modulada de uma função é o limite da diferença do acréscimomodular da função para o acréscimo do fi independente, quando esteúltimo tende a um. Quando existe o limite mencionado, digo que a função émodulável. Modulação de uma função: y = f(x)
  11. 11. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos é, pois, o seguinte: Suponho que x tenha um valor fixo, dá-se a x um acréscimomodular x; então a função y recebe um acréscimo modular y, e se tem: y . y = f(x . x) Ou seja, tendo y = f(x) presente, vem que: y . f(x) = f(x . x) y = f(x . x)/f(x) Subtraindo ambos os membros pelo acréscimo modular do fi, x,tem-se que: y - x = [f(x . x) – x]/f(x) Que é a diferença entre os acréscimos modulares y e x. O limitedesta diferença quando x  1, é, por definição, a modulação de f(x), queindico pelo símbolo my – mx. Portanto, pode-se escrever que: my – mx = lim(x1) [f(x . x) - x]/f(x) Vem a definir a modulação de f(x) em diferenciação a x. Da penúltima relação, obtém-se que: my – mx = lim(x1) y - x Semelhantemente, se u é uma função de t, então: mu – mt = lim(x1) u - t = modulada de u em relação a t O processo para se achar a modulação de uma função édenominado por modulação.6. Símbolos para as Moduladas Como y e x são números, a diferença é caracterizada por: y - x O símbolo:
  12. 12. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos my - mx Contudo, não representa uma diferença; ela é o valor do limite dey - x, quando x tende a um. Em uma série de casos o símbolo secomporta como se fosse uma diferença. Como a modulação de uma função de x é também uma função de x,o símbolo f’(x) é também usado para indiciar a modulação de f(x). Logo,se: y = f(x) Posso escrever que: my – mx = f’(x) Que se diz: modulação de y em diferença a x igual a f apóstrofo dex. O símbolo: m – mx É considerado como um todo, chama-se operador de Leandro eindica que uma função escrita à sua direita deve ser modulada emdiferença a x. Assim,a) my – mx ou m – mx  y, indica a modulação de y em diferença a x;b) m – mx  f(x), indica a modulação de f(x) em diferença a x; O símbolo y’ é uma forma abreviada para caracterizar my – mx. O símbolo  pode ser usado para representa m – mx  Portanto,se: y = f(x) Então, posso escrever que: y’ = my – mx = m – mx  y = m – mx  f(x) =  f(x) = f’(x) Deve-se observar que quando se faz x tender a um, é x, e não x,o fi. O valor de x foi fixado de início. Para pôr em destaque o valor de xfixado de início – direi x = x0, escrevo que: f’(x0) = lim(x1) [f (x0 . x) - x]/f(x0)
  13. 13. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos7. Funções Moduláveis A teoria dos limites implica que se a modulada de uma funçãoexiste e é infinita para um certo valor do fi independente, então a função écontínua para esse valor de fi. Porém, existem funções que são contínuaspara um certo valor do fi e, no entanto não são moduláveis para essevalor. Contudo, tais funções, não aparecem com muito muita freqüência.8. Regra Generalizada de Modulação Da definição de modulada, vem que o processo para determinar amodulação de uma função y = f(x) consiste em tornar os seguintesprocedimentos distintos.A - Procedimento Primeiro Substitui-se x por x . x e calcula-se o novo valor da função, y . yB - Procedimento Segundo Divide-se o dado valor da função do novo valor, achando-se assimy, (que corresponde ao acréscimo modular da função).C - Procedimento Terceiro Efetua-se a subtração de y por xD - Procedimento Quarto Acha-se o limite da diferença quando x tende a um. Este limite éa modulação. Esse procedimento pode ser denominado por “procedimentoABCD”.
  14. 14. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO III SOMA DE UMA PROGRESSÃO1. Primeira Parte Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = a1 . (qn – 1)/(q – 1) Como (q = a) pode-se escrever: Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = a1 . (na – 1)/(a – 1) Como (p = n – 1), ou seja, (n = p + 1), conclui-se que: Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = a1 . (ap+1 – 1)/(a – 1) Como (a1 = 1), pode-se escrever que: Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = (ap+1 – 1)/(a – 1) Portanto vem que: Sn = a0 + a1 + a2 + ... + ap = (ap+1 – 1)/(a – 1)2. Segunda Parte Considere agora as seguintes expressões:a0 + b 0 = 2a1 + b1 = c1a2 + b 2 = d 2a3 + b3 = e3a4 + b4 = f4 A soma de todos os termos pode ser expressa por: S = 2 + c1 + d2 + e3 + f4 Portanto, pode-se escrever que: S = a0 + b0 + a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + a4 + b4 = 2 + c1 + d2 + e3 + f4
  15. 15. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Separando convenientemente os termos, pode-se escrever que: S = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + b0 + b1 + b2 + b3 + b4 = 2 + c1 + d2 + e3 + f4 Como foi demonstrado: Sn = a0 + a1 + a2 + ... + ap = (ap+1 – 1)/(a – 1) Então, substituindo convenientemente as duas últimas expressões egeneralizando-as pode-se escrever que:S = 2 + c1 + d2 + e3 + f4 + ... + xp = [(ap+1 – 1)/(a – 1)] + [(bp+1 – 1)/(b – 1)]
  16. 16. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO IV PROGRESSÃO FATORIAL ESPECIAL1. Definição Denomino por “progressão fatorial especial” (PF) uma sucessão denúmeros não nulos (resultado de uma fatorial ordenada) em que oquociente de cada um deles, a partir do segundo, pelo seu antecessor epela diferença do seu correspondente índice fatorial é sempre o mesmo.Este quociente constante é chamado por razão da progressão fatorialespecial.2. Fatorial Ordenada Defino a fatorial ordenada como sendo o resultado de n fatorialcaracterizado por uma ordem bem definida através de um trapézioretângulo. Considere a seguinte ilustração como um exemplo esclarecedor:1 x 2 = a11 x 2 x 3 = a21 x 2 x 3 x 4 = a31 x 2 x 3 x 4 x 5 = a41 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = a51 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = a6 Observa-se que os números que compõem o conjunto da fatorialordenada formam uma figura geométrica denominada por trapézioretângulo. No exemplo os valores a1, a2, a3, a4, a5 e a6, são os resultados dafatorial ordenada, ou seja, a sucessão de números não nulos. Evidentemente, tais resultados podem ser generalizados até n-egésimo valor: a1, a2, a3, a4, ..., an3. Razão da Progressão Fatorial Especial De acordo com a definição apresentada, a razão da progressãofatorial especial é caracterizada matematicamente por:
  17. 17. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos q = [(a2/a1) – a] = [(a3/a2) – 1] = [(a4/a6) – 2] = ... = [(an/an-1) – r]4. Índice Fatorial As grandezas (0, 1, 2, ..., r), são os chamados “índices fatoriais”.5. Fórmula Fatorial do Termo Geral Toda vez que a seqüência (a1, a2, a3, a4,..., an) for uma progressãofatorial especial, de razão fatorial q, então, posso escrever que:a2 = a1 . (q + 0)a3 = a2 . (q + 1) Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, resultaque:a3 = a1 . (q + 0) . (q + 1) Depois, posso escrever que:a4 = a3 . (q + 2) Novamente, substituindo convenientemente as duas últimasexpressões, vem que:a4 = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2) Da mesma forma posso escrever que:a5 = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2) . (q + 3)a6 = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2) . (q + 3) . (q + 4) Generalizando os referidos resultados, posso escrever que:an = a1 . [q + (n – n)] . {q + [n – (n – 1)]} . {q + [n – (n – 2)]} . {q + [n –(n – 3)]} . {q + [n – (n – 4)]} . ... . [q + (n – 2)] Tal fórmula representa o desenvolvimento da equaçãogeneralizada. Uma outra maneira de apresentar a equação generalizada é aseguinte:
  18. 18. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos an = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2) . (q + 3) . ... . (q + r) Observando, para tanto, que em qualquer caso é válida a seguinteigualdade: r=n–2
  19. 19. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO V PRODUTOS INVARIÁVEIS1. Equação Geométricaa) Considere a seguinte equação geométrica: y = 2x Tal equação permite obter os seguinte resultados:20 = 121 = 222 = 423 = 824 = 1625 = 3226 = 64 Então, o produto dos referidos valores em ordem crescente por suaordem decrescente, permite escrever que:(1 x 64) = 64(2 x 32) = 64(4 x 16) = 64(8 x 8) = 64(16 x 4) = 64(32 x 2) = 64(64 x 1) = 64b) Considere a seguinte equação geométrica y = 3x Então, posso escrever que:30 = 131 = 332 = 933 = 2734 = 8135 = 243
  20. 20. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos36 = 729 O produto dos referidos valores em ordem crescente por sua ordemdecrescente, permite escrever que:(1 x 729) = 729(3 x 43) = 729(9 x 81) = 729(27 x 27) = 729(81 x 9) = 729(243 x 3) = 729(729 x 1) = 729c) Considere a seguinte equação geométrica: y = 4x Então, posso escrever que:40 = 141 = 442 = 1643 = 6444 = 25645 = 102446 = 4096 O produto dos referidos valores por sua ordem crescente edecrescente permite escrever que:(1 x 4096) = 4096(4 x 1024) = 4096(16 x 256) = 4096(64 x 64) = 4096(256 x 16) = 4096(1024 x 4) = 4096(4096 x 1) = 4096 Agora, considere a seguinte seqüência de uma equação geométricaqualquer: (p0, p1, p2, p3, p4,..., pn) O produto dos referidos valores por sua ordem crescente edecrescente permite escrever que:
  21. 21. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos (p0 . pn) (p1 . p4) (p2 . p3) (p3 . p2) (p4 . p1) ... (p . p0) n A soma dos referidos resultados permite afirmar que:(p0 . pn) + (p1 . p4) + (p2 . p3) + (p3 . p2) + (p4 . p1) + ... + (pn . p0) = (n +1) . pn O produto de tais resultados permite escrever que:(p0 . pn) . (p1 . p4) . (p2 . p3) . (p3 . p2) . (p4 . p1) . ... . (pn . p0) = (pn)(n + 1) Observe a seguinte igualdade:p0 + p1 + p2 + p3 + p4 + ... + pn = pn/p0 + pn/p1 + pn/p2 + pn/p3 + pn/p4 +... + pn/pn Agora, considere o produto de:S = p0 . p1 . p2 . p3 . p4 . ... . pnS = pn . p4 . p3 . p2 . p1 . ... . p0 Então, posso concluir que:S = p0 . p1 . p2 . p3 . p4 . ... . pnS = pn . p4 . p3 . p2 . p1 . ... . p0S2 = (p0 . pn) . (p1 . p4) . (p2 . p3) . (p3 . p2) . (p4 . p1) . ... . (pn . p0)S2 = pn . pn . pn . pn . pn . ... . pnS2 = (pn)(n + 1) ou seja:S2 = pn . n + n Assim, posso escrever que: S = p0 . p1 . p2 . p3 . p4 . ... . pn = (pn . n2 + n) Apenas por pura curiosidade, apresento ao leitor, a realidade daseguinte expressão:
  22. 22. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos 2n = 2n – 1 + 2n – 2 +2n – 3 + ... + 2n – n + 1 Também, apresento as seguintes propriedades: y=w+z y – x = (w + z) – x y – x = (w – x/2) + (z – x/2) y=w+z+s y – x = (w + z + s) – x y – x = (w – x/3) + (z – x/3) + (s – x/3) y = w + z + s + ... + v y – x = (w + z + s + ... + v) – x y – x = (w – x/n) + (z – x/n) + (s – x/n) + ... + (v – x/n) Onde n, representa o número de termos.
  23. 23. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO VI TRICAIS1. Definição Proponho os seguintes problemas:a) 2 0,5 = 2, pois 2  2 = 0,5 Isso me permite escrever a seguinte equivalência: 2 0,5 = 2  2  2 = 0,5 Com isto, estou afirmando que:[(2 : 2) : 2] = 0,5 que equivale ao símbolo 2  2 = 0,5b) 2 0,33 = 3, pois 3  2 = 0,33 Isso me permite escrever a seguinte equivalência: 2 0,33 = 3  3  2 = 0,33 Simplesmente, estou afirmando que:[(3 : 3) : 3] = 0,33 que é representada por: 3  2 = 0,33 Logo, posso afirmar que: Base n-ésima de um número real “a”, éum número real “b”, que ficando à prensa “n” dá como resultado o valorde “a”. A referida definição permite escrever a seguinte equivalência: n a = b  b  n = a2. Elementos Indicando:n a = b, denomino:  de Trical
  24. 24. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosa de tricandon de elemento da tricalb de base n-ésima de aObservação: para se fincar uma base indicada a uma prensa, cujoexpoente seja igual ao índice da base, basta suprimir o sinal da trical,obtendo como resultado o tricando. Ou seja: n a  n = a3. Primeira Propriedade das Tricais Pode-se verificar que: n a . b = n a . n b Pela propriedade simétrica da igualdade, posso escrever que: n a . n b = n a . b4. Segunda Propriedade das Tricais Se: n a  n = a Então: n a  n = a Logo, posso escrever que: a = n a  n = n a  n5. Terceira Propriedade das Tricais É possível demonstrar que: n a/b = n a / n b Pela propriedade simétrica da igualdade, posso escrever que: n a / n b = n a/b6. Quarta Propriedade das Tricais
  25. 25. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Para elevar uma trical a uma potência, eleva-se o tricando a essapotência. De modo geral: ( a ) = n am m n7. Equação de Grau Trical “n” Denomino por equação de grau trical n com uma variável, todaequação da seguinte forma: a . x  0 + b . x  1 + c . z  2 + d . x  3 + ... + y . x  n = 0 Com a, b, c, d, ..., y  R e  0.
  26. 26. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO VII PRENSÃO1. Preliminares Apresento as seguintes questões:a) 2  2 = 0,5 Com isto, estou afirmando que:2  2 = [(2 : 2) : 2] = 0,5b) 4  2 = 0,25 Com isto, estou dizendo que:4  2 = [(4 : 4) : 4] = 0,25c) 8  2 = 0,125 Simplesmente, estou caracterizando que:8  2 = [(8 : 8) : 8] = 0,125d) 2  3 = 0,25 Com isto, digo que:2  3 = {[(2 : 2) : 2] : 2} = 0,25 Em termos lineares, estou afirmando que fincando dois (2) à prensatrês (3) é igual a dois, dividido por dois. Sendo que este primeiroresultado é novamente dividido por dois, e este segundo resultado énovamente dividido por dois tendo como resultado final: 0,25.2. Definição Em termos matemáticos defino prensão como sendo um número,dividido por si mesmo um certo número de vezes. O referido enunciado é expresso simbolicamente por:
  27. 27. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos b=an3. Elementos Indicando:an = b, denomino: a por base  por prensa n por expoente4. Propriedade da Prensão Para as prensões que apresentam por base um número real e comoexpoente um número racional relativo, são perfeitamente válidas asseguintes propriedades:a) Primeira Propriedade Prensal a0=a Logo, posso afirmar que qualquer base prensada a zero (0), temcomo resultado o valor de tal base (a).b) Segunda Propriedade Prensal a1=1 Desse modo, posso dizer que qualquer base prensada a um (1), temcomo resultado do expoente um (1).c) Terceira Propriedade Prensal Pode-se verificar facilmente que o produto entre bases distintas éexpressa por: (a . b)  n = (a  n) . (b  n) Pela propriedade simétrica da igualdade, posso afirmar que: (a  n) . (b  n) = (a . b)  n
  28. 28. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosd) Quarta Propriedade Prensal Pode-se verificar facilmente que o produto entre bases idênticas éexpressa por: (a  m) . (a  n) = a  (m + n) – 1 Pela propriedade simétrica da igualdade, posso afirmar que: a  (m + n) – 1 = (a  m) . (a  n)e) Quinta Propriedade Prensal Numa prensão sucessiva, a ordem dos expoentes não altera oresultado. Logo, posso escrever que: b=amn=anmf) Sexta Propriedade Prensal A seguinte igualdade é uma realidade elementar: (a  m  n + 1) / (a  m  n + 0) = b1/b0 = a  mg) Sétima Propriedade Prensal Pode-se verificar que: a  m  n + 0 = b1 a  m  n + 1 = b2 a  m  n + 2 = b3 a  m  n + 3 = b4 a  m  n + 4 = b5 ... a  m  n + y = b y+1h) Oitava Propriedade Prensal A soma de prensões com mesmos expoentes e base dois resulta naseguinte igualdade: (2  n) + (2  n) = 2  n – 1
  29. 29. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos5. Equação Equivalente de Leandro Pode-se demonstrar facilmente que a equação equivalente deLeandro é expressa pela seguinte igualdade: b  n = 1/b n - 16. Prensão Sucessiva Baseada na equação equivalente de Leandro é possível demonstrarque: a  m  n = a (m – 1) . (n – 1) Pela propriedade simétrica da igualdade, posso escrever que: a (m – 1) . (n – 1) = a  m  n7. Produto Entre Prensões Pela equação equivalente de Leandro, posso escrever a seguinteigualdade: (b  m) . (a  n) = 1/b m - 1 . a n – 1 Porém, se as bases forem idênticas, resulta que: (a  m) . (a  n) = a (m – 1) + (n – 1)8. Soma Entre Prensões A equação equivalente de Leandro permite escrever que: = (b  m) + (a  n) = 1/b m – 1 + 1/a n – 1, portanto, vem que: = (b m – 1 + a n – 1)/(b m – 1 . a n – 1)
  30. 30. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos9. Divisão Entre Prensões Por intermédio da equação equivalente de Leandro, posso escreverque: (b  m)/(a  n) = (a n – 1)/(b m – 1)10. Potência Entre Prensões É possível demonstrar através da equação equivalente de Leandroque: (a  n)m = 1/a (n . m) – m11. Propriedade Equivalente Sendo a > 0 e n  2 é válida a seguinte relação: b = n a  b  n = a A igualdade: b  n = a, somente será verdadeira quando: b = a . bn Logo, posso escrever que: n a = b  n a = a . bn12. Equação Notável A equação notável é representada simbolicamente por: (a + b)  n = 1/(a + b) n – 1 Ou seja, a equação notável é o inverso do binômio de Newton.
  31. 31. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO VIII LEGITIMAÇÃO1. Preliminar Considere a seguinte expressão: ax=N Sendo que: (“a” e “N” reais).a) Se a = 0, existe uma variedade de valores reais, não nulos, de x quetornam N = 0.b) Se a = 1, existe uma infinidade de valores reais de x que tornam N = 1.c) Se a  0  1, existe para cada valor de N, um só valor real de x queobserva a expressão apresentada. Dessa maneira, digo que dados dois números reais e positivos a eN, o primeiro dos quais difere da unidade, existe um único número real x,tal que: ax=N Denomino esse número real x de “legitimação do número N, nabase a”. Portanto, o cálculo do número x a que se deve prensar o número apara obter o número N vem a ser a operação inversa da prensão.2. Definição Denomino legitimação de um número real positivo N, em uma basea, positiva e distinta de “um” (01), ao expoente real x, o qual se deveprensar a base a para obter o valor de N. Então, escreve-se que: [a] N = x Posso então apresentar a seguinte igualdade: a  [a] N = N
  32. 32. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos3. Sistema de Legitimação [ ] Sistema de legitimação [ ] é o conjunto de legitimações de todos osnúmeros reais positivos diferentes de um (1), que emprega uma basecorrespondente ao seguinte: a =  0, cujas legitimações são denominadaspor “elementares”.4. Propriedadesa) Primeira Propriedade A legitimação de um número a em um sistema de base a é zero. De fato:a  0 = a, portanto: [a] a = 0b) Segunda Propriedade A legitimação e um é um, em qualquer sistema. Realmente:a  1 = 1, logo: [a] 1 = 1c) Terceira Propriedade Todo número positivo apresenta uma legitimação.5. Operações com Legitimações Sejam x e y as legitimações de A e B na base a, ou seja: [a] A = x portanto A = a  x [a] B = y B=ay De acordo com as regras de operações com prensões, tem-se:
  33. 33. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosa) a . B = (a  x) . (a  y) = a  (x + y) – 1 Portanto: [a] (A . B) = (x + y) – 1b) a . B = (a  x) . (a  y) = 1/a(x – 1) + (y – 1) Portanto: [a] (A . B) = [(x – 1) + (y – 1)] -1c) A/B = (a  x)/(a  y) = (ay – 1)/(ax – 1) = a(y – 1) – (x – 1) Portanto: [a] (A/B) = (y – 1) – (x – 1)d) Am = (a  x)m = 1/a(x . m) – m Portanto: [a] Am = [(x . m) – m]-1 Substituindo x e y por seus valores, tem-se:I) [a] (A . B) = ([a] A + [a] B) – 1II) [a] (A : B) = {([a] A – 1) + ([a] B – 1)}-1III) [a] (A : B) = ([a] B – 1) – ([a] A – 1)IV) [a] Am = {[a] (A . m) – m}-16. Variação de Base Seja um número N e sejam x e y suas legitimações em doissistemas de bases a e b, respectivamente. Se: [a] N = x [b] N = y Tem-se, pela definição que:
  34. 34. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosax=Nby=N Portanto, resulta que: ax=by Calcularei as legitimações de ambos membros da última igualdade,no sistema de base “a”: ([a] a – 1) . (x – 1) = ([a] b – 1) . (y – 1) Portanto, posso escrever que: (y – 1)/(x – 1) = ([a] a – 1)/( [a] b – 1) A referida expressão permite concluir a possível variação de base. A expressão ([a] a – 1) . (x – 1) = ([a] b – 1) . (y – 1) é facilmentedemonstrável, considerando que: [a] A = x, portanto A = a  x De acordo com a regra de operação de prensão, tem-se que: A  m  a(x – 1) . (m – 1) Portanto: [a] (A  m) = (x – 1) . (m – 1) Substituindo x por seu valor, tem-se: [a] (A  m) = ([a] A – 1) . (m – 1)7. Ilegitimação Denomino por ilegitimação de um número à legitimação dessenúmero. E escreve-se: N = [N]
  35. 35. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos8. Ilegalização Chamo por ilegalização de um número à legitimação do inversodesse número. E escreve-se simbolicamente por: N = [1]/N Porém, pode-se concluir que: [1]/N = ([1] – 1) – ([N] – 1) Porém: [1] = 1 Assim, vem que: [1]/N = (1 – 1) – ([N] – 1) [1]/N = – ([N] – 1) Então, posso escrever que: N = – ([N] – 1) Denominando ([N] – 1) por mono de Leandro, cujo símbolo érepresentado por N, tem-se: [N] – 1 = N Desse modo, posso escrever que: N = – N Com relação à referida expressão, posso estabelecer que:ilegalização de um número é o simétrico do mono de Leandro dessenúmero. Da referida conclusão, posso afirmar que subtrair o mono deLeandro de um número é o mesmo que somar a ilegalização dessenúmero.9. Legitimações Elementares
  36. 36. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Legitimações elementares são legitimações pertencentes ao sistemadecimal (base a = 10). Representarei: [10] N por [N]. Suas principais vantagens são:a) Primeira Vantagem Ser facilmente determinado, em virtude do sistema de numeraçãouniversalmente adotada ser decimal.b) Segunda Vantagem Sendo (m) um número inteiro, ([10]  m), o número de zeros àesquerda da unidade será representado por: (m – 1)
  37. 37. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO IX DIFERENÇA SUCESSIVA ENTRE POTÊNCIAS1. Introdução O presente artigo visa simplesmente demonstrar que a diferençaentre potências sucessivas sempre resulta num valor constante, desde quesubtraída sucessivamente.2 - Primeiro Exemplo 11 21 31 41 51 61 71 81 (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 Nesse exemplo a diferença final é o valor numérico “um”.3 - Segundo Exemplo 12 22 32 42 52 62 72 (1) 1 4 9 16 25 36 49 3 5 7 9 11 13 (2) 2 2 2 2 2 Nesse exemplo a diferença numérica final é dois.
  38. 38. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos4. Terceiro Exemplo 13 23 33 43 53 63 73 (1) 1 8 27 64 125 216 343 19 37 61 91 127 (2) 12 18 24 30 36 (3) 6 6 6 6 Nesse exemplo a diferença numérica final é seis.5. Quarto Exemplo 14 24 34 44 54 64 74 1 16 81 256 625 1296 2401 (1) 15 65 175 369 671 1105 (2) 50 110 194 302 434 (3) 60 84 108 132 (4) 24 24 24 Nesse exemplo a diferença numérica final é vinte e quatro.6. Quinto Exemplo 15 25 35 45 55 65 75 85 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 (1) 31 211 781 2101 4651 9031 15961 (2) 180 570 1320 2550 4380 6930 (3) 390 750 1230 1830 2550 (4) 360 480 600 720 (5) 120 120 120
  39. 39. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Nesse exemplo a diferença numérica final é cento e vinte.7. Termo Geral 1n 2n 3n 4n 5n 6n 7n ... Nn a b c d e f g ... z a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f1 g 1 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f2 x x x x x Nesse modelo a diferença algébrica final é x. Nesse modelo tem-se que: 1n = a; 2n = b; 3n = c; 4n = d; 5n = e; 6n = f; 7n = g; Nn = z Também se tem que:b – a = a1 b1 – a1 = a2 b 2 – a2 = xc – b = b1 c1 – b 1 = b 2 c2 – b 2 = xd – c = c1 d1 – c1 = c2 d 2 – c2 = xe – d = d1 e1 – d 1 = d 2 e2 – d 2 = xf – e = e1 f1 – e1 = e2 f2 – e 2 = xg – f = f1 g1 – f1 = f2z – g = g1 Onde (a1) representa a primeira subtração, (a2) a Segundasubtração, e assim sucessivamente.8. Fórmula Geral Nos exemplos anteriores apresentados a chamada diferença finalformou uma série tal que: x = 1, 2, 6, 24, 120 Se dividirmos o número posterior pelo anterior, obtém-se que: 2/1 = 2; 6/2 = 3; 24/6 = 4; 120/24 = 5
  40. 40. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Os valores obtidos representam a potência (n) na qual as sériesforam elevadas. Portanto posso escrever que:n2 . n1 = 2n3 . n2 . n1 = 6n4 . n3 . n2 . n1 = 24n5 . n4 . n3 . n2 . n1 = 120 Assim verifica-se que estamos diante de n fatorial. Logo se podeescrever que: x = n! Onde a letra (n) representa a potência na qual a série foi elevada e aletra (x), representa ao que tenho chamado por diferença final dasubtração da série.9. Observações Gerais1ª – O valor chamado aqui por diferença final na realidade é a razãoconstante da progressão aritmética, obtida após sucessivas subtrações.2ª – A última subtração da série inicial caracteriza a sucessão daprogressão aritmética, pois a diferença entre cada elemento a partir dosegundo e o seu anterior é sempre constante.3ª – Com relação ao termo geral (8) apresentado no presente artigo pode-se escrever que: f2 = a2 + (m – 1) . x Onde (m) representa a quantidade de termos numéricos da últimasubtração.4ª – A quantidade de termos final de (x) é caracterizada pela seguinteigualdade: mx = N – n5ª – Na primeira subtração a diferença entre potências sucessivas ésempre um número impar. Todas as demais subtrações sucessivas sãopares.6ª – A subtração entre números impares sempre vai resultar em númerospares. E a subtração entre números pares sempre vai resultar em númerospares.
  41. 41. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos7ª – Numa sucessão crescente de números elevados à potência, semprevai ocorrer uma alternância entre números impares e pares, de tal formaque a diferença entre eles resulta em números impares. Isso explicaporque a subtração da primeira série é impar e também porque as demaissubtrações decorrem em números pares.
  42. 42. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO X CÁLCULO VARIÁVEL1. Introdução O presente estudo visa estabelecer algumas definições básicas quepossam indicar o modo como uma função muda de valor quando suavariável dependente sofre variações uniformes. Tem por objetivoapresentar um novo método matemático fundamentado dentro do maisestrito rigor para o estudo de funções que variam de forma uniforme.2. Variação de Uma Função A variação de uma função ocorre quando existe uma modificaçãode um valor para outro. Ela é definida como sendo a diferença entre osegundo valor pelo primeiro. Simbolicamente escreve-se: x = x1 – x03. Razão Entre Variáveis Para encontrar a razão entre variáveis deve-se dividir a variáveldependente (y) pela variável independente (x). Portanto, (y) e (x) são valores numéricos e a razão entre eles é oquociente de (y) por (x). Simbolicamente pode-se escrever que: f(x) = y/x4. Variação de Uma Variável A característica de variação é a seguinte: Variação de uma variáveldependente é a razão da variação da dependente para a variação davariável independente, quando esta última tende a manter-se. Logo, quando existe a variação relatada, pode-se afirmar que existeuma variável. Para ilustrar o que foi afirmado, considere a seguinte variação: c . x = y
  43. 43. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Dando-se um acréscimo (y); então (c) recebe um acréscimo (c),e se obtém: (c + c) . x = y + y Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, pode-seescrever que: (y/x + c) . x = y + y Eliminando os termos em evidência primeiro termo, resulta: y + c . x = 2y Novamente eliminando os termos em evidência, vem que: c . x = y Ou seja: c = y/x Assim fica apresentada a regra geral de variação.5. Operador de Variação Considere o seguinte símbolo: /x O referido símbolo deve ser considerado como um todo. Podeperfeitamente ser chamado por operador de variação. Ele indica que todafunção expressa à sua direita deve ser variada em relação a (x).6. Exemplo de Operador de Variaçãoa) A relação y/x é expressa por: /x y, e mostra que a variação de (y)deve ocorrer em relação a (x).b) /x f(x) mostra que a variação de f(x) deve ocorrer em relação a (x). Portanto pode-se escrever que:
  44. 44. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos y/x = /x y = /x f(x)7. Variável Sucessiva A razão entre variáveis dependente e independente pode sertambém uma função variável de (x). Nestas condições, a nova funçãopode ser variável e neste caso a variável da variável primeira é definidacomo variável segunda. E da mesma forma a variável da variável segundaé chamada variável terceira e assim por diante. Portanto a variável davariável (n – 1)-egésima pode perfeitamente ser classificada comovariável n-egésima.8. Exemplos de Variáveis Sucessivasa) Considere que (y/x = c). Porém se (c) variar uniformemente de talmaneira que: c = c - c0 Obtém-se o seguinte resultado: /x (y/x) = db) Entretanto, se (d) sofrer uma variação uniforme de tal forma que: d = d – d0 Obtém-se que: /x[/x . (y/x)] = f9. Símbolos de Variáveis Sucessivas As variáveis sucessivas podem perfeitamente ser representadapelos seguintes símbolos:a) /x (y/x) = 2y/x2b) /x (2y/x2) = 3y/x3 E assim por diante.
  45. 45. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos O cálculo variável apresentado no presente artigo de formaabreviada é resultado de investigações com problemas da mecânicaclássica.
  46. 46. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XI PACOTES DE CLASSES NUMÉRICASA) Considere uma grandeza numérica que cresce numa sucessão quetende ao infinito. Por exemplo: n1, n2, n3, n4, n5, ..., nn Tal valor pode ser um grupo de alunos ou objetos numerados emordem crescente de n1 a nn. Onde n1 = 1, n2 = 2, n3 = 3,..., etc.B) Considere uma outra grandeza numérica finita e limitada, agrupadanuma ordem fixa crescente e invariável. Sendo que eu denominei areferida grandeza por classe (A). Por exemplo: A1, A2, A3 Onde A1 = 1, A2 = 2, A3 = 3C) Considere que a grandeza numérica finita – classes – (A1, A2, A3),acompanhem continuamente a grandeza infinita, e repetem-sesucessivamente na mesma ordem. Sendo que o valor de uma grandezacorresponde de forma biunívoca ao da outra. Por exemplo: n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8, n9, n10, n11, n12, n13 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 I II III IV VD) Considere que cada repetição completa da grandeza finita (classe), sedenomina pacote. Logo se torna evidente que o pacote (I) se estende den1 a n3; o pacote (II) se estende de n4 a n6; o pacote (III) se estende de n7a n9 e assim sucessivamente. Evidentemente, observa-se que os pacotessão caracterizados por um determinado número de classes, que noexemplo anterior caracteriza três classes (A1, A2, A3). Simbolicamente: Nº = 3E) Então para se saber quais os valores de n1, n2, n3,..., nn, quecaracterizam A1 ou A2 ou A3, basta empregar a seguinte equação queapresento a seguir:
  47. 47. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos N = p . Nº + A Onde p = 0, 1, 2, 3, 4, ... Onde Nº representa o número de classes do pacote. Onde A representa a classe em particular.F) Para efeito de exemplo, considere uma escala constituída por quatroclasses (A1, A2, A3, A4), onde dezoito alunos (n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8,n9, n10, n11, n12, n13, n14, n15, n16, n17, n18) serão distribuídos. Então, esquematizando a distribuição de alunos nas classes, possoescrever que: n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8, n9, n10, n11, n12, n13, n14, n15, n16, n17, n18 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 I II III IV V Então, posso concluir que a classe A1 recebeu os alunos n1, n5, n9,n13 e n17. A classe A2 recebeu os alunos n2, n6, n10, n14 e n18. A classe A3recebeu os alunos n3, n7, n11, e n15. A classe A4 recebeu os alunos n4, n8,n12, n16. Agora, aplicando a equação que apresentei anteriormente, possoconcluir que a classe A1 apresenta: n= p . Nº + A 1= 0 x 4 + 1 5= 1 x 4 + 1 9= 2 x 4 + 1 13 = 3 x 4 + 1 17 = 4 x 4 + 1 Sendo que os referidos resultados estão em perfeito acordo comaqueles que foram obtidos pela esquematização apresentada. Agora, considere os alunos da classe A2. n = p . Nº + A 2 = 0 x 4 + 2 6 = 1 x 4 + 2 10 = 2 x 4 + 2 14 = 3 x 4 + 2 18 = 4 x 4 + 2 Sendo que os referidos resultados estão em perfeito acordo com arealidade da questão.
  48. 48. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Agora, considere os alunos que ocuparão a classe A3. n = p x Nº + A 3 = 0 x 4 + 3 7 = 1 x 4 + 3 11 = 2 x 4 + 3 15 = 3 x 4 + 3 Sendo que tais resultados estão de acordo com a realidade. Agora, considere os alunos que ocuparão a classe A4. n = p . Nº + A 4 = 0 x 4 + 4 8 = 1 x 4 + 4 12 = 2 x 4 + 4 16 = 3 x 4 + 4 Novamente os referidos resultados estão de acordo com a realidadedo problema.
  49. 49. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XII EQUAÇÃO SUCESSIVA Considere a seguinte igualdade: x–k x1 – n1 Por regra de três simples, posso escrever que:A) x1 = n1 . x/k Agora considere o seguinte: x1 – k x2 – n2 Por regra de três simples, posso concluir que:B) x2 = x1 . n2/k Substituindo convenientemente as expressões (a) e (b), obtém-seque:C) x2 = n1 . n2 . x/k2 Considere o seguinte: x2 – k x3 – n3 Por regra de três simples direta, posso estabelecer que:D) x3 = x2 . n3/k Substituindo convenientemente as expressões (c) e (d), possoconcluir que: x3 = n1 . n2 . n3 . x/k3 Generalizando tais sucessões, posso escrever a seguinte equação:
  50. 50. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos xp = n1 . n2 . n3 . ... . np . x/kp Utilizando tais conceitos em porcentagem, tem-se o seguinte: x – 100% x1 – n1% Assim, vem que: x1 = n1% . x/100% Também, vem que: x1 – 100% x2 – n2% Ou seja: x2 = n2% . x1/100% Portanto, posso escrever que: x2 = n1% . n2% . x/(100%)2 Ao generalizar a referida expressão, obtém-se que: xp = n1% . n2% . n3% . ... . np% . x/(100)p
  51. 51. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XIII ESPIRAL CARACOL1. Composição Com um compasso deve-se traçar um semicírculo. A seguir, com aponta seca numa das extremidades de semicírculo, deve-se abrir ocompasso até a outra extremidade desse semicírculo. E a partir dessaextremidade deve-se proceder a descrição de um novo semicírculo,seguindo o sentido de fechamento da curva. Após deve-se repetirnovamente todo o processo com o novo semicírculo formado: coloca-se aponta seca na extremidade do último semicírculo descrito, então se deveabrir o compasso até a outra extremidade onde termina esse últimosemicírculo e a seguir, procede-se a descrição de um novo semicírculoseguindo o sentido do fechamento da curva. E assim procede-seindefinidamente, tantas vezes quanto se desejar. O procedimento acima descrito resulta na composição do que tenhochamado de espiral caracol.2. Diâmetro da Espiral Caracol (I) Descrevendo a figura pode-se constatar que o diâmetro da espiralpode ser calculado em função do tamanho do raio do primeirosemicírculo inscrito na figura, de acordo com a seguinte equação: D=2.r D = 2 . r0 + 4 . r0 + 8 . r0 + 16 . r0 + 32 . r0 + ... D = r0 . (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) Portanto pode-se perceber a existência de uma progressão quecresce com o dobro do número anterior. Desse modo posso escrever que: D = 2 n . r0 Na referida expressão a letra (D) representa o diâmetro total daespiral. A letra (n) representa o número de semicírculos que constituem aespiral. A letra (r0) representa o comprimento do raio inicial (raio doprimeiro semicírculo).
  52. 52. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos3. Diâmetro da Espiral Caracol (II) O diâmetro da espiral pode ser calculado em função do diâmetro doprimeiro semicírculo, conforme apresentado na seguinte demonstração: Sabe-se que o diâmetro é o dobro do raio, então se pode escreverque: D = 2 . r0 + 2 . (2 . r0) + 4 . (2 . r0) + 8 . (2 . r0) + 16 . (2 . r0) + ... Como: d0 = 2 . r0 Pode-se escrever que: D = d0 + 2 . d0 + 4 . d0 + 8 . d0 + 16 . d0 + 32 . d0 + ... D = d0 . (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) Portanto posso concluir que: D = 2n – 1 . d0 Na referida equação a letra (d0) representa o comprimento dodiâmetro inicial (diâmetro do primeiro semicírculo).4. Raio da Espiral Caracol Sabe-se que o raio é a metade do diâmetro. Então fundamentadonas expressões anteriores pode-se escrever que:1º) R = D/22º) R = 2n . r0/23º) R = 2n – 1 . d0/25. Comprimento da Espiral Caracol O comprimento da espiral caracol, evidentemente, é a soma dossemicírculos individuais. Desse modo posso escrever que: C = C1 + C2 + C3 + ... + Cn Sabe-se que o comprimento de um semicírculo é a metade doperímetro de um círculo.
  53. 53. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Dessa forma pode-se escrever que: Cs = p/2 Também se sabe que o perímetro de um círculo é igual ao valo depi () multiplicado pelo diâmetro do círculo. Simbolicamente pode-se escrever que: p=.d Como o diâmetro (d) do círculo é igual ao dobro do valor do raio(r), pode-se escrever que: d=2.r Substituindo convenientemente a referida expressão com a anterior,obtém-se que: p=.2.r Substituindo a referida expressão com a do comprimento dosemicírculo, vem que: Cs = 2 . r/2 Eliminando os termos em evidência, vem que: Cs =  . r Também se pode escrever que: Cs =  . d/2 O comprimento de cada semicírculo que constitui a espiral pode serapresentado da seguinte maneira:C1 =  . d0/2 =  . (2r0)/2 =  . 20 . (2r0)/2C2 =  . d1/2 =  . 2 . (2r0)/2 =  . 21 . (2r0)/2C3 =  . d2/2 =  . 4 . (2r0)/2 =  . 22 . (2r0)/2C4 =  . d3/2 =  . 8 . (2r0)/2 =  . 23 . (2r0)/2
  54. 54. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Como o comprimento total da espiral é a soma do comprimento detodos semicírculos que constituem a espiral, pode-se escrever que: C = C1 + C2 + C3 + ... + Cn Então, substituindo as últimas expressões, vem que:C =  . 20 . (2r0)/2 +  . 21 . (2r0)/2 +  . 22 . (2r0)/2 +  . 23 . (2r0)/2 + ...C =  . (2r0)/2 . (20 + 21 + 22 + 23 + ...)C =  . (2r0) . 2n - 1/2 Eliminando os termos em evidência, resulta que: C =  . r0 . 2n-1 Na referida expressão a letra (C) representa o comprimento total daespiral caracol. A letra (r0) representa o raio inicial (raio do primeirosemicírculo inscrito). A letra (n) representa o número de semicírculos queconstituem a espiral. Também se sabe que o diâmetro é o dobro do raio: d=2.r Porém como: C =  . 2r0 . 2n-1/2 Podem-se substituir convenientemente as duas últimas expressões,obtendo-se que: C =  . d0 . 2n-1/2 Na referida expressão a letra (d0) representa o diâmetro inicial(diâmetro do primeiro semicírculo inscrito na espiral).6. Área da Espiral Caracol Sabe-se que a área de um círculo é expressa por: A =  . R2
  55. 55. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Então se torna evidente que a área do semicírculo é a metade daárea do círculo. Ou seja: a =  . R2/2 Analisando a espiral caracol pode-se verificar que a sua área éexpressa por: a = a1 + a2 + (a3 – a1) + (a4 – a2) + (a5 – a3) + ... + (an – an-2) Também se pode escrever que: a = a1 + a2 + (a3 – a3-2) + (a4 – a4-2) + (a5 – a5-2) + ... + (an – an-2) Onde a letra (a) representa a área de cada semicírculo e o índice aolado da letra “a” representa a identificação do semicírculo. O raio de cada semicírculo pode ser expresso pela seguinteexpressão:r0 = 2 . r0/2r1 = 4 . r0/2r2 = 8 . r0/2r3 = 16 . r0/2r4 = 32 . r0/2 Portanto a área de cada semicírculo pode ser expressa por:a1 = /2 . (2 . r0/2)2  a1 =  . r02/2  a1 = /2 . (20 . r0)2  a1 = /2 . (21-1. r0 )2a2 = /2 . (4 . r0/2)2  a2 = /2 . (2 . r0)2  a2 = /2 . (21 . r0)2  a2 = /2 .(22-1 . r0)2a3 = /2 . (8 . r0/2)2  a3 = /2 . (4 . r0)2  a3 = /2 . (22 . r0)2  a3 = /2 .(23-1 . r0)2a4 = /2 . (16 . r0/2)2  a4 = /2 . (8 . r0)2  a4 = /2 . (23 . r0)2  a4 = /2. (24-1 . r0)2a5 = /2 . (32 . r0/2)2  a5 = /2 . (16 . r0)2  a5 = /2 . (24 . r0)2  a5 =/2 . (25-1 . r0)2 Substituindo convenientemente as referidas expressões naquela queestabelece a área da espiral, pode-se escrever que:
  56. 56. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos a = a1 + a2 + (a3 – a1) + (a4 – a2) + (a5 – a3) + ... + (an – an-2)a = /2 . (21-1 . r0)2 + /2 . (22-1 . r0)2 + [/2 . (23-1 . r0)2 - /2 . (21-1 . r0)2] +[/2 . (24-1 . r0)2 - /2 . (22-1 . r0)2] + [/2 . (25-1 . r0)2 - /2 . (23-1 . r0)2] + ... +[/2 . (2n-1 . r0)2 - /2 . (2n-3 . r0)2] Também posso escrever que:a = /2 . [(21-1 . r0)2 + (22-1 . r0)2] + /2 . [(23-1 . r0)2 - (21-1 . r0)2] + /2 . [(24-1. r0)2 - (22-1 . r0)2] + /2 . [(25-1 . r0)2 - (23-1 . r0)2] + ... + /2 . [(2n-1 . r0)2 -(2n-3 . r0)2] Novamente pode-se escrever que:a = /2 . {[(21-1 . r0)2 + (22-1 . r0)2] + [(23-1 . r0)2 - (21-1 . r0)2] + [(24-1 . r0)2 -(22-1 . r0)2] + [(25-1 . r0)2 - (23-1 . r0)2] + ... + [(2n-1 . r0)2 - (2n-3 . r0)2]} Pode-se também escrever que:a = /2 . {[(21-1 . r0)2 + (22-1 . r0)2] + [(23-1 . r0)2 - (23-3 . r0)2] + [(24-1 . r0)2 -(24-3 . r0)2] + [(25-1 . r0)2 - (25-3 . r0)2] + ... + [(2n-1 . r0)2 - (2n-3 . r0)2]}
  57. 57. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XIV NÚMEROS VIRTUAIS A equação (a2 = y) indica que a imagem y do número real x2 estásendo observada sob a óptica do mesmo plano matemático. Entretantosob tal óptica, a equação (x2 = - y), implica que na natureza não existenúmero real que seja raiz de índice par, de um número negativo. Talequação (x2 = - y), somente apresenta uma solução satisfatória, quando seconsidera que a parte x2 seja um número real e a parte – y, um númerovirtual. Portanto, a imagem – y do número real x2, é observada em relaçãoa um plano real para um plano virtual. Naturalmente para se visualizartais conceitos são necessários considerar as seguintes definições:Considere um gráfico cartesiano num plano geométrico real; ao colocá-loem frente de uma superfície refletora retilínea (s), aparece um planovirtual com um gráfico cartesiano virtual. Conforme se pode observar noseguinte esquema: x x plano virtual V y y (s) y y x x plano real R Desse modo, pode-se concluir que existem as seguintespropriedades:a) Os números y e x são denominados por números virtuais em relação àsuperfície refletora;b) Os números x e y são denominados de números reais;c) Logicamente o número real x e o número virtual x, são simétrico emrelação à superfície refletora plana;
  58. 58. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosd) O número real e virtual tem natureza contrária: se o número é real, aimagem é virtual e vice-versa, naturalmente em referência aos planos deobservação. Um número complexo jamais deve ser apresentado em um gráficocartesiano no mesmo plano; porém, em gráfico de planos matemáticossimétricos. Tal negligência vem sendo cometida por todos matemáticos, eisto porque criaram conceitos de plano imaginários com eixo real eimaginário no mesmo gráfico do sistema cartesiano. Tais conceitos estãototalmente contrários à razão matemática; pois a equação x = y ao serrepresentada no gráfico cartesiano, impede a representação de x = yi(imaginário), onde naturalmente yi é o reflexo de y, do plano real para oplano virtual.
  59. 59. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XV DETERMINAÇÃO DO RAIO A PARTIR DO ARCO1. Introdução O presente método tem por objetivo procurar determinar o centrode um circulo, partindo apenas de um arco inscrito. Até a determinação do raio da circunferência, que inscreveu o arcoem questão, têm-se oito procedimentos.2. Procedimentosa) O primeiro procedimento é ter um arco: ab) O segundo procedimento consiste em inscrever uma corda nasextremidades do arco. a bc) O terceiro procedimento consiste em inscrever uma flecha cujasextremidades divide o arco e a corda na metade. a i1 i2 c b Desse modo obtém-se dois sub-arcos simétricos (i1 e i2).d) O quarto procedimento consiste em inscrever uma corda em um dossub-arcos. a i1 i2 c d b
  60. 60. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticose) O quinto procedimento consiste em inscrever uma corda no outro sub-arco. a i1 i2 c e d bf) Para o sexto e sétimo procedimentos devem-se inscrever uma flechanos dois sub-arcos. Sendo tal flecha chamada sub-flecha. a i 1 f1 f2 i 2 c e d bg) Como oitavo e nono procedimentos devem-se prolongar internamenteas sub-flechas até se cruzarem, onde se encontra o centro do circulo. a i 1 f1 f2 i 2 c e d b g Assim, o prolongamento das sub-flexas, levou ao centro do circulo;e, naturalmente, o valor do comprimento do prolongamento da sub-flechaaté seu cruzamento (centro do círculo) é igual ao raio do círculo.
  61. 61. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XVI SELO NA ADIÇÃO1. Definições Primeira definição: Todo e qualquer número apresenta umagrandeza intrínseca que chamo por selo. Segunda definição: O selo de um número pode ser definido por parou ímpar. Terceira definição: Defino uma operação entre dois selos,quaisquer que sejam, como carta.2. Simbolismo Apresento os seguintes símbolos para representar as grandezas emquestão:a) as letras (x, y e z) representam: um número qualquer;b) a letra (s) representa: o selo;c) a letra (p) representa: positivo;d) a letra (i) representa: negativo;e) a letra (c) representa: carta;f) a letra (v) representa: um valor qualquer.3. Postulados Primáriosa) Primeiro Postulado: Um número qualquer com um selo paradicionado com outro número qualquer de selo par, é igual a uma carta deselo par. Simbolicamente: xsp + ysp = Cspb) Segundo Postulado: Um número qualquer com um selo impar,adicionado com outro número qualquer de selo impar, é igual a uma cartade selo par. Simbolicamente: xsi + ysi = Csp
  62. 62. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosc) Terceiro Postulado: Um número qualquer com um selo impar,adicionado com qualquer outro número de selo par, é igual a uma cartacom o selo impar. Simbolicamente: xsi + ysp = Csi4. Princípio Geral Generalizando os três últimos postulados posso enunciar o seguinteprincípio geral: “A soma entre selos iguais, implica numa carta de selopar”. Simbolicamente: Sp + Sp = Csp Si + Si = Csp “E a soma entre selos diferentes, implica em uma carta de seloimpar”. Simbolicamente: Sp + Si = Csi5. Postulados Secundáriosa) Primeiro Postulado: A somatória entre quaisquer cartas de selos parestem como resultado um valor de selo par. Simbolicamente: CSp1 + CSp2 + ... + CSpn = VSpOu seja:  CSp = VSp Postulado adicional (I): A somatória entre quaisquer cartas deselos pares, adicionadas com um número com selo par, tem comoresultado um valor de selo par. Simbolicamente:  CSp + XSp = VSp Postulado adicional (II): A somatória entre quaisquer cartas deselos pares adicionadas com um número com selo impar, tem comoresultados um valor de selo impar. Simbolicamente:  CSp + XSi = VSi
  63. 63. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Observe que tais postulados são uma conseqüência natural doprincípio geral.b) Segundo Postulado: A somatória entre quaisquer cartas de selosimpares tem como resultado um valor de selo par. Simbolicamente:  CSi = VSp Postulado adicional (I): A somatória entre quaisquer cartas deselos impares, adicionado com um número de selo par, tem comoresultado um valor de selo par. Simbolicamente:  CSp + XSp = VSp Postulado adicional (II): A somatória entre quaisquer cartas deselos ímpares, adicionado com um número de selo ímpar, tem comoresultado um valor de selo impar. Simbolicamente:  CSi + XSi = VSi Observe novamente que tais postulados são uma conseqüêncianatural do princípio geral.c) Terceiro Postulado: A soma entre uma carta de selo negativo pelasomatória de quaisquer cartas de selos pares, tem como resultado umvalor de selo impar. Simbolicamente: CSi +  CSp = VSi Postulado Adicional (I): A soma entre uma carta de selo negativo,pela somatória de quaisquer cartas de selos pares adicionado com umnúmero de selo par, tem como resultado um valor de selo ímpar.Simbolicamente: CSi +  CSp + XSp = VSi Postulado adicional (II): A soma entre uma carta de selo negativo,pela somatória de quaisquer cartas de selos pares adicionado com umnúmero de selo ímpar, tem como resultado um valor de selo ímpar.Simbolicamente: CSi +  CSp + XSi = VSp
  64. 64. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosd) Quarto Postulado: CSi +  CSi = VSpi Postulado adicional (I): CSi +  CSi + XSi = VSp Postulado adicional (II): CSi +  CSi + XSp = VSi
  65. 65. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XVII SELO DE MULTIPLICAÇÃO1. Postulados Primáriosa) Primeiro Postulado: Um número qualquer de selo par, multiplicadopor outro número qualquer de selo par, é igual a uma carta de selo par.Simbolicamente: XSp . YSp = CSpb) Segundo Postulado: Um número qualquer com um selo impar,multiplicado por outro número qualquer de selo ímpar, é igual a umacarta de selo impar. Simbolicamente: XSi . YSi = CSic) Terceiro Postulado: Um número qualquer de selo par, multiplicadopor outro número qualquer de selo ímpar, é igual a uma carta de selo par.Simbolicamente: XSp . YSi = CSp2. Princípio Geral Generalizando os três últimos postulados, posso enunciar oseguinte princípio geral: A multiplicação de um selo par por qualqueroutro tipo de selo, tem sempre como resultado numa carta de selo par. Sp . Si = CSp Sp . Sp = CSp E a multiplicação entre selos ímpares, implica em uma carta deselo ímpar. Si . Si = CSi Ou então poderia afirmar que a multiplicação entre selos idênticosimplica numa carta com o mesmo selo ao da operação.
  66. 66. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Sp . Sp = CSp Si . Si = CSi
  67. 67. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XVIII RAZÕES ARCOMÉTRICAS1. Introdução Considere a seguinte figura geométrica: I z r  Onde a letra (z) representa o ângulo em graus (transferidor), onde aletra (r) representa o raio do circulo, a letra (I) representa o arco e a letra() representa o valor da constante pi.2. Arco O valor do arco é definido como sendo igual ao produto existenteentre o pi pelo raio pelo ângulo, inverso pela constante numérica 180. Simbolicamente, pode-se escrever que: I =  . r . z/1803. Radiano O radiano é definido como sendo a relação entre o arco pelo raio. Simbolicamente, escreve-se: R = I/r4. Angoliano Defino a grandeza denominada por angoliano como sendo igual àrelação existente entre o ângulo pelo raio.
  68. 68. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos Simbolicamente posso escrever que: A = z/r5. Gradiano Defino a grandeza gradiano com sendo igual à relação existenteentre o valor do arco pelo ângulo. Simbolicamente, posso escrever que: G = I/z6. Partiano Defino a grandeza que chamo por partiano como sendo igual àrelação matemática existente entre o arco pelo número de partes docírculo. Simbolicamente, posso escrever que: p = I/n7. Número de Partes do Círculo Defino o número de partes do círculo como sendo igual à relaçãoexistente no valor constante de 360 pelo ângulo. Simbolicamente, posso escrever que: n = 360/z8. Equação do Gradiano Sabe-se que: I =  . r . z/180 G = I/z Substituindo convenientemente as duas últimas expressões, possoescrever que:
  69. 69. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos G =  . r/180 Ocorre que o valor (/180) é uma constante, logo posso afirmar queo gradiano é diretamente proporcional ao raio do círculo. Simbolicamente, posso escrever que: G=K.r Onde o valor da constante K é representado por: K = 0,01744449. Fórmulas Derivadas das Razões Arcométricasa) p = I/n, como I = R . r, vem que: p = R . r/nb) p = I/n, como I =  . r . z/180, vem que: p =  . r . z/n . 180c) p = I/n, como I = G . z, vem que: p = G . z/nd) p = I/n, como n = 360/z, vem que: p = I . z/360e) I = G . z, como I = p . n, como I = R . r, como I =  . r . z/180, vem que:G . z = p . n = R . r =  . r . z/180f) G = I/z, como z = 360/n, vem que: G = n . I/360g) G = I/z, como z = A . r, vem que: G = I/A . rh) G = I/A . r, como R = I/r, vem que: G = R/Ai) A = z/r, como r = I/R, vem que: A = z . R/Ij) I =  . r . z/180, como A = z/r, resulta que: I =  . r2 . A/180 =  . z2/A .18010. Apresentação das Razões Arcométricas do Gradiano Uma outra maneira de apresentar os estudos anteriores é a seguinte:Considere a seguinte figura:
  70. 70. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos b r b a z I I c c r Assim, consideremos um ângulo agudo â de lados ab e ac. A seguir,traçamos arcos perpendiculares: bc  ac e bc  ac. Agora, considere a seguinte figura: r b I2 a z  c I z I1 d r Chama-se gradiano do arcádio a razão cd/. Indica-se: G = cd/z  gradiano = arco/ângulo  G = I/z Logo: “gradiano de um arcádio é a razão entre a medida do arcoaposto ao ângulo e a medida desse ângulo”. Seja: bd   e cd  z pelo caso são semelhantes os arcádios: bd ,cd z, portanto: bd/ = cd/z O valor comum dessas razões é denominado de “razõesarcométricas” do referido arco. Essas razões podem ser obtidas através deconstruções geométricas.
  71. 71. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XIX FÓRMULA DE JUROS MENSAIS A fórmula de juros é a seguinte J = P . % . d/36000 Onde;J = JurosP = Capital% = Porcentagemd = Número de dias Se os juros forem mês sobre mês e o capital mensal básico forsempre de mesmo valor, podemos estabelecer que a somatória dos juros,mês a mês é a seguinte: J = P . % . 30/36000 [nº/2 . (nº + 1)] Onde:nº = Número de meses30 = Número de dias em um mêsJ = Somatória de Juros Tudo isto, desde que exista a seguinte condição: P = P1 = P2 = P3 = ... = Pn Pois: J = J1 + J2 = J3 + ... + Jn
  72. 72. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XX LEANDRONIZAÇÃO (L)1L0=0 2L0=1 3L0=2 4L0=31L1=1 2L1=2 3L1=3 4L1=41L2=2 2L2=3 3L2=4 4L2=51L3=3 2L3=4 3L3=5 4L3=61L4=4 2L4=5 3L4=6 4L4=71L5=5 2L5=6 3L5=7 4L5=81L6=6 2L6=7 3L6=8 4L6=91L7=7 2L7=8 3L7=9 4 L 7 = 101L8=8 2L8=9 3 L 8 = 10 4 L 8 = 111L9=9 2 L 9 = 10 3 L 9 = 11 4 L 9 = 121 L 10 = 10 2 L 10 = 11 3 L 10 = 12 4 L 10 = 135L0=4 6L0=5 7L0=6 8L0=75L1=5 6L1=6 7L1=7 8L1=85L2=6 6L2=7 7L2=8 8L2=95L3=7 6L3=8 7L3=9 8 L 3 = 105L4=8 6L4=9 7 L 4 = 10 8 L 4 = 115L5=9 6 L 5 = 10 7 L 5 = 11 8 L 5 = 125 L 6 = 10 6 L 6 = 11 7 L 6 = 12 8 L 6 = 135 L 7 = 11 6 L 7 = 12 7 L 7 = 13 8 L 7 = 145 L 8 = 12 6 L 8 = 13 7 L 8 = 14 8 L 8 = 155 L 9 = 13 6 L 9 = 14 7 L 9 = 15 8 L 9 = 165 L 10 = 14 6 L 10 = 15 7 L 10 = 16 8 L 10 = 179L0=8 10 L 0 = 9 11 L 0 = 10 12 L 0 = 119L1=9 10 L 1 = 10 11 L 1 = 11 12 L 1 = 129 L 2 = 10 10 L 2 = 11 11 L 2 = 12 12 L 2 = 139 L 3 = 11 10 L 3 = 12 11 L 3 = 13 12 L 3 = 149 L 4 = 12 10 L 4 = 13 11 L 4 = 14 12 L 4 = 159 L 5 = 13 10 L 5 = 14 11 L 5 = 15 12 L 5 = 169 L 6 = 14 10 L 6 = 15 11 L 6 = 16 12 L 6 = 179 L 7 = 15 10 L 7 = 16 11 L 7 = 17 12 L 7 = 189 L 8 = 16 10 L 8 = 17 11 L 8 = 18 12 L 8 = 199 L 9 = 17 10 L 9 = 18 11 L 9 = 19 12 L 9 = 209 L 10 = 18 10 L 10 = 19 11 L 10 = 20 12 L 10 = 21
  73. 73. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos QUADRO DE LEANDRONIZAÇÃO (L) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 124 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 146 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 157 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 168 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 179 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1810 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1911 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  74. 74. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XXI ARCO QUADRILÁTERO (x) d (y) h p a1. Definições Circular (qualquer linha curva) p = arco (parábolas, círculos etc). b = flecha a = pico h = altura d = distância entre estacas (x) = haste fixa (y) = haste móvel (mx) = máximo2. Condiçõesh = p/23 - Propriedadesa) h = a + bb) dmx = 2h = pc) d0 = h0
  75. 75. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosd) b = (p – d)/2e) a = h – [(p – d)/2]4. Semi-círculoCondição de Semicírculo (SC)  d/b = 2Condição de Semicírculo (SC)  h/2Condição de Semicírculo (SC)  b – a = 0  b = aCondição de Semicírculo (SC)  d = h
  76. 76. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos ARTIGO XXII INCLUSÕES GEOMÉTRICAS1. Introdução O presente artigo procura estabelecer algumas relaçõesfundamentais existentes entre quadriláteros e círculos.2. Simbologia A simbologia adotada no presente artigo é a seguinte:a)  = (pi)b) D = diâmetro do círculoc) d = diagonal do quadriláterod) l = lado do quadriláteroe) P1 = perímetro do círculof) P2 = perímetro do quadradog) A1 = área do círculoh) A2 = área do quadradoi) A = variação de áreaj) P = variação de perímetrol) A3 = Área da lúnulam) B = arcon) F = Flechao)  diferentep) = igualq) ~ proporcionalr)  aproximados)  se e somente set)  entãou)  implicaçãov)  portantos)  ez)  ou3. Fórmulas
  77. 77. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos As fórmulas básicas empregadas no presente artigo são asseguintes:a) A1 =  . D2/4b) A2 = l2c) P1 =  . Dd) P2 = 4le) d2 = 2l2f) A1 = P1 . D/4g) d2 = 2A2h)d = 2 . A24. Figuras com Perímetros IguaisI – Considere as seguintes figuras geométricas: A2 A1 d l D P2 P1II – Hipótese: P2 = P1III – Conseqüências:a) P2 = 4l  p1 =  . D  4l =  . D  /4 = l/D  l ~ Db) l = P2/4  A2= l2  A2 = P22/16  P2 = 4 . A2  P2 ~A2c) P1 =  . D  P2 = 4A2  /4 = (A2)/D  D ~ A2d) A1 = P1 . D/4  P2 = 4A2  A1 = D . A2
  78. 78. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticose) A2 = l2  A21 = D2 . A2  A21 = D2 . l2  A1 = D . lf) l = d/2  A1 = D . l  A1 = D . d/2g) A2 = d2/2  A2 = P22/16  P22/16 = d2/2  P2 = 4d/2  P2 ~ dh) P2 = P1 =  . D  p2 = 4d/2   . D = 4d/2  D/d = 4/(2) .   D ~di) P = P1 – P2  P1 = P2  P1 – P2 = 0  P = 0j) A = A1 – A2l) A= P2 . D/4 – P22/16  A = P2/4 . (D – P2/4)m) A = D . l – l2  A = l . (D – l)n) A = D . d/2 – d2/2  A = d . (D/2 – d/2)o) A = D . (A2) – A2p) A = D . (A2) – d2/25. Figuras com Diâmetro e Lados IguaisI – Considere as seguintes figuras geométricas: F D l d F A3 lII - Hipótese: D = lIII - Conseqüências:
  79. 79. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosa) D = P1/D = l  P1 =  . l  p1 ~ lb) l = P2/4  D = l  P2 = 4D  P2 ~ Dc) P1 =  . l  P2 = 4l  P1/P2 = /4  P1 ~ P2d) d = l2  P1 =  . l  P1 =  . d/2  P1 ~ de) A1 =  . D2/4  D = l  A1 =  . l2/4  A1 ~ l2f) l2 = d2/2  A1 =  . l2/4  A1  . d2/8  A1 ~ d2g) A2 = l2  A1 =  . l2/4  A1 =  . A2/4  A1 ~ A2h) A2 = l2  D = l  A2 = D2i) P1/P2 = /4  A1/A2 = /4  P1/P2 = A1/A2j) P = P2 – P1l) P2 = 4l  P1 = .l  P = 4l - .l  P = l . (4 - )  P ~ lm) P = l . (4 - )  D = l  P = D . (4 - )  (P ~ D)n) P = P2 – P1  P1 =  . P2/4  P = P2 -  . P2/4  P = P2 . (1 - /4)o) P = P2 – P1  P1 = A1 . P2/A2  P = P2 – A1 . P2/A2  P = P2 . (1 –A1/A2)p) A = A2 – A1q) A2 = l2  A1 =  . l2/4  A = l2 -  . l2/4  A = l2 . (1 – /4)r) A = A2 – A1  A1 =  . A2/4  A = A2 -  . A2/4  A = A2(1 –/4)s) A2 = D2  A1 =  . D2/4  A = D2 -  . D2/4  A = D2 . (1 – /4)t) A2 = d2/2  A1 =  . d2/8  A = d2/2 -  . d2/8  A = d2/2 . (1 – /4)u) A = A2 – A1  A1 = P1 . A2/P2  A = A2 – P1 . A2/P2  A = A2 . ( 1– P1/P2)
  80. 80. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemáticosIV – Cálculo de A3a) A3 = A/4b) A = l2 . (1 – /4)  A3 = A/4  A3 = l2/4 . (1 – /4)  A3 = l2(4 –)/16c) A = A2 . (1 – /4)  A3 = A/4  A3 = A2/4 . (1 – /4)  A3 = A2(4 –)/16d) A = D2 . (1 – /4)  A3 = A/4  A3 = D2/4 . (1 – /4)  A3 = D2 . (4- )/16e) A = d2/2 . (1 – /4)  A3 = A/4  A3 = d2/8 . (1 – /4)f) A = A2(1 – P1/P2)  A3 = A/4  A3 = A2/4 . (1 – P1/P2)V – Flecha (F)a) 2F = d – Db) 2F = d – D  D = l  2F = d – lc) 2F = d – l  d = l2  2F = l2 – l  2F = l . [(2) – 1]d) 2F = l . [(2) – 1]  l = P1/  2F = P1/ . [(2) – 1]e) 2F = d – l  l = d/2  2F = d – d/2  2F = d . [1 – (1/2)]f) 2F = d – l  d = 2 .A2  l = A2  2F = 2 . A2 - A2  2F = A2 .[(2) – 1]VI – Relação A/AP = S A = l2 . (1 – /4)  P = l . (4 – )  S = l/[(4 – ) . (1 – /4)]6. Figuras com Diâmetros e Diagonal IguaisI – Considere as seguintes figuras:
  81. 81. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticos A1 A2 F D dl F A3II – Hipóteses D = dIII – Conseqüências:a) A2 = d2/2  D = d  A2 = D2/2  D2 ~ A2b) A1 =  . D2/4  A2 = D2/2  A1 =  . A2/2  A1 ~ A2c) A2 = l2  A1 =  . A2/2  A1 =  . l2/2  A1 = l2d) P1 =  . D  D = d  P1 =  . d  P1 ~ de) P1 =  . d  d = A2 . 2  P1 =  . 2 . A2  P1 ~ A2f) P1 =  . 2 . A2  A2 = l2  P1 =  . (2) . l  p1 ~ lg) P2 = 4l  l = d/2  P2 = 4d/2  P2 ~ dh) P2 = 4d/2  P1 =  . D  D = d  P2 = 4P1/(2)  P2 ~ P1i) P = P1 – P2j) P1 =  . D  P2 = 4d/2  D = d  P =  . D – 4D/2  P = D . ( -4/2)l) P1 =  . (2) . l  P2 = 4l  P =  . (2) . l – 4l  P = l( . (2) – 4)m) P2 = 4P1/(2) .   P = P1 – P2  P = P1 – 4P1/(2).  P = P1 .(1 – 4/(2) . )n) A = A1 – A2o) A1 =  . D2/4  A2 = D2/2  A =  . D2/4 – D2/2  A = D2/2 . (/2– 1)
  82. 82. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosp) A1 =  . A2/2  A = A1 – A2  A =  . A2/2 – A2  A = A2 . (/2– 1)q) A1 =  . l2/2  A2 = l2  A =  . l2/2 – l2  A = l2 . (/2 – 1)r) A1 = P1 . D/4  A2 = P21/22  A = P1 . D/4 – P21/22  A = P1/2 .(D/2 – P1/2)IV – Cálculo de A3a) A3 = A/4b) A =  . l2/2 – l2  A3 = A/4  A3 = l2 . ( - 2)/8c) A =  . D2/4 – D2/2  A3 = A/4  A3 = D2 . ( - 2)/16d) A =  . A2/2 – A2  A3 = A/4  A3 = A2 . ( - 2)/8V – Arcoa) B = P1/4b) P1 =  . (2) . l  B = P1/4  B =  . (2) . l/4c) P1 =  . 2 . A2  B = P1/4  B =  . 2 . A2/4d) P1 =  . d  B = P1/4  B =  . d/4  B =  . D/4VI – Flecha (F)a) 2F = (D – l)b) D = d  F = (D – l)/2  F = (d – l)/2c) F = (D – l)/2  d = l2  F = [l . (2) – l]/2  F = l . [(2) – 1]/2d) 2F = d – l  l = d/2  2F = d – d/2  2F = d . (1 – 1/2)e) F = (d – l)/2  d = 2 . A2  l = A2  F = A2 . [(2) – 1]/2
  83. 83. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemáticosVII – Relação B/F = Ga) G = B/Fb) G = B/F  B =  . l . (2)/4  F = l[(2) – 1]/2  G =  . (2)/2 . [(2)– 1]c) G = B/F  B =  . d/4  F = (d – l)/2  G =  . d/2(d – l)VIII – Relação B/l = Ja) J = B/lb) J = B/l  B =  . (2) . l/4  J =  . l . (2)/4l  J =  . (2)/4IX – Relação F/l = Ma) M = F/lb) M = F/l  F = l . [(2) – 1]/2  M = l . [(2) – 1]/2l  M = [(2) –1]/2c) M = F/l  F = (d - l)/2  M = (d – l)/2lX – Relação A/AP = SA = l2 . (/2 – 1)  P = l . (.2 – 4)  S l2(/2 – 1)/l(2 – 4)  S =l( - 2)/2[(2) – 4]7. Figuras Circunscritas com Dois QuadradosI – Considere as seguintes figuras: a3 A3 D=d L l a2 A2
  84. 84. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemáticosII – Simbologia: l = lado do quadrado interno L = lado do quadrado externo a2 = área do quadrado interno A2 = área do quadrado externo P2 = perímetro do quadrado externo p2 = perímetro do quadrado interno a3 = área da lunula F = flechaIII – Hipótese: D = L  D = d  d = LIV – Conseqüências:a) d2 = 2l2  d = L  L2 = 2l2  L = (2) . l  L ~ lb) L2 = 2l2  A2 = L2  a2 = l2  A2 = 2a2  A2 ~ a2c) d = 2 . a2  d = L  L = 2 . a2  L ~ a2d) P2/L = 4  p2/l = 4  P2/p2 = L/le) p2 = 4d/2  d = L  p2 = 4L/2f) P = L(4 - )  L = d  P = d . (4 - )g) A = L2(1 - /4)  L = d  A = d2 . (1 - /4)h) A = d2 . (1 - /4)  d2 = 2l2  A = 2l2 . (1 - /4)i) A1 =  . L2/4  A1 =  . l2/2  L2 = 2l2j) A1 =  . a2/2  A1 =  . D2/4  a2 = D2/2l) A1 =  . l2/2  A1 =  . D2/4  l2 = D2/2m) A1 =  . l2/2  A1 =  . A2/4  l2 = A2/2n) A1 =  . D2/4  A1 =  . A2/4  D2 = A2o) p1 =  . D  p1 =  . 2 . a2  D = 2 . a2
  85. 85. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosp) p1 =  . D  p1 =  . (2) . l  D = (2) . lq) A3 = l2 . (4 - )/16  a3 = l2 . ( - 2)/8  A3/a3 = (4 - )/2( - 2)8. Figura com Círculo e RetânguloI – Considere as seguintes figuras: FV FH lV D lHII – Simbologia lV = lado vertical do retângulo lH = lado horizontal do retângulo FV = flecha vertical FH = flecha horizontalIII – Fórmulas BásicasP2 = 2(lV + lH)A2 = lV . lHd 2 = l2 V + l2 HIV – Hipótese: D = dV – Conseqüências:a) d2 = l2V + l2H  D = d  D2 = l2V + l2Hb) D2 = l2V + l2H  A1 = .D2/4  A1 = (l2V + l2H)/4c) 2 = P2/(lV + lH)  2 =  . D2/2A1  P2/(lV + lH) =  . D2/2A1
  86. 86. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemáticosd) P2/(lV + lH) =  . D2/2A1  d2 = (l2V + l2H)  P2/(lV + lH) =  . (l2V +l2H)/2A1e) P21 = 2 . D2  D = d  d2 = l2V + l2H  P21 = 2 . (l2V + l2H)f) A1 =  . D2/4  A2 = lV . lH  A1/A2 =  . D2/4lV . lHg) A1/A2 =  . D2/4lV . lH  d2 = l2V + l2H  A1/A2 =  . (l2V + l2H)/4lV . lHh) A2 = lV . lH  P2 = 2(lV + lH)  A2/P2 = lV . lH/2(lV + lH)i) P2 = 2(lV + lH)  d2 = l2V + l2H  P2/d2 = 2(lV + lH)/(l2V + l2H)j) A2 = lV . lH  d2 = l2V + l2H  A2/d2 = lV . lH/(l2V + l2H)l) P1 =  . d  P2 = 2(lV + lH)  P1/P2 =  . d/2(lV + lH)m) P1/P2 =  . d/2(lV + lH)  d = (l2V + l2H)  P1/P2 =  . (l2V + l2H)/2(lV+ lH)n) P1 =  . d  d = (l2V + l2H)  P1 =  . (l2V + l2H)o) A1 = P1 . D/4  P1 =  . (l2V + l2H)  A1 = D .  . (l2V + l2H)/4p) A1 = P1 . D/4  D = d  d = (l2V + l2H)  A1 = P1 . (l2V + l2H)/4q) P = P1 – P2r) P1 =  . D  P2 = 2(lV + lH)  P =  . D – 2(lV + lH)s) A = A1 – A2A1 =  . D2/4  A2 = lV + lH  A =  . D2/4 – lV . lHA1 = P1 . D/4  A2 = lV + lH  A = P1 . D/4 – lV . lHVI – Flechasa) 2FH = D – lHb) 2FV = D – lV

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