Jaime Edmundo Apaza Rodriguez (UNESP) Por vezes claro...  e por vezes vago...  que é a Matemática?   ( Lakatos, 1922-74)
O que é Matemática? <ul><li>Tanto para eruditos quanto para leigos não é a Filosofia, mas a experiência ativa na  própria ...
Algumas definições de dicionários <ul><ul><li>Ciência  que investiga  relações  entre entidades definidas abstrata e logic...
Etimologia <ul><ul><li>Mathema (greg.    </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>tudo o que é objeto de aprendizagem </li></...
<ul><li>(...) a investigação matemática, por si própria, devido a seu caráter especial, sua certeza e severidade, leva a m...
Problema interessante 1 1 2, 2, 2, 2, ...
Matemática e Filosofia <ul><li>Quatro grupos de definições </li></ul><ul><li>M. como ciência da quantidade </li></ul><ul><...
Matematica como ciência da quantidade <ul><li>A primeira definição </li></ul><ul><ul><li>Aristóteles( 384-322a.C .)   &  P...
Definição de Aristóteles <ul><li>O matemático constrói sua teoria por meio da abstração; prescinde de todas as qualidades ...
Definição de Comte (1798-1857) <ul><li>Matemática é a ciência que tem por objeto a medida das grandezas  (...) A arte elem...
Matematica como ciência das relações <ul><li>Estreitamente ligada à Lógica ou parte desta </li></ul><ul><li>Logicismo </li...
<ul><li>Frege (1848-1925) x Psicologismo </li></ul><ul><ul><li>O conceito de razão pertence (...) ao campo da lógica pura....
<ul><li>Wittgenstein (1889-1951) </li></ul><ul><ul><li>A Matemática  é um método lógico .  As proposições da Matemática sã...
<ul><li>Carnap (1891-1970) </li></ul><ul><ul><li>Os cálculos constituem um gênero particular de cálculos lógicos, distingu...
Matematica como ciência do possível <ul><li>Hilbert (1862-1943) </li></ul><ul><ul><li>A Matemática pode ser construída com...
<ul><li>Bourbaki  (1939 /1816-97) </li></ul><ul><ul><li>Matemática é simplesmente o estudo de estruturas abstratas ou padr...
Matematica como ciência das construções possíveis <ul><li>Kant (1724-1804) – Matemática como construção de conceitos </li>...
<ul><li>Brouwer (1839-1914) </li></ul><ul><ul><li>A Matemática identifica-se com a parte exata do pensamento humano e por ...
...e agora José ? <ul><li>J. Ferrater Mora (1912-91) </li></ul><ul><ul><li>Para o Logicismo, (...), a M. se reduz à Lógica...
<ul><li>Nicola Abbagnano (1971) </li></ul><ul><ul><li>E já que é difícil ignorar a importância do aspecto linguístico da M...
Relação entre a Matemática e outras Ciências <ul><li>Matemática: Ciência ou Linguagem? </li></ul><ul><li>Para alguns... Li...
A   matemática é  a  linguagem  com a qual Deus escreveu o Universo   Galileu (1564-1643 )
O Positivismo  – Comte (1798-1857) <ul><li>Sistema comteano (1844):  </li></ul><ul><li>Matemática  – Astronomia – Física –...
O Construtivismo <ul><li>Piaget (1896-1980) - O Círculo Piagetiano  </li></ul><ul><ul><li>Pretende fundar uma teoria do co...
Enciclopédia Francesa <ul><li>D’Alembert  (1717-83) e  Diderot  (1713-84)   </li></ul><ul><li>“ Discurso Preliminar”   </l...
Ciência ou Linguagem? <ul><li>Dicionário de Filosofia (Nicola Abbagnano,  1971 ) </li></ul><ul><li>Ciência </li></ul><ul><...
A árvore cartesiana <ul><li>a condição de possibilidade do conhecimento (a seiva)   </li></ul><ul><ul><li>Descartes (1596-...
N.J.Machado (1995) <ul><li>(...) a Língua e a Matemática constituem os dois sistemas básicos de representação da realidade...
Algumas referências curiosas... <ul><li>Prometo àqueles meus professores desiludidos que na próxima vida eu vou ser um gra...
Na Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer bem as suas raízes . <ul><li>Malba Tahan  ( 1895 a 1974...
Ecletismo <ul><li>Reunião de elementos doutrinários de origens diversas que não chegam a se articular em uma unidade siste...
PARTE_01_PROF_JAIME
PARTE_01_PROF_JAIME
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

PARTE_01_PROF_JAIME

598 visualizações

Publicada em

  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

PARTE_01_PROF_JAIME

  1. 1. Jaime Edmundo Apaza Rodriguez (UNESP) Por vezes claro... e por vezes vago... que é a Matemática? ( Lakatos, 1922-74)
  2. 2. O que é Matemática? <ul><li>Tanto para eruditos quanto para leigos não é a Filosofia, mas a experiência ativa na própria Matemática que unicamente pode responder à questão: o que é a Matemática? </li></ul><ul><li>R. Courant & H. Robbins (1941) </li></ul>Matemática : Objeto de pesquisa da Filosofia <ul><li>Lógica </li></ul><ul><li>Teoria do conhecimento </li></ul><ul><li>Metafísica </li></ul><ul><li>Filosofia da Matemática </li></ul>
  3. 3. Algumas definições de dicionários <ul><ul><li>Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente (Aurélio) </li></ul></ul><ul><ul><li>Ciência que lida com relações e simbolismos de número e grandezas e que inclui operações quantitativas e soluções de problemas quantitativos (Enc. Britânica) </li></ul></ul><ul><ul><li>Ciência que estuda objetos abstratos (números, figuras e funções) e as relações entre eles, procedendo por método dedutivo (Houaiss) </li></ul></ul>
  4. 4. Etimologia <ul><ul><li>Mathema (greg.  </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>tudo o que é objeto de aprendizagem </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>a coisa apreendida, quem a aprende e o modo de aprender - Sexto Empírico (150-220) </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Escola Pitagórica </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>mathematikoi – círculo interno de seguidores </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>escutar – fazer perguntas – expor idéias </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Matematica (séc. XVI) - greg. Mathematike – a ciência matemática </li></ul></ul>
  5. 5. <ul><li>(...) a investigação matemática, por si própria, devido a seu caráter especial, sua certeza e severidade, leva a mente humana a uma proximidade maior com o divino do que pode ser atingido por meio de qualquer outro recurso. A matemática é a ciência do infinito , seu objetivo a compreensão simbólica do infinito com meios humanos, portanto finitos. (Hermann Weyl, 1885-1955) </li></ul><ul><li>A Matemática é a Rainha das Ciências e a Aritmética a Rainha da Matemática (Gauss, 1777-1855) </li></ul><ul><li>A Matemática é a honra do espírito humano </li></ul><ul><li>(Leibniz, 1646-1716) </li></ul>Algumas definições especiais
  6. 6. Problema interessante 1 1 2, 2, 2, 2, ...
  7. 7. Matemática e Filosofia <ul><li>Quatro grupos de definições </li></ul><ul><li>M. como ciência da quantidade </li></ul><ul><li>M. como ciência das relações </li></ul><ul><li>M. como ciência do possível </li></ul><ul><li>M. como ciência das construções possíveis </li></ul>
  8. 8. Matematica como ciência da quantidade <ul><li>A primeira definição </li></ul><ul><ul><li>Aristóteles( 384-322a.C .) & Platão ( 427-347a.C .) ( implícita ) </li></ul></ul><ul><ul><li>Pitagóricos – a Matemática é A ciência </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>(ciência dos números e das figuras geométricas) </li></ul></ul></ul><ul><li>Mundo antigo e Renascimento </li></ul><ul><ul><li>Séc. XIX - torna-se insuficiente </li></ul></ul><ul><ul><li>Comte (1798-1857) </li></ul></ul>
  9. 9. Definição de Aristóteles <ul><li>O matemático constrói sua teoria por meio da abstração; prescinde de todas as qualidades sensíveis, como peso e leveza, dureza e seu contrário, calor e frio, e das outras qualidades opostas, limitando-se a considerar apenas a quantidade e a continuidade , ora em uma só dimensão, ora em duas, ora em três, bem como os caracteres dessas entidades, na medida em que são quantitativas e continuativas, deixando de lado qualquer outro aspecto delas. Consequentemente, estuda as posições relativas e o que é inerente a elas: comensurabilidade ou incomensurabilidade e proporções. </li></ul>
  10. 10. Definição de Comte (1798-1857) <ul><li>Matemática é a ciência que tem por objeto a medida das grandezas (...) A arte elementar do raciocínio decisivo (...) só a Matemática pode convenientemente desenvolver. </li></ul>
  11. 11. Matematica como ciência das relações <ul><li>Estreitamente ligada à Lógica ou parte desta </li></ul><ul><li>Logicismo </li></ul><ul><li>Leibniz (1646-1716) </li></ul><ul><ul><li>Mathesis Universalis - sistema geral; uma linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências </li></ul></ul>
  12. 12. <ul><li>Frege (1848-1925) x Psicologismo </li></ul><ul><ul><li>O conceito de razão pertence (...) ao campo da lógica pura. Aqui não interessa o conteúdo especial da relação, mas exclusivamente a sua forma lógica. Se algo pode ser afirmado sobre ela, a verdade desse algo é analítica e reconhecida a priori . </li></ul></ul><ul><li>B. Russel (1872-1970) </li></ul><ul><li>- Matemática coincide com a Lógica </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Wittgenstein (1889-1951) </li></ul><ul><ul><li>A Matemática é um método lógico . As proposições da Matemática são equações, portanto pseudoproposições. A proposição matemática não exprime pensamento algum. De fato, nunca precisamos de proposições matemáticas na vida , mas as empregamos apenas com o fim de, a partir de proposições que não pertencem à Matemática, tirar conclusões que se expressam em proposições que tampouco lhe pertencem. </li></ul></ul><ul><ul><li>(...) As equações da Matemática correspondem às tautologias da Lógica e, como estas, nada dizem. </li></ul></ul>
  14. 14. <ul><li>Carnap (1891-1970) </li></ul><ul><ul><li>Os cálculos constituem um gênero particular de cálculos lógicos, distinguindo-se deles pela maior complexidade. Os cálculos geométricos são um gênero particular de cálculos físicos. </li></ul></ul><ul><li>Tese Logicista </li></ul><ul><ul><li>Construir uma Lógica exata </li></ul></ul><ul><ul><li>Definir todos os conceitos da M. em termos dos conceitos da Lógica </li></ul></ul><ul><ul><li>Deduzir todos teoremas da M. a partir dessas definições e por meio dos princípios da Lógica </li></ul></ul><ul><li>C. S. Peirce (1839-1914) </li></ul><ul><ul><li>Matemática ~ Lógica . Mas ... </li></ul></ul><ul><ul><li>(...) enquanto a Matemática é a ciência que infere conclusões necessárias, a lógica é a ciência do modo de inferir conclusões necessárias. </li></ul></ul>
  15. 15. Matematica como ciência do possível <ul><li>Hilbert (1862-1943) </li></ul><ul><ul><li>A Matemática pode ser construída como simples cálculo sem exigir interpretação alguma. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sistema axiomático </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Enumerar conceitos básicos e relações básicas; </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Enumerar os axiomas e destes deduzir todos os outros enunciados a partir das relações básicas. </li></ul></ul></ul><ul><li>Formalismo </li></ul>Possível ~ aquilo que não implica contradição
  16. 16. <ul><li>Bourbaki (1939 /1816-97) </li></ul><ul><ul><li>Matemática é simplesmente o estudo de estruturas abstratas ou padrões formais de associação </li></ul></ul><ul><li>T. de Gödel (1906-78) </li></ul><ul><ul><li>exclui a possibilidade da Matemática como sistema único e total </li></ul></ul><ul><li>De fato, pode-se construir uma máquina que seja capaz de resolver determinado problema, mas não uma máquina que seja capaz de resolver todos os problemas (E. Nagel – G.R. Newmann) </li></ul>
  17. 17. Matematica como ciência das construções possíveis <ul><li>Kant (1724-1804) – Matemática como construção de conceitos </li></ul><ul><li>Poincaré (1854-1912) – polêmicas antiformalistas </li></ul><ul><li>Intuicionismo </li></ul><ul><ul><li>A construção de que o intuicionismo fala é conceitual e não se refere a fatos empíricos </li></ul></ul>
  18. 18. <ul><li>Brouwer (1839-1914) </li></ul><ul><ul><li>A Matemática identifica-se com a parte exata do pensamento humano e por isso não pressupõe ciência alguma, nem a lógica, mas exige uma intuição que permita apreender a evidência dos conceitos e das conclusões. </li></ul></ul><ul><li>Ponto de vista de Brouwer </li></ul><ul><ul><li>A Matemática Pura é uma criação livre do espírito e não tem relação alguma com os fatos de experiência. </li></ul></ul><ul><ul><li>A simples constatação de um fato de experiência sempre contém a identificação de um sistema matemático. </li></ul></ul><ul><ul><li>O método das ciências da natureza consiste em reunir os sistemas matemáticos contidos nas experiências isoladas em um sistema puramente matemático construído com este fim. </li></ul></ul>
  19. 19. ...e agora José ? <ul><li>J. Ferrater Mora (1912-91) </li></ul><ul><ul><li>Para o Logicismo, (...), a M. se reduz à Lógica. Para o formalismo, (...), a M. pode ser formalizada por completo; (...). Para o intuicionismo, (...), pode-se falar de entes matemáticos tão somente se podemos construí-los mentalmente. Cada uma destas posições enfrenta dificuldades peculiares (...). Cada uma destas posições, por outro lado, alcançou grandes triunfos e impulsionou sobremaneira o progresso na matemática. Não se pode prever que teoria triunfará definitivamente; o mais provável é que seja preciso manter as partes mais fecundas de cada uma delas. </li></ul></ul>
  20. 20. <ul><li>Nicola Abbagnano (1971) </li></ul><ul><ul><li>E já que é difícil ignorar a importância do aspecto linguístico da Matemática, que serviu de base para o logicismo, o pensamento matemático conteponrâneo é dominado por certo ecletismo . </li></ul></ul>
  21. 21. Relação entre a Matemática e outras Ciências <ul><li>Matemática: Ciência ou Linguagem? </li></ul><ul><li>Para alguns... Linguagem Universal </li></ul><ul><li>Leibniz (1646-1716) - Mathesis Universalis </li></ul><ul><ul><li>sistema geral; uma linguagem para fundamentação do raciocínio em todas as ciências </li></ul></ul>
  22. 22. A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o Universo Galileu (1564-1643 )
  23. 23. O Positivismo – Comte (1798-1857) <ul><li>Sistema comteano (1844): </li></ul><ul><li>Matemática – Astronomia – Física – Química – Biologia – Sociologia </li></ul><ul><ul><li>“ [...] a primeira necessariamente o ponto de partida exclusivo e a última o fim único e essencial [...] o conjunto desta fórmula enciclopédica, exatamente conforme as verdadeiras afinidades dos estudos correspondentes [...] permite enfim a cada inteligência renovar à sua vontade a história geral do espírito positivo, ao passar, de modo quase insensível, das mais insignificantes idéias matemáticas aos mais altos pensamentos sociais.” </li></ul></ul>
  24. 24. O Construtivismo <ul><li>Piaget (1896-1980) - O Círculo Piagetiano </li></ul><ul><ul><li>Pretende fundar uma teoria do conhecimento científico que conduza “das mais elementares atividades psicofisiológicas do sujeito aos mais altos pensamentos científicos”. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ponto de partida: a Matemática e a Lógica . Seguem-se: a Física, a Biologia e por, último, a Psicologia Experimental e a Sociologia (unificadas com o nome de Psico-Sociologia) </li></ul></ul><ul><li>Vygotsky (1896-1934 ) </li></ul><ul><li>“ A correção absoluta só se consegue para lá da linguagem natural, na Matemática” </li></ul>
  25. 25. Enciclopédia Francesa <ul><li>D’Alembert (1717-83) e Diderot (1713-84) </li></ul><ul><li>“ Discurso Preliminar” </li></ul><ul><li>O conhecimento é constituído por três raízes </li></ul><ul><li>Memória , Razão e Imaginação </li></ul><ul><li>(História) (Filosofia) (Poesia) </li></ul><ul><li>A Lógica - lugar de destaque – engloba as funções da Língua. </li></ul><ul><li>A Matemática - terreno das ciências naturais . </li></ul>
  26. 26. Ciência ou Linguagem? <ul><li>Dicionário de Filosofia (Nicola Abbagnano, 1971 ) </li></ul><ul><li>Ciência </li></ul><ul><ul><li>Conhecimento que inclua, em qualquer forma ou medida, uma garantia da própria validade. </li></ul></ul><ul><li>Linguagem </li></ul><ul><ul><li>Em geral, o uso de signos intersubjetivos, que são os que possibilitam a comunicação. </li></ul></ul>
  27. 27. A árvore cartesiana <ul><li>a condição de possibilidade do conhecimento (a seiva) </li></ul><ul><ul><li>Descartes (1596-1650, Discurso sobre o método) </li></ul></ul>Astronomia, Medicina, etc. Metafísica (incluindo a religião) Física (Filosofia Natural)
  28. 28. N.J.Machado (1995) <ul><li>(...) a Língua e a Matemática constituem os dois sistemas básicos de representação da realidade. (...) São instrumentos de expressão e de comunicação e, conjuntamente, são uma uma condição de possibilidade do conhecimento em qualquer área. O par Língua/Matemática compõem uma linguagem mista, imprescindível para o ensino e com as características de um degrau necessário para alcançar-se as linguagens específicas das disciplinas particulares. </li></ul>
  29. 29. Algumas referências curiosas... <ul><li>Prometo àqueles meus professores desiludidos que na próxima vida eu vou ser um grande matemático. Porque a Matemática é o único pensamento sem dor (M. Quintana, 1906-94) </li></ul><ul><li>Tenho capacidades e talentos muito restritos. Nenhum para as Ciências Naturais, nenhum para a Matemática, nada para as coisas quantitativas (S. Freud, 1856-1939) </li></ul><ul><li>Está praticamente fora de questão que eu escreva artigos. A única ocupação que me permite conservar a necessária paz de espírito é a Matemática (K. Marx, 1818-83) </li></ul><ul><li>O princípio criador reside na Matemática; sua certeza é absoluta, enquanto se trata da Matemática abstrata, mas diminui na razão direta de sua concretização (Einstein, 1879-1955) </li></ul>
  30. 30. Na Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer bem as suas raízes . <ul><li>Malba Tahan ( 1895 a 1974 ) </li></ul><ul><li>Júlio César de Mello e Souza </li></ul>
  31. 31. Ecletismo <ul><li>Reunião de elementos doutrinários de origens diversas que não chegam a se articular em uma unidade sistemática consistente. </li></ul>

×