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Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos

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Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos

  1. 1. Libro de Distribuci´on GratuitaA BCDMN25 = 32BaseExponentePotencia25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 25 factores= 321234567891011122007 2008 2009 2010 2011708090Calificaci´onMatem´aticas Lenguaje CienciasαHipotenusaCatetoopuestoCateto adyacentexXf (x)YfFunci´onDominio ContradominioValores que ledamos a la funci´onValores que nosdevuelve la funci´onA BA ∩ Bxyy = f (x)baxyFFP(x, y)LRVVBBOxyy = sin xλ(Versi´on para Bachillerato)Libro de distribuci´on gratuitaDiccionarioIlustradodeConceptosMatemáticosporEfraín Soto Apolinar
  2. 2. TÉRMINOS DE USODerechos Reservados © 2011.Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.Soto Apolinar, Efraín.Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos.Tercera edición.México. 2011.Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentraen este material, bajo las siguientes condiciones:Atribución: Debe dar crédito al autor del libro, independientemente del medio que seutilice para su divulgación (impresa, electrónica, en línea, etc.)Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con finescomerciales y/o lucro en forma alguna. Puede utilizarlo con fines educativos o dedivulgación de las ciencias. Se permite el uso por instituciones educativas públicaso privadas sin fines de lucro, con la condición de que no se aplique cargo, ni enespecie ni en moneda, ni en cualquier otra forma, a los usuarios finales de estematerial, sean estos profesores, autoridades educativas, estudiantes o público engeneral interesado en la enseñanza y/o el aprendizaje de las matemáticas.No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este mate-rial. Usted tiene permiso para utilizarlo «como está y es». No se permite ni agregar,ni eliminar, ni modificar: palabras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsec-ciones, o secciones, o capítulos o combinaciones de las anteriores o parte algunadel libro.Permisos: Puede contactar al autor de este material directamente a la cuenta de correoelectrónico que aparece en los créditos. Si usted tiene una copia de este libro enformato PDF y desea publicarlo en algún sitio de Internet, primero solicite permisoal autor a través de un mensaje a la cuenta de correo electrónico que aparece en loscréditos. No requiere de permiso alguno para imprimir una copia de este materialpara uso personal.Responsabilidad: Ni el autor, ni el editor son responsables de cualquier pérdida o riesgoo daño (causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o inter-pretación de las definiciones que se incluyen en este diccionario.Versión Electrónica de distribución gratuita.Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.
  3. 3. iiiPrefacioEn México la enseñanza de las matemáticas está tomando cada vez mayor importanciapor parte de autoridades educativas, profesores y padres de familia.El uso de las matemáticas por parte de todos los ciudadanos está muy ligado a la formacomo se aprendieron en primaria y secundaria, de manera que un niño que entendióbien los conceptos básicos, asegura un aprendizaje más efectivo en cursos futuros.Sin embargo, muchas de las fuentes de información actuales no se escribieron pensandoen los estudiantes, sino en la ciencia, es decir, se escribieron los conceptos de maneraque los entienden los matemáticos solamente. Esto es contraproducente en el apren-dizaje efectivo de los estudiantes.Al ver este nicho de oportunidad, hemos decidido escribir este pequeño diccionario paraque nuestros estudiantes del nivel básico tengan al alcance de su madurez intelectual losconceptos básicos de las matemáticas y así apoyar la educación pública de calidad ennuestro país.Este diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita incluyemás de mil definiciones y más de trescientas ilustraciones para que el lector pueda crearuna idea más clara del concepto para entenderlo de una manera más sencilla y amena.Esperamos que este sea, no solamente tu primer diccionario ilustrado de matemáticas,sino una fuente de inspiración para entender de verdad las ciencias exactas.Este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos está en continua mejora. Ustedpuede descargar la última versión de este material desde el siguiente sitio de Internet:http://www.aprendematematicas.org.mx/Versión aumentadapara BachilleratoEfraín Soto Apolinary revisores del diccionarioMonterrey, N.L., México.Abril de 2 011.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  4. 4. ivLibrodedistribucióngratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  5. 5. ÍNDICE vÍndiceTérminos de uso iiPrefacio iiia 1b 13c 17d 37e 55f 67g 77h 81i 85j 93l 95m 101n 111o 119p 123r 141s 151t 161www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  6. 6. viu 171v 173Lista de símbolos 176Referencias 179Agradecimientos a revisores 180Créditos 181Librodedistribucióngratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  7. 7. aprendematematicas.org.mxAEfrain Soto ApolinarAbierto, conjunto Conjunto cuyo com-plemento es cerrado. En otras pala-bras, un conjunto es abierto cuandosus valores límite (en frontera) no sonelementos del conjunto mismo.Vea la definición de «Abierto, inter-valo».Abierto, intervalo Intervalo que noincluye sus valores extremos. Si losextremos del intervalo abierto son ay b, entonces, se denota por: (a,b).Geométricamente, el intervaloincluye a todos los puntos de larecta numérica entre a y b, pero ex-cluyendo a estos dos valores.La siguiente figura muestra el inter-valo abierto (a,b):xa bOAceleración (1.) Vector cuya magni-tud indica cuánto cambia la veloci-dad por cada unidad de tiempo ysu dirección indica la dirección delmovimiento.(2.) En Cálculo, la aceleración sedefine como la segunda derivada dela posición respecto del tiempo, queequivale a la primera derivada dela rapidez (velocidad) respecto deltiempo.A posteriori Declaraciones o afirma-ciones que tienen su base en eviden-ciaempírica, es decir, que se basanen observaciones, experimentacio-nes, etc., que dan soporte de suveracidad.A priori Declaraciones o afirmacionesque se dan sin evidencia que apoyesu veracidad, pero que puedendemostrarse a partir de razonamien-tos lógicos.Ábaco Calculadora que se utiliza paracontar. El ábaco tiene dispues-tas barras de fichas que se utilizanpara formar números con ellas. Acada ficha de diferentes barras sele asignan unidades, decenas, cen-tenas, etc., y de esta manera sepueden usar para realizar cálculosfácilmente.
  8. 8. 2AAbscisa–Algoritmo de EuclidesUnidadesDecenasCentenas...ÁbacoEl ábaco fue inventado en China.Abscisa Para indicar un punto del planose requieren de dos coordenadas:P (x, y ). La primera coordenada (x)se conoce como abscisa. La segundacoordenada (y ) se conoce como or-denada.Absoluto, valor El valor absoluto de unnúmero x, denotado por |x| se definecomo su valor numérico si considerarsu signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18es: | − 18| = 18, y el valor absoluto de3 es: |3| = 3.Geométricamente, el valor absolutorepresenta la distancia del origen dela recta numérica al punto que lecorresponde el número:x−3 −2 −1 0 1 2 3| − 3| |2|Acre Unidad de superficie igual a 4 047m2.Adición Sinónimo de suma.Aleatorio Decimos que un evento o unproceso es aleatorio si no es posiblepredecir el siguiente resultado o elsiguiente paso del proceso.Por ejemplo, una caminata aleatoriaconsiste en caminar a la misma ve-locidad en un plano, cambiando la di-rección cada vez que se desee.Alfabeto griego Vea la definición «Griego,alfabeto».Álgebra Es la rama de las matemáticasque estudia las propiedades de losnúmeros reales a través de su abstrac-ción en forma de polinomios y fun-ciones.Algebraica, expresión Representaciónmatemática de una cantidad uti-lizando literales y operaciones entrelas mismas.Por ejemplo, 2 x2+ 5 y , es una expre-sión algebraica.Algoritmo Procedimiento definido parala solución de un problema, paso apaso, en un número finito de pasos.Algoritmo de Euclides Algoritmo paracalcular el máximo común divisorde dos números MCD(m,n) dondem > n, que se puede resumir comosigue:1. Dividir m entre n. Sea r elresiduo.2. Si r = 0, entonces MCD(m,n) =n. (Fin)3. Si r 0, entonces MCD(m,n) =MCD(n,r ).4. Remplazar (m,n) por (n,r ) e ir alpaso 1.Por ejemplo, para calcular elMCD(27,12), tenemos:27 = 12 × 2 + 312 = 3 × 4 + 0Entonces, MCD(27,12) = 3.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  9. 9. Algoritmo de la división– ÁnguloA3Algoritmo de la división Dados losnúmeros enteros a,b, con b 0, exis-ten números enteros únicos q,r , con0 ≤ r < b , tales que: a = bq + r .Por ejemplo, considerando a = 17,b = 3, se tiene:17 = (3)(5) + 2En este caso, q = 5, y r = 2.Altura En un triángulo, la altura es iguala la distancia medida perpendicu-larmente desde la base del triángulohasta elvértice opuesto. La altura se denotacon la literal h.hEn un triángulo las tres alturas seintersectan en un punto que se llama«ortocentro».En un trapecio o en un paralelo-gramo, la altura es el segmento derecta perpendicular a la base que vadesde la base a su otro lado paralelo.hAmortización En negocios, la amorti-zación se refiere al pago de una deudapor medio de pagos iguales distribui-dos en varios periodos (a plazos). Elimporte del abono A periódico calcu-lado a partir del monto M y la tasa deinterés compuesto r , es:A = M ·r (1 + r )n(1 + r )n − 1donde el valor de r ha sido divididoentre cien antes de hacer la sustitu-ción.Amplitud En una onda sinusoidal, laamplitud es la distancia que haydesde el eje de la onda hastacualquiera de sus cimas.xyy = sin x1-1AAnálisis matemático Rama de lasmatemáticas que se encarga del es-tudio de las funciones, los límites ysus propiedades.Análisis numérico Conjunto de reglasy métodos para la resolución deecuaciones y problemas a través demétodos iterativos. Estos métodosgeneralmente se realizan a través dela programación de computadoras.Vea la definición de «Iteración».Analítica, geometría Es el estudio de lageometría utilizando un sistema deejes coordenados para aplicar princi-pios algebraicos en la solución deproblemas.Ángulo Figura plana formada por dossegmentos de recta que se cortan enun punto. El punto donde se cortanse llama vértice. Los segmentos sonlos lados del ángulo. La medida de unángulo indica la abertura entre suslados.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  10. 10. 4AÁngulo agudo–Ángulos complementariosLadoLadoVérticeαEn la figura, α representa la medidadel ángulo.Un ángulo también se puede denotarusando tres letras, como se indica enla siguiente figura:CABαEl ángulo α también se puede deno-tar como ∠ABC , donde el punto B eselvértice del ángulo.Normalmente el ángulo en el plano espositivo cuando se mide en el sentidocontrario al giro de las manecillas delreloj y negativo cuando se mide en elmismo sentido de giro de las maneci-llas.Ángulo agudo Ángulo cuya medida esmenor a la de un ángulo recto. Enla definición de «Ángulo», el ángulomostrado (ambas figuras) es agudo.Ángulos adyacentes Dos ángulos sonadyacentes cuando tienen el mismovértice y comparten un lado comúnubicado entre ellos.En la siguiente figura los dos ángulosson adyacentes:αβLos ángulos α y β tienen un mismopunto por vértice y tienen un lado encomún, por eso son adyacentes.Ángulos alternos Cuando un par de rec-tas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 ángulos. Si dosángulos se encuentran en diferentelado respecto de la secante y no com-parten el vértice, entonces los ángu-los son alternos.En la figura mostrada en la defini-ción de «Ángulos correspondientes»,los pares de ángulos (α,ζ) y (δ,ε) sonalternos.Ángulo central En una circunferencia, elángulo central es aquel que tiene suvértice en el centro de la circunferen-cia y cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo cen-tral α mide 60◦:αEl ángulo central se define de maneraequivalente para el círculo.Ángulos complementarios Dos ángulosson complementarios si la suma desus medidas es igual a la medida dewww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  11. 11. Ángulos congruentes–Ángulo de elevaciónA5unángulo recto. En otras palabras,si la suma de dos ángulos es iguala 90◦, entonces los ángulos soncomplementarios.αβEn la figura anterior, los ángulos α y βson complementarios.Ángulos congruentes Dos ángulos soncongruentes si tienen la mismamedida.Ángulos conjugados Dos ángulos sonconjugados si la suma de sus medi-das es igual a la medida de un ánguloperigonal. En otras palabras, dos án-gulos son conjugados si la suma desus medidas es igual a 360◦.Ángulos consecutivos En un polígono,dos ángulos son consecutivos sitienen un lado común.En el siguiente pentágono, los ángu-los A y B son consecutivos.ABÁngulos correspondientes Cuando unpar de rectas paralelas son cortadaspor una secante, se forman 8 ángu-los. Si dos ángulos no adyacentes seencuentran del mismo lado respectode la secante, siendo uno interno yel otro externo, entonces los ángulosson correspondientes.En la figura se muestran los paresde ángulos correspondientes: (α,ε),(β,ζ), (γ,η) y (δ,θ).αεγηβζδθ211 2Ángulo de depresión Ángulo formadopor la horizontal y la línea que une aun observador con un objeto situadopor debajo del nivel de observación.En la siguiente figura, el ánguloα corresponde al de depresión dela persona que observa la bici-cleta desde el punto donde la manoapunta.αÁngulo de elevación Ángulo formado porla horizontal y la línea que une a unobservador con un objeto situado porencima del nivel de observación.En la siguiente figura, el ángulo αcorresponde al de elevación de la per-sona que observa el balón desde elpunto donde la mano apunta.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  12. 12. 6AÁngulo de rotación–Ángulos internosαÁngulo de rotación Ángulo que se rotauna figura o que cambia en su ori-entación respecto de un eje fijo.En la siguiente figura se muestra unplano que se ha rotado 30◦, es decir,el ángulo de rotación en este caso esde 30◦.xyxyθ = 30◦Ángulo entrante Ángulo que mide másque un ángulo llano, pero menos queunángulo perigonal. En otras palabras,el ángulo entrante mide más de 180◦,pero menos que 360◦.En la figura, el ángulo α es entrante:αÁngulo externo En un polígono, un án-gulo externo es el que se forma poruno de sus lados y la prolongación deun lado adyacente.En la siguiente figura se muestra unángulo α externo del pentágonomostrado:DEA BCαÁngulos externos Cuando un par de rec-tas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 ángulos. Loscuatro ángulos que quedan fuera deentre las rectas paralelas son los án-gulos externos.En la siguiente figura los cuatro ángu-los marcados (α,β,γ,δ) son externos.α βγ δEFA BC DAB C DÁngulo inscrito Ángulo que tiene su vér-tice sobre una circunferencia y cuyoslados son dos cuerdas de la misma.αÁngulo inscritoÁngulos internos (1.) Cuando un par derectas paralelas son cortadas por unawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  13. 13. Ángulo llano– Ángulo rectoA7secante, se forman 8 ángulos. Loscuatro ángulos que quedan entre lasrectas paralelas son los ángulos inter-nos.En la figura mostrada en la defini-ción de «Ángulos correspondientes»,los cuatro ángulos: γ,δ,ε y ζ son in-ternos.(2.) En un polígono, un ángulo in-terno es el ángulo que se forma pordos lados consecutivos del polígono.iLa medida del ángulo interno de unpolígono regular se denota por laliteral i.Vea la definición de «Polígonoregular».Ángulo llano Ángulo que mide exacta-mente lo mismo que dos rectos. Enotras palabras, un ángulo llano mide180◦.αEn la figura anterior, el ángulo α esllano. Como puedes ver, los ladosdel ángulo llano están sobre la mismarecta.Ángulo obtuso Ángulo que mide más queun ángulo recto, pero menos que unángulo llano. En otras palabras, unángulo obtuso mide más de 90◦, peromenos que 180◦.αEn la figura anterior, el ángulo α esobtuso.Ángulos opuestos por el vértice Dos án-gulos son opuestos por el vértice si laprolongación de los lados de uno sonlos lados del otro.En la siguiente figura, los ángulos α yβ son opuestos por el vértice:αβÁngulos opuestos por el vérticeLos ángulos opuestos por el vérticetienen la misma medida.Ángulo perigonal Ángulo que mide lomismo que cuatro ángulos rectos.En otras palabras, el ángulo perigonalmide 360◦.αEn la figura anterior, el ángulo α esperigonal.Ángulo recto Ángulo que se formacuando dos rectas se cortanformando cuatro ángulos iguales. Enotras palabras, elángulo recto mide 90◦.αwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  14. 14. 8AÁngulos suplementarios – ArcoEn la figura anterior, el ángulo α es unángulo recto.Ángulos suplementarios Dos ángulosson suplementarios si la suma de susmedidas es igual a la medida de unángulo llano. En otras palabras, si lasuma de dos ángulos es igual a 180◦,entonces los ángulos son suplemen-tarios.αβEn la figura anterior, los ángulos α y βson suplementarios.Antecedente En una razón, el primertérmino se llama antecedente, elsegundo se llama consecuente.Por ejemplo, en la razón 5 : 7, elnúmero 5 es el antecedente y el 7 esel consecuente.Antiderivada Una función F (x) es unaantiderivada de f (x), si la derivadade F (x) es igual a f (x). Matemática-mente:f (x)dx = F (x) ⇒ F (x) = f (x)Observe que la antiderivada de f (x)se denota por: F (x) = f (x).Si y = F (x) es una antiderivada de lafunción y = f (x), también lo es y =F (x) + C , donde C es una constantecualquiera.Antilogaritmo Si a x= y , entonces, dec-imos que y es el antilogaritmo delnúmero x en la base a.Por ejemplo, dado que 23= 8, se tieneque 8 es el antilogaritmo de 3 en labase 2.Observa que las funciones logaritmoy antilogaritmo son funciones inver-sas.Año Un año es el tiempo que tarda la tierradar una vuelta alrededor del sol en sumovimiento de traslación y es aprox-imadamente igual a 365 días.El año se divide en 12 meses.Año bisiesto Cada cuatro años, un añotiene 366 días. Este día extra se agregaal mes de febrero, por lo que en unaño bisiesto febrero tiene 29 días.El año 2012 es un año bisiesto.Apotema En un polígono regular, elapotema es el segmento que va desdeel centro del polígono al punto mediode uno de sus lados.ApotemaAproximar Dar un valor cercano a otro.Por ejemplo, podemos aproximar elvalor del número π = 3.141592654···como 3.1416El símbolo matemático que denotaaproximación es: ≈.En el caso del ejemplo dado antes,tenemos π ≈ 3.1416.Arco Segmento de circunferencia delim-itado por dos de sus puntos.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  15. 15. Arcocoseno–Arquímedes de SiracusaA9ArcoABEl arco cuyos extremos son los puntosA y B se denota por: ABArcocoseno La función arcocoseno delángulo x, denotada por arccos x,es la función inversa de la funcióncoseno.Arcoseno La función arcoseno del ángulox, denotada por arcsin x, es la fun-ción inversa de la función seno.Arcotangente La función arcotangentedel ángulo x, denotada por arctan x,es la función inversa de la funcióntangente.Área Superficie que cubre un cuerpo ofigura geométrica. Sus unidades semiden en unidades cuadradas comocentímetros cuadrados (cm2), metroscuadrados (m2), hectáreas (ha), etc.Área superficial Medida del tamaño deuna superficie.Argumento El argumento de una funciónes el valor que le damos a la variableindependiente para evaluarla.Por ejemplo, si el argumento dela función coseno es π, entoncesescribimos: cos(π).Arista Línea recta donde se intersectandos caras de un cuerpo geométrico.AristaAritmética Es la rama de las matemáti-cas que se dedica al estudio de losnúmeros y sus propiedades bajo lasoperaciones de suma, resta, multipli-cación y división.Aritmética, sucesión Lista de númerosque tienen la propiedad que cuales-quiera dos consecutivos tienen unadiferencia constante.El primer término de la lista se denotapor a1 y la diferencia constante por d .Podemos calcular el n−ésimo tér-mino an de la sucesión usando la fór-mula:an = a1 + d (n − 1)Y la suma Sn de los primeros n térmi-nos con:Sn =n (a1 + an )2A la sucesión aritmética también sele conoce como «progresión arit-mética».Arquímedes de Siracusa (287 AC – 212AC)Matemático de la antigua Grecia.Realizó importantes contribucionesen geometría y mecánica. Enparticular, encontró la base de loque actualmente se conoce comoel Cálculo Infinitesimal, inven-tado de manera independiente enel siglo XVIII por Isaac Newton yGottfried Wilhelm Leibniz.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  16. 16. 10AArreglo–Áurea, proporciónArreglo Dado un conjunto con n elemen-tos, el número de arreglos es igual alnúmero de formas de elegir k objetos,en donde se considera importante elorden de los objetos.Por ejemplo, suponga que desea crearbanderas de tres colores usando 10diferentes colores. Evidentemente,el orden de los colores importa. Elnúmero de banderas diferentes quepodemos crear es igual al número dearreglos de 3 colores de entre los diezdisponibles. Arreglo es sinónimo decombinación.Vea las definiciones «Permutación» y«Combinación».Arroba Unidad de peso que equivale a11.4 kg, o bien a 25 libras.Asimétrico Una figura geométrica esasimétrica cuando no presenta algúntipo de simetría.La siguiente figura es asimétrica:Figura asimétricaAsíntota 1. Se dice que una curva tieneuna asíntota si se acerca mucho auna recta, pero sin llegar a tocarla.La recta representa la asíntota de lacurva.x0 1 2 3 4 5y12Asíntotay =1x+ 12. En una hipérbola, las asíntotasson las rectas que pasan por el centrode la hipérbola y que son diagonalesdel rectángulo con lados de longi-tud igual al eje transverso y al ejeconjugado.Ver definición de «Ecuación de laHipérbola».Asociativa La propiedad asociativa para lasuma es la siguiente:(a + b ) + c = a + (b + c )y para la multiplicación:(a · b) · c = a · (b · c )En la definición de «Propiedades delos números» puede encontrar lasdemás propiedades de los númerosreales.Áurea, proporción Número irracionaldenotado por la letra griega φ, e iguala:φ =1 + 52Este número aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto es-tético.Se dice que un rectángulo está en pro-porción aurea cuando al multiplicarla longitud de un lado por φ obtene-mos como resultado la longitud delotro lado.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  17. 17. Axioma– AzarA11A BCDMNSi dividimos: AB entre BCobtenemos el mismo resultado quedividir BC entre BM :φ =ABBC=BCBM=1 + 52Las dimensiones de los rectángulosABC D y M BC N están en propor-ción áurea.Axioma Una verdad tan evidente que norequiere demostrarse.Por ejemplo, «la suma de dosnúmeros reales es otro número real»,es un axioma.Axioma de existencia Axioma quesupone la existencia de un objeto ovarios objetos matemáticos.Axiomático, sistema Una forma secuen-cial y sistemática de organizar unateoría de las ciencias exactas.Azar Decimos que un experimentoo evento tiene azar cuando noes posible predecir su resultado.Por ejemplo, el hecho de que eldía en que el equipo de fútbolsoccer de la escuela tendrá su próxi-mo juego lloverá, no se puedepredecir, así que es un evento quetiene azar. Al lanzar una moneda elresultado también tiene azar, puespuede ser sol o águila.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  18. 18. 12ALibrodedistribucióngratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  19. 19. aprendematematicas.org.mxBEfrain Soto ApolinarBaricentro El baricentro de un triánguloes el punto donde se intersectan sustres medianas.BaricentroEl baricentro es el centro de gravedaddel triángulo.Base (Álgebra) La base es el número quese multiplicará el número de vecesindicado por el exponente.25= 32BaseExponentePotencia25= 2 × 2 × 2 × 2 × 25 factores= 32(Aritmética) 1. La base de un sistemade numeración es el número que seutiliza para formar los números. Losmayas usaban la base 20, es decir,contaban de 20 en 20. Nosotrosusamos la base 10, por eso decimosque usamos una base decimal.2375 = 2 × 103+ 3 × 102+ 7 × 10 + 5El número 10 es la base de nuestrosistema de numeración.2. La base de un logaritmo es elnúmero que se utiliza para su cálculo.Por ejemplo, en log5 125 = 3, la basees 5.Podemos cambiar la base de unlogaritmo utilizando la siguientefórmula:loga M =logb Mlogb aPor ejemplo, para calcular, log5 10puedes usar la fórmula anterior yescribir en la calculadora científica:log10 ÷ log5 con lo que obtendrás:1.430676558.En este caso: M = 10, b = 10 y a = 5.(Geometría) 1. La base de un polí-gono es el lado sobre el cual éste des-cansa.
  20. 20. 14BBayes, teorema de–Binaria, operaciónBase2. La base de un triángulo es uno desus lados a partir del cual se puedemedir la altura.Baseh3. La base de un poliedro es la caradesde la cual se medirá la altura delmismo.Bayes, teorema de Sean A y B dos even-tos cualesquiera con probabilidadde ocurrencia diferente de cero.Entonces,P (B|A) =P (A|B) · P (B)P (A)En palabras, la probabilidad de queocurra el evento B dado que ya ocur-rió el evento A es igual al productode la probabilidad de que ocurrael evento A dado que ya ocurrió Bpor la probabilidad de ocurrencia delevento B, dividido entre la probabili-dad de ocurrencia del evento A.Bi- Prefijo que se utiliza para indicar eldoble de algo.Por ejemplo, bicolor, indica un lápizde dos colores.Bicentenario Unidad de tiempo equiva-lente a doscientos años.Bidimensional Decimos que una figura oun objeto es bidimensional cuandoes de dos dimensiones. Esto es,cuando una figura se encuentra enel plano, decimos que es bidimen-sional.Billón Un billón es igual a un millón demillones, es decir,1000000×1000000 = 1000000000000El billón se escribe con un 1 seguidode 12 ceros.Bimodal Cuando el diagrama de frecuen-cias de una población presenta dosclases con la misma frecuencia, dec-imos que es bimodal, es decir, losdos valores son los más frecuentes, ypor tanto, ambos son la moda de lapoblación. De ahí el prefijo «Bi».A B C D E FxfEn el histograma mostrado, las clasesC y E tienen la misma frecuencia, yambas son la más alta. Por esto, estadistribución es bimodal.Binaria, operación Operación definidacon dos números o expresionesalgebraicas.Por ejemplo, la suma es una op-eración binaria, porque se requierede dos números para hacer la suma.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  21. 21. Binario–BrújulaB15Binario Se refiere a un sistema que uti-liza dos dígitos, el 1 y el 0. El sistemabinario también se conoce como elsistema de numeración en base 2.Este sistema se utiliza en el diseñode componentes electrónicos, comopor ejemplo, de circuitos electrónicoscon fines computacionales.El número 8 (ocho) en sistema bina-rio es: 1002,y el 100 (cien) en estesistema se escribe como: 11001002.El subíndice 2 indica que el númeroestá escrito en el sistema de nu-meración de base 2.Binomio Polinomio que tiene dos térmi-nos (no semejantes). Por ejemplo,2 x2+x, a x2y +b x y 2, y 7 x3−a4sonbinomios.Binomio de Newton Producto notableque sirve para calcular cualquierpotencia (entera o racional) de unbinomio de forma directa, cuya fór-mula es:(x+y )n= xn+nxn−1y +···+nx y n−1+y nEl binomio de Newton también seconoce como «teorema del binomio».Los coeficientes del polinomio de ele-var el binomio a la potencia n puedencalcularse usando el triángulo de Pas-cal o usando la fórmula de combina-ciones:(x + y )n=nk=0nkxn−ky kVea la definición de «combinación».Bisectriz Recta que divide a un ángulo endos ángulos de la misma medida. Enotras palabras, la bisectriz es el eje desimetría de un ángulo.ααBisectrizABCLa bisectriz tiene la propiedad quecualquiera de sus puntos equidista delos lados del ángulo.En un triángulo, sus tres bisectrices secortan en un punto que se llama in-centro.IncentroComo el incentro equidista de los treslados del triángulo, es el centro de lacircunferencia que es tangente a lostres lados del triángulo.Brújula Instrumento utilizado paradeterminar el norte geográ-fico. Utiliza una aguja iman-tada que se alinea con el campomagnético terrestre.La siguiente figura muestra unabrújula:ENOSwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  22. 22. 16BLibrodedistribucióngratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  23. 23. aprendematematicas.org.mxCEfrain Soto ApolinarSímbolo que representa el conjunto delos números complejos.Cabrí Geometré Software para realizarconstrucciones geométricas y re-solver problemas de geometríaplana.Cadena Unidad de longitud utilizada en laantigüedad equivalente a 22 yardas, obien a 20.1168 metros.Calculadora Dispositivo o aparato que seusa para realizar cálculos.Calcular Obtener o encontrar el resultadode una operación.Cálculo Rama de las matemáticas que seencarga del estudio de las cantidadesque varían continuamente y las rela-ciones entre ellas.En el Cálculo se estudian los concep-tos de límite, continuidad, derivada eintegral y sus aplicaciones.El Cálculo también se denomina«Cálculo infinitesimal».Cancelación Decimos que hemos can-celado un número o una expresiónalgebraica cuando aplicamos una delas siguientes propiedades de losnúmeros reales:a + (−a) = 0a ·1a= 1Por ejemplo, cuando simplificamos lafracción:1221=(3)(4)(3)(7)=47decimos que hemos cancelado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.Canónico Estándar o usual. Se uti-liza generalmente para indicar quevamos a tomar el caso convencional.Por ejemplo, al decir que usamos unsistema de coordenadas canónico,entendemos que usamos un sistemade coordenadas donde los ejes sonmutuamente perpendiculares y am-bos tienen la misma unidad demedida.Capacidad En matemáticas la palabra«capacidad» nos indica el valor delvolumen que ocupa un sólido.Por ejemplo, un cubo con una capaci-dad de un litro, indica que el cuboocupa un volumen de un litro.
  24. 24. 18CCara–Central, ánguloCara En un poliedro, una cara es cada unode los polígonos que lo delimitan.En el cubo cada uno de los cuadra-dos que lo delimita es una cara delpoliedro.CaraCaracterística La parte entera de unlogaritmo, es decir, la parte que estáa la izquierda del punto decimal. Porejemplo, sabiendo que ln(π) ≈ 1.1447,su característica es 1.Cardinalidad La cardinalidad de unconjunto, denotado por el sím-bolo ν, es el número de elemen-tos que éste contiene. Por ejem-plo, la cardinalidad del conjunto{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} es 10.Cartesiano, plano Sistema de coordena-das en el cual los ejes son mutua-mente perpendiculares y ambos uti-lizan la misma unidad de medida.La siguiente figura muestra un planocartesiano:xy−3 −2 −1 0 1 2 3−3−2−1123Cartesiano, producto El producto carte-siano de los conjuntos ydenotado por × es el conjuntoformado por todos los pares ordena-dos (a,b ) donde a ∈ y b ∈ .Por ejemplo, sean = {0,1,2} y ={4,5,6}. Entonces,× = {(0,4),(0,5),(0,6),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6)}Centésimo (1.) Un centésimo es equiva-lente a una de las partes de un enteroque ha sido dividido en cien partesdel mismo tamaño.(2.) En un número con decimales, eldígito de los centésimos es el dígitoque se encuentra en la segunda posi-ción a la derecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 3.1416, eldígito «4» corresponde a los centési-mos.Centi- Prefijo que denota centésimaparte. Por ejemplo, centímetro indicala centésima parte de un metro.Central, ángulo En una circunferencia, elángulo central es aquel que tiene suvértice en el centro de la circunferen-cia y cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo cen-tral α mide 60◦:αwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  25. 25. Centro–Científica, notaciónC19Centro El centro de una figura es el puntode simetría de la misma.CCEn las figuras mostradas, C es elcentro.Centro de gravedad Punto en donde sepuede considerar concentrada lamasa de un objeto físico para su es-tudio.El centro de masa se usa cuando ladistribución espacial de la masa delobjeto no es importante para la dis-cusión.Centroide El centro de gravedad de unpolígono plano.El centroide del triángulo es el puntodonde se intersectan las tres media-nas del mismo:BaricentroEl centroide de un triángulo tambiénse conoce como el baricentro.Cerrado, intervalo Intervalo que síincluye sus valores extremos. Si losextremos del intervalo cerrado sonlos puntos a y b, se denota por [a,b].Geométricamente, el intervalocerrado [a,b ] se indica como muestrala siguiente figura:xa bOCerradura Un conjunto presenta lapropiedad de cerradura bajo unaoperación cuando al realizar esaoperación a cualesquiera dos desus elementos el resultado es otroelemento del conjunto .Por ejemplo, el conjunto de losnúmeros pares es cerrado bajo lasuma, porque cuando sumamos dosnúmeros pares, el resultado es otronúmero par.Por el contrario, los números imparesno son cerrados bajo la suma, porquecuando sumamos dos números im-pares no obtenemos un número im-par, sino par.Científica, notación Forma abrevi-ada de escribir números muygrandes o muy pequeños. Paraesto, se escribe el primer dígitodel número, el punto decimal ydespués los siguientes dígitos delnúmero (si se desea mayor pre-cisión) y finalmente el número 10elevado a la potencia n, donden es el número de cifras secorrió el punto decimal a la izquierda.Por ejemplo, el número 120000 es-crito en notación científica es:120000 = 1.2 × 105Observa que el punto decimal se cor-rió cinco cifras a la izquierda, por esoescribimos exponente 5 al número10.Cuando el punto decimal se correhacia la derecha, el exponente debetener signo negativo.Por ejemplo, el número 0.00035 es-crito en notación científica es:0.00035 = 3.5 × 10−4www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  26. 26. 20CCifra significativa–CircuncentroAhora el punto decimal se harecorrido 4 lugares a la derecha, poreso el exponente tiene signo nega-tivo.Cifra significativa Cuando redondeamosun número, el número de dígitosque consideramos corresponde alnúmero de cifras significativas del re-dondeo.Por ejemplo, si a π = 3.141592654···,lo consideramos como 3.1416, esta-mos usando 4 cifras significativas.Cilindro Cuerpo geométrico con basesparalelas circulares y paredesperpendiculares a sus bases.rhCilindroÁrea = 2πr 2+ 2πr hVolumen = πr 2hCilindro elíptico Cilindro cuyas bases sonelipses.Cima En una curva sinusoidal, la cima escada uno de los puntos más altos ensu trayectoria.Por el contrario, la sima (con s)corresponde a cada uno de los puntosmás bajos de su trayectoria.Cima SimaCírculo Área que queda delimitada poruna circunferencia. Es decir, lacircunferencia es el perímetro del cír-culo.CircunferenciaCírculoPodemos calcular el área del círculousando la fórmula:Área = πr 2donde r es el radio de la circunferen-cia.Podemos decir que el círculo es elconjunto de puntos que están a unamenor distancia r de un punto fijoC , llamado centro. La distancia r sellama radio del círculo.Circuncentro Es el punto donde se inter-sectan las tres mediatrices de untriángulo.Circuncentrowww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  27. 27. Circuncírculo–ColinealC21Circuncírculo El circuncírculo de un polí-gono es la circunferencia que pasapor cada uno de sus vértices.En la definición de «Circuncentro»,la circunferencia mostrada es el cir-cuncírculo del octágono de la figura.Circunferencia La circunferencia es elconjunto de puntos del plano queestán a la misma distancia de unpunto fijo C que es el centro de lacircunferencia.La distancia del centro de lacircunferencia a cualquiera de suspuntos se llama radio (r )CircunferenciaCrEn la figura anterior, el punto C es elcentro de la circunferencia y r es suradio.La ecuación de la circunferencia quetiene su centro en el punto C (h,k) yradio r es:(x − h)2+ (y − k)2= r 2A la circunferencia no le podemosmedir el área, pues es un segmento delínea curva, pero sí podemos calcularsu longitud o perímetro (C ):C = 2πrCircunscrito, polígono Se dice que unpolígono es circunscrito cuandotodos sus lados son tangentes a unamisma circunferencia.Hexágono circunscritoCociente Resultado de la división de dosnúmeros.Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2,el cociente es el número 2, el divi-dendo es el número 10 y el divisor esel número 5.Coeficiente Es un número que multiplicaa una literal. Es decir, es el factornumérico de un término.Por ejemplo, en 2 x, el número 2 es elcoeficiente.Cofunción Para cada una de las fun-ciones trigonométricas básicas, seno,secante y tangente, se define una co-función:Función CofunciónSeno (sin x) Coseno (cos x)Secante (sec x) Cosecante (csc x)Tangente (tan x) Cotangente (cot x)Colineal Se dice que varios puntos soncolineales cuando están sobre unamisma recta.PQRSEn la figura anterior, los puntos P , Q,R y S son colineales, pues todos estánsobre la misma recta .www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  28. 28. 22CColumna–Complementarios, ángulosColumna En una matriz, una columna esuna línea vertical de sus elementos.En la siguiente matriz A, la primeracolumna está formada por loselementos a, d y g :A =a b cd e fg h iCombinación Una combinación C (n,r )es una selección de r (uno o más)objetos de un conjunto de n objetos,independientemente del orden.C (n,r ) se lee: «una combinación den elementos, tomando r a la vez», yse calcula con la fórmula:C (n,r ) =P (n,r )r !=n!r !(n − r )!donde P (n,r ) son las permutacionesde n tomando r a la vez y n! es el fac-torial del número n.Vea la definición de «Permutación».Compás Instrumento utilizado en ge-ometría para dibujar circunferen-cias y para comparar longitudes desegmentos.La siguiente figura muestra un com-pás:Complejo, número Número que tieneuna parte real y una parte imagi-naria:z = a + i bEn el número complejo z, a es laparte real y b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3−2i, 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.Algunas ecuaciones tienen por raícesnúmeros complejos.Complejo, plano Plano que asigna el ejehorizontal a los números reales y eleje vertical a los números imaginariosde manera que podamos representargráficamente los números complejos.RIz = 3 + 2iEl plano complejo también se conocecomo el «Plano de Gauss».Complementarios, ángulos Dos ángulosson complementarios si la suma desus medidas es igual a la medidade un ángulo recto. En otras pala-bras, si la suma de dos ángulos esigual a 90◦, entonces los ángulos soncomplementarios.αβEn la figura, los ángulos α y β soncomplementarios.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  29. 29. Complemento de un conjunto–CóncavoC23Complemento de un conjunto El com-plemento del conjunto , denotadopor , o bien por c, respecto delconjunto universo está definidopor: − .En palabras, el complemento delconjunto es el conjunto formadopor los elementos que están en el uni-verso que no están en .Completar el cuadrado Proceso defactorización para expresar un tri-nomio cuadrado no perfecto comola suma de un binomio al cuadradomás un término constante.Para completar el cuadrado de un tri-nomio cuadrado se calcula la mitaddel coeficiente del término lineal yse suma y resta el cuadrado de esenúmero.Por ejemplo, para completar elcuadrado de: x2+ 6 x + 10, sacamosla mitad de 6, (que es 3) y sumamos yrestamos su cuadrado (que es 9):x2+ 6 x + 10 = x2+ 6 x + 10+9 − 9= (x2+ 6 x + 9) + 10 − 9= (x + 3)2+ 1Componente Las componentes de unvector v = (v1,v2,··· ,vn ), son cadauno de los números v1,v2,··· ,vn . Laprimera componente es v1, la se-gunda componente es v2, y así suce-sivamente.Composición Dadas las funciones: y =f (x) y y = g (x), la composición def en g , denotado por f ◦ g , significasustituir g (x) en la función y = f (x):f ◦ g = f g (x)Por ejemplo, si definimos: f (x) = x2,y g (x) = 2 x − 3, entonces,f ◦ g = f g (x)= (2 x − 3)2= 4 x2− 12 x + 9Compuesto, número Un número naturalque tiene más de dos divisores.Por ejemplo, el número 9 es com-puesto, porque sus divisores son: 1,3, y 9.El número 5 no es un número com-puesto, pues solamente tiene dos di-visores.El único número natural par que noes compuesto es el número 2.Importante: No solamente losnúmeros pares son compuestos.Computadora Máquina electrónica ca-paz de aceptar y procesar infor-mación, aplicar procesos a ésta ydevolver resultados.La computadora está conformadapor dispositivos de entrada (teclado,ratón, escáner, etc.), de proce-samiento, cálculo aritmético y con-trol, de almacenamiento (disco duro,etc.) y de salida (monitor, impresora,etc.)Computadora, programa de Conjuntode instrucciones que indican a unacomputadora el procedimiento pararesolver un problema.Cóncavo Un polígono es cóncavo si almenos uno de sus ángulos internos esentrante.El siguiente polígono es cóncavo:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  30. 30. 24CConcéntrico–CongruenciaSi es posible dibujar un segmento derecta con extremos dentro del polí-gono, pero parte del segmento fuerade la figura, entonces el polígono escóncavo.Una curva es cóncava cuando su cur-vatura está dirigida hacia el puntodesde donde se observa. En lasiguiente figura se muestra una curvacóncava:CóncavoConvexoConcéntrico Se dice que dos o más ob-jetos geométricos son concéntricoscuando el centro de cada uno de elloses el mismo punto para todos.Por ejemplo, en la siguiente figura,el hexágono y la circunferencia sonconcéntricos, pues ambos tienen porcentro al punto C :CConclusión Es el resultado de una impli-cación lógica.Por ejemplo, considerando laspremisas: «Todos los hombres sonmortales», y «Luis es hombre», la con-clusión es: «Luis es mortal», pues esel resultado de la implicación lógicade las premisas iniciales.Condición necesaria En la implicación:p → q, q es la condición necesaria.Por ejemplo, una condición nece-saria para que un cuadrilátero seacuadrado es que todos sus ángulosmidan lo mismo. Sin embargo, estacondición no es suficiente.Condición suficiente Condición querequiere cumplir un objeto matemáticopara satisfacer una implicación enambos sentidos.p ↔ qPor ejemplo, una condición sufi-ciente para que un cuadrilátero seacuadrado es que sea regular: si escuadrado es un cuadrilátero regular,y si es regular, el cuadrilátero es uncuadrado.Congruencia (Geometría) 1. Dossegmentos de recta son congruentessi tienen la misma medida.2. Dos ángulos son congruentes sitienen la misma medida.3. Dos triángulos son congruentes silas medidas de sus lados son iguales.4. Dos polígonos son congruentes sies posible superponer uno sobre otro.(Teoría de números) Dados losnúmeros enteros a,b,k, decimos queel número a es congruente con kmódulo b, y se denota por: a ≡ kmod b, si es posible escribir:a = b m + kdonde m ∈ .En otras palabras, si el número a −www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  31. 31. Cónica–Conjugados, ángulosC25k es divisible por b, entonces a escongruente con k módulo b .Por ejemplo, 14 ≡ 4 mod 5, porque:14 = 5 × 2 + 4Es decir, 14 − 4 es divisible por 5.Cónica Figura geométrica que se encuen-tran a partir de la intersección de uncono con un plano.A las cónicas también se les llama«secciones cónicas».Las cónicas son las siguientes: CircunferenciaEjeO ElipseEjeO ParábolaEjeO HipérbolaEjeOLa línea recta y el punto son casosparticulares de cónicas.Cónica de Fermat La gráfica de una fun-ción del tipo y = xnes una cónicade Fermat. Cuando n 0, la curvase llama parábola de Fermat y cuandon 0 la curva se llama hipérbola deFermat.Conjetura Afirmación de un resultado,sin ofrecer suficiente evidencia que lademuestre o la refute. Una conjeturase crea a partir de observaciones.Por ejemplo, «hay un número infinitode números primos gemelos», es unaconjetura que aún no se demuestrani se refuta. (Vea la definición de«números primos gemelos»).Conjugado El conjugado del númerocomplejo z = a + i b es el númerocomplejo que se obtiene al cambiarde signo su parte imaginaria, y sedenota por z:z = a − i bGeométricamente el conjugado de zrepresenta la reflexión de z respectodel eje real (horizontal):RIz = a + i bz = a − i bab−bConjugados, ángulos Dos ángulos sonconjugados si la suma de sus medi-das es igual a la medida de unángulo perigonal. En otras pala-bras, si la suma de dos ángu-los es igual a 360◦, entonces losángulos son conjugados.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  32. 32. 26CConjugado, eje–ConmutativaConjugado, eje En una hipérbola, el ejeconjugado es un segmento de rectaperpendicular al eje transverso quepasa por el punto medio de éste.Conjunción Aseveración formada por dospremisas unidas por la palabra «y».Por ejemplo, «el número 2 es par y esprimo» es una conjunción.El símbolo matemático utilizado parala disyunción es ∧.Vea la definición de «Disyunción».Conjunto Una colección de objetos biendefinida. Por bien definida se en-tiende que siempre es posible decidirsi un objeto está o no en el conjunto.Por ejemplo, el conjunto de losnúmeros enteros mayores a cero,pero menores a 10, denotado por ,es el siguiente:= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}Cuando no se puede determinar si unelemento está o no en el conjunto,decimos que el conjunto no está biendefinido.Conjunto abierto Conjunto cuyo com-plemento es cerrado.Un ejemplo de un conjunto abierto esun intervalo abierto.Vea la definición de «Abierto, inter-valo».Conjunto cerrado Conjunto que con-tiene todos sus puntos frontera.En geometría plana, un punto e quepertenece al conjunto , (e ∈ ) esun punto frontera si al dibujar unacircunferencia de radio r con centroen e , siempre algunos puntos den-tro de la circunferencia no están enel conjunto , no importa cuan pe-queño sea r .En la siguiente figura, el punto p esun punto frontera del conjunto :pConjunto ordenado (Álgebra) Unconjunto es ordenado si suselementos satisfacen la tricotomía.Vea la definición de «tricotomía».(Teoría de conjuntos) Un conjuntode valores que tienen un ordenpreestablecido.Por ejemplo, las coordenadas de unpunto en tres dimensiones debendarse en el orden (x, y,z).Conjunto unitario Conjunto que tieneexactamente un elemento. En otraspalabras, el conjunto unitario esaquel conjunto cuya cardinalidadvale 1.Conjunto vacío Conjunto que contienecero elementos. Se denota con elsímbolo ∅.Conmensurable Decimos que losnúmeros a,b diferentes de cero, sonconmensurables si existe un númeroracional p 0 tal que a = pb.Por ejemplo, los números 7 5 y 3 5son conmensurables, porque:7 5 =73· 3 5Los números irracionales no sonconmensurables con los númerosracionales.Conmutativa La propiedad conmutativapara la suma es la siguiente:a + b = b + awww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  33. 33. Cono–ContinuidadC27y para la multiplicación:a · b = b · aEn la definición de «Propiedades delos números» puede encontrar lasdemás propiedades de los númerosreales.Cono Figura geométrica que se obtiene alhacer girar una recta respecto de unpunto fijo y alrededor de otra rectafija que pasa por el punto fijo. La rectaque gira se llama generatriz, el puntofifo es el vértice del cono y la recta fijaes el eje del cono.EjeGeneratrizOConsecuente El consecuente de la razóna : b es b .Por ejemplo, en la razón 5 : 7, elnúmero 5 es el antecedente y el 7 esel consecuente.Consecutivo El consecutivo del númeronatural n es n + 1.Por ejemplo, el consecutivo delnúmero 9 es 10.Consecutivos, ángulos En un polígono,dos ángulos son consecutivos sitienen un lado común.En el siguiente pentágono, los ángu-los A y B son consecutivos.ABConsecutivos, vértices En un polígono,dos vértices son consecutivos si sonextremos de un mismo lado.En la figura mostrada en el concepto«Consecutivos, ángulos», los vérticesA y B son consecutivos.Consistente Un conjunto de axiomas esconsistente cuando no es posibledemostrar una proposición y su neg-ativo.Constante Una expresión matemáticaque no cambia de valor. Por ejem-plo, el número π ≈ 3.14159265 esconstante.Constante de proporcionalidad Unaconstante de proporcionalidad k es elnúmero que hace que se cumpla unarelación de igualdad entre dos canti-dades que varían de manera propor-cional.Por ejemplo, si un balón cuesta$35.00 pesos, x es la cantidad debalones que queremos comprar y Mes el importe que debemos pagar,entonces,M = 35 xLa constante de proporcionalidad eneste caso es k = 35.Este ejemplo muestra una proporciona-lidad directa, aunque también puedeser inversa.Construcción Método para construir unafigura utilizando solamente regla ycompás.Continuidad Se dice que una función f escontinua en un intervalo dado [a,b]si toma todos los valores entre f (a) yf (b) y se puede dibujar en ese inter-valo sin despegar la punta del lápizdel papel sobre el cual se le dibuja.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  34. 34. 28CContinuo–ConvexoEn la siguiente figura, la función y =f (x) es continua en el intervalo [a,b]:xyy = f (x)baf (b)f (a)Más formalmente, se dice que unafunción y = f (x) es continua en elpunto x = a si el límite de la funcióncuando x tiende a a es igual al valorde la función evaluada en x = a. Estoes,si limx→af (x) = f (a),entonces la función f es continua enx = a.Continuo Una variable es continua enun intervalo cuando puede tomarcualquier valor real dentro de eseintervalo.Cuando la variable no puede tomartodos los posibles valores dentro delintervalo, sino que toma valores enforma de saltos, decimos que la varia-ble es discreta.Contorno Línea o curva cerrada que de-limita una figura.El perímetro de una figura ge-ométrica plana representa la medidade su contorno.Vea la definición de «Perímetro».Contradicción Sentencia que resultafalsa.Por ejemplo: 2 + 3 = 1, es una con-tradicción.Contradicción, demostración por Demostra-ción en la cual se supone falsa lapremisa inicial y se llega a una con-tradicción o a una premisa falsa, con-cluyendo, entonces, que la suposi-ción es falsa, haciendo la premisa ini-cial verdadera.La demostración por contradiccióntambién se llama «demostración porreducción al absurdo».Contradominio El contradominio deuna función es el conjunto formadopor todos los valores que la funciónpuede tomar.Vea la definición de «Función».Contraejemplo Argumento que sirvepara descartar una hipótesis.Por ejemplo, si suponemos que todoslos números impartes son primos, elnúmero 21 es un contraejemplo, puesel 21 por tener 4 divisores (1, 3, 7 y 21),y por tanto, no es primo.Converger Acercarse cada vez más a unvalor.Por ejemplo, si damos valores a xcada vez más grandes y los sustitu-imos en 1/x, la sucesión de valoresque vamos obteniendo se acer-can cada vez más a cero; decimosentonces que la sucesión es conver-gente y que converge a cero.11,12,13,14,15,··· converge a 0Convexo Un polígono es convexo cuandotodos sus ángulos internos midenmenos que un ángulo llano (ningunode sus ángulos internos es entrante).El siguiente polígono es convexo:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  35. 35. Coordenada–Coordenadas polaresC29Es decir, un polígono es convexo sitodos sus ángulos internos midenmenos de 180◦.Más formalmente, se dice que unafigura geométrica es convexa si todosegmento con extremos dentro de lafigura, todo (el segmento) está dentrode la figura.Cuando un polígono no es convexo sedice que es cóncavo.El siguiente polígono es cóncavo:Una curva es convexa cuando su cur-vatura está dirigida hacia afuera delpunto desde donde se observa. En lasiguiente figura se muestra una curvaconvexa:CóncavoConvexoCoordenada Una coordenada es elnúmero al cual al cual le correspondeun punto de una recta numérica.En otras palabras, las coordenadasson números que indican la ubi-cación de un punto en el plano:P (x, y ).x1 2 3 4123yP (3,2)En la figura, la primera coordenadadel punto P es: x = 3 y la segunda:y = 2.A cada punto del plano le corres-ponde un par de coordenadas y acada par de coordenadas le corres-ponde un punto del plano.Coordenadas rectangulares Las coordena-das rectangulares se refieren a unsistema de ejes coordenados mutua-mente perpendiculares que com-parten la misma unidad de medidaen todos sus ejes.En la figura mostrada en la defini-ción de «Coordenada» se encuentraun sistema de coordenadas rectangu-lares con dos ejes.Coordenadas polares Las coordenadaspolares del punto P del plano se de-finen a partir de la distancia al origeny el ángulo que forma la recta quepasa por el origen y el punto P conel eje horizontal:P (r,θ)rθwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  36. 36. 30CCoplanar–Coseno hiperbólicoLas coordenadas polares de un puntoP (r,θ) pueden transformarse encoordenadas rectangulares P (x, y ),a través de las siguientes fórmulas:x = r · cosθy = r · sinθA su vez, las coordenadas rectangu-lares de un punto P (x, y ) del planopueden transformarse en coordena-das polares P (r,θ), usando:r = x2 + y 2θ = arctanyxCoplanar Cuando varios objetos estánsobre el mismo plano, se dice queson coplanares. Por ejemplo, en lasiguiente figura los puntos P , Q, R yS son coplanares porque todos estánen el mismo plano:PQRSCorolario Proposición que es unaconsecuencia inmediata de otra, ycuya demostración requiere poco oningún razonamiento.Coseno La función coseno se define paracualquier ángulo α. Dado un ángulocon un lado horizontal y vértice en elorigen, su coseno, denotado por cosαse define como la coordenada sobreel eje x del punto de intersección delotro lado (no horizontal) del ángulocon la circunferencia de radio 1.xy11sinαcosααEn un triángulo rectángulo, el cosenode un ángulo α positivo menor a 90◦puede calcularse con el cociente:cosα =cateto adyacentehipotenusaαHipotenusaCatetoopuestoCateto adyacenteLa gráfica de la función coseno es lasiguiente:xyy = cos x1-1Coseno hiperbólico La función cosenohiperbólico del número x se denotapor: cosh x y está definida por:cosh x =e x+ e −x2www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  37. 37. Cosenos, ley de–Criba de EratóstenesC31Cosenos, ley de Para todo triángulo quese encuentra en el plano, se cumple:C 2= A2+ B2− 2AB cosαdonde A, B y C son las longitudes delos lados del triángulo, y α es el án-gulo formado por los lados A y B.La ley de senos es una generalizacióndel famoso teorema de Pitágoras,pues cuando α = 90◦, tenemos el casoparticular: C 2= A2+ B2, que corres-ponde al teorema de Pitágoras.Cosecante La función cosecante se definecomo el recíproco de la función seno.Es decir,cscα =1sinαEn el triángulo rectángulo mostradoen la definición de «Coseno» la fun-ción cosecante se puede escribircomo:cscα =hipotenusacateto opuestoObserva que se supone que la medidadel cateto opuesto es diferente decero.Cotangente La función cotangente sedefine como el recíproco de la fun-ción tangente. Es decir,cotα =1tanαUsando el triángulo rectángulomostrado en la definición de«Coseno» podemos describir la fun-ción cotangente como:cotα =cateto adyacentecateto opuestoObserva que se supone que la medidadel cateto opuesto es diferente decero.Creciente Decimos que una función f escreciente en un intervalo [a,b ] si paracualesquiera valores u,v que esténen ese intervalo y que cumplan con:u ≤ v, se cumple: f (u) ≤ f (v).Por ejemplo, la función y = x2escreciente en el intervalo [0,1]:Crecientex0 0.5 1 1.5f (x)12y = x2Al ver la gráfica de una función, sabe-mos que es creciente si al moverte ala derecha la gráfica de la función vahacia arriba.Crecimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:y = M e r tdonde M y r son constantes posi-tivas, e es el número de Euler y trepresenta el tiempo.Dentro de ciertos límites, el crec-imiento de una población presentacrecimiento exponencial.Criba de Eratóstenes Procedimiento porel cual se puede encontrar la lista detodos los números primos menores aun número natural dado n.El procedimiento consiste en ir elim-inando los múltiplos de 2, 3, etc., ex-cepto el primer múltiplo (2, 3, etc.),hasta obtener una lista de númerosque no se han eliminado y por tantowww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  38. 38. 32CCriterios de divisibilidad–Cuadrado latinoson primos, al no tener más de dos di-visores.La siguiente figura muestra la cribade Eratóstenes para encontrar losnúmeros primos menores a 25:1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 25Criba de EratóstenesCriterios de divisibilidad Regla que nosayuda a determinar si un número sedivide entre otro sin hacer la divisióndirectamente.Un número se divide, entre 2 si la última cifra delnúmero es par. entre 3 si la suma de sus cifras esun múltiplo de 3. entre 4 si el número formadopor sus últimas dos cifras es unmúltiplo de 4. entre 5 si termina en 5 ó en 0. entre 6 si es divisible por 2 y por3. entre 8 si el número formadopor sus tres últimas cifras es unmúltiplo de 8. entre 9 si la suma de sus cifras esun múltiplo de 9. entre 10 si termina en cero.Vea la definición de «Divisibilidad».Crítico, punto En una curva, el puntocrítico es el punto donde una rectatangente a la curva es horizontal.En la siguiente figura, el punto Pindicado es un punto crítico de lafunción y = f (x)xyy = f (x)P1-1Cuadrado (Aritmética) El cuadrado de unnúmero es el resultado de multipli-carlo por sí mismo.Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9,porque 3 × 3 = 9.Importante: elevar al cuadrado nosignifica multiplicar por dos, sino porsí mismo.(Geometría) Polígono regular decuatro lados. El cuadrado es un rec-tángulo que tiene la propiedad de quesus 4 lados miden lo mismo.CuadradoEl cuadrado es un rectángulo y unrombo a la vez.Cuadrado latino Arreglo rectangular den × n símbolos de manera que encada renglón y en cada columnaaparezca cada símbolo exactamenteuna vez.El siguiente arreglo rectangular es uncuadrado latino:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  39. 39. Cuadrado mágico–CuartilC33α β γ δβ γ δ αγ δ α βδ α β γCuadrado mágico Arreglo rectangular denúmeros naturales de manera que entodas sus columnas y todos sus ren-glones sumen lo mismo.Un cuadrado mágico de 3 × 3 es:2 9 47 5 36 1 8La suma de cada renglón, cadacolumna y las diagonales es 15.Un cuadrado mágico de 4 × 4 es elsiguiente:15 10 3 64 5 16 914 11 2 71 8 13 12La suma de cada renglón, cadacolumna y cada diagonal en estecuadrado mágico es 34.Además observa que:8 + 13 + 10 + 3 = 344 + 14 + 9 + 7 = 3411 + 2 + 5 + 16 = 341 + 12 + 15 + 6 = 34Cuadrante En un sistema de coordena-das rectangulares, el plano quedadividido en 4 regiones. Cada una deesas regiones es un cuadrante.xyCuadrante ICuadrante IICuadrante III Cuadrante IVCuadrático De grado dos o elevado alcuadrado.Por ejemplo, una ecuación cuadráticaes una ecuación de grado dos:a x2+ b x + c = 0donde a 0.Cuadrilátero Polígono de cuatro lados.La siguiente figura geométrica es uncuadrilátero porque tiene 4 lados.Cuartil Valores que dividen a las medi-ciones realizadas en cuatro partesiguales.Para hacer el cálculo de los cuar-tiles se requiere que los datos esténordenados de manera creciente.El primer cuartil es el valor que esmayor al 25% y menor al 75% detodos los valores; el segundo cuartilwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  40. 40. 34CCuarto–Curvaturaes mayor al 50% de la población ymenor al otro 50% de todos los datos;el tercer cuartil es mayor al 75% detodos los valores y menor al 25% es-trato más alto de todos los datos y elcuarto cuartil es el mayor de todos losvalores.Cuarto Cuando dividimos un entero encuatro partes iguales, cada una de el-las es un cuarto, o bien, una cuartaparte del entero.14141414Cubo (Aritmética) El cubo de un númeroes el resultado de multiplicarlo por símismo tres veces.Por ejemplo, el cubo de 2 es 8, porque2 × 2 × 2 = 8.(Geometría) Sólido geométricoregular cuyas 6 caras son cuadrados.CuboCubo unitario Cubo con aristas demedida igual a la unidad.Cúbico Unidad de volumen que se denotaescribiendo el número 3 como su-períndice de la unidad considerada.Por ejemplo, un litro equivale a undecímetro cúbico, que se denotacomo 1 dm3. Es decir, una caja de undecímetro de arista, contiene un vol-umen de un litro.Cuerda Segmento de recta que tienesus puntos extremos sobre la mismacircunferencia.CuerdaCuerpo geométrico Objetos (reales o ide-ales) que ocupan un volumen y quetienen tres dimensiones: alto, largo yancho.También lea la definición de«Sólido».Curva Una línea trazada en un plano oen el espacio. En álgebra y análisismatemático también se llama curvaa una ecuación refiriéndose a quecualquier punto sobre su gráfica sat-isface a la ecuación.En matemáticas, frecuentementeutilizamos la palabra curva parareferirnos a una función.Curvas, familia de Conjunto de curvasque tienen un mismo patrón de con-strucción o que se obtienen al variarun parámetro de su ecuación.Curvatura Una medida del cambio de di-rección de una curva en un punto.Una línea recta tiene curvatura cero,pues nunca cambia su dirección.Una circunferencia tiene curvaturaconstante, pues cambia de direcciónwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  41. 41. CurvaturaC35una misma cantidad siempre queavanzamos la misma distancia.Una circunferencia con un radio pe-queño tiene mayor curvatura queuna circunferencia con radio másgrande.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  42. 42. 36CLibrodedistribucióngratuitawww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  43. 43. aprendematematicas.org.mxDEfrain Soto ApolinarDato (Álgebra) En un problema, un datoes información que se extrae del textodel problema que se utilizará en susolución.(Estadística) Información que se ex-trae de una población o una muestraa partir de los cuales se calcularáno estimarán parámetros que la de-scriben.Deca- Prefijo que indica «diez veces»usado en los múltiplos de lasunidades del Sistema Internacio-nal de Medidas. Por ejemplo, undecámetro es equivalente a diezmetros.Década Unidad de tiempo que equivale adiez años.Decágono Polígono de diez lados y diezángulos. El decágono regular tienetodos sus lados y ángulos iguales.DecágonoDecaimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:y = M e −r tdonde M y r son constantes posi-tivas, e es el número de Euler y trepresenta el tiempo.Por ejemplo, la radiactividad pre-senta decaimiento exponencial.Deci- Prefijo que indica «la décima parte»usado en los submúltiplos de lasunidades del Sistema Internacionalde Medidas. Por ejemplo, decímetroindica la décima parte de un metro.Decilitro indica la décima parte de unlitro.Decil Valores que dividen a las medi-ciones realizadas en diez partesiguales.
  44. 44. 38DDecibel–DécimoPara hacer el cálculo de los deciles serequiere que los datos estén ordena-dos de manera creciente.El d decil es el valor que tiene 10×p%de todos los valores por debajo de ély el (100 − 10 × p)% por encima.Por ejemplo, el tercer decil es mayoral 30% de todos los valores y es menoral 70% de todos los valores.Decibel Unidad de medida de la intensi-dad del sonido. Se abrevia como dB.Un sonido de un decibel tiene la in-tensidad mínima que el oído humanosano puede percibir.Decimal Se refiere a un sistema basado enel número diez.Decimal, fracción Una fracción es deci-mal cuando en su denominador hayuna potencia de 10.Por ejemplo, 0.25 puede expresarsecomo:0.25 =25100=25102Por otra parte, el número 3.06 puedeescribirse como:3.06 = 3 + 0.06 = 3 +6100= 3 +6102Decimal, punto Signo matemático quesirve para separar la parte entera deun número de su parte decimal.Por ejemplo, en el número: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimales: 0.1416.En algunos países se acostumbraescribir una coma decimal en lugardel punto.Decimal, sistema métrico El sistemamétrico decimal es el que utiliza losprefijos para indicar múltiplos y sub-múltiplos de las unidades.Los prefijos de los múltiplos usadosen este sistema y sus significados son:Prefijo Símbolo Múltiploexa E 1018peta P 1015tera T 1012giga G 109mega M 106kilo k 103hecto h 102deca da 10Los prefijos de los submúltiplos y sussignificados son:Prefijo Símbolo Submúltiplodeci d 10−1centi c 10−2mili m 10−3micro µ 10−6nano n 10−9pico p 10−12femto f 10−15atto a 10−18Los prefijos de los múltiplos y sub-múltiplos de utilizan con cualquierade las unidades de las magnitudesfísicas.Por ejemplo, kilogramo es equiva-lente a mil gramos y un nanómetroequivale a una mil millonésima partede un metro.Décimo (1.) Un décimo es equivalente auna de las partes de un entero queha sido dividido en diez partes delmismo tamaño.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  45. 45. Décimoprimero–DefiniciónD39110110110110110110110110110110(2.) En un número con decimales, eldígito de los decimos es el dígito quese encuentra en la segunda posicióna la derecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 1.73205, eldígito «7» corresponde a los décimos.Décimoprimero Número ordinalcorrespondiente al lugar númeroonce.Por ejemplo, en un maratón, el corre-dor que llega en el lugar númeroonce, tiene el décimoprimer lugar.Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente)«onceavo» refiriéndose al número or-dinal «décimoprimero».Onceavo es una fracción, no unnúmero ordinal.Undecimo es sinónimo de decimo-primero.Vea la definición de «Número ordi-nal».Décimosegundo Número ordinalcorrespondiente al lugar númerodoce.Por ejemplo, en un maratón, el corre-dor que llega en el lugar númerodoce, tiene el décimosegundo lugar.Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente)«doceavo» refiriéndose al número or-dinal «décimosegundo».Doceavo es una fracción, no unnúmero ordinal.Vea la definición de «Número ordi-nal».Declinación Diferencia entre el norte ge-ográfico y el norte magnético.Decreciente Decimos que una función fes decreciente en un intervalo [a,b]si para cualesquiera valores u,v queestén en ese intervalo y que cumplancon: u ≤ v, se cumple: f (u) ≥ f (v).Por ejemplo, la función y = 2 − x2esdecreciente en el intervalo (0,2):Decrecientex0 0.5 1f (x)12Observa que f (0.5) f (1.0), y tam-bién se cumple que: 0.5 ≤ 1.0.Deducción Proceso de derivar una con-clusión a partir de las propiedades delos objetos matemáticos con los quese trabaja o de un principio general.Deficiente, número Número que tiene lapropiedad que sus divisores propiossuman menos que él.Por ejemplo, el número 32 es defi-ciente, porque sus divisores propiossuman 31:1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 32Definición Sentencia que enlistalas propiedades de un objetomatemático.Descripción de las características queidentifican de manera exacta a unobjeto matemático en cuanto a sunaturaleza o significado.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  46. 46. 40DDemostración–Dependientes, eventosDemostración Justificación de una afir-mación, premisa o sentencia deuna manera estructurada, lógica eirrefutable a partir de otras senten-cias verdaderas.El proceso de demostración enmatemáticas es muy importante,pues cada nuevo teorema debedemostrarse en base a los axiomasconocidos y a otros teoremas ya de-mostrados.Demostración indirecta Demostración através de probar que lo contrarioguia a una contradicción. Tambiénse conoce como «reducción al ab-surdo».Demostración por contradicción Demostra-ción en la cual se supone falsa lapremisa inicial y se llega a una con-tradicción o a una premisa falsa, con-cluyendo, entonces, que la suposi-ción es falsa, haciendo la premisa ini-cial verdadera.La demostración por contradiccióntambién se llama «demostración porreducción al absurdo».Denominador En una fracción, eldenominador indica en cuántaspartes se dividirá un entero y elnumerador indica cuántas de esaspartes vamos a tomar.Fracción =numeradordenominadorEn una fracción el numerador se es-cribe arriba y el denominador abajo.Denominador común Sinónimo de Mín-imo común denominador.Vea la definición de «Mínimo comúndenominador».Densidad (Análisis) Decimos que unconjunto de números es denso, sipara cada par de números dentro deese conjunto existe otro número delmismo conjunto entre ellos.Por ejemplo, los números racionalesson densos, porque no importaqué tan cerca se encuentren dosnúmeros, siempre podemos encon-trar uno entre ellos (en particular, elpromedio de los dos cumple con eso).Los números reales también son den-sos.(Física) El resultado de dividir lamasa de un objeto entre su volumen.Por ejemplo, un litro (1 dm3) de mer-curio tiene una masa de 13.7 kilo-gramos, entonces su densidad δ es:δ =13.7 kg1 L= 13.7 kg/LDependencia funcional Se dice que lavariable y depende funcionalmentede la variable x si es posible escribirla relación que existe entre ellas enforma de ecuación. En ese caso, y esla variable dependiente (depende dex) y x es la variable independiente.Si la ecuación que relaciona a lasvariables {x, y } no es una funcióndecimos que tenemos una funciónimplícita de y en x.Dependiente, variable Una variable esdependiente si su valor depende delvalor de otra u otras variables.Por ejemplo, en la función: y = x2,la variable dependiente es y , pues suvalor depende del valor que tome lavariable x.Dependientes, eventos Dos eventos sondependientes cuando el resultado deuno es afectado por el resultado delotro.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  47. 47. Derivación–Descomposición en factoresD41Derivación Proceso por el cual se calculala derivada de una función.El proceso más común consiste enaplicar directamente una regla o fór-mula de derivación aplicable a la fun-ción que se desea derivar.Las reglas de derivación se deducen apartir de la regla de los cuatro pasos.Vea la definición «Regla de los cuatropasos».Derivada En Cálculo, la derivada es lamejor aproximación lineal a una fun-ción en un punto.Por ejemplo, para la gráfica de la fun-ción y = x2, en el punto P (1,1) queestá sobre esta curva, la mejor aprox-imación lineal es la recta: y = 2 x − 1.La siguiente gráfica muestra la fun-ción y su derivada en el punto P (1,1):xy1 2123y=2x−1y = x2La derivada de una función evaluadaen un punto siempre es la pendientede la recta tangente a la gráfica de lafunción en ese punto.Formalmente, la derivada se definecomo el siguiente límite:f (x) = lim∆x→0f (x + ∆x) − f (x)∆xLa derivada se interpreta como unarazón de cambio instantánea conrespecto a la variable independiente,es decir, la derivada nos dice cómocrece la función en un punto.Derivable, función Una función y = f (x)es derivable en un punto x0 de sudominio si la derivada de la funcióny (x0) = f (x0) está definida en esepunto.Decimos que una función es deriv-able en un intervalo (a,b) si es deriv-able en cada punto de ese intervalo.Desarrollo (Álgebra) Un desarrollose refiere a la realización de lasoperaciones queestán indicadas en una expresiónalgebraica.Por ejemplo, el desarrollo de (a + b)3,es:(a + b)3= a3+ 3a2b + 3a b2+ b3(Geometría) El desarrollo de unsólido geométrico se refiere a undibujo que nos permite construir elsólido.La siguiente figura corresponde aldesarrollo de un dodecaedro:123456789101112Descomposición en factores (Arit-mética) Cuando un número naturalse expresa como el producto denúmeros primos se dice que seha descompuesto en sus factoreswww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  48. 48. 42DDescuento–Desplazamientoprimos.Por ejemplo, la descomposición enfactores primos del número 30 es:30 = 2 × 3 × 5Observa que cada uno de losnúmeros que aparecen a la derechade la igualdad son primos.(Álgebra) Cuando una expresiónalgebraica se expresa en forma de lamultiplicación de otras, se dice quese ha descompuesto en factores.Por ejemplo:x2− y 2= (x + y )(x − y )Descuento Reducción que se hace a unacantidad o a un precio o valor de algo.Generalmente, el descuento se deter-mina en base a un porcentaje fijo de-terminado.Desigual Condición que indica que doscantidades no son iguales. Para de-notar que dos cantidades son de-siguales usamos en símbolo . Porejemplo,10 + 2 100En matemáticas frecuentementeusamos las palabras «distinto» y«diferente» como sinónimos dedesigual.Desigualdad Una desigualdad es unarelación matemática que compara elvalor de dos números o expresionesalgebraicas (del tipo mayor o menor).Por ejemplo, 2 5 es una desigual-dad.Algunas veces es conveniente indicarque un número debe ser mayor oigual, o bien que es menor o igual.Las desigualdades usan la siguientenotación:Desigualdad Significado mayor que menor que≥ mayor o igual que≤ menor o igual queDecimos que a es mayor que b , sila diferencia a − b es positiva. Si ladiferencia es negativa, entonces dec-imos que a es menor que b. Evi-dentemente, si la diferencia es cero,entonces, a = b.Desigualdad del triángulo En un trián-gulo que se encuentra en un plano, lasuma de las longitudes de dos de suslados siempre más grande que la lon-gitud de su tercer lado.En la siguiente figura, la suma de laslongitudes de los lados A y B es mayorque la longitud del lado C :CAB|A| + |B| |C |Desigualdad doble Expresión matemáticaque incluye dos desigualdades.Por ejemplo, la siguiente es unadesigualdad doble:0 ≤ x 10Desplazamiento Magnitud vectorial quecorresponde a una distancia indi-cando una dirección.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  49. 49. Despejar–DeterminanteD43Despejar En matemáticas el despeje serefiere al proceso de aislar una varia-ble de una expresión matemática uti-lizando operaciones algebraicas demanera que la expresión final seaequivalente a la inicial.Por ejemplo, al despejar y de laecuación: 2 x + 3 y = 12, obtenemos:y =12 − 2 x3= 4 −23xDesviación (Estadística) La desviación δde una medición xi se define como ladiferencia de la media x de la muestraal valor medido:δ = xi − xLa desviación absoluta es igual alvalor absoluto de la desviación.Algunos autores llaman «discrepancia»a la desviación.Desviación media La desviación mediade una muestra, o desviación mediamuestral, es el promedio de lasdesviaciones absolutas de todos losdatos de la muestra.Por ejemplo, considerando alconjunto de datos: {2,3,6,9}, lamedia de la muestra es x = 20/4 = 5.Las desviaciones de cada dato semuestran en la siguiente tabla:Medición Desviaciónxi δ2 −33 −26 19 4y la desviación media es el prome-dio de sus valores absolutos. Eneste caso, la desviación media es 2.5,porque la suma de todas las desvia-ciones absolutas es 10 y a este valorlo dividimos entre 4.Este estadístico mide en promediocuánto se aleja cada dato de la mediaaritmética.Desviación estándar La desviación es-tándar o desviación típica, denotadapor s, para una muestra de n datos{x1, x2,··· , xn }, está definida por:s =(xi − x)2ndonde x es la media de la muestra.Determinante El determinante de 2×2 sedefine como:a bc d= ad − b cY el determinante de 3 × 3 se definepor:∆ =a b cd e fg h i= ae i + c dh + b f g−c e g − a f h − bd iUn sistema de ecuaciones linealesse puede resolver utilizando determi-nantes.Por ejemplo, el sistema de ecuacio-nes:a x + b y = mc x + d y = nse puede resolver a través del métodowww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  50. 50. 44DDeterminístico–Diagonal secundariade determinantes como sigue:x =m bn da bc d=dm − bnad − b cy =a mc na bc d=an − c mad − b csiempre que ad − b c 0. Si ocurreque ad − b c = 0, entonces el sistemade ecuaciones, bien no tiene solu-ción, bien tiene un número infinitode soluciones.Los determinantes también se de-finen para matrices cuadradas demayor orden (4 × 4, 5 × 5, etc.)Determinístico Un evento es deter-minístico cuando es predecible.Generalmente utilizamos una fór-mula matemática para conocer sucomportamiento.Por ejemplo, para conocer si unaviga soportará un peso, existen fór-mulas para poder elaborar el cálculocorrespondiente.Día Intervalo de tiempo que equivale a 24horas.Diada Un par ordenado de valores. En elplano, las coordenadas de cada puntoson una diada.Por ejemplo, (3,4) es una diada.Diagonal La diagonal de un polígono esel segmento de recta que tiene susextremos en dos vértices no consec-utivos del polígono. Si el segmentode recta tiene sus extremos en dosvértices consecutivos del polígono,entonces se trata de uno de sus lados.DiagonalLadoEl número de diagonales D quepodemos trazar a un polígono regularde n lados puede calcularse con lasiguiente fórmula:D =n (n − 3)2Diagonal principal En una matrízcuadrada, la diagonal principal es laque empieza en la esquina superiorizquierda y termina en la esquina in-ferior derecha.Por ejemplo, en la matriz:a b cd e fg h iLa diagonal principal es la queincluye las entradas: a,e ,i.Diagonal secundaria En una matrízcuadrada, la diagonal secundaria esla que empieza en la esquina supe-rior derecha y termina en la esquinainferior izquierda.Por ejemplo, en la matriz:a b cd e fg h iLa diagonal secundaria es la queincluye las entradas: c ,e ,g .www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  51. 51. Diagrama–Diagrama de líneasD45Diagrama En matemáticas un diagramaes una representación gráfica dela relación entre varios objetosmatemáticos.Por ejemplo, el siguiente diagramaexplica la relación entre una función,su dominio y su contradominio:x f (x)fFunciónDominio ContradominioValores que ledamos a lafunciónValores que nosdevuelve lafunciónGeneralmente, los diagramas no sedibujan a escala.Diagrama de árbol Gráfica en la que semuestra la relación entre varios com-ponentes.El siguiente es un diagrama de árbol:RaízPadre MadreHijo HijaDiagrama de barras Forma de graficardatos que facilita la comparaciónentre distintos grupos de datos.La siguiente gráfica es un diagramade barras vertical:2007 2008 2009 2010 2011708090CalificaciónMatemáticas Lenguaje HistoriaEl diagrama de barras muestracuantitativamente a través debarras horizontales o verticales demismo grosor con alturas propor-cionales a las cantidades que seestán representando.Diagrama de dispersión Diagrama quemuestra datos de dos variables en elplano para identificar tendencias enlos mismos.La siguiente gráfica es un diagramade dispersión:−4 −2 0 2 4−0.500.5Diagrama de líneas Diagrama que se uti-liza para describir gráficamente elcomportamiento de una cantidadpara distintos valores de una variableindependiente, como por ejemplo, eltiempo.Este tipo de diagramas es el que seutiliza muy frecuentemente en lospronósticos:0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  52. 52. 46DDiagrama de sectores–Diferencia de conjuntosDiagrama de sectores El diagrama desectores sirve para comparar datosen base a un total. Generalmente sele dibuja en forma de pastel.El siguiente gráfico corresponde a undiagrama de sectores:Diagrama de Venn Diagrama que se uti-liza para denotar conjuntos y lasoperaciones entre ellos.El siguiente diagrama de Vennmuestra la intersección de los con-juntos y :∩Diamante Cuadrilátero que tiene dos án-gulos obtusos y dos ángulos agudos.El siguiente polígono es un diamante:DiamanteDiámetro El diámetro de una circunferen-cia es la cuerda más larga que sele puede dibujar. En otras pala-bras, el diámetro es el segmento derecta que tiene sus extremos sobre lacircunferencia y pasa por su centroC .DiámetroCLa longitud del diámetro de unacircunferencia es igual al doble de suradio.Diferencia La diferencia entre losnúmeros a y b es el número b − a.En otras palabras, la diferencia de dosnúmeros es el resultado de restarlos.9876− 53244552minuendosustraendodiferenciaDiferencia de conjuntos La diferen-cia de los conjuntos y ,denotada por − , es el conjuntode todos los elementos queestán en , pero que no están en .El siguiente diagrama de Vennmuestra esta definición:∩−www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  53. 53. Diferencia de una progresión aritmética–DimensiónD47Diferencia de una progresión aritméticaDados dos términos consecutivoscualesquiera de una progresión ar-itmética, ai ,ai+1, la diferencia de laprogresión es: d = ai+1 − ai .En realidad, se define la diferencia dela progresión para calcular los térmi-nos de la misma y no al revés.Por ejemplo, si definimos a1 = 5 yd = 3, los términos de la sucesión ar-itmética son: a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11,a4 = 14, etc.Diferencia de vectores Sean u = (ux ,uy )y v = (vx ,vy ) dos vectores en el plano.Su diferencia es:w = u − v = (ux − vx ,uy − vy )Geométricamente, la diferencia delos vectores es el vector que tiene supunto inicial en el punto terminal dev y su punto terminal en el punto ter-minal de u:xyuvw = u − vDel diagrama anterior es fácil obser-var que v+w = u. Es decir, w = u−v.Diferenciable Una función es diferencia-ble en un punto o en un intervalo sies posible calcular su derivada en esepunto o en cada uno de los puntos delintervalo considerado.Diferencial Vea las definiciones «dx» y«dy ».Dígito Uno de los diez símbolos que uti-lizamos para escribir números en elsistema de numeración en base 10:0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9El término «digital» se refiere alsistema de numeración en base 2. Nose refiere a los dígitos.Dilatación Transformación del planoque consiste en un cambio de laposición de todos los puntos delplano, respecto de uno o varios ejes,tomando un valor k como escala. Ladistancia de cada punto P del planose multiplica por el valor k y se ubicacon la recta paralela al eje consid-erado y que pase por el punto P .Cuando k 1, los puntos estarán másalejados del eje, cuando k 1 estaránmás cerca.Dimensión (Álgebra) La dimensión deuna matríz de m renglones y ncolumnas es m × n.(Geometría) La dimensión de un es-pacio se define como el número decoordenadas que hay que indicarpara determinar de manera únicacada uno de sus puntos.El plano tiene dimensión dos, porquese requieren de dos coordenadas paradeterminar de manera única uno desus puntos.En matemáticas se pueden definir es-pacios de 3, 4, 5, etc., dimensionessin problema conceptual, aunque noes posible representarlos geométrica-mente a partir de 4 dimensiones.El estudio de los espacios de más detres dimensiones se elabora con eluso de vectores en el álgebra lineal.La siguiente figura muestra un espa-cio de tres dimensiones:www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  54. 54. 48DDina–DiscontinuidadyzxDina Unidad de fuerza equivalente a 10−5newtons.Dinámica Rama de la física que seencarga de estudiar el movimiento delos cuerpos bajo la acción de fuerzas.Dirección La dirección de un vector sedefine como el ángulo que éste formacon el eje horizontal.El siguiente diagrama muestra la di-rección θ del vector v:vxyθDirección, vector Vector de longitud uni-taria que sirve para definir una direc-ción específica.Directa, proporción Proporción en lacual al aumentar una cantidad la otratambién aumenta.Por ejemplo, cuando aumenta elnúmero de refrescos que vamos acomprar, aumenta también el im-porte que debemos pagar, por esodecimos que el importe es directa-mente proporcional al número de re-frescos.Directa, variación Las dos variables x, ypresentan variación directa si es-tán en proporción directa. En estecaso, se denomina la constante devariación directa k al número quesatisface y = k x para cualesquierados valores x, y de la variación.Por ejemplo, considerando el ejem-plo dado en la definición de«Proporción directa», si el preciode cada refresco es de $7.00 pesos,entonces k = 7, porque esta es laconstante que satisface y = k x, paracualesquiera x, y , donde y es el im-porte a pagar y x es el número de re-frescos que se compraron.Directriz En una cónica, la directriz esuna línea recta fija que junto conuno o dos puntos fijos llamados fo-cos sirven para medir proporcionesde distancias para determinar lospuntos de la cónica de acuerdo con sudefinición.Las cónicas son: Circunferencia Parábola Elipse HipérbolaVea la definición de «Cónica».Dirigido, segmento Segmento con unadirección definida, donde uno de suspuntos extremos se define como elpunto inicial y el otro extremo comosu punto final.Por ejemplo, el segmento dirigido−→AB, se muestra en la siguiente figura:xA BODiscontinuidad Se dice que una funciónes discontinua en un punto de suwww.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  55. 55. Discrepancia–DistanciaD49dominio cuando no es continua enél.Por ejemplo, la siguiente figuramuestra una función que presentauna discontínuidad en el intervalo[a,b]:xyy = f (x)baLa función no es continua porque nose le puede dibujar sin despegar lapunta del lápiz del papel sobre el cualse le dibuja.Discrepancia Sinónimo de «Desviación».Vea a la definición de «Desviación».Discreto Se dice que una variable tomavalores discretos cuando solamentepuede tomar valores de manera en-tera o en forma de saltos.Lo contrario de discreto es continuo.Discriminante En la fórmula generalpara resolver ecuaciones de segundogrado,a x2+ b x + c = 0:x =−b ± b2 − 4a c2ael discriminante D se define como elargumento del radical:D = b2− 4a cEl signo del discriminante nos indicael tipo de raíces que tendrá laecuación cuadrática:Discriminante Raícespositivo reales diferentescero reales repetidasnegativo complejasDiscusión En matemáticas una discusiónse refiere al proceso de análisis confin de investigar un concepto u objetomatemático a través del razona-miento y la argumentación aplicandolas propiedades conocidas del objetoen estudio.Disjunto Dos conjuntos son disjuntos sisu intersección es igual al conjuntovacío.En otras palabras, si dos conjuntos notienen elementos comunes, entoncesson conjuntos disjuntos.La figura muestra dos conjuntos dis-juntos:∩ = ∅Dispersión Número que indica el gradode separación (carencia de agru-pación) de los datos medidos entorno de la media de la muestra opoblación.Distancia Número que sirve de medidade separación entre dos objetosgeométricos.La distancia D entre dos puntosP (xp , yp ) y Q(xq , yq ) del plano carte-siano se puede calcular con la fór-mula:D (P,Q) = (xq − xp )2 + (yq − yp )2www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  56. 56. 50DDistancia de un punto a una recta–Distribución normalLa distancia (euclideana) satisface lassiguientes propiedades: D (P,Q) ≥ 0, es decir, la distanciaentre dos puntos es un númerono negativo. D (P,P ) = 0, es decir, la distanciade un punto a sí mismo es cero. D (P,Q) ≤ D (P,R) + D (R,Q), esdecir, en un triángulo, la sumade las longitudes de dos ladossiempre es al menos tan grandecomo el tercero.Distancia de un punto a una recta Ladistancia D del punto P (xp , yp ) a larecta:A x + B y + C = 0 se puede calcularcon la fórmula:D =|A xp + B yp + C |A2 + B2Para calcular la distancia entre dosrectas paralelas puedes encontrar unpunto sobre cualquiera de las dos ycalcular la distancia de este punto ala otra recta.Distinto Dos cantidades son distintascuando no son iguales. En otraspalabras, distinto es sinónimo dedesigual.Por ejemplo, 3 y 4 son cantidades dis-tintas. Matemáticamente esto lo ex-presamos: 3 4.Distribución La forma como los valoresde una variable aleatoria aparecen enlos datos medidos en una muestra opoblación.La distribución indica qué valorestienen mayor probabilidad de apare-cer y cuáles aparecen con menor fre-cuencia.Distribución binomial Distribución quepresentan los eventos que tienen dosposibles resultados mutuamente ex-cluyentes.Por ejemplo, el lanzamiento de unamoneda diez veces presenta dis-tribución de probabilidad binomial,porque o cae águila o cae sol.Para el cálculo de la distribución bi-nomial se utiliza el binomio de New-ton o el triángulo de Pascal.Distribución de frecuencias Tabla odiagrama que muestra gráficamentelas frecuencias de los valores de unavariable aleatoria.0 1 2 3 42.533.54Distribución normal Distribución deprobabilidad continua que presen-tan muchos fenómenos donde cadadato pueden interpretarse como elpromedio de varias mediciones.Por ejemplo, cuando medimos unadistancia, cometemos un errorde medición que tiene distribu-ción normal. El error de la medi-ción es simétrico respecto del valorverdadero de la distancia. Eneste ejemplo, cada medición puedeconsiderarse como el promedio devarias mediciones separadas.La distribución normal se utilizafrecuentemente como una aproxi-mación a la distribución binomial.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material
  57. 57. Distributiva (propiedad)–DivisibilidadD51La distribución normal se define conla media poblacional µ y su varianzaσ2.Si la media de la distribución es ceroy su varianza 1, la distribución seconoce como distribución normal es-tándar.Esta distribución es muy importanteen probabilidad y estadística.La función de densidad de la distribu-ción normal es:f (x) =1σ 2πexp−(x − µ)22σ2con σ 0, y su gráfica es:xµLa gráfica tiene las siguientespropiedades: Tiene un máximo en x = µ (lamedia). La curva es simétrica respecto dela media. La media, la mediana y la modacoinciden en el máximo de lafunción. El eje horizontal es una asíntotade la curva. El área total bajo la curva es 1.Distributiva (propiedad) Propiedad delos números reales que involucra ala suma como a la multiplicación dela siguiente manera:a · (b + c ) = a b + a cGeométricamente, la propiedad dis-tributiva se interpreta como el cál-culo del área de un rectángulo:a b a cab cb + cDisyunción Aseveración formada por dospremisas unidas por la palabra «o».Por ejemplo, «dado que es mayor ala unidad, este número es primo o escompuesto» es una disyunción.El símbolo matemático utilizado parala disyunción es ∨.Vea la definición de «Conjunción».Dividendo En una división, el dividendoes el número que se está dividiendo.Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, eldividendo es el número 10, el divisores el número 5 y el cociente es elnúmero 2.El dividendo puede ser cualquiernúmero diferente de cero.Dividir Operación que consiste encalcular el número de veces que unacantidad contiene (cabe en) otra.Por ejemplo, cuando dividimos 36entre 4, obtenemos 9. Esto nos indicaque el número 4 cabe 9 veces en el 36.No es posible dividir entre cero.Divisibilidad Decimos que el númeroentero b divide al número entero a, ylo escribimos como: b|a, si existe unnúmero entero k tal que: a = b · k.En otras palabras, si a es un múlti-plo de b , entonces decimos que elnúmero b es divisible por a.www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

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