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19. recta

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19. recta

  1. 1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS RECTADEFINICIÓN DE RECTAAnalíticamente hablando, una recta se define como una ecuación de primer grado en dos variables de laforma: Ax + By + C = 0donde A , B , C son coeficientes numéricos y las variables son x y y.La recta es el lugar geométrico de los puntos P (x , y ) que cumplen con la ecuación Ax + By + C = 0 .Las características de una recta son la pendiente y la ordenada al origen.• ( ) La pendiente m se define como su grado de inclinación y es la tangente del ángulo (medido en sentido contrario a las manecillas del reloj) que forma la recta con el eje x . cateto opuesto m = tan θ = cateto adyacente• La ordenada al origen (b ) es la distancia que existe del origen al punto donde la recta cruza al eje y. y θ b xDe acuerdo a la figura anterior, una recta es el lugar geométrico de los puntos que poseen una mismapendiente. 1
  2. 2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaFORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTAPUNTO-PENDIENTEDados los puntos P (x , y ) y P (x1 , y1 ) de una recta: 1 y P(x,y) y-y1 P1(x1,y1) θ x-x1 xse observa que la pendiente es: y − y1 m = tan θ = x − x1ahora, si se despeja y − y1 queda: y − y1 = m( x − x1 )que es la ecuación punto-pendiente de la recta.Ejemplos.Determinar la ecuación de la recta que pase por el punto indicado y con la pendiente dada.1) Pendiente 6 y que pase por el punto P (3, − 4 )Solución. y − (−4) = 6(x − 3) ⇒ y + 4 = 6x −18 ⇒ 6x −18 − y − 4 = 0 ⇒ 6 x − y − 22 = 0 52) Pendiente y que pase por el punto P (− 7 , − 11) 3Solución. y − (− 11) = (x − (− 7 )) ⇒ y + 11 = 5 (x + 7 ) ⇒ 3( y + 11) = 5(x + 7 ) 5 3 3⇒ 3 y + 33 = 5 x + 35 ⇒ 0 = 5 x + 35 − 3 y − 33 ⇒ 5 x − 3 y + 2 = 0 2
  3. 3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 8  33) Pendiente − y que pase por el punto  − 9,  7  4Solución.  3  8 = − (x − (− 9 )) ⇒ y − = − (x + 9 ) ⇒ 28 y −  = 28 − (x + 9) 3 8 3 8 y− 4 7 4 7  4  7⇒ 28y − 21 = −32(x + 9) ⇒ 28y − 21 = −32x − 288 ⇒ 32x + 288 + 28y − 21 = 0⇒ 32 x + 28 y + 267 = 0PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGENSi en el caso anterior, el punto P se desplaza hasta que coincida con el eje y , se tiene: 1 y P(x,y) y-b θ P1(0,b) x-0 xSe advierte que el punto P1 (x1 , y1 ) se convierte en P1 (0 ,b ) , donde b es la ordenada al origen. y −bPara este caso la pendiente es: m= x−0ahora, si se despeja y − b : y − b = m( x − 0 ) ⇒ y − b = mx , es decir: y = mx + bque es la ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta.Ejemplos.Determinar la ecuación de la recta con la pendiente y su respectiva ordenada al origen dadas1) Pendiente 4 y ordenada al origen −8Solución. y = 4 x + (−8) ⇒ y = 4x − 8 ⇒ 0 = 4x − 8 − y ⇒ 4x − y − 8 = 0 3
  4. 4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 62) Pendiente − y con ordenada al origen −10 7Solución. y = − x + (− 10 ) 6 7multiplicando por 7:7 y = −6 x − 70 ⇒ 6 x + 7 y + 70 = 0 5 133) Pendiente − y con ordenada al origen − 2 5Solución. 5 13 y =− x+ 2 5multiplicando por 10 :10 y = −25 x + 26 ⇒ 25 x + 10 y − 26 = 0DOS PUNTOS (CARTESIANA)Dados los puntos P (x , y ) , P (x1 , y1 ) y P2 (x 2 , y 2 ) de una recta: 1 y P(x,y) y-y1 P1(x1,y1) x-x1 y1-y2 P2(x2,y2) θ x1-x2 x y − y1se observa que la pendiente que une a los puntos P y P1 es: m = x − x1 y1 − y 2y que la pendiente que une a los puntos P y P2 es: m = 1 x1 − x2 y − y1 y1 − y2pero como la pendiente es la misma se pueden igualar: = , que equivale a: x − x1 x1 − x2 y1 − y 2 y − y1 = (x − x1 ) x1 − x2que es la ecuación conocida como de dos puntos o cartesiana de la recta. 4
  5. 5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaEjemplos.Determinar la ecuación de la recta que pase por los puntos dados1) P 3,5 y 1 ( ) P2 (8 ,7 )Solución. y − 5 5 − 7 −2 2 = = = x −3 3−8 −5 5multiplicando de forma cruzada:5( y − 5) = 2( x − 3) ⇒ 5 y − 25 = 2x − 6 ⇒ 0 = 2x − 6 − 5 y + 25 ⇒ 2 x − 5 y + 19 = 02) P − 4 ,9 y 1 ( ) P2 (2 ,− 11)Solución. y −9 9 − (−11) 20 10 = = = x − (−4) −4−2 −6 −3multiplicando de forma cruzada: − 3( y − 9) = 10(x + 4 ) ⇒ − 3 y + 27 = 10 x + 40 ⇒ 0 = 10 x + 40 + 3 y − 27⇒ 10 x + 3 y + 13 = 0 1 2  13 3) P1  ,−  y P2  − , 9  3 5  6 Solución.  2 2 47 y −−  − −9 −  5 = 5 − 282 = 5 = 1 1  13  15 75 x− −−  3 3  6 6multiplicando de forma cruzada:  2  175 y +  = −282 x −  ⇒ 75 y + 30 = −282 x + 94 ⇒ 282 x − 94 + 75 y + 30 = 0  5  3⇒ 282 x + 75 y − 64 = 0SIMÉTRICASi la recta cruza a los ejes coordenados en los puntos P1 (a ,0 ) y P2 (0 ,b ) , se puede aplicar la ecuación y − 0 0 − b −bcartesiana de la recta: = = x−a a−0 amultiplicando de forma cruzada: ay = −b(x − a ) ⇒ − bx + ba ⇒ bx + ay = ba , bx ay badividiendo todo entre ba : + = ab ba ba x y + =1 a bque es la ecuación simétrica de la recta. 5
  6. 6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaA la distancia a se le conoce como abscisa al origen y como ya se explicó a la distancia b se ledenomina ordenada al origen. y P1(0,b) P2 (a,0) a xEjemplos.Encontrar la ecuación de la recta si cruza a los ejes coordenados en los siguientes puntos:1) P 5 ,0 y 1 ( ) P2 (0 ,7 )Solución. x y a = 5 , b = 7 , por tanto: + =1 5 7multiplicando por 35 : 7 x + 5 y = 35 ⇒ 7 x + 5 y − 35 = 02) P 0 ,− 4 y 1 ( ) P2 (9 ,0 )Solución. x y a = 9 , b = −4 , por tanto: + =1 9 −4multiplicando por 36 : 4 x − 9 y = 36 ⇒ 4 x − 9 y − 36 = 0 7   83) P1  ,0  y P2  0 ,−  3   5Solución. 7 8 x y a= , b = − , por tanto: 7 + 8 = 1 3 5 − 3 5 3x 5 yque equivale a: + =1 7 −8multiplicando por 56 : 24x − 35 y = 56 ⇒ 24x − 35 y − 56 = 0 6
  7. 7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaGENERALToda recta puede expresarse como una ecuación de primer grado en dos variables de la forma: Ax + By + C = 0que es la ecuación general de la recta. A CPara conocer sus características se despeja y : By = − Ax − C ⇒ y =− x− B Becuación que es de la forma y = mx + b , por lo tanto, si se compara se tiene que: A C m=− y b=− B Bque son las expresiones que respectivamente determinan la pendiente y la ordenada al origen de laecuación general de la recta.Ejemplos.Obtener la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas:1) 6x − 3y + 24 = 0Solución. A = 6, B = − 3, C = 24 6 24m=− = 2; b=− =8 −3 −32) −16x −10 y − 35 = 0Solución. A = −16, B = −10 , C = −35 −16 −35 m=− = −1.6 ; b=− = −3.5 −10 −10GRAFICACIÓN DE RECTASUna recta puede graficarse teniendo como referencia al eje y en su ordenada al origen, y sobre ese ypunto se debe inclinar su pendiente considerando que m = e interpretándolo de la siguiente forma: x• Si la pendiente es positiva, se deben recorrer x unidades a la derecha y y unidades hacia arriba. En el caso de obtenerse un número natural, se recorre una unidad a la derecha y y unidades para arriba.• Si la pendiente es negativa, se deben recorrer x unidades a la izquierda y y unidades hacia arriba. En el caso de obtenerse un número entero, se recorre una unidad a la izquierda y y unidades para arriba.• Si la pendiente es cero, se trata de una recta paralela o coincidente al eje x• Si la pendiente es infinita, se trata de una recta paralela o coincidente al eje y .Ejemplos.Trazar las gráficas de las siguientes rectas:1) 6x − 3 y + 15 = 0 7
  8. 8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaSolución. A = 6, B = −3, C = 15 6 15 m = − = 2; b=− =5 −3 −3Como la pendiente es positiva, a partir de la ordenada b = 5 se recorre una unidad para la derecha y dosunidades para arriba. y 8 7 6 2 5 1 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x2) 3x + 5 y + 7 = 0Solución.A = 3, B = 5, C = 7 3 7m=− ; b=− 5 5 7Como la pendiente es negativa, a partir de la ordenada b=− , se recorren cinco unidades para la 5izquierda y tres unidades para arriba. y 5 4 3 2 1 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -1 -2 5 -33) 6 y − 15 = 0 8
  9. 9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaSolución. A = 0, B = 6, C = −15 0 −15 5 m=− =0 ; b=− = 6 6 2 5Como la pendiente es cero, a partir de la ordenada b= se traza una línea horizontal. 2 y 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 x -2 -3RELACIONES ENTRE RECTASPARALELISMODos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Es decir si cumplen que: m1 = m2 .Además, dos rectas L1 y L2 son coincidentes (es decir se sobreponen) cuando aparte de tener la mismapendiente, pasan por un mismo punto. y L1 L2 m1 m2 xEjemplos. 9
  10. 10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa1) ¿Serán paralelas las rectas L1 : 4x − 6 y −10 = 0 y L2 : − 2x − 3y + 13= 0 ?Solución. A1 4 2Para L1: m1 = − =− = B1 −6 3 m2 = − A1 =− (− 2) = − 2Para L2: B1 −3 3como m1 ≠ m2 , las rectas no son paralelas.2) ¿Serán paralelas las rectas L1 : 8x −16y − 20 = 0 y L2 : 4x − 8y −10 = 0 ?Solución. A1 8 1Para L1: m1 = − =− = B1 −16 2 A1 4 1Para L2: m2 = − =− = B1 −8 2como m1 = m2 , las rectas si son paralelas. C1 −20 5 Ahora: Para L1: b1 = − =− =− B1 −16 4 C1 −10 5Para L2: b2 = − =− =− B1 −8 4como b1 = b2 , las rectas además son coincidentes.Nótese que si alguna de las ecuaciones se puede expresar como un producto de un número por la otraentonces las rectas son coincidentes. En este ejemplo si la recta L2 se multiplica por dos se obtiene L1.3) Obtener la ecuación de la recta que pase por el punto P (− 4,6) y que sea paralela a la recta16x − 3y +18 = 0Solución. A1 16 16Al ser paralelas m1 = m2 , entonces: m1 = − = − = = m2 B1 −3 3aplicando la ecuación punto pendiente de la recta: 16 y −6 = (x + 4) ⇒ 3( y − 6) = 16(x + 4) ⇒ 3y −18 = 16x + 64 3⇒ 0 = 16x + 64 − 3 y + 18 ⇒ 16x − 3 y + 82 = 0PERPENDICULARIDADDos rectas L1 y L2 son perpendiculares (u ortogonales) si forman un ángulo de 90 grados entre sí.Sea la siguiente figura: 10
  11. 11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa L2 y L1 α2 α1 90° m1 m2 xcomo las rectas son perpendiculares: α2 = α1 + 90°tomando la tangente de los ángulos en ambos miembros: m2 = tan α2 = tan(α1 + 90°) = −cot α1 1 1pero como la tangente y la cotangente son funciones recíprocas se tiene: − cot α1 = − =− tanα1 m1Por lo tanto, la condición de perpendicularidad entre dos rectas L1 y L2 se cumple siempre que elproducto de sus pendientes sea −1 : m1 ⋅m2 = −1Ejemplos.1) ¿Serán perpendiculares las rectas L1 : 3x − 6 y −11= 0 y L2 : 10x + 5y −18 = 0 ?Solución. A1 3 1Para L1: m1 = − =− = B1 −6 2 A2 10Para L2: m2 = − = − = −2 B2 5 1como m1 ⋅m2 =  (− 2) = −1 , las rectas si son perpendiculares.  2 32) ¿Serán perpendiculares las rectas L1 : 12x +18y −13 = 0 y L2 : y = − x −15 ? 2Solución. A1 12 2Para L1: m1 = − =− =− B1 18 3 3Para L2: m2 = − 2 11
  12. 12. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa  2  3 como m1 ⋅m2 =  −  −  = 1 ≠ −1 , las rectas no son perpendiculares.  3  2 3) Obtener la ecuación de la recta que sea perpendicular a la recta 11x + 4 y + 15 = 0 y que pase por elpunto P 3,−12 . ( )Solución. A1 11m1 = − = − , pero por ser perpendiculares: B1 4 1 −1 4m1 ⋅ m2 = −1 ⇒ m2 = − = = m1 11 11 , aplicando la ecuación punto-pendiente de la recta: − 4 y − (−12) = (x − 3) ⇒ 11( y +12) = 4(x − 3) ⇒ 11y +132 = 4x −12 4 11⇒ 0 = 4x −12 −11y −132 ⇒ 4x −11y −144 = 0PUNTO DE INTERSECCIÓNEl punto de intersección de dos rectas L1 y L2 viene dado por la solución del sistema de dos ecuaciones L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 con dos incógnitas de la forma:  L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 y L1 P(x,y) L2 xen donde las rectas de la forma Ax + By + C = 0 deben transformarse a expresiones que cumplan con: Ax + By = −C . Esto es: L1 : A1x + B1 y = −C1   L2 : A2 x + B2 y = −C2  12
  13. 13. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaPuede emplearse cualquiera de los métodos para resolver el sistema: igualación, suma o resta,sustitución o determinantes. Los ejemplos que a continuación se ilustran utilizan el método de resoluciónpor determinantes.Si la solución no existe, geométricamente se interpreta como que son rectas paralelas.Ejemplos.Determinar el punto de intersección de los siguientes pares de rectas:1) 10x + 8 y − 44 = 0 y 6x + 2 y −18 = 0Solución. L1 : 10x + 8 y = 44El sistema por resolver se convierte en:  , aplicando el método de determinantes se L2 : 6x + 2 y = 18 tiene: 44 8 10 44 18 2 88 − 144 − 56 6 18 180 − 264 − 84 x= = = =2 ; y= = = =3 10 8 20 − 48 − 28 10 8 20 − 48 − 28 6 2 6 2∴ el punto solución es P (2,3) L1 : 10(2) + 8(3) = 20 + 24 = 44  L2 : 6(2) + 2(3) = 12 + 6 = 18 comprobación:2) 4x −10y + 52 = 0 y 10x − 4 y − 80 = 0Solución. L1 : 4x −10y = −52El sistema por resolver se convierte en:  , aplicando el método de determinantes se L2 : 10x − 4 y = 80 tiene: − 52 − 10 4 − 52 80 −4 208 + 800 1008 10 80 320 + 520 840 x= = = = 12 ; y= = = = 10 4 − 10 − 16 + 100 84 4 − 10 − 16 + 100 84 10 − 4 10 − 4∴ el punto solución es P (12,10) L1 : 4(12) − 10(10) = 48 − 100 = −52  L2 : 10(12) − 4(10) = 120 − 40 = 80 comprobación:3) 14x + 6 y −1 = 0 y 7x + 3y + 4 = 0Solución. 13
  14. 14. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa L1 : 14x + 6 y = 1 El sistema por resolver se convierte en:  , aplicando el método de determinantes se L2 : 7x + 3y = −4tiene: 1 6 14 1 −4 3 3 + 24 7 −4 − 56 − 7 x= = y= = 14 6 42 − 42 ; 14 6 42 − 42 7 3 7 3como el denominador de ambos cocientes es cero, el punto solución no existe. Esto implica que sonrectas paralelas.ÁNGULO DE INTERSECCIÓNSean dos rectas L1 y L2 con sus respectivas pendientes m1 y m 2 : L2 y α L1 α2 α1 m1 m2 xSe aprecia que: α = α 2 − α1La tangente del ángulo de intersección α es: tan α = tan (α 2 − α1 ) tan α 2 − tan α1aplicando la identidad trigonométrica vista en el capítulo II: tan α = 1 + tan α1 ⋅ tan α 2 m2 − m1y como m1 = tan α1 y m2 = tan α 2 , se tiene que: tan α = 1 + m1 ⋅ m2Por lo tanto, el ángulo de intersección de dos rectas L1 y L2 medido en sentido contrario de las manecillasdel reloj desde L1 hasta L2 está dado por la expresión: m2 − m1 α = tan −1 1 + m1 ⋅ m2 14
  15. 15. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaEjemplos.Determinar el ángulo de intersección de los siguientes pares de rectas:1) L1 : 5x + 9y − 11= 0 y L2 : 4x − 2y − 6 = 0Solución. A1 5Para L1: m1 = − =− B1 9 A2 4Para L2: m2 = − =− =2 B2 −2sustituyendo se tiene:  −5 23 2− α = tan −1  9  = tan −1 9 = tan −1 (− 23) ≈ −87.51°  5 1 1 + (2 ) −  −  9 92) L1 : 3x − 4 y −11= 0 y L2 : 7x + 5y − 96 = 0Solución. A1 3 3Para L1: m1 = − =− = B1 −4 4 A2 7Para L2: m2 = − =− B2 5sustituyendo se tiene: 7 3 −28 − 15 − −α = tan −1 5 4 = tan −1 20 = tan −1 (43) ≈ 88.66° 3 7 1 1+ −  − 4 5 203) L1 : 2x + 3y − 61= 0 y L2 : − 4x +13y −17 = 0Solución. A1 2Para L1: m1 = − =− B1 3 A2 −4 4Para L2: m2 = − =− = B2 13 13sustituyendo se tiene: 4  2 12 + 26 − − α = tan −1 13  3  = tan −1 39 = tan −1  38  ≈ 50.79°    2  4  31  31  1 +  −    3  13  39DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTAPara encontrar la distancia de un punto a una recta, primero se encuentra el punto de intersección de larecta con su perpendicular y después se aplica la distancia entre dos puntos: 15
  16. 16. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa y P(x1 ,y1) d 90° Ax+By+C=0 L1 xSea una recta L1 de la forma Ax + By + C = 0 . A BDado que su pendiente es − , la pendiente de una recta perpendicular es . B ALa ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto P (x1 , y1 ) es: y − y1 = (x − x1 ) B Adesarrollando: A( y − y1 ) = B(x − x1 ) ⇒ Ay − Ay1 = Bx − Bx1 ⇒ Bx − Ay + Ay1 − Bx1 = 0Para encontrar el punto de intersección Q (x , y ) se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: L1 : Ax + By + C1 = 0   L2 : Bx − Ay + Ay1 − Bx1 = 0Multiplicando la primera ecuación por A , la segunda ecuación por B , y sumando: B x1 − ABy1 − AC 2 x= A2 + B 2Multiplicando la primera ecuación por B , la segunda ecuación por A , y restando: − ABx1 − A y1 − BC 2 y= A2 + B 2la distancia que separa a los puntos P (x1 , y1 ) y Q (x , y ) es: 2 2  B 2 x1 − ABy1 − AC     +  y1 − − ABx1 + A y1 − BC  2 d =  x1 − 2  A2 + B 2   A2 + B 2     encontrando un denominador común y simplificando se obtiene: A 2 ( Ax1 + By1 + C )2 B 2 ( Ax1 + By1 + C )2 d2 = + (A 2 + B2 ) 2 (A 2 + B2 )2 16
  17. 17. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa ( Ax1 + By1 + C )2factorizando (A 2 + B2 ) 2 y simplificando se llega a: d2 = ( Ax1 + By1 + C )2 A2 + B 2extrayendo la raíz cuadrada, se obtiene que la mínima distancia que separa a la recta Ax + By + C = 0del punto P (x1 , y1 ) es: Ax1 + By1 + C d= A2 + B 2En el caso en que se quiera encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, basta con determinar unpunto de una de las rectas y aplicar la expresión anterior.Ejemplos.Obtener la distancia que separa a la recta del punto en los siguientes casos:1) 5 x + 7 y − 13 = 0 , P (3,− 4) 1Solución. 5(3) + 7(− 4 ) + (− 13) 15 − 28 − 13 − 26 26 d= = = = u. 52 + 7 2 25 + 49 74 742) −8 x + 6 y + 4 = 0 , P (5,6) 1Solución. ( −8)(5) + 6(6) + 4 − 40 + 36 + 4 0 0 d= = = = = 0 u. ( −8) 2 + (6) 2 81 + 36 117 117este resultado implica que el punto pertenece a la recta.Ejemplo.Obtener la distancia entre las rectas paralelas: L1 : x − 2 y +15 = 0 y L2 : 4 x − 8 y + 24 = 0Solución.Primero se comprueba que las rectas sean paralelas: A1 1 1Para L1: m1 = − =− = . B1 −2 2 A1 4 1Para L2: m2 = − =− = B1 −8 2como m1 = m2 , las rectas si son paralelas. Ahora, se determina un punto cualquiera de la recta L2: Si −24 x = 0 ⇒ 4(0) − 8 y + 24 = 0 ⇒ y = = 3 , por lo que el punto es P (0,3) y la distancia a L1 es: 1 −8 1(0) + (− 2 )(3) + 15 − 6 + 15 9 d= = = u. 12 + (− 2 )2 1+ 4 5 17
  18. 18. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaÁREA DE UN TRIÁNGULO ( ) ( ) (Dados tres puntos P x1 , y1 , P2 x2 , y2 y P x3 , y3 no colineales en el plano, se genera un triángulo 1 3 )cuyos lados se forman al unir cada punto con los otros dos: y P2 (x2 ,y2) y2 y3 P3 (x3,y3) y1 P1 (x1 ,y1) x1 x2 x3 xEn la figura, el área del triángulo viene dada por el área del rectángulo menos el área de los trestriángulos sombreados, esto es: Área = ( x3 − x1 )( y 2 − y1 ) − (x 2 − x1 )( y 2 − y1 ) − (x3 − x1 )( y3 − y1 ) − (x3 − x 2 )( y 2 − y3 ) 2 2 2 x 2 y 2 − x 2 y1 − x1 y 2 + x1 y1 x3 y3 − x3 y1 − x1 y3 + x1 y1 x3 y 2 − x3 y3 − x 2 y 2 + x 2 y3= (x3 − x1 )( y 2 − y1 ) − − − 2 2 2= (x3 − x1 )( y 2 − y1 ) + (− x2 y 2 + x2 y1 + x1 y 2 − x1 y1 − x3 y3 + x3 y1 + x1 y3 − x1 y1 − x3 y 2 + x3 y3 + x2 y 2 − x2 y3 ) 1 2 = x3 y 2 − x3 y1 − x1 y 2 + x1 y1 + 1 (x2 y1 + x1 y 2 − 2 x1 y1 + x3 y1 + x1 y3 − x3 y 2 − x 2 y3 ) 2 = 1 (x 2 y1 − x1 y 2 − x3 y1 + x1 y3 + x3 y 2 − x 2 y3 ) 2factorizando y 2 y x 2 : Área = 1 (x3 − x1 )y 2 + ( y1 − y3 )x2 + x1 y3 − x3 y1 2cómo el área no puede ser negativa, entonces: Área = 1 (x1 − x3 )y 2 + ( y3 − y1 )x2 + x3 y1 − x1 y3 2 x1 y1 1 1Por otra parte, si se calcula el determinante dispuesto como: x2 y 2 1 se obtiene: 2 x3 y3 1 18
  19. 19. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa = 1 (x1 y 2 + x2 y3 + x3 y1 − x3 y 2 − x2 y1 − x1 y3 ) = 1 (x1 − x3 )y 2 + ( y3 − y1 )x2 + x3 y1 − x1 y3 2 2obteniendo el mismo resultado, por lo tanto, el área de un triángulo también puede calcularse por: x1 y1 1 1 Área = x 2 y2 1 2 x3 y3 1Ejemplos.Mediante los dos métodos, obtener el área del triángulo generado al unir los puntos siguientes:1) P 2,4 , 1 ( ) P2 (−5,−1) y P3 (− 3,6)Solución. Área = 1 (2 − (− 3))(− 1) + (6 − 4)(− 5) + (− 3)(4) − (2)(6) = 1 (5)(− 1) + 2(− 5) − 12 − 12 2 2 1 1 39 2 = − 5 − 10 − 12 − 12 = − 39 = u 2 2 2comprobación: 2 4 1 1 1 1 39 2 Área = − 5 − 1 1 = − 2 − 30 − 12 − 3 + 20 − 12 = − 39 = u 2 2 2 2 −3 6 12) P −8,1 , 1 ( ) P2 (7,− 5) y P3 (10,− 4)Solución. Área = 1 (− 8 − 10)(− 5) + (− 4 − 1)(7 ) + 10(1) − (− 8)(− 4) = 1 (− 18)(− 5) + (− 5)(7) + 10 − 32 2 2 1 1 33 2 = 90 − 35 + 10 − 32 = 33 = u 2 2 2comprobación: −8 1 1 1 1 1 33 2 Área = 7 − 5 1 = 40 − 28 + 10 + 50 − 7 − 32 = 33 = u 2 2 2 2 10 − 4 1ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTASean una recta L1 en el plano, un punto P ( x, y ) que le pertenece y otra recta perpendicular a L1 quepase por el origen, llamada recta normal: 19
  20. 20. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa y P(x,y) 90° recta normal y r L1 α x x x yDe la figura se deduce que: ⇒ x = r ⋅ cos α y sen α = cos α = ⇒ y = r ⋅ sen α r rPor lo que las coordenadas del punto P ( x, y ) son P (r ⋅ cos α, r ⋅ sen α) .También, de la gráfica se puede advertir que la pendiente de la recta normal es: m2 = tan α , pero por 1 1 cos αcondición de perpendicularidad: m1 = − =− = −cot α = − . m2 tan α sen αAplicando la fórmula punto pendiente se tiene: cos α y − r ⋅ sen α = − (x − r ⋅ cos α) ⇒ y ⋅ sen α − r ⋅ sen2 α = −x ⋅ cos α + r ⋅ cos2 α sen α⇒ x ⋅ cos α + y ⋅ sen α − r ⋅ sen2 α − r ⋅ cos2 α = 0 , factorizando −r : ( ) x ⋅ cos α + y ⋅ sen α − r sen2 α + cos2 α = 0 , pero se sabe que sen2 α + cos2 α = 1 : x ⋅ cos α + y ⋅ sen α − r = 0que es la ecuación normal de la recta.Comparando la ecuación normal con la ecuación general de la recta se tiene que: A ⋅ k = cos α, B ⋅ k = sen α, C ⋅ k = r , donde k es una constante de proporcionalidad.Elevando al cuadrado las primeras dos igualdades y sumándolas:cos2 α + sen2 α = 1 = k 2 A2 + k 2 B2 , despejando la constante se obtiene: 1 A B Ck= . Por lo tanto: cosα = , sen α = y r =− . A2 + B2 A2 + B2 A2 + B 2 A2 + B 2Ejemplos.1) Determinar la ecuación de la recta normal cuya distancia al origen es r = 4 y que tiene un ángulo deinclinación de la normal de 30° . 20
  21. 21. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaSolución.Sustituyendo en la fórmula se tiene: x ⋅ cos 30° + y ⋅ sen 30° − 4 = 0 ⇒ 0.866x + 0.5 y − 4 = 02) Transformar la ecuación general de la recta 12 x + 5 y − 26 = 0 a su forma normal.Solución.Aplicando en las fórmulas correspondientes se tiene: 12 12 12 5 125 5 5cos α = = , sen α = = = = = = 12 + 5 144 + 25 2 169 13 2 12 + 5 2 2 144+ 25 169 13 26 26 26 26 12 5r =− = = = = 2 , por lo tanto: x+ y −2 = 0. 12 + 5 2 2 144+ 25 169 13 13 133) Obtener la distancia que separa a la recta −4 x + 3 y − 35 = 0 del origen sobre la recta normal.Solución.La distancia está dada por el término independiente de la forma normal de la recta: −35 A2 + B 2 = (− 4)2 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 ⇒ r = − C =− = 7 u. A2 + B 2 5RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULOMEDIANAS DE UN TRIÁNGULO. BARICENTROLa mediana de un triángulo es un segmento de recta que une cada vértice con el punto medio del ladoopuesto. Para obtener las medianas de un triángulo, se consideran cada uno de los tres vértices conrespecto al punto medio del segmento opuesto. Posteriormente se encuentran los ecuaciones de lasrectas de cada una de las medianas aplicando la forma de la recta punto–pendiente y finalmente sedetermina el punto de intersección, llamado baricentro, resolviendo el sistema formado por dos de las tresecuaciones encontradas.El baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo, es decir el punto del que se pude tensar y enque queda suspendido horizontalmente. y P2 T Baricentro S P3 R P1 x 21
  22. 22. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaEjemplo.Obtener el baricentro del triángulo formado por los vértices: P (3,4) , P2 (− 5,− 2) 1 y P3 (3,6)Solución.De acuerdo con la nomenclatura de la figura:  3 + (− 5) 4 + (− 2) Para el lado P P2 su punto medio es: S ,  ⇒ S (−1,1) 1  2 2   3+3 4+ 6Para el lado P P su punto medio es: R ,  ⇒ R (3,5) 1 3  2 2   −5+3 − 2 + 6Para el lado P2 P su punto medio es: T  ,  ⇒ T (− 1,2) 3  2 2 Ahora se encuentran las pendientes de las medianas: 2 − 4 −2 1Para el segmento PT se tiene = = m1 = 1 −1 − 3 − 4 2 5 − (−2) 7Para el segmento P2 R se tiene m2 = = 3 − (− 5) 8 1− 6 −5 5Para el segmento P S se tiene m3 = = = 3 −1 − 3 − 4 4La ecuación de la mediana P T es: y − 4 = 1 1 (x − 3) ⇒ 2( y − 4) = x − 3 2⇒ 2y −8 = x − 3 ⇒ x − 2y + 5 = 0La ecuación de la mediana P2 R es: y − (− 2) = (x − (− 5)) ⇒ 8( y + 2) = 7(x + 5) 7 8⇒ 8 y + 16 = 7 x + 35 ⇒ 7 x − 8 y + 19 = 0La ecuación de la mediana P3 S es: y −6 = 5 (x − 3) ⇒ 4( y − 6) = 5(x − 3) 4⇒ 4 y − 24 = 5 x − 15 ⇒ 5x − 4 y + 9 = 0Usando las primeras dos de las tres ecuaciones anteriores, el sistema por resolver se convierte en: L1 : x − 2 y = −5   , aplicando el método de determinantes se tiene: L2 : 7x − 8 y = −19 −5 −2 1 −5 − 19 − 8 40 − 38 2 1 7 − 19 − 19 + 35 16 8 x= = = = y= = = = 1 −2 − 8 + 14 6 3 ; 1 −2 − 8 + 14 6 3 7 −8 7 −8 1 8 5 32 5 − 32 + 27 Comprobando en la tercera ecuación se tiene: 5  − 4  + 9 = − +9 = =0  3  3 3 3 3 1 8∴ el baricentro se ubica en  ,  .  3 3 22
  23. 23. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaMEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO. CIRCUNCENTROLas mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a los puntos medios de cada lado. Para obtenerlas mediatrices de un triángulo, se consideran cada uno de los puntos medios de los segmentos. Se calculan laspendientes de cada uno de los lados. Después se determinan las ecuaciones de las rectas perpendicularesaplicando la forma de la recta punto–pendiente y finalmente se encuentra el punto de intersección, llamadocircuncentro, resolviendo el sistema formado por dos de las tres ecuaciones encontradas.El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, que es la que pasa por los tres vértices del triángulo. y Circuncentro P2 T S P3 R P1 xEjemplo.Obtener el circuncentro del triángulo formado por los vértices: P (− 6,8) , P2 (0,−10) 1 y P3 (2,4)Solución.De acuerdo con la nomenclatura de la figura:  − 6 + 0 8 + (−10) Para el lado P P , su punto medio es: S  ,  ⇒ S (− 3,−1) 1 2  2 2   −6+ 2 8+ 4Para el lado P P , su punto medio es: R  ,  ⇒ R (− 2,6) 1 3  2 2   0 + 2 −10 + 4 Para el lado P P , su punto medio es: T  2 3 ,  ⇒ T (1,− 3)  2 2 Ahora se encuentran las pendientes de cada uno de los lados del triángulo, sus perpendiculares (las quetienen un *) que corresponden a las mediatrices: −10 − 8 −18 1 1Para el segmento P P se tiene: m1 = = = −3 ⇒ m1* = − = 1 2 0 − (− 6) 6 −3 3 4 −8 −4 −1 1Para el segmento P P se tiene: m2 = 2 − (− 6) = 8 = 2 ⇒ m2 * = − −1 = 2 1 3 2 4 − (−10) 14 1Para el segmento P P se tiene: m3 = = = 7 ⇒ m3* = − 2 3 2−0 2 7 23
  24. 24. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaLa ecuación de la recta que pasa por el punto S y es perpendicular a P P2 1 es: y − (−1) = (x − (− 3)) ⇒ 3( y +1) = x + 3 ⇒ 3y + 3 = x + 3 ⇒ x − 3y = 0 1 3La ecuación de la recta que pasa por el punto R y es perpendicular a P P es: 1 3 y − 6 = 2(x − (−2)) ⇒ y − 6 = 2(x + 2) ⇒ y − 6 = 2x + 4 ⇒ 2x − y +10 = 0La ecuación de la recta que pasa por el punto T y es perpendicular a P2 P es: 3 y − (− 3) = − (x −1) ⇒ 7( y + 3) = −(x −1) ⇒ 7 y + 21 = −x +1 ⇒ x + 7 y + 20 = 0 1 7Usando las primeras dos de las tres ecuaciones anteriores, el sistema por resolver se convierte en: L1 : x − 3y = 0   , aplicando el método de determinantes se tiene: L2 : 2x − y = −10 0 −3 1 0 − 10 − 1 0 − 30 − 30 2 − 10 − 10 − 0 − 10 x= = = = −6 ; y= = = = −2 1 −3 −1 + 6 5 1 −3 −1 + 6 5 2 −1 2 −1 Comprobando en la tercera ecuación se tiene: −6 + 7(−2) + 20 = −6 −14+ 20 = 0∴ el circuncentro se ubica en (−6,−2 ) .ALTURAS DE UN TRIÁNGULO. ORTOCENTROLa altura de un triángulo es el segmento de recto perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Paraencontrar las alturas de un triángulo, se consideran cada una de las pendientes de los lados del triángulo.Posteriormente, utilizando el vértice opuesto y las pendientes obtenidas, se determinan las ecuaciones delas rectas perpendiculares aplicando la forma de la recta punto–pendiente. Finalmente se encuentra elpunto de intersección, llamado ortocentro, resolviendo el sistema formado por dos de las tres ecuacionesencontradas.Según el tipo de triángulo el ortocentro puede estar dentro, en un vértice o fuera del mismo. y P2 Ortocentro P3 P1 x 24
  25. 25. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaEjemplo.Obtener el ortocentro del triángulo formado por los vértices: P (−1,− 5) , P2 (0,7) 1 y P3 (3,1)Solución.De acuerdo con la nomenclatura de la figura, se encuentran las pendientes de los lados y susperpendiculares (las que tienen *): 7 − (−5) 12 1 P P2 se tiene: m1 = = = 12 ⇒ m1* = − 0 − (−1) 1Para el segmento 1 12 1 − (− 5) 6 3 1 2Para el segmento P P se tiene: m2 = = = ⇒ m2 * = − = − 1 3 3 − (− 1) 4 2 3 3 2 1− 7 −6 1 1Para el segmento P2 P se tiene: m3 = = = −2 ⇒ m3* = − = 3 3− 0 3 −2 2La ecuación de la altura que pasa por el punto P3 y es perpendicular a P P2 1 es: y −1 = − 1 (x − 3) ⇒ 12( y −1) = −(x − 3) ⇒ 12y −12 = −x + 3 ⇒ x +12y −15 = 0 12La ecuación de la altura que pasa por el punto P2 y es perpendicular a P P es: 1 3 y −7 = − 2 (x − 0) ⇒ 3( y − 7) = −2x ⇒ 3y − 21 = −2x ⇒ 2x + 3y − 21 = 0 3La ecuación de la altura que pasa por el punto P y es perpendicular a P P es: 1 2 3 y − (− 5) = (x − (−1)) ⇒ 2( y + 5) = x +1 ⇒ 2 y +10 = x +1 ⇒ x − 2 y − 9 = 0 1 2Usando las primeras dos de las tres ecuaciones anteriores, el sistema por resolver se convierte en: L1 : x +12y = 15   , aplicando el método de determinantes se tiene: L2 : 2x + 3 y = 21 15 12 1 15 21 3 45 − 252 − 207 69 2 21 21 − 30 − 9 3 x= = = = y= = = = 1 12 3 − 24 − 21 7 ; 1 12 3 − 24 − 21 7 2 3 2 3 69  3  69 − 6 − 63 Comprobando en la tercera ecuación se tiene: − 2  − 9 = =0 7 7 7  69 3 ∴ el ortocentro se ubica en  ,  .  7 7APLICACIONESEn casi todas las ciencias exactas y en las sociales existen innumerables aplicaciones de las ecuacioneslineales y su representación gráfica.En la vida cotidiana de forma recurrente también se aplica indirectamente la idea de recta.Entre algunas de sus aplicaciones se pueden citar: 25
  26. 26. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Recta Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa1. La medición de la temperatura en México y en Estados Unidos no es igual, sin embargo, se pueden obtener equivalencias ya que la relación entre grados Celsius (°C ) y Fahrenheit (° F ) es lineal. La 9 fórmula que relaciona a ambas escalas es: ° F = °C + 32 , expresión de la forma, y = mx + b 52. En la construcción de caminos que comunican dos lugares, mientras las condiciones del terreno lo permitan, se trazan sobre líneas rectas.3. En economía, algunas funciones de producción, tales como la oferta y la demanda se pueden modelar por rectas. Normalmente la oferta se representa como: q = ap − b , y la demanda es del tipo: q = c − dp , donde q es la cantidad de artículos fabricados, p , el precio y a , b , c , d son constantes. La intersección de ambas rectas determina el precio del producto.4. En hidráulica, para describir la inclinación de los canales, normalmente no tienen pendientes mayores al 5 % .5. La depreciación de un producto con respecto al tiempo es lineal, es decir, a medida que pasa el tiempo, el artículo va perdiendo su valor hasta que se amortiza totalmente.6. Un rayo láser se desplaza en forma de una recta.7. De acuerdo con la mecánica newtoniana, todos los cuerpos caen en forma recta por efecto de la gravedad.8. La gran mayoría de las columnas en construcciones utilizan el concepto de paralelismo.9. En Arquitectura, una cantidad considerable de diseños están basados en rectas.10. Las canchas de muchos deportes, tales como básquetbol, voleibol o tenis, están delimitadas por rectas. 26

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