Funções (exercícios)

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Funções (exercícios)

  1. 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I Lista de Exercícios – Funções 1) O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. )( Fo )212,100(• )32,0(• )( Co a) Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; b) Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 2) Dada a função = 3x + 5, determine)(xf 4 )0()3( − +− ff . 3) Considere f: IR → IR dada por f(x) = 3x – 2 e determine o número real x de modo que f(x) = 0. 4) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções.
  2. 2. 2 5) Numa câmara onde se desenvolve um processo químico, um termômetro marca a temperatura T no decorrer da experiência. Sendo t o tempo passado após o início, que se deu às 12 horas, tem-se T , relação válida no intervalo de tempo , onde T está em graus Celsius, e em horas. Baseando-se no gráfico a seguir, que representa a função acima definida, pede-se: 101812−2 23 ++= ttt ] 40 ≤≤ t t a) a máxima temperatura atingida e a hora em que isso ocorreu; b) a mínima temperatura atingida e a hora em que isso ocorreu; c) os valores máximo e mínimo da função, bem como os pontos de máximo e de mínimo; d) os (maiores) subintervalos de onde a função é crescente e onde a função é decrescente;[ 4;0 e) a temperatura às 14 horas; f) o número de vezes que a temperatura atingiu 16o e aproximadamente a hora que isso ocorreu pela primeira vez; g) verifica se a temperatura às 12h45min foi maior ou menor do que a temperatura às 14h30min. 6) Dadas as funções ef g definidas por : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ >− ≤≤−− −<+ = 2,12 21,4 1,2 )( 2 xsex xsex xsex xf , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >− ≤− = 0,1 0, )( 3 xsex xsex xg , pede-se: a) ; b))1()2( −+ ff ))5(( −ff ; c) ( ) )4( 23 −g f ; d) )2()3( g g f −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ; e) )2()( −⋅ gf ; f) ;))1((gf g) o gráfico cartesiano e a imagem da função ;f h) o gráfico cartesiano e a imagem da função .g 7) Considerando o gráfico da função (abaixo), esboçe o gráfico cartesiano das funções que seguem:f a) 2)( +−= xfy 1− 1 2 4 x 0 y b) )( 2 1 xfy = c) 1)( −= xfy d) 1)2( −+= xfy
  3. 3. 3 8) Dadas as funções definidas por 4 1 )(,4)( 2 − =+= x xgxxf e , pede-se:13)( −= x xh a) b))(1 xh− )1(−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + f gh c) d))( fgDom o )( gfDom ⋅ e) f) o gráfico cartesiano de g))()( xfg o )( fg o )( hag + 9) Encontre a função inversa de f(t)= 50e0,1t 10) Relacione adequadamente um gráfico a cada situação relatada: (a) Eu tinha acabado de sair de casa, quando percebi que havia esquecido meus livros; então eu voltei para buscá-los. (b) Tudo ia bem até que o pneu furou. (c) Eu iniciei calmamente, mas aumentei a velocidade quando me dei conta de que iria me atrasar. (d) Saí rapidamente de casa, mas comecei a andar mais lentamente para poder apreciar as vitrines das lojas. (1) (2) (3) (4) 11) Determine e representa graficamente o domínio das seguintes funções, considerando x como variável real de entrada. a) xy −= 3 b) 3 2 2 5 )( − = x x xf c) 2 6)( xxxy −+= d) 2 12 − − = x x z e) 412)( −−= xxf f) 7 1 + = x y 12) Determine o domínio das seguintes funções reais: a) =)(xf 3−x x e) =)(xf 2x 2-x + b) =)(xf 7x 1x 2 − + f) =)(xf 1x 1 44x7x- 2 + −++ Distância de casa tem Distância de casa tempo po tempo Distância de casa tempo Distância de casa
  4. 4. 4 c) =)(xf 4 24 2 − + x x g) =)(xf 225 22 −+− xx d) =)(xf 4 1 56 1 2 + + +− xxx h) =)(xf 32 −x x 13) Uma panela contendo um pedaço de gelo a - 40o C, é colocada sobre a chama de um fogão. O gráfico abaixo mostra a evolução da temperatura T (em graus Celsius) em função do tempo t (em minutos). Expresse T em função de t, nos seguintes intervalos de t. a) 0 ≤ t < 4 b) 4 ≤ t < 8 c) 8 ≤ t < 12 d) 12 ≤ t ≤ 20 2 4 6 8 10 12 14 16 -40 0 100 14) Determine as funções g(x) e h(x), sabendo que =)(xf goh(x). a) =)(xf 2x + b) =)(xf 53xx2 +− c) =)(xf x-3 1 15)Represente geometricamente cada função y = f(x). Determine seu domínio e sua imagem. a) y = x2 b) y = x2 –1 c) y = x2 + 2 d) y = ( x – 1 )2 e) y = ( x + 2 )2 f) y = ⏐ x ⏐ g) y = ⏐x ⏐- 1 h) y = ⏐ x ⏐+ 3 i) y = ⏐ x – 1 ⏐ j) y = ⏐ x + 2 ⏐ k) y = ⏐ x2 – 1 ⏐ xyl) = x-yo)1xyn)1-xym) =+== 3 6x yr) 2 4x yq)x-yp) 22 − −− = + − == x x x 2xse,1 20se,3x 0xse3,-2x yv) 1 x 1 yu) 1-x 1 yt) x 1 ys) 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤<− < = +=== x 16) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e0,02t milhões de habitantes. a) Qual é a população atual do país? b) Qual será a população, daqui a 30 anos?
  5. 5. 5 17) Fazer um esboço do gráfico das seguintes funções: a) y = sen ( 2t) b) y = sen( t/2) c) y = 2cos t d) y = -3cos t e) y= 2sen ( 2t) f) y= 1+ 2 sen t Nota: Seja f(t) = A sen ( Bt) ou g(t) = A cos ( Bt): A é a amplitude: (metade da distância entre os valores máximo e mínimo) Período : B 2π ( tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo) Respostas 1) 328,1)()( += CCFa o 77,17)( −≅Cb 2) –1/4 3) 2/3 4) (a) (b) )2,2[fIm )3,2[ −= −=fDom )3,2(fIm )4,2( −= −=fDom (c) ]2,0[fIm ]5,0[f = =Dom (d) (e) ]3,1[fIm )3,3(f −= −=Dom ]3,2(fIm }1{]4,3[f −= −−=Dom (f) )3,1(fIm }1{)3,3(f −= −−=Dom 5) (a) e (b) ehàs 13,18o hàs 16 hàs 12,10o hàs 15 (c) máximo : e mínimo : o 18 o 10 pontos de máximo : 1 e 4 pontos de mínimo : 0 e 3 (d) crescente : [ ] [ 4;31;0 ∪ ] h decrescente : [ ]3;1 (e) 14 Co (f ) 3 vezes; primeira vez aproximadamente às 12 min30 (g) maior 6) (a) (b) (c)3− 5 8 7 − (d) 26 177 − (e) (f )0 4− (g) [ )∞+− ;4 (h) ( )∞+− ;1 o o • • f g • o
  6. 6. 6 7) (a) (b) (c) (d) 8) (a) (b))1(log3 +x 3 3 − (c) [ ) { }0;4 −∞+− (d) [ (e)) { 2,2;4 −−∞+− } xx 1 4)4( 1 2 = −+ (f) o - 1/4 (g) 42 1 22 −++ haha
  7. 7. 7 9) 101 50lnln10)( −=− ttf 10) d→1 b→2 a→3 c→4 • 311) (a) ( ]3;∞−=fDom (b) { }2;2−−= IRfDom o o 2− 2 •• 2− 3(c) [ ]3;2−=fDom (d) [ ] ( )∞+∪−= ;21;1fDom o 1− 1 2 •• (e) ⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ∞+∪⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎝ ⎛ −∞−= ; 2 5 2 3 ;fDom 2 3 − 2 5 • • o 7 (f) { }7−= IRfDom 12) (a) IR - {3} (e) [2, + ∞ ) (b) IR – { 7± } ( f ) [-4, 11] – {-1} (c) (- , -2)U(2, + ) ( g) [-5, -∞ ∞ 2 ] U [ 2 , 5] (d) IR – {-4, 1, 5} (h) (3/2, + ∞ ) 13) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = se set se set T ,100 ,20025 ,0 ,4010 2012 128 84 40 ≤≤ <≤ <≤ <≤ t t t t 14) x xgxxhc xxgxxxhb xxgxxha 1 )(3)()( )(53)()( )(2)()( 2 =−= =+−= =+= 16) a) 50 milhões b) 91,11 milhões

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