30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
(เนื้อหาตอนที่ 1)
ความสัมพันธ์

โดย

อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
สื่อการสอน เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ความสัมพันธ์
- แผนภาพรวมเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
- ผลคูณคาร์ทีเซียน
- ความสัมพันธ์
- การวาดกราฟของความสัมพันธ์
3. เนื้อหาตอนที่ 2 โดเมนและเรนจ์
- โดเมนและเรนจ์
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการแก้สมการ
- การหาโดเมนและเรนจ์โดยการวาดกราฟ
4. เนื้อหาตอนที่ 3 อินเวอร์สของความสัมพันธ์ และบทนิยามของฟังก์ชัน
- อินเวอร์สของความสัมพันธ์
- บทนิยามของฟังก์ชัน
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ฟังก์ชันเบื้องต้น
- ฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต B
- ฟังก์ชันทั่วถึง
- ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
6. เนื้อหาตอนที่ 5 พีชคณิตของฟังก์ชัน
- พีชคณิตของฟังก์ชัน
- ตัวอย่างประเภทของฟังก์ชันพื้นฐาน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
- อินเวอร์สของฟังก์ชันละฟังก์ชันอินเวอร์ส
- กราฟของฟังก์ชันอินเวอร์ส

1


8. เนื้อหาตอนที่ 7 ฟังก์ชันประกอบ
- ฟังก์ชันประกอบ
- โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ
- สมบัติของฟังก์ชันประกอบ
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
12. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
13. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง อินเวอร์สของความสัมพันธ์และฟังก์ชันอินเวอร์ส
14. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง โดเมนและเรนจ์
15. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่องพีชคณิตและการประกอบของฟังก์ชัน
16. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่องการเลื่อนแกน

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์
และฟั ง ก์ ชั น นอกจากนี้หากท่ านสนใจสื่อการสอนวิช าคณิต ศาสตร์ใ นเรื่อ งอื่นๆที่คณะผู้จัด ทาได้
ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
ในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

2


เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 1 (1/7)

หัวข้อย่อย 1. แผนภาพรวมเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
2. ผลคูณคาร์ทีเซียน
3. ความสัมพันธ์
4. การวาดกราฟของความสัมพันธ์

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจภาพรวมและความเชื่อมโยงระหว่างหัวข้อต่างๆ ในเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชันทั้งหมด
2. เข้าใจบทนิยามของการเท่ากันของคู่อันดับและนาไปใช้ได้
3. เข้าใจบทนิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนและรู้วิธีหาจานวนสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเซียนจากเซต
จากัดที่กาหนดให้สองเซต
4. สามารถเขียนผลคูณคาร์ทีเซียนจากเซตสองเซตใดๆ ที่กาหนดให้ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข
หรือแบบแจกแจงสมาชิก
5. เข้าใจบทนิยามของความสัมพันธ์จากเซตที่กาหนดให้สองเซตภายใต้เงื่อนไขบางประการ
6. เขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซตสองเซตใดๆ ที่กาหนดให้ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข
หรือแบบแจกแจงสมาชิก
7. เข้าใจวิธีหาจานวนความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากเซตจากัดที่กาหนดให้สองเซตได้
8. เข้าใจวิธีวาดกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายภาพรวมและความเชื่อมโยงระหว่างหัวข้อต่างๆ ในเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชันทั้งหมด
2. บอกบทนิยามของการเท่ากันของคู่อันดับและสามารถนาไปใช้แก้ปัญหาได้
3. บอกบทนิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนและสามารถหาผลคูณคาร์ทีเซียนและจานวนสมาชิกของ
ผลคูณคาร์ทีเซียนจากเซตจากัดที่กาหนดให้สองเซตได้
3


4. เขียนผลคูณคาร์ทีเซียนจากเซตสองเซตใดๆ ที่กาหนดให้ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข หรือแบบ
แจกแจงสมาชิกได้
5. บอกบทนิยามของความสัมพันธ์และเขียนแสดงความสัมพันธ์จากเซตที่กาหนดให้สองเซต
ภายใต้เงื่อนไขบางประการได้
6. หาจานวนความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากเซตจากัดที่กาหนดให้สองเซตได้
7. อธิบายขั้นตอนการวาดกราฟและวาดกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ได้

4


เนื้อหาในสื่อ

เนื้อหาทั้งหมด

5


1. แผนภาพรวมเรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
และผลคูณคาร์ทเี ซียน

6


1. แผนภาพรวมเรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน และผลคูณคาร์ทีเซียน

ในช่วงนีได้แนะนาให้เห็นความเชื่อมโยงของหัวข้อย่อยต่างๆ ที่จะอธิบายทั้งหมดในสื่อเรื่อง
้
ความสัมพันธ์และฟังก์ชันแต่ละตอน จากนั้นได้ให้นิยามของคู่อันดับและการเท่ากันของคู่อันดับ

เมื่อรู้จักคู่อันดับแล้ว
1. ครูควรถามคาถามเพื่อให้นักเรียนช่วยกันคิดต่อ เช่น เมื่อใด (x, y ) (y, x )
2. นอกจากนี้ควรยกตัวอย่างคู่อันดับที่มีสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในลักษณะที่หลากหลาย เช่น
({a }, a ) หรือ ({a },{a, b}) เป็นต้น

7


3. ที่สาคัญที่สุดคือควรให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายความแตกต่างระหว่าง คู่อันดับ (a, a ) กับ {a } , คู่อันดับ
(a, b ) กับ {a, b} และความแตกต่างระหว่าง คู่อันดับ (a, b ) กับ ช่วง (a, b )
4. ครูควรย้าอย่างใจเย็นว่า สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับไม่จาเป็นจะต้องเป็นตัวแปร x หรือ a เสมอไป
ในขณะที่สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับไม่จาเป็นจะต้องเป็นตัวแปร y หรือ b เสมอไป ขอให้ดูที่ตาแหน่งที่
ปรากฏในคู่อันดับเป็นสาคัญ

ในช่วงนี้ได้ยกตัวอย่างโจทย์เกี่ยวกับการเท่ากันของคู่อันดับ บทนิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซต
สองเซต พร้อมทั้งยกตัวอย่างประกอบ

เมื่อรู้จักนิยามการเท่ากันของคู่อันดับสองคู่แล้วครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติมเพื่อทบทวนการแก้สมการ
หรือระบบสมการ
8


ตัวอย่าง 1 กาหนดให้ x เป็นจานวนจริงที่ทาให้ (x (x 2), x 2 ) (3,(2x 3)2 ) จงหาค่า x
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า x (x 2) 3 และ x 2 (2x 3)2 นั่นคือ 0 x 2 2x 3 (x 1)(x 3)
และ 0 x 2 (2x 3)2 (x 2x 3)(x 2x 2) ( x 3)(3x 3) ทาให้ได้ว่า x 1 หรือ
3 และ x 1 หรือ 3 ดังนั้นจานวนจริง x ที่ทาให้สมการในโจทย์เป็นจริงคือ x 1 เท่านั้น

1
ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ x และ y เป็นจานวนจริงที่ทาให้ x ,3 (2, xy ) จงหาค่า x และ y
y
1
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า x 2 และ xy 3 เห็นได้ชัดว่า x 0 และ y 0 ทาให้สามารถเขียน
y
x 1 1 x 4 3 3
xy 3 ให้อยู่ในรูป ได้และ 2 x x x จะได้ว่า x และ y 2
3 y y 3 3 2 x
ต่อมาเมื่อนักเรียนรู้จักบทนิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซตสองเซตแล้ว ครูควรถามคาถามนาเพื่อตรวจสอบ
ความเข้าใจแนวคิดหลักของเรื่องนี้กับนักเรียน เช่น A A {(a, a ) | a A} หรือไม่ หรืออาจถามว่า สามารถ
เขียน A B แบบแจกแจงสมาชิกได้เสมอหรือไม่ เป็นต้น หลังจากนั้นครูควรยกตัวอย่างเพื่อให้นักเรียนช่วยกัน
หาผลคู ณคาร์ที เซีย นระหว่า งเซตสองเซต ตลอดจนควรเน้นย้ าว่าผลคูณคาร์ทีเซีย นให้ผลลัพ ธ์เป็นเซตทาให้
สามารถนาการดาเนินการต่างๆ บนเซต มาดาเนินการกับผลคูณคาร์ทีเซียนได้เช่นกัน

ตัวอย่าง 3 ให้ A {1, 2} จงหา A P (A) เมื่อ P(A) คือพาวเวอร์เซตของ A
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า P (A) { , {1}, {2}, {1, 2}} ดังนั้น

A P (A) {(1, ), (1,{1}), (1,{2}), (1,{1, 2}), (2, ), (2,{1}), (2,{2}), (2,{1, 2})}

ตัวอย่าง 4 ให้ A {1, 2, 3} และ B {2, 3, 4} จงหา (A B) (B A) และ A (A B)
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า A B {(1,2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} และ
B A {(2,1), (2,2), (2, 3), (3,1), (3,2), (3, 3), (4,1), (4,2), (4, 3)} และ
A B {1, 2, 3, 4} ดังนั้น (A B) (B A) {(1,2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)} และ
A (A B) {(1,1), (1,2), (1, 3), (1, 4), (2,1), (2,2), (2, 3), (2, 4), (3,1), (3,2), (3, 3), (3, 4)}
หมายเหตุ จากตัวอย่าง 4 นี้ ครูอาจให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายว่าจะหา n[(A B) (B A)] โดยไม่ต้องเขียน
(A B ) (B A) แบบแจกแจงสมาชิกได้หรือไม่ อย่างไร

9


แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องการเท่ากันของคู่อันดับ

จงหาค่า x และ y จากสมการที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. (x, x 2y ) (y 3, 5)
2. (y,2x y ) (2x 10, 2)
3. (x 2, 8y 12) (15 2x, y 2 )
7
4. (2x,20y 2 ) ,20y 1
x 2
1 13y 6 2
5. 3, ,y
x 6 x 2

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องผลคูณคาร์ทีเซียน

1. จงหา A (B C ) , (A B ) (A C ) , A (B C) และ (A B) (A C ) เมื่อกาหนดให้
A {1, 2, 3} , B และ C {3, 4, 5}
{2, 3, 4}
หมายเหตุ จากแบบฝึกหัดข้อ 1 นักเรียนได้ข้อสังเกตใดหรือไม่
2. จงหา (A P(A)) (P(A) A) เมื่อกาหนดให้ A { , { }} , P (A) คือพาวเวอร์เซตของ A และ
คือเซตว่าง

10


ในช่วงนี้ได้ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต

เมื่อได้เห็นข้อสังเกตเกี่ยวกับผลคูณคาร์ทีเซียนระหว่างเซตสองเซตแล้ว
1. ครูควรถามนาเพื่อให้นักเรียนช่วยกันคิดต่อว่า นอกจากเซตว่างแล้วจะมีกรณีอื่นอีกหรือไม่ที่ทาให้
A B B A
2. หากครูรู้สึกว่านักเรียนไม่เข้าใจแผนภูมิต้นไม้แสดงการนับจานวนสมาชิกของเซตที่แสดงไว้ในสื่อการ
สอน ให้ลองยกตัวอย่างการวาดแผนภูมิต้นไม้แสดงการนับจานวนสมาชิกของเซตในกรณี
- n(A) 1 แล้วเปลี่ยนจานวน n(B ) ไปเรื่อยๆ
- n(B ) 1 แล้วเปลี่ยนจานวน n(A) ไปเรื่อยๆ
จากนั้นจึงเริ่มอธิบายโดยใช้ A {1, 2, 3} และ B {a, b, c, d } เหมือนในตัวอย่างเพื่อให้
นักเรียน
เข้าใจการขยายไปสู่กรณีทั่วๆ ไปได้ดีขึ้น
11


3. ครูถามคาถามนาเพื่อให้นักเรียนคิดต่อว่าถ้ามีเซตมากกว่าสองเซต เช่น A , B และ C แล้วจะนิยามผล
คูณคาร์ทีเซียนสาหรับเซตเหล่านี้ได้หรือไม่ และน่าจะนิยามอย่างไร

สาหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในสื่อนั้น สาหรับ A {1, 2, 3} และ B {a, b, c, d } จะได้ว่า
A A {(1,1), (1,2), (1, 3), (2,1), (2,2), (2, 3), (3,1), (3,2), (3, 3)} และ
B B {(a, a ), (a, b), (a, c), (a, d ), (b, a ), (b, b), (b, c), (b, d ),
(c, a ), (c, b), (c, c), (c, d ), (d, a ), (d, b), (d, c), (d, d )}
ในขณะที่ถ้า A หรือ B เป็นเซตว่างแล้วจะได้ว่า A B พิสูจน์ได้โดยข้อความแย้งสลับที่ กล่าวคือจะ
พิสูจน์ว่า ถ้า A B แล้ว A และ B
พิสูจน์ สมมติว่า A B ดังนั้นจะมี x A B {(a,b) | a A และ b B } นั่นคือจะได้ว่ามี
a A และ b B ที่ x (a, b ) ทาให้ได้ว่า A และ B

12



13



ในช่วงนี้ได้กล่าวถึงบทนิยามของความสัมพันธ์

เมื่อรู้จักบทนิยามของความสัมพันธ์แล้วครูยกตัวอย่างความสัมพันธ์อื่นๆ เพิ่มเติม

ตัวอย่าง 5 ให้ r เป็นความสัมพันธ์ระหว่างจานวนสองจานวน ที่จานวนแรกมากกว่าหรือเท่ากับจานวนที่สอง โดย
จานวนแรกเป็นสมาชิกของ A {1, 2, 3, 4} และจานวนที่สองเป็นสมาชิกของ B {3, 4, 5, 6}
วิธีทา r {(3, 3), (4, 3), (4, 4)}

ตัวอย่าง 6 ให้ r เป็นความสัมพันธ์ระหว่างจานวนสองจานวน ที่จานวนทั้งสองนั้นรวมกันมีค่าไม่เกินเจ็ด โดย
จานวนแรกเป็นสมาชิกของ A {1, 2, 3, 4} และจานวนที่สองเป็นสมาชิกของ B {3, 4, 5, 6}
14


วิธีทา r {(1, 3), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (4, 3)}
หลังจากยกตัวอย่างที่หลากหลายแล้วครูควรพยายามชี้ให้เห็นว่าหาพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งสองสิ่งโดยที่
ไม่ได้บอกก่อนว่าสิ่งเหล่านั้นมาจากไหนหรือคืออะไร จะทาให้เกิดความสับสนได้

ในช่วงนี้กล่าวถึงบทนิยามของความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B และยกตัวอย่างของความสัมพันธ์จาก
เซต A ไปเซต B

เมื่อทราบบทนิยามของความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B แล้วครูควรยกตัวอย่างเพิ่ม โดยฝึกให้นักเรียน
เขียนความสัมพันธ์ในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขก่อน แล้วจึงเขียนแบบแจกแจงสมาชิกหากทาได้

ตัวอย่าง 7 กาหนดให้ A {1, 2, 3, 4} และ B {3, 4, 5, 6}

15


1. rเป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่กาลังสองของสมาชิกตัวหน้าน้อยกว่าสมาชิกตัวหลัง
วิธีทา r {(x, y ) A B | x 2 y} {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
2. r เป็นความสัมพันธ์ใน A ที่รากที่สองที่เป็นบวกของสมาชิกตัวหน้าน้อยกว่าสมาชิกตัวหลัง
วิธีทา r {(x, y) A A | x y}
{(1,2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2, 3), (2, 4), (3,2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}
ชวนคิด สาหรับตัวอย่าง 7 ข้อ 2 r {(x , y ) A A|x y 2} หรือไม่

ตัวอย่าง 8 ให้ เป็นเซตของจานวนนับ และ เป็นเซตของจานวนจริง
1. r เป็นความสัมพันธ์ใน ที่สมาชิกตัวหน้าเท่ากับสมาชิกตัวหลัง
วิธีทา r {(x, y ) | x y} {(1,1), (2,2), (3, 3), ...}
2. r เป็นความสัมพันธ์จาก ไป ที่สมาชิกตัวหน้ามากกว่าสมาชิกตัวหลัง
วิธีทา r {(x, y ) | x y}

ตัวอย่าง 9 ให้ A {1, 2} และ P(A) เป็นพาวเวอร์เซตของ A จงเขียนความสัมพันธ์
r {(x , X ) A P (A) | x X } แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทา r {(1,{1}), (2,{2}), (1,{1, 2}), (2,{1, 2})}
สาหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในสื่อนั้น เนื่องจาก เป็นสับเซตของทุกเซต และสาหรับเซต A และ B ใดๆ
A B เป็ น เซต ดั ง นั้ น A B นั่ น คื อ เป็ น ความสั ม พั น ธ์ จ าก A ไป B ยิ่ ง ไปกว่ า นั้ น เนื่ อ งจาก
A B A B จึงทาให้สรุปต่อไปได้ด้วยว่า A B เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B เช่นเดียวกัน

ชวนคิด ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด จงตอบพร้อมให้เหตุผลประกอบพอสังเขป
1. ถ้า A และ B เป็นเซตจากัดแล้วความสัมพันธ์ใดๆ จาก A ไป B จะเป็นเซตจากัด
2. ถ้า A และ B เป็นเซตอนันต์แล้วความสัมพันธ์ใดๆ จาก A ไป B จะเป็นเซตจากัด

16


แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องความสัมพันธ์จาก A ไป B

จงเขียนความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไข และแบบแจกแจงสมาชิก (หากสามารถแจกแจงได้)
1. r เป็นความสัมพันธ์จาก ไป โดยที่ตัวหน้ายกกาลังสองเท่ากับตัวหลัง ( คือเซตของจานวนเต็ม
ทั้งหมด)
2. r เป็นความสัมพันธ์จาก P(A) ไป P (B ) โดยที่ตัวหน้าเป็นสับเซตของตัวหลังเมื่อ A {1, 2} ,
B {2, 3} และ P (A) และ P (B ) เป็นพาวเวอร์เซตของ A และ B ตามลาดับ
3. r เป็นความสัมพันธ์จาก ไป โดยที่ตัวหลังเป็นพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับตัวหน้า
4. r เป็นความสัมพันธ์จาก ไป โดยที่ตัวหน้าและตัวหลังเป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน
5. r เป็นความสัมพันธ์จาก ไป โดยที่ตัวหน้าอยู่ห่างจาก 1 เท่ากับระยะห่างระหว่างตัวหลังกับ 2

17


ในช่วงนี้ได้กล่าวถึงจานวนความสัมพันธ์จากเซต A และเซต B ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เมื่อ A และ B
เป็นเซตจากัดทั้งคู่ และการเขียนแทนความสัมพันธ์ด้วยแผนภาพแสดงการจับคู่

หลังจากนักเรียนได้เห็นการเขียนแทนความสัมพันธ์ด้วยแผนภาพแล้ว ครูควรย้าว่าการเขียนแผนภาพ
แสดงการจับคู่แบบนี้ไม่เหมือนกับแผนภาพเวนน์ -ออยเลอร์ในเรื่องเซต และไม่จาเป็นที่สมาชิกทุกตัวในเซตตัว
หน้า หรือตัวหลัง จะต้องมี เส้นโยงแสดงการจับคู่ โดยครูอาจใช้ตัวอย่ างต่างๆ ที่เคยยกมาแล้วข้างต้นมาเขีย น
แ ผ น ภ า พ แ ส ด ง ก า ร จั บ คู่ ใ ห้ นั ก เ รี ย น ดู

18



19



ในช่วงนี้อธิบายถึงการลงคู่อันดับเป็นจุดบนระนาบ XY และยกตัวอย่างกราฟของความสัมพันธ์แบบต่างๆ

เมื่อมาถึงตอนนีครูควรย้าว่าการวาดกราฟของความสัมพันธ์บนจานวนจริง มาจากการร่างกราฟของ
้
ความสัมพันธ์เดียวกันบนเซตของจานวนเต็มก่อนแล้วค่อยลงจุดให้แน่นขึ้นๆ จนเห็นเป็นเส้นเส้นเดียว

20


ในช่วงนี้ครูควรทบทวนการวาดกราฟเส้นตรงในรูป Ax By C 0
C
กรณี A 0 และ B 0 จะได้กราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และผ่านจุด บนแกน X
B
C
กรณี A 0 และ B 0 จะได้กราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และผ่านจุด บนแกน Y
A
C
กรณี A 0 ,B 0 และ C 0 จะได้กราฟเส้นตรงที่มีระยะตัดแกน X เป็น และระยะตัดแกน Y
A
C
เป็น
B
กรณี A 0 ,B 0 และ C 0 จะได้กราฟเส้นตรงที่ผ่านจุดกาเนิดและ (B, A)

นอกจากนี้ควรทบทวนการวาดกราฟพาราโบลาในรูป y Ax 2 Bx C เมื่อ A 0

21


B B2
กรณี A 0 จะได้พาราโบลาหงายโดยมีจุดยอดอยู่ที่ ,C
2A 4A
B B2
กรณี A 0 จะได้พาราโบลาคว่าโดยมีจุดยอดอยู่ที่ ,C
2A 4A
สาหรับกรณีที่ความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y อยู่ในรูป x Ay 2 By C เมื่อ A 0 ครูสามารถให้
แนวคิดว่าเป็นในทานองเดียวกันกับพาราโบลาคว่าหรือหงายที่นักเรียนเคยรู้จักแต่เปลี่ยนบทบาทระหว่างแกน X
และ แกน Y กล่าวคือ
B2 B
กรณี A 0 จะได้พาราโบลาตะแคงเปิดทางขวาโดยมีจุดยอดอยู่ที่ C ,
4A 2A
B2 B
กรณี A 0 จะได้พาราโบลาตะแคงเปิดทางซ้ายโดยมีจุดยอดอยู่ที่ C ,
4A 2A

22


เมื่อได้เห็นตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันแบบต่างๆ แล้วครูควรยกตัวอย่างเพิ่มเติมให้นักเรียนดังต่อไปนี้
ตัวอย่าง 10 จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. r {(x, y ) | y 2 x }
Y

2

1

1 1 2 3 4 5
X
1

2

2. r {(x , y ) | x | y |}

Y

X

3. r {(x , y ) | x y}

Y

8

6

4

2

3 2 1 1 2 3
X

23


4. r {(x , y ) | 1 y 1}

Y

1

X

-1

5. r {(x, y ) | 3 x 2 และ 1 y 1}
สังเกตก่อนว่า r {(x , y ) | 3 x 2} {(x , y ) | 1 y 1} ดังนั้นจะได้กราฟดังรูป

Y

1

X
-3 2

-1

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องการวาดกราฟของความสัมพันธ์

จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. r {(x, y ) | x y}
2. r {(x, y ) | y x 2 1}
3. r {(x, y) | y x 1}
4. r {(x, y) | x | y | 1}
5. r {(x, y) | y |x 1 |}

24


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

25


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

สาหรับปัญหาชวนคิดที่ทิ้งไว้ในสื่อนั้นสามารถวาดกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้

1. r {(x , y ) |x y 10}

Y

10

10 X

26


2. r {(x, y) || x | |y | 10}

Y
10

X
-10 10

-10

ในส่วนของคาอธิบายเกี่ยวกับการได้มาซึ่งอาณาบริเวณเช่นในปัญหาชวนคิดทั้งสองนี้ขอให้นักเรียน
ติดตามในสื่อชุดต่อไป อย่างไรก็ดีนักเรียนน่าจะคุ้นเคยกับปัญหาชวนคิด 2 ในรูป | x | | y | 10 ที่อาจารย์
กฤษณะเคยสอนให้วาดกราฟแล้วในสื่อเรื่องจานวนจริง

27


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

28


แบบฝึกหัดระคน

1. กาหนดให้ S {x | x2 8x 20 0} , A เป็นจานวนเฉพาะบวก } และ
{x S |x
B {x S |x เป็นจานวนเต็มคู่ } จงหาจานวนสมาชิกของเซต A B , B A และ
(A B ) (B A)
2. กาหนดให้ A {x | x 100} , B {x A | 9 หาร x ลงตัว } และ C {x A | 6 หาร
x ลงตัว } แล้วจงหาจานวนสมาชิกของ (B C ) C
3. กาหนดให้ A {0, 1, 2, 3} และ P(A) เป็นเพาเวอร์เซตของ A ถ้า
r {(x ,Y ) A P (A) | x 2 และ x Y } แล้วจงหาจานวนสมาชิกของความสัมพันธ์ r
4. ให้ r1 {( 2, 1), ( 1, 0), (2,1), ( 3,2), (4, 3)} และ r2 {(x, y ) | y | x 1 |} จงหา
r1 r2
5. สาหรับ A {1, 2, 3, 4} กาหนด r {(a,b) A A | a b} และ
s {(a, b) A A |b a } จงหาจานวนสมาชิกของความสัมพันธ์ ที่กาหนดโดย
{((a, b),(c, d )) r s |a b c d}
6. ให้ A และ B {5, 6, ..., 14} จงหาจานวนสมาชิกของความสัมพันธ์
{1, 2, 3}
r {(a, b) A B | a หาร b แล้วเหลือเศษ 3}
7. ให้ r1 {(x, y) | y x } , r2 {(x, y) | y x 1} และ r3 {(x, y) | y 2x 1} จงหา
ช่วงบนแกน X ที่ทาให้กราฟของ r3 อยู่เหนือกราฟของ r1 และ r2
8. กาหนดให้ r {(x, y ) | x 2 y 2 R2 } มีกราฟเป็นรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและรัศมี
เป็นจานวนจริงบวก R จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r1 {(x, y ) | y 4 x 2 } และ

r2 {(x, y ) | x 2 y2 }
9. จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r {(x , y ) | y 9 x2 และ xy 0}
10. จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ r {(x, y) || x 1| |y 2 |}

29


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

30


เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องการเท่ากันของคู่อันดับ
่

1. (x, y ) (1, 2) 2. (x, y ) ( 3, 4) 3. (x, y ) {( 5,2) ,( 5, 6), (3,2), (3, 6)}

2 3 2 5 30 2 3 2 5 30 2 3 2 5 30
4. (x, y) , , , , , ,
2 10 2 10 2 10

2 3 2 5 30 2 2 2 3 2 3
, 5. (x, y) 1, , , , 1, , ,
2 10 3 3 3 2 3 2

เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องผลคูณคาร์ทีเซียน
่

1. A (B C) {(1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3,2), (3, 3), (3, 4),
(3, 5)}
(A B ) (A C ) {(1,2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2,2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3,2),
(3, 3), (3, 4), (3, 5)}
A (B C) {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
A (B C) {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
2. (A P (A)) (P (A) A) {( ,{{ }}), ( ,{ , { }}), ({ },{{ }}), ({ },{ , { }})}

เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องความสัมพันธ์จาก A ไป B
่

1. r {(x , y ) | x2 y} {( 1,1), (1,1), ( 2, 4), (2, 4), ( 3, 9), (3, 9), ...}
2. r {(X ,Y ) P (A) P (B ) | X Y}
{( , ), ( ,{2}), ( ,{3}), ( ,{2, 3}), ({2},{2}), ({2},{2, 3})}
3. r {(x , y ) |y x 2}
4. r {(x , y ) | ห.ร.ม. (x , y ) 1}
5. r {(x, y) || x 1| |y 2 |}

31


เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องการวาดกราฟของความสัมพันธ์
่

1. 2.
5
4

4

3

3

2

2

1

1

2 1 1 2
2 1 0 1 2

3. 1.5
4. 3

2
1.0

0.5
1

1 2 3 4
1 2 3 4

1

2

3

5.
1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 1.0 1.5 2.0

หมายเหตุ เส้นกราฟของความสัมพันธ์ทุกเส้นในข้อ 1 – 5 เป็นเส้นทึบ

32


เฉลยแบบฝึกหัดระคน

1. 19 ตัว 2. 96 ตัว 3. 16 ตัว 4. {( 2, 1), (2,1), (4, 3)} 5. 16 ตัว 6. 2 ตัว 7. [1, )

8. 2.0

1.5 r1 r2
1.0

1.0

0.5
0.5

2 1 1 2
3 2 1 1 2 3

0.5

1.0

9. 10.
3.0
5

2.5

2.0 4

1.5
3
1.0

0.5
2

4 2 2 4
1

2 1 1 2 3 4

1

หมายเหตุ เส้นกราฟของความสัมพันธ์ทุกเส้นในข้อ 8 – 10 เป็นเส้นทึบ

33


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

34


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

35


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

36


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

37

30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to 30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์

Similar to 30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์ (20)

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)

30 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ตอนที่1_ความสัมพันธ์