LÍMITES

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Idea intuitiva de límite de una función en un punto
Considérese la función lineal y = 2x + 1.
¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima
al valor 3 ?
Por la izquierda
x y = f(x)
2.5 6
2.8 6.6
2.9 6.8
2.99 6.98
Por la derecha
x y = f(x)
3.5 8
3.3 7.6
3.1 7.2
3.01 7.02
Cuando x tiende a 3,
el límite de la
función
y = 2x + 1 es 7,
y se escribe
3
lim 2 1 7
x
x

Ejemplo : Sea , calcular
Izquierda Derecha
Solución

Ejemplo

Definición Informal del Limite de una función :
y se dice “ el límite de f(x) es igual a L cuando x tiende
a “c” si podemos acercar arbitrariamente los valores
de f(x) a L aproximando x a “c” pero sin igualar a “c”
lim ( )
x c
f x LSe escribe

Tres funciones para las que
Ejemplos
lim ( )
x c
f x L

Dos funciones para las que no existe)(xflim
cx
Ejemplos

Ejemplo:
0
4 4
x
Lim x

4
LIMITES LATERALES
4
( )
x
Lim f x
4
( )
x
Lim f x

Límites Laterales
LIMITE POR LA DERECHA :
Sea f una función definida en < a , c > ;
entonces : Lim f(x) = L
xa+
significa que f(x) puede acercarse
arbitrariamente a L eligiendo x
cercano de “ a “ ( x > a )
LIMITE POR LA IZQUIERDA :
Sea f una función definida en < c , a > ;
entonces : Lim f(x) = L
xa–
significa que f(x) puede acercarse
arbitrariamente a L eligiendo x
cercano de “ a “ ( x < a )

)()(sisóloysi)( xflimLxflimLxflim
axaxax
Teorema:
Problemas
1
1
1
1) :
) lim ( )
) lim ( )
) ¿ lim ( ) ?
x
x
x
Calcular
a f x
b f x
c Existe f x

2) Determinar la existencia de:
0
1
2
4
) lim ( )
) lim ( )
) lim ( )
) lim ( )
x
x
x
x
a f x
b f x
c f x
d f x

3) Determine si existen cada uno de los límites siguientes:

3) En los siguientes gráficos determinar
3
3
1
1
0
3
3
) ( 5)
) ( )
) ( )
) ( 3)
) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
x
x
x
x
x
x
x
i f
ii Lim f x
iii Lim f x
iv f
v Lim f x
vi Lim f x
vii Lim f x
viii Lim f x
ix Lim f x

PROPIEDADES :
1.- Límite de una suma de funciones
2.- Límite de una resta de funciones
3.- Límite de un producto de funciones
4.- Límite de un cociente de funciones

/
lim
x
x x
x
7 5 8
41
1 1
1
lim
x x
xx
x x
x
3 2
22
15 3
16
PROBLEMAS
3
23
1 5
3x
x x
Lim
x x
4
2 1 3
lim
2 2x
x
x
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Determine “ a ” de modo que
el límite exista
22
ax
aaxx
lim
ax

9.
10.
11.
3
lim ( )
( ) 4
x
Calcular f x
Si f x x x
12.
2
3
3
lim
3x
x
x
5/2
lim 3 4
x
x x
3
3
23 3
3
3lim
9 ( 1)x
x
x x
Sgn x x
Calcule el siguiente límite
4
lim ( )
x
f x si
-4xsi
127x
16-x
-4xsi
4x
86x
)(
2
2
2
x
x
xf

Límites infinitos
El símbolo se lee infinito, es de carácter posicional,
no representa ningún número real .
Consideramos la función , determinar el
comportamiento de la función cuando
1
( )
2
f x
x
2x
2x
2x

DEFINICIÓN
Sea f una función definida en ambos lados de “ a “ , excepto quizás
en el propio “ a “ . Entonces :
Lim f(x) =
xa
Significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente
grande eligiendo un x lo bastante cerca de “ a “
* Lim f(x) =
xa+
* Lim f(x) =
xa–
x
y
a
x
y
a

DEFINICIÓN
Sea f una función definida en ambos lados de “ a “ , excepto quizás
en el propio “ a “ . Entonces :
Lim f(x) = –
xa
Significa que los valores de f(x) son tan grandes negativos como
deseemos para todos los valores de x cercanos de “ a “
* Lim f(x) = –
xa+
* Lim f(x) = –
xa–
x
y
a
x
y
a

Propiedades
1.- Lim 1 = + , si n es entero positivo
x0+ x n
2.- Lim 1 + , si n es par
x0– x n - , si n es impar
NOTA : Si c 0
0,
0,
0 csi
csic
0,
0,
0 csi
csic

PROBLEMAS
22 2
3
)1
x
lím
x
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
1
2
3
4
5
x
y
1
1
1
12
)()2
xsi
x
xsix
xf
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

2
2
4
3) lim
2x
x
x
0
2
4) lim
x
x
x x
3
3 210
1000
5) lim
20 100x
x
x x x
2
2
1 5
6) lim
2 4x x x

LIMITES EN EL INFINITO
DEFINICION :
Sea f una función definida en un intervalo < a, > . Entonces
Lim f(x) = L
x
Significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto
como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande .
1
1
)( 2
2
x
x
xf 1
1
1
2
2
x
x
Lim
x
1

PROPIEDADES
1.-
2.-

Límite de una función racional en el infinito
Si :
Entonces :
mnsi
mnsi
b
a
mnsi
m
n
,0
,
,
)(
)(
xQ
xP
Lim
x

EJEMPLOS
3 2
3 5
4 2
6
2 2
3
lim :
3 2 1
) lim
2 4 5
) lim
3
5 2
) lim
8 4
) lim
3 2
) lim 2 2
x
x
x
x
x
Calcular los siguientes ites
x x
a
x x
x x
b
x
x
c
x b
x
d
x x
e x x x x

En cada caso, utilizando el dibujo que se da,
determine los límites que se indican
a) b) c) d)

14
12
)(
2
xsi
xsix
xfSea encontrar
)(lím;)(lím;)(lím
1
xfxfxf
xxx
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

47
41
)(
xsix
xsix
xf )(lím;)(lím;)(lím
4
xfxfxf
xxx
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y