Cálculo Varias Variables Apuntes Ingeniería

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL
LITORAL
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Apuntes de Clases de Cálculo de Varias Variables
Curso dirigido a estudiantes de ingenierías
Edición ALPHA
Créditos de Edición:
Prof. Soveny Soraya Solís García
Estudiante Darla Burgos
Mayo de 2016
Guayaquil-Ecuador

Índice general
Introducción 2
1. Geometría Analítica en R3
1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El sistema rectangular espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. La recta en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1. Tipos de Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. El plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1. Tipos de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2. Intercepto con los ejes y trazas con los planos coordenados . . 8
1.4.3. Condiciones sucientes para denir un plano . . . . . . . . . . 9
1.5. Distancias con puntos, rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Supercies en R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1. Supercies cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.2. Supercies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.3. Supercies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7. Coordenadas Cilíndricas y Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.1. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.2. Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Diferenciación de Funciones de Varias Variables 23
2.1. Nociones Topológicas en Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Funciones de Varias Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Derivabilidad y Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3

ÍNDICE GENERAL
2.3.1. Regla de la Cadena Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Teoremas sobre diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. Teorema de la Derivada Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.1. Ejercicios de orden superior con Regla de la Cadena . . . . . . 42
2.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.1. Aproximaciones de 1er Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.2. Fórmulas de Taylor de 1er y de 2do Orden . . . . . . . . . . . 45
2.7.3. Plano tangente a una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Optimización de funciones escalares de varias variables 49
3.1. Optimización con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4. Funciones Vectoriales 55
4.1. Funciones vectoriales de variable escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1. Parametrizaciones clásicas para curvas en R2
. . . . . . . . . . 55
. . . . . . . . . . 56
4.1.3. Límite, continuidad y derivabilidad de las funciones vectoriales
de variable escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.4. Velocidad, rapidez y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.5. Vector tangente, normal y binormal . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.6. Longitud de arco y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 60
5. Integrales de Línea 65
5.1. Interpretación física de una integral de línea vectorial . . . . . . . . . 66
5.2. Integrales de línea vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1. Campos conservativos e independencia del camino . . . . . . . 69
5.3. Integrales de línea escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6. Integración Múltiple 73
6.1. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.1. Integrales dobles en regiones generales . . . . . . . . . . . . . 75
4

ÍNDICE GENERAL
6.1.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3. Cambio de variable en integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4. Valor promedio de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 81
7. Integrales de supercie 83
7.1. Area de una Supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2. Integral de Supercie Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3. Integral de Supercie Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8. Teoremas de la Teoría Vectorial 87
8.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1. Teorema de Green en Regiones Múltiples Conexas . . . . . . . 88
8.1.2. Teorema de la Integral de línea para el área de una región plana 88
8.2. Terorema de Stockes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Índice de Símbolos 91
Bibliografía 93
5

Capítulo 1
Geometría Analítica en R3
1.1. Introducción
En el estudio de las funciones de varias variables es imprescindible que el estu-
diante interprete correctamente el sistema de referencia espacial, puesto que algunas
grácas de estas funciones se representan en este sistema. A su vez, una región de
integración puede estar determinada por grácas de supercies las cuales se convier-
ten en los límites de integrales triples. Entre otras cosas, la capacidad de visualizar
en tres dimensiones es fundamental en la formación de un ingeniero.
Respecto a la notación, se usará una letra mayúscula seguida de las coordenadas,
para denir puntos: P(2, 1, 1); Letras minúsculas seguidas del signo igual y de las
coordenadas para denir vectores: v = (2, 3, −1) ó v = 2i + 3j − k.
Dados dos puntos P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2), se dene el vector entre ellos, con
punto inicial P1 y punto terminal P2, como:
−−→
P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).
1.2. El sistema rectangular espacial
Lo conocemos como el sistema de referencia espacial formado por tres rectas
perpendiculares entre sí, llamadas ejes coordenados. El punto donde se intersecan se
1

CAPÍTULO 1. GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R3
denomina origen de coordenadas O. La convención es gracarlos de tal forma que el
I octante sea visible, como lo ilustra la gura 1.1. Los nombres de los ejes pueden
ser cambiados pero generalmente el plano XY se lo relaciona con el piso y el eje Z
con la altura respecto a éste.
Figura 1.1
En general, un punto P de coordenadas (x, y, z) es un punto que se graca
partiendo desde O, luego recorre x unidades paralelas al eje X, desde aquí recorre
y unidades paralelas al eje Y y desde aquí recorre z unidades paralelas al eje Z. En
el recorrido debe respetarse el signo de las coordenadas. Otra forma de gracar el
punto es como la intersección de tres planos paralelos a los coordenados, así:
La coordenada x indica un plano paralelo al plano Y Z.
La coordenada y indica un plano paralelo al plano XZ.
La coordenada z indica un plano paralelo al plano XY .
De aquí, podemos decir que un plano es paralelo a uno de los planos coordenados,
cuando una de las variables es ja, según corresponda a uno de los casos precedentes.
Por otra parte, aunque no se haya visto todavía la denición formal de una recta en
es espacio, es importante observar las siguientes características:
Todo punto del eje X es de la forma (x, 0, 0) y toda recta paralela a este
eje tiene puntos de la forma (x, y0, z0) donde y0 y z0 son constantes. Estas
constantes representan el punto donde la recta penetra en el plano Y Z.
2

1.3. LA RECTA EN EL ESPACIO
Todo punto del eje Y es de la forma (0, y, 0) y toda recta paralela a este
eje tiene puntos de la forma (x0, y, z0) donde x0 y z0 son constantes. Estas
constantes representan el punto donde la recta penetra en el plano XZ.
Todo punto del eje Z es de la forma (0, 0, z) y toda recta paralela a este eje tiene
puntos de la forma (x0, y0, z) donde x0 y y0 son constantes. Estas constantes
representan el punto donde la recta penetra en el plano XY .
De esta forma, si requerimos el o los puntos donde una supercie interseca a los ejes
coordenados, lo único que debemos hacer es reemplazar 0 en las variables correspon-
dientes. Similar si es una recta o plano paralelos a los ejes coordenados, debemos
reemplazar lo que corresponda a una constante en la recta o plano.
Ejemplo 1.2.1 Graque las siguientes regiones rectangulares del espacio:
a. Q = {(x, y, z) ∈ R3
/0 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 3; z ≥ 0}
b. S = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] (cubo unitario)
1.3. La recta en el espacio
Denición 1.3.1 Sea P0(x0, y0, z0) un punto de R3
y sea d = (a, b, c) un vector no
nulo de R3
. Se dene a la recta L que contiene a P0 y con dirección paralela a d,
como el conjunto de puntos P(x, y, z) tales que la dirección
−−→
P0P es paralela a d. Es
decir:
L = {P(x, y, z)/(x − x0, y − y0, z − z0) = t(a, b, c); t ∈ R}
De esta denición se deduce las ecuaciones paramétricas de L:
L :



x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
; t ∈ R.
3

Figura 1.2
Con estas ecuaciones podemos obtener un punto de la recta dando a t un valor
real arbitrario. Inversamente, podemos conocer si un punto dado pertenece a la rec-
ta, esto es, si las ecuaciones paramétricas tienen solución para algún t ∈ R.
Ejemplo 1.3.1 Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene el
punto P0(−1, 2, 4) y es paralela al vector d = (2, 0, −2). Luego, determine si el punto
(3, −1, 1) pertenece a esta recta.
Una observación del vector director es que este puede ser reemplazado por cual-
quier múltiplo no nulo de el. En el ejemplo anterior, se pudo haber utilizado el vector
d = (1, 0, −1) ó d = (−1, 0, 1) ó d = (3, 0, −3), etc. En este caso, los valores de los
parámetros cambian dependiendo del punto que queremos obtener, sin embargo el
conjunto de puntos es el mismo.
De lo expuesto, para rectas paralelas a los ejes coordenados, es suciente consi-
derar el vector director igual a los unitarios i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1),
respectivamente.
Por otra parte, rectas que son paralelas a los planos coordenados tienen una
coordenada ja, lo cual implica que el vector director tiene nula la coordenada co-
rrespondiente.
4

1.3. LA RECTA EN EL ESPACIO
De estos ejemplos se concluye que las ecuaciones paramétricas son aplicables a
todo tipo de recta. No obstante, existen otro tipo de ecuaciones que también se em-
plean para representar una recta, las cuales se denominan ecuaciones simétricas.
En el supuesto que: a, b, c = 0,
x − x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
, representan las ecua-
ciones simétricas de la recta que contiene al punto P0 y es paralela a la dirección
d = (a, b, c).
Si alguno de los valores a, b, c es nulo (claro está que no todos a la vez), las ecua-
ciones simétricas se presentan de manera incompleta. Otra observación respecto a
estas ecuaciones, es que para reconocer el vector director, el numerador debe estar
normalizado, esto es, el coeciente de cada variable es 1.
Ejemplo 1.3.2 Escriba las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que
contiene los puntos P(1, 2, 3) y Q(0, 2, −1)
1.3.1. Tipos de Rectas
En el espacio las rectas pueden ser:
Paralelas, si y sólo si sus vectores directores son paralelos. A su vez, podemos
tener el caso de paralelas coincidentes o paralelas no coincidentes.
Perpendiculares, si y sólo si sus vectores directores son perpendiculares.
Secantes, si y sólo si tienen un punto en común.
Alabeadas, si y sólo si no son paralelas ni secantes.
Las dos primeras condiciones son inmediatas, identicando los vectores directores
de ambas rectas. Para la coincidencia de las rectas paralelas, basta tomar un punto
de una de ellas y vericar que éste pertenece a la otra.
5

Para la condición de secantes, es necesario resolver un sistema de ecuaciones que
nos permita establecer la existencia del punto. Esto es, el valor de cada parámetro
para obtener el punto común.
Para la condición de alabeadas, es necesario comprobar que no son paralelas y
que no tengan puntos en común; esto último requiere de que el sistema de ecuaciones
que forman las ecuaciones paramétricas de las rectas, sea inconsistente.
Ejemplo 1.3.3 Identique el tipo de rectas que representan las siguientes ecuacio-
nes:
a. L1 :



x = 1 + 2t
y = −2 − 3t
z = 5 + 4t
; t ∈ R; L2 :
x − 7
3
=
y − 2
2
=
1 − z
2
.
b. L1 :



x = 6t
y = −4 − 4t
z = 3 − 2t
; t ∈ R; L2 :



x = 1 + 3u
y = 1 − 2u
z = 1 − u
; u ∈ R
Ejemplo 1.3.4 Determine las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vérti-
ces son los puntos (1, 2, 1); (2, 3, 3); (3, −2, 3).
1.4. El plano
Denición 1.4.1 Sea P0(x0, y0, z0) un punto de R3
y sea n = (a, b, c) un vector no
nulo de R3
. Se dene el plano π que contiene a P0 y es normal a la dirección n,
como el conjunto de puntos P(x, y, z) tales que la dirección
−−→
P0P es ortogonal a n.
Es decir:
π = {P(x, y, z)/(x − x0, y − y0, z − z0) · (a, b, c) = 0}
6

1.4. EL PLANO
Figura 1.3
De aquí se deduce que P ∈ π si y sólo si a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0,
con lo cual se obtiene la ecuación general del plano que contiene a P0 y es normal a
la dirección n = (a, b, c), dada por:
ax + by + cz + d = 0; donde la constante d se determina con P0.
Para obtener un punto del plano se debe dar valores arbitrarios a dos de las coor-
denadas, es decir, un plano tiene dos grados de libertad. Por otra parte, un punto
pertenece al plano si y sólo si sus coordenadas satisfacen su ecuación general.
Notar que el término d = 0 si y sólo si el plano contiene al origen de coordenadas.
Ejemplo 1.4.1 Determine la ecuación general del plano que contiene al punto P0(3, 1, 1)
y es normal a la dirección denida por:
a. P1(3, 1, 4) y P2(0, 2, 1).
b. El eje X.
1.4.1. Tipos de planos
Paralelos, si y sólo si sus vectores normales son paralelos. A su vez, podemos
tener el caso de paralelos coincidentes o paralelos no coincidentes.
Perpendiculares, si y sólo si sus vectores normales son perpendiculares.
7

Secantes, si y sólo si tienen una recta en común.
Obs. En el espacio se cumple que si dos planos no son paralelos entonces son secantes.
Las dos primeras condiciones son inmediatas, identicando los vectores normales
de ambos planos. Para la coincidencia de dos planos paralelos basta observar que
sus ecuaciones con equivalentes (todos los coecientes son múltiplos entre sí).
Para la condición de secantes, es necesario vericar que no son paralelos y la rec-
ta común se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones que forman las ecuaciones
generales de los dos planos.
Otra forma de determinar el vector director de la recta común es con el produc-
to vectorial de los vectores normales. Para un punto de la recta se toma un punto
común a ambos planos.
Cuando los planos son secantes, es de interés conocer la medida del ángulo que
forman entre sí, el cual es igual a la medida del ángulo que forman sus vectores
normales.
Ejemplo 1.4.2 Dados los planos π1 : 2x−y +3z = 2; π2 : x−y −z = 0, determine
si son paralelos, perpendiculares o secantes. En caso de ser secantes, determina la
recta intersección y la medida del ángulo entre ellos.
1.4.2. Intercepto con los ejes y trazas con los planos coorde-
nados
Todo plano posee al menos un intercepto o una traza con alguno de los ejes o
planos coordenados, respectivamente. El intercepto o la traza correspondiente resul-
ta de intersecar el plano con el eje o plano coordenado respectivo.
8

1.4. EL PLANO
La utilidad de esta información radica en que podemos gracar rápidamente el
plano y representar regiones.
Ejemplo 1.4.3 Dado el plano 2x + 4y + 6z − 12 = 0, identique interceptos con
los ejes y trazas con los planos coordenados, respectivamente. Con esta información
realice un bosquejo gráco del plano.
Ejemplo 1.4.4 Identique la región limitada por los planos coordenados y los planos
x + z = 1; y + z = 1.
1.4.3. Condiciones sucientes para denir un plano
i. Dado un punto del plano y una recta normal al plano.
ii. Dados tres puntos no colineales del plano.
iii. Dadas dos rectas secantes contenidas en el plano.
iv. Dadas dos rectas paralelas no coincidentes y contenidas en el plano.
v. Dada una recta del plano y un punto del plano externo a la recta.
vi. Dados dos puntos del plano y un vector paralelo al plano pero no paralelo a la
dirección que forman los dos puntos.
Obs. Si dos rectas son alabeadas, no existe un plano común que las contenga.
Ejemplo 1.4.5 Determine de ser posible la ecuación general del plano que contiene
a las rectas:
a. L1 :



x = 1 + 2t
y = −2 − 3t
z = 5 + 4t
; t ∈ R; L2 :
x − 7
3
=
y − 2
2
=
1 − z
2
.
9

b. L1 :



x = 6t
y = −4 − 4t
z = 3 − 2t
; t ∈ R; L2 :



x = 1 + 3u
y = 1 − 2u
z = 1 − u
; u ∈ R.
Ejemplo 1.4.6 Determine de ser posible la ecuación general del plano que contiene
a la recta L :
2x − 1
4
=
2 − y
3
=
4 − 2z
2
y al punto (1, 1, −1).
1.5. Distancias con puntos, rectas y planos
Teorema 1.5.1 (Distancia de un punto a un plano) Sea el plano π con ecua-
ción general ax + by + cz + d = 0. Sea P0 ∈ R3
. Entonces la distancia de P0 a π,
está dada por:
d(P0, π) =
| ax0 + by0 + cz0 + d |
√
a2 + b2 + c2
Demostración:
Tomando un punto arbitrario Q ∈ π, denamos el vector
−−→
P0Q (ó su inverso
aditivo). La distancia de P0 a π es el valor absoluto de la proyección escalar de
−−→
P0Q
sobre el vector normal de π.
Figura 1.4
Algunas aplicaciones de este teorema son:
10

1.5. DISTANCIAS CON PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
Distancia entre dos planos paralelos. Si los planos no son paralelos la distancia
no está denida entre ellos.
Distancia entre una recta paralela a un plano. Si la recta es secante al plano,
la distancia no está denida.
Lugares geométricos.
Ejemplo 1.5.1 Determine de ser posible, la distancia entre los planos
π1 : 3x − y + 2z − 6 = 0 y π2 : 6x − 2y + 4z + 4 = 0.
Ejemplo 1.5.2 Determine de ser posible, la distancia de la recta L :



x = 4 + t
y = −6 + 8t
z = 7 − 3t
;
t ∈ R, al plano π : −2x + y + 2z + 4 = 0.
Teorema 1.5.2 (Distancia de un punto a una recta en el espacio) Sea L una
recta de R3
con vector director d. Sea P0 ∈ R3
. Entonces la distancia de P0 a L está
dada por:
d(P0, L) =
−−→
P0Q × d
d
;
donde Q ∈ L es arbitrario.
Demostración:
Tomando un punto arbitrario Q ∈ L, denamos al vector de enlace
−−→
P0Q (ó su inverso
aditivo). La distancia de P0 a L es la longitud h del cateto opuesto al ángulo que
forman el segmento P0Q y el vector director d.
Figura 1.5
11

Del triángulo rectángulo formado sigue que h =
−−→
P0Q sen(θ). Por el Teorema
del Producto Cruz sigue que
−−→
P0Q × d =
−−→
P0Q d sen(θ). De ambas expresiones
se deduce el teorema. Otra aplicación del teorema es calcular la distancia entre dos
rectas paralelas del espacio.
Ejemplo 1.5.3 Calcule la distancia entre la recta L :



x = 1 + 2t
y = −2 − 3t
z = 5 + 4t
; t ∈ R y la
recta que contiene el punto (2, −1, 4) y es paralela a L.
Teorema 1.5.3 Sean L1 y L2 dos rectas alabeadas de R3
con vectores directores d1
y d2, respectivamente. La distancia entre ellas está dada por:
d(L1, L2) =| proyd1×d2
−−→
P1P2 |; donde P1 ∈ L1; y P2 ∈ L2 son arbitrarios.
Ejemplo 1.5.4 Determine de ser posible la distancia entre las rectas:
L1 :



x = 4 + 5t
y = 5 + 5t
z = 1 − 4t
; t ∈ R y L2 :



x = 4 + u
y = −6 + 8u
z = 7 − 5u
; u ∈ R.
Obs. Si dos rectas son secantes, la distancia entre ellas es 0.
1.6. Supercies en R3
En esta sección se estudian las siguientes supercies (variedad bidimensional):
Las supercies cuadráticas.
Las supercies cilíndricas.
Las supercies de revolución.
12

1.6. SUPERFICIES EN R3
1.6.1. Supercies cuadráticas
Denición 1.6.1 (Supercie Cuadrática) Una supercie cuadrática de R3
es el
conjunto de puntos P(x, y, z) que satisfacen una ecuación de la forma:
ax2
+by2
+cz2
+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j = 0; con los coecientes elementos
de R y a, b, c no todos nulos.
Mediante un proceso de rotación de ejes principales, conocido del álgebra lineal,
se puede obtener una ecuación equivalente de la supercie de la forma:
Ax2
+ By2
+ Cz2
+ Dx + Ey + Fz + E = 0,
la cual puede representar una supercie degenerada (un punto, par de rectas, con-
junto vacío, etc.) o alguna de las siguientes supercies. En cada una de ellas, diremos
que los cortes son planos paralelos a los planos coordenados, representan conjuntos
de nivel de la supercie.
Esfera: (x − h)2
+ (y − k)2
+ (z − l)2
= R2
; (h, k, l) es el centro de la esfera y
R es la longitud del radio. Los conjuntos de nivel pueden ser: circunferencias,
puntos o conjuntos vacíos.
Figura 1.6
13

Elipsoide:
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
+
(z − l)2
c2
= 1; (h, k, l) es el centro del elipsoide
y a, b, c son las longitudes de los semiejes, respectivamente. Los conjuntos de
nivel pueden ser: elipses, puntos o conjuntos vacíos.
Figura 1.7
Hiperboloide de una hoja:
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
−
(z − l)2
c2
= 1; (h, k, l) es el cen-
tro del hiperboloide y el signo negativo indica la dirección del eje de simetría;
a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses o hipérbolas.
Figura 1.8
14

Hiperboloide de dos hojas: −
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
+
(z − l)2
c2
= 1; (h, k, l) es el
centro de hiperboloide y el signo positivo indica la dirección del eje de simetría;
a, b, c son los parámetros de los conjuntos de nivel: elipses, hipérbolas, puntos
o conjunto vacío.
Figura 1.9: Hiperboloide de dos hojas con eje de simetría paralelo al eje X.
Paraboloide Elíptico: z − l =
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
ó
z−l = −
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
; (h, k, l) es el vértice del paraboloide y la variable
lineal indica la dirección del eje de simetría; a, b son los parámetros de los
conjuntos de nivel: elipses, parábolas, puntos o conjunto vacío. La concavidad
del paraboloide los determina el dominio de la variable lineal.
Figura 1.10: Paraboloide Elíptico con eje de simetría paralelo al eje Y .
15

Paraboloide hiperbólico: z − l =
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
; (h, k, l) es el punto de
silla del paraboloide y la variable lineal indica la dirección del respaldo de la
silla; a, b son los parámetros de los conjuntos de nivel: hipérbolas, parábolas
o rectas. El frente de la silla está dado por la variable cuadrática con signo
positivo. En la siguiente gura se muestra la gráca de z = y2
− x2
.
Figura 1.11
Cono elíptico:
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
−
(z − l)2
c2
= 0; (h, k, l) es el vértice del
cono y el signo negativo indica la dirección del eje de simetría; a, b, c son los
parámetros de los conjuntos de nivel: elipses, hipérbolas, rectas o puntos.
Figura 1.12
16

La importancia de reconocer estas supercies, así como las regiones sólidas que
podrían delimitar, radica en la necesidad de calcular áreas de supercies o volúmenes,
así como otras aplicaciones de la ingeniería. En la siguiente gura se muestra dos
etapas de la construcción del Edicio de Acceso al Parque Oceanográco de Valencia,
España. ¾Qué información fue necesaria para realizar el presupuesto nanciero de la
construcción?
Figura 1.13
Ejemplo 1.6.1 Describa los siguientes lugares geométricos.
a. 4x2
+ 9y2
+ z2
− 8x − 36y + 36 = 0
b. 2x2
+ 2y2
+ 2z2
− 8x + 6 = 0
c. 4x2
+ y2
− z2
− 16x − 6y − 16z + 9 = 0
Ejemplo 1.6.2 Represente los siguientes conjuntos en forma gráca:
a. Q = (x, y, z) ∈ R3
/2 ≤ z ≤ 2 x2 + y2 .
b. S = (x, y, z) ∈ R3
/ − 1 − y2 − z2 ≤ x ≤ 1 −
y2
+ z2
3
.
1.6.2. Supercies Cilíndricas
Denición 1.6.2 (Supercies Cilíndricas) Sea C una curva contenida en un
plano π y sea L una recta secante a π. Se dene la supercie cilíndrica o sim-
plemente cilindro, con curva directriz C y recta generatriz L, a la unión de todas las
rectas paralelas a L y que intersecan a C.
17

En el caso que π sea un plano coordenado y L una recta perpendicular a π, la
ecuación del cilindro tiene una de las siguientes formas, siendo F la expresión que
representa a C:
F(x, y) = 0; C ⊂ XY ; L ⊥ XY
F(x, z) = 0; C ⊂ XZ; L ⊥ XZ
F(y, z) = 0; C ⊂ Y Z; L ⊥ Y Z
Ejemplo 1.6.3 Graque los siguientes cilindros.
a. z = y2
b. z = sen(x); 0 ≤ x ≤ π
c. x2
+ y2
= 4
d. yz = 1; y 0
e. x + z = 1
Ejemplo 1.6.4 Graque el sólido Q = {(x, y, z) ∈ R3
/0 ≤ z ≤ 2 − x; x2
+ y2
≤ 1}
1.6.3. Supercies de revolución
Denición 1.6.3 (Supercie de revolución) Sea f una función que dene una
curva sobre alguno de los planos coordenados. Suponga que la gráca de f gira al-
rededor de uno de los ejes de dicho plano. Entonces se genera una supercie de
revolución que tiene una de las siguientes formas:
x2
+ y2
= f2
(z); si el giro es alrededor del eje Z.
x2
+ z2
= f2
(y); si el giro es alrededor del eje Y .
y2
+ z2
= f2
(x); si el giro es alrededor del eje X.
18

1.7. COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
Figura 1.14: Curva en XZ que gira alrededor del eje Z.
Ejemplo 1.6.5 Escriba la ecuación de las siguientes supercies de revolución.
a. y =
1
z
gira alrededor del eje Z.
b. z = ln(x) gira alrededor del eje X.
Ejemplo 1.6.6 Describa la supercie dada por x2
+3y2
+z2
= 9 como una supercie
de revolución.
1.7. Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
1.7.1. Coordenadas cilíndricas
Denición 1.7.1 (Sistema de coordenadas cilíndricas) Sea P(x, y, z) ∈ R3
.
Si el plano XY es reemplazado por el plano polar rθ, las coordenadas (r, θ, z) se
denominan coordenadas cilíndricas de P. De aquí se tiene que la proyección del seg-
mento OP sobre el plano XY es el radio polar de longitud r y la medida del ángulo
que dicha proyección forma con el eje X+
es θ.
A n de que exista una biyección entre los dos sistemas, se denen las siguientes
ecuaciones de conversión con sus respectivas condiciones:
Conversión de rectangulares a cilíndricas:
19

(x, y, z) → (r, θ, z)/ r = x2 + y2; θ =



arctan
y
x
; x = 0
π
2
; x = 0; y 0
3π
2
; x = 0; y 0
;z = z.
r ≥ 0; 0 ≤ θ 2π (ó algún otro intervalo que garantice biyección); z ∈ R.
(0, 0, z) → (0, 0, z).
Conversión de cilíndricas a rectangulares:
(r, θ, z) → (x, y, z); x = rcos(θ); y = rsen(θ); z = z.
(0, 0, z) → (0, 0, z).
Así, un punto dado en coordenadas cilíndricas puede obtenerse como la intersección
de tres supercies: un semiplano inclinado a θ radianes del plano XZ, un cilindro
circular recto de radio r con eje de simetría igual al eje Z y un plano paralelo a XY
a |z| unidades de éste.
Figura 1.15
Ejemplo 1.7.1 Exprese en coordenadas cilíndricas las siguientes supercies.
a. x2
+ y2
− 4z2
= 0 b. x2
+ y2
+ z2
− 2z = 0 c. y2
= x
20

1.7. COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
Ejemplo 1.7.2 Graque las siguientes supercies dadas en coordenadas cilíndricas.
a. θ =
π
4
.
b. z = r2
cos2
(θ).
c. 2r = z.
d. r = 2sen(θ).
e. r2
cos(2θ) + z2
+ 1 = 0.
f. r = 1 + cos(θ).
Ejemplo 1.7.3 Graque los siguientes conjuntos dados en el sistema cilíndrico.
a. S = (r, θ, z)/0 ≤ θ ≤
π
2
; 0 ≤ r ≤ 2; 0 ≤ z ≤ 4 .
b. T = (r, θ, z)/0 ≤ r ≤ a; 0 ≤ z ≤ rcos(θ); −
π
2
≤ θ ≤
π
2
; a 0.
1.7.2. Coordenadas Esféricas
Denición 1.7.2 (Sistema de Coordenadas Esféricas) Sea P un punto de R3
con coordenadas (x, y, z). El punto P puede representarse por la terna (ρ, θ, ϕ) donde:
ρ es la distancia de P al origen (ρ ≥ 0)
θ es el ángulo del sistema polar en XY .
ϕ es el ángulo que forma el segmento OP con el eje Z positivo (0 ≤ ϕ ≤ π)
A n de que exista una biyección entre los dos sistemas, se dene:
Conversión de esféricas a rectangulares.
x = ρsen(ϕ)cos(θ)
y = ρsen(ϕ)sen(θ)
z = ρcos(ϕ).
Conversión de rectangulares a esféricas.
ρ2
= x2
+ y2
+ z2
.
θ se calcula con la misma expresión dada en el sistema cilíndrico.
21

ϕ = arccos
z
x2 + y2 + z2
; x2
+ y2
+ z2
= 0;
(0, 0, 0) → (0, 0, 0).
Así, un punto dado en coordenadas esféricas puede obtenerse como la intersección
de tres supercies: un semiplano inclinado a θ radianes del plano XZ, una esfera
centrada en el origen de radio ρ y una parte del cono con vértice en el origen, eje de
simetría igual al eje Z y recta generatriz a ϕ radianes del eje Z.
Figura 1.16
Si k es una constante, tenemos los siguientes lugares geométricos especiales:
ρ = k 0. θ = k ∈ [0, 2π). ϕ = k ∈ [0, π].
Ejemplo 1.7.4 Gracar las siguientes regiones en coordenadas esféricas.
a. 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤
π
6
, 0 ≤ ρ ≤ 4sec(ϕ).
b. −
π
2
≤ θ ≤ 0,
π
4
≤ ϕ ≤
π
2
, 1 ≤ ρ ≤ 2.
Ejemplo 1.7.5 Exprese la región acotada por z = 1 y el hemisferio superior de
x2
+ y2
+ z2
− 2z = 0, como un conjunto de puntos del sistema:
a. Rectangular. b. Cilíndrico. c. Esférico.
22

Capítulo 2
Diferenciación de Funciones de
Varias Variables
2.1. Nociones Topológicas en Rn
Denición 2.1.1 (Bola Abierta) Sea x0 ∈ Rn
y sea ε 0. Se dice que la bola
abierta con centro en x0 y radio ε, denotada por B(x0, ε) es el conjunto dado por
B(x0, ε) = {x ∈ Rn
: x − x0 ε}.
Ejemplo 2.1.1 Graque las siguientes bolas:
B(x0, ε); x0 = 2; ε =
3
2
B(x0, ε); x0 = (−1, 1); ε = 1
B(x0, ε); x0 = (0, 0, 0); ε =
1
2
Notemos que en este ejemplo, fue posible gracar las bolas para las dimensiones
1, 2, 3 respectivamente.
Denición 2.1.2 (Punto interior, exterior y de frontera) Sea A ⊂ Rn
y sea
x ∈ Rn
.
Se dice que x es un punto interior de A, si existe una bola abierta centrada en
x contenida en A.
23

CAPÍTULO 2. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Se dice que x es un punto exterior de A, si existe una bola abierta centrada en
x contenida en Ac
.
Se dice que x es un punto de frontera de A, si toda bola abierta centrada en x
interseca a A y a Ac
.
Denición 2.1.3 (Punto de adherencia y de acumulación) Sea A ⊂ Rn
y sea
x ∈ Rn
.
Se dice que x es un punto de adherencia de A, si toda bola abierta centrada en
x interseca a A.
Se dice que x es un punto acumulación de A, si toda bola abierta centrada en
x interseca a A en puntos distintos de x.
Denición 2.1.4 (Interior, Frontera y Adherencia) Sea A ⊂ Rn
y sea x ∈
Rn
.
Se dice que el interior de A denotado por Int(A), es el conjunto de los puntos
interiores de A.
Se dice que la frontera de A denotado por Fr(A), es el conjunto de los puntos
de frontera de A.
Se dice que la adherencia de A denotado por Adh(A), es el conjunto de los
puntos de adherencia de A.
Obs. Adh(A) también se denomina clausura de A y suele denotarse como A.
Teorema 2.1.1 Sea A ⊂ Rn
. Entonces:
Int(A) ⊂ A ⊂ Adh(A).
Adh(A) = Int(A) ∪ Fr(A).
Fr(A) = Adh(A) − Int(A).
Ejemplo 2.1.2 Sea A = {(x, y) ∈ R2
: 1 x2
+ y2
9} ∪ (0, 0).
Identique Int(A), Fr(A), Adh(A) y los puntos de acumulación de A.
24

2.2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Denición 2.1.5 (Conjuntos abiertos y cerrados) Sea A ⊂ Rn
. Se dice que:
A es abierto si Int(A) = A, es decir, todos los puntos de A son interiores.
A es cerrado si Adh(A) = A. Equivalentemente Ac
es abierto.
Ejemplo 2.1.3 Determine si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados o nin-
guno de ellos.
A = {(x, y) ∈ R2
: 1 x2
+ y2
9} ∪ (0, 0)
B = {(x, y) ∈ R2
: y x2
; x 0}
C = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + 2z 4; x, y, z 0}
D = {(x, y, z) ∈ R3
: 0 x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2; 0 ≤ z ≤ 1}
2.2. Funciones de Varias Variables
Denición 2.2.1 Se dice que una relación de Ω ⊂ Rn
en Rm
es una función,
si a cada elemento de Ω, le asigna un único elemento de Rm
. Denotaremos esto
por f : Ω → Rm
tal que f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x)); donde las expresiones
fi; 1 i m, representan las funciones escalares que componen el vector imagen.
Los conceptos de dominio, imagen, inyectividad, sobreyectividad y biyectividad
son los mismos que los empleados en funciones de variable real. Las funciones cuyo
rango sea subconjunto de R se denominan escalares y para dimensiones superiores
del rango diremos que la función es vectorial.
Ejemplo 2.2.1 Identique dominio y rango de las siguientes funciones:
a. f(x, y) = x2
+ y2
.
b. f(x, y) = y − x2.
c. f(x, y) = (x − 2y, y2
).
d. f(x1, x2, ..., xn) = x2
1 + x2
2 + ... + x2
n.
e. f(x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
, xyz, ln 1 − x2
− y2
− 2z2
.
25

Denición 2.2.2 Sea f una función de Ω ⊂ Rn
en Rm
. Se dene el grafo o gráca
de f como el conjunto Gr(f) = {(x, y)/x ∈ Ω ∧ y = f(x)}.
Para funciones de variable real, la gráca es una curva en el plano mientras que
si f es una función escalar con dominio en R2
, su gráca es una supercie en el
espacio, tal como se puede vericar en el ejemplo precedente, literal a.
Puesto que las grácas de funciones con mayor dimensión en su dominio o rango
no es posible visualizarlas, se recurre al concepto de conjuntos de nivel para estudiar
el comportamiento de la función.
Denición 2.2.3 Sea f una función de Ω ⊂ Rn
en Rm
. Se dene el conjunto de
nivel α de f como el conjunto CNα : {x ∈ Ω : f(x) = α}
Es decir, el conjunto de nivel α de f es el conjunto de puntos del dominio de f
para los cuales la imagen es el valor α.
Ejemplo 2.2.2 La temperatura de cierta región del espacio responde a la posición
del punto (x, y, z) por la expresión T(x, y, z) = x2
+y2
−z2
. Determine los conjuntos
de nivel correspondientes a:
a. 1 b. 0 c. −1
Ejemplo 2.2.3 La altura de una montaña puede ser modelada en función de la
ubicación del punto (x, y) en su base, por la expresión h(x, y) = e−x2−y2
. Determine
los puntos donde la altura de la montaña es:
a. 2 b. 1 c.
1
e
Denición 2.2.4 (Límite) Sea f una función de Ω ⊂ Rn
en Rm
. Sea x0 un punto
de acumulación de Ω. Se dice que el límite de f en x0 es L ∈ Rm
, si y sólo si:
∀ε 0 ∃δ 0 ∀x ∈ Ω, x ∈ B(x0; δ) − {x0} ⇒ f(x) ∈ B(L; ε).
Esto lo denotamos por lim
x→x0
f(x) = L.
26

Teorema 2.2.1 Sea f una función de Ω ⊂ Rn
en Rm
. Sea x0 un punto de acumu-
lación de Ω. Si lim
x→x0
f(x) existe, entonces es único.
Teorema 2.2.2 Sean las funciones f, g : Ω ⊂ Rn
→ Rm
tales que lim
x→x0
f(x) = L y
lim
x→x0
g(x) = M. Entonces:
i. lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = L + M.
ii. lim
x→x0
(αf(x)) = αL; para todo α ∈ R.
iii. Si m = 1, lim
x→x0
(f(x)g(x)) = LM.
iv. Si m = 1, lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
L
M
; siempre que M = 0.
Otros teoremas de límites sobre funciones de variable real son válidos para fun-
ciones de varias variables, siempre que el argumento pueda ser sustituido adecuada-
mente por una sola variable.
Denición 2.2.5 (Continuidad) Sea f una función de Ω ⊂ Rn
en Rm
.
Sea x0 ∈ Ω. f es continua en x0 si y sólo si:
∀ε 0 ∃δ 0 ∀x ∈ Ω, x ∈ B(x0; δ) ⇒ f(x) ∈ B(f(x0); ε).
Para x0 punto de acumulación de Ω, esto equivale a que lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Teorema 2.2.3 Sean las funciones f, g : Ω ⊂ Rn
en Rm
continuas en x0. Entonces:
i. La combinación lineal αf + βg es continua en x0; α, β ∈ R.
ii. Si m = 1, fg es continua en x0.
iii. Si m = 1,
f
g
es continua en x0, siempre que g(x0) = 0.
Teorema 2.2.4 Sean las funciones f : Ω ⊂ Rn
en Rp
, g : U ⊂ Rp
en Rm
tales que
g of existe, f es continua en x0 y g es continua en f(x0). Entonces g of es continua
en x0.
Corolario 2.2.1 Las funciones escalares: polinómicas, exponenciales, trigonométri-
cas, racionales y sus respectivas inversas, son continuas en su dominio.
27

Ejemplo 2.2.4 f(x, y, z) =
cos(x)
ey + ez
es continua en R3
.
Ejemplo 2.2.5 Determine si las siguientes funciones son continuas en R2
.
a. f(x, y) =



xy
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
b. f(x, y) =



ysen(xy)
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
c. f(x, y) =



sen(x2
+ y2
)
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
Una forma de determinar si una función no tiene límite en un punto x0, y con-
secuentemente no es continua en dicho punto, es encontrar una sucesión de puntos
en Ω que converja a x0 pero la sucesión de imágenes no converge a L.
Ejemplo 2.2.6 Demuestre que las siguientes funciones no son continuas en (0, 0).
a. f(x, y) =



xy
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
b. f(x, y) =



xy2
x2 + y4
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
Con coordenadas polares también puede analizarse la existencia del límite en el
punto (0, 0) pues si x → (0, 0) esto equivale a que r → 0 independientemente del
valor θ. Verique los ejemplos anteriores empleando coordenadas polares.
Al igual que en funciones de variable real, se dice que la discontinuidad es evitable
en un punto si el límite existe en dicho punto, pero si el límite no existe entonces la
discontinuidad es esencial o inevitable.
28

Ejemplo 2.2.7 Determine de ser posible A ∈ R tal que las siguientes funciones
sean continuas en todo su dominio.
a. f(x, y) =



sen(5(x2
+ y2
))
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
A ; (x, y) = (0, 0)
b. f(x, y) =



1 − ex2+y2
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
A ; (x, y) = (0, 0)
c. f(x, y) =



4 − x2 − y2 ; x2
+ y2
4
A ; x2
+ y2
4
d. f(x, y) =



xcos
1
y
; y = 0
A ; y = 0
e. f(x, y) =



xy2
x2 + y4
; (x, y) = (0, 0)
A ; (x, y) = (0, 0)
f. f(x, y) =



2x
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
A ; (x, y) = (0, 0)
Para el caso de funciones vectoriales, se analiza el límite en cada componente escalar
y el vector límite existe si y sólo si cada componente escalar tiene límite.
Similarmente, para la continuidad se emplea el siguiente teorema.
Teorema 2.2.5 Una función vectorial f es continua en x0 si y sólo si cada una de
sus componentes escalares es continua en x0.
De aquí, el estudio del límite y la continuidad de funciones vectoriales de Rn
, se
reduce al de funciones escalares.
Ejemplo 2.2.8 Determine si las siguientes funciones son continuas en su dominio:
a. f(t) = (1 − 2t, et
, cos(t)); t ∈ R
29

b. f(x, y, z) = (2xy, x2
+ z2
, y + ln(z2
+ 1)); (x, y) ∈ R2
c. f(x, y) =



xy
x2 + y2
,
sen x2 + y2
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
(0, 1) ; (x, y) = (0, 0)
d. f(x, y) =



x
x2 + y2
, 1 ; (x, y) = (0, 0)
(0, 1) ; (x, y) = (0, 0)
2.3. Derivabilidad y Diferenciabilidad
Denición 2.3.1 (Derivada Parcial) Sea la función f : Ω ⊂ Rn
→ R, donde
Ω es abierto en Rn
. Sea x0 ∈ Ω. Se dene la derivada parcial de f respecto a la
j−ésima variable en el punto x0, denotada por
∂f
∂xj
(x0), como:
∂f
∂xj
(x0) = lim
t→0
f(x0 + tej) − f(x0)
t
, si y sólo si el límite existe.
Obs. ej denota el vector canónico en Rn
correspondiente a la j-ésima posición.
Ejemplo 2.3.1 Empleando la denición de límite, determine las derivadas parciales
de las siguientes funciones escalares en el punto x0 dado.
a. f(x, y) = 4 − x2
− y2
; x0 = (1, −2).
b. f(x, y) =



xy2
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
; x0 = (0, 0).
c. f(x, y) =



xy2
x2 + y4
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
; x0 = (0, 0).
d. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2; x0 = (0, 0, 0).
Notemos que de estos ejemplos, se deduce que no existe relación alguna entre la
continuidad y la existencia de las derivadas parciales.
30

2.3. DERIVABILIDAD Y DIFERENCIABILIDAD
Otra observación importante del ejemplo a. es que las derivadas parciales se
reducen al cálculo de las derivadas en una variable jando las restantes, es decir,
considerándolas como constantes.
Corolario 2.3.1 Las funciones elementales y las operaciones entre funciones deri-
vables parcialmente, también son derivables parcialmente en su dominio, empleando
los teoremas de derivación para funciones de variable real.
Ejemplo 2.3.2 Determine las derivadas parciales de las siguientes funciones esca-
lares y especique en qué dominio son válidas dichas expresiones.
a. f(x, y) = sen(x + y) − exy
; (x, y) ∈ R2
b. f(x, y, z) = xyz2
+ x2 + y2 + z2; (x, y, z) ∈ R3
c. f(x, y) = x1/3
y1/3
; (x, y) ∈ R2
Ejemplo 2.3.3 Para la función f(x, y) =



xy2
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
, determine
la regla de correspondencia de las funciones
∂f
∂x
y
∂f
∂y
en R2
.
Denición 2.3.2 Se dice que f es continuamente diferenciable en Ω o de clase C1
en Ω, si todas sus derivadas parciales son continuas en Ω. Particularmente diremos
que f es de clase C1
en x0, si las derivadas parciales son continuas en una vecindad
de x0.
Ejemplo 2.3.4 Determine si las funciones de los dos ejemplo precedentes, son de
clase C1
en su dominio.
Denición 2.3.3 (Matriz Derivada o Jacobiana) Sea la función
f : Ω ⊂ Rn
→ Rm
, donde Ω es abierto en Rn
. Sea x0 ∈ Ω.Se dene la matriz
derivada o la jacobiana en el punto x0, denotada por Df(x0), a la matriz dada por:
∂fi
∂xj
(x0)
ij
; 1 i m; 1 j n, si y sólo si cada componente existe.
31

Ejemplo 2.3.5 Calcule Df(x0) si:
a. f(x, y) = (2xy, x2
− 2y, x + ey
); (x, y) ∈ R2
; x0 = (2, 1).
b. f(x, y) =



xy2
x2 + y4
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
; x0 = (0, 0).
c. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2; (x, y) ∈ R3
; x0 = (0, 0, 0).
Denición 2.3.4 (Derivada Direccional) Sea la función f : Ω ⊂ Rn
→ R, don-
de Ω es abierto en Rn
. Sea x0 ∈ Ω y sea v ∈ Rn
un vector con v = 1. Se dene
la derivada direccional de f respecto a la dirección v, en el punto x0, denotada por
∂f
∂v
(x0), como:
∂f
∂v
(x0) = lim
t→0
f(x0 + tv) − f(x0)
t
, si y sólo si el límite existe.
Diremos que f es derivable en x0 si existen todas las derivadas direccionales en
x0.
Ejemplo 2.3.6 Calcular la derivada direccional de f(x, y) = 4 − x2
− 3y en
x0 = (1, 2), en la dirección de 2i − 3j.
Ejemplo 2.3.7 Calcular todas las derivadas direccionales de:
f(x, y) =



xy2
x2 + y4
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
; en el punto x0 = (0, 0).
Denición 2.3.5 (Diferenciabilidad) Sea la función f : Ω ⊂ Rn
→ Rm
, donde
Ω es abierto en Rn
. Se dice que f es diferenciable en x0 ∈ Ω, si y sólo si:
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h
h
= 0;
donde h es el vector incremento del dominio dado por h = x − x0.
Ejemplo 2.3.8 Empleando la denición, determine si las siguientes funciones son
diferenciables en el punto dado.
a. f(x, y) = 1 − x2
+ xy; x0 = (1, −1).
32

b. f(x, y) =



xy2
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
; x0 = (0, 0).
c. f(x, y) =



xy2
x2 + y4
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
; x0 = (0, 0).
Corolario 2.3.2 Las funciones elementales y las operaciones entre funciones dife-
renciables, son diferenciables en su dominio.
Por ejemplo, la función f(x, y) = cos(xy) + x2
y3
es diferenciable en R2
.
En las funciones del ejercicio anterior, notemos que en (x, y) = (0, 0) son dife-
renciables por ser el cociente de funciones escalares diferenciables. Sin embargo, en
el origen debe emplearse la denición de límite.
Teorema 2.3.1 Sea la función f : Ω ⊂ Rn
→ Rm
.
Sea x0 ∈ Ω. f es diferenciable en x0 si y sólo si cada componentes escalar de f es
diferenciable en x0.
Por ejemplo, la función f(x, y) = (xsen(y), y2
ex
, x + y) es diferenciable en R2
porque cada componente escalar de la imagen lo es.
Teorema 2.3.2 (Derivada de la función Compuesta) Sean las funciones
f : Ω ⊂ Rn
→ Rp
, g : U ⊂ Rp
→ Rm
tales que gof existe. Si f es diferenciable en
x0 y g es diferenciable en f(x0), entonces gof es diferenciable en x0 y la Jacobiana
D(gof)(x0) = Dg(f(x0))Df(x0).
Demostración:
Mostraremos que lim
h→0
(gof)(x0 + h) − (gof)(x0) − Dg(f(x0))Df(x0)h
h
= 0.
(gof)(x0 + h) − (gof)(x0) − Dg(f(x0))Df(x0)h =
33

Dg(f(x0)) [f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h] +
f(x0 + h) − f(x0)
g(f(x0 + h)) − g(f(x0)) − Dg(f(x0))(f(x0 + h) − f(x0)
f(x0 + h) − f(x0)
Dividimos para h ambos miembros:
(gof)(x0 + h) − (gof)(x0) − Dg(f(x0))Df(x0)h
h
=
Dg(f(x0)) [f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h]
h
+
f(x0 + h) − f(x0)
h
g(f(x0 + h)) − g(f(x0)) − Dg(f(x0))(f(x0 + h) − f(x0))
f(x0 + h) − f(x0)
.
Por hipótesis, f es diferenciable en x0 y g es diferenciable en g(x0), por lo que
las fracciones correspondientes tienden al vector nulo cuando h → 0.
Armamos que
f(x0 + h) − f(x0)
h
está acotado cuando h → 0. En efecto,
f(x0 + h) − f(x0) = f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h + Df(x0)h
≤ f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h + Df(x0)h .
Es conocido que para A matriz de m × n y h ∈ Rn
existe una constante C 0
tal que Ah ≤ C h (Tarea).
Luego, f(x0 + h) − f(x0) ≤ f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h +C h .
Dividiendo para h y del hecho que f es diferenciable en x0, sigue que
f(x0 + h) − f(x0)
h
está acotada por C cuando h → 0.
Ejemplo 2.3.9 Considere las funciones g(x, y) = (x2
+ 1, y2
); (x, y) ∈ R2
y
f(u, v) = (u + v, u − v, v2
); (u, v) ∈ R2
. Determine D(fog) en el punto (1, 1) em-
pleando dos formas distintas.
34

Solución:
Una forma es usando el teorema.
La otra forma es haciendo la composición y luego calculando la Jacobiana en
términos de (x, y):
(fog)(x, y) = (x2
+ 1 + y2
, x2
+ 1 − y2
, y4
). La Jacobiana se obtiene con las
derivadas parciales respecto a x y a y, en cada componente escalar, evaluando
en el punto (1, 1).
Ejemplo 2.3.10 Dadas las funciones f(u, v, w) = (u2
+ v2
, cos(u − v), uv5
);
(u, v, w) ∈ R3
y g(x, y, z) = (ex2+y2
, x2
+3z4
); (x, y, z) ∈ R3
. Determine de ser posible
D(gof) en (1, 1, 3).
2.3.1. Regla de la Cadena Generalizada
Si f es escalar y diferenciable en las variables (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn
y cada xi
es diferenciable en las variables (u1, u2, ..., um) ∈ Rm
; 1 ≤ i ≤ n, entonces f es
diferenciable en (u1, u2, ..., um) y
∂f
∂uj
=
∂f
∂x1
∂x1
∂uj
+
∂f
∂x2
∂x2
∂uj
+ ... +
∂f
∂xn
∂xn
∂uj
; para
cada 1 ≤ i ≤ m (*).
La deducción de esta expresión es a partir del teorema de la Regla de la Cadena,
notemos que f : Ω ⊂ Rn
→ R depende indirectamente de (u1, u2, ..., um).
Podemos denir g : Rm
→ Rn
dada por g(u1, u2, ..., um) = (x1, x2, ..., xn) y lo que se
requiere calcular es la Jacobiana de fog para mostrar la expresión (*).
Ejemplo 2.3.11 Sea f diferenciable en (x, y) ∈ R2
. Si x = r cos(θ) ; y = r sen(θ);
donde (r, θ) son las variables del sistema polar, determine una expresión para
∂f
∂r
y
otra para
∂f
∂θ
.
Ejemplo 2.3.12 Sea z = f(x2
+ y2
, x2
− y2
) diferenciable en R2
. Determine una
expresión para y
∂z
∂x
+ x
∂z
∂y
.
Ejemplo 2.3.13 Transformar la ecuación diferencial:
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
=
1
(1 + x2 + y2)2
; (x, y) ∈ R2
al sistema polar.
35

2.4. Teoremas sobre diferenciabilidad
→ Rm
.
Sea x0 ∈ Ω. Si f es diferenciable en x0, entonces f es continua en x0 y todas las
derivadas direccionales de f existen en x0.
Ejemplo 2.4.1 La función f(x, y) = (xcos(y), ex−y
, x + y) es diferenciable en R2
,
por tanto es continua y existen todas sus derivadas direccionales en todo x0 ∈ R2
.
Este teorema es unidireccional tal como lo ilustra el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2.4.2 Dada la función f(x, y) =



xy
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
. Demues-
tre que esta función es continua en (0, 0) y que todas las derivadas direccionales
existen en este punto, pero la función no es diferenciable en dicho punto.
→ Rm
.
Sea x0 ∈ Ω. Si f es de clase C1
en x0, entonces f es diferenciable en x0.
Ejemplo 2.4.3 La función f(x, y) = (xcos(y), ex−y
, x + y) es de clase C1
en R2
,
por tanto es diferenciable en todo x0 ∈ R2
.
Este teorema tambien es unidireccional tal como lo ilustra el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2.4.4 Dada la función f(x, y) =



(x2
+ y2
)sen
1
x2 + y2
; x2
+ y2
= 0
0 ; x2
+ y2
= 0
.
Demuestre que esta función es diferenciable en (0, 0), pero no es de clase C1
en este
punto.
Teorema 2.4.3 (Teorema de la derivada direccional) Sea la función
f : Ω ⊂ Rn
→ R con Ω abierto en Rn
. Sea x0 ∈ Ω. Si f es diferenciable en x0 y
v ∈ Rn
es una dirección unitaria, entonces
∂f
∂v
(x0) = Df(x0)v.
36

2.4. TEOREMAS SOBRE DIFERENCIABILIDAD
Demostración:
Por denición,
∂f
∂v
(x0) = lim
t→0
f(x0 + tv) − f(x0)
t
.
Notemos que f(x0 +tv)−f(x0) = f(x0 +tv)−f(x0)−Df(x0)(tv)+Df(x0)(tv).
Dividimos para t = 0 y separamos sumandos:
f(x0 + tv) − f(x0)
t
=
f(x0 + tv) − f(x0) − Df(x0)(tv)
t
+
Df(x0)(tv)
t
=
f(x0 + tv) − f(x0) − Df(x0)(tv)
t v
+ Df(x0)(v).
Tomando límite t → 0 y dado que f es diferenciable en x0 se sigue el resultado.
Ejemplo 2.4.5 Calcular la derivada direccional de f(x, y) = 4−x2
−3y en el punto
x0 = (1, 2), a lo largo de la dirección 2i − 3j.
Ejemplo 2.4.6 Determine de ser posible las direcciones donde f(x, y) = 2−x2
−3y2
,
tiene variación nula en el punto (−1, 1).
Denición 2.4.1 (Gradiente de un campo escalar) Sea la función escalar
f : Ω ⊂ Rn
. Sea x0 ∈ Ω. Se dene el vector gradiente de
f en x0 como:
f(x0) =
∂f
∂x1
(x0);
∂f
∂x2
(x0); ...;
∂f
∂xn
(x0) ; si y sólo si cada componente existe.
Con esta denición, si f es diferenciable en x0, sigue que
∂f
∂v
(x0) = f(x0) · v.
Teorema 2.4.4 (Teorema de la máxima variación de un campo escalar) Sea
el campo escalar f : Ω ⊂ Rn
. Sea x0 ∈ Ω. Si f es dife-
renciable en x0, entonces la máxima variación de f en x0 apunta en la dirección de
f(x0) y dicha variación es f(x0) .
37

Ejemplo 2.4.7 Determine la máxima variación de los siguientes campos escalares
en el punto dado y especique en que dirección ocurre dicha variación.
a. f(x, y) = 1 − 2x2
− y2
; (x, y) ∈ R2
; x0 = (2, 1).
b. f(x, y, z) = x2
+ 3y2
+ cos(πz); (x, y, z) ∈ R3
; x0 = (1, −1, 1).
Ejemplo 2.4.8 Para las funciones anteriores determine la dirección donde ocurre
la mínima variación de f en el punto dado.
2.5. Teorema de la Derivada Implícita
El problema de la función implícita surge con ecuaciones de la forma F(x, z) = 0,
donde x es el vector independiente y z es el vector dependiente. Por diversas circuns-
tancias, esta es la relación conocida entre x y z, además de un vector (x0, z0) que
satisface le relación F. Se espera que bajo ciertas condiciones, exista una función
diferenciable explícita φ tal que z = φ(x) en alguna vecindad abierta V de x0 y que
la matriz derivada de φ pueda calcularse en x0 a partir de F.
En este caso emplearemos la notación DFz y DFx para indicar que la primera
matriz se obtiene con las derivadas parciales de F respecto al vector z y la segunda
se obtiene con las derivadas parciales de F respecto al vector x. Mientras que en una
relación explícita z es el vector dependiente y x es el independiente, en F no existe
tal distinción y por tanto F es considerada una función de (x, z), es decir, todas las
variables son tratadas como independientes en F.
Ejemplo 2.5.1 Sea el sistema de ecuaciones



2x2
1 + x3
2z1 + z2x3 = 0
x1x2 + x1z2 − z1z2 + x3 = 0
;
donde (z1, z2) es función de (x1, x2, x3). Identique la función implícita F y escriba
las matrices DFz y DFx.
Solución:
Construimos la función
38

2.5. TEOREMA DE LA DERIVADA IMPLÍCITA
F(x1, x2, x3, z1, z2) = (2x2
1 +x3
2z1 +z2x3, x1x2 +x1z2 −z1z2 +x3) = (F1, F2) = (0, 0).
En este caso F es una función de cinco variables (dos de ellas dependientes de
las otras tres) con dos componentes escalares en la imagen, F1 y F2.
Por la notación dada, DFx es una matriz de 2 × 3 y DFz es una matriz de 2 × 2,
que se calculan como cualquier Jacobiana:
DFx =






∂F1
∂x1
∂F1
∂x2
∂F1
∂x3
∂F2
∂x1
∂F2
∂x2
∂F2
∂x3






=


4x1 3x2
2z1 z2
x2 + z2 x1 1


DFz =






∂F1
∂z1
∂F1
∂z2
∂F2
∂z1
∂F2
∂z2






=


x3
2 x3
−z2 x1 − z1


Ejemplo 2.5.2 Un caso particular de función implícita es cuando F es escalar y z
también es escalar dependiente de (x1, x2, ..., xn). En este caso F(x1, x2, ..., xn, z) es
función de n+1 variables; DFx es una matriz de 1×n y DFz es una matriz de 1×1.
Por ejemplo, suponga que x2
+ xyz2
− sen(yz) − 1 = 0 y que z depende de (x, y). Se
puede denir F(x, y, z) = x2
+ xyz2
− sen(yz) − 1 = 0, F es función escalar de tres
variables y la variable dependiente z también es escalar. Un punto que satisface la
ecuación es (1, 3, 0). Un pregunta de interés es si existen
∂z
∂x
y
∂z
∂y
en dicho punto.
A continuación enunciaremos y aplicaremos un teorema que bajo ciertas hipóte-
sis, permite hallar la matriz derivada de z en un punto x0, aunque no se conozca la
función explícita entre estas variables.
Teorema 2.5.1 Sean Ω ⊂ Rn
y U ⊂ Rm
abiertos. Sea F : Ω×U → Rm
una función
de clase C1
en Ω × U. Supongamos que (x0, z0) ∈ Ω × U es tal que F(x0, z0) = 0 y
que la matriz de m × m DFz(x0, z0) es invertible.
39

Entonces existen un abierto V ⊂ Ω tal que x0 ∈ V y una única función φ : V → U
de clase C1
en V tal que F(x, φ(x)) = 0 para todo x ∈ V .
Además, Dφ(x0) = −(DFz(x0, z0))−1
DFx(x0, z0).
Ejemplo 2.5.3 Probar que las ecuaciones



2x + y + 2z + u − v − 1 = 0
xy + z − u + 2v − 1 = 0
yz + xz + u2
− v = 0
denen
cerca de (u, v, x, y, z) = (1, 1, −1, 1, 1) una función φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).
Luego, determine Dφ(1, 1)
Ejemplo 2.5.4 Consideremos el sistema de ecuaciones



x2
y − x5
ty + 3(t2
− 1) = 0
x3
y2
− 4xt2
y + 3t5
= 0
,
el cual representa la posición (x, y) de una partícula en el plano en función del tiempo
t. Determine la velocidad en cada dimensión en el instante t = 1 cuando la posición
es (1, 1).
Ejemplo 2.5.5 Sea f(x1, x2, ..., xn, z) = 0 tal que z es función de (x1, x2, ..., xn).
Bajo las hipótesis del Teorema anterior, obtenga una expresión general para
∂z
∂xj
;
1 ≤ j ≤ n, en el punto (x0, z0).
Ejemplo 2.5.6 Utilice de ser posible, las expresiones obtenidas en el ejemplo pre-
cedente para calcular
∂z
∂x
,
∂z
∂y
, si se conoce que x2
+xyz2
−sen(yz)−1 = 0 y (1, 3, 0)
satisface la ecuación.
Ejemplo 2.5.7 Sea u = f(x, y, z) tal que exyzu
−tan(x2
+y2
)+zu3
= 9. Determine
la máxima variación de f en el punto (0, 0, 1).
2.6. Derivadas de Orden Superior
Para un campo escalar f denido en Ω ⊂ Rn
, se denen las derivadas de orden
superior k, con k ≥ 2, a las siguientes derivadas:
40

2.6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Iteradas o sucesivas respecto a la variable xj :
∂k
f
∂xk
j
=
∂
∂xj
∂k−1
f
∂xk−1
j
Mixtas o cruzadas respecto a cada variable:
∂n
f
∂xn...∂x2∂x1
=
∂
∂xn
∂n−1
f
∂xn−1...∂x2∂x1
Cualquier otra permutación de las variables, por ejemplo,
∂k
f
∂xk−3
n ∂x2∂x2
1
=
∂
∂xn
∂k−1
f
∂xk−4
n ∂x2∂x2
1
, cumple que la suma de las órdenes de cada
variable es igual a k.
Para funciones cuyas derivadas sucesivas siguen siendo derivables parcialmente,
se emplean los teoremas de variable real. En puntos donde se requiera emplear la
denición de límite, se deberá contar con la respectiva derivada precedente denida
en el punto y en una vecindad del punto.
Ejemplo 2.6.1 Dada la función f(x, y) = exy2
+ sen(y); (x, y) ∈ R2
, calcular:
a.
∂2
f
∂x2
b.
∂2
f
∂y2
c.
∂2
f
∂y∂x
d.
∂2
f
∂x∂y
Ejemplo 2.6.2 Dada f(x, y) =



x3
y − y3
x
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
0 ; (x, y) = (0, 0)
, calcular
∂2
f
∂x2
(0, 0);
∂2
f
∂y∂x
(0, 0).
Denición 2.6.1 Diremos que f : Ω ⊂ Rn
→ R es k−veces continuamente diferen-
ciable en Ω o es de clase Ck
en Ω, si todas sus derivadas de orden k son continuas
en Ω. Si f es vectorial cada componente escalar de f debe ser de clase Ck
en Ω.
Teorema 2.6.1 Sea f : Ω ⊂ Rn
→ R un campo escalar, con Ω abierto en Rn
. Sea
x0 ∈ Ω. Si f es de clase Cn
(n veces continuamente diferenciable) en x0, entonces
las derivadas mixtas de orden n son todas iguales en x0. Es decir,
∂n
f
∂xn...∂x2∂x1
(x0) =
∂n
f
∂xn...∂x1∂x2
(x0) = ... =
∂n
f
∂x1...∂xn−1∂xn
(x0).
Obs. 1 Existen n! derivadas mixtas de orden n.
41

Obs. 2 La demostración de este teorema se basa en la hipótesis y la aplicación
reiterada del Teorema de Clairaut (Tarea).
Obs. 3 Para n = 2 este teorema se conoce como el Teorema de Schwarz (Hermann
Amandus Schwarz).
Denición 2.6.2 (Matriz Hessiana) Sea f : Ω ⊂ Rn
→ R un campo escalar, con
Ω abierto en Rn
. Se dene la matriz Hessiana de f en x0, denotada por Hf(x0), a
la matriz dada por:
Hf(x0) =














∂2
f
∂x2
1
∂2
f
∂x2∂x1
...
∂2
f
∂xn∂x1
∂2
∂x1∂x2
∂2
f
∂x2
2
...
∂2
f
∂xn∂x2
: : ... :
∂2
f
∂x1∂xn
∂2
f
∂x2∂xn
...
∂2
f
∂x2
n














|x0
si y sólo si cada componente existe.
Obs. Por el teorema precedente, si f ∈ C2
en x0, Hf(x0) es simétrica.
Ejemplo 2.6.3 Calcular la matriz Hessiana de f(x, y, z) = x2
y + exyz
− z2
en el
punto (1, 0, 1).
2.6.1. Ejercicios de orden superior con Regla de la Cadena
Ejemplo 2.6.4 Sean f, g escalares de clase C2
en R2
. Si z = f(x, αy) + g(x, −αy),
demuestre que bajo ciertas condiciones se tiene que
∂2
z
∂x2
=
1
α2
∂2
z
∂y2
; α = 0.
Ejemplo 2.6.5 Sea z = f(x2
+y2
, x2
−y2
) un campo escalar denido en R2
. Obtenga
una expresión para
∂2
z
∂x2
+
∂2
z
∂y2
empleando sustituciones adecuadas.
Ejemplo 2.6.6 Si f es un campo escalar de clase C2
en todo (x, y) ∈ R2
, transforme
∂2
f
∂x2
+
∂2
f
∂y2
al sistema de coordenadas polares.
42

2.6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Solución: Sabemos que x = rcos(θ); y = rsen(θ). Por regla de la cadena,
∂f
∂r
=
∂f
∂x
∂x
∂r
+
∂f
∂y
∂y
∂r
=
∂f
∂x
cosθ +
∂f
∂y
senθ
∂f
∂θ
=
∂f
∂x
∂x
∂θ
+
∂f
∂y
∂y
∂θ
=
∂f
∂x
(−rsenθ) +
∂f
∂y
(rcosθ)
Por derivada de orden superior con respecto a r,
∂2
f
∂r2
=
∂
∂r
∂f
∂r
=
∂
∂r
∂f
∂x
cosθ +
∂f
∂y
senθ =
∂
∂r
∂f
∂x
cosθ +
∂
∂r
∂f
∂y
senθ
=
∂2
f
∂x2
∂x
∂r
+
∂2
f
∂y∂x
∂y
∂r
cosθ +
∂2
f
∂y2
∂y
∂r
+
∂2
f
∂x∂y
∂x
∂r
senθ
=
∂2
f
∂x2
cosθ +
∂2
f
∂y∂x
senθ cosθ +
∂2
f
∂y2
senθ +
∂2
f
∂x∂y
cosθ senθ
=
∂2
f
∂x2
cos2
θ +
∂2
f
∂y∂x
senθcosθ +
∂2
f
∂y2
sen2
θ +
∂2
f
∂x∂y
cosθsenθ
=
∂2
f
∂x2
cos2
θ +
∂2
f
∂y2
sen2
θ + 2
∂2
f
∂y∂x
senθcosθ. (*)
Con respecto a θ,
∂2
f
∂θ2
=
∂
∂θ
∂f
∂θ
=
∂
∂θ
−
∂f
∂x
rsenθ +
∂f
∂y
rcosθ = −r
∂
∂θ
∂f
∂x
senθ +r
∂
∂θ
∂f
∂y
cosθ
= −r
∂
∂θ
∂f
∂x
senθ −
∂f
∂x
rcosθ + r
∂
∂θ
∂f
∂y
cosθ + r
∂f
∂y
(−senθ)
= −
∂2
f
∂x2
∂x
∂θ
+
∂2
f
∂y∂x
∂y
∂θ
rsenθ+
∂2
f
∂x∂y
∂x
∂θ
+
∂2
f
∂y2
∂y
∂θ
rcosθ−r
∂f
∂x
cosθ +
∂f
∂y
senθ
= −
∂2
f
∂x2
(−rsenθ) +
∂2
f
∂y∂x
rcosθ rsenθ +
∂2
f
∂x∂y
(−rsenθ) +
∂2
f
∂y2
rcosθ rcosθ
−r
∂f
∂r
= r2 ∂2
f
∂x2
sen2
θ −
∂2
f
∂y∂x
cosθsenθ + r2
−
∂2
f
∂x∂y
senθcosθ +
∂2
f
∂y2
cos2
θ − r
∂f
∂r
43

= r2 ∂2
f
∂x2
sen2
θ + r2 ∂2
f
∂y2
cos2
θ − 2r2 ∂2
f
∂y∂x
cosθsenθ − r
∂f
∂r
. (**)
De (*) y (**) sigue que r2 ∂2
f
∂r2
+
∂2
f
∂θ2
= r2 ∂2
f
∂x2
+ r2 ∂2
f
∂y2
− r
∂f
∂r
.
Por tanto,
∂2
f
∂x2
+
∂2
f
∂y2
=
∂2
f
∂r2
+
1
r2
∂2
f
∂θ2
+
1
r
∂f
∂r
.
2.7. Aplicaciones
2.7.1. Aproximaciones de 1er Orden
Para una función f : Ω ⊂ Rn
→ Rm
diferenciable en x0 ∈ Ω, se verica que
f(x0 + h) = f(x0) + Df(x0)h + R1(h), donde R1(h) = f(x0 + h) − f(x0) − Df(x0)h
satisface lim
h→0
R1(h)
h
= 0.
Si h = x − x0 también se puede escribir f(x) = f(x0) + Df(x0)(x − x0) + R1(x).
A la expresión Df(x0)h se la denomina diferencial de primer orden de f en
x0 y para pequeños incrementos (h → 0 o x → x0), se verica que
f(x0 + h) ≈ f(x0) + Df(x0)h y también que f(x0 + h) − f(x0) ≈ Df(x0)h, esto
es, Df(x0)h aproxima la diferencia f(x0+h)−f(x0), similar que en una variable real.
La expresión g(x) = f(x0) + Df(x0)h se denomina la aplicación afín de f en
el punto x0. Es de recordar que para el caso de funciones implícitas, de acuerdo a
lo mostrado con el Teorema de la Función Implícita, se puede hallar las derivadas
parciales de f en forma implícita para conformar Df(x0).
Recordemos que si f es escalar, Df(x0)h = f(x0) y la correspondiente aplica-
ción afín la podemos escribir como g(x) = f(x0) + f(x0) · h.
Ejemplo 2.7.1 Aproxime la variación del volumen de una caja rectangular de di-
mensiones 5, 7, 12cm, si la primera y segunda dimensión aumentan en 3 y 2mm,
44

2.7. APLICACIONES
respectivamente, mientras la tercera disminuye en 1mm. Luego calcule el valor exac-
to de la variación y compare ambos resultados.
Ejemplo 2.7.2 Demostrar que el error relativo de un producto de números positivos
es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de sus factores.
Ejemplo 2.7.3 Con una aproximación de primer orden, estime 0,983,01
.
2.7.2. Fórmulas de Taylor de 1er y de 2do Orden
→ R de clase Cm
(Ω). Sea x0 ∈ Ω y sea
h ∈ Rn
tal que x0 + h ∈ Ω. Entonces f admite la expansión polinomial:
De primer orden: f(x0 + h) = f(x0) + f(x0) · h + R1(h), si m = 1.
De segundo orden: f(x0 + h) = f(x0) + f(x0) · h +
1
2
Hf(x0)h · h + R2(h), si
m = 2.
Además R1(h) y R2(h) satisfacen lim
h→0
R1(h)
h
= 0; lim
h→0
R2(h)
h 2
= 0 Es decir,
para h → 0, se verica que
f(x0 + h) ≈ f(x0) + f(x0) · h
f(x0 + h) ≈ f(x0) + f(x0) · h +
1
2
Hf(x0)h · h
Ejemplo 2.7.4 Estime 0,983,01
con una aproximación de Taylor de primer y de
segundo orden, respectivamente.
Ejemplo 2.7.5 Escriba la Fórmula de Taylor de 2do orden del campo escalar
f(x, y, z) = x2
y+zcos(y) en el punto (1; 0; −1) y utilice esta fórmula para aproximar
f(0, 97; 0, 02; −0,95).
Ejemplo 2.7.6 Dada la ecuación x2
+ xyz2
− sen(yz) − 1 = 0, verique que el
punto (1, 3, 0) la satisface y que z puede expresarse como variable dependiente de
(x, y) mediante una función de clase C1
en alguna vecindad del punto. En este caso,
escriba la Fórmula de Taylor de 1er orden de z en (1, 3).
45

2.7.3. Plano tangente a una supercie
De lo estudiado anteriormente, sabemos que si f es un campo escalar de dos
variables, diferenciable en algún punto interior (x0, y0) de su dominio, f admite una
aplicación afín en (x0, y0), la cual verica:
f(x, y) ≈ g(x, y) = f(x0, y0) + f(x0, y0) · (x − x0, y − y0).
Para este mismo campo escalar sabemos que su gráco es el conjunto de puntos
{(x, y, z) ∈ R3
/(x, y) ∈ domf ∧ z = f(x, y)}.
Sea z = g(x, y) = f(x0, y0) + f(x0, y0) · (x − x0, y − y0)
= f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0).
Podemos escribir fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) − (z − f(x0, y0)) = 0.
Notemos que esto representa la ecuación general de un plano con vector normal
n = (fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) que contiene al punto P0(x0, y0, f(x0, y0)), es decir,
un plano que interseca la gráca de f en dicho punto.
Por la diferenciabilidad de f en (x0, y0), sigue que este plano aproxima a f en
una vecindad cercana a (x0, y0). Además diremos que la gráca de f es suave en
P0. De aquí surgen las siguientes deniciones.
Denición 2.7.1 Sea la función escalar f : Ω ⊂ R2
→ R con Ω abierto. Sea
x0 ∈ Ω. Si f es diferenciable en x0 se dene el plano tangente a la gráca de f en
el punto P0(x0, y0, f(x0, y0)), al plano con vector normal (fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) y
que contiene P0.
Denición 2.7.2 La recta normal a la gráca de f en el punto P0, como la recta
con vector director (fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1) y que contiene a P0
46

2.7. APLICACIONES
El ángulo que forman dos supercies suaves en un punto común P0, se dene
como el ángulo que formas sus dos planos tangentes en P0.
Para el caso de supercies de nivel o grácas de funciones dadas en forma implí-
cita mediante la ecuación F(x, y, z) = 0, que satisfacen las hipótesis del teorema de
la función implíca, también es válida la siguiente expresión para calcular el vector
normal del plano tangente.
n = (Fx(x0, y0, z0), Fy(x0, y0, z0), Fz(x0, y0, z0)); donde z0 = f(x0, y0).
Ejemplo 2.7.7 Determine de ser posible la ecuación del plano tangente a la gráca
de f(x, y) = 4 − x2
− y2
; (x, y) ∈ R2
, en el punto (1, 1, 2).
Ejemplo 2.7.8 Dada f(x, y) =



sen(x2
+ y2
)
x2 + y2
; (x, y) = (0, 0)
1 ; (x, y) = (0, 0)
. Determine de ser
posible la ecuación del plano tangente a su gráca en el punto (0, 0).
Ejemplo 2.7.9 Dada la función f(x, y, z) = x2
+ 2y2
+ 3z2
; (x, y, z) ∈ R3
. Con
respecto a la supercie de nivel de f, k = 12, determine de ser posible:
a. Los puntos de la supercie donde el plano tangente es paralelo al plano
x − 2y + 3z = 12.
b. Los puntos de la supercie donde el plano tangente es el plano x − 2y + 3z = 12.
c. Los puntos de la supercie donde la recta normal es paralela al eje Z.
47

Capítulo 3
Optimización de funciones escalares
de varias variables
Denición 3.0.1 (Extremos Relativos o Locales) Sea la función escalar
f : Ω ⊂ Rn
→ R. Sea x0 ∈ Int(Ω). Se dice que x0 es máximo relativo de f, si y sólo
si existe una bola abierta B(x0; δ) tal que f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ B(x0; δ).
Análogamente, se dice que x0 es mínimo relativo de f, si y sólo si existe una bola
abierta B(x0; δ) tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ B(x0; δ).
Si en la denición de extremos locales las desigualdades son estrictas para x = x0,
se dice que los extremos son estrictos.
Denición 3.0.2 (Punto crítico) Sea la función escalar f : Ω ⊂ Rn
→ R. Sea
x0 ∈ Int(Ω). Se dice que x0 es punto crítico de f, si y sólo si f no es diferenciable
en x0 ó si f es diferenciable en x0 y f(x0) = 0. En este último caso diremos que
x0 es un punto estacionario.
Denición 3.0.3 (Punto de silla) El punto estacionario x0 que no es mínimo
local ni máximo local, se dice que es un punto de silla.
Ejemplo 3.0.1 Las siguientes funciones tienen el punto crítico (x0, y0) dado.
a. f(x, y) = x2 + y2; (x, y) ∈ R2
; (x0, y0) = (0, 0).
b. f(x, y) = 1 − (x − 1)2
− y2
; (x, y) ∈ R2
; (x0, y0) = (1, 0).
49

CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS
VARIABLES
Al igual que en funciones de variable real, los puntos críticos son candidatos a
convertirse en extremos locales de la función pero de particular interés son aquellos
donde f es diferenciable y su gradiente se anula, por cuanto representan una condi-
ción necesaria del siguiente teorema.
Teorema 3.0.1 Sea la función escalar f : Ω ⊂ Rn
→ R con Ω abierto. Sea x0 ∈ Ω
un extremo relativo de f. Si f es diferenciable en x0, entonces f(x0) = 0.
Demostración (Caso mínimo relativo):
Por hipótesis, f(x0) ≤ f(x) para todo x en alguna bola abierta B(x0; δ).
Por denición,
∂f
∂xj
(x0) = lim
t→0
f(x0 + tej) − f(x0)
t
.
Tomemos t ∈ (−δ, δ). En este caso tenemos que x0 + tej − x0 =| t | δ. Por
tanto (x0 + tej) ∈ B(x0, δ). Esto implica que:
f(x0 + tej) − f(x0)
t
≥ 0, si 0 t δ.
f(x0 + tej) − f(x0)
t
≤ 0, si −δ t 0.
Tomando límite cuando t → 0+
y t → 0−
en cada caso, respectivamente, sigue
que
∂f
∂xj
(x0)+
≥ 0 y
∂f
∂xj
(x0)−
≤ 0.
Pero por hipótesis f es diferenciable en x0, entonces
∂f
∂xj
(x0) = 0. Esto es válido
para todo 1 ≤ j ≤ n, por tanto f(x0) = 0.
Similar demostración sigue para el máximo local.
50

Teorema 3.0.2 Sea la función escalar f : Ω ⊂ Rn
→ R con Ω abierto. Sea x0 ∈ Ω
un punto crítico de f. Si f es de clase C2
en x0, entonces:
i. Si Hf(x0) tiene únicamente valores propios positivos, x0 es un mínimo local
estricto de f.
ii. Si Hf(x0) tiene únicamente valores propios negativos, x0 es un máximo local
estricto de f.
iii. Si Hf(x0) tiene valores propios no nulos, negativos y positivos, x0 es un punto
de silla de f.
iv. Si Hf(x0) tiene algún valor propio nulo, el teorema no es concluyente.
Ejemplo 3.0.2 Para cada una de las siguientes funciones escalares, determine sus
puntos críticos y califíquelos como máximo relativo, mínimo relativo o punto de silla.
a. f(x, y) = 4 − x2
+ 2x − y2
− 6y; (x, y) ∈ R2
b. f(x, y) = log(x2
+ y2
+ 1); (x, y) ∈ R2
c. f(x, y) = x2
− y2
; (x, y) ∈ R2
d. f(x, y) = x2
+ 2xy + y2
− x3
+ y3
; (x, y) ∈ R2
Ejemplo 3.0.3 Sea la función f : Ω → R denida por
f(x, y) = sen(x)+sen(y)+cos(x+y) con Ω = (0, π)×(0, π). Determine sus puntos
críticos y evalúelos como extremos relativos o puntos de silla.
Ejemplo 3.0.4 Sea la función f : Ω → R denida por f(x, y, z) = x2
+ y + z2
con
Ω = R3
. Determine sus puntos críticos y evalúelos como extremos relativos o puntos
de silla.
Ejemplo 3.0.5 Determine si f(x, y) = 1 − (x2
+ y2
)
1
3 ; (x, y) ∈ R2
tiene extremos
locales.
Teorema 3.0.3 (Teorema del Valor Extremo) Sea f : D ⊂ Rn
→ R. Si f es
continua en D y D es compacto, entonces f alcanza su valor máximo absoluto y
mínimo absoluto en D.
51

VARIABLES
Procedimiento general para hallar los extremos absolutos:
1. Identicar los extremos locales en el Int(D).
2. Identicar los extremos absolutos en la Fr(D).
3. Comparar resultados y seleccionar los valores óptimos en D.
Ejemplo 3.0.6 Determine los extremos absolutos de f(x, y) = x2
+ y2
− x − y + 1
en D = {(x, y) ∈ R2
/x2
+ y2
≤ 1}.
Ejemplo 3.0.7 Determine las dimensiones de la caja rectangular de máximo volu-
men que puede inscribirse en la región limitada por 6x + 4y + 3z = 24 y los planos
coordenados.
3.1. Optimización con restricciones
Teorema 3.1.1 (Método de Lagrange) Sean las funciones f, g : Ω ⊂ Rp
→ R
con Ω abierto. Sean f y g de clase C1
en Ω. Sea c ∈ Ω.
Si c es un extremo relativo de f restringido a g, es decir, existe una vecindad V
de c tal que f(c) ≤ f(x)(f(c) ≥ f(x)), para todo x ∈ V con g(x) = 0, y Dg(c) = 0,
entonces existe λ ∈ R tal que Df(c) = λDg(c).
Para gi restricciones; 1 ≤ i ≤ m; existen λi ∈ R tal que Df(c) =
m
i=1
λiDgi(c).
Ejemplo 3.1.1 Determine los extremos de f(x, y) = x2
+ y2
− x − y + 1 sujeta a la
restricción x2
+ y2
= 1.
Recordemos que esta función fue estudiada anteriormente para hallar sus extre-
mos ABSOLUTOS en el círculo x2
+ y2
≤ 1. Cuando se la analizó en la frontera
(circunferencia) se obtuvieron los extremos absolutos en ella. Notemos que Lagran-
ge nos entrega los extremos relativos de f en la frontera del círculo, pero por la
compacidad de esta frontera se concluye que dichos extremos son absolutos.
52

3.1. OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
Ejemplo 3.1.2 Determine los puntos del plano 2x + 3y − z = 5 más cercanos al
origen.
Ejemplo 3.1.3 Determine las dimensiones de la caja rectangular de máximo volu-
men que puede inscribirse en la región limitada por 6x + 4y + 3z = 24 y los planos
coordenados.
Ejemplo 3.1.4 Determine los valores extremos del campo escalar
f(x, y, z) = x − y − z sujeto a las restricciones x2
+ 2y2
= 1 y 3x − 4z = 0
Ejemplo 3.1.5 Determine los extremos de f(x, y, z) = xy + z en la intersección de
las supercies x2
+ y2
+ z2
= 1 y x + y + z = 0.
Solución:
La función objetivo es f y llamemos a las restricciones
g1(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− 1(= 0); g2(x, y, z) = x + y + z(= 0).
Los gradientes respectivos son:
f(x, y, z) = (y, x, 1)
g1 = (2x, 2y, 2z)
g2 = (1, 1, 1)
Por condición necesaria del teorema de Lagrange sigue la igualdad:
(y, x, 1) = λ(2x, 2y, 2z) + µ(1, 1, 1)
⇒



(1) y = 2xλ + µ
(2) x = 2yλ + µ
(3) 1 = 2zλ + µ
(4) x2
+ y2
+ z2
= 1
(5) x + y + z = 0
De (1) y (2): y − x = 2λ(x − y) = −2λ(y − x)
⇒ (y − x)(1 + 2λ) = 0 ⇒ y = x ∨ λ = −
1
2
.
53

VARIABLES
Si y = x, reemplazamos en (4) y (5):
2x2
+ z2
= 1
2x + z = 0 ⇒ z = −2x
⇒ 2x2
+ 4x2
= 1 ⇒ 6x2
= 1 ⇒ x = ±
1
√
6
.
Utilizando las ecuaciones (1) y (3) ó (2) y (3), se puede hallar los valores de λ
y µ en R. Por tanto, este caso nos da dos puntos solución del sistema:
P1
1
√
6
,
1
√
6
, −
2
√
6
∧ P2 −
1
√
6
, −
1
√
6
,
2
√
6
Si λ = −
1
2
, reemplazamos en (1), (2) y (3):
y = −x + µ ⇒ y + x = µ
x = −y + µ ⇒ y + x = µ
1 = −z + µ ⇒ z = µ − 1
Reemplazamos estas últimas condiciones en (5):
µ + µ − 1 = 0 ⇒ µ =
1
2
⇒ z = −
1
2
∧ y =
1
2
− x
Reemplazamos estas nuevas condiciones en (4):
x2
+
1
2
− x
2
+
1
4
= 1 ⇒ x2
+
1
4
− x + x2
+
1
4
= 1 ⇒ 2x2
− x −
1
2
= 0
⇒ 4x2
− 2x − 1 = 0 ⇒ x =
2 ±
√
4 + 16
2 × 4
⇒ x =
2 ± 2
√
1 + 4
2 × 4
⇒ x =
1 ±
√
5
4
∧ y =
1
√
5
4
Por tanto, este caso nos da dos puntos solución adicionales:
P3
1 +
√
5
4
,
1 −
√
5
4
, −
1
2
∧ P4
1 −
√
5
4
,
1 +
√
5
4
, −
1
2
Dado que en este ejemplo, la intersección de las restricciones es un conjunto
compacto y f es continua, la función alcanza sus extremos en este conjunto. Ahora,
es suciente evaluar f en los cuatro puntos hallados y escoger el valor máximo y
mínimo absoluto, respectivamente.
54

Capítulo 4
Funciones Vectoriales
En este capítulo deniremos las funciones vectoriales de variable escalar y los
campos vectoriales. Estas funciones serán empleadas en los capítulos posteriores para
realizar algunas aplicaciones a nivel instrumental, tales como: cálculo de trabajo,
cálculo de integrales de línea escalar, cálculo de integrales de ujo, entre otras.
4.1. Funciones vectoriales de variable escalar
Denición 4.1.1 Sean f1, f2, · · · , fn n funciones de variable real, denidas en algún
intervalo I ⊂ R. Se dene r : I → Rn
dada por r(t) = (f1(t), f2(t), · · · , fn(t)) como
una función vectorial de variable vectorial t.
Particularmente, estudiaremos el caso n = 2 y n = 3 para representar curvas en
el plano y curvas en el espacio, respectivamente.
Circunferencia con centro en (h, k) y radio R orientada antireloj (+).
r(t) = (Rcos(t) + h, Rsen(t) + k); 0 ≤ t ≤ 2π.
Elipse con centro en (h, k) y semiejes a, b orientada antireloj (+).
r(t) = (acos(t) + h, bsen(t) + k); 0 ≤ t ≤ 2π.
Segmento de recta desde el punto (a1, b1) hasta el punto (a2, b2).
r(t) = (a1 + (a2 − a1)t, b1 + (b2 − b1)t); 0 ≤ t ≤ 1.
55

CAPÍTULO 4. FUNCIONES VECTORIALES
Hipociclode de 4 puntas (astroide).
r(t) = (a cos3
(t), a sen3
(t)); 0 ≤ t ≤ 2π.
Hélice circular con parámetros a, b 0.
r(t) = (acos(t), asen(t), bt); t ≥ 0.
Cúbica alabeada.
r(t) = (t, t2
, t3
); t ≥ 0.
Segmento de recta desde el punto (a1, b1, c1) hasta el punto (a2, b2, c2).
r(t) = (a1 + (a2 − a1)t, b1 + (b2 − b1)t, c1 + (c2 − c1)t); 0 ≤ t ≤ 1.
Trazas entre supercies.
Hay curvas que se dene como intersección o trazas entre dos supercies.
Ejemplo 4.1.1 La traza del cilindro x2
+ y2
= 4 con el plano x + y + 2z = 6
admite la parametrización r(t) = (2cos(t), 2sen(t), 3 − cos(t) − sen(t));
0 ≤ t ≤ 2π.
4.1.3. Límite, continuidad y derivabilidad de las funciones
vectoriales de variable escalar
Para el caso del límite y la continuidad de una función vectorial de variable
escalar, se aplican los mismos conceptos y teoremas visto en el capítulo 2, esto es,
diremos que el límite existe si y sólo si cada componente tiene límite y diremos
que es continua si y sólo si cada componente lo es. Para la derivada de la función
empleamos la siguiente denición.
Denición 4.1.2 Sea r(t) = (f1(t), f2(t), · · · , fn(t)). Diremos que r es derivable en
t si y sólo si fi es derivable en f; para todo 1 ≤ i ≤ n.
En ese caso, se dene r (t) = (f1(t), f2(t), · · · , fn(t)).
Ejemplo 4.1.2 Sea r(t) = (2t + 3, 1 − t3
, cos(t2
)); t ≥ 0. Determine r (t) y r (t).
56

4.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR
Teorema 4.1.1 (Propiedades de la Derivada) Sean r y µ dos funciones vecto-
riales de variable escalar, derivables en t. Entonces:
i) (r(t) + µ(t)) = r (t) + µ (t).
ii) (αr(t)) = αr (t); para todo α ∈ R.
iii) (r(t) · µ(t)) = r (t) · µ(t) + r(t) · µ (t).
iv) (r(t) × µ(t)) = r (t) × µ(t) + r(t) × µ (t).
Ejemplo 4.1.3 Demostrar las propiedades I y III.
De aquí en adelante entenderemos por camino o trayectoria, a toda curva dada
por una función continua r en I ⊂ R.
4.1.4. Velocidad, rapidez y aceleración
Denición 4.1.3 Si el movimiento de un objeto puede ser modelado mediante una
trayectoria r en función del tiempo t, tal que r y r existen, se denen para el
instante t:
La velocidad del objeto como v(t) = r (t).
La rapidez del objeto como r (t) .
La aceleración del objeto como a(t) = r (t).
Interpretación: de la denición de velocidad instantánea sabemos que
v (t) = lim
∆t→0
r(t + ∆t) − r(t)
∆t
.
Como r es derivable, de la denición de límite se deduce que v(t) = r (t).
Similarmente para la aceleración como la derivada de v(t).
Ejemplo 4.1.4 Un objeto parte del reposo desde el punto (1, 2, −1). Si se mueve
con aceleración a(t) = (t, 2t2
, 3t3
); t ≥ 0, determine la función posición y la función
velocidad de este movimiento.
57

Ejemplo 4.1.5 Una partícula se mueve a lo largo del camino C : r(t) = (t2
, cos(t), 3);
t ≥ 0. En el instante t = 2 sale de la trayectoria y continua con M.R.U. Determine
la posición de la partícula en el instante t = 5.
4.1.5. Vector tangente, normal y binormal
Denición 4.1.4 (Camino suave) Sea C un camino dado por r : [a, b] → Rn
. Se
dice que C es suave si r es de clase C1
y r (t) = 0 en (a, b).
Denición 4.1.5 (Vector Tangente Unitario) Sea C un camino suave dado por
r. Se dene el vector tangente unitario en el instante t, como:
T(t) =
r (t)
r (t)
.
Teorema 4.1.2 (Vector Normal Principal) Si C es un camino suave dado por
r y T existe, entonces T es un vector ortogonal a C.
Demostración: Por hipótesis T (t) · T (t) = 1.
Derivando ambos miembros y por propiedades de la derivada:
T (t)·T(t)+T(t)·T (t) = 0. Luego, 2T (t)·T(t) = 0. Esto prueba que T es ortogonal
a la dirección tangente de C en el correspondiente instante t.
Denición 4.1.6 (Vector Normal Unitario) Sea C un camino suave dado por
r tal que T es no nulo. Se dene el vector normal unitario en el instante t, como:
N(t) =
T (t)
T (t)
.
Denición 4.1.7 (Vector Binormal Unitario) Sea C un camino suave con vec-
tores tangente y normal unitarios. Se dene el vector binormal en el instante t,
como:
B(t) = T(t) × N(t).
58

4.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR
Obs 1. El vector binormal sólo está denido para caminos en R3
.
Obs 2. Por denición, el vector binormal es unitario.
Obs 3. En el plano, los vectores tangente y normal unitarios forman una base
ortonormal en el instante t, similarmente en el espacio junto con el vector binormal.
Denición 4.1.8 (Componentes de la aceleración) Sea C un camino suave con
vectores tangente, normal y binormal. Se denen las componentes de la aceleración:
Tangencial: aT (t) = proyT(t)a(t).
Normal: aN (t) = proyN(t)a(t).
Binormal: aB(t) = proyB(t)a(t).
Obs 1. Todas estas proyecciones son vectoriales.
Obs 2. a(t) = aT + aN en el plano y a(t) = aT + aN + aB en el espacio.
Ejemplo 4.1.6 Dada la trayectoria r(t) = (3t, 2t2
); t ≥ 0. Determine las compo-
nentes tangencial y normal de la aceleración.
Ejemplo 4.1.7 Dada la trayectoria r(t) = (acos(t), asen(t), bt); t ≥ 0. Determine
las componentes tangencial, normal y binormal de la aceleración.
4.1.6. Longitud de arco y curvatura
Denición 4.1.9 (Longitud de arco) Sea C un camino suave dado por
r : [a, b] → Rn
. Se dene la longitud de arco de C, desde r(a) hasta r(b) como:
s =
b
a
r (t) dt.
Denición 4.1.10 (Función Longitud de arco) Sea C un camino suave dado
por r : [a, b] → Rn
. Se dene la función Longitud de arco de C, como:
s(t) =
t
a
r (µ) dµ.
59

Obs. Del Primer Teorema Fundamental del Cálculo, sigue que
ds
dt
= r (t) , esto
es, ds = r (t) dt. Además s es monótona creciente y como es continua, esto implica
que es inyectiva.
De esta observación se deduce que localmente se puede invertir s y expresar t es
función del parámetro de longitud de arco. Esto da origen a la siguiente denición.
Denición 4.1.11 (Curvatura) Sea C una trayectoria reparametrizada por r en
función del parámetro de longitud de arco s. Se dene la curvatura de C como:
K = T (s) , donde T(s) =
r (s)
r (s)
.
Obs. Cuando r se reparametriza en función de s, se cumple que r (s) = 1, por
lo que K = r (s) .
Ejemplo 4.1.8 Determine la curvatura de la hélice circular r(t) = (acos(t), asen(t), bt);
t ≥ 0. Construya la función longitud de arco respectiva y aplique la denición de
curvatura reparametrizando r en función de s.
Ejemplo 4.1.9 Determine la curvatura de las siguientes trayectorias:
a. Circunferencia de radio R en el plano.
b. Recta en el espacio.
Otras expresiones para calcular la curvatura en función de t son:
(i) K =
T (t)
r (t)
. (ii) K =
r (t) × r (t)
r (t) 3
.
4.2. Funciones vectoriales de variable vectorial
Denición 4.2.1 (Campo vectorial) Sean M, N, P tres funciones escalares de
variable vectorial (x, y, z), denidas en algún dominio Q ⊂ R3
. Se dene la función
vectorial F(x, y, z) = Mi + Nj + Pk en Q como un campo vectorial de R3
.
Similarmente se dene F(x, y) = Mi + Nj como un campo vectorial de R2
.
60

4.2. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL
Denición 4.2.2 (Divergencia de un campo vectorial) Sea F un campo vec-
torial diferenciable de R3
dado por F(x, y, z) = Mi + Nj + Pk. Se dene su diver-
gencia como:
divF = · F =
∂M
∂x
+
∂N
∂y
+
∂P
∂z
Para campos vectoriales de R2
, su divergencia está dada por:
divF = · F =
∂M
∂x
+
∂N
∂y
Denición 4.2.3 (Rotacional de un campo vectorial) Sea F un campo vecto-
rial diferenciable de R3
dado por F(x, y, z) = Mi+Nj+Pk. Se dene su rotacional
como:
rotF = × F =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
M N P
=
∂P
∂y
−
∂N
∂z
i −
∂P
∂x
−
∂M
∂z
j +
∂N
∂x
−
∂M
∂y
k
Denición 4.2.4 (Campo Vectorial Conservativo) Sea F un campo vectorial
denido en Q ⊂ Rn
. Se dice que F es conservativo si y sólo si existe una función
diferenciable f en Q tal que f = F.
En este caso, se dice que f es la función potencial de F.
Ejemplo 4.2.1 Sea F(x, y) = 2xi+yj; (x, y) ∈ R2
. Verique que F es conservativo
con función potencial f(x, y) = x2
+
1
2
y2
.
Para identicar si un campo vectorial es conservativo, empleamos los siguientes
teoremas.
Teorema 4.2.1 (Campos conservativos del plano) Sea F(x, y) = Mi+ Nj un
campo vectorial de clase C1
en alguna bola abierta de R2
. F es conservativo si y sólo
si
∂N
∂x
=
∂M
∂y
.
Ejemplo 4.2.2 Verique el teorema para el campo vectorial del ejemplo precedente.
61

Teorema 4.2.2 (Campos conservativos del espacio) Sea
F(x, y, z) = Mi + Nj + Pk un campo vectorial de clase C1
en alguna bola abierta
de R3
. F es conservativo si y sólo si rotF = 0.
Ejemplo 4.2.3 Determine cuál de los siguientes campos son conservativos en R3
.
1. F(x, y, z) = x2
yi + zj + xyzk.
2. F(x, y, z) = 2xyi + (x2
+ z2
)j + 2yzk.
Denición 4.2.5 (Operador de Laplace) Sea f un campo escalar dos veces di-
ferenciable en algún dominio Q ⊂ Rn
. Se dene el Laplaciano de f como:
2
f = · f =
∂2
f
∂x2
1
+
∂2
f
∂x2
2
+ · · · +
∂2
f
∂x2
n
.
Diremos que f es armónica si 2
f = 0.
Ejemplo 4.2.4 Demuestre que f(x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
; (x, y, z) = (0, 0, 0), es
armónica.
Teorema 4.2.3 (Propiedades del Operador Nabla) Sean F, G dos campos vec-
toriales y sean f, g dos campos escalares, denidos en un dominio común Q tal que
se satisfacen las condiciones respectivas. Entonces:
i. div(F + G) = divF + divG
ii. div(fF) = fdivF + F · f
iii. div(F × G) = G · rotF − F · rotG
iv. div(rotF) = 0
v. 2
(fg) = f 2
g + g 2
f + 2( f · g)
vi. div( f × g) = 0
vii. div(f g − g f) = f 2
g − g 2
f
viii. rot(F + G) = rotF + rotG
62

4.2. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL
ix. rot(fF) = frotF + f × F
x. rot( f) = 0
Ejemplo 4.2.5 Demostrar las propiedades ii), iv), ix) y x).
63

Capítulo 5
Integrales de Línea
En esta sección estudiaremos dos tipos de integrales de línea:
Integrales de Línea Vectorial
Integrales de Línea Escalar
La primera de ellas como el trabajo que realiza un campo de fuerzas al mover
un objeto a lo largo de una trayectoria C y la segunda como la masa de un arco
con forma dada por C. Para ello emplearemos la teoría de las funciones vectoriales
estudiadas en el capítulo anterior, además de las siguientes deniciones.
Denición 5.0.1 (Camino simple y camino cerrado) Sea C una camino dado
por r : [a, b] → Rn
. Se dice que C es simple si r es inyectiva en (a, b) y diremos que
C es cerrado si r(a) = r(b).
Ejemplo 5.0.1 Un segmento de recta o una circunferencia son caminos simples. El
segundo de ellos es además cerrado.
Denición 5.0.2 (Camino suave a trozos) Se dice que un camino C es suave a
trozos si cumple con la denición de suavidad por tramos o sub-intervalos.
Ejemplo 5.0.2 La astroide es un camino suave a trozos. El vector tangente unitario
no está denido en las puntas donde t es igual a
π
2
, π,
3π
2
, respectivamente. Además
es simple y cerrado.
65

CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LÍNEA
5.1. Interpretación física de una integral de línea
vectorial
Sin pérdida de generalidad se hará para el caso bidimensional.
Sea F(x, y) = Mi + Nj un campo de fuerzas, que mueve un objeto a lo largo de
una trayectoria suave y simple C dada por r(t) = (x(t), y(t)); a ≤ t ≤ b. Sea
P = {a = t0, t1, t2, · · · , tn = b} una partición del intervalo [a, b]. Por la suavidad de
r, en el i−ésimo sub-intervalo existen ti, ti tales que x(ti) − x(ti−1) = x (ti)(ti − ti−1)
y y(ti) − y(ti−1) = y (ti)(ti − ti−1).
El trabajo que realiza F a lo largo de C puede ser aproximado por la suma:
n
i=1
F(x(ti), y(ti)) · (r(ti) − r(ti−1)) =
n
i=1
M(x(ti), y(ti))(x(ti) − x(ti−1)) + N(x(ti), y(ti))(y(ti) − y(ti−1)); donde la suma
se calcula respecto a P.
Sean φ1 = Mor y φ2 = Nor. Ambas funciones son escalares y continuas en [a, b].
Por lo tanto, la suma puede expresarse como:
n
i=1
φ1(ti)x (ti)∆ti + φ2(ti)y (ti)∆ti.
Ahora mostramos que lim
P →0
n
i=1
φ1(ti)x (ti)∆ti+φ2(ti)y (ti)∆ti =
b
a
For·r (t)dt.
Esta última integral es igual a
b
a
φ1(t)x (t)dt +
b
a
φ2(t)y (t)dt. Notar que el
límite del primer término de la suma es la primera integral. Para el segundo límite
tenemos:
n
i=1
φ2(ti)y (ti)∆ti −
b
a
φ2(t)y (t)dt
=
n
i=1
(φ2(ti) − φ2(ti) + φ2(ti))y (ti)∆ti −
b
a
φ2(t)y (t)dt
66

5.2. INTEGRALES DE LÍNEA VECTORIAL
=
n
i=1
(φ2(ti) − φ2(ti))y (ti)∆ti +
n
i=1
φ2(ti))y (ti)∆ti −
b
a
φ2(t)y (t)dt .
≤
n
i=1
|φ2(ti) − φ2(ti)| |y (ti)|∆ti +
n
i=1
φ2(ti))y (ti)∆ti −
b
a
φ2(t)y (t)dt . (*)
Dado que y es continua en [a, b],
b
a
|y |(t)dt existe. Digamos que existe M 0
tal que
n
i=1
|y (ti)|∆ti M. Por la continuidad uniforme de φ2 en [a, b] existe δ 0
tal que |φ2(ti) − φ2(ti)|
ε
2M
.
Tomando una partición adecuada Q tal que Q ≤ δ, sigue que (*) ε.
Esto completa la prueba de que el trabajo realizado por el campo F a lo largo
de C es igual a
b
a
For · r (t)dt, lo cual será denotado por
C
F · dr. Esto da lugar a
la denición de la siguiente sección.
5.2. Integrales de línea vectorial
Denición 5.2.1 Sea F un campo vectorial de Rn
, continuo en cada punto de una
trayectoria suave y simple C dada por r : [a, b] → Rn
. Se dene la integral de línea
vectorial de F en la trayectoria C, como:
C
F · dr =
b
a
(F ◦ r) · r (t)dt.
Obs. Por la continuidad de F en los puntos C y por la suavidad de C, la integral
existe. Una interpretación física de esta integral para n igual a 2 o 3, es el trabajo
que realiza un campo de fuerzas F al mover un objeto a lo largo del camino C.
Ejemplo 5.2.1 Dado el campo F(x, y) =
1
2
xyi +
1
4
x2
j en R2
, determine el trabajo
que realiza al mover un objeto a lo largo del camino que va desde el punto (0, 0)
hasta el punto (1, 1), si dicho camino es:
a. Un tramo recto. b. Un arco cúbico.
67

Ejemplo 5.2.2 Sea el campo vectorial F(x, y) = (2x − y)i + (x2
− 1)j. Evalúe
C
F · dr si C es la semicircunferencia superior, con centro en (0, 0) y radio a,
orientada positivamente.
Teorema 5.2.1 (Propiedades de las Integrales de Línea) Para cálculos con in-
tegrales de líneas resultan útiles las siguientes propiedades:
a. Sea F un campo vectorial denido en los puntos de las trayectoria C1 y C2,
dadas por r1 en [a, b] y r2 en [b, c], respectivamente. Si
C1
F · dr1 y
C2
F · dr2
existen y C = C1 ∪ C2, entonces
C
F · dr =
C1
F · dr1 +
C2
F · dr2; donde
r(t) =



r1(t) ; a ≤ t ≤ b
r2(t) ; b ≤ t ≤ c
.
b. Sea F un campo vectorial denido en los puntos de la trayectoria C dada por r
en [a, b]. Sea −C : µ(t) una parametrización del camino C en [a, b], orientado en
sentido contrario de C. Si
C
F · dr existe, entonces
−C
F · dµ = −
C
F · dr.
Demostración:
La primera de ellas se demuestra tomando particiones del intervalo [a, c] que inclu-
yan el punto b. Como cada subpartición induce una suma de Riemann en [a, b] y en
[b, c] respectivamente, al tomar el límite de la norma de la partición y dado que las
integrales por separado existen, se concluye que la integral sobre C existe.
En esta propiedad se puede calcular por separado cada integral de línea tomando
la parametrización de cada tramo que resulte más conveniente.
Para la segunda, sea τ(t) = a + b − t; a ≤ t ≤ b. Denamos µ(t) = (r ◦ τ)(t). No-
temos que µ es una parametrización de −C pues µ(a) = r(b) y µ(b) = r(a). Entonces,
−C
F · dµ =
b
a
(F ◦ µ) · µ (t)dt =
a
b
F ◦ r(τ) · r (τ)τ dt =
a
b
F ◦ r(τ) · r (τ)dτ
= −
b
a
F ◦ r(τ) · r (τ)dτ = −
C
F · dr.
68

5.2. INTEGRALES DE LÍNEA VECTORIAL
Ejemplo 5.2.3 Sea F(x, y) = (xy − y2
)i + (x2
− 1)j; (x, y) ∈ R2
. Evalúe
C
F · dr,
donde C es el contorno del triángulo limitado por los ejes coordenados y la recta
x + 2y = 4, orientado positivamente.
Primero realice el cálculo con los intervalos en secuencia y luego tomando el
mismo intervalo de t en cada tramo. Compare ambos procedimientos.
Ejemplo 5.2.4 Sea F(x, y) = 2xi + (3y − x)j; (x, y) ∈ R2
. Evalúe
C
F · dr, donde
C es el arco parabólico y = x2
:
a. Desde el punto (0, 0) hasta el punto (1, 1).
b. Desde el punto (1, 1) hasta el punto (0, 0)
Ejemplo 5.2.5 Sea F(x, y, z) = yi + x2
j + 2xzk; (x, y, z) ∈ R3
. Evalúe
C
F · dr,
donde C es la trayectoria:
a. r(t) = (t, t2
, t3
); 0 ≤ t ≤ 1.
b. Intersección de la supercie x2
+ y2
= 2x con x + 2y + z = 6.
Otra notación para una integral de línea vectorial:
C
Mdx + Ndy + Pdz.
5.2.1. Campos conservativos e independencia del camino
Teorema 5.2.2 Sea F un campo vectorial de clase C1
en una bola abierta B de
R2
(R3
). Sea C una curva simple y suave a trozos contenida en B. Las siguientes
condiciones son equivalentes:
i. F es conservativo en B.
ii. Para toda C,
C
F · dr = f(r(b)) − f(r(a)); donde f = F, r(a) es el punto
inicial de C y r(b) es el punto nal.
iii. Para toda curva C cerrada,
C
F · dr = 0.
69

Obs 1. En la última condición del teorema es importante el uso del cuanticador
universal, por cuanto hay campos que en ciertas curvas cerradas su integral es cero,
pero eso no implica que el campo sea conservativo.
Obs 2. Para curvas suaves a trozos se evalúa en cada tramo y luego se suma.
Ejemplo 5.2.6 Verique el teorema para el campo F(x, y, z) =
1
2
xi − y2
j + 2zk;
(x, y, z) ∈ R3
, al mover un objeto a lo largo del camino C : r(t) = (cos(t), sen(t), t);
π ≤ t ≤ 3π
Ejemplo 5.2.7 Sea el campo F(x, y, z) = ex
cos(y)i−ex
sen(y)j+2k; (x, y, z) ∈ R3
.
a. Demuestre que F es conservativo.
b. Calcule el trabajo que realiza F al mover una partícula a lo largo del segmento de
recta desde el punto 0,
π
2
, 1 hasta el punto (1, π, 3).
c. Calcule el trabajo que realiza F al mover una partícula por C : r(t) = (t, t2
, t3
);
0 ≤ t ≤ 1.
d. Calcule el trabajo que realiza F al mover una partícula por el contorno del trián-
gulo limitado por los planos coordenados y el plano x + 2y + 3z = 6.
5.3. Integrales de línea escalar
Denición 5.3.1 Sea f un campo escalar de Rn
, continuo en cada punto de una
trayectoria suave y simple C dada por r : [a, b] → Rn
. Se dene la integral de línea
escalar de f en la trayectoria C, como:
C
fds =
b
a
(f ◦ r) r (t) dt.
Obs 1. Por la continuidad de f en los puntos de C y por la suavidad de C, la
integral existe. Una interpretación física de esta integral es la masa del arco C con
densidad en cada punto dada por f.
Obs 2. En una integral de línea escalar no importa la orientación elegida para C.
70

5.3. INTEGRALES DE LÍNEA ESCALAR
Ejemplo 5.3.1 Sea f(x, y) = x. Calcule
C
fds donde C es el camino formado por
el arco parabólico y = x2
, desde (0, 0) hasta (1, 1). Verique que la orientación no
inuye en la respuesta.
Ejemplo 5.3.2 Sea C el lamento dado por x = tcos(t); y = tsen(t); z = t;
0 ≤ t ≤ π. Determine la carga eléctrica del lamento si su densidad de carga es
directamente proporcional a la distancia de cada punto al plano XY .
71

Capítulo 6
Integración Múltiple
En este capítulo extenderemos la denición de suma de Riemann a funciones
escalares de varias variables. Comenzaremos deniendo esta suma para funciones de
dos variables y luego se adaptarán estas deniciones para funciones de tres variables.
Denición 6.0.1 (Intervalo cerrado en Rn
) Sean [ak, bk] ; 1 ≤ k ≤ n, n interva-
los cerrados en R. Se dice que el conjunto [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [an, bn] es un
intervalo cerrado en Rn
.
Ejemplo 6.0.1 Los siguientes intervalos cerrados pueden interpretarse grácamen-
te.
[1, 2] es un intervalo cerrado en R. Representa un segmento de recta sobre la
recta unidimensional.
[0, 2] × [−1, 1] es un intervalo cerrado en R2
. Representa un rectángulo en el
plano con lados paralelos a los ejes coordenados.
[0, 2] × [1, 4] × [2, 3] es un intervalo cerrado en R3
. Representa una caja en el
espacio con caras paralelas a los planos coordenados.
Denición 6.0.2 (Partición de un intervalo en Rn
) Sea un intervalo cerrado
R en Rn
. Se dene una partición P de R a una colección {Ji} de intervalos ce-
rrados en Rn
tal que R =
i
Ji e int(Jp) ∩ int(Jq) = φ para todo p = q.
73

CAPÍTULO 6. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Ejemplo 6.0.2 Escriba una partición para los siguientes intervalos:
[0, 2] × [−1, 1]. En este caso la partición es una colección de rectángulos.
[0, 2] × [1, 4] × [2, 3]. En este caso la partición es una colección de cajas.
Denimos la norma de P como P = max
i
{V (Ji)}, donde V (Ji) denota la
longitud, el área o volumen de Ji según la dimensión del intervalo Ji.
6.1. Integrales dobles
Denición 6.1.1 (Suma de Riemann y función integrable) Sea f una función
denida y acotada en R = [a, b] × [c, d]. Sea P = {Ji} una partición de R. Sean
(xi, yj) ∈ Ji arbitrarios; 1 ≤ i ≤ n. Se dene la suma de Riemann de f respecto a
P como:
Sf (P) =
n
j=1
f(xi, yj)A(Ji); donde A(Ji) denota el área del rectángulo Ji.
Diremos que f es Riemann integrable en R, si lim
P →0
n
j=1
f(xi, yj)A(Ji) existe. En
este caso, denotamos este límite por
R
f(x, y)dA.
Para el caso particular que la partición sea equiespaciada en ambas variables , to-
mando m sub-intervalos en [a, b] y n sub-intervalos en [c, d], se puede escribir una
suma de Riemann de f como:
n
j=1
m
i=1
f(xi, yj)∆xi∆yi; ∆xi =
b − a
m
; ∆yj =
d − c
n
.
Si la función es Riemann integrable, se cumple que
R
f(x, y)dA = lim
n,m→+∞
b − a
m
d − c
n
n
j=1
m
i=1
f(xi, yj)
A continuación veremos dos teoremas fundamentales en el cálculo de integrales
dobles, que se pueden generalizar a integrales de mayor dimensión.
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