Probabilidade u(1)

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Probabilidade u(1)

  1. 1. Estatística Teoria dos conjuntos lembretes Probabilidade A = [2, 4, 6] and B = [4, 5, 6] Espaço amostral A  A´ [1, 2, 3, 4, 5, 6]   é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. A´  [1, 3, 5] e B´  [1, 2, 3] A A  B  [4, 6] A  B  [2, 4, 5, 6]  2 Evento Espaço Amostral (): – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Cada elemento é chamado ponto amostral. E Ex.: E1: lançamento de um dado ç 1 ={1,2,3,4,5,6}  Espaço Amostral Equiprovável: Evento: Todos os pontos amostrais têm a mesma chance de É qualquer subconjunto do espaço amostral. ocorrência. Ex.: E: lançamento de um dado  ={1,2,3,4,5,6} 3 Evento A número par:A = {2,4,6} 4 Evento Certo: Diagrama Venn É aquele que sempre ocorre.Ex.: No lançamento de um dado o evento “número inteiro positivo menor ou igual a 6”. Evento Impossível: Evento Impossível Evento: Mulher Homem É aquele que nunca ocorre. Mulher Ex.: No lançamento de um dado o evento “número Resultados inteiro positivo maior ou igual a 7”. Dividem-se em simples e compostos.  Evento simples - é aquele formado por um único elemento do espaço amostral   Evento composto - é aquele evento formado por dois ou mais elementos do espaço amostral. 5  = {M, F} 6Prof Josefa A . Alvarez 1
  2. 2. Estatística Eventos Complementares Eventos Mutuamente Excludentes o evento “ A ´ “ é complementar do evento “ A “. São aqueles que não possuem resultados em é constituído por todos os elementos do espaço comum amostral que não pertencem ao evento A . A ocorrência de um deles impede a ocorrência do outro Ex.: No lançamento de um dado o evento “número par”é complementar do evento “número ímpar”. nenhum B A A  B =  A  A´  A A ´ 7 8 Eventos Não Mutuamente Excludentes Eventos disjuntos São aqueles que possuem resultados em comum • Os eventos A e B são disjuntos, ou mutuamente excludentes, se não podem ocorrer simultaneamente P(A) P(B) Apenas B p AeB A´eB Apenas A A e B P(A e B) P(A) P(B) AeB ´ Eventos que se superpõem Eventos disjuntos nenhum A´ ´ eB  Exemplo: Teste de gravidez ( está grávida ou não está) 9 Probabilidade de um evento Probabilidade  A probabilidade de qualquer evento A é representada por um número entre 0 e 1: n ( A) 0  P(A)  1 P ( A)  Enfoque clássico n(  )  A probabilidade do espaço amostral é 1: p p ç P() = 1 pontos amostrais equiprovaveis  A probabilidade da não ocorrência de um evento é 1 menos a probabilidade da sua n: n º de tentativas ocorrência: P(A´) = 1 - P(A) 11 12Prof Josefa A . Alvarez 2
  3. 3. Estatística 0 P( A)  1 P (espaço amostral) = 1 nenhum Prob não ocorrência = 1 - P (ocorrência) Apenas B A e B P ( A )  P ( A´)  1 Apenas A 13 P (A  B )  P (A )  P (B )  P (A  B ) 14 União P (A  B )  P (A )  P (B )  P (A  B ) Eventos Excludentes : P(A OU B)= P(AB) P(A  B)= P(A) + P(B) A B Eventos não Excludentes P(A OU B) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) = P(A) P(B) P(AB) P( ocorrência de A, ou Probabilidade de ocorrência simultânea A B + A B - A B de B, ou de ambos) de A e B em um mesmo experimento 16 Probabilidade Condicional Distribuição de Probabilidade Conjunta Tabela de Contingência P( A  B ) probabilidade do evento A, tendo Evento ocorrido o evento B Evento B B´ Total A P(A B) P(A B´) P(A) A´ P(A´ B) P(A´ B´) P(A´) P ( A B ) P( A B )  P( B ) Total P(B) P(B´) 1 Probabilidade Probabilidade Marginal Conjunta 17 18Prof Josefa A . Alvarez 3
  4. 4. Estatística Matemática da probabilidade Em uma amostra de 150 estudantes, 70 disseram que têm um aparelho de CD, 50 disseram que têm uma TV e 25 disseram que têm ambos. Se um estudante é selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha tanto um aparelho de CD ou uma TV? ( Nota: isto inclui a probabilidade de Ter ambos os um ou outro : P (A ou B) aparelhos). Solução: ambos P(A e B) A={ “o estudante tem um aparelho de CD” } e B={ “o estudante tem uma TV”} Ambos P(A) = 70 / 150 = 0,4667 P(B) = 50 / 150 = 0,3333 Eventos independentes : P (A e B) = P (A) P( B) P(A  B) = 25 / 150 = 0,1667 Desde que: Eventos dependentes : P (A e B) = P (A) P( B| A) P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) = 0,4667 + 0,3333 – 0,1667 = P (A e B) = P (B) P( A| B) 0,6333 Probabilidade de um x Probabilidade condicional do outro 19 20 Propriedade condicionada Eventos Independentes Dois ou mais eventos A e B são chamados A B P(A  B) independentes quando a ocorrência ou não P(A | B) = ocorrência de um dos eventos não P(B) modifica a probabilidade da ocorrência do p P(B) > 0 outro. P( A  B ) =P( A ) . P( B ) P(B | A) = P(A  B) Para n eventos A1, A2, A3,...An P(A) P(A  B) = P(A|B).P(B) = P(B|A).P(A) P(A1A2A3...An) = P(A) > 0 21 P(A1).P(A2).P(A3)...P(An) 22 Eventos independentes Exercício Dois eventos A e B são independentes se: Considerando outra vez os dados do exercício, verifique se o aluno gostar de MPB e gostar de P(A|B) = P(A) P(A  B) = P(A).P(B) Estatística são eventos independentes. P(B|A) = P(B) Solução uç 20 porque: A  gostar de Estatístic a  P ( A )   0, 4 50 P(A  B) = P(B|A).P(A) = P(A|B).P(B) 40 B  gostar de MPB  P ( B )   0 ,8 50 16 P (A  B )   0 ,32 50  P ( A  B )  P ( A ). P ( B ) 23 24  A e B são independen tesProf Josefa A . Alvarez 4
  5. 5. Estatística Teorema de Bayes P(Fi )P (A Fi ) P(F A)  P(F).P(A F) i i P (Fi / A )  P(F ).P(A F ) P(F ).P(A F )  ....  P(F ).P(A F ) i 1 1 2 2 K K K P(F  A)  P(Fj ) P (A Fj ) ). P(F A)  i i F1 P(A) j 1 FK F2 25 E 26 A Polícia acaba de ser chamada para investigar um acidente em que houve um indivíduo gravemente • Suponha-se que um grande nú mero de caixas de ferido. Calcule a probabilidade desse indivíduo ter bombons sejam compostas de dois tipos, “Garoto” e utilizado o cinto de segurança. “Lacta”. O tipo “Garoto” contém 70% de bombons doces e 30% de bombons amargos, enquanto no tipo C  usar cinto P (C A )  0,1  0,6  23% “Lacta” essas percentagens de sabor são inversas. A  acidente grave id 0,1 0,6 0,5 0,4 0 1 0 6  0 5  0 4 Além disso sabe se que 60% de todas as caixas de disso, sabe-se P (A C )  0,1  P (A´C )  0,9 bombons sejam do tipo “Garoto”, enquanto as A|C 0,06 restantes sejam do tipo “Lacta”. Uma caixa de tipo P (A C ´)  0,5  P (A´C ´)  0,5 0,1 desconhecido lhe é oferecida. Você escolhe um P (C )  0,6  P (C ´)  0,4 C 0,9 bombom ao acaso da caixa e descobre que é de sabor amargo. Qual a probabilidade de ser do tipo “Lacta”? 0,6 A|C 0,54 0,4 0,20 A|C C 0,5 0,5 A|C 0,20 27 28 Num certo restaurante, se paga pelo almoço uma quantia fixa • Sabe-se que o Imposto de Renda Pessoa Física dependendo da escolha feita do prato e bebida. A carne de peixe tem (IRPF) tem três faixas com alíquota de 10% de preferência. Enquanto frango tem 40% e carne bovina 50%. As três escolhas de bebida estão condicionadas a tabela: imposto crescente (Alíquota 0%, Alíquota 15%, Alíquota 27,5%). De acordo com a Receita Opção: Peixe Cerveja Água Vinho Federal (1996), na Alíquota 0% situam-se P(Bebida/Peixe) 0,4 0,3 0,3 75,9% dos contribuintes na líqu t 75 9% d s c ntribuintes e n alíquota 15% Opção: Frango situam-se 18,7%. Sabe-se que muitas declarações são fraudulentas, sendo que o P(Bebida/Frango) 0,3 0,5 0,2 percentual de fraude corresponde a metade Opção: Bovina da alíquota de cada faixa. Sabendo que um P(Bebida/Bovina) 0,6 0,3 0,1 cidadão sonegou IRPF, qual a probabilidade dele ser da faixa de alíquota 27,5%? a) Dado que alguém escolhe cerveja, qual a probabilidade de que escolha peixe? b) Se escolhe vinho, qual a probabilidade de escolher carne bovina? 29 30Prof Josefa A . Alvarez 5

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