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FORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁU...
1COMANDO DA AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAENSINO INDIVIDUALIZADODISCIPLINA: NOÇÕES DE ESTATÍSTICAM Ó D ...
2DOCUMENTO DE PROPRIEDADE DA EEARTodos os Direitos ReservadosNos termos da legislação sobre direitos autorais, é proibida ...
3Í N D I C EPÁGINAINTRODUÇÃO ................................................................................................
4TEXTO VI – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ....................................................... 75EXERCÍCIOS DO TEXTO VI ..........
5I N T R O D U Ç Ã OLembre-se: Ninguém pode aprender por você.Mãos à obra!Boa Sorte!Prezado Cursista,É com satisfação que ...
6ROTEIROI. ASSUNTO: Noções de Estatística.II. OBJETIVOS: Após ter realizado as atividades propostas neste módulo, você est...
7TEXTO IREVENDO ELEMENTOS MATEMÁTICOS ESSENCIAIS À ESTATÍSTICAEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja cap...
82. PROPORÇÃOProporção é a igualdade de duas razões.Exemplo:6432= ouextremosmeios6:4::3:2esconseqüentsantecedeneee←←6432Ob...
9a) Achar o valor de x na proporção:x2075=Aplicando a propriedade fundamental temos:5 . x = 7 . 20x = 28Resposta: x = 28b)...
10i. 1000 alunos do CFS da EEAR geram uma despesa; 2000 alunos do mesmo CFS gerarãouma despesa equivalente ao dobro da ant...
11Comentário: Nesse caso, quem investiu maior quantia deverá receber maior valor, assimcomo, quem investiu menos receberá ...
12b) Um prêmio de R$ 90.000,00, referente à gratificação de Natal, será dividido entre doistrabalhadores de uma Multinacio...
135. REGRA DE TRÊS SIMPLESRegra de Três é uma regra prática que permite resolver problemas que envolvem valoresde duas ou ...
142ª MANEIRA:Comentário: Podemos calcular o preço de uma caneta efetuando a divisão 20,1=3÷60,3 .E, como queremos o valor ...
15Exemplo:10012%12 =Principal: é a quantia ou quantidade à qual se aplica a taxa percentual.Exemplo: Quando queremos calcu...
16b) Em um colégio de 2200 alunos, o número de reprovados foi de 18%. Determinarquantos alunos foram reprovados.1ª MANEIRA...
1727615,0 =+ xx27615,1 =x15,1276=x240=xResposta: O objeto custou R$ 240,00.d) Numa sala de 30 alunos, faltaram 6. De quant...
1810030270=x⇒ 100.27030 =x ⇒30100.270=x ⇒ 900=x2ª MANEIRA:Algebricamente, teremos:Chamando de x a quantia, sabemos que 30%...
19Tempo de reação, em segundos 0,53 0,46 0,49 0,52 0,53 0,44 0,55 0,56Qual o tempo médio de reação do Piloto aos estímulos...
2027,8=M Assim, a média das idades dos jogadores é 27,8 anos.A esse tipo de média chamamos de ponderada.Média aritmética p...
21EXERCÍCIOS DO TEXTO Ia) Verifique se os números apresentados em cada item (na ordem dada) formam proporções.Use sim ou n...
22e) Calcule a média ponderada de um aluno, em Geografia, sabendo que foram atribuídospesos diferentes em cada Avaliação:1...
23GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO I1) a) sim b) sim c) sim d) não2)a) x.6 = 2.36x = 6x = 1b) 4.x = 5.84x = 40x = 10c) x.1...
247)Velocidade (km/h) Tempo (h)80 460 xComo as grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, temos:x4=80604.80=60x604.80=x6032...
25TEXTO IICÁLCULOS, GRANDEZAS E UNIDADES USADAS NA ESTATÍSTICAEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja cap...
26Exemplos:a) 24,75 passa a 24,8;b) 24,365 passa a 24,36;c) 24,447500000 passa a 24,448;d) 24,6500000 passa a 24,6;e) 123,...
272. GRANDEZAS COMPARATIVASÉ comum, na prática, ao fazermos comparações entre duas grandezas, usarmosindistintamente os te...
282.4. PERMANÊNCIAS MÉDIAS2.4.1. Permanência média dos estoquesÉ utilizada para estudar e analisar as alterações dos estoq...
293. NÚMEROS ÍNDICESA análise comparativa de diversos fenômenos congêneres, representados pelas SériesEstatísticas, torna-...
30Tomando-se, na Tabela Delta, o ano 2004, como sendo o ano base, que será sempre 100,e estabelecendo-se a Regra de Três, ...
31Ao examinarmos a nova tabela construída de imediato, notamos que o preço dasmercadorias consideradas em 2005 subiu de 16...
325.1.2. Espaço AmostralÉ o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Indicaremospor S.5.1.3....
335.1.5. Probabilidade matemáticaA Probabilidade matemática de um acontecimento é a relação entre o número de casosfavoráv...
345.1.7. Probabilidade em provas repetidasMuitas vezes há interesse em saber, em certo número n de provas, qual a probabil...
35Enumere o evento A de tal forma que apareçam dois números cuja soma seja 9.Resolução: A = {(4,5); (5,4); (3,6); (6,3)}En...
36EXERCÍCIOS DO TEXTO II1) A adição 34,31435 + 0,846 + 123,57417 tem como soma o seguinte número arredondadoaté centésimos...
37GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO II1) b2) a3) b4) d
38TEXTO IIIA ESTATÍSTICA NA ADMINISTRAÇÃO E O PLANEJAMENTO ESTATÍSTICOEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você ...
39Para coordenar e colocar em funcionamento o sistema administrativo, o administrador,quer o civil, quer o militar, tem qu...
401.3. DECISÃO COM AUXÍLIO DA ESTATÍSTICAPara o tratamento e análise de certos aspectos dos dados numéricos apresentados p...
41A administração de uma empresa defronta-se com inúmeras situações que requerem umaabordagem desse tipo.Vamos mostrar, no...
421.4. ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERÊNCIA ESTATÍSTICAVamos, agora, conversar mais detalhadamente sobre Estatística, uma v...
43Esquematizando:1.5. POPULAÇÃO E AMOSTRA1.5.1. PopulaçãoEm Estatística, designamos por POPULAÇÃO (ou UNIVERSO) o conjunto...
441.5.2. AmostraEm Estatística, AMOSTRA é qualquer subconjunto de elementos da População, isto é,uma parte do todo. Assim,...
451. Definição do problema.2. Planejamento.3. Coleta de Dados.4. Apuração dos Dados.5. Crítica dos Dados.6. Apresentação d...
463. Coleta de DadosEm seguida, Antônio remeteu os questionários, pelo Correio, aos 300 clientesrelacionados, como também ...
47OBSERVAÇÃO: Se ordenarmos os 300 números dos sapatos em ordem crescente, obtemos umconjunto ordenado que recebe o nome d...
48A finalidade da Crítica é exatamente verificar se as respostas se coadunam com asperguntas, ou melhor, é o exame dos que...
4902040608031 e 32 33 e 34 35 e 36 37 e 38 39 e 40 41 e 42 43 e 44GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃONÚMERO DO CALÇADO ...
50EXERCÍCIOS DO TEXTO III1) Complete as lacunas corretamente.a) O emprego da Estatística na Administração é importante por...
51Etapas do Planejamento:1 –2 –3 –4 –5 –6 –Explique o que deve ser feito em cada uma das etapas.Confira o gabarito na pági...
52GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO III1)a) auxiliar na tomada de decisão sob incerteza.b) perfeita coerência.c) conhecimen...
53TEXTO IVREPRESENTAÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICOS:SÉRIES, FREQÜÊNCIAS, CLASSESEsperamos que, ao final do estudo deste texto, ...
541.2. Elementos da TabelaAs partes principais de uma tabela são: corpo, cabeçalho, coluna indicadora e fonte.Corpo da Tab...
551.3. Normas tabulares1. A tabela, excluídos o título e a fonte, será delimitada, no alto e embaixo, por traçoshorizontai...
56Atenção!Os símbolos não devem ser seguidos de ponto final e nem de s para indicarem plural.As abreviaturas devem ser fei...
57Chamamos de Série Estatística ao conjunto de números associados a um fenômenoexpressando quantidades ou grandezas, dispo...
58TABELA 2BRASIL – PRODUÇÃO NACIONAL DEPETRÓLEO – 2000-2004ANOS Petróleo2000 71.643.6942001 75.019.9622002 84.398.9662003 ...
59TABELA 4RESULTADOS FINAIS DO CENSO ESCOLAR,SEGUNDO ALGUMAS UNIDADES DA FEDERAÇÃO – 2004UNIDADES DAFEDERAÇÃOCreche Pré-Es...
601.7. Série Específica ou QualitativaÉ a série cujos dados estão em correspondência com a espécie do fenômeno. Variam com...
611.8. Série Composta ou MistaAs combinações entre as séries constituem novas séries que são denominadas sériescompostas o...
62Em resumo, podemos esquematizar:Variamdeacordocom osdasSériesSÉRIESESTATÍSTICASSÉRIESTEMPORAISSÉRIESESPECÍFICASSÉRIESGEO...
634. CLASSEClasse é a subdivisão da População em grupamentos consecutivos. Observe a tabela dedados fictícios.TABELA 9ALTU...
644.1.1. Regra de SturgesNn log3,31+= onde:4.1.2. Limites de ClassesNa Classe 160 ├─┤ 169, os números extremos 160 e 169, ...
65Na tabela em estudo, temos que os pontos médios da 2ª e 3ª Classes são, respectivamente:X2 = 140 +210= 145X3 = 150 +210=...
66EXERCÍCIOS DO TEXTO IV1)a) Disponha os números: 22, 34, 27, 11, 48, 17, 45, 38, 6, 57 em um rol.b) Determine a Amplitude...
67GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO IV1)a) 6, 11, 17, 22, 27, 34, 38, 45, 48, 57 ou: 57, 48, 45, 38, 34, 27, 22, 17, 11, 6....
68TEXTO VDISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIATerminado o nosso estudo sobre as Séries Estatísticas, vamos examinar, com detalhes, ad...
692. FREQÜÊNCIA ABSOLUTA OU FREQÜÊNCIA DE CLASSE (fi)É o número de vezes que o acontecimento é verificado numericamente, d...
703. FREQÜÊNCIA ACUMULADA (Fi)Chama-se freqüência acumulada (Fi) de uma Classe a soma da freqüência absoluta (fi)desta cla...
714. CLASSE MODAL OU MODADenomina-se Classe Modal a classe de maior freqüência absoluta (fi). Na Tabela 10, aclasse modal ...
72EXERCÍCIOS DO TEXTO V1. Complete corretamente as lacunas.a) Tabela Estatística é a representação de um conjunto de______...
73b) Indique a classe modal dessa tabela.c) Dê a “f ant” e a “f post”.Confira suas respostas na página seguinte.Qualquer d...
74GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO V1.a) dados destinados a revelar a evidência numérica de determinado fenômeno.b) IBGEc)...
75TEXTO VIREPRESENTAÇÃO GRÁFICAEsperamos que, ao final do estudo do texto VI, você seja capaz de:Interpretar corretamente ...
76Quando o gráfico representa porcentagem, é aconselhável fazer sobressair a linha 100% ououtra que se utilize como base d...
77Exemplos: Seja a tabela de distribuição de freqüências:CLASSES fi Fi19 ├─┤ 24,9 2 225 ├─┤ 30,9 9 1131 ├─┤ 36,9 24 3537 ├...
783.1.2. Histograma de Freqüências Acumuladas (Fi)3.2. Polígono de FreqüênciaAproveitando o exemplo anterior, vamos constr...
793.2.1. Curvas de FreqüênciasSupondo-se que os dados coletados sejam em grande número, é perfeitamente possívelgrupá-los ...
80As Curvas de Freqüência podem ser:Modais;Antimodais eAmodais3.2.1.1. CURVAS MODAISQuando apresentam ponto de máximo.Pode...
813.2.1.2. CURVAS ANTIMODAISSão curvas que nunca apresentam pontos de máximo, e sim ponto de mínimo.3.2.1.3. CURVAS AMODAI...
82não inscrever dados numéricos ao lado ou no interior das barras, pois, além de fugir aoobjetivo de um gráfico, tal práti...
833.3.2. Gráfico em BarrasÉ construído do mesmo modo que o Gráfico em Colunas, porém a linha que representa asquantidades ...
843.4. Setor Circular.Quando o objetivo principal do gráfico é estabelecer comparações entre um dado e o totalde dados, is...
85Uma vez calculados os valores de cada setor, basta usar o transferidor e marcá-los nacircunferência. Cada setor deve ser...
863.5. Gráfico PolarHavendo interesse em evidenciar variações que, após um certo período de tempo,repetem-se segundo um de...
87VOLUME DE EXPORTAÇÃO DE CAFÉ EM GRÃOS, BRASIL, 2003FONTE: Análise das Informações de Comércio Exterior – AliceExiste ain...
88EXERCÍCIOS DO TEXTO VI1. As principais características de um gráfico sãoa) clareza, veracidade e simbolismo.b) simbolism...
89c) Quando queremos ressaltar a participação do dado total em relação aos demais dados,é aconselhável o uso do gráfico __...
907. Com base nos dados da questão 6, construa:a) um Histograma de Freqüências Absolutasb) um Polígono de Freqüência.
91GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO VI1. c2. d3. b4. b5.a) diagramas, cartogramas, estereogramasb) O histogramac) do Setor ...
92TEXTO VIIMEDIDAS ESTATÍSTICASEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz de:Identificar Medidas Estat...
93Exemplo: Calculemos a Média Aritmética na Série Estatística, a seguir.TABELA 11MESES VENDAS (Reais)Janeiro 22.000,00Feve...
94Exemplo: Calcule a Média Aritmética Ponderada na série seguinte:TABELA 12VALORES (ai) QUANTIDADE (fi) PRODUTOS (ai . fi)...
95Temos: ∑ (xi . fi) = 24340 e ∑ fi = 1000Assim:100024340=pM = R$ 24,343. MEDIANA (Md)3.1. Para dados não agrupadosDada um...
96a média aritmética dos termos de ordem P =2ne P’ = 1+2n, se n for par.Podemos comprovar tal fato nas séries dadas anteri...
973.2.1. Dados agrupados sem intervalos de classePara determinar a mediana, neste caso, primeiramente determinamos a posiç...
982º Exemplo:ai 10 11 12 13 ∑fi 1 3 5 2 11Aqui temos n = 11. Então 6=21+11=P , isto é, a mediana é o 6.º elemento da série...
Estatítisca aplicada
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  1. 1. FORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAFORÇA AÉREA BRASILEIRAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAFORÇA AÉREA BRASILEIRABERÇOS DOS ESPECIALISTASGuaratinguetá - SPESTATÍSTICA(MÓDULO ÚNICO)CAS09IMPRESSO NA SUBSEÇÃO GRÁFICA DA EEAR
  2. 2. 1COMANDO DA AERONÁUTICAESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICAENSINO INDIVIDUALIZADODISCIPLINA: NOÇÕES DE ESTATÍSTICAM Ó D U L O Ú N I C ONOÇÕES DE ESTATÍSTICAEDIÇÃO 2005
  3. 3. 2DOCUMENTO DE PROPRIEDADE DA EEARTodos os Direitos ReservadosNos termos da legislação sobre direitos autorais, é proibida a reprodução totalou parcial deste documento, utilizando-se qualquer forma ou meio - eletrônico ou mecânico,inclusive processos xerográficos de fotocópias e de gravação - sem a permissão, expressa e porescrito, da Escola de Especialistas de Aeronáutica - Guaratinguetá, São Paulo.Guaratinguetá - São Paulo
  4. 4. 3Í N D I C EPÁGINAINTRODUÇÃO ....................................................................................................... 05ROTEIRO ................................................................................................................ 06TEXTO I – REVENDO ELEMENTOS MATEMÁTICOS ESSENCIAIS ÀESTATÍSTICA .......................................................................................................... 07EXERCÍCIOS DO TEXTO I .......................................................... 21GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO I ............................ 23TEXTO II – CÁLCULOS, GRANDEZAS E UNIDADES EXCLUSIVAS DAESTATÍSTICA .......................................................................................................... 25EXERCÍCIOS DO TEXTO II ......................................................... 35GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO II .......................... 37TEXTO III – A ESTATÍSTICA NA ADMINISTRAÇÃO E OPLANEJAMENTO ESTATÍSTICO ......................................................................... 38EXERCÍCIOS DO TEXTO III ........................................................ 50GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO III ......................... 52TEXTO IV – REPRESENTAÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICOS: SÉRIES,FREQÜÊNCIAS, CLASSES .................................................................................... 53EXERCÍCIOS DO TEXTO IV ....................................................... 66GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO IV ......................... 67TEXTO V – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ................................................ 68EXERCÍCIOS DO TEXTO V ......................................................... 72GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO V .......................... 74
  5. 5. 4TEXTO VI – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ....................................................... 75EXERCÍCIOS DO TEXTO VI ....................................................... 88GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO VI ......................... 91TEXTO VII – MEDIDAS ESTATÍSTICAS ........................................................... 92EXERCÍCIOS DO TEXTO VII ...................................................... 111GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO VII ....................... 115EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ........................................... 121GABARITO DOS EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ............ 125AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................................. 132GABARITO DA AUTO-AVALIAÇÃO ........................................ 137CONCLUSÃO ............................................................................................................. 138BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................... 139
  6. 6. 5I N T R O D U Ç Ã OLembre-se: Ninguém pode aprender por você.Mãos à obra!Boa Sorte!Prezado Cursista,É com satisfação que estamostrabalhando com você.Neste módulo vamos conversarum pouco sobre ESTATÍSTICA, e sendoassim, achamos necessário informá-lo arespeito do que é realmente a Estatística ea sua aplicabilidade.Segundo Antônio A. Crespo, “AEstatística é uma parte da MatemáticaAplicada que fornece métodos para coleta,organização, descrição, análise einterpretação de dados e para a utilizaçãodos mesmos nas tomadas de decisões.”Ainda segundo o mesmo A. A.Crespo, “em geral, as pessoas, quando sereferem ao termo estatística, o fazem nosentido da organização e descrição dosdados [...], desconhecendo que o aspectoessencial da Estatística é o deproporcionar métodos inferenciais, quepermitam conclusões que transcendamos dados obtidos inicialmente.”Dessa forma, a Estatística não ésimples compilação de dados, mas umprecioso método de observação e análisedos fatos naturais e sociais. Assim, aanálise e a interpretação dos dadosEstatísticos tornam possível a uma empresa,uma escola, ou mesmo um determinado setorde trabalho da Aeronáutica, diagnosticar umdeterminado problema, possibilitando, assim,o planejamento de ações estratégicas eformulação de soluções, nas mais diversasáreas de atuação. Dentre elas, podemos citarque fazem uso da Estatística:A Economia: quando estuda, porexemplo, a previsão orçamentária;A Demografia: quando estuda, porexemplo, a concorrência ao CFS porCOMAR;A Psicologia: quando estuda, porexemplo, a escolha das especialidades;A Sociologia: quando estuda, porexemplo, a regionalidade dos alunos doCFS.Pretendemos abordar, nestemódulo, noções básicas de Estatística, com oobjetivo de contribuir para o seu melhordesempenho profissional, facilitando-lhe ainterpretação de dados nos trabalhos deAdministração e Planejamento, na leitura degráficos estatísticos e outras situações àsquais a Estatística se aplique.Você vai estudar e aprender em seupróprio ritmo.
  7. 7. 6ROTEIROI. ASSUNTO: Noções de Estatística.II. OBJETIVOS: Após ter realizado as atividades propostas neste módulo, você estará aptoa:Identificar os princípios básicos de estatística (Cp);Aplicar a distribuição dos dados estatísticos, sua série e freqüência (Ap);Construir gráficos estatísticos com a técnica necessária (Ap);III. ATIVIDADES: Este módulo é composto de oito textos:Texto I - Revendo Elementos Matemáticos Essenciais à Estatística.Texto II - Cálculos, Grandezas e Unidades Usadas na Estatística.Texto III - A Estatística na Administração e o Planejamento Estatístico.Texto IV - Representação dos Dados Estatísticos: Séries, Freqüências, Classes.Texto V - Distribuição de Freqüência.Texto VI - Representação Gráfica.Texto VII - Medidas Estatísticas.Para dominar o conteúdo e alcançar os objetivos propostos, você deverá ler todos ostextos e realizar os exercícios com bastante atenção. Não passe adiante enquanto tiver dúvidas.IV. AUTO-AVALIAÇÃO: Esta atividade, ao final do módulo, servirá para indicar se vocêestá realmente preparado para passar ao módulo seguinte; para isso, deverá acertar todasas questões. Caso não acerte, volte ao estudo e tire suas dúvidas.ATENÇÃO: a auto-avaliação só deverá ser realizada após a leitura dos textos e realização dosexercícios, isto é, quando você se sentir em condições de se auto-avaliar.Você já está pronto?Vamos iniciar os estudos.
  8. 8. 7TEXTO IREVENDO ELEMENTOS MATEMÁTICOS ESSENCIAIS À ESTATÍSTICAEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz de:Dominar os aspectos matemáticos teórico-práticos essenciais à Estatística (Ap).Vamos recordar com você os elementos da Matemática essenciais ao estudo daEstatística, com vistas ao trabalho que interessa ao nosso curso.Vejamos, então:1. RAZÃOChama-se razão entre dois números o quociente indicado da divisão do primeiro pelosegundo (este diferente de zero).Exemplo: A razão entre 4 e 5 é54ou 4 : 5, que se lê: "4 está para 5".São dois os termos de uma razão:econseqüenteantecedent←←54O valor da razão é o quociente propriamente dito:Exemplos:a) 8,0=54c) 06,0318,0=d) 2=36d) 5,0=21=14472
  9. 9. 82. PROPORÇÃOProporção é a igualdade de duas razões.Exemplo:6432= ouextremosmeios6:4::3:2esconseqüentsantecedeneee←←6432Observe: 2 : 3 : : 4 : 6Lê-se: 2 está para 3 assim como 4 está para 6.: : : :Recordando:A propriedade fundamental das Proporções diz que:Exemplo:extremosmeios6:4::3:2ou 62436432×=×⇔=Generalizando: bcdadcba×=×⇔=A propriedade fundamental pode ser aplicada para calcularmos o termo desconhecido deuma proporção.Exemplos:“Em toda proporção, o produto dos extremosé igual ao produto dos meios”.Lembra?É só “multiplicarcruzado”!!!
  10. 10. 9a) Achar o valor de x na proporção:x2075=Aplicando a propriedade fundamental temos:5 . x = 7 . 20x = 28Resposta: x = 28b) Achar o valor de x na proporção:21186=xx . 18 = 6 . 21x =1821.6x = 7Resposta: x = 73. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAISDizemos que duas grandezas são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, ousimplesmente proporcionais, quando aumentando uma delas, a outra também aumenta, namesma proporção. Ou ainda, se, diminuindo uma delas, a outra também diminui, na mesmaproporção.Assim, se dobrarmos uma delas, a outra também dobra. Se uma delas é reduzida à umquinto do todo, a outra, também fica reduzida à um quinto do todo. E assim, em qualquerproporção em que aumentarmos ou diminuirmos uma das grandezas, o mesmo acontecerá naoutra grandeza. Podemos exemplificar tais grandezas como:Recordou o assunto?Tudo entendido?Ótimo!
  11. 11. 10i. 1000 alunos do CFS da EEAR geram uma despesa; 2000 alunos do mesmo CFS gerarãouma despesa equivalente ao dobro da anterior; 500 alunos, uma despesa equivalente àmetade da inicial.ii. Um 1º Sargento BSP deparou-se com a seguinte situação: na compra de 600 litros decombustível para os aviões da FAB pagaria uma determinada quantia e, se comprasse1800 litros, pagaria o triplo da quantia inicial. Assim, ele concluiu que na compra de 300litros terá de pagar a metade do preço inicial.4. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAISDizemos que duas grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS quando,aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção. Ou ainda, se, diminuindo umadelas, a outra aumenta na mesma proporção.Assim, se dobrarmos uma delas, a outra fica reduzida à metade. Se uma delas é reduzidaà um quinto do todo, a outra fica multiplicada por cinco. E assim, em qualquer proporção em queaumentarmos ou diminuirmos uma das grandezas, acontecerá o inverso na outra grandeza.Podemos exemplificar tais grandezas como:i. Um avião Bandeirante tem capacidade de voar de Barbacena a Guartinguetá, a uma dadavelocidade, em 40 minutos. Se o vôo fosse num Caça, a uma velocidade correspondenteao dobro da obtida anteriormente, o mesmo percurso seria feito em apenas 20 minutos. Ese fosse num Helicóptero, voando a uma velocidade igual à metade da do Bandeirante, otempo gasto seria 80 minutos.ii. Sob o comando de um Sub-Oficial SGS, uma tropa de 100 soldados é capaz de abrir umatrincheira para treinamento, em um determinado tempo. Se esse SO pudesse contar com300 soldados, o serviço previsto seria executado em um terço do tempo.Exemplos:a) Dois Sargentos participaram de um “bolão” e jogaram na loteria esportiva. Umcontribuiu com R$ 3,00 e o outro com R$ 6,00. Eles ganharam R$ 90.000,00 e o prêmio foidividido proporcionalmente à quantia que cada um investiu. Quanto cada um recebeu?
  12. 12. 11Comentário: Nesse caso, quem investiu maior quantia deverá receber maior valor, assimcomo, quem investiu menos receberá menos.Esse problema se refere a GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS.Resolução:1ª MANEIRA:Chamemos de x a quantia que receberá o que contribuiu com três reais, e de y a quantia quereceberá o que contribuiu com seis reais. Assim, temos que 000.90=+ yx .Da mesma forma, 3 está para x, assim como 6 está para y. Com isso, temos:yx63=Já que temos duas informações (equações), podemos montar um sistema:==+yxyx6390000.Das diversas maneiras usadas para resolver um sistema, podemos resolver esse, em particular,usando a seguinte resolução:=⇒=⇒==+xyxyyxyx2636390000Podemos substituir y por 2x na primeira equação. Assim, temos:000.90yx =+000.90x2x =+000.90x3 =000.30x =Como 30000.2yx2y =⇒=000.60y =2ª MANEIRA:Como um deles investiu R$ 3,00 e o outro R$ 6,00, podemos pensar em dividir o prêmio em 9partes (cada parte corresponde a R$ 1,00 investido), isto é, 10000990000 =÷ . Assim, um dossargentos terá direito a 3 partes e o outro a 6. Podemos, então, multiplicar: 30000310000 =× e60000610000 =× e já teremos a quantia que cada um deve receber.Resposta: Aquele que investiu R$ 3,00 ganhará R$ 30.000,00, e o que investiu R$ 6,00ganhará R$ 60.000,00.
  13. 13. 12b) Um prêmio de R$ 90.000,00, referente à gratificação de Natal, será dividido entre doistrabalhadores de uma Multinacional, de tal forma que o que faltou menos ao serviço duranteo ano ganhará mais do que aquele que faltou maior número de dias. Se os concorrentes aoprêmio tiveram número de faltas iguais a 3 e 6 dias, quanto cada um receberá?Comentário: Nesse caso, quem faltou mais receberá menor valor, assim como, quemfaltou menos receberá um valor maior.Esse problema se refere a GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.Resolução:Chamemos de x a quantia que receberá o que faltou 3 dias, e y a quantia que receberá oque faltou 6 dias. Assim, temos que 000.90yx =+ .Da mesma forma, x está para31, assim como y está para61(por termos grandezas inversamenteproporcionais, invertemos os números que dão a devida proporção). Com isso, temos:61y31x=Já que temos duas informações (equações), podemos montar um sistema:==+61y31x000.90yx.Das diversas maneiras usadas para resolver um sistema, podemos resolver esse em particularusando a seguinte resolução:=⇒=⇒=⇒==+equação.primeiranay2porxsubstituirpodemosey2xy6x33y6x61y31x000.90yxAssim temos:000.90yx =+000.90yy2 =+000.90y3 =000.30y =Como 30000.2xy2x =⇒=000.60x =Resposta: Aquele que faltou 3 dias ganhará R$ 60.000,00, e o que faltou 6 dias ganharáR$ 30.000,00.
  14. 14. 135. REGRA DE TRÊS SIMPLESRegra de Três é uma regra prática que permite resolver problemas que envolvem valoresde duas ou mais grandezas, diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.A Regra de Três Simples é aquela que relaciona dois valores de uma grandeza com doisvalores de outra grandeza.OBSERVAÇÃO: Sempre, antes de efetuar os cálculos de uma regra de três, verifique seas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Há pessoas que sempre“multiplicam cruzado” em regra de três simples, o que nem sempre é correto. Se as grandezasforem DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, “multiplicaremos cruzado”; se foremINVERSAMENTE PROPORCIONAIS, primeiramente vamos inverter os valores de uma dasgrandezas para depois, “multiplicarmos cruzado”.Exemplos:a) Comprei 3 canetas por R$ 3,60. Quanto pagarei por 8 canetas iguais?1ª MANEIRA:CANETA PREÇO3 3,608 xComentário: Estamos diante de uma situação onde as grandezas são diretamenteproporcionais, isto é, se aumentamos o número de canetas, aumentamos também o valor a serpago.Resolução:“Multiplicando cruzado”, temos: 60,3.83 =xResolvendo a equação:360,3.8=x60,9=x
  15. 15. 142ª MANEIRA:Comentário: Podemos calcular o preço de uma caneta efetuando a divisão 20,1=3÷60,3 .E, como queremos o valor de 8 canetas, podemos fazer 60,920,18 =× .Resposta: O valor de 8 canetas é R$ 9,60.b) Oito operários gastam 30 dias para executar um serviço. Seis operários, nas mesmascondições, quantos dias gastarão?1ª MANEIRA:OPERÁRIOS DIAS8 306 xComentário: Estamos diante de uma situação onde as grandezas são inversamenteproporcionais, isto é, se aumentamos o número de operários, diminuiremos o número de dias a setrabalhar.Resolução:Como temos grandezas inversamente proporcionais, faremos a inversão dos valores de uma dasgrandezas. Desta forma:x3086= . “Multiplicando cruzado”, temos:30.86 =xResolvendo a equação:630.8=x40=xResposta: Serão necessários 40 operários.6. PORCENTAGEMA porcentagem é bastante empregada na Estatística e para prosseguirmos, vamos definiralguns termos muito utilizados.Por cento ou taxa percentual: é a razão entre 2 números, sendo que o conseqüente é 100, ouseja, a fração cujo denominador é 100. É o mesmo que centésimo.
  16. 16. 15Exemplo:10012%12 =Principal: é a quantia ou quantidade à qual se aplica a taxa percentual.Exemplo: Quando queremos calcular 12% de R$ 80,00, dizemos que R$ 80,00 é oprincipal.Porcentagem: é a quantia ou quantidade que resulta da aplicação da taxa ao principal.Exemplo: Quando calculamos 12% de R$ 80,00 e obtemos R$ 9,60, dizemos queR$ 9,60 é a porcentagem.Exemplos: Vamos resolver alguns problemas envolvendo porcentagens.a) Calcular 8% de 400.1ª MANEIRA:Usando regra de três, teremos:VALOR TAXA400 100 %x 8 %8100400=x⇒ 8.400100 =x ⇒ 32=xOBSERVAÇÃO: Veja que Regras de Três Simples que fazem uso de porcentagem são sempreDiretamente Proporcionais (quando aumenta a quantidade, a porcentagem é maior; quandodiminui a quantidade, a porcentagem é menor).2ª MANEIRA:Usando fração, teremos:%8 de 400 ⇒ 400.1008⇒ 32100400.8=Resposta: 8% de 400 valem 32.
  17. 17. 16b) Em um colégio de 2200 alunos, o número de reprovados foi de 18%. Determinarquantos alunos foram reprovados.1ª MANEIRA:Usando regra de três, teremos:ALUNOS TAXA2200 100 %x 18 %181002200=x⇒ 18.2200100 =x ⇒ 396=x2ª MANEIRA:Usando fração, teremos:%18 de 2200 ⇒ 2200.10018⇒ 3961002200.18=Resposta: Foram reprovados 396 alunos.c) Vendi um objeto por R$ 276,00 e ganhei 15% sobre o preço de custo. Quanto mecustou o objeto?1ª MANEIRA:Usando regra de três:Se o valor de custo corresponde a 100%, e o valor de venda é igual ao de custo acrescido dolucro, temos que R$ 276,00 corresponde a 100% + 15%, isto é, 115%. Assim:VALOR TAXA276 115 %x 100 %100115276=x⇒ 100.276115 =x ⇒ 240=x2ª MANEIRA:Algebricamente, teremos:Chamando de x a quantia que representa o custo do objeto, teremos que o lucro corresponde a15% de x == xxxde 15,010015%15 ; desta forma, o valor de venda do objeto (R$ 276,00)corresponde a soma destes dois valores. Assim:
  18. 18. 1727615,0 =+ xx27615,1 =x15,1276=x240=xResposta: O objeto custou R$ 240,00.d) Numa sala de 30 alunos, faltaram 6. De quantos por cento foi a freqüência naqueledia?1ª MANEIRA:Como o que o problema pede é a porcentagem de alunos presentes, temos que com 6 faltosos em30 alunos, 24 estão presentes.Usando regra de três, teremos:ALUNOS TAXA30 100 %24 xx1002430= ⇒ 24.10030 =x ⇒3024.100=x ⇒ %80=x2ª MANEIRA:Usando fração, teremos:3024⇒ 80,0 ⇒ %80Resposta: A freqüência de alunos naquele dia foi de 80%.e) Sabendo-se que 30% de certa quantia vale R$ 270,00, qual o valor dessa quantia?1ª MANEIRA:Usando regra de três, teremos:VALOR TAXA270 30 %x 100 %
  19. 19. 1810030270=x⇒ 100.27030 =x ⇒30100.270=x ⇒ 900=x2ª MANEIRA:Algebricamente, teremos:Chamando de x a quantia, sabemos que 30% de x é 270, assim:%30 de x = 270 ⇒ 27010030=x ⇒30270.100=x ⇒ 900=xResposta: O valor da quantia é R$ 900,00f) Na compra de um objeto de R$ 700,00, houve um abatimento de R$ 42,00. Dequantos por cento foi o abatimento?1ª MANEIRA:Usando regra de três, teremos:VALOR TAXA700 100 %42 xx10042700= ⇒ 42.100700 =x ⇒ %6=x2ª MANEIRA:Usando fração, teremos:70042⇒ 06,0 ⇒ 6%Resposta: O abatimento foi de 6%.7. MÉDIAS1.1. Média Aritmética Simples (Ma):Média aritmética de dois ou mais valores é o resultado da divisão da soma dos valoresdados pelo número de valores.Exemplo: Os tempos de reação de um Piloto da FAB a certos estímulos foram medidospor um Psicólogo e tabelados a seguir:
  20. 20. 19Tempo de reação, em segundos 0,53 0,46 0,49 0,52 0,53 0,44 0,55 0,56Qual o tempo médio de reação do Piloto aos estímulos?Podemos resolver este problema calculando a Média Aritmética Simples dos tempos:846,055,044,053,052,049,046,053,0 +++++++=Ma808,4=Ma51,0=Ma segundosResposta: O tempo médio de reação é de 0,51 segundos.1.2. Média Aritmética Ponderada (Mp):Considere a seguinte situação: Todas as quartas-feiras, o time de futebol de salão dosProfessores e Instrutores da EEAR se reúne para uma partida amistosa. Considerado o últimojogo, temos as idades dos jogadores em questão:IDADES (anos)QUANTIDADEDE JOGADORES30 333 222 125 4Podemos calcular a média de idade dos jogadores desse time fazendo os seguintescálculos:( )jogadoresM10254221332303 ×+×+×+×=10100226690 +++=M10278=M
  21. 21. 2027,8=M Assim, a média das idades dos jogadores é 27,8 anos.A esse tipo de média chamamos de ponderada.Média aritmética ponderada, de duas ou mais quantidades, é o valor que se obtémsomando os produtos de cada valor pelo seu respectivo peso (ou número de vezes que esse serepete) e, a seguir, dividindo o resultado obtido pela soma dos pesos (ou repetições).Vamos resolver algunsexercícios comorevisão do assunto.
  22. 22. 21EXERCÍCIOS DO TEXTO Ia) Verifique se os números apresentados em cada item (na ordem dada) formam proporções.Use sim ou não.a) 5, 6, 10, 12b) 1, 3, 2, 6c) 4, 10, 2, 5d) 3, 7, 4, 9b) Determine o valor de x, usando a propriedade fundamental das proporções.a)63=2xb)8=45 xc)614=7xd)217=1xc) Calcule a Média Aritmética (Ma) dos seguintes números:a) 3, 5, 7, 9b) 60, 80, 100 e 90 (com aproximação até décimos)d) Resolva:a) Um atleta, ao treinar salto em altura, atinge as seguintes marcas:2,53 m; 2,47 m; 2,48 m; 2,52 m; 2,50 m.Qual a altura média atingida?b) Um time de basquete, ao longo de 6 partidas, faz o seguinte número de pontos:1ª partida: 70 2ª partida: 823ª partida: 76 4ª partida: 1085ª partida 93 6ª partida 87Qual a média de pontos desse time por partida?
  23. 23. 22e) Calcule a média ponderada de um aluno, em Geografia, sabendo que foram atribuídospesos diferentes em cada Avaliação:1º Bimestre: nota 6 (peso 1) 2º Bimestre: nota 7 (peso 2)3º Bimestre: nota 8 (peso 3) 4º Bimestre : nota 10 (peso 4)f) Calcular:a) 25% de R$ 300,00b) 30% de R$ 144,00g) Um automóvel, com a velocidade constante de 80 km/h, percorre uma certa distância em4 horas. Em quantas horas fará o mesmo percurso se diminuir a velocidade para 60 km/h?h) Numa compra de R$ 36,50, obtive um desconto de 12%. Qual foi o valor do desconto?i) Paguei 35% de multa sobre uma conta cujo valor era de R$ 144,00. Quanto paguei demulta?j) Uma cidade possui 82.000 habitantes, dos quais 42% são eleitores. Quantos eleitores temessa cidade?k) Um vendedor recebeu 6% de comissão sobre uma venda no valor de R$ 12.500,00.Quanto recebeu de comissão?l) Numa turma de 50 alunos, 40% são moças. Qual o número de moças dessa turma?
  24. 24. 23GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO I1) a) sim b) sim c) sim d) não2)a) x.6 = 2.36x = 6x = 1b) 4.x = 5.84x = 40x = 10c) x.14 = 7.614x = 42x = 3d) 7.x = 1.217x = 21x = 33)a) 6=49+7+5+3=Mab) 5,82=490+100+80+60=Ma4)a) mMa 50,2=5250+52,2+48,2+47,2+53,2=b) 86=687+93+108+76+82+70=Ma5) 4,8=1040+24+14+6=4+3+2+14×10+3×8+2×7+1×6=Mp6)a)10025x R$ 300,00 = R$ 75,00b)10030x R$ 144,00 = R$ 43,20
  25. 25. 247)Velocidade (km/h) Tempo (h)80 460 xComo as grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, temos:x4=80604.80=60x604.80=x60320=xmin205= hx8)10012x 36,50 = R$ 4,389)10035x 144,00 = R$ 50,4010)10042x 82000 = 34.44011)1006x 12.500,00 = R$ 750,0012)10040x 50 = 20320 6020 5 hTransformando 20 horasem minutos, temos:20 x 60 = 1200 minutos,então:1200 6020 min
  26. 26. 25TEXTO IICÁLCULOS, GRANDEZAS E UNIDADES USADAS NA ESTATÍSTICAEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz deIdentificar os Cálculos, as Grandezas e Unidades usadas na Estatística (Cp);Empregar corretamente os Cálculos, as Grandezas e as Unidades Estatísticas (Ap).1. ARREDONDAMENTO DOS NÚMEROSO arredondamento na representação de números, muitas vezes, faz-se necessário, poissurgem números representados com várias ordens decimais, o que nem sempre nos interessa.Nesse caso, lançamos mão do Arredondamento dos Números.1.1. Regras para o Arredondamento dos Números(De acordo com a resolução 886/66 da Fundação IBGE)1ª REGRA - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, ficainalterado o último algarismo a permanecer.Exemplo: 48,23 passa a 48,2.2ª REGRA - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumenta-sede uma unidade o último algarismo a permanecer.Exemplos: a) 23,07 passa a 23,1. b) 34,99 passa a 35,0.3ª REGRA - Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, haverá duas soluções:a) se o 5 for o último algarismo ou se após o 5 só se seguirem zeros, o último algarismoa ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.
  27. 27. 26Exemplos:a) 24,75 passa a 24,8;b) 24,365 passa a 24,36;c) 24,447500000 passa a 24,448;d) 24,6500000 passa a 24,6;e) 123,99502 passa a 124,0.b) se após o 5 existe algum algarismo diferente de 0 (zero), seguimos a 2ª REGRA, ouseja, aumentamos uma unidade ao último algarismo a permanecer.Exemplos:a) 24,7500007 passa a 24,8;b) 24,36500004 passa a 24,37;c) 12,50242 passa a 13,0.OBSERVAÇÃO:Deve-se evitar os arredondamentos sucessivos; e fica recomendada a volta aos dadosoriginais, caso se proceda a novo arredondamento.Exemplo: É correto arredondar o nº 17,44454 para 17,4 ou para 17 e não para 17,445para 17,45 para 17,5 para 18, sucessivamente.
  28. 28. 272. GRANDEZAS COMPARATIVASÉ comum, na prática, ao fazermos comparações entre duas grandezas, usarmosindistintamente os termos índice, coeficiente e taxa. Estes apresentam, no entanto, as seguintesdiferenças:2.1. ÍNDICEÉ a comparação entre duas grandezas independentes. Exemplos:( )lIntelectuaQuocienteQIodenominaçãsemnúmeroacronológicidadementalidadeQI ==2hab/kmáreapopulaçãoaDemográficDensidade =2.2. COEFICIENTEÉ a comparação entre duas grandezas em que uma está contida na outra. Exemplos:populaçãoóbitosemortalidaddeeCoeficient =alunosdetotalaprovadosescolarentoaproveitamdeeCoeficient =2.3. TAXAÉ o mesmo que coeficiente, multiplicado por 10n (10, 100, 1000, ...), onde n pertence aoconjunto dos números naturais (N).n10xecoeficient=Taxa
  29. 29. 282.4. PERMANÊNCIAS MÉDIAS2.4.1. Permanência média dos estoquesÉ utilizada para estudar e analisar as alterações dos estoques.Cálculo:mêsoduranteestoquedesaídas)(ouentradasdeTotalmêsdodiasdiferentesnoscalculadomédioEstoqueExemplo: Um almoxarifado manteve, em média, durante o mês, 50 mantas, sendo que ototal de entradas de estoque foi de 500 mantas. Logo, a permanência média será:10150050= . Isto significa que cada manta permaneceu, em média,101do mês no estoque,ou seja, 3 dias, considerando-se o mês com 30 dias2.4.2. Permanência média dos funcionáriosUtilizada para medir a permanência média dos funcionários.Cálculo:anoodurantedemissões)(ouadmissõesdeTotalanooduranteosfuncionáridemensalMédiaExemplo: Uma empresa apresenta, em média, durante o ano, 20 funcionários emdeterminado setor, sendo que nesse mesmo ano, foram admitidos 40 funcionários para lugaresdeixados pelos que saíram. A permanência média desse setor será:214020= . Isto é, isto é, cada funcionário permanece, em média,21do ano ou 6 meses.
  30. 30. 293. NÚMEROS ÍNDICESA análise comparativa de diversos fenômenos congêneres, representados pelas SériesEstatísticas, torna-se mais simples se cada uma destas séries for representada por um número,facilitando, dentre outros acontecimentos, a observação da variação de preço, do custo de vida,do salário, do volume de exportação.Para isso, entretanto, é preciso observar a existência de termos de uma espécie nas váriasséries consideradas, sem o que não se pode chegar a uma conclusão concisa das oscilaçõesexistentes.Assim, na Tabela Delta, pode-se, mediante simples observação, verificar a variação depreço de cada mercadoria nas duas épocas citadas.TABELA DELTAPREÇOS EM REIASCarro Popular2004 2005FIAT 15.000 18.000Volkswagen 20.000 21.500Chevrolet 16.000 20.000TOTAL 51.000 59.500No caso da oscilação de preço do conjunto de Carros Populares, é necessário representaros valores de cada uma das épocas por um único número, do qual denominar-se-á NÚMEROÍNDICE, que expressará o conjunto dos números relativos.4. RELATIVOS E ÍNDICESPara tornar mais simples as comparações citadas, toma-se um dos conjuntos apresentadosna Tabela Delta e, através de uma regra de três simples, transforma-se uma das Séries em base100 e os outros valores são proporcionais a esta base. Observe o Exemplo a seguir.
  31. 31. 30Tomando-se, na Tabela Delta, o ano 2004, como sendo o ano base, que será sempre 100,e estabelecendo-se a Regra de Três, temos:FIATx1001800015000120=xVOLKSWAGEMx1002150020000107=xCHEVROLETx1002000016000125=xTOTALx1005950051000...66,116=xUma vez efetuados os cálculos, a nova Tabela, já com o ano de 2004 como ano base 100,ficará assim transformada:TABELA ECOPREÇOS EM REIASCarro Popular2004 2005FIAT 100 120Volkswagen 100 107Chevrolet 100 125TOTAL 100 116,66...Os números que constituem a nova tabela são denominados NÚMEROS RELATIVOS.O número representativo do conjunto de valores relativos de determinada época emrelação à outra (pode ser também de determinado local em relação a outro), denomina-seNÚMERO ÍNDICE.
  32. 32. 31Ao examinarmos a nova tabela construída de imediato, notamos que o preço dasmercadorias consideradas em 2005 subiu de 16,66% em relação ao ano de 2004.A facilidade de interpretação é que faz o Número Índice ser de grande aplicação emEstatística.Agora, vamos focalizar um tema que é muito comum em nosso dia-a-dia:PROBABILIDADES.5. PROBABILIDADESObservação: Mesmo em nível elementar, o assunto "Probabilidades" emprega outros conceitosmatemáticos mais complexos (arranjos, Binômio de Newton, logaritmos...) que fogem aosobjetivos desse Módulo. Daremos agora, apenas "noções" de Estatística. Se você sentirnecessidade de mais informações, consulte a Bibliografia indicada no final deste módulo.O termo PROBABILIDADE é usado de modo muito amplo diariamente para sugerir umcerto grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro ou o que estáocorrendo no presente. A idéia de Probabilidade desempenha papel importante em muitassituações que envolvem uma decisão.5.1. CONCEITOS BÁSICOS5.1.1. Experimento aleatórioÉ aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições indefinidamente, não sendopossível prever qual será o resultado. É possível, porém, descrever todos os possíveis resultados.Indicaremos os experimentos por E. Observe o Exemplo:O lançamento de um dado é um experimento aleatório. Não podemos afirmar, antes delançá-lo, qual o número que sairá voltado para cima, mas podemos dizer todos os númerospossíveis de saírem: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  33. 33. 325.1.2. Espaço AmostralÉ o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Indicaremospor S.5.1.3. EventoÉ qualquer conjunto de resultados de um experimento. Indicaremos por letras maiúsculas:A, B, C,...5.1.4. Conjunto dos eventosComo evento é um conjunto, podemos realizar com os eventos operações costumeiras deUnião e Intersecção de conjuntos.Assim:Exemplo: Seja o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de 1 a 10.Sejam os eventos:A: "sair número 5" e B: "sair número par"S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {5} B = {2, 4, 6, 8, 10}BA U = {5, 2, 4, 6, 8, 10}BA I = ∅ (evento impossível)A = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}B = {1, 3, 5, 7, 9 }AA U = SAA I = ∅BB U = SBB I = ∅BA U - é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer, ou ambos ocorrerem.BA I - é o evento que ocorre se A e B ocorrerem.A - (lê-se: A traço) é o evento que ocorre se A não ocorrer.
  34. 34. 335.1.5. Probabilidade matemáticaA Probabilidade matemática de um acontecimento é a relação entre o número de casosfavoráveis e o número de casos possíveis.Indicamos:NAp = onde p = probabilidade, A = número de casos prováveis e N =número de casos possíveisExemplo: Qual a probabilidade de, lançado um dado, sair um número par?A = {2, 4, 6} número de pontos pares no dado.N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} número de faces do dado.%505,0=21=63== ouNApResposta: A probabilidade é de 50%.5.1.6. Acontecimentos mutuamente exclusivosDois ou mais acontecimentos são mutuamente exclusivos, quando, ocorrendo um deles,não pode ocorrer o(s) outro(s). Para essa espécie de acontecimento, que se chama"acontecimento total", aplica-se o seguinte teorema:Exemplo: Qual a probabilidade de alguém ser premiado em um sorteio, de 100 bilhetes,estando de posse de três bilhetes?Resolução:Probabilidade de cada bilhete :1001=pProbabilidade dos três bilhetes, aplicando-se o teorema citado:%3=03,0=1003=1001+1001+1001=pResposta: A probabilidade é de 3%.
  35. 35. 345.1.7. Probabilidade em provas repetidasMuitas vezes há interesse em saber, em certo número n de provas, qual a probabilidadede ocorrência de um acontecimento, pelo menos uma vez.Pensamos assim:( )( ) ( )pppq −−−= 1...11n vezes( )npq −= 1A probabilidade a favor em n provas P :qP −= 1( )npP −−= 11Vamos aos Exemplos:a) Em 6 jogadas de um dado, qual a probabilidade de sair a face 3, pelo menos uma vez?Resolução:61=p e 6=n66111 −−=P6651 −=P46656156251−=P466563031=P665,0=P%5,66=Pb) Dois dados são lançados. Pede-se:Determine o espaço amostral.Resolução: S = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6);(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,1); (5,2); (5,3);(5,4); (5,5); (5,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}A probabilidade simples do acontecimento: pA probabilidade contrária: q ou p−1O número de provas: nA probabilidade contrária em n provas:
  36. 36. 35Enumere o evento A de tal forma que apareçam dois números cuja soma seja 9.Resolução: A = {(4,5); (5,4); (3,6); (6,3)}Enumere o evento B de tal forma que apareçam dois números cuja soma seja 7.Resolução: B = {(1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3)}Calcule a probabilidade do Evento A.Resolução: Probabilidade do evento ( )APA =Número de casos favoráveis = NCF e Número total de casos = NTC( )91=364==NTCNCFAPCalcule a probabilidade do Evento B.Resolução: ( )61=366==NTCNCFBPDê a probabilidade de ( )AP .Resolução: ( ) 98911 =−=APCalcule a probabilidade da soma ser 7 ou 9.Resolução: ( ) ( ) ( )18518326191=+=+=+= BPAPBAP Uc) Qual a probabilidade de em 6 rodadas de uma roleta dar uma vez o nº 29? Observação: Essaroleta contém 36 números.Resolução:361=p( )npP −−= 11 com 6=n636111 −−=P636351 −=P156,0=P%6,15=P
  37. 37. 36EXERCÍCIOS DO TEXTO II1) A adição 34,31435 + 0,846 + 123,57417 tem como soma o seguinte número arredondadoaté centésimos:a) 158,72b) 158,73c) 158,74d) 158,752) No departamento de digitação de um grande jornal, há três funcionários que possuem aprodução pessoal de:- Digitador A: 500 folhas em 5 dias de 8 horas;- Digitador B: 400 folhas em 6 dias de 8 horas;- Digitador C: 400 folhas em 5 dias de 10 horas.A produção desse escritório, em termo de folhas-horas, é:a) 59.200 folhas-horab) 59.400 folhas-horac) 60.200 folhas-horad) 60.400 folhas-hora3) Registrou-se, numa seção de suprimento, que o estoque médio de lâmpadas de visores detiro foi de 12 lâmpadas e durante o ano houve entrada de 36. Logo a permanência médiadas lâmpadas foi de:a) 3 mesesb) 4 mesesc) 5 mesesd) 6 meses4) Num colégio de 2.000 alunos, houve um coeficiente de aproveitamento escolar de 0,9.Quantos alunos foram aprovados?a) 1.500b) 1.600c) 1.700d) 1.800Confira suas respostas na página seguinte.
  38. 38. 37GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO II1) b2) a3) b4) d
  39. 39. 38TEXTO IIIA ESTATÍSTICA NA ADMINISTRAÇÃO E O PLANEJAMENTO ESTATÍSTICOEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz de:Identificar a importância da Estatística para a Administração (Cn);Identificar as etapas do Planejamento Estatístico (Cn);Utilizar o trabalho estatístico numa situação prática (Cn).Vamos falar, inicialmente, sobre a ESTATÍSTICA e a ADMINISTRAÇÃO.1. ESTATÍSTICA E ADMINISTRAÇÃOComo você já deve ter percebido, no mundo atual, a Administração ocupa uma das áreasmais importantes da atividade humana. Sua tarefa principal é propiciar condições aos gruposorganizados para operarem de modo eficiente em busca dos objetivos a que se propõem.A Administração deve, em toda ação e decisão, colocar em primeiro lugar a realizaçãoeconômica; ela só pode justificar sua existência pelos resultados econômicos que produza.Administrar, segundo Fayol, é:1.1. O AdministradorO trabalho do administrador deve atingir os objetivos desejados; deve ser dirigido etambém controlado pelos objetivos a realizar e não por imposição superior.1.2. Decisões dos administradoresTodas as funções citadas anteriormente são importantes, porém as mais difíceis de seremdesenvolvidas são as de coordenar e tomar decisões (comandar), por serem comuns a todos osramos da atividade humana.PlanejarOrganizarComandarCoordenarControlar
  40. 40. 39Para coordenar e colocar em funcionamento o sistema administrativo, o administrador,quer o civil, quer o militar, tem que decidir.Uma decisão é racional quando há perfeita coerência entre a alternativa escolhida e osobjetivos visados.O administrador decide sob duas condições:Sob certeza → sem risco.Sob incerteza → com risco total ou parcial.1.2.1. Decisão sob certezaA decisão com certeza é assim considerada quando quem a tomou tem plenoconhecimento das circunstâncias que envolvem o problema. Neste caso, a decisão é tomada semqualquer risco.1.2.2. Decisão sob incertezaA decisão sob incerteza é assim considerada quando quem a tomou possui conhecimentoparcial ou ignorância total do assunto a decidir.Entre esses dois extremos, conhecimento e ignorância total, situa-se a mais importantedas decisões: as decisões sob risco.O fato de ser considerada a mais importante é porque a realidade tem demonstrado que,apenas em casos muito especiais, temos conhecimento absoluto de todas as variáveis queinfluem no problema. Daí o administrador ter a tarefa de decidir sob risco, muitas vezes; noentanto, deverá fazê-lo de modo racional.A Estatística é o mais importante instrumento para esse tipo de decisão.
  41. 41. 401.3. DECISÃO COM AUXÍLIO DA ESTATÍSTICAPara o tratamento e análise de certos aspectos dos dados numéricos apresentados pelosproblemas com que se defrontam as empresas no momento de tomarem decisões, desenvolveu-sea Estatística como um ramo da Matemática.Freqüentemente nos deparamos com situações em que desejamos estudar ocomportamento de certos fenômenos, sujeitos a um complexo de causas que impossibilitam aaplicação de métodos determinísticos, e a respeito dos quais possuímos numerosos dados.Nestes casos podemos recorrer aos métodos fornecidos pela Estatística. Esta permite,então, que formulemos conclusões a respeito do comportamento da média dos indivíduos quefazem parte do fenômeno estudado, e contornemos o problema de indeterminação quecaracteriza cada indivíduo em particular.Para tornar mais claro o que dissemos, vejamos o fenômeno dos acidentes de trânsito.Eles podem ocorrer por inúmeras causas: por falha mecânica, por falha humana, por falta devisibilidade, pela má qualidade das estradas, ou por tudo isso ao mesmo tempo. Assimconsiderado de modo genérico, o fenômeno acidente de trânsito está sujeito a um complexo decausas. Tomando-se um veículo em particular, não podemos afirmar nem quando e nem comoele sofrerá acidente, ou se sofrerá algum acidente.Contudo, se analisarmos o que já aconteceu com um grande número de automóveis,podemos estabelecer, por exemplo, que, em média, os veículos analisados sofreram doisacidentes por ano.Desta forma, se considerarmos um grande número de veículos, poderemos esperar queocorram, em média, dois acidentes com os mesmos durante o próximo ano.Trabalhando com os dados relativos ao comportamento da média dos acidentes detrânsito, as companhias seguradoras podem prever, com relativa segurança, as despesas que terãocom as indenizações sobre acidentes de trânsito.
  42. 42. 41A administração de uma empresa defronta-se com inúmeras situações que requerem umaabordagem desse tipo.Vamos mostrar, no quadro a seguir, o que focalizamos até aqui sobre este assunto.Observe:CONDIÇÃOCONHECIMENTODO ASSUNTORISCO MEIOSSob certeza Total Sem riscoLógica – Métodosquantitativosdeterminísticos.Parcial ParcialDECISÕESSob incertezaSem conhecimento TotalEstatística – Métodosquantitativosprobabilísticos.Percebeu aimportânciada Estatísticapara oAdministrador?
  43. 43. 421.4. ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERÊNCIA ESTATÍSTICAVamos, agora, conversar mais detalhadamente sobre Estatística, uma vez que já tomamosconhecimento de sua importância para as decisões de um administrador.A Estatística desenvolve-se em dois setores:a DESCRITIVA,a INFERÊNCIA ESTATÍSTICA1.4.1. Estatística DescritivaAo analisarmos o comportamento de um determinado fenômeno, teremos, inicialmente,que colher informações e dados a seu respeito. Além disso, como tais dados são numerosos, énecessário sintetizá-los para que possamos absorver as informações que eles podem transmitir-nos.Assim, no estudo de um problema estatístico, existe uma fase de coleta e resumo dasinformações numéricas que fazem parte da Estatística Descritiva.A Estatística Descritiva consiste, portanto, na fase de coleta, resumo dos dados paraapresentação e crítica.1.4.2. Inferência EstatísticaA Inferência Estatística compreende os métodos que permitem ampliar para o todo asconclusões obtidas na análise de uma parte, ou melhor: Inferência é uma conclusão formada apartir de algumas deduções ou experiências.Portanto, a Estatística Descritiva refere-se à coleta, a sintetização, à apresentação e àcrítica dos dados; e a Inferência Estatística, à formulação de hipóteses e conclusões a respeito dotodo, a partir da análise de uma parte do todo.
  44. 44. 43Esquematizando:1.5. POPULAÇÃO E AMOSTRA1.5.1. PopulaçãoEm Estatística, designamos por POPULAÇÃO (ou UNIVERSO) o conjunto formadopelo total de elementos que apresentam características comuns, que estamos estudando. No casodos acidentes de trânsito, já citado, a População seria o total de veículos envolvidos emacidentes. Note que o termo POPULAÇÃO (UNIVERSO), em Estatística, nem semprecorresponde ao comumente usado; o que temos é uma população de dados.Exemplo: Se nosso problema fosse estudar o faturamento mensal da indústria nacional, anossa População (Universo) seria constituída pelo conjunto de dados relativos ao faturamentomensal de todos os estabelecimentos industriais do Brasil.ESTATÍSTICADESCRITIVAColeta dos dadosCrítica dos dadosResumo dos dadosINFERÊNCIAESTATÍSTICAFormulação dashipótesesConclusões a respeito do todo a partirda análise de uma parte do todo.
  45. 45. 441.5.2. AmostraEm Estatística, AMOSTRA é qualquer subconjunto de elementos da População, isto é,uma parte do todo. Assim, no exemplo anterior, se julgarmos excessivamente dispendiosoanalisar todos os estabelecimentos industriais do Brasil para tirarmos conclusões, poderemostrabalhar com uma amostra, constituída por um número representativo dos estabelecimentosindustriais.1.6. COMO É FEITO O TRABALHO ESTATÍSTICOJá se pode perceber até aqui que a Estatística é um poderoso meio auxiliar de que dispõeo administrador para a tomada de decisões. Vamos, portanto, detalhar as fases do TrabalhoEstatístico, tendo em vista as particularidades deste setor.1.6.1. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICONo desenvolvimento do Trabalho Estatístico, devemos seguir uma linha de procedimento,se quisermos chegar a uma conclusão que nos permita tomar a decisão acertada. Para istodevemos observar 7 fases:Tudo entendido atéaqui? Ótimo!Qualquer dúvida,reestude o texto.
  46. 46. 451. Definição do problema.2. Planejamento.3. Coleta de Dados.4. Apuração dos Dados.5. Crítica dos Dados.6. Apresentação dos Dados.7. Análise e Interpretação dos resultados finais.Exemplo: “Antônio, sapateiro de uma cidade, pretendendo montar uma pequena fábricade calçados para atender aos moradores do local, decidiu, de início, realizar uma produção empequena escala, cerca de 500 pares mensais, que pretende vender a seus clientes. De quetamanhos serão esses pares?”. Vamos determinar cada passo de Antônio.1. Definição do ProblemaNeste momento a preocupação de Antônio é: saber quantos pares de sapatos deve fabricarde cada tamanho a fim de que possa atender a sua clientela. Esta é a definição do problema.2. PlanejamentoAntônio raciocinou nos seguintes termos: Como a produção de calçados vai destinar-se àsua atual clientela, composta de 2000 clientes aproximadamente, como resolver o problema?Julgou, porém, que levaria muito tempo para obter informações destas 2000 pessoas e que talvezpudesse ser mais rápido, se obtivesse um número menor de dados, mas que fossemsuficientemente representativos. Resolveu tomar informações sobre o número dos sapatos deapenas 300 dos seus clientes, isto é, resolveu fazer um levantamento por amostragem.OBSERVAÇÃO: Amostragem é o levantamento estatístico em que apenas uma parte dapopulação é investigada. No caso em estudo, a população seria de 2000 clientes de Antônio. AAmostragem seria de 300 clientes que vão ser consultados. A seleção de uma Amostra, nodomínio estatístico, é baseada em rigorosos princípios de Probabilidade.Esclarecemos que a Estatística, no seu sentido científico, não reconhece amostra nãoprobabilística.
  47. 47. 463. Coleta de DadosEm seguida, Antônio remeteu os questionários, pelo Correio, aos 300 clientesrelacionados, como também poderia ter feito pessoalmente ou por telefone, fazendo assim o quedenominamos Coleta de Dados Direta.Antônio poderia também, caso soubesse as alturas desses 300 clientes relacionados, eatravés da correspondência entre altura e tamanho do pé, fazer o que denominamos de Coleta deDados Indireta.A Coleta de Dados refere-se, portanto, à obtenção e registro sistemático de dados comum objetivo determinado.4. Apuração de DadosA esta altura Antônio começou a receber de volta os questionários que havia enviado aosclientes. À medida que estes iam chegando, Antônio anotava em uma folha de papel o númerodos sapatos dos clientes, como se segue:Calçados usados pelos clientes 36 - 38 - 34 - 41 - 40 - 36 - 44 - 34 - 38 - 39 - 3335 - 40 - 37 - 38 - 34 - 39 - 40 - 41 - 39 - 39 - 3435 - 36 - 38 - 36 - 39 - 40 - 41 - 38 - 37 - 33 - 3339 - 40 - 42 - 43 - 41 - etc.. . . sem se importar com alguma ordem.Os dados apresentados na forma acima, sem observar alguma ordem, são chamados"DADOS BRUTOS". Os "Dados Brutos", mesmo observados atentamente, nada podemesclarecer, pois, embora sejam somente 300 dados, a impressão que nos dão é de confusão edesordem.A Coleta de Dados pode serDiretaIndireta
  48. 48. 47OBSERVAÇÃO: Se ordenarmos os 300 números dos sapatos em ordem crescente, obtemos umconjunto ordenado que recebe o nome de "ROL", observe:ROL dos números de calçados usados pelos clientes de Antônio:ROL é, portanto, o conjunto dos números de uma amostra seguindo rigorosamente certaordem, que poderá ser crescente, como no exemplo, ou decrescente.5. CríticaDurante a preparação do "ROL", é conveniente analisarmos os dados recebidos, isto é,efetuar o que chamamos de Crítica. Esta crítica consiste em verificar se as respostas contidas noquestionário estão de acordo com o que foi perguntado, pois muitas vezes as pessoas interpretammal as perguntas e respondem erradamente.Exemplo: É comum constar do questionário o “ano do nascimento” e a pessoa quepreencher o questionário responder “dia, mês e ano”, o que é errado, pois só nos interessa o "anode nascimento".31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 31 - 32 – 3232 - 32 - 32 - 32 - 32 - 32 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 – 3333 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 – 3333 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 33 - 34 – 3434 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 – 3434 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 - 34 – 3535 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 – 3535 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 – 3535 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 35 - 36 - 36 - 36 – 3636 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 – 3636 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 - 36 – 3636 - 37 - 37etc., sucessivamente, sempre em ordemcrescente, até completar 300 números.
  49. 49. 48A finalidade da Crítica é exatamente verificar se as respostas se coadunam com asperguntas, ou melhor, é o exame dos questionários para a correção de possíveis erros.6. Apresentação dos DadosObservando o "ROL" apresentado com apenas números, a impressão que aquele conjuntode valores nos causa é muito vaga e de difícil interpretação.Para maior clareza, a Estatística dispõe de dois modos para apresentar os dadoscoletados:.Apresentação Tabular (Tabelas)Apresentação por meio de Gráficos.Antônio, contando no "ROL" a quantidade de cada número, organizou a seguinte tabela:TABELA: NÚMERO DO CALÇADO POR CLIENTENÚMERO DO PÉ(tamanho dos calçadosdos clientes pesquisados)QUANTIDADE DE CLIENTES(que usam oscalçados indicados)31 e 32 1833 e 34 5135 e 36 6237 e 38 7539 e 40 6441 e 42 2743 e 44 3TOTAL 300FONTE: Relatório de Antônio – 2003Após a organização dos dados na Tabela, Antônio elaborou o Gráfico a seguir:
  50. 50. 4902040608031 e 32 33 e 34 35 e 36 37 e 38 39 e 40 41 e 42 43 e 44GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃONÚMERO DO CALÇADO POR CLIENTEFONTE: Relatório de Antônio - 1990.OBSERVAÇÃO: Na elaboração das Tabelas e Gráficos, existem normas propostas pelo IBGE,que veremos oportunamente.7. Análise e Interpretação dos Resultados FinaisEsta é a última etapa do Planejamento Estatístico. Resta-nos, pois, como última fase dotrabalho, concluí-lo, analisando os Dados apresentados tanto pela Tabela quanto pelo Gráfico.Nesta última etapa, estamos interessados em tirar conclusões que auxiliam na solução doproblema.Antônio chegou à seguinte conclusão: "Há uma concentração dos clientes em torno doscalçados de números 37 e 38 e poucos são os que usam 31, 32, 43 e 44". Tendo em vista osresultados apresentados pela Tabela, resolveu fabricar os diversos tamanhos de calçados,adotando, aproximadamente, a mesma proporção em que nela aparecem.A interpretação dos resultados finais é uma tarefa de grande responsabilidade e deve sersempre efetuada por um especialista na matéria. Assim, um técnico em estatística eletrônica "nãoestá apto a interpretar resultados pertinentes à estatística mecânica" e vice-versa.
  51. 51. 50EXERCÍCIOS DO TEXTO III1) Complete as lacunas corretamente.a) O emprego da Estatística na Administração é importante por _____________________________________________________________________________________________b) Uma decisão é racional quando existem entre as alternativas e os objetivos ____________________________________________________________________________c) A decisão com incerteza é tomada por quem tem ________________________________sobre o assunto.d) A Administração deve sempre, em toda a ação e decisão, colocar em primeiro lugar arealização: __________________________________________.e) A Estatística permite que formulemos conclusões a respeito do comportamento____________________________ dos indivíduos que fazem parte do fenômeno emestudo.2) Leia o enunciado do problema a seguir. Aplique cada uma das etapas do TrabalhoEstatístico ao problema em foco, construindo, na etapa de Apresentação de dados, aTabela e o Gráfico que lhes são pertinentes.“Lúcia, dona de uma confecção de determinada cidade, pretendepreparar camisetas unissex para atender aos moradores do local. Decidiu, deinício, confeccionar 600 camisetas por mês, que pretende vende-las aos seusclientes; produzirá em pequena escala.Surge, então, um questionamento: De que manequins devem seressas camisetas, sabendo-se que há uma clientela local de 1.500 pessoas?”(Lúcia tomou informações de 225 dos seus clientes. O menormanequim foi nº 40, e o maior, 52).
  52. 52. 51Etapas do Planejamento:1 –2 –3 –4 –5 –6 –Explique o que deve ser feito em cada uma das etapas.Confira o gabarito na página a seguir.Qualquer dúvida, consulte o texto.
  53. 53. 52GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO III1)a) auxiliar na tomada de decisão sob incerteza.b) perfeita coerência.c) conhecimento parcial ou ignorância total.d) econômica da empresa.e) médio.2) Conferir com o texto.
  54. 54. 53TEXTO IVREPRESENTAÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICOS:SÉRIES, FREQÜÊNCIAS, CLASSESEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz de:Representar Dados Estatísticos em tabelas, bem como interpretar as tabelas (Ap).1. TABELAOs dados estatísticos, como já vimos anteriormente, podem ser apresentados em Tabelas,de acordo com as normas do IBGE.1.1. Tabela Estatística"É um conjunto de dados destinado a revelar a evidência numérica de determinadosfenômenos em estudo". Observe o modelo de uma tabela.POPULAÇÃO DE ALGUMASCIDADES BRASILEIRAS EM 2004CIDADES *HabitantesBorá – SP 818Serra da Saudade – MG 884Anhanguera – GO 908Lagoa Santa – GO 951Oliveira de Fátima – TO 1.006TOTAL 4567FONTE: IBGENOTA: Os dados são estimativos.*Cidades com o menor número dehabitantes.COLUNANUMÉRICACASA OU CÉLULACABEÇALHOCORPOCOLUNAINDICADORARODAPÉTÍTULONOTACHAMADA
  55. 55. 541.2. Elementos da TabelaAs partes principais de uma tabela são: corpo, cabeçalho, coluna indicadora e fonte.Corpo da Tabela - abrange: colunas e linhas que contêm, respectivamente, as sériesverticais e horizontais de informações. Ao cruzamento de uma coluna com uma linhadá-se o nome de casa.Cabeçalho - é a parte da tabela em que é designada a natureza do conteúdo de cadacoluna.Coluna indicadora ou principal - é a parte da Tabela em que é indicada a natureza doconteúdo de cada linha, podendo a mesma tabela ter mais de uma coluna indicadora.Título - é a parte superior da tabela na qual são indicados:a natureza do fato estudado (O quê?)o local (Onde?)a época em que o mesmo foi observado (Quando?)Rodapé - é o espaço aproveitado, em seguida ao fecho da tabela, para inserção denotas de natureza informativa.Fonte - é o indicativo, no rodapé da tabela, da entidade responsável por suaorganização ou fornecedora dos respectivos dados.Notas e chamadas - são informações em linguagem concisa, colocadas no rodapé databela, em seguida à indicação da fonte.OBSERVAÇÕES:a) Usa-se a nota para conceituação da matéria constante da tabela ou, ainda, paraesclarecimento de caráter geral; quando houver mais de uma, numerá-las em numeraisromanos, e os respectivos textos seguidos de ponto e traço, com exceção do último, que éseguido só de ponto final;b) Usa-se a chamada para esclarecer certas minúcias em relação a casas, linhas ou colunas; ésempre numerada em algarismos, entre parênteses; quando mais de uma, os respectivostextos vêm seguidos de ponto e traço, com exceção do último, que só é seguido de pontofinal.
  56. 56. 551.3. Normas tabulares1. A tabela, excluídos o título e a fonte, será delimitada, no alto e embaixo, por traçoshorizontais grossos.2. Não delimitar a tabela, à direita e à esquerda, por traços verticais.3. É facultativo o emprego de traços verticais para separação das colunas no corpo databela.4. É facultativo o emprego da linha-guia horizontal, ligando a coluna principal às outrascolunas.5. Nenhuma casa deve ficar em branco, mas, sim, apresentando sempre um sinalconvencionado.6. Quando em uma tabela, mais de uma coluna for apresentada sob uma mesmaespecificação, separar-se-á esse conjunto por uma linha mais grossa.1.4. Sinais convencionados1. – (traço) - quando o dado for nulo2. . . . (três pontos) - quando não se dispuser de dados.3. O (zero); 0,0 (zero vírgula zero; 0,00 (zero, vírgula, zero, zero)) quando o valor numérico formenor do que a metade da unidade ou fração decimal adotada para a expressão do dado.4. x (letra x) quando o dado for omitido a fim de evitar individualização de informações.5. § (parágrafo) quando o dado retifica informação anteriormente publicada.2. UNIDADES DE MEDIDAS E SEUS SÍMBOLOSPara que você possa representar corretamente as Medidas, vamos apresentar-lhe osnomes exatos e os respectivos símbolos das unidades de medida.g ⇒ gramakg ⇒ quilogramat ⇒ toneladam ⇒ metrom2⇒ metro quadrados ⇒ segundo (de tempo)min ⇒ minuto (de tempo)ºC ⇒ graus Celsius (graus centígrados)
  57. 57. 56Atenção!Os símbolos não devem ser seguidos de ponto final e nem de s para indicarem plural.As abreviaturas devem ser feitas com letras minúsculas, exceto quando forem nomesde pessoas.Exemplo: Celsius (C) - Ampère (A) - Hertz (Hz)Quando necessário, qualquer grandeza poderá ser expressa na unidade maisconveniente, desde que seja compreensível por si mesma ou venha claramentedefinida.Exemplos:toneladas-quilômetro (t-km)operários-diahomens-horaleitos-dia3. SÉRIES ESTATÍSTICASTodos nós estamos habituados a ver as tabelas estatísticas em anuários, em artigosrelacionados à Geografia, em tratados de Economia, em artigos de jornais, etc., mas talvez nuncatenhamos lembrado de classificá-las.Já vimos que os dados numéricos, após serem coletados, são colocados em séries eapresentados em quadros ou tabelas.Tudo entendido?Então vamos adiante!
  58. 58. 57Chamamos de Série Estatística ao conjunto de números associados a um fenômenoexpressando quantidades ou grandezas, disposto em correspondência com um critério demodalidade.Dessa forma, esses números poderão ser agrupados ou não, constituindo respectivamente:Séries de dados agrupados e Séries de dados não agrupados.Para classificá-la, vamos considerar três elementos em uma tabela:a época a que ela se refere (o tempo);a região onde se passam os fatos (o espaço);o fenômeno que é descrito (a espécie do fato).Conforme varie cada um destes elementos, podemos classificar as Séries Estatísticas em:1.5. Série Temporal, Cronológica, Evolutiva, Histórica ou Marcha.É a série cujos dados estão dispostos de acordo com o tempo. A variável é o tempo.Observe alguns exemplos para compreender melhor.TABELA 1PRODUÇÃO BRASILEIRADE CARNES – 1995-2001ANOSQuantidade(mil toneladas)1995 10.9201996 12.6631997 11.8211998 12.5921999 13.6282000 14.5952001 15.330FONTE: CNPC,UBA e ABIPECS
  59. 59. 58TABELA 2BRASIL – PRODUÇÃO NACIONAL DEPETRÓLEO – 2000-2004ANOS Petróleo2000 71.643.6942001 75.019.9622002 84.398.9662003 86.819.6972004 85.966.980FONTE: ANPObserve que o dado em questão varia com o tempo.1.6. Série Geográfica ou TerritorialÉ a série cujos dados estão dispostos em correspondência com a região geográfica, isto é,variam com o local. A variável é o espaço.Exemplos:TABELA 3BRASIL – PRODUÇÃO DE GÁS NATURALEM ALGUNS ESTADOS, EM 2004ESTADOSProdução(1.000 m3)Ceará 126.091Amazonas 3.620.760Bahia 2.256.608Espírito Santo 509.828São Paulo 383.399Rio Grande do Norte 1.365.579FONTE: ANP
  60. 60. 59TABELA 4RESULTADOS FINAIS DO CENSO ESCOLAR,SEGUNDO ALGUMAS UNIDADES DA FEDERAÇÃO – 2004UNIDADES DAFEDERAÇÃOCreche Pré-EscolaEnsinoFundamentalEnsinoMédioAcre 2.753 23.148 151.535 29.736Amapá 1.862 28.605 135.778 33.208Goiás 28.216 130.933 1.059.068 275.153Mato Grosso do Sul 20.496 58.367 442.544 102.550Pará 31.363 227.099 1.614.942 341.516Rio de Janeiro 99.865 395.997 2.474.150 770.658Santa Catarina 69.810 176.450 952.887 292.037TOTAL 254.365 1.040.599 6.830.904 1.844.858FONTE: MECNOTA: Os resultados referem-se à matrícula inicial das redes estadual, federal,municipal e privada.TABELA 5POPULAÇÃO DE ALGUNS ESTADOSDO BRASIL, EM 2004ESTADO Número de HabitantesSão Paulo 39.825.226Minas Gerais 18.993.720Rio de Janeiro 15.203.750Bahia 13.682.074Rio Grande do Sul 10.726.063Paraná 10.135.388Pernambuco 8.228.713FONTE: IBGE
  61. 61. 601.7. Série Específica ou QualitativaÉ a série cujos dados estão em correspondência com a espécie do fenômeno. Variam coma espécie do fenômeno. Exemplos:TABELA 6PRODUÇÃO BRASILEIRA DE GRÃOS – 2000/01PRODUTOQuantidade(mil toneladas)Algodão 1.521,9Arroz 10.386,0Feijão 2.587,1Milho 41.535,2Soja 37.218,3Trigo 3.194,2Outros 1.869,0TOTAL 98.311,7FONTE: CONABTABELA 7BRASIL - AERONAVES REGISTRADASPOR TIPO, EM 2005TIPOS ATIVASBalão 5A Reação Jato 571Turbo Hélice 1.348Pistão 8.651Planador 316Dirigível 1FONTE: DACObserve que as séries anteriores variam de acordo com a qualidade ou a espécie dofenômeno.
  62. 62. 611.8. Série Composta ou MistaAs combinações entre as séries constituem novas séries que são denominadas sériescompostas ou mistas e apresentadas em tabelas de dupla entrada. Estas séries têm nomescompostos de acordo com a combinação feita. Exemplo: de série Cronológico - específica.TABELA 8BRASIL – TAXAS PAGAS, POR PERÍODO, EM 2005PERÍODO TR* (%) Poupança (%) TBF (%)**22/05 a 22/06/2005 0,2582 0,7595 1,471323/05 a 23/06/2005 0,2994 0,8009 1,543124/05 a 24/06/2005 0,2902 0,7917 1,523825/05 a 25/06/2005 0,2958 0,7973 1,529426/05 a 26/06/2005 0,2574 0,7587 1,460527/05 a 27/06/2005 0,2586 0,7599 1,461728/05 a 28/06/2005 0,2597 0,7610 1,472829/05 a 29/06/2005 0,2998 – 1,543530/05 a 30/06/2005 0,3420 – 1,626431/05 a 01/07/2005 0,3377 – 1,612001/06 a 01/07/2005 0,2993 0,8008 1,543002/06 a 02/07/2005 0,2991 0,8006 1,552803/06 a 03/07/2005 0,2548 0,7561 1,457904/06 a 04/07/2005 0,2133 0,7144 1,385805/06 a 05/07/2005 0,2526 0,7539 1,455606/06 a 06/07/2005 0,2895 0,7909 1,523107/06 a 07/07/2005 0,3022 0,8037 1,556008/06 a 08/07/2005 0,3083 0,8098 1,562209/06 a 09/07/2005 0,2753 0,7767 1,4987FONTE: FOLHA DE SÃO PAULO, CADERNO DINHEIRO, 12/06/2005.*TR – Taxa de Remuneração**TBF – Taxa Básica FinanceiraObserve que há uma variação de fenômeno (qualidade) e uma variação de tempo(22/05 a 22/06/05 até 09/06 a 09/07/2005).
  63. 63. 62Em resumo, podemos esquematizar:Variamdeacordocom osdasSériesSÉRIESESTATÍSTICASSÉRIESTEMPORAISSÉRIESESPECÍFICASSÉRIESGEOGRÁFICASSÉRIESCOMPOSTASOU MISTASTempoEspaçoFatoTempoEspaçoFatoTempoEspaçoFatoTempoEspaçoFatoVariávelFixoFixoVariávelFixoFixoVariávelFixoFixo
  64. 64. 634. CLASSEClasse é a subdivisão da População em grupamentos consecutivos. Observe a tabela dedados fictícios.TABELA 9ALTURA (cm)Quantidade de Alunos(fi)130 ├─┤ 139 8140 ├─┤ 149 228150 ├─┤ 159 592160 ├─┤ 169 1.380170 ├─┤ 179 488180 ├─┤ 189 293190 ├─┤ 199 11TOTAL 3.000Na Tabela 9 cada uma das subdivisões "130 a 139" "140 a 149", etc. constitui o quechamamos de uma Classe. Se observarmos essa mesma Tabela, verificaremos que os 3.000alunos que constituem a POPULAÇÃO em estudo, foram distribuídos em classes de 10 em 10cm de altura.4.1. Número de ClassesPara achar o número de classes em que deve ser dividida uma população em estudo,existe a Regra de Sturges, que será dada a título de ilustração, mas não será aplicada neste curso,devido ao caráter elementar do mesmo.
  65. 65. 644.1.1. Regra de SturgesNn log3,31+= onde:4.1.2. Limites de ClassesNa Classe 160 ├─┤ 169, os números extremos 160 e 169, são denominados limites declasses; o número menor 160 é o limite inferior( )il , e o maior 169 é o limite superior ( )iL da 4ªClasse. Os limites serão sempre abreviados por " il " e " iL ". Assim temos, na 3ª Classe: 3l = 150e 3L = 1594.1.3. Intervalo de ClasseO Intervalo de Classe também é denominado Amplitude ou Oscilação de classe.Conceituamos Intervalo de classe como sendo o intervalo abrangido por uma classe.O intervalo de Classe é obtido em uma Tabela, pela diferença entre dois limites inferioresou superiores, consecutivos. Na Tabela 9, o Intervalo de Classe poderá ser calculado da seguinteforma:h = " il " de uma Classe, menos " il " da Classe anterior.ouh = " iL " de uma Classe, menos " iL " da Classe anterior.Exemplo: h = 140 – 130 = 10ou h = 149 – 139 = 104.1.4. Ponto Médio de Classe (Xi)O ponto médio de uma classe (Xi) é o valor que se obtém adicionando-se ao seu limiteinferior a metade do intervalo de classe.Xi = il +2hn = número de ClassesN = número de Alunos
  66. 66. 65Na tabela em estudo, temos que os pontos médios da 2ª e 3ª Classes são, respectivamente:X2 = 140 +210= 145X3 = 150 +210= 1554.1.5. Amplitude totalÉ a diferença entre o limite superior ( )iL da última classe, e o limite inferior ( )il daprimeira classe. Exemplificando, com a Tabela 9:Amplitude Total = 199 – 130 = 69( )iL última classe ( )il da primeira classeNOTA: Conforme você já deve ter observado, é muito comum o uso do índice "i" junto adeterminados símbolos. O índice é usado em Matemática para indicar a ordem de um elementoem determinada série.Assim, por exemplo, no conjunto { }11,9,7,5,3=A , temos;X1 = 3 ; X2 = 5 ; . . . ; X5 = 11.Nas distribuições de freqüência, o índice "i" está ligado à ordenação das classes.Por exemplo: na Tabela 9, o limite inferior da 5ª classe é 5l = 170; o limite superior dasétima classe é 7L = 199: o ponto médio da quarta classe é 4X = 165; e assim por diante.Vamos verificar sevocê está noscompreendendo até aqui.Resolva os Exercícios.
  67. 67. 66EXERCÍCIOS DO TEXTO IV1)a) Disponha os números: 22, 34, 27, 11, 48, 17, 45, 38, 6, 57 em um rol.b) Determine a Amplitude Total.2) Os graus finais de Matemática de 80 estudantes da Universidade do Estado estãorelacionados a seguir:68 - 84 - 75 - 82 - 68 - 90 - 62 - 88 - 76 – 9373 - 79 - 88 - 73 - 60 - 93 - 71 - 59 - 85 – 7561 - 65 - 75 - 87 - 74 - 62 - 95 - 78 - 63 – 7266 - 78 - 82 - 75 - 94 - 77 - 69 - 74 - 68 – 6096 - 78 - 89 - 61 - 75 - 95 - 60 - 79 - 83 – 7179 - 62 - 67 - 97 - 78 - 85 - 76 - 65 - 71 – 7565 - 80 - 73 - 57 - 88 - 78 - 62 - 76 - 53 – 7486 - 67 - 73 - 81 - 72 - 63 - 76 - 75 - 85 – 77Com referência a estes dados, determine:a) o maior grau;b) o menor grau;c) a amplitude total;d) os graus dos cinco estudantes melhores classificados;e) os graus dos cinco estudantes de menores classificações;f) o grau do estudante classificado em 10º lugar;g) quantos estudantes receberam grau igual ou superior a 75;h) quantos estudantes receberam grau abaixo de 85, ei) quais os graus que não apareceram.Confira suas respostas na página seguinte.Qualquer dúvida, reestude o assunto.
  68. 68. 67GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO IV1)a) 6, 11, 17, 22, 27, 34, 38, 45, 48, 57 ou: 57, 48, 45, 38, 34, 27, 22, 17, 11, 6.b) Amplitude total: 57 - 6 = 512)a) 97b) 53c) 97 - 53 = 44d) 97, 96, 95, 95, 94e) 53, 57, 59, 60, 60f) 88g) 44h) 63i) 0 a 52, 54, 55, 56, 58, 64, 70, 91, 92, 98, 99, 100.
  69. 69. 68TEXTO VDISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIATerminado o nosso estudo sobre as Séries Estatísticas, vamos examinar, com detalhes, adistribuição de freqüência.Compreender a distribuição de freqüência. (Ap)1. INDICAÇÃO DOS INTERVALOS PARCIAIS NAS DISTRIBUIÇÕES DEFREQÜÊNCIASA fim de atender as exigências das normas vigentes, usaremos as seguintes convenções:0 ─┤ 10, para significar que compreende os valores da variável, a partir do zero (exclusiveeste) e até dez (inclusive).0 ├─ 10, para significar que compreende os valores da variável, a partir do zero (inclusiveeste) e até dez, exclusive.0 ── 10, para indicar que compreende os valores da variável, a partir do zero (exclusiveeste) e até dez (exclusive este).0 ├─┤ 10 , para indicar que compreende os valores da variável, a partir do zero (inclusive) eaté dez (inclusive).Exemplo: Observe a tabela com as alturas de 500 alunos:Altura (m) 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60Freqüência 30 50 50 70 80 120 100Se agruparmos essas alturas em classes, conforme o tipo de intervalo usado, chegaremosa diferentes tabelas. Observe:
  70. 70. 692. FREQÜÊNCIA ABSOLUTA OU FREQÜÊNCIA DE CLASSE (fi)É o número de vezes que o acontecimento é verificado numericamente, dentro dedeterminada classe.Na Tabela 9, com a altura de 130 ├─┤ 139, existem 8 alunos.O número 8 é a freqüência absoluta ou freqüência de classe. A freqüência absoluta ésempre representada por (fi).Na Tabela 9 poderemos verificar que as freqüências absolutas das classes são:1ª Classe: f1 = 08 2ª Classe: f2 = 2283ª Classe: f3 = 592 4ª Classe: f4 = 1.3805ª Classe: f5 = 488 6ª Classe: f6 = 2937ª Classe: f7 = 11TABELA AAltura (m) freqüência1,0 ├─┤ 1,2 1301,3 ├─┤ 1,5 2701,6 ├─┤ 1,8 100Σ 500TABELA BAltura (m) freqüência1,0 ├─ 1,2 801,2 ├─ 1,4 1201,4 ├─ 1,6 2001,6 ├─ 1,8 100Σ 500TABELA CAltura (m) freqüência1,0 ── 1,2 501,2 ── 1,4 701,4 ── 1,6 120Σ 240TABELA DAltura (m) freqüência1,0 ├─┤ 1,1 801,2 ├─┤ 1,3 1201,4 ├─┤ 1,5 200Σ 400
  71. 71. 703. FREQÜÊNCIA ACUMULADA (Fi)Chama-se freqüência acumulada (Fi) de uma Classe a soma da freqüência absoluta (fi)desta classe com as das classes anteriores.Na tabela 10 a seguir, a freqüência acumulada da 4ª classe é:F4 = 1.380 + 592 + 228 + 8 = 2.208OBSERVAÇÃO: A freqüência acumulada da 1ª Classe coincide com freqüência absoluta destaclasse, e a freqüência acumulada da última classe coincide com o total das freqüências absolutas.TABELA Nº 10CLASSES (fi) (Fi)130 ├─┤ 139 8 8140 ├─┤ 149 228 236150 ├─┤ 159 592 828160 ├─┤ 169 1.380 2.208170 ├─┤ 179 488 2.696180 ├─┤ 189 293 2.989190 ├─┤ 199 11 3.000TOTAL 3.000Na Tabela 10, poderemos verificar que as freqüências acumuladas das classes são:1ª classe: F1 = 82ª classe: F2 = 2363ª classe: F3 = 8284ª classe: F4 = 2.2085ª classe: F5 = 2.6966ª classe: F6 = 2.9897ª classe: F7 = 3.000
  72. 72. 714. CLASSE MODAL OU MODADenomina-se Classe Modal a classe de maior freqüência absoluta (fi). Na Tabela 10, aclasse modal é 160 ├─┤ 169.Quando afirmamos que tal tipo de roupa ou de calçado "está na moda", é porque estásendo usado pela maioria das pessoas.5. CLASSE ANTIMODALA Classe Antimodal é exatamente oposta à Modal, isto é, é a classe de menor freqüênciaabsoluta. Na Tabela 10, a Antimodal é a 1ª classe, pois sua freqüência é a menor (8).6. FREQÜÊNCIA ANTERIOR (f ant) e POSTERIOR (f post)As freqüências anterior (f ant) e posterior (f post) em relação à moda são asfreqüências absolutas das classes situadas, respectivamente, antes e depois da Classe Modal. NaTabela 10, temos que a Classe modal é 160 ├─┤ 169Assim: f ant = 592 e f post = 488.Vamos verificar se você estácompreendendo o que estamosapresentando.Resolva os Exercícios a seguir.
  73. 73. 72EXERCÍCIOS DO TEXTO V1. Complete corretamente as lacunas.a) Tabela Estatística é a representação de um conjunto de_______________________________________________________________________b) A confecção de uma tabela para representação tabular deve obedecer a normas ditadaspelo ____________________________________________________________________c) As partes principais de uma Tabela são: ______________________________________________________________________________________________________________d) O corpo da tabela abrange_________________________________________________________________________________________________________________________2.a) Complete a tabela a seguir de modo correto, determinando a FreqüênciaAcumulada de cada classe.Pontos obtidos pelos candidatos ao 2º Grau do Colégio AlfaClasses fi Fi0 ├─┤ 9 310 ├─┤ 19 820 ├─┤ 29 1130 ├─┤ 39 1040 ├─┤ 49 1.49850 ├─┤ 59 34060 ├─┤ 69 46070├─┤79 5080 ├─┤ 89 20090 ├─┤ 99 20TOTAL 2.600
  74. 74. 73b) Indique a classe modal dessa tabela.c) Dê a “f ant” e a “f post”.Confira suas respostas na página seguinte.Qualquer dúvida, estude novamente!
  75. 75. 74GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO V1.a) dados destinados a revelar a evidência numérica de determinado fenômeno.b) IBGEc) corpo, cabeçalho, coluna indicadora e fonte.d) colunas e linhas que contêm, respectivamente, as séries verticais e horizontais deinformações.2.a)Fi3112232153018702330238025802600b) 40 ├─┤ 49c) f ant = 10f post = 340
  76. 76. 75TEXTO VIREPRESENTAÇÃO GRÁFICAEsperamos que, ao final do estudo do texto VI, você seja capaz de:Interpretar corretamente uma Representação Gráfica (Cn);Representar graficamente uma situação-problema (Ap).Nos textos anteriores, vimos que a representação dos dados estatísticos pode ser atravésdas tabelas (Representação Tabular) e por meio de gráficos. Fizemos também um estudodetalhado da representação tabular. Agora, vamos iniciar o estudo da representação dos dadosestatísticos sob uma forma ilustrada chamada "Gráfico".O principal objetivo do Gráfico é causar uma impressão mais rápida e viva do fenômenoem estudo, do que comumente nos causam as tabelas.1. CARACTERÍSTICAS DO GRÁFICOAs principais características de um gráfico são: clareza, simplicidade e veracidade.Desde a escolha da qualidade do papel até os pormenores das letras para o título, bemcomo os números representados nos gráficos, há uma quantidade de pequenos detalhes quedevem ser usados pelos desenhistas na sua confecção. Dentre esses detalhes podemos citar:O título deve ser o mais claro e completo possível; sendo necessário, acrescentam-sesubtítulos.A relação entre a altura e a largura das linhas do gráfico deve ser proporcional a 2/3, a fim denão prejudicar a estética.Os impulsos artísticos que tendem a encher o gráfico de linhas inúteis ou fantasiosas,dificultando a sua leitura e interpretação, devem ser evitados.Sempre que possível, as escalas vertical e horizontal devem iniciar com 0 (zero).A orientação geral dos gráficos deve ser da esquerda para a direita.
  77. 77. 76Quando o gráfico representa porcentagem, é aconselhável fazer sobressair a linha 100% ououtra que se utilize como base de comparação e, em tais casos, não é necessário a indicaçãoda linha 0 (zero).A escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita, e a vertical, de baixo para cima.Os títulos e marcações do gráfico dispor-se-ão de maneira que sejam facilmente legíveis,partindo da margem horizontal inferior ou da margem esquerda.2. GRÁFICOS ESTATÍSTICOSExcluindo as representações de cunho fantasia dos anúncios, podemos considerar trêstipos principais de representação gráfica.Diagramas: Gráficos geométricos de duas dimensões;Cartogramas: Ilustrações sobre cartas geográficas;Estereogramas: Representações em volumes.Em nosso estudo abordaremos apenas os diagramas, pois satisfazem plenamente osnossos objetivos.3. DIAGRAMASEntre os principais tipos de diagramas, temos: Histogramas, Polígonos de Freqüência, eos gráficos em Colunas, em Barras, em Setores e o Polar.3.1. HistogramasÉ o tipo ideal para representar graficamente uma distribuição de freqüências.Consiste em retângulos justapostos, cujas alturas são respectivamente proporcionais àsfreqüências das classes que eles representam; portanto, cada classe é representada por umretângulo de base igual ao intervalo de classe e altura igual à freqüência de classe. OsHistogramas podem ser de freqüências absolutas ou acumuladas.
  78. 78. 77Exemplos: Seja a tabela de distribuição de freqüências:CLASSES fi Fi19 ├─┤ 24,9 2 225 ├─┤ 30,9 9 1131 ├─┤ 36,9 24 3537 ├─┤ 42,9 23 5843 ├─┤ 48,9 18 7649 ├─┤ 54,9 9 8555 ├─┤ 60,9 4 8961 ├─┤ 66,9 2 91TOTAL 91Construiremos o Histograma de Freqüências Absolutas (fi) que lhe corresponde.3.1.1. Histograma de Freqüências Absolutas (fi)05101520253019 25 31 37 43 49 55 61 67
  79. 79. 783.1.2. Histograma de Freqüências Acumuladas (Fi)3.2. Polígono de FreqüênciaAproveitando o exemplo anterior, vamos construir um POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA.O Polígono de Freqüência é também usado para representar graficamente umaDistribuição de Freqüência.É formado pela união de pontos médios das bases superiores dos retângulos doHistograma.Caso o polígono seja feito antes do Histograma, consideram-se os pontos médios dasclasses (sobre o eixo horizontal) e as respectivas freqüências absolutas (sobre o eixo vertical).Unem-se os pontos por segmentos de reta.Vejamos um POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA:010203040506070809010019 25 31 37 43 49 55 61 67
  80. 80. 793.2.1. Curvas de FreqüênciasSupondo-se que os dados coletados sejam em grande número, é perfeitamente possívelgrupá-los em classes cujos intervalos sejam razoavelmente pequenos em relação ao número totalde classes que formam a distribuição.Desta forma o Histograma representativo desta série de freqüências seria composto deum conjunto de retângulos justapostos de bases muito pequenas.O polígono de freqüências para esse tipo de distribuição vai ser definido por ínfimossegmentos de retas, resultantes da união daqueles pontos médios. Ele dará lugar a uma curva defreqüências; portanto pode-se dizer que o polígono tende para a curva, à medida que osintervalos de classe tendem para zero.05101520253019 25 31 37 43 49 55 61 6705101520253019 25 31 37 43 49 55 61 67
  81. 81. 80As Curvas de Freqüência podem ser:Modais;Antimodais eAmodais3.2.1.1. CURVAS MODAISQuando apresentam ponto de máximo.Podem ser:Observe os exemplos.UNIMODALMULTIMODALunimodais (um ponto de máximo)simétricasassimétricasmultimodais: mais de um ponto de máximo.Unimodal Simétrica Unimodal assimétricaà direitaUnimodal assimétricaà esquerdaBimodal Trimodal
  82. 82. 813.2.1.2. CURVAS ANTIMODAISSão curvas que nunca apresentam pontos de máximo, e sim ponto de mínimo.3.2.1.3. CURVAS AMODAISSão curvas que nunca apresentam máximos nem mínimos. São sempre crescentes oudecrescentes.3.3. Gráficos em Colunas e em BarrasVisam a comparação de grandezas por meio de retângulos de mesma largura e de alturasproporcionais às respectivas grandezas. Na construção desse tipo de gráfico, devemos notar:quando as legendas a inscrever sob os retângulos forem breves, elas dispor-se-ãoverticalmente, originando o gráfico em colunas; quando, pelo contrário, as legendas foremextensas, os retângulos devem ficar com a maior dimensão na horizontal, determinando ográfico em barras.quando um dos fatores é o tempo, dispor-se-ão os dados em ordem cronológica.não figurando o tempo, isto é, quando todos os dados forem de uma mesma época, mas delocais ou espécies diferentes, devemos obedecer à ordem decrescente.convém que o espaço entre as barras seja de metade até dois terços da largura de cada um.AntimodalAmodal Crescente Amodal decescente
  83. 83. 82não inscrever dados numéricos ao lado ou no interior das barras, pois, além de fugir aoobjetivo de um gráfico, tal prática produz uma ilusão de ótica bastante prejudicial.3.3.1. Gráfico em ColunasSua construção é semelhante ao histograma de freqüência absoluta, porém as colunas sãoseparadas. Vejamos a tabela com dados fictícios.CONSUMO DE GASOLINA DE UM AEROCLUBE, EM 2005MESES Quantidade (litros)Janeiro 7.800Fevereiro 6.100Março 6.500Abril 5.800Maio 7.100Junho 6.000TOTAL 39.300Com os dados da tabela acima, vamos confeccionar o gráfico em coluna correspondente:CONSUMO DE GASOLINA DE UM AEROCLUBE, EM 20050100020003000400050006000700080009000Jan. Fev. Mar. Abr. Mai. Jun.Litros
  84. 84. 833.3.2. Gráfico em BarrasÉ construído do mesmo modo que o Gráfico em Colunas, porém a linha que representa asquantidades passa a ser a horizontal; e a que representa as séries, a vertical. Assim sendo, ascolunas ficam na horizontal. Observe o exemplo a seguir.SUPERFÍCIE DAS REGIÕES BRASILEIRASREGIÕES Área (km2)Sudeste 924.935Nordeste 1.548.672Sul 577.723Centro Oeste 1.879.455Norte 3.581.180FONTE: IBGESulSudesteNordesteCentro OesteNorte1 2 3 4Milhões de km2Fonte: IBGE577.723924.9351.548.6721.879.4553.581.180
  85. 85. 843.4. Setor Circular.Quando o objetivo principal do gráfico é estabelecer comparações entre um dado e o totalde dados, isto é, ressaltar a participação do dado no total, usa-se o Gráfico em Setores. Para aconfecção deste gráfico basta estabelecer uma regra de três simples entre o total de dados e os360º da circunferência, conforme dados fictícios a seguir:PRODUÇÃO DO ESTADO XPRODUTOS Produção (t)Castanha 450Borracha 320Cacau 280Outros 150TOTAL 1.200Vamos calcular o ângulo central do setor relativo ao produto "castanhas":1.200 360º450 xVeja que temos um total de 1.200 toneladas em produto e um total de 360º no círculo.Assim, fazemos a relação entre as grandezas PRODUTO e ÂNGULO por uma regra de três eobtemos:xº3604501200=1200º360.450=xº135=x Ângulo central do setor para o Produto (castanha)Continuando os cálculos, acharíamos:Borracha = 96ºCacau = 84ºOutros = 45º
  86. 86. 85Uma vez calculados os valores de cada setor, basta usar o transferidor e marcá-los nacircunferência. Cada setor deve ser pintado em cores diferentes conforme legenda, para maiorclareza. Observe o desenho, no qual foram usados códigos em preto e branco.PRODUÇÃO DO ESTADO XBorracha96ºCacau84ºOutros45ºCastanha135º
  87. 87. 863.5. Gráfico PolarHavendo interesse em evidenciar variações que, após um certo período de tempo,repetem-se segundo um determinado ciclo, podemos utilizar com vantagem o Gráfico Polar.Assim os fatos distribuídos, segundo as horas do dia, os dias da semana, os meses do ano, etc.,encontram uma exata representação nesse Gráfico. Observe o exemplo a seguir:VOLUME DE EXPORTAÇÃO DE CAFÉ EM GRÃOS, BRASIL, 2003MESES Sacas de 60 kg (100 mil)Janeiro 19,8Fevereiro 23,7Março 17,0Abril 17,8Maio 17,9Junho 15,4Julho 15,2Agosto 16,4Setembro 23,2Outubro 22,6Novembro 20,4Dezembro 18,8TOTAL 228,1FONTE: Análise das Informações de Comércio Exterior – AlicePara a construção do gráfico basta, dividir o círculo em tantas partes quanto os itens emestudo (12 nesse caso), marcando-se, a seguir, em cada raio, a grandeza correspondente. O raiodo círculo representa a média dos dados 0,19=121,228=Raio (dividimos por 12 porque ositens da média são em 12).
  88. 88. 87VOLUME DE EXPORTAÇÃO DE CAFÉ EM GRÃOS, BRASIL, 2003FONTE: Análise das Informações de Comércio Exterior – AliceExiste ainda uma grande variedade de gráficos em Estatística, que não abordaremos nestemódulo, mas, se você quiser enriquecer seus conhecimentos, consulte a bibliografia indicada nofinal do módulo.Passe, agora, aosexercícios.Jan.Fev.Mar.Abr.Mai.Jun.Jul.Ago.Set.Out.Nov.Dez.19,0
  89. 89. 88EXERCÍCIOS DO TEXTO VI1. As principais características de um gráfico sãoa) clareza, veracidade e simbolismo.b) simbolismo, clareza e veracidade.c) clareza, simplicidade e veracidade.d) veracidade, clareza e simbolismo.2. Em um gráfico estatístico, o título deve sera) claro e complexo.b) completo e complexo.c) complexo e abreviado.d) claro e completo.3. Os dados estatísticos podem ser apresentados sob a formaa) Modal e Tubular.b) Tabular e Gráfica.c) Gráfica e Tubular.d) Antimodal e Tubular.4. Em um gráfico, sempre que possível, as escalas vertical e horizontal devem:a) iniciar com 10b) iniciar com 0c) iniciar com 1d) iniciar com 0 ou 15. Complete as lacunas:a) Em Estatística, podemos considerar 3 tipos de representação gráfica. São eles:_______________ , ________________ e ____________________ .b) O tipo ideal para representar graficamente uma distribuição de freqüência é_________________ .
  90. 90. 89c) Quando queremos ressaltar a participação do dado total em relação aos demais dados,é aconselhável o uso do gráfico __________________________________________ .6. Observe a tabela a seguir que mostra a distribuição de freqüência dos salários semanais,em reais, de 65 empregados da Companhia M & H.TABELASalários semanais (R$) Número de empregados50,00 ├─┤ 59,99 860,00 ├─┤ 69,99 1070,00 ├─┤ 79,99 1680,00 ├─┤ 89,99 1490,00 ├─┤ 99,99 10100,00 ├─┤ 109,99 5110,00 ├─┤ 119,99 2TOTAL 65FONTE: Companhia M & H.Com referência a essa tabela, determine:a) o limite inferior da sexta classe.b) o limite superior da quarta classe.c) o ponto médio da terceira classe.d) Amplitude ou intervalo de classe.e) A classe que tem a maior freqüência.f) A porcentagem dos empregados que ganham menos de R$ 80,00 por semana.
  91. 91. 907. Com base nos dados da questão 6, construa:a) um Histograma de Freqüências Absolutasb) um Polígono de Freqüência.
  92. 92. 91GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO TEXTO VI1. c2. d3. b4. b5.a) diagramas, cartogramas, estereogramasb) O histogramac) do Setor Circular6.a) R$ 100,00b) R$ 89,99c) R$ 75,00d) 99,99 – 89,99 = 10,00 ⇒ R$ 10,00e) 3ª classef) 34=8+10+16 (freqüência acumulada da 3ª classe) ⇒ %3,52=100×65347.Histograma ⇒ Freqüências absolutas.Polígono ⇒ Pontos médios das classes.Qualquer dúvida, reestude o assunto.Agora passaremos ao último texto desse módulo.
  93. 93. 92TEXTO VIIMEDIDAS ESTATÍSTICASEsperamos que, ao final do estudo deste texto, você seja capaz de:Identificar Medidas Estatísticas (Cp);Empregar corretamente as Medidas Estatísticas estudadas (Ap).Já vimos que os dados obtidos sobre determinado fenômeno são representados ouexpostos em tabelas ou gráficos. Quando representados em tabelas (representação tabular),passam a constituir as Séries Estatísticas ou uma Distribuição de Freqüência.Podemos também representar determinado acontecimento ou fenômeno através de umaúnica quantidade chamada de medida de posição. Essa medida deve ser objetiva e descritiva dosdados. Estudaremos as seguintes medidas de posição: Média aritmética, Média aritméticaponderada, Mediana, Moda, Quartis, Decis e Centis.1. MÉDIA ARITMÉTICA (Ma)A média aritmética é um número representativo de uma Série Estatística ou de umaDistribuição de Freqüência.1.1. Média Aritmética de dados não grupadosA média aritmética de dados não-grupados é calculada da mesma forma já vistaanteriormente no Texto I, ou seja: Dados os números a1, a2, a3,... an, a média aritmética deles é:Ma =naaaa n++++ ...321Para simplificar, podemos substituir a soma a1 + a2 + a3 +...+ an por ∑ ia , que se lê:somatório de ai. Assim, a fórmula ficará:Ma =nai∑
  94. 94. 93Exemplo: Calculemos a Média Aritmética na Série Estatística, a seguir.TABELA 11MESES VENDAS (Reais)Janeiro 22.000,00Fevereiro 18.000,00Março 10.000,00Abril 26.000,00Maio 14.000,00Junho 30.000,00TOTAL 120.000,00Temos: n = 6 e ∑ ia = 120.0006000.120=Ma000.20=Ma R$ 20.000,002. MÉDIA ARITMÉTICA DE DADOS AGRUPADOS - PROCESSO GERAL (MÉDIAARITMÉTICA PONDERADA) (Mp)Neste caso, os dados (ai) apresentam-se com pesos ou freqüências, e o cálculo é feitoatravés da média aritmética ponderada (com pesos atribuídos a cada número) - Ver texto I.Recordando a fórmula.nnnPPPpapapaMp+...++.+...+.+.=212211⇒iiiPpaMpΣΣ ).(=Se ao invés de pesos tivermos freqüências, a fórmula fica assim:iiiffaMpΣΣ ).(=
  95. 95. 94Exemplo: Calcule a Média Aritmética Ponderada na série seguinte:TABELA 12VALORES (ai) QUANTIDADE (fi) PRODUTOS (ai . fi)60 5 30090 3 27050 8 40080 4 320TOTAL 20 1290Temos: ∑ (ai . fi) = 1290 e ∑ fi = 20.Assim:201290=Mp 5,64=MpEm uma Distribuição de Freqüência, com intervalos de classe, os números consideradossão os pontos médios xidas classes e os seus pesos são as freqüências (fi). Veja a tabela naseguir:TABELA 13PREÇOUNITÁRIOQUANTIDADES (fi) (xi) (xi . fi)18,00  20,00 120 19,00 2.280,0020,00  22,00 150 21,00 3.150,0022,00  24,00 180 23,00 4.140,0024,00  26,00 200 25,00 5.000,0026,00  28,00 190 27,00 5.130,0028,00  30,00 160 29,00 4.640,00TOTAL 1.000 24.340,00
  96. 96. 95Temos: ∑ (xi . fi) = 24340 e ∑ fi = 1000Assim:100024340=pM = R$ 24,343. MEDIANA (Md)3.1. Para dados não agrupadosDada uma série de valores, como: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, para determinarmos amediana, primeiramente é necessário que se faça a ordenação da série:2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementosà direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que há quatro elementos acimadele e quatro abaixo.Temos, então: Md = 10Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição,qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-seutilizar o ponto médio.Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 tem para mediana a médiaaritmética entre 10 e 12. Logo:212+10=Md 11=MdVerificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número deelementos da série, o valor mediano será:o termo de ordem P =21+n, se n for ímpar;
  97. 97. 96a média aritmética dos termos de ordem P =2ne P’ = 1+2n, se n for par.Podemos comprovar tal fato nas séries dadas anteriormente:na série 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18, n = 9. Assim, temos P =21+9= 5. Logo, a medianaé o 5.º termo da série, isto é: Md = 10.na série 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, n = 8. Assim, temos P =82= 4 e P’ = 1+28= 5.Logo, a mediana é a média aritmética do 4.º e 5.º termos da série, isto é:212+10=Md .Logo: Md = 11.OBSERVAÇÕES:O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série, como vimos.Quando o número de elementos da série é ímpar, há coincidência. O mesmo não acontece,porém, quando esse número é par.A mediana e a média aritmética não têm, necessariamente, o mesmo valor. Na primeirasérie apresentada, por exemplo, temos: x = 10,4 e Md = 10.A mediana, como vimos, depende da posição e não dos valores dos elementos na sérieordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre a mediana e a média (que se deixainfluenciar, e muito, pelos valores extremos). Esta propriedade da mediana pode serconstatada através dos exemplos a seguir:5, 7, 10, 13, 15 ⇒ x = 10 e Md = 105, 7, 10, 13, 65 ⇒ x = 20 e Md = 10Isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior que a do primeiro, porinfluência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano.3.2. Mediana para dados agrupadosSe os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência, o cálculo da mediana seprocessa de modo muito semelhante àquele dos dados não-grupados, implicando, porém, adeterminação prévia das freqüências acumuladas.
  98. 98. 973.2.1. Dados agrupados sem intervalos de classePara determinar a mediana, neste caso, primeiramente determinamos a posição do termomediano, usando a mesma regra para dados não-agrupados. Em seguida, abrimos uma colunapara as freqüências acumuladas, na tabela. Observando Fi e P, chegamos à mediana. Com osexemplos a seguir, fica mais fácil entender:1º Exemplo: Tomemos a distribuição da tabela abaixo já com uma coluna para as freqüênciasacumuladas:NÚMERO DE FILHOS DO SEXO MASCULINOEM 34 FAMÍLIAS COM QUATRO FILHOSNúmero de meninos (ai) fi Fi0 2 21 6 82 10 183 12 304 4 34∑fi = 34Determinemos a posição da mediana:Sendo n = ∑fi = 34, temos: P = 17=234e P’ = 18=1+234.Logo, a mediana será a média aritmética entre o 17.º e o 18.º elementos da série.Observando a coluna das Fi, notamos que o valor que ocupa da 9.ª até a 18.ª posição éai = 2. Isto é: tanto o 17.º quanto o 18.º elementos são o n.º 2. Neste caso, não é necessário ocálculo da média aritmética desses dois números. Então: Md = 2 meninos
  99. 99. 982º Exemplo:ai 10 11 12 13 ∑fi 1 3 5 2 11Aqui temos n = 11. Então 6=21+11=P , isto é, a mediana é o 6.º elemento da série.Recorrendo às Fi:ai fi Fi10 1 111 3 412 5 913 2 11∑ 11Observando as Fi, notamos que o valor que ocupa da 5.ª até a 9.ª posição na série éai = 12. Logo: Md = 123º Exemplo:ai 5 6 7 8 9 10 ∑fi 3 6 9 8 6 4 36Aqui temos n = 36 (n.º par). Então P = 18=236e P’ = 19=1+236, isto é: a mediana é amédia aritmética do 18.º e 19.º elementos da série. Recorrendo às Fi:xi fi Fi5 3 36 6 97 9 188 8 269 6 3210 4 36∑ 36

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