2017-01更新 熊本高専
森下功啓
VBAで
数値計算04

本資料の目次
ニュートン法
練習問題
その他
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ニュートン法 f(x) = 0をxについて解く
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ニュートン法とは、𝑥𝑥軸と関数
𝑓𝑓(𝑥𝑥)の交点を求めるアルゴリズム
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O
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0となる
座標を求める
𝑓𝑓(𝑥𝑥)

ニュートン法のアルゴリズム
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①𝑥𝑥𝑘𝑘の初期値𝑥𝑥0
更新値𝑥𝑥1
②𝑓𝑓 𝑥𝑥0 を計算
③𝑥𝑥0における接線の傾き（==微分値）を求める
④接線とy = 0の交点の𝑥𝑥座標で𝑥𝑥𝑘𝑘を更新
⑤以下、解が収束するまで繰り返す
O
𝑥𝑥
𝑦𝑦

この戦略で上手くいかないケース
関数の形や初期値によっては発散する事が有ります。
ループ回数に制限を付けましょう。
6
O
𝑥𝑥
𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
End Less
*そもそもy=0となる点がない場合も上手くいかない。

実装戦略
プログラムをどう組むか考えてみる。
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①𝑥𝑥𝑘𝑘の初期値𝑥𝑥0
更新値𝑥𝑥1
②𝑓𝑓 𝑥𝑥0 を計算
③𝑥𝑥0における接線の傾きを求める
④接線とy = 0の交点の𝑥𝑥座標で𝑥𝑥𝑘𝑘を更新
⑤以下、解が収束するまで繰り返す
O
ループ構造
微分が必要
yが0近傍でループを脱出
また、ループ回数の制限で脱出
直線の式ってどんな
だったか・・・
接線の式に0を代入して
xについて解く
𝑥𝑥
𝑦𝑦

実装のイメージ
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Dim x As Double
Dim y As Double
Dim count As Integer
x = 100
y = 100
count = 0
Do
‘ y = f(x)を求める
‘ f’(x)を求める
‘ 接線のy=0でnew_xを求める。
x = new_x
count = count + 1
Loop while y > 0.01 And count < 1000
ループ構造 微分が必要
接線の式に0を代入して
xについて解く
yが0近傍でループを脱出
また、ループ回数の制限で脱出
@VBA

（応用）1変数連立方程式を解く
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𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥
𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0
ニュートン法を使って2つの方程式が等しい場合の解を求める
ことができます。移項して片側を0にするのがコツです。

別のアプローチ
2分法や最急降下法もf(x)=0の解を求めることができます。こ
れらは計算に時間がかかりますが、発散しません。特に2分法
は解があれば必ず求まります。将来、ニュートン法でうまく
行かなかったら試してみて下さい。
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練習問題
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問1 ニュートン法
ニュートン法を使ってy=0の解となる自明でないxを求めたい。
y=ax3+bx2+cx+d=0（係数は任意）を解くプログラムを作成
せよ。
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問2 ニュートン法
20 log ax=5
上記の式において、係数aを任意としxを求めよ。
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問3 極値
ニュートン法は関数の極値を調べることにも使える。極大値や極
小値において微分係数は0であるので、関数の理論微分の式さえ分
かれば理論微分式=0と置いてこれをxについて解けば良い。
以下の関数の極値をプログラムを用いて求めよ。理論微分は手計
算で良い。複数の極がありうることに留意せよ。
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𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥5
+ 5𝑥𝑥4
− 7𝑥𝑥3
+ 2𝑥𝑥2
− 1𝑥𝑥 + 3

チャレンジ問題
（暇ならやってみよう）
今、xのn次関数を考える。n次関数はy=anxn+…という形をし
ている。式で書くと式(1)となる。
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𝑦𝑦 = �
𝑖𝑖=0
𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑖𝑖
式(1)
ここで、係数を配列に入れておくものとする。配列の要素番
号が指数を表す。
1階微分した関数の係数を計算する関数を実装せよ。

その他
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参考文献
SAK Streets - VB 開発言語資料
 http://sak.cool.coocan.jp/w_sak3/doc/sysbrd/sak3vb.htm
 基本的にVB6.0の解説だが、VBAにほぼそのまま適用できる。かなり詳しい。
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