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ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1 10. 9. 8! Exemplo: Calcular o valor de: 90 = = c)  8! a) 4! + 3! b) 7! Observe que: 7.6.5.4.3.2.1 24 + 6 4!+3!  7! 30 5040
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! Determine a soma dos valores  de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1  O conjunto solução de: d)  é: 49! 50. – 49! (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! m – 3 = 0 49! m – 3 = 1 m = 3 m = 4 49! (50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)! = 210 49! (n – 1)! Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1).n = 210 49 n2 + n – 210 = 0 n’’ = - 15 n’ = 14 (não convém)
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM  O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo,  estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento,  sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e  independentes de modo que: E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa   :   : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas  com 3 letras e 4 algarismos?  (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 10 26 26 26 10 10 10 = 175. 760. 000
Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Usando o princípio fundamental da contagem: Alguns números possíveis 244 3215 244 5138 244 0008 244 2344 244 0000 ::: 10 10 10 10 244 = 10 000 números fixo
Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão  atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De  quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 99 100 = 9900 maneiras
TIPOS DE AGRUPAMENTOS USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO IMPORTA ORDEM NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM  Pn = n! FORMULÁRIO

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  • 1. ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1 = 24 3! = 3.2.1 = 6 2! = 2.1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1 10. 9. 8! Exemplo: Calcular o valor de: 90 = = c) 8! a) 4! + 3! b) 7! Observe que: 7.6.5.4.3.2.1 24 + 6 4!+3!  7! 30 5040
  • 2. (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3).... (n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)! Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1 O conjunto solução de: d) é: 49! 50. – 49! (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! m – 3 = 0 49! m – 3 = 1 m = 3 m = 4 49! (50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)! = 210 49! (n – 1)! Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1).n = 210 49 n2 + n – 210 = 0 n’’ = - 15 n’ = 14 (não convém)
  • 3. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 10 26 26 26 10 10 10 = 175. 760. 000
  • 4. Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Usando o princípio fundamental da contagem: Alguns números possíveis 244 3215 244 5138 244 0008 244 2344 244 0000 ::: 10 10 10 10 244 = 10 000 números fixo
  • 5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 99 100 = 9900 maneiras
  • 6. TIPOS DE AGRUPAMENTOS USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO IMPORTA ORDEM NÃO USA TODOS ELEMENTOS COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM Pn = n! FORMULÁRIO