1. CAPITULO III
LA DERIVADA
3.1 Definición de la derivada
Sea una función y = f(x) definida sobre cierto intervalo Teniendo en cuenta que h ≠ 0, consideremos, en un
(a; b). Fijemos cualquier valor x de dicho intervalo y, punto fijado x, la razón entre el incremento k de la
en el punto x, demos al argumento un incremento h tal función en este punto y el incremento correspondiente
que el valor x + h pertenezca también al intervalo del argumento h
(a; b). k f ( x  h)  f ( x )
 (3)
h h
Definición La razón (3) se denominará relación de diferencias en
Se denominará incremento de la función y = f(x) en el
el punto dado x. Puesto que el valor x se cree fijado, la
punto x, correspondiente al incremento del argumento
relación de diferencias (3) es función del argumento h.
h, el número
Esta función está definida para todos los valores del
k  f ( x  h)  f ( x) (1) argumento h pertenecientes a cierto entorno bastante
pequeño del punto h = 0, excepto el propio punto h = 0.
Tiene lugar la siguiente afirmación: para que la fun- De este modo, tenemos derecho de considerar el pro-
ción y = f(x) sea continua en el punto x es necesario y blema de la existencia del límite de dicha función
suficiente que el incremento k de esta función en el cuando h  0.
punto x, correspondiente al incremento del argumento
h, sea infinitesimal cuando h  0. Definición
Se denomina derivada de la función y = f(x) en el punto
Esta afirmación permite expresar la condición de con- fijado x el límite de la relación de diferencias (3) para
tinuidad de la función y = f(x) en el punto x en forma h  0. La derivada de la función y = f(x) en el punto x
nueva, a saber: la función y = f(x) es continua en el se denotará por el símbolo y´(x) o f ´(x). así pues, por
punto x si el incremento k de esta función en el punto definición
x, correspondiente al incremento del argumento h, es k f ( x  h)  f ( x )
infinitesimal para h  0, es decir, si f '( x)  lim  lim . (4)
h0 h h0 h
lim k  lim [ f ( x  h)  f ( x)]  0 (2)
h0 h0
Nótese que si la función y = f(x) está definida y tiene
La condición (2) se denominará forma de diferencias derivada para todos los x del intervalo (a; b), esta deri-
de la condición de continuidad de la función y = f(x) en vada será función de la variable x también definida
el punto x. sobre el intervalo (a; b).
3.1.2 Interpretación geométrica de la derivada
Uno de los principales problemas que condujeron al puntos M(x, f(x)) y P(x + h, f(x + h)) son dos puntos
desarrollo del cálculo, fue el de encontrar la pendiente sobre la curva, con la particularidad de que la secante
de la línea tangente a una curva f(x) en cualquier punto MP de f(x), que pasa por M y P, no es perpendicular al
del intervalo (a; b). Pasemos ahora a considerar este eje sobre el cual está graficado el dominio D. Usando la
problema. fórmula de la pendiente, tenemos que la pendiente de la
secante es
Supóngase que f(x) es la gráfica de una función. A una f ( x  h )  f ( x ) f ( x  h)  f ( x )
recta determinada por dos puntos sobre una curva, se MP  
( x  h)  x h
le llama línea secante de dicha curva. Sea x  D y sea
h  0 un número tal que (x + h)  D; entonces los
Si dada x  D, podemos hacer que el valor de

2. LA DERIVADA 88
f ( x  h)  f ( x ) Solución
,
h ( x  h) 2 x2

se acerque a un número m(x) tanto como deseemos,
1  ( x  h) 4 1  x4
con sólo hacer h suficientemente pequeña, llamaremos f ´( x)  lim
a m = {(x, y) / y = m(x)}. La función pendiente de la h 0 h
gráfica de f(x). Definimos la línea tangente a la gráfica ( x  h) 4 x4
de f(x) en el punto M(x, f(x)) como la línea que pasa 
1  ( x  h) 4 1  x4
por M y tiene pendiente igual a m(x).  lim
h 0  ( x  h) 2 x2 
h  
 1  ( x  h) 4 1  x4 
 
( x  h) 4 (1  x 4 )  x 4 (1  ( x  h)4 )
 lim
h 0  ( x  h) 2 x2 
h(1  x 4 )(1  ( x  h)4 )   
 1  ( x  h) 4 1  x4 
 
h(4 x3  6hx 2  4h 2 x  h3 )
 lim
h 0  ( x  h) 2 x2 
h(1  x 4 )(1  ( x  h)4 )   
 1  ( x  h) 4 1  x4 
 
4 x3  6hx 2  4h 2 x  h3
 lim
Considérese la función f(x) y sea h un número distinto h 0  ( x  h) 2 x2 
de cero, positivo o negativo, que tenga la propiedad de (1  x 4 )(1  ( x  h) 4 )   
 1  ( x  h) 4 1  x4 
que (x + h)  D. Si existe una función f ´(x) con la  
particularidad de que 4 x3 2x
f ( x  h)  f ( x )  2
 .
lim  f ´( x) 2x (1  x 4 )3
h0 h (1  x ) 
4 2
1  x4
para algunos valores de x  D, entonces
f ( x  h)  f ( x )
lim es la derivada de f(x) con res- Ejemplo
h0 h Calcular la derivada de las funciones, utilizando su
pecto a x. Es decir: si mediante h denotamos un incre- definición:
mento arbitrario del argumento y mediante P, el punto ArcCosx
de la curva con las coordenadas (x + h, f(x + h)), en- a) f ( x)  ;
ArcSenx
tonces, la tangente que pasa por el punto M de la curva
b) f ( x)  7 ArcTan( x  1) .
dada se define como la posición límite de la secante
MP cuando h  0. En la figura podemos ver que el Solución
coeficiente angular de la secante MP, es decir, la tan- a) Como
gente del ángulo de inclinación de esta secante al eje 
 ArcSenx
0X, es igual a la relación de diferencias. Empleando ArcCosx 2 
  1 .
este dato y el hecho de que, pasando al límite para h  ArcSenx ArcSenx 2 ArcSenx
0, el ángulo de inclinación de la secante debe trans- Entonces
formarse en el ángulo de la tangente, anteriormente se  
dedujo basándose en razonamientos demostrativos que 1 1
2 ArcSen( x  h) 2 ArcSenx
la derivada f ´(x) es igual al coeficiente angular de la f ´( x)  lim
h 0 h
tangente al gráfico de la función y = f(x) en el punto M.
 

Ejemplo 2 ArcSen( x  h) 2 ArcSenx
 lim
Calcular la derivada de la función, utilizando su defi- h 0 h
nición: ArcSenx  ArcSen( x  h)
f ( x) 
1  ArcSen( x  h) ArcSenx
 
.  lim
1  x4 x2  1  x4 2 h 0 h
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3. LA DERIVADA 89
 ArcSenx  ArcSen( x  h)  2 x
 lim  
2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx 2 2 x( ArcSenx)2 1  x 2
Entonces


f ´( x)  lim

ArcSen x 1  ( x  h) 2  ( x  h) 1  x 2  
2( ArcSenx)2 1  x 2
.
2 h 0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx
7 ArcTan( x  h  1)  7 ArcTan( x  1)
 x 1  ( x  h) 2  ( x  h) 1  x 2 b) f ´( x)  lim
 lim h0 h
2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx
x  h 1 x 1
ArcTan
 x 1  ( x  h)2  ( x  h) 1  x 2 FR 1  ( x  h  1)( x  1)
 lim   7 lim
2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx FR h 0 h
h
 x 2 (1  ( x  h)2 )  ( x  h) 2 (1  x 2 )
 lim 1  ( x  h  1)( x  1)
2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx  FR  7 lim
h 0 h
 2 xh  h2 1
 lim  7 lim
2 h0 h  ArcSen( x  h) ArcSenx  FR h0 1  ( x  h  1)( x  1)
 2 x  h 7
 lim  .
2 h0 ArcSen( x  h) ArcSenx  FR 1  ( x  1)2
3.1.3 Interpretación física de la derivada
Aquí estudiaremos las aplicaciones físicas del concep- Sea que la función y = f(x) determina la cantidad de
to de derivada. Ante todo, supongamos que la función electricidad y que pasa por la sección transversal de un
y = f(x) describe la ley del movimiento del punto mate- conductor en el tiempo x. En este caso, la derivada f
rial por la línea recta. Entonces, como se sabe, la rela- ´(x) determinará la intensidad de la corriente que pasa a
ción de diferencias través de la sección transversal del conductor en el
k f ( x  h)  f ( x ) momento de tiempo x. Luego, consideraremos el pro-
 ceso de calentamiento de un cuerpo.
h h
define la velocidad media del punto en el intervalo de
tiempo de x a x + h. En este caso la derivada f ´(x), es Supongamos que la función y = f(x) determina la canti-
dad de calor y que hay que comunicar al cuerpo para
decir, el límite de la relación de diferencias para h 
calentarlo de 0o a xo. Entonces, la relación de diferen-
0, define la velocidad instantánea del punto en el mo-
cias determina la capacidad calorífica media del cuerpo
mento de tiempo x. Así pues, la derivada de la función
al calentarlo de xo a (x + h)o. En este caso, la derivada
que describe la ley del movimiento define la velocidad
f ´(x), es decir, el valor límite de la relación de diferen-
instantánea del punto.
cias cuando h  0, determina la capacidad calorífica
Para que uno no tenga la idea de que el concepto de del cuerpo para la temperatura dada x. Notemos que,
derivada se usa ampliamente sólo en la mecánica, hablando en general, esta capacidad calorífica cambia
daremos ejemplos de aplicación del concepto de deri- al variar la temperatura x.
vada en otras ramas de la física.
3.1.4 Movimiento rectilíneo
La función s que da la posición del móvil, respecto del distancia
origen, como función del tiempo t se llama función de razón 
tiempo
posición. Si, sobre cierto lapso de tiempo h, el objeto
la razón media de cambio de la distancia respecto al
cambia su posición una cantidad s = s(t + h) – s(t),
tiempo viene dada por
entonces, por la fórmula
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4. LA DERIVADA 90
cambio en distancia s s(t  h)  s(t )
 v(t )  lim  s´(t )
cambio en tiempo h h0 h
llamaremos a esta la velocidad media. Si s(t) da la Llamaremos rapidez al valor absoluto de la velocidad.
posición en el tiempo t de un objeto que se mueve por Es siempre no negativa. Indica tan sólo cuán rápido se
una recta, la velocidad media del objeto en el intervalo mueve un objeto, no en qué dirección. Del mismo mo-
[t; t + h] viene dada por do que hemos obtenido la velocidad derivando la fun-
s s(t  h)  s(t ) ción posición, obtendremos la aceleración derivando la
Velocidad media   . función velocidad. Si s es la función de posición de un
h h
objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el
instante t viene dada por a(t) = v´(t) donde v(t) es la
Si s = s(t) es la función de posición de un objeto en
velocidad en el instante t.
movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en el
instante t viene dada por
3.1.5 Movimiento de un proyectil
Supóngase que un objeto se proyecta verticalmente de 1
manera que la única aceleración que actúa sobre el H (t )   g t 2  v0t  H 0
2
objeto es la aceleración constante descendente g debi- donde H0 y v0 son la altura inicial y la velocidad inicial
da a la gravedad. Cerca del nivel del mar, g es aproxi- del objeto, respectivamente.
madamente 32 pies/seg2 o 9.8 mts/seg2. Puede demos-
trarse que en el tiempo t, la altura del objeto está dada
por la fórmula
3.1.6 Razón de cambio porcentual
Si y = f(x), la razón de cambio porcentual de y con 1 2
S g t y, por tanto, podemos escribir S ´ g t .
respecto de x está dada por la fórmula 2
f ´( x)
Razón de cambio porcentual  100 
f ( x) Ejemplo
Cuando un producto se vende al precio x, en que x > 0,
la demanda del consumidor está dada por la función
Ejemplo
5
Calcular la velocidad instantánea del punto material D( x)  :
que cae por la acción de la fuerza de gravedad. x
Solución a) Encuentre la razón promedio de cambio en la de-
Por cuanto la ley del movimiento de este punto se manda D(x) con respecto al precio x, cuando éste varía
1 de x = 5 a x = 5,5;
determina por la función S  g t 2 , entonces el camino b) Encuentre la derivada e interprete su resultado.
2
S, recorrido por el punto en un intervalo de tiempo de
t a t + h, es igual a Solución
a) La razón promedio de cambio está dada por el co-
g (t  h)2 g t 2 g h2
S    gth  ciente de diferencias:
2 2 2 5 5
Por eso la velocidad media en este mismo intervalo de 
D D( x  h)  D( x) x  h x  5 51
tiempo es igual a     
h h h  xh xh
S 1
vm   gt  gh  5x 5( x  h)  1 5 x  5( x  h)
h 2    
Por consiguiente, en el momento fijado de tiempo t, la  ( x  h) x x ( x  h )  h x ( x  h )h
velocidad instantánea v es igual a 5h 5
  .
S  1  x ( x  h) h x ( x  h )
v  lim  lim  g t  g h   g t
h 0 h h 0  2  Para un cambio de precio de 5 a 5.5, se hace x = 5 y
De hecho, se ha calculado la derivada de la función h = 0.5, de modo que x + h = 5.5. Sustituyendo se tiene
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5. LA DERIVADA 91
D 5 5 su velocidad inicial fue v(0) = -20(0) = 0 en un tiempo
   0.18 .
h x( x  h) 5(5.5) posterior, cuando t = 3, la piedra ha alcanzado la velo-
Es decir, cuando el precio cambia de $ 5 a $ 5,5, la cidad v(3) = -20(3) = -60 metros por segundo. El signo
demanda del consumidor disminuye un promedio de negativo indica el movimiento de la piedra hacia abajo.
0.18, o 18 artículos por dólar de aumento.
Ejemplo
b) Aplicando el límite al cociente de diferencias, ob- Supóngase que la distancia que recorre un objeto en el
tenemos tiempo t está dado por la función s(t) = 3t2 + 2t. Deter-
D 5 5
mine la velocidad instantánea de este objeto en el tiem-
D´( x)  lim  lim  2 po t. ¿Cuál es la velocidad en el tercer segundo?
h0 h h  0 x ( x  h) x
Solución
Considere que la razón instantánea de cambio en la La velocidad instantánea del objeto, se calcula derivan-
5 do s(t):
demanda, D´( x)  , es negativa, sin importar el pre-
x2 S (t  h)  S (t )
s´(t )  lim
cio x. Esto significa que la demanda del consumidor h 0 h
siempre disminuye con respecto al aumento en los 3(t  h)2  2(t  h)  3t 2  2t
precios. Observe también que, cuando x = 5, la razón  lim
h 0 h
instantánea de cambio en la demanda es
h(6t  3h  2)
5 1  lim  6t  2 .
D´( x)   . h 0 h
25 5
La velocidad en el tercer segundo es:
Esto significa que, cuando el precio es de $ 5, la fun-
v(3) = 6(3) + 2 = 20 mts/seg.
ción de demanda disminuye a la razón instantánea de
0,2 (ciento) de artículos por dólar de aumento en el
Ejemplo
precio.
Supóngase que el tiempo t, el peso de un pollo está
dado por la función w(t) = 1 + 2t + t2. Hallar la rapidez
Ejemplo
instantánea de cambio en el peso, en el tiempo t. ¿Cuál
Se deja caer una piedra desde una altura de 50 metros.
es esta rapidez de cambio en la quinta semana?
Su altura sobre el suelo está dada por la función
Solución
H(t) = 50 – 10t2 en el tiempo t; 0  t  3. Encuentre la La rapidez instantánea de cambio en el peso, se calcula
velocidad promedio para un periodo de t a t + h. Se-
derivando w(t):
guidamente, obtenga la velocidad instantánea de la
w(t  h)  w(t )
piedra en el tiempo t. w´(t )  lim
h 0 h
Solución
En el periodo de t a h, el cambio en la posición de la 1  2(t  h)  (t  h)2  1  2t  t 2
 lim
piedra es h 0 h
H = H(final) – H(inicial) = H(t + h) – H(t)  lim
h(2  2t  h)
 2  2t .
entonces h 0 h
H H (t  h)  H (t ) La rapidez de cambio en la quinta semana es:
Velocidad promedio  
h h w´(t) = 2 + 2(5) = 12 lbs/sem.
(50  10(t  h)2 )  (50  10t 2 )
 Ejemplo
h
El volumen de agua contenido en un tanque en el ins-
50  10t 2  20t  h  10h2  50  10t 2 tante t está dado por la función V(t) = 8(8 – t)2. Hallar

h dV
e interprete su resultado. Obtener el tiempo t para
20t  h  10h 2 dr

h dV
el que 0.
 20t  10h . dr
Si se toman intervalos de tiempo cada vez más peque- Solución
ños, es decir cuando h  0, se deduce que dV V (t  h)  V (t )
 lim
Velocidad instantánea  lim (20t  10h)  20t . dt h0 h
h0
8(8  (t  h)2 )  8(8  t 2 )
Por tanto, la velocidad en cualquier instante t, en que  lim
h 0 h
0  x  3, queda dada por la función v(t) = -20t. En
h(h  16  2t )
particular, en el tiempo t = 0, cuando se soltó la piedra,  8 lim  128  16t .
h 0 h
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6. LA DERIVADA 92
dV función de ingreso marginal. ¿Es el ingreso marginal
representa la rapidez de variación del volumen
dt mayor para 50 artículos o para 100? ¿Qué significa
dV esto?
con respecto al tiempo t. Haciendo  0 , entonces: Solución
dt
128 La función de ingreso marginal, se obtiene derivando la
128 – 16t = 0  t  8 seg. función ingreso total:
16
R ( x  h)  R ( x )
Este resultado indica que se necesitan 8 segundos para R ´( x)  lim
vaciar el tanque. h 0 h
150 150
300   300 
Ejemplo  lim x  h 1 x 1
La utilidad obtenida por una empresa que fabrica y h 0 h
vende x artículos, está dada por la función P(x) = - 25 150h 150
 lim  .
+ 5x – 2x2. Hallar P´(x) e interprete su resultado. De- h 0 h( x  h  1)( x  1) ( x  1)2
terminar también P´(3). Calculamos el ingreso marginal para x = 50 y x = 100:
Solución 150 150
P ( x  h)  P ( x ) R ´(50)    0.058
P´( x)  lim (50  1)2 2601
h 0 h
y
25  5( x  h)  2( x  h)2  25  5x  2 x 2
 lim R ´(100) 
150

150
 0.015 .
h 0 h
(100  1) 2 10201
h(5  4 x  2h)
 lim  5  4x . El ingreso marginal es mayor cuando x = 50. Esto
h 0 h
significa que, a más artículos, menor es el ingreso
La derivada de la función utilidad, se le denomina
marginal.
función utilidad marginal. La utilidad marginal para 3
artículos, está dada por:
Ejemplo
P´(3) = 5 – 4(3) = -7.
Una fábrica de ropa estima que su costo para elaborar x
Como el signo de la utilidad marginal es negativo, se
artículos está dado por la función C(x) = 50 + 5x +
puede decir que la utilidad marginal disminuirá.
0,03x2. Si cada pantalón que fabrica se vende en $ 30,
¿cuál es la función de utilidad? Obtener la función de
Ejemplo utilidad marginal y evaluar en x = 50 y x = 100.
4r 3 dV Solución
El volumen de una esfera es V (r )  . Hallar y
3 dr La función de utilidad es igual a los ingresos menos los
dV costos de fabricación, esto es
determinar el significado de esta función. Evaluar
dr U(x) = 30x – C(x),
en r = 2. es decir:
Solución U(x) = 30x – 50 –5x – 0,03x2
dV V ( r  h)  V ( r ) = - 50 + 25x – 0,03x2.
 lim
dr h0 h La función utilidad marginal se encuentra derivando la
función utilidad:
4(r  h)3 4r 3
 U ( x  h)  U ( x )
3 3 U ´( x)  lim
 lim h 0 h
h 0 h
50  25( x  h)  0.03( x  h)2  50  25x  0.03x 2
h(12r 2  12rh  4h2 )  lim
 lim  4r 2 . h 0 h
h 0 3h
h(25  0.06 x  0.03h)
dV  lim
representa la rapidez de variación del volumen de h 0 h
dr
 25  0.06x
la esfera con respecto del radio. La variación del vo-
lumen de la esfera cuando r = 2 es: Calculamos la utilidad marginal para x = 50 y x = 100:
U´(50) = 25 – 0,06(50) = 22
V ´(2) = 4(2)2 = 16.
y
U´(100) = 25 – 0,06(100) = 19
Ejemplo
La utilidad marginal es mayor cuando x = 50. Esto
Una empresa pronostica que su ingreso total por la
significa que, a más artículos, menor es la utilidad
150
venta de x artículos es R( x)  300  . Hallar la marginal.
x 1
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7. LA DERIVADA 93
3.1.7 Tarea
1) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones:
x 1 b) f ( x)  x2 1  x ; c) f ( x)  x 1  x 2 ; d) f ( x)  ( x2  x)e x ;
a) f ( x)  ;
x  x 1
2
e) f ( x) 
x
; 2 x 4  3x 2  1 1 x 5x2  7
f) f ( x)  ; g) f ( x)  ; h) f ( x)  ;
x  x 1
2
x2 1 x x2  2
x x 1 k) f ( x)  x2 ln x ; 1  x  x2
i) f ( x)  ; j) f ( x)  ; l) f ( x)  ;
x2  1 x2  x  1 1  x  x2
m) f ( x)  Sen 1  x 2 ; n) f ( x)  1  ln 2 x ; Tanx x
o) f ( x)  ; p) f ( x)  ;
x 1  Cosx
x 1 r) f ( x)  xArcTan x .
q) f ( x)  ;
ex
2) Utilizando la definición, derivar las siguientes expresiones:
x2  1 b) f ( x)  6 x 2  
5 2
c) f ( x) 
1
a) f ( x)  ; ; ;
x 1
2 x 3
x 2 6x  5
1 x 1
d) f ( x)  ; e) f ( x)  ; f) f ( x)  3 7 x2  4 x  3 ;
x4  x2  1 x 1
4 h) f ( x)  ( x  x1)2 ; ( x  1)( x  3)
g) f ( x)  ; i) f ( x)  ;
3x  2
2
( x  1)( x  3)
j) f ( x)  ( x2  x2 )2 ; k) f ( x) 
6
;  2  2 x2  x 
(3x  1)
2 4 l) f ( x)  ln  ;
 2  2 x2  x 
 
m) f ( x) 
ex
; n) f ( x)  ln 
 x  1  x2 
; 
o) f ( x)  ln x  1  x 2 . 
Senx  x 
 
3) Un grupo de ingenieros de caminos diseña un tra- a) Calcule la velocidad del globo para t = 4 segundos.
mo de carretera que debe conectar una autopista hori- b) Determine la velocidad del globo en el momento en
zontal con otra que tiene una inclinación de 20º. El que se encuentra a 50 pie del suelo.
enlace debe realizarse sobre una distancia horizontal
de 600 metros usando una curva parabólica para unir 6) Un objeto se mueve a lo largo de una recta de ma-
los puntos A y B. Obtenga una ecuación del tipo f(x) = nera que después de t minutos su distancia desde el
ax2 + bx + c para la parábola respectiva y determine las 5
punto de partida es D(t )  10t  metros:
coordenadas de B. t 1
a) ¿A qué velocidad se desplaza el objeto al final de 4
4) Se estima que dentro de t años, la circulación de un minutos?
periódico local será C(t) = 100t2 + 400t + 5000: b) ¿Cuánto se desplaza realmente el objeto durante el
a) Obtenga una expresión para la razón a la cual la quinto minuto?
circulación cambiará con respecto al tiempo dentro de
t años. 7) El volumen de agua contenido en un tanque en el
b) ¿A qué razón cambiará la circulación con respecto instante t lo da V(t) = 10(10 – t)2. Hallar V ´(t) e inter-
al tiempo dentro de 5 años?¿disminuirá o aumentara la prete el resultado. Obtener el tiempo t para el que
circulación en ese momento? V ´(t) = 0.
c) ¿En cuánto cambiará en realidad la circulación
durante el sexto año? 8) Un estudio ambiental de cierta comunidad subur-
bana señala que dentro de t años el nivel promedio de
5) Un globo meteorológico se eleva verticalmente de monóxido de carbono en el aire será Q(t) = 0.05t2 +
manera que su altura s(t) sobre el suelo durante los 0.1t + 3.4 partes por millón:
primeros 10 segundos de su ascenso está dada por a) ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de
s(t) = 6 + 2t + t2 metros y t está dada en segundos: carbono, con respecto al tiempo, dentro de 1 año?
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8. LA DERIVADA 94
b) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de 16) Se estima que dentro de t años la población de
carbono este año? 6
cierta comunidad suburbana será P(t )  20  miles:
c) ¿En cuánto cambiará el nivel de monóxido de t 1
carbono durante los próximos 2 años? a) Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la
cual cambiará la población, con respecto al tiempo,
9) Dos atletas se disponen a correr los 100 metros dentro de t años.
planos. Las distancias s1(t) y s2(t) que cada uno de b) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 1 año?
ellos recorre a los t segundos está dada por c) ¿Cuánto crecerá realmente la población durante el
1 1100t segundo año?
s1 (t )  t 2  8t y s2 (t )  para t ≥ 0. Determine
5 t  100 d) ¿A qué razón crecerá la población dentro de 9
cuál de los corredores es: años?
a) El más rápido en la salida; e) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la
b) El que gana la carrera; población a largo plazo?
c) El más rápido al cruzar la meta.
17) Un globo esférico se infla y su radio en centíme-
10) Cuando cierto jugador de básquetbol salta para tros a los t minutos está dado por r (t )  3 3 t , donde 0 ≤
hacer una canasta, la altura de sus pies sobre el piso t ≤ 10. Calcule la razón de cambio con respecto al
está dada por s(t) = -gt2 + 16t pies: octavo minuto de las siguientes cantidades:
a) Suponga que g = 32, calcule el tiempo de vuelo en a) r(t);
que el jugador se halla en el aire. b) El volumen del globo;
b) Determine la velocidad inicial y la altura de salto o c) El área de la superficie del globo.
distancia máxima que alcanzan sus pies sobre el suelo.
32
c) En la Luna se tiene que g  . Resuelva las par- 18) La utilidad obtenida por una compañía que fabrica
6 y vende x artículos, la da P(x) = - 50 + 10x – x2. Hallar
tes a) y b) para este valor de g. P´(x) e interpretar esta nueva función. Determinar
también P´(5).
11) Se lanza una piedra hacia abajo con una veloci-
dad inicial de –50 pies/seg desde el techo de un edifi- 19) Un hombre que está en un muelle tira de una
cio y choca con el suelo 3 segundos después: cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 cen-
a) ¿Cuál es la altura del edificio? tímetros sobre el nivel del agua. La cuerda pasa sobre
b) ¿A qué velocidad choca la piedra con el suelo? una polea simple que se encuentra en el muelle a 2
metros del agua. Si tira de la cuerda a razón de 1 metro
12) Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba por segundo, ¿con qué rapidez se acerca el bote al
desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de muelle en el momento en que la proa está a 6 metros
160 pies/seg: del punto sobre el agua que se encuentra directamente
a) ¿Cuándo chocará el proyectil con el suelo? debajo de la polea.
b) ¿Cuál es la velocidad de impacto?
c) ¿Cuándo alcanzará el proyectil su altura máxima? 20) Una pelota baja rodando por un plano inclinado
d) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyec- de manera que la distancia en centímetros que recorre
til? al cabo de 3 segundos está dada por s(t) = 2t3 + 3t2 + 4,
donde 0 ≤ t ≤ 3:
13) La utilidad al producir y vender x artículos queda a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota en el segundo
dada por P(x) = x2 – 200. Hallar P´(x) y determinar qué segundo?
representa esta función. Evaluar también P´(x) en x = b) ¿En qué momento alcanza una velocidad de 30
10 y x = 20. centímetros por segundo?
14) Un biólogo estima que el número de bacterias 21) Se estima que dentro de t años la población de
presentes en el instante t está dada por N(t) = 500 + 2t cierto pueblo será
+ 5t2. Obtener N´(t) e interprete esta función. Estimar P(t) = t2 + 200t + 10000:
N´(t) en t = 1, t = 3 y t = 5. a) Exprese la razón de cambio porcentual de la pobla-
ción como una función de t; simplifique esta función en
15) Supóngase que la distancias que recorre un objeto forma algebraica.
en el tiempo t se modela por S(t) = 4t2 + t. Determinar b) ¿Qué sucederá con la razón de cambio porcentual
la velocidad instantánea de este objeto en el tiempo t. de la población a largo plazo?
¿Cuál es la velocidad en t = 2?
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9. LA DERIVADA 95
22) Las ganancias anuales brutas de cierta compañía 29) Cuando un disco metálico circular se calienta, su
fueron A(t) = 0.1t2 + 10t + 20 miles de dólares t años diámetro aumenta a razón de 0.01 centímetros por
después de su formación en 1994: minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del área de uno
a) ¿A qué razón crecieron las ganancias anuales bru- de sus lados?
tas de la compañía con respecto al tiempo en 2003?
b) ¿A qué razón porcentual crecieron las ganancias 30) Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 5 pie
anuales brutas, con respecto al tiempo, en 2003? cúbicos por minuto. ¿Si la presión se mantiene constan-
te, cuál es la rapidez de cambio del radio cuando el
23) Dos automóviles salen de una intersección al diámetro mide 18 pulgadas?
mismo tiempo. Uno viaja hacia el este a una velocidad
constante de 60 km/hora, mientras que el otro va hacia 31) Una persona comienza a correr a partir de un
el norte a una velocidad constante de 80 km/hora. punto A hacia el este, a 3 metros por segundo. Un
Encuentre una expresión para hallar la razón a la cual minuto después, otra persona sale corriendo desde A
cambia la distancia entre los automóviles con respecto hacia el norte a 2 metros por segundo. ¿Cuál es la rapi-
al tiempo. dez de variación de la distancia entre las dos personas
un minuto más tarde?
24) Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16
pie de altura. Una persona de 5 pie de estatura se aleja 32) La ley de Boyle de los gases asegura que pv = c,
del poste a una velocidad de 4 pie por segundo. ¿Con donde p es la presión, v el volumen y c una constante.
qué rapidez se mueve la extremidad de su sombra En cierto momento el volumen es de 75 pulgadas cúbi-
cuando él se encuentra a 18 pie del poste? ¿Cuál es la cas, la presión es de 30 libras por pulgada cuadrada y
tasa de crecimiento de su sombra? ésta disminuye a razón de 2 libras por pulgada cuadra-
da por minuto. ¿Cuál es la rapidez de cambio del vo-
25) Un cohete que se tiene emplazado al pie de una lumen en ese momento?
colina cuya pendiente es 1/5 se dispara hacia una coli-
na y sigue una trayectoria dada por f(x) = -0.016x2 + 33) Una bola esférica de nieve se derrite de manera
1.6x: que su radio disminuye con rapidez constante, de 30 a
a) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria del cohete 20 centímetros en 45 minutos. ¿Cuál era la rapidez de
en el momento del disparo? cambio del volumen en el momento en que el radio
b) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria cuando mide 25 centímetros?
choca contra la colina?
c) Calcule la altura máxima del cohete sobre el suelo. 34) Los extremos de un abrevadero de 4 metros de
largo tienen la forma de triángulo equilátero, con lados
26) Una barra de metal tiene la forma de un cilindro de 75 centímetros. Se suministra agua al abrevadero a
circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su razón de 15 litros por minuto. ¿Cuál es la rapidez de
diámetro aumenta a razón de 0.002 centímetros por cambio del nivel del agua cuando la profundidad es 15
minuto y 0.001 centímetro por minuto, respectivamen- centímetros?
te. ¿A razón de cuántos centímetros cúbicos por minu-
to aumenta el volumen de la barra en el momento en 35) Un cable de 150 pie de largo y 4.5 pulgadas de
que mide 1 metro de largo y 4 centímetros de diáme- diámetro está sumergido en el mar. Debido a la corro-
tro? sión, el área de la superficie del cable disminuye a
razón de 600 pulgadas cuadradas por año. Encuentre la
27) A las 12:00 horas el barco A se encuentra a 20 rapidez con la que decrece el diámetro, despreciando la
millas al sur del barco B. Suponiendo que A navega corrosión en los extremos del cable.
hacia el oeste a razón de 15 millas por hora, y que B
navega hacia el sur a 20 millas por hora, evaluar la 36) La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pie
rapidez de cambio o variación de la distancia entre los de largo y 30 pie de ancho. Su profundidad aumenta
dos barcos a las 12:45. uniformemente de 4 a 9 pie en un tramo horizontal de
40 pie y después continúa al mismo nivel los 20 pie
28) Una escalera de 20 pie de largo está apoyada restantes, la cual representa una sección transversal. La
contra la pared de un edificio. La base de la escalera piscina se está llenando a razón de 500 galones por
resbala alejándose de la pared a razón de 3 pie por minuto de agua. Calcule aproximadamente la rapidez
segundo. ¿Con qué rapidez desciende el extremo supe- de cambio del nivel del agua en el momento en que la
rior de la escalera cuando se encuentra a 8 pie del profundidad en la parte más honda es de 4 pie.
piso?
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10. LA DERIVADA 96
37) Una persona que hace volar una cometa sostiene 45) Un vaso de papel con agua tiene la forma de un
el cordel a 5 pie del suelo y lo va soltando a razón de 2 cono circular recto truncado de 20 centímetros de altu-
pie por segundo, mientras la cometa se mueve horizon- ra con radios de la base y de la orilla libre de 3 centí-
talmente a una altura de 110 pie. Suponiendo que el metros y 5 centímetros, respectivamente. El agua se
hilo se mantiene tenso, encuentre la rapidez con la que fuga del vaso a razón de 100 centímetros cúbicos por
se mueve la cometa cuando se han soltado 130 pie de hora. ¿A razón de cuántos centímetros por hora dismi-
hilo. nuye la profundidad del agua cuando es de 5 centíme-
tros?
38) Un globo de aire caliente se eleva en forma verti-
cal y una cuerda atada a la base del globo se va soltan- 46) Un tanque esférico de agua de radio r contiene
do a razón de 2 metros por segundo. El torno desde el este líquido con una profundidad h y el volumen del
cual se suelta la cuerda está a 10 metros de la plata- 1
agua en el tanque está dado por V   h2 (3r  h) . Su-
forma de abordaje. ¿Si se han soltado 180 metros de 3
cuerda, con qué rapidez asciende el globo? ponga que un tanque esférico de 6 metros de radio se
está llenando a razón de 300 litros por minuto. Calcule
39) Se lanza una piedra a un lago y produce ondas a razón de cuántos metros por segundo se eleva el nivel
circulares cuyos radios crecen a razón de 20 centíme- del agua cuando la altura es de 1.5 metros.
tros por segundo. ¿A razón de cuántos metros por
segundo aumenta el perímetro de una onda cuando su 47) Un tanque esférico está cubierto por una capa
radio es de 5 metros? uniforme de hielo de 3 pulgadas de grueso. El volumen
de hielo se derrite con una rapidez directamente pro-
40) Cuando dos resistencias R1 y R2 se conectan en porcional al área de la superficie. Demuestre que es
paralelo, la resistencia total R está dada por constante la rapidez de cambio del diámetro exterior.
1 1 1
  . Si R1 y R2 aumentan a razón de 0,01
R R1 R2 48) Una persona deja caer una piedra a un lago desde
ohmios por segundo y 0,02 ohmios por segundo, res- un acantilado de 50 metros de altura y, dos segundos
pectivamente, ¿a razón de cuántos ohmios por segundo después, deja caer otra piedra desde el mismo lugar.
varía R en el momento en que R1 = 30 ohmios y R2 = Describa la rapidez de cambio de la distancia entre las
90 ohmios? dos piedras durante el siguiente segundo.
41) La fórmula de la expansión adiabática del aire es 49) La cubierta de un silo tiene la forma de un hemis-
pv1.4 = c, donde p es la presión, v es el volumen y c es ferio de 6 metros de diámetro. En dicha cubierta se
una constante. En cierto momento la presión es 40 deposita una capa de hielo de 5 centímetros de grueso
dinas por centímetro cuadrado y aumenta a razón de 3 que disminuye a razón de 0.5 centímetros por hora.
dinas por centímetro cuadrado por segundo. En ese ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen de hielo?
mismo momento el volumen es de 60 centímetros
cúbicos. Calcule la rapidez de variación del volumen. 50) Un avión vuela con velocidad constante de 550
kilómetros por hora y con una inclinación de 45º hacia
42) El área de un triángulo equilátero disminuye a arriba. Encuentre la rapidez de cambio de la distancia
razón de 3 centímetros cuadrados por minuto. Calcule del avión a una torre de control en tierra, un minuto
la rapidez de variación de la longitud de sus lados en el después de que éste pasó directamente a 4 kilómetros
momento en que el área del triángulo es de 250 centí- arriba de ella. Desprecie la altura de la torre.
metros cuadrados.
51) Una carretera A que va de norte a sur y otra B que
43) Un incendio que comenzó en un terreno seco se va de este a oeste se cruzan en un punto P. A las 10:00
extiende formando un círculo. El radio del círculo horas un automóvil pasa por P viajando hacia el norte
crece a razón de 2 metros por minuto. Calcule la rapi- por la carretera A a 100 kilómetros por hora. En ese
dez con que crece el área del círculo cuando el radio es mismo momento, un avión que vuela hacia el este a
de 50 metros. 400 kilómetros por hora y a 8000 metros de altura, se
encuentra directamente arriba de un punto en la carre-
44) El gas contenido en un globo esférico escapa a tera B que se halla 200 kilómetros al este de P. Si am-
razón de 7 libras por hora. ¿A razón de cuántos centí- bos mantienen la misma velocidad y la misma direc-
metros por hora disminuye el radio del globo en el ción, ¿cuál es la rapidez de cambio de la distancia entre
momento en que el volumen es 450 libras? el avión y el automóvil a las 10:15 horas?
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11. LA DERIVADA 97
3.2 Derivadas derecha e izquierda
Observando la completa analogía con los conceptos de Al mismo tiempo, existen las funciones que, en el
valores límite derecho e izquierdo de una función se punto x, tienen la derivada, tanto derecha como iz-
introducen los conceptos de derivadas derecha e iz- quierda, pero no la tienen en dicho punto.
quierda de la función y = f(x) en el punto dado x.
Ejemplo
Definición Derivar la función
Se denomina derivada derecha de la función y = f(x) en f ( x)  x  8
el punto fijado x el valor límite derecho de la relación Solución
de diferencias (3) en el punto h = 0, observando la Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos
condición de que este valor límite exista.
 x  8, x  8
f ( x)  x  8  
Definición  x  8, x  8
Se denomina derivada izquierda de la función y = f(x) En el punto x = 8 esta función tiene la derivada derecha
en el punto fijado x el valor límite izquierdo de la igual a
relación de diferencias (3) en el punto h = 0, observan- ( x  h  8)  ( x  8) h
lim  lim  1
do la condición de que este valor límite exista. h 8 h h 8 h
y la derivada por la izquierda es
La derivada derecha de la función y = f(x) en el punto x ( x  h  8)  ( x  8) h
lim   lim  1
se denota por el símbolo f ' ( x) y la izquierda, por el h 8 h h 8 h
símbolo f ' ( x) . Como las derivadas por la izquierda y por la derecha
son diferentes, entonces la función f(x) no tiene deriva-
da en el punto x = 8.
Si la función y = f(x) tiene derivada en el punto x, ella
tiene en este punto las derivadas derecha e izquierda
coincidentes entre sí. Si la función y = f(x) tiene deri-
vada tanto derecha como izquierda en el punto x, y si
dichas deriva das coinciden entre sí, entonces la fun-
ción y = f(x) tiene derivada en el punto x.
3.3 Derivación por fórmulas
En esta sección enunciaremos propiedades, que nos pequeños y
permitan derivar sin necesidad de utilizar la defini- k xhx h
   1 (x > 0).
ción general. h h h
Si x < 0, tenemos x + h < 0 para h suficientemente pe-
Teorema queños y
Si una función f(x) tiene derivada en c, entonces es k  ( x  h)  (  x ) h
continua en c.     1 (x < 0).
h h h
De este modo,
Esta propiedad nos hace notar que, si una función es
k  1, si x  0,
derivable en un punto, entonces la función debe ser y   lim 
continua en ese punto. Por lo tanto, la derivabilidad h0h  1, si x  0.
es una propiedad más eficaz que la continuidad. Sea ahora x = 0. Entonces
k h h
Ejemplo   Sign h   Sign h
h h h
Analice la derivada de la función f ( x)  x .
 1, si h  0,
Solución 
Para dicha función  1, si h  0.
xh  x k k
k
 . Por esta razón lim  1 y lim   1 . De esta manera,
h0h h0h
h h h0 h0
Si x > 0, tenemos x + h > 0 para h suficientemente
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12. LA DERIVADA 98
la función x tiene en el punto x = 0 una derivada Teorema
derecha igual a 1, y una derivada izquierda igual a -1, Si f y g tienen derivadas en un punto c, entonces fg tiene
lo que es indicio de que en el punto x = 0 la función también una derivada, y
(fg)´(c) = f ´(c)g(c) + f(c)g´(c).
x no tiene derivada.
La derivada de una suma es la derivada de las derivadas:
Teorema (f1 f2 ... fn)´ = (f1´ f2 ... fn) + (f1 f2´ ... fn) + ...
La derivada de una función constante es igual a cero. + (f1 f2 ... fn´).
Hay una extensión correspondiente de la regla del pro-
Ejemplo ducto el caso de más de dos factores. Para tres factores,
La derivada de una función constante es la función tenemos:
d (3) (fgh)´ = f ´gh + fg´h + fgh´,
cero. Enfatizamos que si  0 no significa que la
dx y, en general, la derivada de un producto de n funciones
derivada del número 3 sea 0; en cambio la derivada es una suma de n términos, en cada uno de los cuales una
de la función constante f(x) = 3 es la función cons- de las n funciones se ha derivado:
tante g(x) = 0. (f1f2 ... fn)´ = f1´ + f2´ + ... + fn´.
Teorema Ejemplo
Si f tiene derivada en algún punto c, entonces tam- Resuelva la ecuación f ´(x) = 0:
bién la tiene kf y f ( x)  x( x  1)2 ( x  2)3 .
(kf)´(c) = kf ´(c).
Solución
Multiplicando los tres factores, obtenemos:
Teorema
Sean f y g funciones cualesquiera, y definamos una f ( x)  x6  8x5  25x4  38x3  28x2  8x .
nueva función f + g por la regla Derivamos esta última expresión:
(f + g)(x) = f(x) + g(x). f ´( x)  6 x5  40 x4  100 x3  114 x2  56 x  8
Si f y g tienen derivadas en algún punto c, entonces Igualamos a cero esta expresión y luego calculamos sus
también la tiene f + g, y
raíces
(f + g)´(c) = f ´(c) + g´(c).
3x5  20x4  50 x3  57 x2  28x  4  0
La regla para sumas se aplica cuando aparecen más  13 5  13 5 
3( x  1)( x  2) 2  x 
   x   0
de dos funciones. Por ejemplo, una suma de tres
 6 6 
 6 6
funciones puede escribirse como suma de dos fun-
ciones, una de las cuales es a su vez una suma:  x 1
 x2
f + g + h = (f + g) + h. 
Aplicando la regla para sumas dos veces, tenemos  5 13 .
[(f + g) + h]´ = (f + g)´ + h´ = f ´ + g´ + h´. x  
Esto puede extenderse para cubrir el caso de cual-  6 6
 5 13
quier número de funciones como sumandos. x  
 6 6
Teorema
Si f(x) = xn, siendo n un número entero positivo, Teorema
entonces f es derivable sobre los reales, y además Si f ´(c) y g´(c) existen, y g(c)  0, entonces
f ´(x) = nxn-1. '
f  g (c) f ´(c)  f (c) g ´(c)
  (c )  .
Ejemplo g g 2 (c )
Resuelva la ecuación f ´(x) = 0:
f ( x)  x3  6 x2  9 x  12 . Cualquier función de la forma
f
, donde f y g son poli-
Solución g
f ´( x)  3x2  12 x  9  x2  4 x  3  0 nomios, se llama función racional, porque es la razón de
dos polinomios. Las reglas para sumas y productos pro-
x 1 porcionan una sencilla fórmula para la derivada de cual-
(x - 3)(x - 1) = 0   .
x  3 quier polinomio; combinando esto con la regla del co-
ciente, podemos derivar cualquier función racional. Po-
demos darnos cuenta que no es cierto que la derivada de
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13. LA DERIVADA 99
un producto es el producto de las derivadas respecti- (1  x3 ) 2
vas. De manera análoga, la derivada de un cociente   2 x2 3
no es simplemente el cociente de las derivadas. (1  x3 )2 (1  x3 )6
1  x3
Ejemplo   2 x2 3
Derivar la siguiente función: (1  x3 )3 (1  x3 )4
x2  5x  6 1  x3 2x2 1  x3
a) f ( x)  ; b) f ( x)  3 .  3 .
x  x7
2
1 x 3 x  1 1  x3
6
Solución
( x 2  x  7)(2 x  5)  ( x 2  5 x  6)(2 x  1) Ejemplo
a) f ´( x)  Resuelva la ecuación f ´(x) = 0:
( x 2  x  7)2
x2  x  6
6 x 2  2 x  41 f ( x)  .
 . x  10 x  25
2
( x 2  x  7)2 Solución
( x 2  10 x  25)(2 x  1)  ( x 2  x  6)(2 x  10)
2 f ´( x) 
( x 2  10 x  25)
1  1  x3  3 (1  x3 )(3x 2 )  (1  x3 )(3x 2 )
b) f ´( x)   
3  1  x3 
  (1  x3 )2 
11x 2  62 x  35
.
2 ( x 2  10 x  25)
6 1 x3  3
x2 11x2  62 x  35  0  (x – 5)(11x – 7) = 0
 
 1  x3  (1  x3 )2

3   x5

2 x2 1  x3  7 .
 3  x  11

(1  x3 )(1  x3 ) 1  x3
3.3.1 Costo marginal
Dado C como una función de costos de producción, Si C es derivable y x se aproxima a c, entonces este co-
C ( x) ciente diferencial tiende a C´(c). Así C´(c) es a menudo
no necesariamente lineal. Definimos que C ( x) 
x igualado con el costo unitario de producir unidades in-
es el costo promedio por unidad de producir las pri- crementales, después que c unidades se han producido.
meras unidades de x. En comparación Llamamos a la derivada de la función del costo de pro-
C (c  h)  C ( c ) ducción, la función del costo marginal.
es el costo promedio por unidad de
h
producción h unidades adicional, después que c ha
sido producida.
3.3.2 Elasticidad de demanda
Dado que D(p) describe una función de demanda si Formalmente nuestra razón es:
el precio de un bien cambia de c a p dólares, enton- D ( p )  D (c )
ces el porcentaje cambia en precios y la cantidad D (c ) c [ D( p)  D(c)]

demandada será: pc ( p  c ) D (c )
 pc  D ( p )  D (c )  c
100%   y 100%   Desafortunadamente, a menos que D sea una función
 c   D (c ) 
La razón porcentual de cambio en cantidad deman- lineal, esta razón cambia en la medida en que varía p. Sin
dada al porcentaje de cambio en precio, mide las embargo, si p tiende hacia c, entonces podemos aproxi-
respuestas de la demanda a las fluctuaciones en pre- D ( p )  D (c )
mar por D´(c). Por tanto, cuando p tiende
cios. Es esencial que se compare el porcentaje de pc
cambio más que el cambio mismo. hacia c
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14. LA DERIVADA 100
D ( p )  D (c ) a) Encuentre el aumento en el número de litros deman-
D (c ) c dados semanalmente;
 E (c)  D´(c) .
pc D (c ) b) Encuentre el porcentaje de cambio en el precio;
c c) Encuentre el porcentaje de cambio en la cantidad
Donde a E(c) llamamos punto de elasticidad de de- demandada;
manda para el precio c. d) ¿Cuál es la razón porcentual del cambio en cantidad
demandada, al porcentaje de cambio en precio?;
Ejemplo e) Calcule el punto de elasticidad de la demanda;
Suponga que el costo de producir x impresoras está f) Use E(1) para estimar el porcentaje de cambio en la
dado por la función C(x) = 375 + 25x + 2x2. Encuen- cantidad demandada si el precio cambia de $ 1 a $ 1,05.
tre la función de costo marginal en x = 4 y x = 16, y Solución
luego interprete su resultado. a) El incremento es
Solución D(0,95) – D(1) = 1364,625 – 1350 =14,625
Si C(x) es la función de costo total, entonces C ´(x) litros por semana.
se denomina función de costo marginal. Es decir:
C´(x) = 25 + 4x. b) El cambio en precio es 0,95 – 1 = -0,05 dólares, por
Si x = 4, tanto el porcentaje de cambio en el precio es
C ´(4) = 25 + 4(4) = 25 + 16 = 41 0,05
100%  5% .
dólares por artículo, 1
lo cual representa el costo aproximado de la quinta c) Si el cambio en cantidad demandada es 14.625, el
impresora. porcentaje de cambio es
Análogamente, si x = 16, 14,625
100%  1,08% .
C ´(16) = 25 + 4(16) = 89 dólares por artículo, D(1)
lo cual representa el costo aproximado de la décima 1,08
séptima impresora. d) La razón es  0,216 .
5
El costo exacto de producir la quinta impresora es
e) Debemos calcular
C(5) – C(4) = [375 + 25(5) + (5)2] –
(1) D´(1)
- [375 + 25(4) + (4)2] = 525 – 491 = 34 dólares. E (1)  .
D(1)
Ejemplo Si D´(p) = -300p,
Dado C(x) = 2x2 +5x+350 como una función de (1)(300)(1)
E (1)   0,2 .
costo externo. 1350
a) Calcule el costo promedio por unidad de producir f) Para estimar el porcentaje de cambio en la cantidad
100 unidades adicionales, después de haber produci- demandada, multiplique el porcentaje de cambio en el
do 1000; precio por el punto de elasticidad. Si el precio es 5 centa-
b) Calcule el costo marginal después de haber pro- vos, el porcentaje de cambio en el precio es 5 %. Así el
ducido 1000 unidades. porcentaje de cambio en la cantidad demandada es apro-
Solución ximadamente (-0,2)(5) = -1%. El signo menos indica que
a) El costo de producción de diez unidades adiciona- la cantidad demandada disminuirá.
les es el costo de producir 1100 unidades menos el
costo de producción de 1000 unidades. Así el costo Ejemplo
promedio por unidad es: La parte superior de una escalera de mano de 2 metros de
C (1100)  C (1000) 2425850  2005350 largo descansa sobre una pared vertical, y su parte infe-

100 100 rior empieza a deslizarse sobre un pavimento horizontal,
420500 hacia abajo y hacia afuera. En el momento en que el pie
  $ 4205 . de la escalera se encuentra a 1.2 metros de la pared, se
100
b) Puesto que C ´(x) = 4x +5, el costo marginal está deslizando a la velocidad de 0.2 metros por segundo.
cuando x = 1000 es 4(1000) + 5 = $ 4005. ¿A qué distancia de la pared se encontrará el pie de la
escalera cuando los dos extremos se mueven a la misma
Ejemplo velocidad?
Si el precio por litro de aceite para cocina es p dóla- Solución
res, entonces los consumidores podrán comprar Supongamos que OA representa el pavimento, OB la
D(p) = 1500 – 150p2 litros semanalmente. Suponga pared y AB la escalera; las flechas representan la direc-
que el precio se reduce de $ 1 a $ 0,95. ción del movimiento. Si x es la distancia OA del pie de la
escalera a la pared, y y la distancia OB de la parte alta al
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15. LA DERIVADA 101
suelo, tendremos, según el enunciado del problema, función
dx mts 3t  1
que AB = 2 mts,  0.2 , y se trata de calcular P(t )  .
dt seg 2t  1
dy dy dx ¿Cuál será la rapidez de cambio de esta población en
, y el momento en que  . 2030 (cuando t = 33)?
dt dt dt
Tenemos que empezar por expresar y en función de Solución
x. Esto se hace con ayuda de la figura, notando que La rapidez de cambio de P(t) corresponde a la derivada
puesto que OA es horizontal y OB es vertical, el de P(t).
(2t  1)(3t  1)´  (3t )(2t  1)´
triángulo AOB es rectángulo. Por lo tanto, P´(t ) 
(OB)2 + (OA)2 = (AB)2 (2t  1)2
es decir, y + x = 22 y despejando y, tendremos:
2 2
(2t  1)(3)  (3t )(2) 1
  .
y 4x 2 (2t  1)2 (2t  1)2
que es la relación buscada entre y En 2030 (t = 33), la rapidez de cambio de la población
y x, es decir, la expresión de y será
como función de x. 1 1
P´(33)  
Para obtener la velocidad de va- [2(33)  1]2 4489
dy
riación habrá que hallar dy  2,23 x 104
millones.
dt
partiendo de esa ecuación y divi- Esto significa que hasta el año 2030 la población de la
dir después por dt. Derivando la ciudad se estará incrementando aproximadamente en 223
ecuación, resulta personas por año.
dy  x  dx
   Ejemplo
dt  4  x2  dt Suponga que el costo diario de fabricar x artículos está
 
dy dado por la función
Para hallar cuando la distancia x = 1.2 bastará C(x) = 0.05x2 + 13x + 55.
dt
dx
Determine la derivada de la función costo por artículo e
sustituir los valores dados,  0, 2 y x = 1,2, en la interprete el resultado cuando x = 15.
dt
Solución
derivada. Se obtiene
El costo por artículo, se obtiene al dividir el costo total
dy 1,2 0,24 mts
 0,2     0,15 . C(x) entre la producción total x. Por tanto, el costo unita-
dt 4  (1.2) 2 2,56 seg rio es
dy 0,05 x 2  13x  55
El signo negativo de indica que y está disminu- Cu ( x)  .
dt x
yendo, es decir, que la parte alta de la escalera se Derivando esta expresión, obtenemos
mueve hacia abajo. Para encontrar la distancia a la x(0,05 x 2  13x  55)´  (0,05 x 2  13x  55)( x)´
dy dx dy Cu ( x) 
´
que se verifica que  pongamos en lugar x2
dt dt dt
x(0,10 x  13)  (0,05 x  13x  55)(1)
2
dx 
de en la derivada. Entonces es posible dividir x2
dt
dy 0,05 x  55
2
ambos miembros por el factor , y tendremos 
dt x2
x En x = 15,
1  de donde,
4  x2 0,05(15)2  55 4375
Cu ( x) 
´
  0,194 dólares.
4 - x = x  2x = 4
2 2 2 (15)2 225
x = 2  x = 1,414 mts.
2 Lo cual significa que, cuando se producen 15 artículos, el
Es decir, que en el instante en que el pie de la escale- costo por unidad está disminuyendo a una razón de 19
ra se encuentra a 1,414 mts de la pared, es cuando los centavos de dólar por artículo.
dos extremos se mueven a la misma velocidad.
Ejemplo
Ejemplo Al dejar caer una piedra en las tranquilas aguas de un
Suponga que la población de cierta ciudad, en el estanque, se forman ondas circulares que se mueven
tiempo t, desde 1997 (cuando t = 0) está dada por la hacia afuera, partiendo del lugar en que cayó la piedra, a
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