Funciones y límites históricos

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I
TEMA II Y TEMA III: FUNCIONES Y LÍMITES DE FUNCIONES
HISTORIA DE LAS FUNCIONES Y LÍMITES
El concepto de función vino a conocerse en el siglo XVII. En la historia de las matemáticas
se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler, por precisar el concepto de función,
así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo
sus derivadas e integrales.
Antes de Euler, el matemático y filósofo francés René Descartes, mostró en sus trabajos de
geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de variable y función, realizando
una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos
de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones
que las representan. Afirmó:
“Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada
de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o
cantidades constantes”.
También fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar
las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Inventó el método de
los exponentes (como en
2
x ) para indicar las potencias de los números. Formuló la regla
(conocida como la ley cartesiana de los signos) para descifrar el número de raíces negativas
y positivas de cualquier ecuación algebraica, término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera vez
en 1673 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia
2
x de la
variable .x
En otro orden de ideas, aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos
XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien,
en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue
conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y
parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.
La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en
los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con
límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida
a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

CONCEPTO DE FUNCIÓN (REAL DE VARIABLE REAL)
Una función es una relación entre dos variables, x e .y A cada valor de la x (variable
independiente) le corresponde un único valor de y (variable dependiente). La función se
represente gráficamente sobre los ejes cartesianos. Según alas graficas de la figura:
Representaciones graficas de relaciones.
La primera gráfica corresponde a una función: a cada valor de x le corresponde un único
valor de .y La segunda gráfica no es de una función: Hay valores de x que les
corresponde más de un .y
Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables que
intervienen. Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona
el fenómeno que en ella se describe.
Así, tenemos más formalmente que:
“Una función es el conjunto de pares ordenados de número reales  yx, en los
cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número. El conjunto de
todos los valores permisibles de x es llamado dominio de la función ( fD ), y el conjunto
de todos los valores resultantes de y se conoce como rango o recorrido ( fR ) de la
función”.
Por ejemplo, podemos notar existe una relación: Es un conjunto de pares ordenados que
están formadas por un elemento del primer conjunto (salida), y un elemento del segundo

conjunto (llegada). Destacando que este concepto de relación implica la idea de
correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una
relación, la cual no necesariamente es una función como veremos en los ejemplos:
a) La ecuación de la recta:
La ecuación punto-pendiente de la recta
está definida por la relación:
13  xy
Y notamos que para cada valor de x
existe uno y solo un valor de ,y por
tanto es una función que por su
característica la definimos más adelante.
b) La ecuación de una circunferencia:
La ecuación de la circunferencia centrada en
 0,0C y radio 3r está definida por la relación:
922
 yx
Y notamos que para cada valor de x distinto de
3,-3, existen dos valores de ,y por ejemplo para
,2x tenemos que   ,92 22
 y es decir
54994 222
 yyy o bien
5y y por tanto no es una función, pero de
ella podemos obtener dos funciones despejando la
variable dependiente, por ejemplo:

De la relación 922
 yx despejamos la
variable y y obtenemos en este caso la
parte positiva: .9 2
1 xy 
De la relación 922
 yx despejamos la
variable y y obtenemos en este caso la
parte negativa: .9 2
2 xy 
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.
  RxfRxfDom  /
RANGO DE UNA FUNCIÓN
Sea
 xfyx
RRDf



:
una función, se denomina rango o recorrido de una función
al conjunto de los valores reales que toma la variable y o  .xf En forma de conjunto:
  xfyDomfxRyfRg  :/

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos  yx, cuando x varía
en el dominio .D
     D/ xxx, f=fGráfica 
FUNCIÓN POLINÓMICA
En matemáticas, se tiene que una función polinómica es una función asociada a
un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).
Formalmente, es una función:
 xPxf :
Donde  xP es un polinomio definido para todo número real ;x es decir, una suma finita
de potencias de x multiplicados por coeficientes reales, de la forma:
  NnxaxaxaxaxaxP n
n
n
n
n
i
i
i  


 ,1
1
1
1
0
0
0

Debemos tomar en cuenta que los exponentes deben ser naturales puesto que la expresión
,32
2
1
23 2345
 
xxxx no es un polinomio pues el exponente -3 es entero.
Otra definición: Si  xP es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es
una función polinomial RRP : que asigna a cada punto Rx el valor   .RxP 
FUNCIONES POLINÓMICAS BÁSICAS
Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

GRADO NOMBRE EXPRESIÓN
0 Función constante ay 
1 Función lineal baxy  es un binomio del primer grado
2 Función cuadrática cbxaxy  2
es un trinomio del segundo grado
3 Función cúbica
dcxbxaxy  23
es un cuatrinomio de
tercer grado
Dominios de diversas funciones:
Función Constante:   ,kxf  con Rk  una constante.
  ,: RfDom
Función Identidad:   .xxf 
  ,: RfDom
 Función lineal:   ,kxxf  con Rk  una constante.
  ,: RfDom
Función lineal en general:   ,bmxxf  con m la pendiente de la recta y b el
punto de corte de la recta en el eje .Y
  ,: RfDom

 Función Cuadrática:   .2
cbxaxxf 
  ,: RfDom
 Función Polinómica:   Nnxaxaxaxaxf n
n
n
n  
 ,1
1
1
1
0
0 
  ,: RfDom
FUNCIÓN RACIONAL
Una función racional se forma con el cociente de dos funciones polinómicas:
   
 xQ
xP
xf 
El dominio de una función racional está formado por todos los elementos que tienen
imagen o cuya imagen es real.
  
 
 
  
  0/
0/
/
/










xQRxRfDom
xQRxfDom
R
xQ
xP
RxfDom
RxfRxfDom
Esto es, para hallar el dominio de una función racional hallamos los valores para los cuales
el divisor es diferente de cero.
Por ejemplo: Hallar el dominio de la función   .
1
32



x
x
xf

Llamemos   32
 xxP y   ,1 xxQ luego notemos que:
  .1010  xxxQ
Por tanto: 1 RfDom
Otro ejemplo: Hallar el dominio de la función   .
65
1
2
2



xx
x
xf
Llamemos   12
 xxP y   ,652
 xxxQ luego notemos que:
     .0320650 2
 xxxxxQ
Factorizando, tomando en cuenta que: 532  y    .632 
Luego:
  
32
0302032


xx
xxxx
Por tanto:
 3,2 RfDom
NOTA: Para factorizar la ecuación de segundo grado se puede usar el resolvente cuadrático
o Ruffini.
EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:
   .
53
672



x
xx
xf

   .
1
67
2
2



x
xx
xf
   .
652
67
23
2



xxx
xx
xg
   .
1
67
3
2



x
xx
xf
FUNCIÓN RADICAL
Una función radical se forma cuando la cantidad subradical de la función es un polinomio e
inclusive un cociente de dos funciones polinómicas:
   n xPxf     
 
n
xQ
xP
xf 
El dominio de una función racional está formado por todos los elementos que tienen
imagen o cuya imagen es real.
DOMINIO DE LA FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE PAR
El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o
igual que cero.
Por ejemplo, sea   652
 xxxf
Notemos que:
   .0320652
 xxxx
Factorizando, tomando en cuenta que:
532  y    .632 
Luego:

  
3232
03020302032
2Caso1Caso


xxxx
xxxxxx
Geométricamente:
Por tanto:
    ,32,fDom
DOMINIO DE LA FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE IMPAR
El dominio es R o un subconjunto de este de acuerdo con la función que este en la cantidad
subradical.
Por ejemplo, para la función   3 2
65  xxxf se tiene que el dominio es:
RfDom 
Mientras que para la función   3
2
65 

xx
x
xg tenemos que el dominio es, de
acuerdo con la factorización del ejemplo anterior:  3,2 RfDom
EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:
   57  xxf
   56152
 xxxg

   5 2
5615  xxxh
   .
53
672



x
xx
xi
   .
1
67
2
2



x
xx
xj
   .652 23
 xxxxk
ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS DOMINIOS
 Suma y Diferencia de Funciones:       xgxfxgf 
  gDomfDomgfDom 
 Producto de Funciones:       xgxfxgf 
  gDomfDomgfDom 
 Cociente de Funciones:    
 
,
xg
xf
x
g
f






  .0xg
  0/ 





xggDomxgDomfDom
g
f
Dom
 Composición de Funciones: Dos funciones Yf:X  y ,Zg:Y  donde
la imagen de f está contenida en el dominio de ,g se define la función
composición   Zxfg : como      ,xfgxfg  para todos los elementos
de .X
El dominio de fg  es:
    Dom gxDom f y fR | xx=fgDom 

LIMITE DE FUNCIONES
DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE: Sea f una función definida en un intervalo
abierto que contiene a c y L un número real:
cx
Lxf

)(lim
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
  Lxfcx )(entonces,0
Geométricamente:
Si una función  xf cumple esta definición, decimos que es convergente en a .
NOTA: Para que una función tenga límite en un punto de abscisa a , o sea convergente en
ese punto, no es necesario que la función esté definida en ese punto.
Demostrar aplicando la definición épsilon – delta que el límite existe.
Ejemplo: Comprobar que   .912lim
4
=x +
x
Solución:
Puesto que   12x +xf  está definido para cualquier número real, para cualquier
intervalo abierto que contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon –
delta. Ahora se debe demostrar que:
  Lxfax )(/00>,0>

Tomando la segunda parte de la expresión   Lxfax )(0 y sustituyendo en
ella los valores dados en el límite entonces   .91240   xx
Luego hagamos estos cálculos previos:
 912x  82x    42 x
 42 x  42 x .
2
4

x
Para que    912x es suficiente que
2
4

x < por lo que podemos formar
.
2

 
Prueba formar (Comprobando que el  hallado funciona):
Si dado ,0> tomamos ,
2

  entonces
  

  91242
2
44 xxxx
Vemos que con que
2

  logramos lo que queríamos, que es
  .91240   xx
Luego,
  912lim
4
=x +
x
Veámoslo gráficamente:

La parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales 85,3x y 15,4x también
queda encerrada entre las rectas horizontales 55,8y e 45,9y
El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para   .9xf A
esos valores (positivos) se los llama, en forma genérica,  (épsilon) y para cada uno
de ellos se obtiene un valor  (delta) también positivo, tal que: si 4x y
,44   x entonces   .99   xf
Utilizando notación de distancia. Si 4x y ,40  x entonces   .9 xf
O en forma equivalente: Si 4x y  ,4,4  x entonces    .9,9  xf
EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL LÍMITE: Si f es una función y ,c L son números
reales, el límite de  xf cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:
LxfyLxf
cxcx
 

)(lim)(lim
EJEMPLO: Comparación de los límites laterales

Pruebe que
x
x
x 0
lim

no existe.
Solución: Puesto que:






0si,
0si,
xx
xx
x
Se tiene que
 
  11limlimlim
11limlimlim
000
000








xxx
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
Como los límites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se deduce que el límite no
existe. A continuación se muestra la gráfica de la función   .
x
x
xf 
Razone en términos de épsilon – delta la no existencia del límite.
LÍMITES BÁSICOS: Si b y c son números reales y n un entero positivo. bb
cx


lim
y .lim cx
cx


PROPIEDADES DE LOS LÍMITES: Si b y c son números reales y n un entero
positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Lxf
cx


)(lim y .)(lim Kxg
cx


Tenemos que se cumplen:

1. MÚLTIPLO ESCALAR:   bLxfb
cx


)(lim
2. PRODUCTO:   LKxgxf
cx


)()(lim
3. SUMA O DIFERENCIA:   KLxgxf
cx


)()(lim
4. COCIENTE: 0,
)(
)(
lim 






Kquesiempre
K
L
xg
xf
cx
5. POTENCIAS:   nn
cx
Lxf 

)(lim
6. ÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL: Si n es un entero positivo: nn
cx
cx 

lim
Para toda c si n es impar. 0c si n es par.
7. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA: Si f y g son funciones tales que:
Lxg
cx


)(lim y ).()(lim Lfxf
Lx


Entonces: )())(lim())((lim Lfxgfxgf
cxcx


LÍMITES ESPECIALES:
1lim
0

 x
senx
x
0
cos1
lim
0


 x
x
x
1
1
lim
0


 x
ex
x
a
x
ax
x
ln
1
lim
0



k
x
x
e
x
k








1lim
EJERCICIOS DE LÍMITES
1. Calcular los siguientes límites:
a)  65lim 2
1


xx
x
Solución:
Como se trata de un límite directo, y como cada límite sumando existe hallamos su valor
del así:

 
   
)cantidadesestastodassumamos(Y2651
.constante)laesconstantefunciónunadelímite(El6151
función).dichadelimiteelporescalar
delproductoelesunafunciónpor
escalarundeproductodellímiteely
funciónladelimitedelpotencialaes
funciónunadepotencialadelímite(El6limlim5lim
función).cadadelímiteslosdesumalaes
funcionesdesumaunadelímite(El6lim5limlim65lim
2
11
2
1
11
2
1
2
1






xxx
xxxx
xx
xxxx
b)
103
1262
lim 2
23
2 

 xx
xxx
x
Solución:
Como se trata de una función racional, calculemos el límite directo de la función del
numerador y de la función del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio
anterior):
1)
 
   
      01212881226222
12limlim6lim2lim
12lim6lim2limlim1262lim
23
22
2
2
3
2
22
2
2
3
2
23
2





xxxx
xxxxx
xxx
xxxxxx
2)
 
 
    0106410232
10limlim3lim
10lim3limlim103lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2





xxx
xxxx
xx
xxxx
De acá tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .
0
0
Ahora descomponemos tanto la función polinómica del numerador como de la función
polinómica del denominador: Para el primero usamos la regla de Ruffini:

De aquí tenemos que un factor es   660 22
 xxxxP y   ,2 xxQ es decir,
tenemos que:
  .621262 223
 xxxxx
Para el segundo notamos que       .252525103 22
 xxxxxx
Si aun no tienes claro esta factorización puedes usar la ecuación de segundo grado.
Luego levantemos la indeterminación:
  
  
 
 
 
 
7
2
7
64
52
62
5limlim
6limlim
limites).losdecocienteelescociente
undelimiteelaplicarpodemoscerode
diferentessonyexistenlimiteslos(Como
5lim
6lim
r).simplificapodemosy02seao
2quetenemos2(Como
5
6
lim
52
62
lim
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

























xx
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x-
xx
x
x
xx
xx
Cocientes del dividendo
1 -2 -6 12
2 2 0 - 12
1 0 -6 0
Resto
Coeficiente del cociente

Así,
7
2
103
1262
lim 2
23
2




 xx
xxx
x
c)
2
4
lim4 

 x
x
x
Solución:
Como se trata de una función racional, calculemos el límite directo de la función del
numerador y de la función del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio
anterior):
a)       04444 limlimlim 444

 xxx
xx
b)     0222422 limlimlim 444

 xxx
xx
De acá tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .
0
0
Ahora debemos racionalizar:
   
       2
4
24
4
424
222
842
2
2
.
2
4
22














x
x
xx
x
xxx
xxx
xxxx
x
x
x
x
Luego levantemos la indeterminación:
    4222422
2
4
limlimlimlim 4444



 xxxx
xx
x
x
Así,
4
2
4
lim4



 x
x
x

EJERCICIOS PROPUESTOS
a) .
2
242 346
2
lim 

 x
xxx
x
b) .
3
182 234
3
lim 

 x
xxx
x
c)
25
152
2
2
5
lim 

 x
xx
x
d)
103
44
2
23
2
lim 

 xx
xxx
x
e) .
8
82
3
24
2
lim 

 x
xxx
x
f) .
63
3091263 354
2
lim 

 x
xxxx
x
g)
652
99
23
23
3
lim 

 xxx
xxx
x
h)
21
1
lim1 

 x
x
x
OPERACIONES CON INFINITO Y CERO
DEFINICIÓN DE LÍMITES INFINITOS: Sea f una función definida en todo número
real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c ).
Definimos las expresiones:
0
0

k

0
k
0

k
0
0




0

   k si 0k  k 
0
0
Es una forma indeterminada.


Es una forma indeterminada.
.  Es una forma indeterminada. 0 Es una forma indeterminada
0
0 Es una forma indeterminada. 0
 Es una forma indeterminada.
cx
xf

)(lim
cx
xf

)(lim

ASINTOTAS
ASÍNTOTA VERTICAL: Si   

xf
ax
lim o bien   

xf
ax
lim entonces la recta vertical
de ecuación ax  es una asíntota vertical.
ASÍNTOTA HORIZONTAL: Si   bxf
x


lim o bien   bxf
x


lim entonces la recta de
ecuación by  es una asíntota horizontal.
ASÍNTOTA OBLICUA: Llamaremos asíntota oblicua de la curva (grafico de f ), a la
recta de ecuación ,bcxy  si
 
x
xf
c
x 
 lim y   .lim cxxfd
x


d)
x
x x
x








 1
1
lim
Solución: Veamos si es indeterminado el límite: Primeramente notemos que .lim 

x
x
Ahora bien, a pesar que como en 







 1
1
lim
x
x
x
tenemos que   

1lim x
x
y
  

1lim x
x
aparentemente tenemos una forma indeterminada .


Levantado esta
indeterminación obtenemos:
1
1
1
01
01
1
lim1lim
1
lim1lim
1
1lim
1
1lim
1
1
1
1
lim
)fraccionesderestay(Suma
1
1
lim
potencia)mayorlaentre
rdenominadocomonumeradortantoo(Dividiend
1
1
lim
1
1
lim

















































































x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx

Y de aquí tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .1
Para calcular
este límite usamos el hecho que: .1lim k
x
x
e
x
k








Luego, tenemos que
1
2
1
1
2
1
1
1
21
1
1












xxx
x
x
x
x
x
Y sustituyendo en el límite tenemos que:
1111
1
2
1lim
1
2
1lim
1
2
1lim
1
2
1lim
1
1
lim










































xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Luego, como .11
1
2
1lim 1
1







 

 xx
Y además:
.principio)almostradapropiedadohechoel(Según
)queteniendo
,1variabledecambioel(Haciendo
2
1lim
1
2
1lim
2
1




















e
yx
xy
yx
y
y
x
x
Por tanto: .1
1
1
lim 22 









ee
x
x
x
x
e)
2
tan
lim
2  x
x
x

Solución: Veamos si es indeterminado el límite: Primeramente notemos que 0lim
2


x
x
 y
  .0222limlim2lim
222

 xxx
xx Por tanto aquí se presenta una forma

indeterminada .
0
0
Realicemos el cambio 2 xy (De donde tenemos que
02  yx y además 2 yx ). Luego:
 .
2tan
lim
0 y
y
y



Además,
    .tan
1
tan
01
0tan
2tantan1
2tantan
2tan2tan y
yy
y
y
yy 



 






Por tanto:
 
  





































































11
cos
1
limlim
cos
1
lim
cos
lim
cos
lim
tan
lim
tan
lim
tan
lim
2tan
lim
00
00
00000
yy
ysen
yy
ysen
yy
ysen
y
y
ysen
y
y
y
y
y
y
y
y
yy
yy
yyyyy
Ya que: ,1limlim
00

 u
senu
y
ysen
uy 

haciendo el cambio yu  (Teniendo que
00  uy y usando el limite elemental: .1lim
0

 x
senx
x
Y además:
1
1
1
0cos
1
0cos
1
coslim
1lim
cos
1
lim
0
0
0



  yy
y
y
y
Así, tenemos que: .
2
tan
lim
2



 x
x
x
2. Calcular las asíntotas de las siguientes funciones:
a)  
2
22



x
x
xf

Solución: Veamos primero si tiene asíntota horizontal y para ello revisamos el siguiente
límite: 


 2
2
lim
2
x
x
x
(Comprobarlo). Así, la función no tiene asíntota horizontal. Ahora
revisemos si tiene asíntota vertical, tomando en cuenta que  2 RDomf calculamos
el siguiente límite: 


 2
2
lim
2
2 x
x
x
(Comprobarlo). De donde obtenemos que la asíntota
vertical es la recta .2x Para hallar la asíntota oblicua, la cual existe ya que el grado del
numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.
NOTA: Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede
haber de las otras. Así, 12
2
lim
2



 x
x
x
c
x
(Comprobarlo)
2
2
2
lim1
2
2
lim 2
22













 xx
x
x
x
x
b
xx
(Comprobarlo)
Y la ecuación de esta recta oblicua a la grafica de la función es: .2 xy
b)   x
exf
1

Solución: Veamos primero si tiene asíntota horizontal y para ello revisamos el siguiente
límite: 1lim 0
1


eex
x
(Comprobarlo). Así, la función tiene asíntota horizontal, cuya
ecuación es .1y Ahora revisemos si tiene asíntota vertical, tomando en cuenta que
 0 RDomf calculamos el siguiente límite:  

eex
x
1
0
lim (Comprobarlo). De
donde obtenemos que la asíntota vertical es la recta .0x Verificar que no tiene asíntota
oblicua.
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Una función f es continua en c si se satisfacen:










)()(lim
)(lim
)(
cfxf
existexf
definidaestacf
cx
cx

EJEMPLO: Estudiar la continuidad de la función  
5
5


x
x
xf en los puntos 2x y
.5x
Solución:
Continuidad de la función en el punto .2x
1. Existe  ,af esto debido a que  .5 RDomf El valor de 2x forma
parte del dominio de la función y es:   .
3
10
3
10
52
25
2 




f
2. Existe  ,lim
2
xf
x
y como los límites de las funciones del numerador y del
denominador existen podemos aplicar la propiedad del cociente de límites para hallar
el valor de limite así:
 
.
3
10
3
10
52
25
5lim
5lim
5
5
lim
2
2
2











 x
x
x
x
x
x
x
3. Además, notemos que:   .
5
5
lim2
2 

 x
x
f
x
Vemos que se cumplen las 3 condiciones luego la función es continua en el punto .2x
a. Continuidad de la función en el punto .5x
No existe  ,af esto debido a que  .5 RDomf El valor de 5x no forma parte
del dominio de la función. Es decir,  5f no existe y por tanto la función es discontinua. Si
calculamos  ,lim
5
xf
x
tenemos que: .
0
25
5
5
lim
5

 x
x
x
Así, la recta de ecuación
5x es una asíntota vertical y la función tiene una discontinuidad de salto infinito allí.
NOTA: Las funciones racionales tendrán una discontinuidad de salto infinito en aquellos
valores de x donde no estén definidas. Veamos la figura:

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: Si es continua en cada punto del
Intervalo. Una función continua en la recta de los números reales enteros   , es
continua en todas partes.
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO: Una función
f es continua en un intervalo cerrado  ba, si es continua en el Intervalo abierto  ba, y
en los extremos. La función f es continua por la derecha en a y continúa por la izquierda en
.b Es decir:
PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD: Si b es un número real y f y g son
continuas en ,cx  entonces las siguientes también son continuas en :c
MÚLTIPLO POR UN ESCALAR: bf SUMA O DIFERENCIA: gf 
PRODUCTO: fg COCIENTE:
g
f
, si   .0cg
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los
números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).
https://www.createspace.com/5137020
 Dávila, Navarro, Carvajal: Introducción al Cálculo. Editorial McGraw-Hill. 1ed.
México.
 González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios
Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.
 Larson, Hostetler, Edwards. (1991). Calculus with Applications. Mc Graw Hill.
 Larson, R. Hostetler, R. (2006). Precálculo. Reverté.
 Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.
 Orellana, M. y Marqués, L. (1998). Funciones y representaciones gráficas.
Matemática I (175-176-177). Estudios generales. Módulo II. UNA Caracas,
Venezuela.
 Pestana, D. y otros (2007). Curso práctico de cálculo y precálculo. 2da edición.
Ariel. España.
 Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
 Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
 Stewart, J. Redlin, R. Watson S. (2006). Precálculo. 5ta Edición. Thomson.
 Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra
lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.
Editorial Reverté.
)()(lim)()(lim bfxfyafxf
bxax
 


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