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Funciones y gráficas en matlab

  1. Cálculo Diferencial MATLAB 1 PRÁCTICA 1 FUNCIONES Y GRÁFICAS
  2. Cálculo Diferencial Objetivo: Ingresar y graficar una función en la ventana de comandos, además de encontrar sus raíces. Teoría: Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. Se dice que y es función de la variable x cuando a todo valor de x (tomado en un determinado conjunto de valores) corresponde un valor de y.
  3. Cálculo Diferencial Se escribe así, y = f(x). En matemáticas, se estudian particularmente las funciones en las que la relación que liga a la variable con la función es precisamente una relación matemática. Al conjunto de valores de x se le llama dominio de R, el conjunto de valores de y es el codominio de R y al conjunto de elementos de y, que son segundas componentes de alguna pareja ordenada de R, se le llama imagen de R.
  4.       Cálculo Diferencial Tipos de Funciones Función suprayectiva. Definición. Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva.  f   f : A  B suprayectiva
  5.    f : A  B inyectiva       Cálculo Diferencial Función inyectiva. Definición: A una función f en la que a cualquier par de elementos diferentes del dominio les corresponden imágenes diferentes, se les llama función inyectiva. Es decir, f: A  B es inyectiva si para todo a1, a2  A, y a1  a2, f(a1)  f(a2); o lo que es lo mismo: si f(a1) = f(a2) entonces a1 = a2  f
  6. Cálculo Diferencial Definición: Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama función biyectiva. La función biyectiva admite inversa. La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos x por y, (y viceversa), despejamos y. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de potencia) sobre y ó f(x) -1. 25)(  xxf 2)(5 1   xfx )2( 5 1 )( 1  xxf Ejemplo: Sea , para hallar la inversa cambiamos x por f(x)-1, y viceversa: , despejamos es la inversa.
  7. Cálculo Diferencial Una función se denomina explícita cuando la y está despejada en un miembro (por ejemplo y = 3x – 1). Se denominan implícitas aquellas funciones que están ligadas a su variable x por una ecuación no resuelta: 3x2 + 2xy + y2 – 4 = 0, define una función implícita. Las funciones se llaman algebraicas cuando para calcular el valor de y la variable x ha de someterse sólo a operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación). Por ejemplo, y = 4x2 – 5x2 + 12. Una función que no es algebraica es una función trascendente. Por ejemplo y = log x, y = ax, y = cosx.
  8. Cálculo Diferencial Solución a las ecuaciones f(x) = 0. Se puede conocer los valores de x para los cuales se cumple f(x) = 0, que serán las raíces de la ecuación, por medio de una tabulación de valores o por alguna fórmula en caso de conocerla o por algún método heurístico, o por medio gráfico a través de un zoom en donde están las intersecciones en el eje x de modo que se pueda localizar (aproximadamente) la solución de la ecuación cuando f(x) = 0.
  9. Cálculo Diferencial Software a Utilizar: MATLAB Comandos a Utilizar: syms % El atajo por construir los objetos simbólicos. plot % Crea un dibujo de vectores o columnas de matrices ezplot % Grafica la función f = f(x). grid on % Agrega las líneas de la reja. solve % Solución simbólica de ecuaciones algebraicas.
  10. Cálculo Diferencial Funciones matemáticas comunes: abs(x) Calcula el valor absoluto de x sqrt(x) Calcula la raíz cuadrada de x round(x) Redondea x al entero más cercano fix(x) Redondea (o trunca) x al entero más cercano a 0. sign(x) Devuelve un valor de -1 si x es menor que 0, un valor de 0 si x es igual a 0 y un valor de 1 si x es mayor que 0. rem(x,y) Devuelve el residuo de x/y. También se llama módulo. exp(x,y) Calcula e x , donde e = 2.718282 log(x) Calcula el logaritmo natural de x: ln x log10(x) Calcula el logaritmo común de x: log 10
  11. Cálculo Diferencial Símbolo Color Símbolo Marcadores (markers) y yellow . puntos m magenta o círculos c cyan x marcas en x r red + marcas en + g green * marcas en * b blue s marcas cuadradas (square) w white d marcas en diamante (diamond) k black ^ triángulo apuntando arriba Símbolo Estilo de línea v triángulo apuntando abajo ‘-’líneas continuas > triángulo apuntando a la dcha ‘-.’ líneas a barra-punto < triángulo apuntando a la izda -- líneas a trazos p estrella de 5 puntas ‘:’ líneas a puntos h estrella se seis punta
  12. Cálculo Diferencial Ejemplo 1: Gráfica de una función. F(x)=x^2+3x+2, F1(x)=2x+3, F2(x) = 2 syms x; x = -25:25; f=x.^2+3*x+2; f1 =2*x+3; f2 = 2; plot(f,'--k') hold on plot(f1,':r') plot(f2,'-.bs', 'LineWidth', 2, 'MarkerEdgeColor','r', 'MarkerFaceColor', 'k', 'MarkerSize', 10) hold off 0 10 20 30 40 50 60 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 800
  13. Cálculo Diferencial La siguiente ecuación cuadrática 2 2 5 0x x   Para graficar ésta función en MATLAB, se ejecutan las siguientes instrucciones x=-4:.1:4; y=x.^2-2*x-5; >> plot(x,y) Comandos Acciones >> syms x; >> f = x^2 - 2*x - 5; >> ezplot(f); >> grid on Declaramos la variable x Declaramos la función Graficamos la función Cuadriculamos la gráfica ó
  14. Cálculo Diferencial Éste código genera la siguiente gráfica Que tiene valores entre 0 y -2 y 2 y 4 una posible raíz.
  15. Cálculo Diferencial Una tabulación de los valores de x e y son: x=-4:4; >> y=x.^2-2*x-5; x, y x = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y = 19 10 3 -2 -5 -6 -5 -2 3 Se observa el cambio de signo entre -2 y -1 y entre 3 y 4. Ahora para encontrar las soluciones de la ecuación usaremos las siguientes instrucciones.
  16. Ahora para encontrar las soluciones de la ecuación usaremos las siguientes instrucciones. Estas instrucciones generan la siguiente respuesta: x =1+6^(1/2) y 1-6^(1/2) y =0 Lo cuál es equivalente a que las soluciones de la ecuación son: Cálculo Diferencial Comando Acción >> [x,y] = solve('x^2-2*x -y = 5','y = 0') Encuentra la solución al sistema entre la función y el eje x. 2 2 5 0x x   1 2 1 6 3.449 1 6 1.449 x x       
  17. Cálculo Diferencial Ejemplo 2: Agranda tantas veces como sea posible la gráfica de la parábola y = x2 – 2, para aproximar sus raíces (21/2) hasta con 4 decimales. Primero definamos la función y después la graficaremos utilizando el siguiente código. >> syms x; >> f=x^2 - 2; >> ezplot(f); >> grid on; -6 -4 -2 0 2 4 6 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 x x2 -2 El cual genera la siguiente gráfica:
  18. Cálculo Diferencial Comandos Acciones >> ezplot(f, [1.4135,1.4145]); >> grid on >> figure; >> ezplot(f, [-1.4145,-1.4135]); >> grid on Graficamos la función en el intervalo (1.4135, 1.4145) en el cual está incluida la raíz positiva de la ecuación. FIGURE se utiliza para hacer otra gráfica sin borrar la anterior. De la misma manera graficamos la función en el intervalo de la solución negativa. Ahora para hacerle un zoom a la gráfica la volveremos a graficar, pero ahora bajo el siguiente código:
  19. Cálculo Diferencial -1.4145-1.4144-1.4143-1.4142-1.4141 -1.414 -1.4139-1.4138-1.4137-1.4136-1.4135 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10 -3 x x2 -2 x2 = -1.4142 1.4135 1.4136 1.4137 1.4138 1.4139 1.414 1.4141 1.4142 1.4143 1.4144 1.4145 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10 -3 x x2 -2 x1 = 1.4142 De ésta manera se obtienen las siguientes gráficas De las gráficas se puede observar las soluciones de la ecuación, las cuales son aproximadas a 1.4142 .
  20. Cálculo Diferencial syms x y; f = x^2 -16; g1 = -x/(16-x^2)^0.5; g2 = x/(16-x^2)^0.5; ezplot (f); hold on; axis([-9,9 -9,9]); grid on; pause; ezplot(g1); hold on; ezplot(g2); -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x x2 - 16
  21. Cálculo Diferencial clear all; syms x y; f = 2*x^2 - 6; g = y^2-4*x; ezplot(f); hold on; axis([-9,9 -9,9]); grid on; pause; ezplot(g); -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 2 x2 - 6
  22. Cálculo Diferencial senx ey  Problemas: 1. Represente las siguientes funciones en los intervalos y con las opciones que se indican, primero por separado y después en un mismo dibujo. a) en [0,8] syms x; y=exp(sin(x)); ezplot(y,[0 8]); grid on; 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.5 1 1.5 2 2.5 x exp(sin(x))
  23. Cálculo Diferencial b) y = ln x en [2,6]. syms x; y=log(x); ezplot(y,[2 6]); grid on; 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 x log(x)
  24. Cálculo Diferencial c) en [-1,5]. syms x; y = (x/4)^2; ezplot(y,[-1 5]); grid on; 2 4        x y -1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 x x2 /16
  25. Cálculo Diferencial 2. Dibuje con un solo color la gráfica de la función a trozos de la sección anterior. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.5 1 1.5 2 2.5 x exp(sin(x)) syms x; f=log(x); ezplot(f,[2 6]); hold on; y = (x/4)^2; ezplot(y,[-1 5]); hold on; g=exp(sin(x)); ezplot(g,[0 8]); grid on; hold off;
  26. Cálculo Diferencial 3. Encuentre las raíces de la siguiente ecuación: 033 23  xxx Tanto gráficamente como analíticamente. syms x; f=x^3 + 3*x^2-x-3; ezplot(f); grid on; solve(f) Command Window: ans = 1 -1 -3 -6 -4 -2 0 2 4 6 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 x 3 x2 - x + x3 - 3
  27. Tabule los valores de x multiplicando por x, y entonces reste 2. 4. Suponga que necesita encontrar la raíz cuadrada de 2, utilizando solo operaciones arimeticas. Considere un número x tal que x2 = 2, así x2 - 2 = 0. Esto es, es una solución a la ecuación: f(x)=x^2-2=0 Cálculo Diferencial 2x . clear all; syms x; x=-5:5; y=x.^2-2; x,y Command Window: x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = 23 14 7 2 -1 -2 -1 2 7 14 23 -6 -4 -2 0 2 4 6 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 x x2 - 2 2
  28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -20 -15 -10 -5 0 5 10 b) Encuentre Cálculo Diferencial 53 100,25,17 . clear all; syms x; x=-5:5; y=x.^2-17; x,y Command Window: x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = 8 -1 -8 -13 -16 -17 -16 -13 -8 -1 8 17
  29. b) Encuentre Cálculo Diferencial 53 100,25,17 . clear all; syms x; x=-5:5; y=x.^3-25; x,y Command Window: x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = -150 -89 -52 -33 -26 -25 -24 -17 2 39 100 3 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -150 -100 -50 0 50 100
  30. b) Encuentre Cálculo Diferencial 53 100,25,17 . clear all; syms x; x=-5:5; y=x.^5-100; x,y Command Window: x = -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = -3225 -1124 -343 -132 -101 -100 -99 -68 143 924 3025 5 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000
  31. Cálculo Diferencial 22  xy 022 x 22  xy 2 5. Para el problema de arriba, considere la intersección de la parábola y el eje-x positivo, que es lo mismo que resolver Magnifique sucesivamente la gráfica de y aproxime con cuatro decimales. -1.415 -1.4148-1.4146-1.4144-1.4142 -1.414 -1.4138-1.4136-1.4134-1.4132 -1.413 -3 -2 -1 0 1 2 x 10 -3 x x2 - 2 1.413 1.4132 1.4134 1.4136 1.4138 1.414 1.4142 1.4144 1.4146 1.4148 1.415 -3 -2 -1 0 1 2 x 10 -3 x x2 - 2 clear all; syms x; y=x^2-2; ezplot(y,[-1.415 -1.413]); grid on; figure; ezplot(y,[1.413 1.415]); grid on; X1= -1.4142 x2= 1.4142
  32. Cálculo Diferencial 53 100,25,17 5. Similarmente, encuentre la aproximación a las raíces de -4.1235-4.1235-4.1234-4.1234-4.1233-4.1233-4.1232-4.1231-4.1231-4.1231 -4.123 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 -3 x x2 - 17 4.123 4.1231 4.1232 4.1233 4.1234 4.1235 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x 10 -3 x x2 - 17 clear all; syms x; y=x^2-17; ezplot(y,[-4.1235 -4.123]); grid on; figure; ezplot(y,[4.123 4.1235]); grid on; X1= -4.1231 x2= 4.1231 17a)
  33. Cálculo Diferencial 53 100,25,17 5. Similarmente, encuentre la aproximación a las raíces de clear all; syms x; y=x^3-25; ezplot(y,[2.924 2.9241]); grid on; X = 2.9240 b) 3 25 2.924 2.924 2.924 2.924 2.924 2.9241 2.9241 2.9241 2.9241 2.9241 2.9241 -5 0 5 10 15 20 x 10 -4 x x3 - 25
  34. Cálculo Diferencial 53 100,25,17 5. Similarmente, encuentre la aproximación a las raíces de clear all; syms x; y=x^5-100; ezplot(y,[2.5118 2.5119]); grid on; X = 2.5119c) 5 100 2.5118 2.5118 2.5118 2.5118 2.5118 2.5119 2.5119 2.5119 2.5119 2.5119 -15 -10 -5 0 x 10 -3 x x5 - 100
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