Ejercicios resueltos y propuestos de ecuaciones de orden superior

1. Ecuaciones Diferenciales de
orden superior
PROF. JUAN CARLOS BRICEÑO

2. Para ecuaciones diferenciales de la forma:
ay´´ + b y´ + c y = 0
Con las Condiciones a cumplir:
Donde su respectivo polinomio característico es de la forma:
.
con raíces:
𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 𝑐 = 0
𝑚1 𝑦 𝑚2

3. Ahora, otras condiciones a tomar en cuenta son:

4. Ejercicios:
1.) Sea la siguiente ecuación diferencial: 𝐘`` − 𝐘` − 𝟔𝐘 = 𝟎
Donde el polinomio característico es:
r2
− r − 6 = 0
Factorizando se tiene:
𝑟 − 3 . 𝑟 + 2 = 0
Por lo tanto: 𝑚1 = −3 y 𝑚2 = 2 → 𝑚1 ≠ 𝑚2
De lo anterior, tenemos el Caso 1: 𝑌 = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑚2 𝑥
𝑌 = 𝐶1 𝑒−3𝑥 + 𝐶2 𝑒2𝑥

5. 2.) Sea la ecuación diferencial
 𝑦4
+ 4𝑦′′′
+ 24𝑦′′
+ 40𝑦′
+ 100𝑦 = 0
El cual tiene como polinomio característico:
𝑟4 + 4𝑟3 + 24𝑟2 + 40𝑟 + 100 = 0
Para determinar las raíces, utilizaremos factorización:
Estos es: 𝑟4
+ 4𝑟3
+ 24𝑟2
+ 40𝑟 + 100 = (𝑟2
+ 2r + 10)2
= 0
Luego, aplicamos ecuación de segundo grado en 𝑟2 + 2r + 10

6. Para: 𝑟2 + 2r + 10, a = 1, b= 2, c = 10
r =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2± 22−4.1.10
2𝑎
r =
−2± 4−40
2.2
=
−2± −36
4
; Observa −36, no tiene solución real por lo
r =
−2± −1.36
4
=
−2± −1. 36
4
;
r =
−2± 36𝑖
4
=
−2±6𝑖
4
r = −1 ± 3𝑖
Entonces, 𝑚1 = −1 + 3𝑖 ; 𝑚2 = −1 − 3𝑖
Cual utilizamos propiedades de números
complejos, esto es: i = −1

7. Ahora bien, recuerde que como (𝑟2 + 2r + 10)2, quiere decir:
(𝑟2 + 2r + 10)2 = (𝑟2 + 2r + 10). (𝑟2 + 2r + 10), lo que implica que se debe aplicar
dos veces el procedimiento, sin embargo al ser análogo se concluye:
𝑚1 = −1 + 3𝑖 ; 𝑚2 = −1 − 3𝑖 𝑚3 = −1 + 3𝑖 ; 𝑚4 = −1 − 3𝑖
Esto implica dos condiciones:
Por lo tanto:
𝑦 𝑥 = 𝑒−𝑥
( 𝐶1cos3x + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝐶3xcos3x +𝐶4 𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥)

8. Tarea
 Dada la ecuación diferencial, hallar las soluciones y la ecuación 𝒚 𝒑
𝐘``` − 𝟔𝐘`` + 𝟏𝟐𝐘` − 𝟖𝐘 = 𝟎

9. ¡Gracias por su Atención!