1.
VECTORES EN EL
ESPACIO
Autor:
Josué Echeverri
Politécnico “Santiago Mariño”
Facultad de arquitectura
Sede Barcelona
Noviembre 2019

2.
Introducción
Para poder comenzar a analizar todo lo que es el algebra vectorial inicialmente se
debe tener un conocimiento acerca de lo que son los vectores, definido básicamente en
que es uno de los conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En la
distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes
escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran
magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el
sentido en que se aplican.
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas
características que son:
• Origen o también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que
actúa el vector.
• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y
el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir
desde su origen hasta su extremo.
• Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene
• Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
2

3.
Álgebra vectorial
3
El álgebra vectorial es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales
como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal,
espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene
conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis
funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por
computadora, ingeniería, etc.
¿Qué es el algebra vectorial?

4.
Tipos de vectores
• Vector libre. no se considera asociado a ningún punto ni recta particular.
• Vector deslizante. Puede considerarse en cualquier posición dentro de una recta
("recta de acción"). Dos vectores de igual módulo y sentido sobre la misma recta, son
el mismo vector deslizante.
• Vector ligado. Está asociado a un determinado punto del espacio (punto de
aplicación).
• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

5.
Álgebra vectorial
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6.
Álgebra vectorial
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Operaciones con vectores
Las operaciones más comunes con vectores son las siguientes:
Adición de vectores: Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se
calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.
Producto de un vector por un escalar:El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo
módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector,
y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.
Producto escalar de dos vectores: Por definición, es el resultado de multiplicar los
módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Producto vectorial de dos vectores: Es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos
vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es
igual a:

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Álgebra vectorial
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Adición
Producto de un vector por un escalar
Producto vectorial de dos vectores.
Producto escalar de dos
vectores

8.
Algebra vectorial
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Propiedades de los vectores
Vectores equipolentes
Son aquellos vectores libres que tienen igual módulo, dirección (o estas son paralelas)
y sentido que un vector deslizante o un vector fijo.
Vectores equivalentes
Ocurre cuando dos vectores tienen la misma dirección (o son paralelas), el mismo
sentido, y a pesar de tener diferentes módulos y puntos de aplicación, estos provocan
efectos iguales.
Igualdad de vectores
Estos tienen igual módulo, dirección y sentido, aun cuando sus puntos de partida son
diferentes, lo que permite que un vector paralelo se traslade a sí mismo sin afectarlo.

9.
Álgebra vectorial
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Vectores opuestos
Son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, pero su sentido es opuesto.
Vector unitario
Es aquel en el que el módulo es igual a la unidad (1). Este se obtiene al dividir el vector por
su módulo y es utilizado para determinar la dirección y sentido de un vector, bien sea en el
plano o en el espacio, utilizando los vectores base o unitarios normalizados
Vector nulo
Es aquel cuyo módulo es igual a 0; es decir, su punto de origen y extremo coinciden en un
mismo punto.

10.
Álgebra vectorial
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Componentes de un vector
Consideremos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (Figura II). La componente
“x” (a la que denominaremos Ax) del vector A es la sombra que este último hace sobre el eje x;
por otra parte, la componente “y” (a la que denominaremos Ay) del vector A es la sombra que este
último hace sobre el eje y La suma vectorial de ambas componentes debe dar como resultado el
vector A:
Las componentes de un vector son números reales, que pueden ser positivos, negativos o incluso
cero (0).

11.
Ecuaciones paramétricas
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¿Qué son las ecuaciones
paramétricas?
Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o
superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro,
considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente
del parámetro.

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Ecuaciones paramétricas
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13.
Ecuaciones paramétricas
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Ejemplos
Hallar las ecuaciones paramétiricas de la recta que pasa por el punto P0 (2,-3) y cuyo vector de
dirección es v=(1,5).
Para calcular las ecuaciones paramétricas, antes debemos calcular la ecuación vectorial, que ya
la tenemos calculada del ejemplo anterior:
Ahora multiplicamos la t por las coordenadas del vector:
Y sumamos las coordenadas de ambos vectores, expresándolas en un sólo vector:
Finalmente, escribimos la ecuación de la coordenada x por un lado y la ecuación de la
coordenada «y» por el otro, llegando a las ecuaciones paramétricas.

14.
Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles.
Una en donde x e y equivaliesen a 2U y 4U² con U  R , respectivamente, sería
igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a,
b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo
dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t
= 2, y en el segundo cuando U = 1
Ecuaciones paramétricas
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Ecuaciones paramétricas
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Grafica de ecuaciones paramétricas

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Ecuaciones paramétricas
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Para el caso (a), cuando el parámetro varía entre [0,1], el rango de x es [1,2] y el de y es
[-1,1]. Sólo con este hecho se puede ajustar la elección a la gráfica paramétrica número
III. Para verificar si es compatible la elección se observa que la parte superior de la curva
es obtenida cuando se varía el parámetro entre [0,1/2] y se alcanza un máximo para el
valor de 1/4. La parte inferior se traza cuando el parámetro varía entre [1/2,1] y el mínimo
se alcanza para el valor de 3/4. Ya no hay duda de la elección. La expresión funcional de
x es x(t) = -4t2 + 4t + 1 y la de y es y(t) = sen(2πt).

17.
Para el caso (b) el rango de x es [-2,2] al igual que para y. Eso excluye inmediatamente la
gráfica de IV. El patrón periódico permite escoger como la gráfica paramétrica de ajuste la
I. Como x(t) = 2sen(4tπ) y y(t) = 2sen(6tπ)
Ecuaciones paramétricas
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La opción (c) sólo permite que el rango de y sea positivo por lo que de las dos opciones
restantes la lógica es la IV. Esta curva paramétrica comienza a “devolverse” cuando se
alcanza el primer máximo de x(t)y sus valores se hacen negativos cuando los de la
ecuación paramétrica x(t) también lo hace. Para verificar si la elección es correcta se
observa que x(t) se parece (obviamente no es igual) a −2sen((3π/4)t) y y(t) es la porción
superior de un círculo de radio 2, es decir, sqrt(4 -t2).

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Ecuaciones paramétricas
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Transformación de ecuaciones paramétricas a cartesianas

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Ecuaciones paramétricas
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Ecuaciones paramétricas
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Longitud del arco en ecuaciones paramétricas
En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la
distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil
determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas
específicas. La llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas
para algunos casos.
Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo a le t le b
(excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada
por:

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Ecuaciones paramétricas
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Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término dt² fuera del radical
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la
forma
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es
decir, cuando x y y son funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para poder
usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas
funciones y obtenemos dx, y dy, y en términos de dt,

22.
Para describir las magnitudes vectoriales se utilizan herramientas del cálculo vectorial. Los vectores se
caracterizan por su valor numérico o módulo, dirección y sentido. Las reglas aritméticas no aplican en la
suma y resta de vectores, con este fin se utilizan métodos gráficos y analíticos. Los más recomendados,
por su sencillez y comodidad, son el método gráfico del polígono y el método analítico de las componentes
rectangulares. Sumar o restar dos o más vectores, es equivalente a representarlos por un solo vector
nombrado vector resultante, este provoca el mismo efecto que el sistema de vectores. La equilibrante de
un sistema de vectores tiene el mismo valor numérico que la resultante, está dirigido en la misma dirección,
pero en sentido contrario. los vectores están en un mismo plano y su línea de acción coincide,
pueden utilizarse los métodos gráficos del paralelogramo o del triángulo, para la suma o resta. los vectores
son colineales, la suma se determina por el método gráfico de igual nombre o.
Conclusión
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Bibliografías
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Universidad de Valladolid (2018) Algebra vectorial: eii.uva
https://www.eii.uva.es/reic/RMgrado/algebra_vectorial.htm
Wikipedia (2018) longitud de arco: Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco
Guerrero J. (2013) el blog de jose guerrero: wordpress blogs
https://joseguerreroa.wordpress.com/2013/07/30/ajuste-de-graficos-de-ecuaciones-
parametricas-x-ft-y-ft-con-curvas-parametricas/
Scribd
https://www.scribd.com/document/347480978/Conclusion-
Sobre-Vectores
Ekuatio
https://ekuatio.com/ecuaciones-vectorial-y-parametricas-de-la-recta-ejercicios-
resueltos/

24.
Anexos
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Video: calculo de ecuaciones
paramétricas y vectoriales
Link:
https://www.youtube.com/watch?v=
uTfgzxabMbo
Video: suma y resta de vectores
Link:
https://www.youtube.com/watch
?v=nQnxMF1Jwso

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Anexos
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Video: grafica de vectores
Link:
https://www.youtube.com/watch?
v=LWky_QWCxJQ
Video: longitud de la curva
Link:
https://www.youtube.com/watch?
v=iCNOdf6xF5I