1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA
EXTENSIÓN MATURÍN
MATERIA: TEORIA DE CONTROL
TRANSFORMADA DE LA PLACE
Profesor: Bachiller:
.
Sección: “V”
Jose Rivas
Maturín, Enero de 2017.
2. 1) Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes
funciones:
a) 2sent+ 3cos2t
L{eat
. f(t)} = f(s − a) ;a = 2
f(t) = sen(3t) => 𝐿{f(t)} = f(s) => 𝐿{sen(3t)}
L{sen(wt)} ;w = 3
Aplicando la tabla de Laplace,tenemos que:
L{sen(wt)} =
w
s2 + w2
=
3
s2 + 32
= f(s)
L{e2t
. sen(3t)} =
3
(s − 2)2 + 32
=
3
(s − 2)2 + 9
b) T2e4t
3L{e−t
. cos(2t)} = 3L{e2t
f(t)} = f(s − a)
f(t) = cos(2t) => 𝐿{cos(2t)} =
s
s2 + w2
; w = 2 => 𝐿{cos(2t)}
s
s2 + 22
=> 3𝐿{e−t
. cos(2t)} =
3(s + 1)
(s + 1)2 + 4
c) E-2tsen5t
L{t3
. sen(3t)} = L{tn
f(t)} = (−1)n
fn(s) ; fn(s) =
dn
dsn
; n = 3
L{sen(3t)} =
w
s2 + w2
; w = 3 => 𝐿{sen(3t)} =
3
s2 + 32
= f(s)
L{t3
. sen(t)} = (−1)3
f3(s) ; f3(s) = Tercera derivada de f(s).f′′′(s)
f(s) =
3
s2 + 32
=> f′(s) =
−2s(3)
(s2 + 32)2
=
−6s
(s2 + 32)2
f′′(s) =
(−6)(s2
+ 32
)2
− 2(s2
+ 32
)(2s)(−6s)
((s2 + 32)2)2
f′′(s) =
(−6)(s4
+ 18s2
+ 81) − 2(s2
+ 32
)(2s)(−6)
(s2 + 32)4
5. 1 = As + A + Bs
1 = s(A + B) + A
Buscamos los valores de A y B:
A = 1 ; A+ B = 0
B = −A
B = −1
Sustituimos
ℒ−1
= {
1
s(s + 1)
} = ℒ−1
{
1
s
} − ℒ−1
{
1
s + 1
}
ℒ−1
= {
1
s(s + 1)
} = 1 − et
b) 𝓛−𝟏
= {
𝟑
(𝒔−𝟏) 𝟐} = 𝟑𝓛−𝟏
{
𝟏
(𝒔−𝟏) 𝟐} = 𝟑𝒕𝒆 𝒕
c) 𝓛−𝟏
= {
𝟓
𝒔 𝟐( 𝒔−𝟓)
}
Aplicamos fracción parcial:
5
s2(s − 5)
=
A
s2
+
B
s
+
C
s − 5
5
s2(s − 5)
=
(s − 5)A + s(s − 5)B + s2
C
s2(s− 5)
5 = sA − 5A + (s2
− 5s)B + s2
C
5 = (B + C)s2
+ (A − 5B)s − 5A
6. Buscamos los valores de A, B y C
ℒ−1
= {
5
s2(s− 5)
} = −ℒ−1
{
1
s2
} −
1
5
ℒ−1
{
1
s
} +
1
5
ℒ−1
{
1
s − 5
}
ℒ−1
= {
5
s2(s− 5)
} = −t −
1
5
+
1
5
e5t
d) 𝓛−𝟏
{
𝟏
( 𝐬−𝐚)( 𝐬−𝐛)
}
Aplicando fracciones parciales
1
(s − a)(s− b)
=
A
s − a
+
B
s − b
1
(s − a)(s− b)
=
A(s − b) + B(s − a)
(s − a)(s− b)
1 = s(A + B) + (−bA − aB)
Buscamos los valores de A y B
{
A + B = 0
−bA − aB = 1
{
bA + bB = 0
−bA − aB = 1
B + C = 0
C = −B
C =
1
5
A − 5B = 0
−5B = −A
−5B = 1
B = −
1
5
−5A = 5
A = −
5
5
A = −1
( 𝑏 − 𝑎) 𝐵 = 1
𝐵 =
1
𝑏 − 𝑎
𝐴 = −𝐵
𝐴 = −
1
𝑏 − 𝑎
7. ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} = −
1
b − a
ℒ−1
{
1
s − a
} +
1
b − a
ℒ−1
{
1
s − b
}
ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} = −
1
b − a
eat
+
1
b − a
ebt
ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} =
ebt
− eat
b − a
e) 𝓛−𝟏
{
𝟏
𝐬 𝟐+𝟒𝐬+𝟐𝟗
}
s2
+ 4s + 29
s =
−b ± √b2 − 4ac
2a
s =
−4 ± √−100
2
; s = −2 ± j5 ;
s2
+ 4s + 29 = (s + 2 − j5)(s+ 2 + j5)
Aplicando fracciones parciales.
1
s2 + 4s + 29
=
k1
s + 2 − j5
+
k2
s + 2 + j5
1
s2 + 4s + 29
=
k1(s + 2 + j5) + k2(s + 2 − j5)
s2 + 4s + 29
1 = k1s + 2k1 + j5k1 + k2 s + 2k2 − j5k2
1 = (k1 + k2)s + 2(k1 + k2) + j5(k1 − k2)
Buscamos los valores de k1 y k2
𝑘1 + 𝑘2 = 0
No satisface la ecuación
2( 𝑘1 + 𝑘2) = 1
2(2 𝑘1) = 1
4 𝑘1 = 1
𝑘1 =
1
4
𝑘1 − 𝑘2 = 0
Si satisface la ecuación
𝑘1 = 𝑘2 =
1
4