PROBLEMAS DE CINEMATICA

1. PROBLEMES DE
CINEMÀTICA

2. Un avió necessita una velocitat de 360 km/h sobre la pista per poder enlairar-se.
Suposant que accelera uniformement des del repòs amb a= 2'5 m/s2, quina
longitud de pista ha de recórrer per a aconseguir aquesta velocitat. (17)
360 km/h = 100 m/s
MRUA
x = ½·a·(t-tO
)2
+ vO
·(t-tO
) + xO
x = 1'25·t2
(A)
v = a·(t-t0
) + v0
v = 2'5·t (B)
Substituint la v1
= 100 m/s en l'equació B
100 = 2'5·t1
t1
= 40 s
Substituint el t1
= 40 s en l'equacio A
X1
= 1'25·402
= 2000 m

3. Un cotxe que estava en repòs inicia un moviment amb acceleració constant de
1'2 m/s2. En aconseguir la velocitat de 24 m/s, el conductor apaga el motor i,
durant 10s, el cotxe va perdent velocitat a raó d'1 m/s cada segon. Calcula el
temps durant el qual el cotxe està accelerarant i l'espai recorregut en 30 s.
(1resolt)
1ºTRAM: MRUA
x = ½·a·(t-tO
)2
+ vO
·(t-tO
) + xO
x = 0'6·t2
(A)
v = a·(t-t0
) + v0
v = 1'2·t (B)
Substituint la v1
= 24 m/s en l'equació B 24 = 1'2·t1
t1
= 20 s
Substituint el t1
= 20 s en l'equació A x1
= 0'6·202
x1
= 240 m

4. 2º TRAM: MRU
x = ½·a·(t-t1
)2
+ v1
·(t-t1
) + x1
x = -0'5·(t-20)2
+ 24·(t-20) + 240 (C)
v = a·(t-t1
) + v1
v = - (t-20) + 24 (D)
Per a t2
= 30 s tindrem
x2
= - 0'5·(30-20)2
+ 24·(30-20) + 240
x2
= 430 m
v2
= - (30-20) + 24 = 14 m/s
Quan es pare v3
= 0, substituint
en l'equació D
0 = - (t3
-20) + 24 t3
= 44 s
x3
= - 0'5·(44-20)2
+ 24·(44-20) + 240
x3
= 528 m
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
100
200
300
400
500
600
t (s)
x(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
5
10
15
20
25
30
t (s)
v(m/s)

5. Un mòbil que es mou amb v=cte ocupa la posició 4 m a temps 1s i la posició 44 m a
temps 10 s. Comença frenar i para 8 s més tard.
a) Gràfiques x=x(t), v=v(t)
b) equacions del moviment en cada tram.
c) Espai recorregut de 4 a 12 s.
1º TRAM (MRU)
x= v·(t-t1
) + x1
→ x = 4'4·(t-1) + 4 (A)
Per a xo
= 0 m tindrem → 0= 4'4·(to
-1) + 4 → to
=0'1s
2ºTRAM (MRUA)
v=
Δ x
Δ t
=
44−4
10−1
=4' 4m/s
a=
Δ v
Δ t
=
0−4' 4
18−10
=−0' 55m/s2

6. x = ½·a·(t-t2
)2
+ v2
·(t-t2
) + x2
x = - 0'28·(t-10)2
+ 4'4·(t-10) + 44 (B)
v = a·(t-t2
) + v2
v = - 0'55·(t-10) + 4'4 (C)
En el punt 3 i per a t3
=18 s obtindrem:
x3
= - 0'28·(18-10)2
+ 4'4·(18-10) + 44 = 61'3 m
Per a calcular l'espai recorregut entre 4 s i 12 s, calculem la posició als 4 s amb
l'equació A i la posició als 12 s amb l'equació B
x12
= - 0'28·(12-10)2
+ 4'4·(12-10) + 44 = 51'7 m
Δx = x12
– x4
= 51'7 – 17'2 = 34'5 m
→
→
x4
= 4'4·(4-1) + 4 = 17'2 m

7. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
10
20
30
40
50
60
70
t (s)
x(m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0,1
1
4
10
12
18
t(s)

8. Un tren està parat en una estació. Es posa el cronòmetre en funcionament i als 5 s
arranca el tren adquirint una velocitat de 20 m/s quan el temps és de 15 s. Als 20 s
es talla el corrent i el tren es mou amb la velocitat adquirida.
a) Gràfiques x=x(t) i v=v(t)
b) Equacions del moviment
c) Distància recorreguda entre 10 i 30 s.
1º TRAM (MRUA)
En el punt 1 tindrem x1
= (15-5)2
= 100 m
a=
Δ v
Δ t
=
20−0
15−5
=2m/s2
x = ½·a·(t-to
)2
+ vo
·(t-to
) + xo
x = (t-5)2
(A)
v = a·(t-to
) + vo
v = 2·(t-5) (B)

9. En el punt 2 per a t2
= 20s tindrem x2
= (20-5)2 = 225 m
v2
= 2·(20-5) = 30 m/s
2º TRAM (MRU)
x= v·(t-t2
) + x2
→ x = 30·(t-20) + 225 (C)
En el punt 3 per a t3=30 s
x3
= 30·(30-20) + 225 = 525 m
Per a calcular la distància recorreguda entre 10 i 30 s calcularem la posició als
10 s que correspon al 1º tram (equació A)
x10
= (10-5)2
= 25 m
Δx = x30
– x10
= 525 – 25 = 500 m

10. 0 5 10 15 20 25 30 35
0
100
200
300
400
500
600
t (s)
x(m)
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5
10
15
20
25
30
35
t (s)
v(m/s)

11. Un bloc cau per una pla inclinat de 6 m, i tarda 2 s en arriba a la base, continua
movent-se amb velocitat constant per un pla horitzontal de 6 m i finalment puja
per un inclinat recorrent 3 m fins parar-se.
a) Gràfiques x=x(t) i v=v(t)
b) Equacions del moviment
1º TRAM (MRUA)
Substituint l'informació dels punts 1 i 2 en:
L'equació de la posició quedarà x = 1'5 t2
(A)
I la de la velocitat serà v = 3·t (B)
x1
= ½·a·(t1
-to
)2
+ vo
·(t1
-to
) + xo
→ 6 = ½·a·22
→ a= 3 m/s2

12. En el punt 1 (t1
=2s) la velocitat serà v1
= 3·2 = 6 m/s
2º TRAM (MRU)
En el punt 2 (x2
=12 m) tindrem 12 = 6·(t2
-2) + 6 → t2
= 3 s
3º TRAM (MRUA)
Aplicant l'expressió v3
2
= v2
2
+ 2·a·(x3
-x2
) i substituint
0 = 62
+ 2·a·(15-12) → a = - 6 m/s2
En el punt 3 (v3
=0) tindrem 0 = -6 (t3
-3) + 6 → t3
= 4 s
x= v·(t-t1
) + x1
→ x = 6·(t-2) + 6 (C)
x = ½·a·(t-t2
)2
+ v2
·(t-t2
) + x2
x = -3·(t-3)2
+ 6·(t-3) + 12 (D)
v = a·(t-to
) + vo
v = -6·(t-3) + 6 (E)

13. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
t (s)
x(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0
1
2
3
4
5
6
7
t (s)
v(m/s)

14. Un cotxe es mou per una carretera en linia recta amb una velocitat constant de
10 m/s. Dos segons més tard el persegueix un altre cotxe, retrasat 30 m
respecte del punt de partida del primer, amb una velocitat constant de 15 m/s.
Determinar l'instant i la posició en que es trobaran.
Cotxe A: MRU
xA
= vA
·(t-to
) + xAo
xA
= 10 t
Cotxe B: MRU
xB
= vB
·(t-t1
) + xB1
xB
= 15·(t-2) – 30
En el punt de encreuament es complirà que xA
= xB
i tA
=tB
10·t = 15·(t-2) - 30
→
→
→

15. 10t = 15t – 30 -30 → -5t = -60 → t = 12 s
x = 10·12 = 120 m
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-50
0
50
100
150
200
xA (m)
xB (m)
t (s)
x(m)

16. Dues ciutats A i B disten entre si 150 km. De A ix un cotxe amb una velocitat
constant de 30 km/h que ix cap a B i de B ix una cotxe, una hora més tard, amb
una velocitat de 60 km/h que ix cap a A. En quin punt respecte de A i a quina
hora es trobaran?
Cotxe A: MRU
xA
= vA
·(t-to
) + xAo
xA
= 30·t
Cotxe B: MRU
xB
= vB
·(t-t1
) + xB1
xB
= - 60·(t-1) + 150
En el punt de encreuament es complirà que xA
= xB
i tA
=tB
30·t = - 60·(t-1) + 150
30·t = -60 t + 60 + 150 90 t = 210 t = 2'3 h
30·t = 30·2'3 = 70 km

17. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
20
40
60
80
100
120
140
160
xA (km)
xB (km)
t (h)
x(km)

18. Un cotxe A arranca des del repós amb una acceleració constant de 2 m/s2
fins
arribar a 180 km/h i continua amb aquesta velocitat. Des de una població
situada 2 km per davant ix 1 h més prompte un cotxe B amb una velocitat de
108 km/h. Quan i a on es trobaran?
Cotxe A:
1º TRAM: MRUA
xA
= ½·a·(t-to
)2
+ vAo
·(t1
-to
) + xAo
xA
= (t-3600)2
(A)
vA
= a·(t-to
) + vAo
vA
= 2·(t-3600) (B)
En el punt 1 (vA1
= 50 m/s) utilitzant les equacions A i B calcularem xA1
i tA1
50 = 2·(tA1
-3600) 50 = 2 tA1
– 7200 tA1
= 3625 s
xA1
= (3625-3600)2 xA1
= 625 m

19. TRAM 2: MRU
xA
= vA1
·(t-t1
) + xA1
xA
= 50·(t-3625) + 625 (C)
Cotxe B: MRU
xB
= vB
·(t-tB2
) + xB2
xB
= 30·t + 2000 (D)
En el punt de encreuament es
complirà que xA
= xB
i tA
=tB
50·(t-3625) + 625 = 30·t + 2000
50t – 181250 + 625 = 30t + 2000
50t – 30 t = 2000 -625 +181250
20t = 18625 t = 9131 s = 2'5 h
X = 30·9131 + 2000 = 275930 m
= 275'9 km
0 2000 4000 6000 8000 10000
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
xA (km)
xB (km)
t (h)
x(km)

20. Dos corredors A i B ixen d'un mateix punt. A ix 30 s abans que B a una velocitat
constant de 4'2 m/s, B atrapa A després d'haver corregut 48 s a una velocitat
també constant. Determina la velocitat de B i la distància al punt de partida quan
l'atrapa. (16)
A: MRU
xA
= vA
·(t-tAo
) + xAo
xA
= 4'2·t (A)
B: MRU
xB
= vB
·(t-tBo
) + xBo
xB
= vB
·(t-30) (B)
En el punt de trobament xA
= xB
i tA
=tB
= 78 s
Substituint en A xA
=XB
= 4'2·78 = 327'6 m
Substituint en B 327'6 = vB
·(76-30) vB
= 6'8 m/s

21. Una motocicleta aturada en un semàfor arranca amb una acceleració constant
de 2'5 m/s2. En aquest mateix moment l'avança una camioneta que va a una
velocitat constant de 15 m/s en la mateixa direcció i sentit. A quina distància del
semàfor la motocicleta atraparà a la camioneta. A quina velocitat anirà la
motocicleta en aquest instant? (19)
Motocicleta (B): MRUA
xB
= ½·a·(t-to
)2
+ vBo
·(t1
-to
) + xo
xB
= 1'25·t2
(A)
vB
= a·(t-to
) + vBo
vB
= 2'5·t (B)
Camioneta (A): MRU
xA
= vA
·(t-to
) + xAo
xA
= 15·t ©
En el punt de encreuament es complirà que xA
= xB
i tA
=tB

22. 1'25·t2
= 15·t t= 12 s
xB
= xA
= 15·t = 15·12 = 180 m
La velocitat de la moticicleta
en aquest instant (vB1
) s'obté
substituint en l'equació B
vB1
= 2'5·t = 2'5·12 = 30 m/s
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
50
100
150
200
250
300
xA(m)
xB(m)
t(s)
x(m)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
5
10
15
20
25
30
35
40
vA
vB
t(s)
v(m/s)

23. Un coco es desprén de l'arbre i arriba a terra en 1'5 s. Quina altura té la
palmera? A quina velocitat arriba el coco a terra? (2)
Caiguda lliure (MRUA)
y = ½·g·(t-t1
)2
+ v1
·(t-t1
) + y1
y= - 4'9·t2
+ y1
(A)
v = g·(t-t1
) + v1
v = - 9'8·t (B)
Quan el coco arriba a terra (punt o) el temps és
to
= 1'5 s i y0
= 0 m. Substituint en (A)
0 = - 4'9·1'52
+ y1
y1
= 11 m
Substituint en (B)
vo
= -9'8·1'5 = -14'7 m/s
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0
2
4
6
8
10
12
t(s)
y(m)

24. Es llança verticalment cap amunt un cos A a una velocitat de 10 m/s. Al cap d'1
s es llança un altre cos B a la mateixa velocitat. Indica a quina altura es troben i
a quina velocitat va cada cos en aquest moment. (21)
Cos A
yA
= - 4'9·t2
+ 10·t (A)
vA
= - 9'8·t + 10 (B)
Cos B
yB
= - 4'9·(t-1)2
+ 10·(t-1) (C)
vB
= - 9'8·(t-1) + 10 (D)
En el punt de encreuament es complirà que
yA
= yB
i tA
=tB
- 4'9·t2
+ 10·t = - 4'9·(t-1)2
+ 10·(t-1)
- 4'9t2
+10t = - 4'9t2
+ 9'8t - 4'9 + 10t -10 t= 1'52 s
yA
= yB
= - 4'9·1'522
+ 10·1'52 = 3'87 m

25. Amb el temps d'encreuament t= 1'52 s
calculem les velocitats de A i B
vA
= - 9'8·1'52 + 10 = -4'9 m/s
vB
= - 9'8·(1'52-1) + 10 =4'9 m/s
Els signes de les velocitats indiquen
que A està baixant i B encara puja.
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
3
4
5
6
yA
yB
t(s)
y(m)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-15
-10
-5
0
5
10
15
vA
vB
t(s)
v(m/s)

26. A quina velocitat cal llançar una pilota verticalment cap amunt perquè arribe a
una altura de 25 m?
Quant de temps tarda en tornar al punt de partida? (23)
Caiguda lliure (MRUA)
y = ½·g·(t-to
)2
+ v0
·(t-to
) + yo
y= - 4'9·t2
+ v0
·t (A)
v = g·(t-to
) + vo
v = - 9'8·t + vo
(B)
Quan la pilota arribe a la altura màxima de 25 m
(punt 1) la seua velocitat serà 0 (v1
= 0 m/s).
Substituint en A i B
25 = -4'9·t2
+ v0
·t
0 = -9'8·t + vo
25 = -4'9·t2
+ 9'8·t2
= 4'9·t2
t= 2'26 s
0= -9'8·2'26 + vo
vo
= 22'1 m/s

27. Es deixa caure una moneda des de la barana d'un pont qu es troba a 50 m
d'altura sobre un riu. Un segon més tard es llança una segona moneda cap
avall a una velocitat de 14 m/s. Quan de temps tarda aquesta a arribar a la
posició de la primera? A quina altura sobre l'aigua ho aconsegueix? A quina
velocitat impacta cadascuna sobre l'aigua? (25)
● Moneda A
yA
= ½·g·(t-tAo
)2
+ vAo
·(t-tAo
) + yAo
yA
= - 4'9·t2
+ 50 (A)
vA
= g·(t-tAo
) + vAo
vA
= - 9'8·t (B)
● Moneda B
yB
= ½·g·(t-tBo
)2
+ vBo
·(t-tBo
) + yBo
yB
= - 4'9·(t-1)2
– 14·(t-1) + 50 (C)
vB
= g·(t-tBo
) + vBo
vB
= - 9'8·(t-1) - 14 (D)

28. En el punt 1 d'encreuament
- 4'9·t2
+ 50 = - 4'9·(t-1)2
– 14·(t-1) + 50
- 4'9t2
+ 50 = - 4'9t2
+ 9'8t – 4'9 – 14t + 14 + 50 t1
= 2'17 s
Substituint en A o C
yA
= yB
- 4'9·2'172
+ 50 = 27m
Quan arriben a terra (punt 2) les posicions són yA2
= yB2
= 0 m
Substituint en A i C obtindrem el temps
0= - 4'9·tA2
2
+ 50 tA2
= 3'19 s
0 = - 4'9·(tB2
-1)2
– 14·(tB2
-1) + 50 tB2
= 3'07 s
Per a calcular les velocitat substituim el temps del punt 2 en les equacions B i D
vA2
= - 9'8·tA2
= -9'8·3'19 = - 31'3 m/s
vB2
= - 9'8·(tB2
-1) – 14 = - 9'8·(3'07-1) – 14 = - 34'3 m/s

29. Inicialment el paquet durà la velocitat del globus
però quan es deixa caure actuarà la força gravitatòria
que el frenarà i el farà caure.
y = ½·g·(t-t1
)2
+ v1
·(t-t1
) + y1
y= - 4'9·t2
+ 3'5·t +900 (A)
v = g·(t-to
) + vo
v = - 9'8·t + 3'5 (B)
Quan arribe a l'altura màxima (punt 2) la seua velocitat
Serà 0 (v2
= 0 m/s). Substituint en B
0 = - 9'8·t2
+ 3'5 t2
= 0'36 s
Si substituim aquest temps en A obtindrem l'altura màxima y2
y2
= - 4'9·0'362
+ 3'5·0'36 + 900 = 900'6 m
Des d'un globlus que s'eleva a una velocitat constant de 3'5 m/s es deixa caure
un paquet quan es troba a 900 m d'altura sobre el sòl. Calcula:
a) altura màxima del paquet sobre el sòl.
b) temps que tarda a caure.
c) posició respecte al sòl i velocitat del paquet als 2 s després d'haver-lo soltat
(26)

30. Quan arribe al sòl (punt o), la seua posició serà yo
= 0 m. Substituint en l'equació
A obtenim el temps que tarda a caure (to
)
0 = - 4'9·to
2
+ 3'5·to
+ 900 to
= 13'2 s
La posició i la velocitat als 2 s les obtenim substituint el temps en les equacions
de la posició A i de la velocitat B:
y = - 4'9·22
+ 3'5·2 + 900 = 887'4 m
v = - 9'8·2 + 3'5 = -16'1 m/s

31. 33rpm=
33revolucions
minut
x
2Π rad
1revolució
x
1minut
60 s
=3' 5
rad
s
Un disc gira a 33 rpm. Calcula: velocitat angular en rad/s, angle que recorre en
3 s, velocitat lineal d'un punt situat a 10 cm del centre, distància que recorre
aquest punt en els 3 s, període i freqüència.
És un MCU on (Φo=0, to=0)
Φ = ω·(t-to) + Φo Φ = 3'5·t
Als 3 segons Φ = 3'5·3 = 10'5 rad
La velocitat lineal si R=10 cm=0'1m
v= R· ω = 0'1·3'5 = 0'35 m/s
s = v·(t-to) + so s = 0'35·t
Als 3 segons s = 0'35·3 = 1'05 m
O també s = R·Φ = 0'1·10'5 = 1'05 m
El període T és T= 2π/ω = 2π/3'5 = 1'8 s
La freqüència f és f= 1/T = 1/1'8 = 0'56 s-1

32. La velocitat angular ω = v/R = 5/0'4 = 12'5 rad/s
La velocitat de la bicicleta és la velocitat lineal de la roda.
s = v·(t-to) + so s= 5·t
Φ = ω·(t-to) + Φo Φ = 12'5·t
Als 10 segons Φ = 12'5·10 = 125 rad = 125 rad
Nº voltes= 125 rad/2π = 19'9 voltes
s = R·Φ = 0'4·125 = 50 m
O tambè s = 5·10 = 50 m
El període T= 2π/ω = 2π/12'5 = 0'5 s
Una bicicleta es mou amb una velocitat de 5 m/s. Les rodes tenen un radi de 40
cm. Determina la velocitat angular de la roda, angle i voltes de la roda al cap de
10s, distància que recorre la bicicleta en aquest temps, període.

33. El període del moviment de translació de la Terra al voltant del Sol és de 365
dies.
És un MCU de velocitat angular:
ω= 2π/T = 2π / (365x24x3600) = 1'99·10-7
rad/s
Només té acceleració normal:
an
= v2
/R = ω2
·R = (1'99·10-7
)2
.1'496·1011
= 5'9·10-3
rad/s2
La seua velocitat lineal serà:
v = R·ω = 1'496·1011
·1'99·10-7
= 29770 m/s
Les equacions del seu moviment seràn:
s = 29770 t Φ = 1'99·10-7
·t
Al cap d'1 mes t= 30·24·3600 = 2'59·106
s
s = 29770· 2'59·106
= 7'7·1010
m
Calcula la velocitat angular i l'acceleració de la Terra en el seu moviment de
translació si la distància Terra – Sol és de 149600000 km. Quina distància
recorre en 1 mes ?.

34. Tir horitzontal
X) MRU x = 100·t (A)
vx
= 100 m/s
y) MRUA y= - 4'9·t2
+ 5000 (B)
vy
= - 9'8·t (C)
En el punt 2, quan arribe a l'illot,
la posició y2
= 0. Substituint en (B) 0= -4'9·t2
2
+ 5000 t2
= 31'9 s
Substituint el t2
en (A) calcularem la posició x2
x2
= 100·31'9 = 3190 m
La v2y
la calculem substituint t2
en (C) v2y
= -9'8·31'9 = -313 m/s
Un avió de proveïment vola horitzontalment sobre l'oceà a una altrua de 5 km.
Si la seua velocitat és de 360 km/h calcula:
a) La distància de la vertical d'un illot a la qual ha de deixar caure un paquet de
queviures perquè caiga sobre l'objectiu.
b) la velocitat del paquet en el moment de l'impacte. (10)
⃗v2=(100,−313)m/s [ ⃗v2]=√ 1002
+ (−3132
)=328' 6m/s

35. Tir obli
Descomposem la velocitat
v1x
= 400·cos 30º= 346 m/s
v1y
= 400·sen 30º= 200 m/s
X) MRU x = 346·t (A)
vx
= 346 m/s
y) MRUA y= - 4'9·t2
+ 200·t + 350 (B)
vy
= - 9'8·t + 200 (C)
En el punt 2 assoleix l'altura màxima i v2y
=0, substituint en C
0= -9'8·t2
+ 200 t2
= 20'4 s
Es llança un objecte des d'una altura de 350 m. La velocitat inicial és de 400
m/s i forma un angle de 30º amb l'horitzontal. Calcula l'altura màxima i l'abast i
l'equació de la trajectòria. (R8)

36. I per calcular l'altura y2
, substituint el temps t2
en B
y2
= - 4'9·20'42
+ 200·20'4 + 350 = 2389 m
Quan arribe a terra, punt 3, la posició y3
=0. Substituint en B
0= - 4'9·t3
2
+ 200·t3
+ 350 t3
= 42'5 s
I amb el temps t3
, podem calcular l'abast màxim (x3
) substituint en A
x3
= 346·42'5 = 14705 m
L'equació de la trajectòria s'obté eliminant el temps entre A i B
t= x/346
y= -4'9·(x/346)2
+ 200·(x/346) + 350
y= - 4'9·10-5
·x2
+ 0'58·x + 350

37. Tir oblic
Descomposem la velocitat
v0x
= 20·cos 40º= 15'3 m/s
v0y
= 20·sen 40º= 12'9 m/s
x) MRU x = 15'3·t (A)
Vx
= 15'3 m/s
Y) MRUA y= - 4'9·t2
+ 12'9·t (B) vy
= - 9'8·t + 12'9 (C)
En el punt 1, quan t1= 2 s, substituint en A, B i C
x1
= 15'3·2 = 30'6 m y1
= - 4'9·22
+ 12'9·2= 6'2 m r1
= (30'6, 6'2) m
v2y
= -9'8·2 + 12'9 = - 6'7 m/s v2
= (15'3, -6'7) m/s
Un futbolista colpeja una pilota a una velocitat inicial de 20 m/s que forma un
angle de 40º amb el sól. Calcula la posició i la velocitat de la pilota al cap de 2 s.
(12)

38. Tir oblic
X) MRU x = 10·t (A)
vx
= 10 m/s
Y) MRUA
y= - 4'9·t2
+ 6·t (B)
vy
= - 9'8·t + 6 (C)
En el punt més alt, punt 1, la v1y
=0. Substituint en C
0= -9'8·t1
+ 6 t1
= 0'61 s
En aquest punt l'espai recorregut x1
, s'obté substituint el t1
en A
x1
= 10· 0'61 = 6'1 m
En aquest moment la seua velocitat serà
Des d'un cotxe en marxa a una velocitat de 36 km/h es dispara verticalment cap
amunt un projectil a una velocitat de 6 m/s. a) Quin espai haurà recorregut el
cotxe quan el projectil es trobe en el punt més alt b) A quina velocitat anirà el
projectil en aquest moment c) Caurà davant, darrere o dins del cotxe ? (41)
⃗v1=(10,0)m/s [ ⃗v2]=√10
2
+ (0
2
)=10 m/s

39. Tir oblic
X) MRU x = vox
·t (A)
vx
= vox
Y) MRUA y= - 4'9·t2
(B)
vy
= - 9'8·t ©
Quan el dard impacte amb la
diana, punt 1, la posició y1
= -0'16 m
Que substituint en B ens permet calcular el t1
-016 = -4'9·t1
2
t1
= 0'18 s
Substituint el t1 en l'equació A obtenim la vox
2= vox
·0'18 vox
= 11'1 m/s
Un jugador situat a 2 m del tauler d'una diana llança horitzontalment un dard
que es clava 16 cm per davall del blanc. a) A quina velocitat ha llançat el dard?
b) Quant de temps ha tardat a clavar-se? (43)

40. Tir oblic
Les components de la velocitat
en funció del mòdul i l'angle són:
Vox= vo· cos Ɵ
Voy= vo·sen Ɵ
X) MRU
x= vo
·cos ·tƟ (A)
Y) MRUA
y= - 4'9·t2
+ vo
·sen ·tƟ (B)
vy
= - 9'8·t + vo
·sen Ɵ (C)
Un arquer dispara una fletxa que arriba a una altura màxima de 40 m i un abast
de 190 m. A quina velocitat i amb quin angle ha disparat la fletxa ? (48)

41. Substituint les dades del punt 1, y1
=40 m i v1y
= 0 i del punt 2, y2
=0 i x2
=190
40= - 4'9·t1
2
+ vo
·sen ·tƟ 1
(1)
0 = - 9'8·t1
+ vo
·sen (2)Ɵ
0= -4'9·t2
2
+ vo
·sen ·tƟ 2
(3)
190= vo
·cos ·tƟ 2
(4)
Ressolem
De (2) 9'8·t1
= vo
·sen i substituint en (1)Ɵ
40= - 4'9·t1
2
+ 9'8·t1
2
40= 4'9·t1
2
t1
= 2'86 s
vo
·sen = 9'8·2'86 = 28 m/sƟ
Substituint en (3) 0= -4'9·t2
2
+ 28·t2
t2
= 5'7 s
Substituint en (4) 190= vo
·cos ·5'7Ɵ vo
·cos = 190/5'7 = 33'25 m/sƟ
vo ·sin(Φ)
vo· cos(Φ)
=tan(Φ)=
28
33' 25
=0' 84 Φ=arctan(0' 84)=40º

42. Tir oblic
Descomposem la velocitat
v0x
= 4·cos 30º= 3'46 m/s
v0y
= 4·sen 30º= 2 m/s
x) MRU
x = 3'46·t (A)
vx
= 3'46 m/s
Y) MRUA
y= - 4'9·t2
– 2·t + 20 (B)
vy
= - 9'8·t - 2 (C)
Una pilota redola per una teulada inclinada 30º, arriba a la vora a una velocitat
de 4 m/s i cau al buit des d'una altura de 20m. a) A quina velocitat anirà quan
porte 1 s? b) A quina distància sobre el sól es troba en aquest instant? c) A
quina distància de la base de l'edifici caurà a terra? (51)

43. En el punt 1, per a t1
= 1s
v1y
= - 9'8·1 – 2 = -11'8 m/s v1x
= 3'46 m/s
En aquest instant t1
= 1s es troba a una distància sobre el sól y1
:
y1
= - 4'9·12
– 2·1 + 20 = 13'1 m
La distància de la base de l'edifici en que caurà a terra és x2, on sabem que
y2=0, per tant substituint en l'equació B
0 = - 4'9·t2
2
– 2·t2
+ 20 t2
= 1'83 s
Substituint en l'equació A
x2
= 3'46·1'83 = 6'3 m
⃗v1=(3' 46,−11' 8)m/s [ ⃗v1]=√ 3' 46
2
+ (−11' 8
2
)=12' 3m/s

44. Tir oblic
Descomposem la velocitat
v0x
= 25·cos 37º= 20 m/s
v0y
= 25·sen 37º= 15 m/s
x) MRU x = 20·t (A)
vx
= 20 m/s
Y) MRUA y= - 4'9·t2
+ 15·t (B) vy
= - 9'8·t +15 (C)
En el punt 1, x1
= 28 m, substituint en A, calculem el t1
28= 20·t1
t1
= 1'4 s
Substituint en B, obtenim y1
y1
= -4'9·1'42
+ 15·1'4 = 11'4 m
Substituint en C, obtenim vy1
vy1
= -9'8·1'4 + 15 = 1'28 m/s
Es llança una pilota a una velocitat de 25 m/s i un angle de 37º per damunt de
l'horitzontal cap a una paret situada a 28 m del punt d'eixida de la pilota. a)
Quant de temps està la pilota en l'aire abans de colpejar la paret? b) A quina
distància per damunt del punt d'eixida colpeja la pilota la paret? c) Quins són el
components horitzontal i vertical de la velocitat en aquest moment? (53)