Algebra de baldor

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Algebra de baldor

  1. 1. -' A - »; .:2.«~_u. :s)on [HH y _ _ '(4' ' Í Í -'I ? v Ú 4_ r É_ . Ç/, vca _abÍ%- ; k u** (' 'l-“uálübala 4"* 'k nun? ll ¡K¡'¡*'Á›-. ,. , '- J_ tj.
  2. 2. CONCWYO D¡ NUMERO IN LM "Jill-OS PllMl- #b y Il «Mto Ill nham dc : nl-mia qn punha; TIVOQ (upon-soou A. CJ Modh y cont: : luna u¡ : M916 h Avhmítien. El orkut lu¡ Alpha q¡ lu numca¡ : :#47441603 nnnniürn dal ! non-bu pd- pontuar. !nun cinto¡ do ¡igloc pu¡ qn cl bom- cultivo. Mult-uh naun ou ln ROOM¡ d¡ los . Mb-lu No : Int-nu u» emana Almndo 4M vai-nun. hn¡ loguban. «na prima_ nulla. la mcdlzlân de! ¡km- íllinpnnubh pan Í¡ tor-mdb¡ d¡ ln IÍMIIÍI : lulu-alex : I Í= .Í. ~". .ÍÉFS~ ' l É' ›' LCEE es 1:1 tam: de la Matemática qdo cstudía la cnnlidad consi- " dcratl: del modo más general posible. 1 : ÍC. .F. .-'1CTE¡«I DEL ALCF-'tñ-H 1' SU DIFERENCUA. *' CON LA ¡'I')»&1~ZTIC¡“~. E1 concept: : de L1 cantidad cn Algebra c¡ mucho más amplie que cn Arilmélitz. En Aritmética las cantidades se rcprcscntan por númuus y @nos : x- pvcsan valores determinado». Así, 20 cxprcsu un solo valor: vcintc; para cxprcsar un valor ¡Inayor n menor que éste lnabrá que cscribir un número distinta de 20. En Alhrebrn, para lograr la gencrnliznción, las mutidadm sc represen- lan por ¡Incdio dc letras, las cuales pueden 'neprucnmr todos lou valores. Ani, a representa cl vnlur que nosotros le : tsigncmom y por tanto puede rc- prcsentur 2D o más de 'A0 o menos de 20, : a nuas-m¡ elccción. aunque con- viene advertír que cuando cn un problem: : nsignamm : n una lctm un valor dcu-rxuinado. csa lctm no puede: reprcscnmr. cn cl mismo problema. otro valor distinto del que lc hcmos asignado. 2 3 _Í . mL-, cicxn . aLc MCs. › bos nlmbolos usados : :u Algrbra para representar las (nulidades son los númcms y las letras.
  3. 3. l x sr mtpltuu¡ ¡uuu representar Gllllidtldlls cano-idas _v alt- Ie Itllill nln I p. t» sc cuiplt-zin para representar toda close de tzuitidades. yu u , nn . um-t lllda o tlcsmnocidus. l . u 4 «m 1 _L . .mm n se expresam por last primatas letras del aliar lu-In' . t, h, 1.'. tl. . . Lili hlllltvi um rx. .tmmidaa sc representou por ! as últimas letras de] . tllnlu-to: u, v, iu. x. y, z. Una iuisuta lctm puede representar distintos valores díferenciáttdoloa por medio de comíllas; por ejemplo: a', a". a”. que se ! een : t prima. a se- gunda, :i temem, o también por medio de sitbíndices; por cjcmplo: n. , a. . “J, que : e leen a suhuuo, a sumos, a snbtres. (4) FORMULAS 7 V Consecttcncin de 1.1 gencrztliución que implica ln representation de las cantidadcs por medio de letras son 1.15 Íórmulas algchraicas. FHHIHIJII 33'34"43* 4 ca la represcntacióxt. por medio de lcrras. dc una rtgln n de tm principio gmeral. Así. la CcomcLría cmtcñ: que el área de un rectângulo cs igual al producto de su base por su altura', luego. llamando A al área¡ del rectângulo, b : t lzt base y h : i ln altura. l: fórmula A= bxh representará de un modo gcnerafel àrea de cualquier rectângulo. pues el área de un Ie(- tátngulo dado se obtendrá con solo sustitttir b y h en 1:¡ fórmula anterior por sus valores en el raso dado. Así, si la base dc un rec- tângulo t: : 3 m. y nu alturt 2 m. , su área será: A: bxh=3 m. x2 m. =6 rn. '. c¡ área d: otro rectângulo cuya _A= b›<h=8 m. ›<3§ m-=2E III-W) binst: fuera B m. y su altura n; m. seria: SlGNOS DEL : tLGEEnMt Lots signos empleados en Algebra son de m: : clascs: Signos de Opc- ' mción. Signos de Relnción y Signos de Agrupación. IHZÊNOS [T5 OPERÀCION En Algebra sc verificar¡ con las cantldadcs las mísmas opcmciones que eu Ariunétim: Sunui. Resta. lllttllípliowción, División. Elévztción : t Polen- _ trin¡ y Eximccifm de Rziíces. que se indican con Im signos siguiente: : Ú l-Zl Signo de la Suma es +, que se lee más. Así u+b : e lee "a más b". ç › Lu (l Cap, XVIII. página mu. u' mundi: : atnpltmnmte torto Jo relaciona-lo (ou lan lñuuulnl Miurlllalttll l _mmu 7 |12| Signo de lu Remi cs -. que se lcc mmol. Así. a - h sc Ice "a me- nos b". El Signo de I: : Multiplicición es x. que se lee multiplicado por. Así. a x b . sc lee "a multíplicido por b". En lugar del signo X suclc cmplcarse un punto entre los [actores y también se indica la Iuultiplicación colocando los factores entre parêntesis. Azi. mb y (a)(l¡) equivalen a ax b. Entre factores literales o entre un factor nunlérítm y uno 'literal cl sig-no dc multipliacion : nele ontitíne. Así abc equivale a ax b >< c: ñxy equivale a 5 >< x xy. El Signo de 1a División es +, que sc lc: dividido entre. Así, a+ b se lee "a dividido entre b". También se indica 1a division reparando cl di- vidcndo y cl divisor por una ray¡ horizontal. Axl. É equivale a m+n. El Signo dc la Eltrvacibn a Potencia cs el exponente, que ca un número pequeño colocado ¡trriba y : i 1:¡ dc- rccha de una cantidad. el cual indica las veces que diclm , citttidzd. llamada bue. sc tmn¡ como lactor. Así; / Cuando una lcrra no tiene exmnente, w exponente es 1a unidiul. Así, a equivale a al; mm: equivale a m'n*x*. lâl Signo de Raiz es ÍÍ llatnado signo radial. y bajo este signo se cu Inca 1a cantidad a la cual sc le extra: : la raiz. Así, fícquivalc a raiz cum. drada de a, o sea. la cantidnd que elevada ; tl cuztdrudu reprotlucc la uu¡- tidad u; VF cquiValc a : ai: cúbica de b, o sea la cantidad que elevada¡ : il cubo reproduz: la tznúdad b. "FW. COEFICIENTE i' I En el producto de dos factura. cualquier: dt: los factura¡ c¡ llamado mefíciertte de] otro Etc-tor. Así, en el producto 34 el factor 3 es coeficiente del factor a e indica que el (actor a se toma como somando tres veces, o seu aa= a+a+uç en cl producto Gb, el ! actor 5 ea coeficiente de b e indie. : que 6b= b+b+b+b+b. Estas son oocíicímtes numéricm. En el producto ab, cl factor u cs coclicicnte del [actor b, c indica que el factor b u: toma como somando a veces. o sea nb-: b-l-b-l-b-I- b. .. a veces. Este e¡ un mcíicigutc literal. En el producto de mais dc dos factores. uno o varios dc ellos son cl coeficiente de los restantes. Axl, cn cl producto abcd. a cs cl coeficiente de hcd: nl¡ ea el coelicicitte de cd; abc es el coeficiente dc d. Cuando um cnntidnd no tiene coeficiente numérico, su coeficiente cs la unitlarl. Así. b equivale .1 lb: abc equimle : i labc. a¡= aaa: b" lnlnl»
  4. 4. 8 › l ( u)uu. »r›: nc nnlxcior¡ i' Sc rmplcnn estos signos para indicar la relación que existe cnm- do. ; (nulidades. Los principales son: -, quc se lcc igual a. Así. a= b se lee "u igual a b". É'. quc u: lcc mayor quc. Ari. x+y>m se lee "JH-y mayor que m". <. quc sc lcc menor quc. Así, u<b+c se lee "a menor quc b+ c". SIGNGS DE . ~G': '.UÍ'AClOl~J 1.05 signos' : lc . Igmpuiinín son: el llllltllÍlWii milínarin . 1*, cl [HIWHYV- --xu . mgulni u DKCiICICL j. las HMF. ? : E y Inlmn. : u vinnilo ' Estas signos indicar¡ que la opecación colocada entre ellos dcbe círc- ruarsc primero. Así, (a+ by indica que el rcsnxlnado d: : la suma dc a y b debe multiplímrsc por c: [a- blm indica que I: : diferencia entre a y b debe multiplicam: por m; [u+f›l+§c- dlindica que 1.1 suma dc a y b debe di- vidirse mm: Ia diferencia de L' y d. @MODO DE RESOLVER LOS PRCWLEMÉtS EN AillThlETlCñ Y EN ALGív ' ' Expouclnos a cuntinuución un ejemplo para hacer notar la difeiencin entre cl método aritmética y cl algcbraict) en la resolución dc pmhlcmas, fundado este último cn ln notzáón algebraiai y en la genevaliueión quc em implim. Lwsedadesde/ tynsumsniaafmu. Silzicdaddeliesõvwcsl: t-dad de A. ;que edad tiene ad: uno? MÉTODO AMTMEÍICD Ednd dc A mia edad de B :48 años. Camo L¡ edad de B es 5 veces L1 dcA. tcndrcznos: Edad de A más â vcccs la edad dc A = -t8 años. O sua. 6 veces 1:¡ edaid dc A :48 años: luego, Edad de A=8 años. R. Edad de B=8 añosx5=40 años. R. MÉTODO ALGEBIÀICO Como L1 odad dc A cs una cautidnd dtsconocída la represento por x. Sea x = edad de A. Elttouccs bar-edad dc 11. (Zumo . unhas edadca sumzm 4B años. tcndrmnos: x + 5.x- r 45 años; n at. .. (ix z «ln . Iñm. J_¡i| '_', . mw 9 44m um. , Si t¡ veces x equivale: a 48 años, a valdrá la sexta [NUDE de -18 años, osea : :B años. edad de A. R. Enwnccs 5x25 añ0s><5=4D años. edad de B. R. CANTIDADES POSlTlV/ ÀS Y NEGATIYAS En Algebra, cuando se estudian cantidadu qu: pueden tommse cn do¡ sentidos opuestns o quc son dc condición o da: modo de scr opucslos. se expma el sentido. condieión o Inodo de scr (valor relativo) de ln unit¡- dnd por medio de los signos ›l- y ~ . anmponicndo cl signo + a hu caiuidsn- des tomadas en un scntido dclcnninadn (entidades positivas) y nnteponiel» do el signo - : I las camidades tomadas cn sentido opuuto al anterior (can- tidades negativas). Así, cl haber se duigna oon cl signo + y las detidas con el signo *› Para cxprcsar quc una persona tiene $100 de haber. din-emos que tiene -l- $100, y para expressar que debe $100. díreuios que tiene - $100. Los grado: sobre tem del termômetro se designa: : con el signo + y los grades bajo cem con cl signo -. Así. para indicar que el termómcm. malta 10° sobre cem escribiremm + 10° y para indicar que marca 8" bálju cem cscribircmos -8'-' El camino recorrido a Ia durch: : o hacia arriha de un punto se deu; - na con el signo + y cl camino recorrido .1 la imqnierda o hacia : bajo da un punto . se representa con cl signo ›r. Así, si hcmos rccmTido 200 m : n Ia derccha de un punto dado, dircmos quc hcmm recorrido + 200 m . y si recorrcmos 300 m. a l: : izquicrda dc un punto cscrihircnms -300 m. El tiempo trnnscnrrido después de Cristo sc considera positivo y i-l tiempo 'trnnscurrido antes de Crista, negativo. Así, +151) años significa 160 años D. C. y - 78 años significa 7B años A. C. En un poste immducido cn el suelu, reprcsenmmos con el signo + 1;¡ pordón quc . sc halla del suclo bacia axribn y con el signo - la porvziói¡ qm- sc hall: del suclo hacia abajo. Así. para expveszir que 1:¡ longitud del pm u: quc se halla del sucln hacia aníba midi: 15 m. . escribiremus +15 Ill . y si Ia portión intnoducida en el suelo es de B m. . escribíreinos -8 m. u¡ lntitud norte se designa con el signo + y ln latilud sur con cl sig no -: la longmd este se comidem positiva y I: : longimd oeste, negativa. Por 19 tanto. uu punto de 1.1 Tierra cuya siuiacíón gcográlíca sen: +45' dc longitud y -15° de lntitud se hallnrá a 45" : nl este dcl primer meridia- no y a 15° bajo el Ecuador. (E ÉLCCCIOH DEL "EHTIDCR POSITTVC La Íijación dcl sentido positivo cn mntidadcs qua: pucdcn lomarsc: cn dos sentidos opucstm cs nrbitrarin, dcpL-ndc dc nuestra Volnnmd; es decir,
  5. 5. 10 'tw' quc podemos tomar como sentido positivo cl que qncramns: pero una »'21 Íijado cl sentido positivo. el sentido 0P“°“° 3 est” *Cm c' "°§“l'v°' Aee! , aí tomamos (201110 sentido positivo el camino rcmrrtdo . t lu dere- dr-. t d: : un punto, el camino recorrido ; t la irquicrda dc cre ¡xunto srri negativo, pero nada nos impidc wumr count) positirotl camino rccnrrldn .1 Izt izquiertlat del punto y cntottces cl mmtno recorrido ; r la tlcrcchn dcl punto sería negativo. _ . _ Así. si sobre cl segmento AB tomamos como posruvo c] sentada dc A hacia B. el sentido dc B hacia A sería Inaga- tivo. pero s¡ fijamos como sentido positivo A* í' 'B A de B hacia A. c] semi- do de A hacia B scria ”“ negativo. . ' _. No obstante. en la prártira se aceptnn gcneralmetrte | os scmddm Fm" tivos de que se trató en cl número amarrar. f : :N10 e; la ausencia de cantídnd. Así, ffpffãcmíf' c¡ “ma” Êümómi' * f” co dc una persona por 0 equivale a decir que rm trcnt: halrer m tlmdzs. Las cantidztdcs positiva: son mnyon: : queço y las negativas : net-fair qu; o, Así, +3 cs una carttidnd qtte cs "C5 unrdadtís mayor quc U. + a t5 um¡ mntidad quc u cinco unidades mayor que 0,_ mientras que? T3 cs un: : cantidrtd que cs tru unidades : minor que 0 y -a cs Ima “und-ld q” '75 cinco unidades menor que O: l _ ¡ 'De dos umidade: posiuvm, eu mayor 1a ele -narnr valor “b” "'°- 3-* ~ +5 g5 mayor que +3. mientras quc d. : dm anuidades ncgntivas (S mayor la de menor valor absoluto: -3 cs mayor que -5; '49 C5 "WW" q"" ' 'i' EJERCICIOS soma c, '.r4nt: ;.: ›:s ZOSITD/ .Ktã Y NIGHÕÉIVAE L) Un hombre cubra 313o. Paga um deu-da de $841 v latão 'me mm' pr-. n por valnr dc 395. (Ctlánw Klimt? Teniendtrãlãü, pasó $301 ¡Wíãífv 5° 'FMM m" sm' 9:? ?? "alfa ul: grato dc S95 y como sólo nene S50 tncurrc cn una detida c a. or Llllln. tícnc actualmente - M5. R. EJERCICIO l Puhu tir-bh¡ (0 lrolivarcs y rccibió 320. Éxprcsar su esundurcmnónrrtcn. u. . hnmtnc que [uma n70 sucus luxo um compra por vnlm- dc lolo- | |-| r, tl tu ralado trmtróntico. Inn. . nun tinlm" Sm¡ y' ¡mgué dcudzu por SIBEt 60'57"” WW"? rv, ,_v, .-, .nrv~ wnzírvs. . mu» H (tempra ropas por valor dc 665 soles y alimentos por 1178. Si dcnpnm. mdb! ) 2280. (cuál c¡ mí «sudo económico? n. Term¡ 520. Pngué S15 quc dcbla, después : :abnt S40 y luego hicc gatilw. par. S75. ; Cuánto tengo? u Enrique hace um¡ compra por 367; después rccibe 372; luego hnm ou. : comprar por S16 y dapuéa mcibc .52. Exprvesatr su atado etxmómicor 7. Dcspués de rctibir 200 colones hago tres gastas por 7B, 81 )' 93. Rcdim entonccs 4l y ! ut-go hatgo un nus-vn gasto por 59. gctulnto tengo? E Pedro tenta trcs deudns dc S45. S66 y S79 rrspccnivamente. Entonccu rccibc $200 y luta: un gasto de 310. ¡Cuánto tiene? 2) A las 6 a. m. el lcnnómctro marca -4°. A 1m 9 mm. Im subido 7° y dead: : esta hora hasta las 5 p. m. h: : beijando 11°. .Expresar ht lcmpc- mmra : t lar. : 5 p. m. A las t¡ at. m. marca -4". Goma a las 9 a. tn. lu¡ subido 7”, contamos sictc divisioncs dc la escala desde -4° hacia Arriba y tendrcmos 3" sobre cem (+3"); :: tuna dcsdc est: : hora turista las 5 p. m. hn bajatdo ll". (umrunlu ll divisioncs de ht um): dade +3°çhacia abajo llegarreutos a 4 R". Lm* go, :t las ã p. tn. la temperatura cs (It: "MEL R. EJERClCIO Z I A lar. 9 n. m. cl ctmóvmctrwo marra tm» y di: um¡ hora : t Inn 8 p. m. In. - hajado 15°. Exprrsar la temperatura¡ : r las 8 p. m. 1a. A hrs t; ;t, rn. cl tcrmómutru mara -3°. A ku 10 u. m. la tempernttur. : : s 8° más alt: : y desde csu hum hasta ins 9 p. m. h: : haiztdo 6°. Exprt-ur ln Itmpcraturn a ku 9 ¡mmr A l: : 1 p. m. cl termômetro marca +159 y : t iíls 10 p. m. Inara¡ -. '¡". ; Cuántos gradurs Ira bajado 1:¡ ttzmperztttrra? d. A las 3 am. el lL-nrtómctro mam¡ -B° y : li mcdindln +5”. ;Cudntm gradues hu ¡tthido 1.1 tt-. ntperatttmi A las 'B zum. cl tcrmlnuetrtt ntarca --l°; a 1:: : 9 mm. ha . suhíth 7 *; ;n ! as 4 p. m. hn strbido 2° más y : r lzn 11 p. m. ha hnjatla 11°. Exprt-. Lu la lerrtptratttrn : r Ina 11 p. m. u. A hn. 6'a. m. cl termômetro marca -B°. De las t; n. m. a las 11 ; mn mbc a mm: : th: ›1“ por hora. Exprcsztr l: temperatura : r las 7 . mm. .n ins 8 min. y a las 11 zum. r. A las a mm. cl termômetro : Iran-a -1°. De Im 8 21.111. : t las 1] 1m. luja a ratón dc 2° por hora y de 1l zum. a¡ 2 p. m. suhe n ntzón dc . 'I° pm Imra. lixprcsnr ln tcmper-. rltrrrt íl las ]0 n. m. , : t _zu 11 mm. . : r 1m 12 : I. m. y a las 'P p. m. x El dia 10 dc tlirín-uuhrc un hnrco si' lutlla : M563 : t1 (mu: - del prinn-r mcritliuvtcr. Del día 10 a1 IE recorre 7° hJCiaJt-l 15H24 lixprrsrt' ru Im¡ gitud cstc día. *r EI dia printmu (lc Íchrcro ln situnriórt de nn barco os: 71" «Iv lnnuiuul nem. - y 15° dc latilud mr. Dc¡ dia prímtzru .11 2G hzt rccorrídu 5' ! mtu cl calo y m Izttítnd cs cntottrvsa dc 5° nlás nl nur. Iixprtxmtr ru nilumrún t-l dia 111?. : u
  6. 6. 12 1:; E] di. : 5 dc mayo Ia síluacíón dc un viajem es_ 18° dc ltmgílud «este y 65° (lc lalillrd norte. Dcl dia 5 al : u hn remtrrdo : v luana cl cm: y sc h; _mamada 4o ; ¡| Ecuador. Eaprcsnr au suuanón cl th: : 31. 11. Una ciudad fundada cl año 75 JLC. (un: rleauuída [35 años después. Exprcsar la fecha dc au dcslruocián. L1) Uu móvil mmrn: 40 m. eu linea recta ~: I la dcrcthn de um pun- to A y luego rctroccdc cn ln misma dirección a ranón dc 16 m» por 50mm' do. Exprcsm' a qué distancia se hall¡ del punto A al mbo del 1*'. 2". 3V y 40 segundo. l-: l móvil ha recorrido 40 m. :r ladcrccha del pur-_to rf: luego. su po sicíón cs + 40 un. tomando como pqmuvo cl sentido de tzqmcrda a dcrcclm. limonncs cmpicza a movem: d: : la dcrccha hacia la tlqurcrda (mmdu negmhm) g¡ ¡azón d: [5 m, por ugrmdo: luego. cn cl primer segundo sc Men-n 15 m_ al punto A y como estah¡ a 40 ul. .de ese punto, .54,- halla .1 40- 15 :25 m, n la dcrccha de A: luego, su pmmrón cs +25 m. R. _ En cl 2'? segundo . se acerta otros 15 m. ml punto A: luego. st: ¡Iálllilrü .1 25-15=1n m. a ln dcrccha dc A: su pmícíúll ahora es + 10 m› R- En el 3d- segundo rccorrc oLros 15 m. hacia xl, y como estala a 10 m. ,1 la dera-cha dc A, habrá ! legado : :l punto A (can 10 n¡.4). y return do 5 m. :n la izquierda de A. os decir. 10-15: -5 m. Su ¡mtcnón : :hora na -5 m. R. _ _ _ 13.¡ c] 49 segundo rccmrc aum 15 m. más hacia la rzqrtncrda y rumo ya tslaba a 5 m. a la izquicrda de A. se hallnrâ .11 rabo dc] 49 scgundo a 20 m. a la izquícrda de A, o sea -5-152 -20 m. : luego. su ¡micíón ahora cs -20 m. R. EJERCIClO 3 ¡ssunuo rosmvo; n: :: numca A narrou v o: AIAJO A uuuun. L. Exprcsar que un rnóvil se halla : :'32 m. a la dcmdlíl del punto A: 3 !6 m. :r ln irquicrdn dc A. ' g_ Egpxgq: que [a panc de un ¡xmw qm: snbrcaalc dcl ¡uclc cs 10 m. y tiene «nu-mudos 4 m. . : Dcspuéz de rsrminar 50 m. a la dcntclra del punto A recorra 85 HI- E" gentido contrario. ;A qué distancia me hallo ahora de A? Si (orro : t Ia ¡zquierdn dc] punto B a razón do: 6 m. por segundo. (41 que' tlislnncin de B me hallarté ; Il tnhu de 11 302155? _ Dos mrrcdoms rtcn dcl ¡rmuu A eu sentidos npucrtos. t_. l que corre hacia la izqrxier : I de A va a S m. Por sçg. y cl que curre ImCI-'I 1a dcfcdm '¡| :r 9 m. por seg. Exprcsnr sus drstzttrcnzls del punto A : ll abc de 6 seg. í; Pnuicndo dc la lluc: : dc salídn hacia ln tlerettha un corrtrlor da do; vuclus : t una pista th: «m0 m. dr- Iongitud. Si. ya parlo_dt: | ummo punto y _tloy 3 vuellns : I la pista cn scntido contmrro. aqui' 415371513 hmm W“"'"d°7 Un post: : dc 4D pica de longiuul Willi! 15 pics sobre cl such). Tliax después v: ¡ntrndujrrtm J pics más. l-Ixprcsar ln pane qm: xobrcsalc y In culvrnId-I. tamunnu FJEIFIVA: x w AKVIVMÇ ll Un múvil recorre 5G m. a¡ la dcrccha del punto A y luego cn la mlsum dírtcción rctroccdc 52 m. ;A quê distancia sc hall: de A? J Un tuóvil recorre 32 m. s¡ la izquitrdn de! punto A y luego : cima-th en la ruisma dirección 15 m. ;A qué distancia at: lulli¡ de A? 10. U1¡ nlóvril rucnrrre 35 m. a la dcrccha dc B y luego rctroccdc cn la miuu. : (lirvtción 47 m. ;A qué dismnrizn sc halla dc ll? 11 Un móvíl Iweoúnc 3!) m. ;t la izquicrd: : de M y lu: o rcuoardt- cn l. : uuisvna dirccción 5G m. ›_i qué distancia sc halla de d? 1:3. A anir del puulu B una persona recorre 90 m. s¡ la dcrcchn y rt-trn n: c. en 1.1 mismn dircotáún. ¡uimcro : '18 m. y luego 3G m. ;A qnt dístnnriu sc halla de R? TH, Un móvil recorre 72 m. :t lu dercdla dc A y cnlonms empiua a rcuu cçdcr uu 1:¡ vuisnm dirección. a : :u/ m de 30 m. por seg. Exprmar u¡ tlxstamcm dcl punto A : ul cabo del 1°. 2°. 3P y 49 seg. H Un amo rcmrm 120 Km. a la izqucrda del punto M y luego rctroccdr a : :ruin dc (i0 Km. por hora. (A qué distancia sc hall: : del primo M al cabo dt- 1:¡ 13. E”. R¡ y 4?* hora? VJxLOF-L AusoLuTo *r RELATIVO Valor absoluta de una cuutídnd es cl número quc representar 1:¡ mn Iidnd presuindicndn dnl signo u amido de l: : canridad. y valor relativo m c! sentido de la (zamidarl, representando pur cl signo. Así, cl valor absoluto de - S8 u S8, y cl valor relativo haber. cxpn saulo por cl signo - ç cl valor absoluto dc -520 : :s S20. y cl valor rclativu (lenda. cxprcsadn por cl signo -. Las anuidades + 7° y ›-'¡" (ienen cl : nim-m valor amolnro, pero su valor rclntiuxo as opucsto. pucs cl primero expresa grados sobre coro y cl scgundr) bajo caro; -H° y 7- ll” tícncn el mismo valor relativo (grudus bajo (tro) y distinto valor absoluto. I-íl valor absoluto de una cantidatl nlgcbraica cualquier: : sc represent: : colocando : :I númcro qu(- correaponda a dit-Jan valar entre dos lincas Ver ricalcs. Así. cl valor' absoluto de +3 M' representa (l/ ;DCANTIDADES AEIITMETICAS 'r ALGrnRJJC/ ;E Dc lo cxptrestu ; mtcriormvntc se deduce la diferencia entre mntida- dos aritmética-s _v ulgclyraíms. '. Í.. ~L. |Ãu'. wlr' ': rilrutIÍ[_-_~. son las que cxpresaru solamente cl valor almo- Iuto dc ku c. dades representado por los tuiruert». peru no nos dkcn cl »amido n valor relativo dc las ttanticlndcs. Así, cuando eu Aritmética tterrihimrun que tum ¡mmonzr ticnc $5, m : nt-mm xnlamrmc Ian ídcu dcl valor absoluto SG (lc est: : mntizlad. pero mn «sm no cahrnms . si 1;¡ prrwna lícnc Sã dr' hahcr o LIL- dcuda. Estrilrivltdn quc u-I Icmnhnctru num: : H '. no snhrtmos s¡ : um suluc ccm o bujn n-ro.
  7. 7. H - * w - ' . alg. , : nr~. i›; --» son las que cxpresan cl valor ¡ihsolnto dr: las üllllitiíldPS y adcmá¡ su sentido o valor relativo por mediu del signo. Así, csciibiendu que una persona tiene + S5 exprvsnmns cl valor ab- snlum S5 y el sentido o valor relativo (haber) exprcsndo por cl signo +1 cscribicndo -$8 exprcsnmos cl valor zibsolutu Sb' y cl sumido n valor : cla- ! ÍVO (dcuda) cxprcsnrlo por cl signo -; cscribicnrlo quc c! termômetro mur- ua¡ +3” lcncmos cl valor absoluto 8* _v cl valor rclaLivo (sobre cem) expre- sado por cl signo '~ . y curibiendu -! l*= tem-mas el valor : ibsululu 9° y cl vuilm' relativo (bajo caro) cxprcudo por : :l signo -. Los ; pros + y - lícncn cn Algcbni dos : Iplicltioites: mm, indicar ins nptracimics de wma y resta. y otra. indicar el sentido n mndición dc Izis cantidadcs. Esta doble : aplicación sc distingue porque cuando los signos p v - tienen la slgnificación de suma o testa, van cntrr: lénninos o cxprcsioncs írr cluídns cn pnrénleais, como por cjemplo cn (+ B) + (-4) y cn (- 7) - (rh 6). Cumulo van ¡imccdicntlu a un término, ya sea Iiu-. n-l n ttumérico, Bxprcsan cl sentido positivo o negativo, como por ejemplo cn _a_ + b. 4. 7_ - Il . ENTACION GÍÁAFICA DE LA SERIE - , ELL- Ulíf-. ICJ. DE LOS HUMEROS Teuietldo cn cncnm que cl 0 cn Algebra as ln ausencia du 1;¡ cam¡ dnd. qu: : las camidndm positivas son mnyorcs que I'I y ln: ut-gzitivus mano' res que 0, y quc las distancia: : medidas hacia la dci-cdr. : o lim: :irrihn do llll punto si: considerar¡ ¡xisilivas y hacia la izquicrtlu u hacia : :bajo dc un punto lbegativan. la serie : ilgcbraicn dc ! os números sc pncdc rcprcscntnr de est: : modo: -s 4 3'2'I 0 r2+3=4*5 f -----! --I- «IN n n "Çlnníll . *.LG. 'ÍVR, '.IC. '. 355m” ^LGEB“''C'”* : s In rcprcscntación de un slmhnln alge- bmuco o de una o mis upemcioncs algcbraicas. ir-Eienlplos a, 5x, VÊ, In + Mc, : ir-E _« or 77 rí. . rd 1 18 i; ¡ ? iii “NO cs un: : cxprcsióu algcbmirn quc constar de nn solo simbolo u (lc varios simbolos no armados entre si por cl signo ~ o -. Así. ›| _ u, 31:, zxy, T son términos. I X : ,c-: t:r4~: L.*'rxv"» JLTÉUIJAICA lb Los elrmennos de un término son cuaim: cl signo, cl cocficicnlc. |¡i pau-te liteml y el grado. Por el signo, son términos positivos los que van art-cedidos dci sig- no + y negativos los quc van prcccdidoi¡ dae¡ ¡igno -. Así, +4. -I- 8x, + Bal; son términos positivos y -x. -ãbc y -â son términos negativos. El signo + : nele omitirse delnmc de los términos positivos. Asl, a equivale a +a; :Cab equivale : i +3al¡. Por (nuno, quullril) un ir-Izniiio no m ¡ircccvliiiu : lr ningiin Jignn . ~. ; m íiím. El mclícicnlc, como sc dijo anus, c¡ uno cualquieru. gcneralintmc cl primero, dc los factores del término. Así. cn cl término 5a cl coeficiente es 5; en -3a= 'x' cl me-Iiciente es -3. La par: : literal la comtituycr¡ las letras quc hay: : en cl término. Así, axar l ? ab ab ' (19) EL GRADO DE UN TERMINO pncdc scr dc dos clasts: alwolulo y con “" relación a um¡ letra. Grade ahsolulo de uu iénnino es la¡ suma (le los exponentes de m¡ lnctoru liierala. Así, el término 4a ea de primer grado porque cl “qm nem. : de] factor literal a cs 1; cl ttnníno ab r-_s d: szgundo grado porqtu' la suma dc los cxponcnms dc sus Íactorcs lizcralcs es l+1=2; el término : Bb es de tçrcer gundo purquc la suma de 10s experientes de sus Iaclnrn literal: : es 2 + 1: 3; 5mm# cs de nnveno gundo porque la suma de los cx poluentes dc sus factores literalcs es 4+ 3+2='l. El grado de un término non relación a¡ uma letra rs el exponentc dr dich: : letra. As¡ cl término bx' ea de primer grado con relación n h y : lc ! cru-r grado con relación a x; 4x5* es de «gundo grado con relación : i . u y de mano grado con relación a y. cn ãxy la parte litenl es : y: en lu pane literal es [UZO)CLASES o: Tsnmroos *' Término entao cs cl que no ticm: denominado¡ literal como 5a. saw, Término fmocionnrio es cl que tiene denominador literal como Término rarinnal u¡ cl quc no tiem- radical. como los ejemplos : tmb- . . . . . -_ b rlorcs. c : nacional el que tiene radical. como s/ ab, Ténninm homogêneos son los quc ticncn cl mismo ; grado àlbsoillll). Así. 4x5- y 6x5* son hnmogéncos porque ambos snn dE quinto grado zihmlum. Tàrlninus heterogêneo; wn los dc distinto grado absoluto, rumo fm. quc' m lil' prima guandu_ _y 'hi4', quc u : lc 'lt'glllltit› guri-z.
  8. 8. (Em MQNOMIO cs una expresión nlgcbraica 16 * EJERCICIO 4 1 Digam qué clnsc dc (Énninos son los siguiente: aicmlicmlo ¡il íignu, a si tienen o no dcnominndor y : i si tienen o no radical: m 5M va law' 503, --M'b. É. ~-6-- V0. “V313, T. r' «na fc Dlgnsc el grado : ihsolulo d: los (ti-ruínas siguieniu: 5,. , . gana, uam, -. ,'›ir'b'c. axw. 4m°n°. #yr 1; Digam: cl gundo dc los iémvinos sigllíeiiles : aspecto n cada ! m0 dt Em [aciona hlcrxlcs: . ua/ n, _avg rmwxn. -áabcyt l0m'n“b't° 1_ Dc 10g, términm siguicmcs estagiar cuziLm qui: scan Iiomogéntvis y tres hcmrogéncos: -qa-*ba ixabl. --xñ 6x5'. -zukt -abñ Mbcx* -ÊM I-Ísci-ihiv trcs términos cinema; dos lractionarioi; dos positivos. CMUOS Y ucionzilts: Irr-. x negativos. lmccionzmos i- iriacionalcs. _ h i¡ lluzrihir un términoilr : :ida uno dc los . dos : lisolums sigjuicntcs¡ dc letter grzulo, de quinto grado, de nntlécimo grado. dc décimo quinto gundo, de vigésimo grado. y Escriliír un tênnino de das [nctorts lutmlcs _que sen de_ cualrmdgrarlo _con rrlãlflóll : i 1a x: otro (lc cualm Íziniorcs lilcralci _ue sia¡ e sipumlo grado con n-Iacrón : I Ia_ y', otro dc curto ! amores ilcralcs quc sc¡ H décimo grado run relación : i 1a b. AICàS qu. i): F47 íxfllESlüNESfzLGíí 3a, -5b. , , 4a' »r qui: cuiirui de un solo término. como G9 pg Lmoyx-uo cs una cxpresión ¡ilgcbraica quc mnsm dc más dc un término, como n+b, ri+x-y. 35'* 3X”+X*7- = u' 5111:* llínomio es im 'polínomio quc f** bu *'7› 3" 552 ' ; mista de dos Iérmmm. como: ______ , , í E Trintiinio cs un polinomíuquc 8 mnsin dc tres términos. como ( ; L gmpo de un polinomio puede scr absoluto y : :on relación a um ' ' leira. Gratia absoluto dc un polinumio cs el grado de si¡ término 'dc mayor grado. Asl. cn cl polinmnio x*-5x*+x*-3x el prima' IÁTIIIIDU C5 d? ztunrm grado: cl segundo, dc letter grado; el icrccrn, dc seguindo ¡ã-rzidtr, y ol úliimn. di: primer grado; luego. cl grado absoluto del polmomio cx cl ruario. a+b+c, x*-5x+6. 5x'-6)°+- MDNINLLAIAHH ALCLUHMCA 17 Guido de nn polinomio mn relación a un¡ letra es el mayor expo- nent: : dc dicha letra en el polinomio. Así, c! polinomio a'+a'x*-a'x' c: dc : um grado Cori relación a la a y de cunrto grado con relación : i la . t. EIERCICIO 5 l Digam: cl grado absoluto do: los siguiente¡ polinomlos: a) : ¡+x7+x. c) ¡Hb-a! Q-l-abl-bt b) 5a-3a*+4a'-6. d) x5-6x'y*-44r= b+x'-'y°-3y°. Dlgilsl: cl grado de los siguiente¡ polinomios con relación a ad: um¡ di: sua letras: a) ri"+a”-b“. Â b) x*+4x*-l¡xW'-4xy“. (i4) CLASES u: FOLINOMIOÊ "' Un poliziomio cs : mem cuando ninguno de su¡ términos tiene dono c) 6a¡b'-4a3xvl-ab"-5rl“b“x'. d) "i'm-mi1*+mx'y3-x”-l-y“-ni". . . 3 v 1 minndor literal como x3+5x-6; g-â+g; madonna¡ cuando algum, . . . n¡ b . dc sus términos nene letras en el denominador como -+--8; racional . . . b . c . . (zuando no runtime radicales. como cn los qem los anteriores; mncinml cuando coniienc radical, como / tT+/ l7-/ Ê- a t; homogêneo cuando In dos sus términos son del mismo grado absoluto. como 4437+ 5a'b+6ab°-I h' y heterogêneo cuando sus términos no son del mismo grado_ um. ” x'+x'-'-I<x_6. Polinomio completo con relación a una lcrn es el que coiiticnc todm Ius cxponcmcs sucesiws dc dichzi letra, desde cl más nlio : i1 más bajo qu: - icnga didia lcmi en el polínomio. Art. el polinmnio x°+: '-x'+ x” - : lx cs completo rcspccto de la x. porque condena todos los cxponenlcs sum-u vos de ln a: desde cl más alto 5. hasta cl más bajo 1. u sc¡ ã. 4. 3, L. . l: c! polinomío a4-n'b+a*b'-ab'+ b' cs completo respecto dc a y b. Polinomio ordenado con rcrpccto a una letra a un polinnmio cn rl cual los experientes dc una letra ucogida, llamtida letra ordenntrir. uu aumentando o disrninuyczido. Así. el polínoinio x'-- 4x'+2x*-5x+8 está ordenado cn ordcu iln. rendimte con relación : i l: i letra oitleiiatriz x: cl pnlínomio a” - 2a'l› l IIu-'Ii' ~ 54W' +3ab'-b“ está ordenado en ordcn rlmcendenle reipecto de ln lcim nrdenauíz a y cn ordcn ascendente respccto de la letra ordcnan-iz b. f 15] Ordenar un polinomio cs escribír su: términos de modo quc 10s expo- ' nemca dc una letra csrogidn como Intra ordcnatriz qiieden en arde-n de» nvntltntt' o ascendente. Asl. ordenar cl polinomio -ãx'+x”~<ilx+-x'-x*+ü cn unlcn rlcircnrlcnlt- con relación .1 x scrá rscrihir x“+x'-5x°~x= 73x 4 d. Ordenar cl ¡mlinomío x'y -7x¡')~' - 5x" + 6x7' + y" - My” cn ordcn nv urndcnlc con rclzición : x x . wrá uscríbirlo: j. ” é~I'›. ry^-'¡. v"" : :H7 i 'V
  9. 9. IB . m. um (25) *n FIJHÍHU inrlcqnrlullivulc a. ,- un ¡».1¡. ›.. ... ¡.› um llLHlun . . uu. : m. .. c, ”” cl lénníno quc no tiene dicha letra. Así. cn tl poliuomio a'~a”-l-3a-5 cl término indr-pexhdiz-nlc mn relación a la a c¡ 5 porque no ¡ícnc a; cn x* ›- 6x" ~l~ Hx” - Hx + 2D cl lénui- no índepemlientc cs 20: cn a' -éb ›l-2~lab”+ lr" cl término indepcndicnlc con relación a la a cs My el Lénninu indepcndicntc con relación n I: : h cs a'. EI término índependieutc con relación a um letra puncdc considerar-su que tiene es: : letra con cxponcmc cem, porque como sc vem' ! nim . ulelnnlr. toda camídnd elevada : a cem equivale a 1. Así, cn el primer ejcmplo anterior. -ã cquivalc z. -5n“. _v cn «l um mo ejenxplo, b” equivale a 41%'. EJERCICIO 6 1 Amndiendo a sí tienen a no denominador liu-rzll y : i si licncn o no radi- ml, (ligam dc qué clasc son los polmomios síguúcntcs: a) u“+2u”-Ila. c] VT I x/ F» 26 -l- ÍÍ u) a) 4-. u V" ~Gb+-l. : Z liscríbir un polinomio dz: tcrccr [Hilda alrsolum; dc quinm grmlu ¡ilim- lum; dc DllílW) grado absoluto; dc décimoquinlo grado absoluto. Escribír un ¡rinomia dc u: uudo grado Impvun de l: : x; un pnlinmnio dc quinta grzulo : :sperm u- la a; un polinomio dc novcno grado rc; - pcclo d: : Ia m. D¡ Im niguicnlc-: s ¡xilimanlinsz d) 4n-51›+c«. =-8«n-u. 7. c) y” 11)" . ba-'yL-(ñf-nü-o-y”. c) x7-bx'+txlJx”+vth“x'-'. -Gr¡“lz'-5u'¡(›+8u”lI°-h'. :: stage-r dos quc scan honmgéncos y dou hclcrogéncoa. , De los síguicnlcs IJOIiDOHIiOSÍ u) tH-na-Iu-rr”. d) nz°-m'+›u"-In+5. b) 5x'-Sx'-'+x-6. c) _1--"-b)"+b? y-“-l¡7'y“+b'y. c) x¡y_¡: y2,¡. xn)a_ya_ (ligam cuálcs son (omplcms y respect: : de cuálea letras. t Escribir lrts polinonnios homogêneos dc lcrctr grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto: doa» polinomim mmplelru. Ordenar los siguiente¡ polinomios rcspcuo dc cualquier lctra cn onlcn rlcsrmnlenm: a r›z“+B1n-: n*+nr°. l» Gnx3~5u°-l-'Bu3x+x'. c) -a”b"+a'b+a"b“-ab*. d) ¡r'-5ri+6n'-9rr¡+U› c) -a*y“+x'“+3x4y'¡-x'y'+x“)~“. f) ›-¡ãra“'n= l 4m"-'n-*-Sm“n*«-llhnllnílvrr'-«~7zn'n'›l-nx"n. 1 Onlrlnu' Im siguirlllrh ¡xñinourius icxprclu de runlquicr leu: : cn nrdcn nsccndcnu: n) u¡ bl * ll) rf-'b'+n'fx“-vr*l›l+zl5li+lx5. c) ¡v: _¡: ~›. a~, .|2¡.4_x1y| u_ HLA r' 1 : nuca 'arIArwru l') ; ,273 TEHMINOS sumuuwcs 7' Das o más términos son ncmcjantcs cuando tienen l: : misma parte Ill: - rnl, o sea, cuando tiencn iguala¡ ! emu afectadas de iguala: exponeules. Ejemplos 2aya, ~-2byl&b; -5a'b'y -8a'b3; x'"¡ y3x"". ¡ . _-. . o [os términos -lab y ~6ri"l› no mn scmcjanlcs, porque aunque ticurn iguala-s Ion-as. ésus no ticncr¡ los mismo: cxpuucrltes, y: : que 1:1 u del priv mero tiene de exponenle l y la a del . segundo lime de cxpnncnm 2. Lus Lénuinm - bx* y ab' no son scmcianms, poi-quc aunque ricncn lm mismm cxponcnrcs, las letras no san iguala. 1: : âEDUCClOrl DE TERMINOS SEMEJAIITES as una opcmcióxl quc m' *^ nc por objeto cnnvcnir cn un solo término dos o nnás términm u' _ mcjnulrs. ' En 1:¡ rcduccíón de Lénnirlos semejantcs pueden ocurrír 1m nos mu» siguicutcs: j) . -. 1 , _' V. m5: _É-. m manja. tre. dr! n1ínnr› '7¡; nv› : seu S: : mmnn las cocíicicnta. pmlícndo dclnnte de esta tum: : el mlmm signo quc ticn todas y .1 cunúunacióu : e escriba lan pane literal. Eicnzplos m 3o+7n:5a. n. 15» ; ob+§ob= §ab. n. (z) ~5l¡-7b: -12b, a. m -§xy--: xy: ~ : y a a¡ _o2_9°: __¡g¡,2› g_ (Sl 5x›| -x~l-2:= H›r. R m¡ 301-24 SU*': ::%Í n_ u' (9) -m-3nrr 6m 'Ju- I'm l Y . (51 «san--I-van-r: -Hu""'. n. no) âBy+-: ›r'r+; x”yr¡_›<“r› EJERCICIO 7 Rctlurir: t x+f'. .x. «. ~9m-7m. 1 ' Éa+_| ~_a. 1-3 'E49' ' Salflu. 'r luawña”. :í 'l l _ 11l›+! Ib. a lfvr"'+ílrl"'r 11g -nl›+- ab l - : HIV * 7414511. u m' ' '-5110' '. a i' 1 _um m. »u 11a' '~' u' 1 1 _ "x-H "rxy, 'II--nrl
  10. 10. 20 1B_ . .r . u, sml-Qcwün. Lil . -xBv-BxB-mf-'y -20x*y. I5x+20x+: . S** 43u"-5a"-0a“-9a'"v -7m-8nl-9m. ,4 E _-§a+§a+§a+a. «tüb-rúb-aib. , _ , l u'+3a'+8n'. T'“““? “”“Í'x¡“”'3«~““' _5nh¡_3u_“_5n” L 11d 0.5In-l-ÍJ.67II+U.7m'l*0.H: n. r _ _u _ 1 _ 1 __ a+àn+êm . l. ? ab ; ab ãab ab. -À-: :Jy-àaéy-â-xã-fgdy. -x--x-_ . ' ' ' nh*+ciliz+7ulñ+ilnlF-l-? lnbã lcx+iax+am -m-'nn-Bm-bn-Zlm. 3 1° _xa nI_8¡¡-¡_4¡n›¡. _5xui_¡n-I_ -iHx-iuãt-rñx. n 1 r 1 n c o : v3 ? x4- ía+7n+ça+ 7a. 1la+Ra~l-9a-l-lla. l l l ¡ l m'*"-| -3r¡| ¡'¡~| ~4m| o 45m- - 1_ . m, -- vn-ab-vxb-íab-ñab-íab. 3) ! tr-Eurdüx O: rh. Unai: : »r ›, » 'ii-JT-: r- , ímw REGIA Se naum los mcfídcnla. ¡nniemlo deh-nu: di: at: diferencia¡ el signo del mayor a umtínuacíóxl se escríbe l: para: Iilual. E jem plos (I) 2o-3t1=-a. R, (S) 25a"¡-S4u'°'= ~29n“'. t2¡ l8x-lix=7x. n. M) §a-§o= -§a. R. (a) -20ob+llab= -9ub. v. m -§a= b+a= b=$a= n n. b” _m¡+¡3°r-_-5°u_ ¡¡_ m¡ _? lgu. ¡+ãaau: _|15auu_ g_ De lo tcgla mlerior se deguce 'que dos término¡ semefonmr do iguala: coali- ciumes y da signo continuo se Mulan. Así: »Lap EIERCICIO 8 Reilucir: 311-611. 21h21. 5 40x'y-5lx'y. .à Gtl"8ll. . -Tb-Hb. i-v -rn'-'n+Bn¡3n. Bab-límb. 'z -l-lxy+32xy. 1 w -Iñxy-Hnxy. lõah -Emln -25x“y+32x'-'y. v' fxüa“lv“»ñlaí'lr”. íí ' i :1 «» mim: .ll -xÊy-l-xü. _. :_x'. ')«+ Ííxzy_ cl 'L A x" " rx' * '. ' ' -9ab”+9ab'-'. 1 u N l M¡ 1 l_ t» 'IX-'y-Txiy àam-'iuun l' _T" +75" i . _ . _ -IOlmn-l-llômn. DE _m"+_¡am_ 3:5, %a“' a n-5,». n_ 502110-405071. h Ii. ~1o24x›r1o1zsx. ;um -Êaanz--z-mn. . .gv/ ÍV** l ' -l5ab+1ãab. w I -innxrl+›l›mn. -; ;; gal12b¡-¡l, _2:›“¡ . _¡_. 31.' -ã-rr"b'+u"l¡". - -Hm ' '+r¡u' ' l. '-'b- -a*b. 25m** vilãm* '. n u 0.85mxy~-: ~mxy. 45) r'. :u . . . . u. -. .n. (llullr-u »meu Sc rçduccn a un solo término todos los positivos. a: reduce: : a un unlu término todos l negativos y a lou dos nsullzulos obtenidcns se aplica lu rr~ gl: : del mio anterior. E jemplos l | l Reduzir 5o - lia + a - 6a -I- 21o. Reduciendo los pusilívos: 5a + o + 21a - 77a. Ílcduniendo ! os negativo: : -Bc r ea: r Mu. Apliwndo a estos vcsulladm cblenidos, 27a y - No, ln nzglu dul um; mm rinr, sn tiene: 27a - 14a = 13o. R. Esla reduccíón también : uniu hacmc término a término, dc nzru Irwurn -u Sri-Ba: - 3a, - *3o+a= -7o. -70-64:: ~ Ba; -8a+2|n III. : x m Reducír -fw +; :.. = a §bx'-'-4bx= -› lui. Reduciendo los posilivos: gba* - Éh? + bx” '- Em”. Rcrlucicndo los mgolivos: -Êbxi - Ab: : = --ufbxÉ Íendmmos: Em! ” -í-gbx” 3 - glíbñ. R. EJERCICK) 9 llcducir: flu-mr! 5a, 19m - Ill/ nl (im. g ¡ v max HJx-x. Url/ IV l ÍwI--l-: Zfulfu ' íy** _w_ V"? !lmnw-Ínnn. 'IU' _ n | 7 ~ m# nl 1 o . 4lklx. 1:1': -lñ/ I' 'i' Hlílvi' ' z.
  11. 11. 22 , . : :rum u §avb›u= §a= b-n= b. ; na §a¡b-%a'4b-l--za*b-a= b. v: -a+8 ¡Hid-lõa. 1:. ?ab-ilab-kwab-Slab, an. --: -v¡›*-'7ab'1-ab*-›: ~ub”. 'i' 25x“-60x'+11x'+14x”. -a+f! a-l]n+15a-75u. 1¡ -= =r-8X7-l9=0'+4°*7- -7c+21c+14c-3uc+x2z. 7“b+21°b'“b'9°“b- mn+Hmn-SImn-mHFZOIArz. -2ãx›4+l1:y*+6nxy”~«82.x-y= . n_ - _; ; r . 2 -TZnx+S7a: ~j01nx+243nx. 4 '31 +ZZÍTÍÃZÍJJ“5+*”" 7' -RZbx-'IIbx-Sabarl-Mübx. ' * ' 1o5u= -4mu= +5suv+3omt. M_ l l 7 l ¡x+¡ x _x-hz-x-x. "ZÉ-b E-n -t-: Mx-êx. Ta' ~-3Ua'-41a*-9a'+73a'. 11.1, -n***+7a”'-lla'°' -2Da*" I-2Brr". (M. n+6a-'Â)a+]50a-80II +31u. . Lu -Ob-llb-Ub-Slb-b-lllob. . '.›' -n'b+15a*b -l-iñlr-. Sfyñb-1ll1u7i¡+íl9nVb. . H E-IMEX°'ÕOI| 'II2X -60-1 vn'-'x› 7 lãnf-'x-lZi lnr'^'x+ 165mhz -z-«übtl--Êaãbk- _farm- -zrrlVr-*oàlnlhã 4D-8la+ 130a+v| la~83a-91a+1liu. -21nb-l-52rrh-60ah+ll4ai¡-151rrl›~riI›~23nb. (5.9) í rhLlCClfJhl DE UN FOLINOÉÀIO QUÊ CONTEHGA TERMIHOS ' 'ZNTEE Ç-Í C'l'Eil5.". S CLÀSlES ll) Reducít sl poilnomio 5a-6b+Bc+9a-2Dc-b+6b-c. Sc reduoen por separado los de nada : lusa: 5a + 9a = 14a. - a. - l: + 6h z ~ b. B( - 20( - c = - 13a Yuidromosx 14a - 5-13: ll. (1) Rnducir el polincrnlo: 8a3b*+la°b'+6o'b'-c'b'-9a'b'- IS-SOIW-i-H-õubí Sc ruducnn por separado los de and¡ das: 40'17" - 90%' -' - isn't". Ba"h” + 6a“b'-' - 03h' = 12h36”. - Sab# -écrb" r. - Hub". - 15 + B = - 7. Tendremos: - 5041)' +13a'b' - Hab* - 7 l. (A) Reduzir el polínomio: 2.* - ; ay + 3.4 - y' + 3;- -aaw - ÉHy _a + x'y - 14+ 257'. Vuc¡ NUMIHlEO j Tcndremnr: + 3x' - 0.3x' - I B x5' -ãfy -¡x”y 25" l E7' ' v' = ?;;7'› ~6~›I4-~2o. Bâx* -» gray + 23* ~ 2o. n. EJEIICICIO IO Reduci¡ Im pulinomíos siguiente. : 1 7¡r-$| b+üa-'lb. '3 «vb» b cv2r-a. : ».--Ily-9+'. ',0x~1-y. 'I -BnrHxII-lñ-rn-«n_Em-ll. Í' A i^ll'l'2ll~2l'l'3ll'l'2r*3b. -Slx+19)'-30L+9)'+80x+x-2f›)-. 'r' 112a ›- Bab-Bra”'l-20-5ub-3l+n”-rrb. 3a l--llr -üa l bllr-'ll-llI-Pñlawr - b. - -71a3b-B4a*b*+50u3b+í9ln*I›'-15r13b+13a*b. 'w «a «ri-nr -2a+2l»~ l9~-2c«-í$u›-3 731m ac. 13 mzfilmuél4m3-65mn+ru~'-m”-115m"Emi +2lx')'-y-'+5D. ¡ . '.'+I_)g+¡. n47,. .. : A -5+8-3n"“ '"+ 5x" n n_ “+11” °°-f›x""' 3. V” 03a -r«l).4b-›-().5c-0.Ga ›~Ú.7b--0.9t-l'3a "fik-Hc. Jr» 3341+ §Ia+2a-ab-'Ta_3¡b+j-~'¡ l lr %m*-2nm+ümhàmrwzmn-zrn”. E11 _* 2 ' _lv_- . ql 2-'. .. L : _i -. -_-› _-zr+-; ub _Iiuln ¡ablub ab -ab. Iw n. -¡x*y+31+§xy= -o. sy4- êxty-ozxyw fyuo. 1,» inn. .., r _ , gaba vg, 'íam- 1_ à bru- 2 _0_-_mu. ~¡+ &bar-E_ HH! HUIsHÍlLlCL) Valor numérico de um¡ cxprcsión algnhraim cs cl ! multado qm- : u- nlnivnr* nl IHIÍIIIÍT Lua letras por vnlorrs nurnôrims (lados r vlcrlunr rlcspués Ms opc-rznrimlcs iudiaxulax.
  12. 12. 24 u. . ®VAIDI' IHJAiEFICO : :E EXHLESJC›:4L. ~; SIMPLES (2) vg. , nwmmuÍ-53_Ê+_bWm, =¡ b= l x= _' 4 x ax ' 3' a' - : w Sab b 3x2” sx1x E' Epmplos T-T+: ;=T-: JA. ,._§_=3_1+à . ___ i ? xl ã l _ =3-2l1+| =-I6. n. (Í l Hnllnr el vulnr numénno de Sab para a'- l, 13:7. Uzkclclo 'z Suslituímos la a por su valor "l, y lo b por 2. y Iundrnmns: sab= s x l xzzm R' I-lallnr cl valor numérim de las cxpresionca sígtnicntcs par¡ Il) Valor numérico da awe* para 0:2, b=3, c; = 2 -2ab n. - _i9_ JE_ _E . , +b b+ o= bac^= z=xaux| gyr=4xzrxà= ã=af R. ' " +6 ' , . + , ¡ , ,, “'- '", __ - dm- o'-'+9cd+d*. L; /5'+, /*_¡_V'5-_ _M_ b-a m-b __ (3) Valor numõricodekcw"íõ porou=2,b=9.c= :~¡. b n m n + d 4"# a › _. ¡.. _ . r r_d . = __ 1247-4¡ _IGN-n j aonñíãzgxzxíxxrrñTrzaxxíãz= gxe= zz. n. ' 4' 'Í r wwimvm 1" 2o m "u C m m* , 1"' . 1 --*+2- 1” *'-› m. ,/ - _ 3" ___“"" H) Valor numérica da 40%. puro d: E, b : à c s 2, d= 3. d n dh 1h + v ' S” _ 1:2'. .. at: 'i , w 4a"b= _4xurx¡_ip:4›:1M. :1/27_ I 3 2 e 4 m' ' 5cd ” sxzxa ao ao sro' g, __; b+2d 1, 4d*+1sn= l r. 2 “ *'- '*'”' - -' 2 2 EJERCICIO ll llzullar cl valor numérico dc lan cxprcsioncs siguicnws para i3¡ VUÍOF "MMN de ? (70 'hillLl-y] - lo7+bllb -al puro 01:1' b:2l _. :3A m= _i' ”: _:' Pá? ,rL-; Ii : :_ _. ..ç . r »y "dub. 7 yum-p. N saum: l. , 2-lrrm àzjxlfoooâgwf-; Íràz . írrdiçozas Ino - b) = 2 x I2 x 2 ~ a) = 2 x (4 - a¡ = 2 . 1 a ¡ . _ H u. mn MIS e- _ 213;' 1"» -: -a'-'n¡'-'. 'V' (um elccluune ame: quo _ "a + Y : 4* + = 16 + -ã- = 1631¡ . uma. ” n. x/ Ê N LM u_ W '""9""° °"°› °*'= z' ou: : ;2=+3=44-3=7 a M. !m0 123m5. v: ' : zm ' b-o:3-2=1 -rñlüml 1!. . um v 8 a'b“. Fer-dramas¡ x 4a < 2m 10 i ap 5 l _lírupm_ 13 : Thy WT, - * ¡Í7°"bli¡l°+Yl'Í°"Fbii5“¡7l=2Xl6¡--7Xl=2><:3-7:3J- 7 ; m x EIERCICIO Ia rar) *uma uumemco os EXPRESIONEY¡ conararzzsr/ xs ¡. ¡,¡¡, ,,. c¡ vam, "amam, de M, uwmanü águmm par_ EÍGmPÍOS 4:1. 11712. 0:3_ dz-l. mrê, ,¡= .'__ P: _:_, ,_. =0_ V_ _ _ ' (rH-(Qc-d. (4m lêip)(¡¡'-^+I›L~)<G"_d)_ w 4_ l? ? n rr › l l I Heller ul valor nurnrí-ríto de a9- 5ab+3b“ para a = 3. b = 4. WiJÚÍh-“i- Í' *MW* CWJ-"Xm -f›). W _ _ _ a: _ 50:, T abr = 32 - 5 x 3 x 4+ 3 x 4" ~_›9 - 504-192 z m. R. (b-ruxri") Ma”. ~ Ir-'rv › «I›-~ia-'(m›c-n)+2x. j*”"'_(" +"' ""'›' (ÉIIl+ÉlII)(-UI r M). Brux l-l¡(b¡+('1) M145_ i . ; .
  13. 13. 26 n: m m): (2rrr-l-3rt-l-4p)(Bp+1Srr-4rr¡)(9n+20P)- m. :xcqnx/ Tn-zrd-: ovm-ã. â(m+">-4*("'+P)+°'<"*0- um? vam cdnp ( a: + âyn. SCI. à n r 2(b-)_ abr' (4p+2b)(18n-2-tp)+2(8m+2)(40p+a)- 5* ' *3Í“+°)(Z'”3°3 d 2 1 1 1 1 1 _ 1 2 “TX “F "”+(; ;""í)(z+: )+ Tin") d-b p* ' (2rrt+3›r)(-ipv| -2c)-1m3n3. (a+b)/ c~+' aL-mx/ v? [ILS ~ @EJEHCICIOS SOBRE NOTACION . kLGñpílfxlCA Con las entidades algebraicas. representadas por letras. pueden lm- ccrae las mismat opcncioncs que con los números aríuuéticus. Como 1a reprcscntación rlc rantirladcs por medio de simbolos o letras suelc ufteccr díliutltndes : r los alumnos, ofrecerltus a oonrínuzrción algunos cjcnrplus. N Ejemplos u l ll Estribnse lc turno del andrade de a con cl cubo d: : b. a” + b". R. ll) Un hombro latin Su; después rocibíô SB y después pogó um: : mento do k. ; Cuónto Ie queda¡ Toni-nado 5a recibió Sl) luego leal: : 5lo+ B). Si : :alertas 90ml 51' 'E 1108110" Hc-&B-cl. R. (3) Campré 3 libras a Sa cado uno¡ 6 : ombraros a 3!) cado una y ru Iroics n 8x cada uno. ;Cuónto ho azulada? 3 libras u So impnrtun 33o. 6 somlatcrna a Sb importar¡ Sáb. rn train a &u; imporlnn $rnx. Longo el gasto lolol hn sido de 3630+ &lvl- mx). R. (4) Compro x libras igualar por 3m. ¡Cuánto mo ho matado cada uno? Cadu um lua cortado s; n. (5) Tcnlo S9 y 90:96 3x. ¡Cubnlo me queda! Me quodan 3K? *xl R. EJERCICIO l4 Iitrrl l u¡ l--rurthn rt. : rlr' x lzr rum: : (lt: u. h )' "l- I: : num: :lvl cuadrnrlo th' m, cl cubo dr' b y la ruzrrtn polclr Sicndn a un número unter-o, cscríbnnsc los dos números : micros comr : unir-m ¡msterioru a a. Sicndo x un número cult-m, eram-snsc los dos números consecutivo: anlcríorts : r x. siendo y un numero t-ntcru par, escrílranrsc los trrzs Inúmeros: pares ru: : StCullVDS porttrtmrrx a y. Pedro tcnl: : Sn. cobro 5x y lc mgalaror: Sm. ;Cuánw tiene Pedra? Escrlbasc Ia diícrcnciu entre ru y n. Debírt x lrolivattes y ¡ngm! G. aCuánto dcbo nham? De um: jornada de x Km. ya sc ltzrn remrridr: m Km. gCuánto lnll. : por andar? Recibo 3x y drrspurír. fa. S¡ gasto Sm, gcuártlo : nr: queda? Ten o quc recorrer m Km. [-11 lunes ando a Knt. . el manu I¡ Km v el mrérroles r'. Km. ¡Cuánm me falta por andar? Al vender una casa cn Sn gano $300. ; Cuzlnm me custo la casa? S¡ han transcurrirlo x cifras tlc un año, gcuántos días faltan por Iranscurrir) S¡ : :u Ulullltrío cucsta Sa, (mimo inrportzrrán a wrnlzrerm: 15 sontbrr ros; ¡re somhrwrtxs? líscribzrw l: : . suma tlcl duplo dc a con cl triplo de b y l: : rnítad de r. : kxprcsnr la sumriicic dr: Ima sala : rectangular quc mídc n m. d: : Irnygn t' l- m. dc zmcm. Un: : r-xtvnsión rectangular dc '23 rn. tlc largo : :ride n m. dc ancho. h presa: su strpcrlicie. ¡ma! será l: : supcrlrtrr- de un andrade) de x m. dc lado? S¡ un sonrbrr-ru rzumt: : Sa y un traje Jb, gctrúnto innwnnrin 3 Mnnbrrru y' G trajcsi. gx sombra-ms y m trujm? Elscribusc cl pmducu: :lc u+ b por x+)'. Vrurlu (x+l$) trajes a md¡ uno. ¡Cuántn importa la venta? Compro (a ~ ã) ralrulltm : a (x+-l) hollvarcs @da uno. gCuftnto import. : l: : rutnpm? S¡ x lápicus ülcslall 7.": suma: : , muinto cucsta un lápiz? Si por iv: rmnprn u: kilos dc azúcar. (cuanto import: : un kilo? : iv rumptalt (n~ l) cahallos por 3000 rrulurtcrt. gütánto ínrporr: : url. : cabullo? (lutrtytü u sombrcros por x soles. ;A cómo Irahrla salido cada surnlnrq. . sí hnlucr: : cunrprzrdu a numas por cl mismo previu? L: : »uprrtlínlc dc un campo rectangular es m ¡n! y cl largo mitlc H III Exprtsar cl ztnrzho. S¡ nu tre: : lu tccorrido x -l- 1 lim. cn a ltorzrs, gcuñl cs su vclocítlnd p-n lmra? 'lcnlu S: : ) c: ›ln: ': Sb. S¡ cl dim-ro que tt-rtgo lo eurpler: Indo rn compra: (m ~-2) lilrrm, g: : cútnr) : tule : :tda 111110? 1.: : r-l piso lmju : lr- un hrrttl hay x habitaciones. En : :l : segunda nao lmy rlultlc número dc lurhitzrcitntr: que eu cl prírrtcra: cn cl tcrccro : r lllllllll rlr- 1.x: :¡: :r~ hay rn v! primero. ;Culturas hitbilztríorrtt¡ Limit: nl hotel? Prrrlm Iicm- : r snrru: Jllílll tícnc I: : lr-rrxzr: : parte dr: lo dc Pedro: Enríqur- I: : num. : parto (lvl rnplu dt' lu dc Pedro. L: : sum: : : le ln que tícncr: lu'. [I'M v: rncnnr qur mon ultrrw, ,gCuánto falta .1 esta suma par: : srr igual r: 1mm- Hrrrra*
  14. 14. 28 an. . w. . NOTAS SCBIEL EL CONCEPTO D; *ZUMEHO El uincepto de número natural [Vénus Aritmétia TeóricoPrácticzt, 33), que . satisíace las ex¡ cncias de ln Aritmética elemental no responde : t ln gene talización y abauacaón características de ln opcratorizt nlgehrnica. En Algebra se desarmlla un cálculo de vnlídct gcrwrnlnpliatble n nual~ uier tipo e: ' de número. Conviene pues, considerar cómo se hn ampliado e campo de los números por l: : introduction de nuevos entes, quc sattsfnoen lar lcyes que. regulam las opcraciones iundamcntales, y: que. como veremos más adclnnlc, el numero natural (1) no nos sirva ¡inm cicctuar la resta y l: division en todos los canos. Basta por el momento, dado cl nivel matemático que nlamaremos a lo largo de este texto, explicar cómo se hn llqçttln al conde rw de número real. an hacer más comprenslble l: ampliarión del campo de los nutrir-ros, adoptztremox un doble rriurrio. Por un Indo, un aiterío histórico que nos bag: conocer la gradual : tpariciún de las distintas clama: de números; por otm. un criterio intuitivo ue nos ponga de m. esta cómo dertzts neccsidndes matc- rialca han ohligago a los nmtemáticos : t ¡Irlmtlurtír nun-or entes numéricos. Este doble criterio, just¡ cable por ln indolc tlidsltztica de ate libro. ¡iennitirá al principiante ultnnnr una ctrmprveusiñn clara de] conccpto formal (ztlxetraiclo) th: lot numeros rules. LV. HUMIQU íÍtPlLi-íü 't' Ç'. ?HM/ HRS STÂACCIUNPJIIO Mucho ante¡ de que lou gde-gos (Fndoxío. Euclides. Apolonio, etc. ) litarnu ln aistcmntiracíón de los mnocimicntos malüllálitm, los habilonios (según mueutmn las tahlillns cuncifonnes que datam de 2000-1800 JLC. ) y los egípcios (como se vc en cl papiro de Rhind) oonocínn las lrauíones. La neccsii-td de medir magnitude: continuas tales como la longitud, el volumeu. el mao, cuz. , llevó al hombre ; t intmducir los númerm fmeciomrios. Citando tomamos una unidad cualquier-a, por ejemplo, l: vara. pura medir una rnztgnitud continua (niagnitud escalar o lineal), puede ocurrir una de esta: dos com: que l: unídad me mutcnida uu número cntero de veces. o que no este cnntenidn un número cntero de veces. t? ) Iin el primer caso. reptesentzmos el resultado de la medidor: con nn número entcm. _liu cl sc- gundo entro. tendrcmos que fraecionnr la unidad elegida eu dos. cn tres. o eu cuatro partes iguala-s: de este modo. hnllaremos una lraociót¡ de la unidatl ue está contenítln en la mngnitutl que tratamos de iziedir. El resultado de cita rima¡ medición lo exprmantos con un ¡nr de rulmerm enteros. distintos de caro. limitados respectivamente numerador y denominador. El denominador nos dará cl número de partes en que hcmos dividido la unidad, y el nume ratlor, el número de subnnidades mntenldat cn la nrngnitud que achamos de mctlír. Sutgen de este modo los números Írziocionarios. Son números frac- cionarios 1/2. 1/3. 11/5. etc. I) P. L G. Dirldrlcl (alt-rain. lllllfr-Iabil). hu tour-rula: : que no n runtrurlnntenw inúiir puma lc ampliar t-l muncpm de numero numml. y: que -tngtln tl* cualquier prinrlpio d( la uma : lu matemáüta pur-h: demoraram por medio de lua númtroo nalurnlu. (13 Eu 1:¡ ¡nractltn y hzlrlnndn em¡ rigor, ninmma medida resulta cxauzr, cn raro: : : k t» ímperlmo d: nuestro: lnuvumcixtm de medida y dr nueumt ¡erllitlm : um: mu¡ . - n* tulurnn 2*) r - . ›- . . mm_ 'Ízxfmr 'gltcdspn 'gúrncrm lracuonarios It» que nas per d_ _ _ó l l A _ u. : um n int-naun. o [oque m lo mnum, mu¡ tvist n en : t tua cl drvtdendo no cs múltiplo del thwwr. "HHOSCÊSÊEI se Vicent : POSIUÓII _At _lot numero¡ fraccionarios tentamos los_ ml _ . _ q po emos dcümr como nquclltn que cxpresan el mcmmr dc um¡ div um exacta, como por ejcrnplo, l, 2. u. ctr. . 5:5_ n14 n¡ 0T' ! IIIMTÊÚ ÉZ-KCÍCWÀL 'u' LL NUNtiIIO lilRIrClOHAl Síguíendo el order¡ história) que nos homo; tmudn, vzutms : t vz-r zum. .. wind: : y_ cómo . turgicrmt lua números ímteio mes, meros Êrlífâífiiilf 'E2 ÊÍÃÍZZJ. ?ÀFI'°. F°U """"°“ ã”-"°“°'°-“ '”¡"'“° '°“ ¡urnmír a rímgorà dc 53mm 540a ce a' nlmtem tico. estuu dt. /Itllt-'rtitt . .n › mmmpmr h lvl-dó" tntfé S l d: .d. .). e (ftitlllrllllltlllovdt estos nutrir-un, M s ¡ard-c- dc Chen: :u: Acên cundradruy l: : tltugutull del lnlllllu, "m. dmnáwú gmmémcmlnmlê( u JÍL/ çuayçràtreo de la escuela pu Fuclidcs C100 AC) cttutfó q É '. ” " 7' e". w" 'nach' 4' , ~ - --- - I_ eu ti Llbm X de sus Elcmcntna". ll('ll. tl I -Igupllutlqs que : tl ser medidas no encontramos nirvgún númcro cntmt¡ n. SELLnQQLÍÊhESIIÊIã_lllillínlluqci 3:: : llntuztn incntrtnt-nsprahIt-a. v. E. _ l d l _K _ tr u¡ cs nrngnttudcs se Ilaman trracronalcn. ~ - ¡Lnrp os e tale: _mngmtudes um lzt relación del lado de un twmdnult; run lu tl¡ mil de] mismo. que se exprexn mu c-I númr-m írrarinhnl VC. : . L- : _nlilãxzvttdc 13 circunicrcncin, :il diâmetro que se expresa con l. : Im. . 'C (i l " l D 'xxx (Í = rir/ vz v mw. › à D = r/ ¡ávrufr-v» : 'I ' “V , - (Í “um / Í L -n ~ 3.14159_ _. -l upon! ! tistemitlcnmenre Inn n varia ulm ln¡ naum symmelrvu. !um uu l* nm Irratiortulus. Eudída los llnmo uyrnnnrtn-r. l'| mai» a. - (ue em u Wim", 'W 5mm"" m' "mami 'i m" "dm" _m_ . a I'm' ¡man! wma* nnlnêrtui ('01 lrruunulrt) no tmlun aprenda Im tlnÍKIulnn _lmhm_ u_ _vmhàxü armlàú-c cr. ” . a. a 'tñntluur eruplrb tmunucnuunhulu c lmmnlnrn. t- -Iw *ni-tr Lmlitlrr 'unuiín n. .i. .p. ;.. ã"í” ( ~ um' c" "j" "'"'""°“ 'k “" ”°"“'"'“"" w -v- uniu v tm u', h . l 'dd d -nelratamulu r ln-ntnonnlh, nl n-nur ! ngm v : hmm r¡ n c talnm (veyhum), uuda por Eurlitlu l-lulr : :nor n- »min ! Jú u ln lu t de Intl¡ II Find ai¡ ' ~ _www "uam". n' n n. ¡urcvnltxrnmltn a¡ nuesrrm dun- cl non-mm . h-
  15. 15. ao como mmccucnda de 1a introduction da: lou números inadonalu. con- ¡íder-. nmm ndonnlu cl amjunlo de los números funcionarios y cl conjunto d: los numeros cntcrou. Dclinirnos el tnúnxem racional como : qual número que puede expresane como ancient: de dos entctos. Y el número irracional como ; qua númmo ma] que no puede cxprcsam como cl oocicnlc dc dos turu-ros. Llamamm númuu rule¡ al conjunto dc los númcraa ncionalu c irra- donales. LOS NUMFRDS POSITIVOS Y NEGATIVOS Los números negativo¡ no lueron oonocidos por lws matemáticos dc la nnrigücdad, alvo en el caso de Díolznto (siglo l| l DIR), que ou su Ariumíúcn. a1 explimr cl produtlo de dos dilcmndas. intmduoc un númuo (011 signo +. En el siglo VI. los hindúes Brahmagupl: y Bháskara usar¡ los números negativos d: un modo prácúco, sin llcgar a dar un: : deliuición de ellos. Durante ln Edad Media j¡ el Renuimiento las matemático¡ mlmyeron usar lu! números negativos. y fue Newton e] primero cn compmndc! la venladcm nalunlcn de eum números. Posteriormente Hai-rio: (15604621) íntrodupo los signos + y - para caracterizar los número¡ positivos y negativas. _ . La signíficadón de los número¡ relativo¡ o con signos (pouums y nega- tivos) sc oomptcndc claramente, cuando los utilizamos para represcrurzr el resultado de medir magnitude: relativas. ea decir, mngmtudcs nlyas umidade¡ pucdm romana en sentidos opucitos, tal como sucede cuando trataram de medir lx¡ longirud gwgrálica de um región determinada: 0 de &XPFEWI 431 grado de temperatura¡ de un lugar dado. En cl _primer (luso. mdçruas' hnblar da longitud este u oeste (ou respecm a un meridiano fundo arhitmrumucnle (Greenwich). En cl segundo tam. podemos nelcrirnm a grado; sobrc otro o grado¡ bajo cem. Convenciomlmcntc íijnmos los nfnnerm positivos o con 55m, .t. m um dirección, y los número¡ negativos o con signo -, cn l: : duro ción opucun. _ _ S¡ sobre um seminal: : fijamou un punto cem, a punir del ! EVIL han¡ Í¡ dcrcdu. señzilamoa punto: que_ tan _um detgnmnada umdad. nos rc~ sultan los punto¡ A, B. C. etc. SI sobre u: mrrm¡ scmlrnfcla. R_ pm? " de¡ “m” sem (llnmndo nrigtn), procedem» del mimo modo hacia la nqrnerda, teudre- mu. los punto: a, b, c. etc. S¡ convcnimos en que los punms la nunurtcta Indl- cadoe I la dcrecha del punto com rcprcscntun números poslllvm (A. B. C. 019)¡ los punto: scñllzdns a l: inquieta: (a. b. c. cuz). :: macular-ln IIÚWM negativos. b a _A I¡ C _à _1 n .1 .2 Ta . .o c 3 Históricamenrc. los númuos negativos ¡urgcn ; um hacer po siblc la uma en todos lou casas. De em: modo, la mula ac convicrre eu um¡ opcmción inversa d: la suma. y u: hace posible rcsrarlc : n un minucndo menor un ¡ustraendo mayor. um: n _um_ m m Luuvhc- 3¡ Lm números y los simbolos litcrales ncgitivoa se diuínguen por cl signo qm' llcvan antcputsto. Los números ¡xütivou y su rvptcscntación literal llcvau «l signo +, siempre que no íníáen una cxprcsión algehrnica. El número (tro. Cuando tratamos de aprehendcr cl ooncepto de mlmcm vmluml, temos nómu éste surge di: la companción de oozfuntos cquívalcnm 4. u-nnlinahlc¡ entre si'. Por extension¡ llmnauiros conjunto a que tíenc un . rolo n lrlllclllo y que se : cpu-mata por cl número' 1. Akon, consideramos cl númrm mu¡ rumo cxpmión di: un conjunto nulo o Vüd0. c¡ dnir, un conjunto qm- mlctc di: elementos. l'n›r otra parte, c¡ cem rc : :escuta un elcmcnm de . separzrción cnm- Im números : negativos y msitivus, c modo que el mm a mayor que nlalquirr nnúnncm nrgatwo y menor que cualquier número positivo. EI siguiente diagrzr : r nos aclarar¡ las dísllntas clascs dc número: um lux umlrs vamos a crnbajar: N HD1110! REAIJS LL'. m. m3; DPUXACIÚIIES fLIriDAhH-IlT/ JÍS ' "CALHGL HLALES I lrmus visto surunriamcntc cómo n través rlel curso dc la historia de lzn vlulruvhlticns, sc lu ido ampliando suotsivamcntc cl tampo de los númcrm. hm. : ll<'¡; ¡Ir : nl conccpto dr: número real. El camino rtcorrido ha sido. Inun www, cl gcoméuíco, que siempre drscmbocn cn 'ln Arilmélita pura. formal; nl! n vucs, cl camino puro, formal ha inicizltlo el recorrido para dcmnlnnrznx n. lu intuitivo, cn la geométrico. Como t-¡ctnplos dcl timer ma, lcncmm 1› . uu-rm in-. ucinnzrlcs. introduzidos namo nwón de segmentos em¡ rl wiuptixill) dc rc rcscntar magnitude: inconmcnsurablts, y ue hacer¡ pusihlr . ixplrxióu tlt' rnsulrado dc la radicaclón ínexnuzr. Y tam íén, lou llúlllrrn¡ h wiunzrrius que surgcn para expressa' tl multado d: medir magnitude¡ mn- rwwr-. ilnrlalcs. y que lmccu posible la divísión ínexncla, Como ejcmplo dcl rw . uutln mw. están Im númuroa negativos que upar-can por primera vu connn r um'. dc ccuntjovlm, y haccn posible la rmta cn ! adm los rasos, ya quc cuando I mmuvmlo cs "Nthor qu: cl sustracixdn esta opcmción carece dc . sentido umnlln rrnbnjumna mn numeros mturnlcs. Más unir'. 01H13 números ncgativos m Lumn) xcrvirán para cxprcsar los puma: n uno y otro lado dc un: : recta . um Iumlm. tn pn-Irnxínncs (lc pmfundímr ¡nteulsnuurnmcntc cn cl campo nunnêrícn. x num ; n rxponcr las I 'os íonnalcs (um cs, que no Iommi cn cuenta ln mu» 1.¡ «lr Im númcrm) c l: : numa y de l: : Innltiplícación, y: : quc ln. ; (lc-ums opc- v » »mn ! nudnmcutnlrs pimlrn nxplicnrsr como lnvrrms de 6mm.
  16. 16. 32 mim; la division. h lendnciócn, h logatitmadón y la radiudón. (Ionvícnc ir adaptando l: memalidad dd principiante : nl carlcter formal (abstmcw) de um lcycs. pues cllo contribuirá a 1a comprcnaión de los problemas qu: ¡ultrríonucnlc le plnntenrán ! as matemáticas . superiores. Por otra parte, cl conjunto dc estas leyes formales constituirá una dclinición indifecta de los números males y de las operation: : fundamentam. Estas Icycs que no ncquicnn . dcmoslnción, puc¡ son de apmhcnnlón inmcdiata, se llzumnn nxíonms. l(. UALD. '.1« í Andam: ele a= a. H Axioma : lc ruipmddad: s¡ 0:11, : mentos que b= a. IH_ Axiomadc transítividud: ›í n= b y b= c. tencnms quc a~ c. . um. w . '.u1c¡›. ;vr= n. Axioma dc uniíormitlatl: 1:¡ suma de dos números cs siempre igual, cs decir, única: asi, s¡ n= b y t= d, tcrwmos qm: u+c= b+d. ' Axium¡ de conmulatividad: a + b : b + a. ' 1 i Axiomn dt asociativhlatl: [a + b) + c z Axioma da ldcntidad. o módulo dc l: : n na: lmy nn número y sólo un númcn), cl erro, :le modo quc a_+0›_0›c~ a a, para cua| quicr valor dc a. Dc ah¡ quc cl cera mcilm cl nonnbrc de cltmcnalu idêntico o módulo dc 1.1 suma. -I« (b -I- c). Jumil' Lí-ÇIJLEUL* w Axioma dc unifonnítlad: el ¡mzducm dc dos números cs iícmprr igual, cs decir, únim, an' sí a= b y r: d, tcncmus que ac= bd. H Animus de ounmutalívidatl: al: = bu¡ I I f Anicuns de anotintivídnd: (ab) c* = n (bn). I'. . Axioma dc dínrílmtívídnd: mn ! aspecto a la ¡umn lcncmm que aU¡ -I›t): ab+ac. v. Anima: de inltntidutl, o : nódulo del producto: hay un nuúnuem y sólo un número, el uno (1). dc modo que a . l r: fa¡ = a. para cualquier valor de a. Vi. Aximna de existencia del inverso: rn Lodo número real mu) (a distinto dc nem) cnrrenponde un número rea , y sólo uno, x, dc modo qu: ax = I. Em: número a: sc liam: : inverso o recíproco dc a. y se represent: por I/ a. um w , Tricotomin: S¡ Icnemos dm vnímcms male¡ a y b : No ; mede hnbcr una relación. y sólo una, cmrc ambos. qur a> b; n: b o u<b. H Monotonjan dc Ia : uma: s¡ a> b lcncmos que n+c>b+a o w w Monuumía de ln mullíplimción: s¡ u > b y c>0 lcmzmos que ar L» hc. 19.5'. V” *. D! tíñllYHllllñ/ TJ I Si (tucanos dos conjunto¡ dc números : cult-a A y 11, d: mmln qm- indu mimcm de A cs mcnnr que cualquier número dc B. existirá siempre un númcm va-. nl c mn cl ut: sc verifique . rg S b. cn qm: a : s un númcro quc t-«A x (futura del comunto A. y b es un numero quc tam¡ demm del conjunto n. 4 3'» FUNDÀMH-ÁTAIVS CON 1.05 NLÍMÍROS RILLTIVOS IVMÁ DE MIRIM¡ UIIÀÍIVUI En 1:¡ suma o adición d: : número¡ relativos pndcmmc m em: mzmn usos: sumiu dos Inúmeros positivos; sumnr dos números ncga , sumzu un ¡vn›íliru› mn otro negativo, y sumar cl ccrn non un número ¡nsílívo u ¡vqçunw I) v V~IHuu¡u, 1Aw ¡lcgla Par: : suma: dos números posilíros se nuccdc : n 1:¡ suma . uilmétím dc los vnlnmec nlmlulm de am números, y al . n uhudn obwnido sc lc antcponc cl signo VI . Así Iltlltlllox: (+4)r(0'. ') Pudcmm representar la suma di: dos números ¡msílivm ¡lt! síguirntc mmln ) um. , . s. _m . ,,, ,_L, Rcgla Pam sumiu' dos nfunems : ut-ganhos se ¡nnocdc .1 ln suma . uimnélica do: Im valores absolutos d: : ambos. y a) resultado . .hn-nulo sc lc nau-pont- cl signo -. Así tchctnas: (-4)! ( 's Pmlcmm representa¡ 1;¡ suma d: : dos números Itcgulívo; del signirun- muda: Í! naun: : Í
  17. 17. .u, uma A) suzu. ; de un Iuinlmn punilhw E "ll" '““›3^'"¡”" Rtgln _ _ , - ( 0 l l : un nnúuicrv 1'°§“¡"°_v m! “immao "cg-atum ' , (4'6) 'l' " " ' ' liroz-[xllcàlêltmltllnr ! ai diícrcncui nnmzéuttjta dâwlxtiífdgaxff: (« 6M- (-l« y)~ -4 | :ululos du ambos numcroà, Y a¡ tem” ° o (_ c) 4. “(3) : o 1 . . , . | ú - _ ügüàrtií: ::: ::: $:: :'; ?1:: :;. .&": ::: .&: '.; °:. .:: .;“: , (wm- ICHÀEYI ' ^ 1. Así tentamos: f w í "" _ Pod neuem: : la tum¡ di: un número positiva y mm Iicgnuvu dc emma tcp . - síguícmu : nadas: . . ú _ _ . . d¡ un número positivo y un u mu( Rcpresentnciói¡ grálira de la sum: : . _ . ' ' ' l almoluto : ue cl vicknuvo. 5mm_ cn que cl numero pmmvn ucnc mayor vn trr l -W .4 a_ . A -6 *f n -1 ' * f¡ ' j¡ f, 'a S. " 7': .a T4 s , - t. u¡ , uma de un ¡uimem positivo y un núInf-'YO Kcpmcmamón gáílul d! ! . . - ›o. itivo: knüvu, en 'll-lc c| númcxo nCK'-““'° “m” maYm' “m” “hmm” quc "l ¡ q _ . _ ' ' úmcro Rcprcscnucnón ; gráfica dx: ln suma ! k un número positivo un n ogmivu eu quc el valor ulnolulo de ambos números as ¡gui! Í ¡IEUIA s 1-_ C-JNCYFTO n: NUMUH) 35 4) ~, ,., ,¡, . . L- ! Pyll x m. numa-in pnairím n nltjqzvlívn Regis La : uma de nero con cualquier «número positivo o negativo nos dan¡ cl mismo número positivo a negativo. _ _ (+4)+0=+4 Así lcncmoa. - í; (_ _¡›+0:_4 En general: Ix+0=0+n= a En que n puede scr positivo. negativo o nulo. ¡usnwam n: NIMIIOS lzunvas Llamamos o ucsto dc un número al mismo número wn úgno civmtnrío. sl, dccíuu» que ~m ts opucsto dc +m. Yu vimos cn un caso dc la suma que: 7' uv m) -| (›- m) u L¡ sustrzimión cs una opcracíón inversa dc ln suma qnr consiste eu hnllar un número x (Ilumado diferencia ml quc, autuado con un número dado m, dt un resultado ig : u otro ¡iúmcro n. dt: mudo que se vcrífiquc: , 1 x+m= n (l) Llnmando m' al opucxm de m, podemos dclcnninar I. : difunmci: x, :: umnrulo cn ambos micmbrm dc la igunlilnd (l). cl número nf¡ cn cfccm: f / x+m+m“: n+m' II” S¡ observamos cl primer miembro do: esta igualdad (2). vacinas que : aplicando cl axioma dc axociativídnd lcncmol: 'n | ref-tl). y' como x+0=x. lendremos: /" . x-: n-f- m' (A) qm- m In que queriamos dcmostrar, ea dccír, quc pura bailar ln dilutncía vuuc n y m basta anmarle : i u el opumo dc m (nf). Y como Iremos vism qu: : p m¡ 11411.11- rl oplltslo di: un número hasta cimbiarlc c] signo. pmleums enun- um¡ 1:¡ siguiente Rcgla (+s)-(+4)= (+s)+(-4)~ o -l (+s)-(-4)= (+ a) +(+4); -o- [2 (-3)-(+4)= (-5)4 (--^l)'- - |3 (-8)-(-~1)= (-8)+(+4)= ~| Pam liallz-r lz¡ difertncia : nm: dos nú- nwlm relativos sc suma : al minuendo el su» II amido, mmbiándolc cl signo. . Mig _ / ' ¡INIIIINVACMN IIAIICA D¡ | A ¡UHIÀCCIDM UI NÚMEROS IIIATÍVUI I'm mrdiu Alo ln imcrprctación gmmélrim d: 1:¡ silstmccíón dc ilúmcros l ranma_ PLKICÍIIUS cxprcsnr lc¡ dísluncia, cn unidades, que hay mm: cl punto 4p** arputsrlll: al minucmdv) y cl puma quc reprmcuitz¡ : il susmicndo. ns( como unido (negativo o positiva) d: csu distancia.
  18. 18. 6 l Par: : cxprcsar la diferencia (+ 4) - (- B) = + 12. lmdrtnlüô¡ , , ' r f» . re _a 7 -e 5 ~4 V! I FIGURA I A ¡IIIJIPIKÀLIDN D¡ NIIMIIDS IHAÍWE Rcgla El producto dc dos números. relativos se lizilln rnultiplítnndo los valores ibmlutos dc ambos El producto Iinllado ! levem signo positivo (t), s¡ los ¡igiios tlc : tmlios [actores son _tgunlcu llevatra signo negativo (-)› 31 105_ ÍM' tom tienen signos. distintos. Si nun dc los factores cs 0 cl protliicin será O. ido opcnmos miuslmlioloii lítcntlt-: s i-l-Z* (+3) = | O (m ' 33 producto c¡ siempre indicado. bien en In ¡55 l-g¡ = + Iv (m L- niia uxh; bicn cn lzi forma mb: y inzlss “HH (_m _ , _ 00: usualmente ab. Í 4._ a (+3) = _ . -; A í _ à¡ . . l-Ll si : :lente ctiadro es un ntcdín de N* l l** = 'WÊ' l " V": cuida¡ láctlmeiite lzi lei' di: los signos cn L1 l w 7 r--i l 1"' i “ iniiltiplivzición dc los números relativos. q” IIIWIBINÍAGION @AFICA Ill. 'IDDUCÍO DE DO¡ IIUMQOS IELAYWD¡ | -j1 ¡uoduçm d. ; dos ¡iúmcms relativos puede utpresnrn: _gcoméuitanurntc mino cl ; irczi dc un rectângulo ruyo largo) CU! !! 3nd"? Vlf-fm" dm** l"" . urubus nútiicrrxs. .› est: : . iron podemos : itrtbuirlc un valor positivo n IWÇÇJUVÔ. : r- w. .. , « Viguj' m . . 37 sçgún que sua lados Icrigan valores de un mismo : unido o de sentidos dis- tintos respectivamente. -i ; a r y . nl -: ' 2 l m. l _mui_ l FIGIMA 9 PUVINCIA bl NUMIIM Ill-LINO! ¡Juuuiuiw POIEIICÍÍI de un número relativo : il producto . ii liuimllu como ! actor tantas vccu como Sl' quien. S¡ a un número relativo tniilquiern y n>1 es nn número 'V u. .iuml, tcndrcmm la notación a". que sc lei: n elevado a la n'= a.a. n.. . . . . ultima potencial. i- indica uue a debe tomnnie como Íztclur ri r il , Ail: Lu I. : nutncióti a"_x. llamamos potencia : il producto x. base : il u-'H u- : pic tomamos como Ízictot o, y exponcntc : i ii. que nos indica a _ z l mm qui! tlebcmm tomar como ! actor a a. A la opcracióu dc hallar 4 “L ¡mulucto x, ln "amamos pulelidaizión o elevzrdón : i ¡imencizm Fjriiiplti: I-. u me cjemplo, -l u lzi lume; 5 es el eiipoiiente, y 1024 ea la potencia. KTHIA¡ l. : ¡u-It-uri. : di: IIII iifimciu positivo nicmprc cs positiva. La po" 'ai' - . i A 4 m «lv mi iii'imi: i'i› negativo sui-á ¡xisiliva ›¡ el cxponcnlc es cnlcrti 5- l| l” V ^ l ili'; ,'tlll'. l s¡ : :l cxponcmr: cntcrn es impar. Mi: w _ ( ' _ , , p,
  19. 19. 3g ; lñlii-TA Right Pzn-. i multiplicar dos polen as ilc igual base, ix". :i' rlrvzi dich: : ! me a ln poicna. : que rcsullc dc 1a (guiam ~ um - : iii . . 72s) na «lc los cxponcnlts iespcctívos. Ejrmplo: l ! M1670 Bl D06 IOTÍNCIÀS DI ICIIAI. !ASE I “rivn TDICIA D( UNA ENERGIA Regln Para bailar lu ¡xiicnda dl: una ¡mcncia se xnnl- (u")” fn"""* m** ›líc: m lou exponcuits y se mamicni: li¡ base pnnn- Y (_ 22)": -. guia r g4 _m / . a. Ejcmplo: à Hiy que ponei special cuidado cn no cpnlun- r la pmencin dc um ¡mtenciz con la elevtiuón d: : I númcro a um¡ potencia cuyo expoiicntc. a ln_ vez ! é aíccuido por otro cxponemc. Así, no cs 1o mismo A' 3)* r¡uc(«1*"). Ejeinpltxu _ / pm' _r 4*"" : 4" r 4091¡ (N) : 42 -= ' ~ 4* : ¡issiaa VIIWII n¡ Milano¡ minima¡ Yi¡ vimos. al (miar do las [eyes fornlzilzcs d? ki multipliaición, Iilll' dc . ucrdo con cl axioma VI (cxisxL-iicizi del inverso). :i todo nihncrn : cal rui-O, nrresponilc un número líflli, y sólo uno, x, da: mudo quc a: Em- núv . em x sc llainzi inverso o mcíprcxn de u. i' sc represent¡ pur _ _ FJ inverso dc i -l : as +1 EI mvçrsu u_ rçdproco dc nn numcm icla- E¡ ¡nwmo m_ __¡ u A _l vu cualquier: : diitinlo de (P10 ucnt su niisliio _ . d , T l m0 ; i tl inveisn 1: A» . b 1_ _, ü , . . El invcuo dc -l-g. cx + 2 l. .i diriaión cs nn: - uycración inn-cru¡ til' lu multipliczitión que Lomisti: l hnllar uno di: Im Ínclorcs. cunoridos cl otro façior y cl producto. lis dc I, :ido el (lividcndn d y ci divisor i1' hallsir el cucicnlc r. de modo qu: : s¡ vc- Íiquc d't: d. _ _ kecmdainos quc est: : opcraciàn sólo cs plltíllllt! si d' c¡ disiniixi du (em. Aplicando cl axioma (Il: txislrllfiii dcl inverso. icnemos que: l/ d' (Wc): l/ d' d , rir (i'l'c): (l, /d' 4') (: =(+ 1)r'_c . -= l/ 'd' d De: lu cual dcduciinus ln . síguícnuz Rcgln Para dividir un número nxalquicm d r otro númcro distinto ile rcrp il'. Illilipllfilllloí d por cl recíproco d' (l/ IV) l wcicntc que rL-. nilur scrá positivo i los dus nú icms son dtl mismo signo: y negativo, .si son dc signos mnuarios. - rum; | llíl + Con cl algun-nu: cuadro puduinox recordar Íácilmuule 1:¡ __ ciilw - cy (lc Im signos dc L1 div ión mn núiiiitrus rclzilivixi. / | A ciiiic Sabemos qui: : Eliminando quulzi: Nau: :: amar ll FJNÇÉNEU i¡ “me” 3g @hora qui: cauidiamon Iii divísión, podemos enunciar (fps : :um (Ip ¡_. ulevnción : i ¡iolenciii de un número cualquicn. 1) Si un Ilúllltfo ciinlquicrn ri-r-O, si: clcvn : i ln pomada O os igual n +1. Así: 2) S¡ un númern cualquier: : avi-O. si: eleva : i iin cxponcmc ncgaúvo cualquier: : -m cs igual nl recíproco dr. - lz potencia a": dc m" rxponenlc positivo. Así: 3) L¡ divisíón dc dos Lcncins de igual biiw es igual . i l: : bam- elcvadn a la potencia que dt Ia ditam-ncia de : Ambos cxponizntcs. Así: UNIUOIIMRBAII Bl ¡A! OFIIACIOKB IIINDÀMÍNTALB CON NUMIMIS IHATIVQS H Hcirios visto_ cn la¡ prqracioncs mtudiadas, a saber: suma, msm. multipli- hlrlull, JIJICIICHILIÓII y divnsión, que sc cumpli: cn todas izllns cl axioma ilc unilarmidad. _Quicrc : :no ngm 'car que cuando soinewinos dos iiúincros rclii~ in-us Zl culll(j| llv" _ d: : his opcnilsioncs mencionadas. cl resultado m uno, y AÓÍU iin-u. cs dccin_ único, Sin embargo, cumulo exu- -inus l: : raiz ituzdrzuhi de nn nunicm pmiuvo, lciicmm¡ un iesulmdo doble. I'ma; como ven-mos, al cstudinr iJ i-tmicrión dc las rniccs. un número positivo cualquier: : siempre tiene dos Liicm i| «~; :_r.1nl0p: iI. iiiia pmiiivzi y ou: : negativa. Así: V171.: - : a' porque: : (qi 2T = (+ a') (+ 01'): + a ("“'): =('“°')(""') = i 4 ilcl mismo modo: v + B? ! = à B porque: (+s›= =(+a)(+ s): +64 (-H›*= '-8)(-8)= +64 “MLIDAU UIÇ AMPLIAR LL CAMPO NUMPHICI- Lm : iúmemei : calm no rjermn l: i osihílidnd di; - : implizici/ m de] campo numérico. Tal poslbilidad si: mandem: aliam: par¡ la introduction dc nuevos . nu-i. siempre que tales entes cnmplrm lina ! eyes formulas. lhnmi du las líni as ii: Calc (cmo, cl _cstudiantc todavia sc enfrentará con una nueva ampliación (iii miupo numérico. S1: : raia del número cvrnplcjo. que e; nn par de números ¡Lnlm cn un qrdcn_ -dcicrniínado y' quc está constituido por un inlmcm mal -, uu ximncm imaginaria. Con mim números poda-mos representar iin punto iimlqiiicivi cn ci plano En cl capitulo XXXII sc prcscnmrá unn discuiiión tiilpllll sobre estos n meros.
  20. 20. iii-A -il QQ EIEGL/ t a: : : :i-ii mai. ; : :uz-aux Para rumor dos o mia expmtiones algebmica¡ . sc cscribcn unas a mn- tmuauón de las otras mn sua propina signo: y se nduoim los términos se- mcjanm s¡ Im hay. l SLIM. ; DE ! AONOMIOS i) Sumar 5a. 6h y Bc. Los escribimos unos a continnación de otros con sus õa-Hih i prupius signos. v¡ como 5u= +5u, üb= +6b y Bc= +8c la suma scráz, ' El ortlcn de los stimamlos no allen¡ la suma. Así. 5a +6b+ ãc cs lu mismo que 5a + lic+6b o que Bb + Bc+ 5a. Eita ct la Ley Conniulmim de la suma. 3)) Snninr (IMI), 400", (Hb. 70h' y Gb”. Tendreinus: los lltivuon n uma. .., l¡ Arllmálka y ln Goo-iu- En Egipto, inn-nulos¡ unable d¡ Ian-nu¡ y ma. E» nl pagina h IMI-d, 60H40 al unit¡ Alinne¡ u. matutino¡ h¡ plana¡ valido¡ dal l¡- (1650 A. CJ, cl IlÂ! valioso y ¡irliquo documento Jo util ciencia nulcndlia. Sin alga-ela vl- nula-alii: : o iii-htc. nl prunlui emu miilllplc¡ 3a'-'l› i Mb” + n21) + Tab” + Gb”. : hu: n | - ¡ulüfnr bunduda-u Jd Nils. onblunar, u inclui-r d¡ csi-orkut de ! murilo "da. (ÀPITIILO (33) Li. Símizx O ADICIOJ c: una operation quc tiene por objeto rcunir '“' dos u más cxpttsionns algcbraims (mmandos) cn una sola cxprcsión : ilgcbmim (suma). Así. la suma de a y b cs a+b. porque esta última expresiói¡ es 12¡ mu- níón de las dos expresiunes algcbraicas dadas: a y b. l. ;- . mnm de a y -b ea a-b, porque: caia última exprcsión : :s la rtunión dc las dos CXPTCSÍORCS dadas: a y -h. (à) CÀÉLÁCTET* G¡ LiL DÊ L. -*~. SULAA. ALC" RMC_ V En Aritmética. la suma¡ siempre significa zmmenio, peru en Algebra ln . ruim cs un concepio más general. pues puede significar anniexiio o dis- minución, ya que hay Sulllílá algebmicas como la del último ejeinplu, qui: equivale a una resta en Aritmética. Rcsulia, putas, quc sumar un: cantidatl negativa equivale a matar una mnlitlad positiva de igual valor ahsolum. Así, la suma dc m y - n cs m - n, que equivale : i nslrir dt: m cl valor absoluto dc -n que c¡ lnl. Lai suma dc -Zx y -Ily cs -2x-3y, que equivale a restar dc ~ 2x cl valor : ibsuluiu de - 3)- que es lllyl. 40 Rcducicndo los términos ain't: +11ab' + iih irinujniilus, queda: ,Í, ,, .il Suniar : la y -2b. Guandu zilgún sumandn cs negativo, suclc ¡iiclnirsc ! ln - i «I--niin dc un ¡mréntusia pain indian* li¡ sunui; :isí: l. ;i suma scni: 30-20. R. ) Snmzi 7a. --EHL - 15a, Db, -4c y 6. lcndremus: - l Ari/ J)+(-15ri)+9b+(-4:)+8:7a-flb-15111 ! Jb--lc+H. :-8a+b--lr›H l Sumar 3a”. Emb, ~ 2M, «Éalh ; m3, - sb”. 3m' + : :ab + (- 2m) + (- ; um 1* ; ar 'l ç-; ba = :eu +31; - 2M -ãab +3.» ~ ; uma - ; ab ~ ; fin R. EJERCICIO IS *uiiiimii m. n. w dim, Rm. ': ; 434)'. -â-xy. . wi. i: tmb. -›l5ab. í 'a . z. -lI›. _1 -xju -llaqu s_ v-vñalu', -- sribc. iin. I' mn, -llmn. a l 1'. . H --lx*y, :x3 'l. 'l. Ji . ly #um -Êmm '""; “_""" -. n. h_ l H 'w 1 I; i Ii_ 1
  21. 21. n a ; em -m, --mm 'a', 52h, 363. -nt 'mn', -5m. 17mm”. 4m. 4;_ . .mau m', -4m“n. 5m'. 41mm'. -4m“n. “Bm”. sx. -u . -x. -6y. 4:. -GL 56|'. -7 ”. _IL "MM Ba”. -BÔÉ -x“y'. -5xy'. -418 7:7'. -3. 8:7'. 4a. sm-fb. -4. -b. fa. e. 593?? -a«= y. 5. 4x'. 4x33. '. 9x). -6:7. “ly”. -xl mb. sob'. as». -nua -m 4'¡- -Ê-*”- 'ÊW- 57"' "i'm Ê** 47*- L -smím 'tmn', vv? , 7mm a. -àm -6. 3 501_ _sunçlñ sync-l' and_ 5m# 1_ _MI_ 49. -f-x'. - -Z-xm '7y'› -íxw x”- 57”- -au -Ba u. -aJ sc. an. get. ;aba -l_o= b. 5m M. -àaw- ll. SUMA DE POLINOMÍOS l) Snnnr u-b. ga-O-Bb-c y -4a+5b. La : uma mel: indicarse incluycndu ' los sumandos dentro de parúntcris: así: /' Ahom coiommm todos lo¡ términos dc csms polínomios unos a comí- nuacíún de otros con su¡ propio¡ signos. y tcudrennos: a-b+2u+3b-c-4a+5b= -a+7b-c. R. Enhpráaümmelcncnlnmnelmpolinomiuunntdcbajodzlos ouudcmndoqueluuérminumnejnnmqualcnenmhmmuehweh mlumióndeàtcmtepuâmfolmunnsdeokmmnxmptopiostlpm a-b AsLhmmnmm-im 3°+3°'°' : e verifica de cn manera: /I '4“+5b - a+75-c. R. 2) Sumnr 3m-2n+4. camp-ã. sn-õ y m-n-*ir- Tendremus: 3m- Zn +4 6n+4p-5 B» -8 m- n-«ip 4m+l1n -7. R. »meu n: LA sum po¡ u. um: NUMEIICO Se hall: cl valor numérico de lo¡ : amando: y de Ia suma par¡ los mn- mos valores, que fijamos nuaotros. de hs Iclrni. S¡ la npcración est/ I m* rrccm. la : uma ¡lgebraica dc los valores numéricos dc los : amando: dcbc ter igual : l valor numérico de 1a suma. mu O43 31mm' &l-Jb-I-Sc-d, -7b+c-ldy-3a+5b-cypmbar ol tombada pnralvalnrnumétiaopuma= hb= zc=3,d=4. Tcndramus: Bn-Sb-D-S: - d: B- 6+l5- d: I¡ -Tb-l' r-4d= - 1+ 3-162-'7 -3a+Sb- e = ~3+lD- 3 = 4 5a -f-Sc-Sd s +1s-2o= T Ln : uma de leu values numéricos do los : mundo: 13-17+4 = O, igual qua cl va- lor mmôrito da la numa que Iotnbién ea cao. EJEICICIO IG llallar la : uma dc: 3u+2b-c: 2a+3b+n 7 7-7:: --471-6:: 10:-20)-~8z: -5x+24y+'n. 7a-4h+5r: : -7n~I~-lb--Gc. 8. -2m+3»- - 1n-8n1-8;-5m+n-]0, nun-p: -nr-vH-p. B. -ãn-«Bb : 7a-3b+5c: -sn-ysb-(lc. _ 5Ix-3y+5: -x-y-H; -5x+~lry-9. 10. ub+bt+cd: -hh-âbr-âcd; õab-k-ãboh n I~I›~c: zv+2b~2m -3u-b+a: . 11, ax-ay-az; -ãax-? ay-Liuz: -lax+9ly+ fv+q+r: -EfI-Gq-HJV: MSq-Er- 12. 5x-7y+8: -y+6-4x; B-am-By. i3. wznnrünm--Ixz fw-ann-ãmn: -àt-õnmülam. H 22-21-30: 66-4:: -a-f-St. lb (inn-ZM: ' -m-G . m. 2a+3b arm: : 8a+6;7:-9. IT. 2x-3y: 52H); 6x--4; 3y-5. 1B Ba-I-flb-cz 5041+: : -u-b-c; 7a-b›I-4c. m 7x+2y-4; 9y-6z+5; -~y+3z-6: -5+8x-¡! y. QO. -m-u-p; m+2n-5; ¡ifi-Gru-fei; zn-Lãyu-g_ an. 5n'-3I1"'-7u": -Ba*+5n"-9a”í "lla'+5n"+l6u'. '12 6m'- '-7m"”-5nr' '¡: 4m^"-7m^*”-¡n“'; -fnnn I | +3m- I ? +13ma›a, 'JJ nx+y+z+u: ~3x-4y~2z-I-3u; 4x+: 'vy+3z-4y¡ -Qx-rqqqgu_ : N «. ~›I~b«c+d: u-b-H-d: -2n+3l›-2c+d; -3a abate-d. 3h. MÕ-WIH-kd: rbc-rzcd-ade: -Ibc-znü-Hlvlc: -abc-scd-ab. 2d u-h: b-a t+d: n-c: c-d: tL-a: n-d. 3) Snmar : JxL-Jxy-O-y", -ãzy-&sxí-zyyi y _a).2.. .g¡y_9,, :_ Si los ¡Joliumnins que se armar¡ pueden mdenarse (on relación a una lclr-I. dcben ordename- codos con relación a una mismn letra antes de IIIIIIÍIÍ. 33'- -lxy+ y' Axl. , eu cslr (um) vamos a ordenar cn milan 6x2- ãxy-ãiy' : Ir-u u-Iulcrutc con rrlaciàn s¡ x y lcndrcnuxa: /' - 9:9- Macy-Gy' - l7xy - By'. l
  22. 22. 44 Ordenando cnn relación a: 1.1 n se tiene: 7_ . umuu x é) Summ- IN) - b* + ab', - 2m» 0- 4411;” + 20' y 503!¡ ~ dah¡ ~~ (id-WH - b' v IJ. Mb' + ab' ~ b' - 2a”b'+ 4:10'" + 2h' Saab - 60%* - Jah" - _N -Q 6a“b-B'a'*b*+ air" *v 6. R. EJERCICIO l1 Hallar ln : uma de: :Hx: -ãxq-xz; 1: 3:$;3|; +~níyilfgízlãitji: ffá+3x _y 53:7 23:14)' ¡E! ÍÍuaaxgÃüÉ -szbiaí-»rfaab-bg-zrà. k_.3:2'¡ 33.4.44: 'H -7x= +5x-6:,8x-9+Ilx= : -7x-H4-xi'. -¡= +3¡; 9+5_ 1.1 M-staá-õraüzaü-ü; ¡li-Tlfltzí. 5 _. ¡ ; _. - +5; 3 3-2 13 -x'-'+x-6: x -7x +. ›: -x*+ -. . , para -Izjxynn-l--irfã 3-57119-571". 14 m-M: 5a”b--1ab'-'; n”-7ul¡= -b-". z= +x +y': -5x*y+x“-y": 2x'-1xj”-5y”- -7m n+4n", ›n”+l'›mn= '~n= : -›u*+7:n*rI+ñn"- x'-x¡-l-x; x= '-4x= '+5: 7x*--1x+s. nl+n°+õl tW-SM-Hlí n“-u”-14. x“+x-9: 3x'-7x“+6; -SxL-«lx-l-G. : KN-n: aH-ã¡ 7a*+4u; ~Ba*-6. a 6 : ü-xiy": -5x*y+6›= y“: ~4xy*+7': -dñy - . xy+x”: -7y*+-lxy-x*: ñy'-x*+6xy: -6x*-4xy+y'. a°'~8nx*+x“: õrñx-ôaaF-: W: 3a'-5a°x-x*: u°+14ax'= -x“. -aatug-psnmnnw; aL-SamH-nü; -4n“+-la n-aanf-E 7a*vn--la: n=-6. : :ñ-x 3- 4; 2x' +3: z 3x'y°-4xy'-y“: :: M-ãxrl-W- a"+a: ?l-a'r›a'+n“-EG; Zigg-S: -a“-4a*-5a+6. " Ç «um -a'b+n'b*-ab': -aa-4-5a~z›-4a= b=: -aawmzaebuazm @ SUMA ut 5'0L5HD›'rllO5 com co *sctsnritu : = l ~_ , nr_, ¡a+¡; ,y. =n; -vIm9n«§~5mn'+n¡: :nl-m-Himnz: ~2m*-2m*n+›z“. a'-3a*'= ; '5a'"'+6a"°: 7a'*°~l-a"°; n*'*-13an"°. , u“°-n'+a'": -3a*“-a"'+n"°: -n'+4a'“-5a“': u'^"-n'*“+a"”- "ZCCIOÍ ¡. v'. !'. ':0!1 n Sumiu' : -x'+2y“-3x*y+3. -_i_: =y+§xy= °-3›= . -§›v”+§x›"*-5~ Tendrcmos: 58'- ¡fy 'l' 271+3 l I I '; ”'? +:*Y”“ r : ou ãr-s 1;#- ; x“y+$: )4+§y"-2 R EJERCICIO ll¡ Hallar L1 suma de: ^'~ -l= =”^'-§= =›= -ÀWÊ a n'4+§ab: -àaugbm -gun-gos. x* + âry: -Êxy +y'; - : :cy +31. * ; x1 - 23-3; - ; xy + sf; ;'59 +52 g3 1 _¡_g. __¡ ¡___¡_ x 1 -- ¡nLl-¡ab 3h”. ¡114 mnb+“b*. nuhl-; ab-¡b! l"" E** *E7* + Éh: -i-xy - Ex” +: -y”: z-xy -: -x° +34. u' - ; um + M; ;me _ ; um - 2m; 3.» - irc-b - gba. a w . a a a n I _r x| _¡: +n¡ ; x:1_¡¡_3¡ _íxà+¡x: ..¡x_ l 2 1 1 l l _ n. .- s: _J-- _ 2__. . ___- _ am _nm +; n . um3u+nmn “m, m¡ L_ n n! , x* + 2x*y' + 5': - ax' + 2x3* - ãxy' - &já; -âxay ~ ; x54 + 39.1_ 11 n_Ê¡! -_u. '_'2_L-_. 'a' *L “u” x ¡x+hx. :ix-fu: mx, 'x -l-ax¡ ¡x. -¡¡x+¡x-4. 2 õ . , l a 1 l l l l _nu_ -__ ; .___: .__ : __ . __ _ __ _a l na: ,x . ,u x _sax _xh 3a*+2a*x Aux'. _ . 1* rN-ahl-: r: ¡zñ-; rñ-âa; <; a*-ga”+6Z -ãn-G. __ l l _ B i . . l 2 . , l , n _yr_ _xuys_. _ryc__yn_ É”, _. ¡¡. ya_¡, ¡¡ 2x47_§x . ._; ),¡_ EIERCICIO l9 Sumar las cxpmsímlcs . signicntcs y hnllm' : :l valor : numérico dd resultado P-"il "=2. 5:3. t: l0. x= ñ. 77-4. m; -:-, n= l. -3:r~l~Gy-$; -x+y. n +3: -x= +1ox-3o: -Bxwãx-SO. _ -5x°y”-S+2x': -4x'+? x'7+ll]xy'. -~ n-H; -eun-a-: on: ~~20n+l2m-12, nx+cu-ab: -a1›+8nx-2trr: -ubi-nx- at¡ M; M*b+5-: I›= -h= ; -5a“-6ah? + sara-zon, 27ln”+l' n“; 4m xn'l. |.y! ~2_. _¡"I-C n*~| »m"“+9: m"" ' : HPV: ?Mnrlna im. ~ 714191114- ; PCH-FH ütll+'zã'*°: 'bxlll. HSM' l ! Hal ' Il hrñh, (tabu ¡)_¡; ,,[, u_¡¡_3,,2b¡ , "Aus, _,, ¡,, n_. ._. ¡:¡, ¡ “gnu ¡lHl-""l'l. l_II¡1ÍV.
  23. 23. . _ _ . J . .r v», .cum m uma v ASIIlA tipos-son¡ : nen-w "91014 ! is-v- (APÍÍIIW ; jm-A o sus-r _Accion os um uperaríón que (icnc por objt- m, dada una suma de dos sumandos (minnendo) y uno dc dios (Hilb- u-aendo). Iiallar ci orm sumando (Mm 0 díÍelcntini- _ Es cvidcntc. de esta dcfinición. que la sum: : de! sumacndo y la dife- rencia dum que ser el minucndo. . _ _ Sí dc a (Inínuendo) queremos resta? l¡ ísuslracndo). la dlfcrmcladserz a-h. En efecto: a- b scrá 1:¡ diferencia s¡ sumada con cl sustraen o rcpmduce cl minuendo a. y cn : feno: u- b -I- b = a. REGLA eEhzsiuaL PAR». RESTM; _ _ _ se escriba: cl mímlendo con ms pmpmu signos y n _continuariam el insinuando con Ins signos mmbiadoa y se rtdncen ln: términos saunepnles . ui Ina buy. - n" KADNGMXOS t) De -4 restar 7. l-ísrribimm cl minuendo «x1 con : m pmpío @PW v . n «uminnncióu cl suslracndo 7 con cl : :gnu mmhlado y 1.¡ : um scni: I. u vhxlu: H cs ls¡ diÍcrcncin ¡mrqut sum-Ida . .vn «l unILu-ndo 7 rcproducc L-l ¡ninucndu -41 46 -4-'¡= -|1. o uxlunnl alyãbnkn cy¡ . N¡ h¡ ; ido dm Indmumonn que n lu «uulonu da : :ÇIIÚI f' 4° Y '15 M' 9 F°"'W' la Ironman» la «mm-c contribuciúnÀ 4o lu qu¡ uqulcrn un : lombo-ia de 'malta-Joan iria y babllnnlo¡ al nano : :Matutino JU hi. DIN P0 “P010 O! " I'M- ” l¡ N¡ f 1,54,¡ g. . "um. dauilyada¡ hu muy poco md¡ uma conocpdón : bauru . u. In manu-nuns. 'Ili-? z-ál. : :nu 47 15)_ Resta¡- -ib dc 2a. H Escribimm cl minuendu 2a mn su signo y a (onlinun- v 'Zn r x mn rl sustrncndo = lb non ol signo cambindo y 1;¡ [esta será; !in rir-cm: :zu--lb cs la dííercncia. porque su- 211-4!) '1 : mula cun cl suuraetlmlu 41¡ rcpmducc e] minucndo¡ 3) Rtstnr 41H) de -ñaih Escribo cl minuendu -õa3b y A' runlílluaeíón cl susimendo 41H¡ um v! signo urambízido y tengo: !Min vs ln (Iifcrencín. porquc sunmd-. i cun "INI -i- 46th «l hllslrllcndf) 40% reproducc cl minucndtx. , , / 4) Dc 7 raiar -<J. Cuzmdn cl susrraendc rs negativo ; nele íncluirsc dcn- un- (lc un paarénlcsis par: : ílldiulr la opc-raciúnt, dc rslc mo- «In (lislí ; Iiimus cl signn r que inrlir: : 1:¡ rcsm do¡ signo - _ qu¡ . sc ¡ln cl curzictcr negativo del susuamdo. Así: f" I'll signo -- (lehunc dcl parênlrsis está ¡mra innlicnr Is nesta y' est: sig n» nn ¡ium- máx objeto quc dcrirnos. de ; ztucrdo con Ia rrgla grncrnl 1mm w- . mr, quc dehemm um-_ibinr cl signo : Il sumaendo -4. Por rsom comi m¡ n íuu dci training-ndo 7 cmzxibiluus +4. 7-(--l):7 14 «) Hc 7x5" rcslnr ~ Rae-R”. l vnnh anus: 7x3" - (-- . áx-"yü = 7x15* + Bxay* z: 15x50_ R_ n! Dc gui¡ rcsuu* - 'J ab. Iíwnlrcrnos: A a) ah - (- i ab) 7 ~ ; ah 4 . i ab = Mb. R. NF ~ ZLÂCTE”. GENERAL DE LA REST/ ã . ÁLGÍlíR/ ¡ICJx l" n Aritmédm la rest: : siempre implica dínmínxlcíón. mientras quc ln ». v» . Aigfblíllül ucnc un carácter más general, pues puede significa¡- m5. unuuuón u aumento. Hay rcsuls nlgchraicns, como las dc los cjcmplm 4 y õ anteriorta. un «mv 1.¡ alik-nrcndn cr. mayor que el Ininucmln. l us cjcunplus 4. f¡ y 6 no.5 dicen que ruim' Ima untidad negativa uqlli~ i . h ¡ nunmr la misma mmidad ¡xositívzn EJERCICIO 20 [IN ~i ¡mui! fa. r 2a ¡x-umr 3h. 11. _m7 "NL"- 'Í . . 4. 'í ÍNI , . 2. 'N' -Vxy , _ H . , 11 : l ix . . ul». B! :m . . '* . . -IL W »I'm , . Gb_ E 3 llmí' __ l , , -1I. w Hx -: l, V 1 -gxvy __ N: -ih A 511V! - 46% = 411117/-
  24. 24. 'i8 ucrnr. . Hahn' restar -7n3m3. 'j 6a' raiar ~5a“. :LL . 7 u-slnr Í. 3""" -› 434W- ~ -45u›-= .. -wx--a i , :a 1126)' . , -4ux= y. m_ M, .-. n _WW , _ ' "° 1*' ~ “í”- : :mb . . -swb _ 4 _n_ IQ: o- ¡ , . Sbt n_ _aãm- " "w'"" ' l "x , y " 5 x52 lr** . . ll. 7V? 5 , , -%. 310. wâab” , . ~%nb”. Rcsur i dc -2. zh* 31a. 55 5-10' * '-' dc -Sõm ' ' l . . 7- u '4 '~ , . _ a . . -s. .. Ma! v” -Ga . - Z- ; .. 5. . . 152Gb. __ z . . _v_ . . -may . sz. -5 . . A g. 5 , . 2!. .. ~ul›. “ 2'". z: :Sã: :: -. . ~ B4 . . 3h. .. 3110"'. __ . 5n- . , ab. .. manu m' 4-20"" ~ *WM 9 . . -7a. ., -31a"'. , 25 . . 25m . . ~ 235w. eu. 45ml# . . - vnlb". H. @ESTÁ DE POLINOMIOS 0 Cuando el snstrncndo n¡ un polinomio. hay quc restar del minuendo md: : uno de ! os términos dc] sustmcndo, as¡ quc a continuación dci runinucndo mribírcmm cl . sustracndo mmbiándolc cl signo u todos ms términos. E jemplos 14-4-77 . .J H) De 4K-3y+z restar 2x +5z-6. Lu susnuociân u: indica iuciuyendu : I susimun- do em un parêntesis precedido de¡ signo -, usl: Àhom. deicmas ci minumdo con su¡ pmpíns sig- nos y n conlinuoción escribinncs el svslruendo cambíándolo tvi signo o lodo; su; lâmina¡ y mr» dmmux: , Rcduciondo los vérminos semefunles, lendtemos~ ? x - 3y - 4x + 6. R. Gn ! u próclicn sunln cxcríbírse el ; animando con su¡ signos combinados deba- ¡o du! mínuondo, do "rodo que los iétunínos : emrjunles queclen en column: : y m ! um lu roduccián da êxlos, ¡cpavándnios unos do nha¡ : an su: propio: signos. 4x--3y+7-(2x+5z-6]. 4x v-Ziy ›z-2x-5z+ó. A¡ ~ Jy <- 7 Âní. ln mim amctior se: vL-rilicn : ie csla mannm: "In - S: + 6 2x '37 _um R. mu¡ 4') IIUIRA (a diferencia ; amada con ei suslroendn debe dar cl mínuendo. En el cjmplo anterior, :umomio ia dílo- 7* ' 3)' “'41 +6 leMín 2x -' 3y * 4: + 6› : nn el sushncw 7¡ *i 51 ^' (I do 2x + 5: - 6, lusitano: : ___ ' ' 4x - 37 + z [mmurndn] (2) Rum: - Jcñb - 0195+ 6036!' -o”b* 'db' de Bau): 'i' n” - 40gb' , + 6Gb". Al emíbir el wslvaendo, :nn su: signo: combiodos, debnio del minunndo. Jaben ordenursa ambos con rekxiôn o uno : nisma feira. Así, cn one caso, ordonan- a" + 80%” ~ Julia' + sob" do en uniu¡ dcscmricnin + 40% ~ 60%' + o*b*+ ob" l I'M' §Í: m$°r'r°'ó" ° '° ° '°“'› - av+4a= b-a-satbh-wu-àâáüíabbi l" '“'°"°"°¡° “m” u" + uma + uma# - saw - saw + 706** + w 3:: +«›= «=-- «v--ab- mínuemio: _T_ ' a' + 00%* -4o*b'+6ob'* Iminu- m (al Resln¡ -8a“x+6-5ax”-x” de 7a'+8o”x+7ux3~4 y pmbuv cl Insul- Iado por el valor numérim. 70x31' 397-3: a 7a' 4 Eigtluemos Ia msm oldnnundn con relación r' + 50x” + 80H ' “ "' ”' ~ ' ; a o ma' c lócFx i7o' w to prveba da! vulnr nwnétím s: : nicclún hullnndo cl valor numérico del mí- nunndo, dci : unmcndo con los iignns combíodos y de la díieientío pan: un mismo valur da ins ! emu Iel vnlnr de : nda Icim lo cszogmnus nosotros) RGKÍHCÍCHÓO : :l vala¡ numérico do minuondo y wsmzendo con el signo : nm- bindo. debe damos nl vaio¡ numérico de Ia diicvmciu. 7ax= + Ba¡'x+7u'- 42 2B+l6+7- 4 x“+ ía~= + Ba'x - a= a+2o+m 7 a 'x5+'12a. ='+1r§›= x-7n= -Io : a+w+524 7» m Así, en u! eiemplo antena¡ para u= l_ x = 7, lenda-mas: EJERCICIO 21 Dc: _H : issu-nr amb. w :3-: :776 ¡esta! ¡'›x'-'--1x+6. : :y v (ur -x-Hzy. LU. y' y" 8 restar Zy' f-Hiy. _. ¡ h u» 34m, 1g, n (IM-Sm rcsnar 1:'›a= b-8a+5. . 11x r. . r -5x+6. LE. xtpílxyíhlly' Nslalr -5x'y-Gx°y"'+207'« M» rcslzlr 'IzzIIrI-'Jabã 1:. u+I›+c-d mm' -a lrI-rrd- . /-, - z restar x-yiuz. M ab 42nc~3cd-: 'ylr ioxmr -dacárüab 'initial ~. ;y estar -›: ~y+: . : :H aH-! uH-Bid-l! ) rcslar -llxztmx Ux". v' 6 'fíáixy rcsur -; -'-'+: Kx= 'lx)*. 's' ; Prflyluiy-Plil rvshu -11)'"+31y"- y'~'--l! >y t i rum-Qu* - GIIHIP-ÚHIIK! Armin¡ UmM-'Jliuün _WH-IA_ 1 ¡| x-| y_]9xy-"-Q~y*-l¡r"'y= restar -x' ty“›| '. _': v'›x“y. vn"~l›ln'rl*--! )rvx“u'| ›l9 n-Lu 711 I" +161" nn-'yH-Rl. -. :-': (.4_. i'. ~_¡= h'-1mm” Hi : catar AKLWiÍI/ i" | lrz*Jr'-'«11a-”I›'.
  25. 25. Much-sb¡ dc «5b"+8ub+a9. qu. x"-x'y'+|3x) + . ›0 A¡ amu. '11 ]-x'-'+. v^'-x”+3x-Gx“ msm- -x"+›$x'--30x'+15x-24. -Gxñv'+5¡x°-23:*7+E0x”y*-lB rcslnr -y'+9xy*+80›-21x°y*-51x'y. m“-Bnz'n'¡+2lm= n'+8-6mn“ ! mar -Iziimãl-H4In'n'-2-| n¡n°+8v¡°-14. x"~-sx+]õx°-23x'4-l5 lutar ~6x'+25x*-30x'+51x-18. *Ja*-lñ4›*b*+31a1!›'-b'+14 rum' 25:23h-l5a! b'+53a“b'-Dab“+3b“. a*+a'*'~-a“3 restar õn'-6a“^-n"”. ' m' ~m"¡+Sm“' restar 3vn*"'-4m'+5m“-l-8m"'. u" “-7u"' '”-Btr"+6n'P'¡ rcsucr -5a'““-1=ld'“= -l1n""'-6n'~*'. x”3-T: '~I~9x"¡+25:"° ¡tam! -llm"-l-1Dx'+-| õx"*'+í¡0x"5. . :n"*'-Gm“*°+8m*'°-19m"“ ! estar 8m"+5rn"*+6rI: ”““~i-›v¡""+ílrn"'"› EJERClCIO 22 lutar: ¡-b de 17-41. 1-1_ nü-nL-amn dc ~ñm7-vI'-'+Gvnn. z-y dc 2x~| -3y. 12_ «x“-x+6 dc -Bx3+ñx »L -5n+b de -74I-l-5. 1:4_ tu3+14m'+9 d: : l-tnñ-Bn-HG. 9-5: de -x'+6. 1.3_ ab~bc+6td de 8nb+5bc+Gcal. :L-xy? de x°y T5317- 1.3_ ZãrFb-Snlñ-b' de M-! Bxüb-hh wb-an" de 'lzñbisfmhi 1P. . ' 6y"+-1 de üx°"-8x3y-úxy'-'. x-bvzc dc -u-k2b-3r. 17_ v +7n-5c+d dc nÉ-Bn-I-llcüvl. m-n-f-p de -3n~I-4m+5p. 134 7n“¡›+5ab“~8a'¡›”+b' de 5a4+*. )a'b-4Dab“+6b*. -x+y-: dc JH-ZIy-Sl_ 19 6x"-9x+üx'-'-7 de :5-8x'-I-25x'+|5. : zw de -3xy*-Sx')~'-19y"-J-l& w Bãxwñxh-ISJW-IISH-iô th: x”-l'ux*+8~v: °~: |+15x. Bn'b-O«a“b*-15a7b“<45db'-B di' u*-'. '.üa“l›“+8nb'-b'+6. 2.'$y'+8y*-1fry'~8y-5 de y"+y“-l~y”+9. 7z'+5›c“-23x"-| -5lt+36 dc x5~x“+3x'-5x”-9. - y'-(i0x*y“›| -90x“y°-f›4)x7“-x'7“ dt x7-3x*'y”-| -35x*y“-SKW°+GO. v nx1S_5¡-¡I0l aq: de nnl_3aul_5_ 8a"'1+5a' 7a'+a"°“ d: : -8o'~l~1('xx""°+15a*'¡+c"1*'. - 3lx'*¡-9x”“-x'“-18x*' de lñx'°”vl-ãx"'”-f›x'+4lx"'- 12n""*-5a"""-a"-Ba= '4 : ln 9a""-21a'“-›I-2Gvt""*+l4a"'°. - -m'“-6n›"'-2Bm"*-n: "' de -lünv'*+fiíhn'~**-14m'~6vn*"+8m'*. l (41 De 1 miar x'-'+x+5. -5-1- -l-x- . R. x”+x+5 El marcando x** x* 5 sumado : un lu di- -¡! _x~4 fcrcncicr--t-x-x” nos da el mínutmdu: _ _ Ílmnnuundol. (5) Resta: 9ab'-llc“b+Bo'b*-b' de a°-1. Tendas-tum: a' - l HaWb - 8653 - Fabi-Q» b' Jííavb - saw - 9533754 - t. n. . EIERCICIO 23 De: 1 restar u-l. 0 rmlnr MR. -9 ruunr 3n+a”--5. _n 1 rtmu ¡N-uHN-nh'. 16 rum' 5x)-~x'^'›| ~|('›. x" rcunr ~›. -Hxñv-Gxy'. uma 'L a* resxar nazi-'lwcanz-(u. . W y' reatar -áx"y+'¡x'-'y= -axy= . t". m* restar ; i'm-a'+'¡a“n¡*-18rnn'+ãm°. ID. 16 rutar h-n+c›| -d›-]4. IL : :3-1 rum: xy-i-y”. 1:1. aM-G milan' 5rFIz-8nb7+fJ'. Iii. Rcstar -ñxzy-o- 1734-5 de : kh-l 14- Realm' ! Dx-“y-Iãxyksxâ” dc x'-l. u. . Renan' ~11a*b›I-2a2b= +au-m-4aI›4 dc a5+bl HL Rcsur õaü-Éãx dc x4+x'-'+_r, ¡)_ 1T, Reslar 9"'+l '- 3+1 3 dp _.41_ 13¡ RCSIRY -)l5a^'*3›y-I~ n'? «=¡›= §14na»5?ae u°+9u4b= +a= bt m. !lt-sur -xH-ãx-¡J-l dc x'+x"-11x. 37-* R$511¡ ? ñ”n+7mn9-3n' de m”-1. 421. 'CFA o: rounowos com COEFICIENTES rnaccnoxmauo; I Hjemplos l HI Dc gr' tem: -çix -§xy*+Êx*y-§yl Tendromoa ix" ' a ' 2 É '- É . _. ' v' Y . W 5 ; Ya “ 3 -. 3 . l . m! ” -¡x-y ¡xy*'| '¡y". R. w Reslnr -«4a= b=-àob+ãa= b=-9 de -§ns+§a= b=-a. Yendremos; 30517: ~ 5gb - B 4036-' §a= b= + _luna + 9 4a“h3~§u'-'b” ãab n 1. a. EJERCÍCÍO 14 Dr: ' L . l . | . '-' . ' 4 -. ~ r v. mar * n- : M: 1' 711'. ~ _ h rum¡ ~_-u + l-_h - f, . a a n v. 1 p l. › ¡mu! ,WML -rz ~ n ¡. - . .z mu. " _W , l '. - _, " . . _. ., ¡_› _fp . 1._+l"y N. 1 n n 2 n u . n. . _ _ x n __ _ _ - H *HI 'M' v ; I hr hul v f m' ) Ir' uma¡ A ¡Am-n 1 k nm- 'J'
  26. 26. 52 »- T I T 13703-411": - rcslzlr -Ín*+¡-BG+-¡. I a 9 . . . |5_ g a__| _ ! uu m" | - mmni-7n¡ restar -ím ne›nmn +u _. .'. Al:1_L. :34 - ci: z_ix'_c lLax-küzy 1294-' rcslurx+uxy *xy-ray íkl. %a+%ü--; -c›2 fd ! mar -áb+ílf-àd+~ã-. - EJERCICIO 25 Kcslar: i. ~: a3 de En! ~ ? m v? ía . . -Ê-b -l- -jc de a 4.- b - a. if. ; -íb dc Bn+6b-5. ¡Úvn-i-n-p de a I+~EH~r -h $167 dc x" -I- -gxzy - 0. i5. -34-1 - : amb: -l- 6 dt í-ri-'II + -I-UÍI* - _ a 3 Is . _ 1 i _mi-p -E~n›'›'n~ ~ ; mm de ; m”n+¡n¡'n4+? ›nn“~ B. í l u_Lc_L: _'. .L -_--”_. .¡ L¡n_~ "+35 “xy "x dc «Exwl-"Ry T_1›. ";r +3 y r _xn __ . gicyz ¡. âxaya _ yu+ , yu m, &xmy + êyyn_ _ipva _ 9,¡ ¡. ,qr- ¡. :Jg 1 : I . a n a . , n 1_ IU -¡x2y+-¡xy~~-¡x"+5 de -nxyí-Tx-_ywíxh-¡w- A. 11_i a Ln_. '. c: E. 2;_id inqp_ mn-í-sn wmn+unn L cw¡ u o = ._: .› 1 = ... _=- ›-¡t. "d+-Ed* “Hd'+. cd* dl: 767026-5!” s EJERCICIO 26 Í-Iícclunr ! us resta; sígmcmrs y lmlhur cl valor ¡nnnéríoo del resultando 2 para nzzl. b:2. : :ih x:4, y:5,'m_--: -, n: Dc: ° ral-nl¡ rem: : Hand-bi. 3 all-b" testar -5a7b+6ab*-2b3. 3 à: : mum- -l-h -ã-c-kn. : in “ou” restar m“+8n¡u+10n¡. Flñy' restar ~lGx¡'y-6›ry”+9y*, rP--Ta/ :F-&nzl restar -ñ1nn'+8a¡! n-5n¡“. 1 1 . - 1a? + »ab - ~l›* restar ul-a¡ 4.- ab ›- l-bñ 1 a 1 C IO a n . . I 1 1 . 1 : M711 + 7mm ~ Tu" rmlzlr - m¡ ~~ T7113:: - ímn¡ -- ram”. : uma › ›. .v. ~ . nuumnc-. x. 53 Rcstnr: MEL-MVP dc n”-'. ia'-'b'+b“. 11- llúb-Qalñ-'ú-b" dc a! N' 15ml: de -ab-Homn-Bmx. m, %,2+%, _:_ de ixo_ à? ” -Êxf -âf llc x* + 3-25 - àxy”. É. ? N. ur-l . .. gun-a + ap: de _âcr-l + u¡ _ inn-i + ar-B_ Y RESTA COMBINADAS 143 : UI-Jum Y com cor: TA COÉAIiIIW/ DAS DE ÇOLIHOKÂIOS -IENTES ENT ; LOS E jemplos n l 11)DeahuñnrluswwdoÍlab-óyãcñ-&xb-FS. 3a' - Bob + 5 Electvemos primero lo ¡urnox 3gb -6 3a' - Sab - n _ Em suma. qu: as : I susnuendn, hoy que reslorlu de u* que _ 32:4_ 55h 4_ ¡ os cl minuondo, luego dubaio do a¡ escriba JoL-Sob-l _ 7 -4- › ton b¡ signos cnmbindos, y lendremos: 7,_ ? nl + Sob + I N ( )Da x'-4x*y+5¡' rena¡ Ia sumo de -x'+5x3y-6xy°+y' con -6FY+9xy3- My'. - n* + SXSI-õxy' + Efcduumo¡ primero ln wma: - 6:21 'O- by' ›- 16v' -x -”x7y+3ay'*-| Sy'. Esto suma, quo os ol swlrncndo, ?tango que ! estaria x” - 4:37 _ + 57' de r* - 4x= y+ 51" que ea el mínuendo. luego do- x' + x“y - 3x7' + 157' . . . . ¡ _ ' '. :,: ':¡: .:, °:': ;.: ::: ::°: .:: ::: ::, f “m” °°“_. › w Ú) De la : uma de x*+4x'-6 y -5É-lhr+5 rnslcr #-1. x' + 4x: - 6 Elecluemea In wma: - 5x' - 11x + 5 x" - n¡ - Hx - l s - '-' -- n - 1 Eno : uma a¡ ul minucndo, lvego dvbuio d: ella cs- _ x. l l x + ¡ cribiré cl ¡uahaendu 1* - 1 con los signos (ambic- dol y tondmmot. ~ x' + x" - u” - Hx

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