SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 4
Baixar para ler offline
S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0

C Ó N IC AS

A continuación s e pres entan algunos m étodos de cons trucción de curvas cónicas . S e aplican en
los cas os m ás com unes de repres entación de cir cunferencia en el S is tem a D iédrico y de
s ecciones planas de conos y cilindros de r evolución. E s tos tem as s e es tudian en la as ignatura
S is tem as de R epres entación 2 0 .

E lip s e

    1 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o s lo s ejes p r in cip ales AB y C D .

    E n prim er lugar s e traz a un arco con centro en O (centro de la elips e) y radio igual al s em ieje
    m ayor OB , el cual cor ta a la prolongación del eje m enor en el punto 1 . S eguidam ente, con
    centro en C y radio C1 s e dibuja un arco que corta al s egm ento B C en el punto 2 . L uego, s e
    determ ina la m ediatriz “m ” del s egm ento B 2 . E s ta m ediatriz corta al eje m ayor en 3 y a la
    dirección del eje m enor en 4 . P or s im etría s e obtienen los puntos 3 ’ y 4 ’ y las rectas “n”, “r” y
    “s ”. A continuación s e dibujan circunferencias con centro en 3 y 3 ’ de radio 3 B y los arcos de
    centro en 4 y 4 ’ y radio en 4 C. L as circunferencias y los arcos s e em palm an en los cortes
    corres pondientes con rectas “m ”, “n”, “r” y “s ”.

                                                           4'

                                                               1




                                                            C
                                                                      2


                                              3'            O              3
                                    A                                                 B



                                                                                  s
                                        r                  D


                                                      n             m




                                                           4
    Otra form a de traz ar la curva es us ando el M étodo del P aralelogram o.

    S e traz an por los ex tr em os del eje m ayor líneas paralelas al eje m enor y vicevers a, lo que da
    com o res ultado el rectángulo K L M N . L uego s e divide el s egm ento OB en un núm ero n de
    partes iguales . T am bién s e divide en n partes iguales los s egm entos B K y B L . S eguidam ente
    s e traz an líneas rectas por el ex trem o C del eje m enor que pas en por cada una de las m arcas
    hechas s obre el s egm ento OB , y por el ex trem o D , líneas rectas que pas en por las m arcas
    hechas s obre el s egm ento B L . L os cortes entre am bos grupos de líneas definen puntos de la
    elips e, tal y com o s e m ues tra en la figura s iguiente. U niendo es os puntos con una plantilla de
    curvas s e obtiene la elips e pedida. E l res to s e hace por s im etría o repitiendo el procedim iento
    des crito.



                                                          P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0



                       N                              C                                    K



                                                      O
                      A                                    0       1       2   3   4
                                                                                           5   B
                                                                                           4

                                                                                           3
                                                                                           2
                                                                                           1
                                                      D                                    0
                       M                                                                   L
   E s te m étodo tiene dos des ventajas : la prim era es que la ex actitud en el traz ado de la curva
   depende de la habilidad del dibujante en el us o de la plantilla de cur vas ; la s egunda es la
   neces idad de es coger un núm ero n apropiado – no dem as iado pequeño – para lograr un nivel
   de precis ión aceptable.

   2 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o el eje m ayo r AB y u n eje co n ju g ad o R S

   S e traz a la cir cunferencia de centro en O y radio OA (afín a la elips e). L uego, por uno de los
   ex trem os del eje conjugado, por ejem plo S , s e levanta una perpendicular al eje m ayor que
   corta a la circunferencia en 1 . S eguidam ente, s e une a 1 con O y s e traz a por S una paralela al
   eje m ayor AB que corta al s egm ento O1 en el punto 2 . L uego, s e dibuja una circunferencia de
   centro en O y radio O2 , que es afín a la elips e y cuyo radio es igual al s em ieje m enor; por lo
   tanto, s i s e traz a una perpendicular a AB por el punto O, los cortes entre és ta y la
   circunferencia de radio O2 s on los ex trem os C y D del eje m enor de la elips e pedida.
   F inalm ente, s e procede com o en el prim er ejem plo.
                                                                       1




                                                                   2   S



                                                               O                       D
                                    A




                                                       R




                                                        P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0

    3 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o u n p ar d e ejes co n ju g ad o s P Q y R S .

    E n es te cas o es conveniente aplicar el m étodo del paralelogram o ex pues to en el prim er
    ejem plo.


                                                                                                         K


                                                                     S
                                                                                                     Q
                                                                                                     5
                                                                                     4           4
                                                                             3               3
                                N                     O
                                                                         2               2
                                                                 1
                                                          0                          1
                                                                                 0
                                                                                 L

                        P
                                                R


                  M
P ar áb o la

        1 . C o n s t r u ir u n a p ar áb o la co n o cid o s el vér t ice V, el eje “ e” y u n d iám et r o AB

        Cuando s e s ecciona un cono de revolución de m anera que s e pr oduz ca una parábola, s e
        determ inan elem entos claves de la curva: el vértice, el eje y dos puntos s obre ella ubicados
        en una s ecante perpendicular al eje, es decir, un diám etro (ver el M ódulo I de la Guía de
        Apuntes de S R 2 0 ). P or otra parte, en el cas o general de plano s eccionante (en pos ición
        accidental) s e tiene que el ángulo recto form ado entre el eje y el diám etro AB s e dis tors iona
        en las proyecciones diédricas . Atendiendo a es tas cons ideraciones s e pres enta un s encillo
        m étodo de traz ado de parábola, llam ado M étodo del P aralelogram o.

        S e com ienz a determ inando el punto m edio M de AB ; la recta que pas a por M y por el
        vértice V de la parábola es el eje de la curva. A continuación s e divide en un núm ero n de
        partes iguales los s egm entos VM , AM y B M (puntos num erados en la figura). L uego, s e
        traz an por los puntos A y B líneas rectas que pas en por las m arcas hechas en el s egm ento
        VM , y por las m ar cas hechas en los s egm entos AM y B M , líneas rectas paralelas al
        s egm ento VM . L os cortes entre las líneas traz adas , de acuerdo con la num eración que s e
        m ues tra en la figura, definen puntos s obre la curva. F inalm ente, con ayuda de una plantilla
        de curvas , s e unes los puntos res ultantes .




                                                              P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0



                                                                                                       6
                                                                                                           V
                                                                                               5

                                                                                           4


                                                                                   3


                                                                           2

                               A                                   1
                                   0
                                       1
                                           2               0
                                               3
                                                   4
                                                       5
                                                           M   5
                                                                       4
                                                                               3       2
                                                                                           1       0
                                                                                                       B



H ip ér b o la

       1 . C o n s t r u ir u n a h ip ér b o la co n o cid as las as ín t o t as “ a” y “ b ” y u n pu n t o cu alqu ier a
           A s o b r e la cu r va.

        E l m étodo de cons trucción que a continuación s e pres enta, perm ite la cons trucción de las
        proyecciones diédricas de la hipérbola s in im portar la pos ición del plano que la contiene.

        S e traz a por A cualquier línea recta que cor te a las dos as íntotas en los puntos 1 y 2 . L a
        dis tancia que hay entr e A y la as íntota m ás cercana a es e punto (dis tancia A2 en la figura)
        s e copia a partir a partir del corte de la s ecante con la otra as íntota (1 en la figura). D es
        es ta m anera s e obtiene oto punto B de la curva. S i s e procede de m anera s im ilar s e
        obtienen tantos puntos com o s e quiera, que luego s e unen con la ayuda de una plantilla de
        curvas . L a otra ram a de la hipérbola puede traz ars e de form a análoga o por s im etría.

                                                                                                               1
                                                                                                                   B

                                                                       a



                                                               b


                                                                                                                       A
                                                                                                                   2
N ota: E l es tudiante debe com plem entar es ta inform ación us ando la bibliografía recom endada.



                                                                       P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Elipse arquitectura alumnos
Elipse arquitectura alumnosElipse arquitectura alumnos
Elipse arquitectura alumnosMarta Lia Molina
 
Rectas tang, tang_dado_el_radio
Rectas tang, tang_dado_el_radioRectas tang, tang_dado_el_radio
Rectas tang, tang_dado_el_radiojuliovelasco
 
3.vectores en el plano
3.vectores en el plano3.vectores en el plano
3.vectores en el planosemoroca
 
Unidad 5
Unidad 5Unidad 5
Unidad 5Erick
 
Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4
Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4
Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4qvrrafa
 
Tangencias
Tangencias Tangencias
Tangencias mpazmv
 

Mais procurados (8)

Elipse arquitectura alumnos
Elipse arquitectura alumnosElipse arquitectura alumnos
Elipse arquitectura alumnos
 
Secciones cónicas
Secciones cónicasSecciones cónicas
Secciones cónicas
 
Rectas tang, tang_dado_el_radio
Rectas tang, tang_dado_el_radioRectas tang, tang_dado_el_radio
Rectas tang, tang_dado_el_radio
 
3.vectores en el plano
3.vectores en el plano3.vectores en el plano
3.vectores en el plano
 
Unidad 5
Unidad 5Unidad 5
Unidad 5
 
Tangencias
TangenciasTangencias
Tangencias
 
Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4
Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4
Tema 5 1º bach tangencias y enlaces v4
 
Tangencias
Tangencias Tangencias
Tangencias
 

Destaque (6)

Circunferencia
CircunferenciaCircunferencia
Circunferencia
 
Poligonos
PoligonosPoligonos
Poligonos
 
Trazadobasico
TrazadobasicoTrazadobasico
Trazadobasico
 
Desarrollo de un sistema hipermedia para la enseñanza de
Desarrollo de un sistema hipermedia para la enseñanza deDesarrollo de un sistema hipermedia para la enseñanza de
Desarrollo de un sistema hipermedia para la enseñanza de
 
Generalidades en el estudio de la doble proyeccion ortogonal
Generalidades en el estudio de la doble proyeccion ortogonalGeneralidades en el estudio de la doble proyeccion ortogonal
Generalidades en el estudio de la doble proyeccion ortogonal
 
Ejerciciospropuestossr10
Ejerciciospropuestossr10Ejerciciospropuestossr10
Ejerciciospropuestossr10
 

Semelhante a Conicas

Sistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andySistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andyuftpre20926714
 
Sistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andySistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andyandybaron20926714
 
Libro de trigonometria de preparatoria preuniversitaria
Libro de trigonometria de preparatoria preuniversitariaLibro de trigonometria de preparatoria preuniversitaria
Libro de trigonometria de preparatoria preuniversitariaAURELIOJACOLOYA
 
Coordenadas polares para saia
Coordenadas polares para saiaCoordenadas polares para saia
Coordenadas polares para saiauftandybaron
 
Sesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdf
Sesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdfSesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdf
Sesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdfIrvinUribe1
 
La circunferencia
La circunferenciaLa circunferencia
La circunferenciaByron Lemus
 
Curva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en Autocad
Curva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en AutocadCurva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en Autocad
Curva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en AutocadWondraven
 
INDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONES
INDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONESINDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONES
INDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONESEvanMendezVargas
 
Secciones cónicas circunferencia
Secciones cónicas circunferenciaSecciones cónicas circunferencia
Secciones cónicas circunferenciaBartoluco
 
Teorema del coseno
Teorema del cosenoTeorema del coseno
Teorema del cosenoInmaCa
 
2.4 la-circunferencia-y-el-circulo
2.4 la-circunferencia-y-el-circulo2.4 la-circunferencia-y-el-circulo
2.4 la-circunferencia-y-el-circuloAme Juárez Santiago
 

Semelhante a Conicas (20)

Sistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andySistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andy
 
Sistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andySistema de coordenadas polares andy
Sistema de coordenadas polares andy
 
Libro de trigonometria de preparatoria preuniversitaria
Libro de trigonometria de preparatoria preuniversitariaLibro de trigonometria de preparatoria preuniversitaria
Libro de trigonometria de preparatoria preuniversitaria
 
Coordenadas polares para saia
Coordenadas polares para saiaCoordenadas polares para saia
Coordenadas polares para saia
 
Clase 4 empalmes - 2020
Clase 4   empalmes - 2020Clase 4   empalmes - 2020
Clase 4 empalmes - 2020
 
Sesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdf
Sesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdfSesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdf
Sesión 2_Coord y gráficos de ec. polares.pdf
 
Capitulo6 ge[2]
Capitulo6 ge[2]Capitulo6 ge[2]
Capitulo6 ge[2]
 
La circunferencia
La circunferenciaLa circunferencia
La circunferencia
 
Capitulo6 ge[1]
Capitulo6 ge[1]Capitulo6 ge[1]
Capitulo6 ge[1]
 
Curva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en Autocad
Curva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en AutocadCurva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en Autocad
Curva cuadrática de Bézier, hiperboloide de un manto y esfera en Autocad
 
Práctica de geometría analítica
Práctica de geometría analíticaPráctica de geometría analítica
Práctica de geometría analítica
 
Guia coordenadas polares
Guia coordenadas polaresGuia coordenadas polares
Guia coordenadas polares
 
tangencias cuchara
tangencias cucharatangencias cuchara
tangencias cuchara
 
INDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONES
INDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONESINDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONES
INDICES DE MILLER PUNTOS PLANOS Y DIRRECIONES
 
Secciones cónicas circunferencia
Secciones cónicas circunferenciaSecciones cónicas circunferencia
Secciones cónicas circunferencia
 
Teorema del coseno
Teorema del cosenoTeorema del coseno
Teorema del coseno
 
20 08 primera selección final
20 08 primera selección final20 08 primera selección final
20 08 primera selección final
 
áRea de regiones triángulares
áRea de regiones triángularesáRea de regiones triángulares
áRea de regiones triángulares
 
Capítulo 1. Cónicas
Capítulo 1. CónicasCapítulo 1. Cónicas
Capítulo 1. Cónicas
 
2.4 la-circunferencia-y-el-circulo
2.4 la-circunferencia-y-el-circulo2.4 la-circunferencia-y-el-circulo
2.4 la-circunferencia-y-el-circulo
 

Conicas

  • 1. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0 C Ó N IC AS A continuación s e pres entan algunos m étodos de cons trucción de curvas cónicas . S e aplican en los cas os m ás com unes de repres entación de cir cunferencia en el S is tem a D iédrico y de s ecciones planas de conos y cilindros de r evolución. E s tos tem as s e es tudian en la as ignatura S is tem as de R epres entación 2 0 . E lip s e 1 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o s lo s ejes p r in cip ales AB y C D . E n prim er lugar s e traz a un arco con centro en O (centro de la elips e) y radio igual al s em ieje m ayor OB , el cual cor ta a la prolongación del eje m enor en el punto 1 . S eguidam ente, con centro en C y radio C1 s e dibuja un arco que corta al s egm ento B C en el punto 2 . L uego, s e determ ina la m ediatriz “m ” del s egm ento B 2 . E s ta m ediatriz corta al eje m ayor en 3 y a la dirección del eje m enor en 4 . P or s im etría s e obtienen los puntos 3 ’ y 4 ’ y las rectas “n”, “r” y “s ”. A continuación s e dibujan circunferencias con centro en 3 y 3 ’ de radio 3 B y los arcos de centro en 4 y 4 ’ y radio en 4 C. L as circunferencias y los arcos s e em palm an en los cortes corres pondientes con rectas “m ”, “n”, “r” y “s ”. 4' 1 C 2 3' O 3 A B s r D n m 4 Otra form a de traz ar la curva es us ando el M étodo del P aralelogram o. S e traz an por los ex tr em os del eje m ayor líneas paralelas al eje m enor y vicevers a, lo que da com o res ultado el rectángulo K L M N . L uego s e divide el s egm ento OB en un núm ero n de partes iguales . T am bién s e divide en n partes iguales los s egm entos B K y B L . S eguidam ente s e traz an líneas rectas por el ex trem o C del eje m enor que pas en por cada una de las m arcas hechas s obre el s egm ento OB , y por el ex trem o D , líneas rectas que pas en por las m arcas hechas s obre el s egm ento B L . L os cortes entre am bos grupos de líneas definen puntos de la elips e, tal y com o s e m ues tra en la figura s iguiente. U niendo es os puntos con una plantilla de curvas s e obtiene la elips e pedida. E l res to s e hace por s im etría o repitiendo el procedim iento des crito. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
  • 2. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0 N C K O A 0 1 2 3 4 5 B 4 3 2 1 D 0 M L E s te m étodo tiene dos des ventajas : la prim era es que la ex actitud en el traz ado de la curva depende de la habilidad del dibujante en el us o de la plantilla de cur vas ; la s egunda es la neces idad de es coger un núm ero n apropiado – no dem as iado pequeño – para lograr un nivel de precis ión aceptable. 2 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o el eje m ayo r AB y u n eje co n ju g ad o R S S e traz a la cir cunferencia de centro en O y radio OA (afín a la elips e). L uego, por uno de los ex trem os del eje conjugado, por ejem plo S , s e levanta una perpendicular al eje m ayor que corta a la circunferencia en 1 . S eguidam ente, s e une a 1 con O y s e traz a por S una paralela al eje m ayor AB que corta al s egm ento O1 en el punto 2 . L uego, s e dibuja una circunferencia de centro en O y radio O2 , que es afín a la elips e y cuyo radio es igual al s em ieje m enor; por lo tanto, s i s e traz a una perpendicular a AB por el punto O, los cortes entre és ta y la circunferencia de radio O2 s on los ex trem os C y D del eje m enor de la elips e pedida. F inalm ente, s e procede com o en el prim er ejem plo. 1 2 S O D A R P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
  • 3. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0 3 . C o n s t r u ir u n a elip s e co n o cid o u n p ar d e ejes co n ju g ad o s P Q y R S . E n es te cas o es conveniente aplicar el m étodo del paralelogram o ex pues to en el prim er ejem plo. K S Q 5 4 4 3 3 N O 2 2 1 0 1 0 L P R M P ar áb o la 1 . C o n s t r u ir u n a p ar áb o la co n o cid o s el vér t ice V, el eje “ e” y u n d iám et r o AB Cuando s e s ecciona un cono de revolución de m anera que s e pr oduz ca una parábola, s e determ inan elem entos claves de la curva: el vértice, el eje y dos puntos s obre ella ubicados en una s ecante perpendicular al eje, es decir, un diám etro (ver el M ódulo I de la Guía de Apuntes de S R 2 0 ). P or otra parte, en el cas o general de plano s eccionante (en pos ición accidental) s e tiene que el ángulo recto form ado entre el eje y el diám etro AB s e dis tors iona en las proyecciones diédricas . Atendiendo a es tas cons ideraciones s e pres enta un s encillo m étodo de traz ado de parábola, llam ado M étodo del P aralelogram o. S e com ienz a determ inando el punto m edio M de AB ; la recta que pas a por M y por el vértice V de la parábola es el eje de la curva. A continuación s e divide en un núm ero n de partes iguales los s egm entos VM , AM y B M (puntos num erados en la figura). L uego, s e traz an por los puntos A y B líneas rectas que pas en por las m arcas hechas en el s egm ento VM , y por las m ar cas hechas en los s egm entos AM y B M , líneas rectas paralelas al s egm ento VM . L os cortes entre las líneas traz adas , de acuerdo con la num eración que s e m ues tra en la figura, definen puntos s obre la curva. F inalm ente, con ayuda de una plantilla de curvas , s e unes los puntos res ultantes . P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
  • 4. S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 2 0 6 V 5 4 3 2 A 1 0 1 2 0 3 4 5 M 5 4 3 2 1 0 B H ip ér b o la 1 . C o n s t r u ir u n a h ip ér b o la co n o cid as las as ín t o t as “ a” y “ b ” y u n pu n t o cu alqu ier a A s o b r e la cu r va. E l m étodo de cons trucción que a continuación s e pres enta, perm ite la cons trucción de las proyecciones diédricas de la hipérbola s in im portar la pos ición del plano que la contiene. S e traz a por A cualquier línea recta que cor te a las dos as íntotas en los puntos 1 y 2 . L a dis tancia que hay entr e A y la as íntota m ás cercana a es e punto (dis tancia A2 en la figura) s e copia a partir a partir del corte de la s ecante con la otra as íntota (1 en la figura). D es es ta m anera s e obtiene oto punto B de la curva. S i s e procede de m anera s im ilar s e obtienen tantos puntos com o s e quiera, que luego s e unen con la ayuda de una plantilla de curvas . L a otra ram a de la hipérbola puede traz ars e de form a análoga o por s im etría. 1 B a b A 2 N ota: E l es tudiante debe com plem entar es ta inform ación us ando la bibliografía recom endada. P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo