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Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y
         fórmulas que relacionan
         las variables.
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y
         fórmulas que relacionan
         las variables.
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”         ⇒    x = 75 - y
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”         ⇒    x = 75 - y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”         ⇒    x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                          Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”         ⇒    x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
 m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
 m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
 m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                  x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                             x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
 m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Tenemos que y = 0          ^ y = 15
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                     x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                                x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Tenemos que y = 0          ^ y = 15                     ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                     x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                                x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Tenemos que y = 0          ^ y = 15                     ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo
 Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                     x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                                x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Tenemos que y = 0          ^ y = 15                     ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo
 Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y                 ⇒      m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0 
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                     x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                                x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Tenemos que y = 0          ^ y = 15                     ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo
 Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y                 ⇒      m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0 
Como       x = 75 – y ⇒ x = 75 – 15
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                     x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                                x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Tenemos que y = 0          ^ y = 15                     ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo
 Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y                 ⇒      m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0 
Como       x = 75 – y ⇒ x = 75 – 15                 ⇒       x = 60
Ejemplo 2
La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por
el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
                                             Desarrollo
         Datos del problema, y                                     x + y = 75
         fórmulas que relacionan
         las variables.
                                                                x .y2 = máximo



 De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
Despejando la variable “x”           ⇒     x = 75 – y
m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
 m(y) = 75y2 – y3     Realizando la multiplicación
m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
Haciendo m`(y) = 0        ⇒        75y – 3y2 = 0    ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
Tenemos que y = 0          ^ y = 15                     ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo
 Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y                 ⇒      m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0 
Como       x = 75 – y ⇒ x = 75 – 15                 ⇒       x = 60
                             Los números solicitados son 15 y 60
Fin de la presentación
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  • 1. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números?
  • 2. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y fórmulas que relacionan las variables.
  • 3. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y fórmulas que relacionan las variables.
  • 4. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo
  • 5. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75
  • 6. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 - y
  • 7. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 - y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar
  • 8. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación
  • 9. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función
  • 10. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0
  • 11. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0
  • 12. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0 Tenemos que y = 0 ^ y = 15
  • 13. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0 Tenemos que y = 0 ^ y = 15 ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo
  • 14. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0 Tenemos que y = 0 ^ y = 15 ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y
  • 15. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0 Tenemos que y = 0 ^ y = 15 ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y ⇒ m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0 
  • 16. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0 Tenemos que y = 0 ^ y = 15 ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y ⇒ m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0  Como x = 75 – y ⇒ x = 75 – 15
  • 17. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0 Tenemos que y = 0 ^ y = 15 ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y ⇒ m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0  Como x = 75 – y ⇒ x = 75 – 15 ⇒ x = 60
  • 18. Ejemplo 2 La suma de dos números enteros positivos es 75. Se requiere que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. ¿Cuáles son esos números? Desarrollo Datos del problema, y x + y = 75 fórmulas que relacionan las variables. x .y2 = máximo De acuerdo a los datos tenemos que x + y = 75 Despejando la variable “x” ⇒ x = 75 – y m(y) = (75 – y) y2 Remplazando “x” en la función que vamos a maximizar m(y) = 75y2 – y3 Realizando la multiplicación m`(y) = 75y – 3y2 Derivando la función Haciendo m`(y) = 0 ⇒ 75y – 3y2 = 0 ⇒ Factorizando y(150 – 3y) = 0 Tenemos que y = 0 ^ y = 15 ⇒ Comprobamos si y = 15 es un máximo Segunda derivada m`` (y) = 75 – 6y ⇒ m`` (15) = 75 – 6(15) = -15 < 0  Como x = 75 – y ⇒ x = 75 – 15 ⇒ x = 60 Los números solicitados son 15 y 60
  • 19. Fin de la presentación