Este documento explica la factorización LU, un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La factorización LU descompone una matriz en la multiplicación de una matriz triangular inferior (L) y una matriz triangular superior (U). Esto permite resolver el sistema en dos pasos: primero resolviendo Lz=b y luego resolviendo Ux=z. El documento incluye ejemplos ilustrativos de cómo aplicar la factorización LU para resolver sistemas de ecuaciones.

1. Factorizaci´n LU
o
Alexis Vera P´rez
e
Instituto de Estad´stica & Sistemas Computarizados de Informaci´n
ı o
Universidad de Puerto Rico, Recinto de R´o Piedras
ı
Agosto 2007
En el momento de resolver un sistema de ecuaciones lineales de n ecua-
ciones en n desconocidas, podemos recurrir a diferentes m´todos. Uno de los
e
m´todos m´s utilizados lo es el m´todo de eliminaci´n de Gauss el cual
e a e o
consiste en convertir la matriz aumentada (A|b), donde A es la matriz de
coeficientes del sistema de ecuaciones, en la forma escalonada.
Si U es una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales son
diferentes de cero, entonces el sistema lineal U x = b puede ser resuelto sin
tener que transformar la matriz aumentada (U |b) a la forma escalonada. La
matriz aumentada est´ dada por
a
 
u11 u12 u13 . . . u1n b1
 


0 u22 u23 . . . u2n b2 

 0 0 u33 . . . u3n b3 
 
 . . . ... . . 


.
. .
. .
. .
. .
. 

0 0 0 . . . unn bn
y la soluci´n se obtiene por el siguiente algoritmo (sustituci´n en reversa):
o o
bn
xn =
unn
bn−1 − un−1n xn
xn−1 =
un−1n−1
.
.
.
j−1
bj − ujk xn
k=n
xj = j = n, n − 1, . . . , 2, 1
ujj
1

2. De forma parecida, si L es una matriz triangular inferior cuyos elementos
diagonales son diferentes de cero, entonces el sistema lineal Lx = b puede
ser resuelto de la siguiente forma: La matriz aumentada tiene la forma
 
11 0 0 ... 0 b1
 

 21 22 0 ... 0 b2 

 ... 0 b3 
 31 32 33 
 . . . .. . . 


.
. .
. .
. . .
. .
. 

n1 n2 n3 ... nn bn
y la soluci´n se obtiene por el siguiente algoritmo (sustituci´n hacia ade-
o o
lante):
b1
x1 =
11
b2 − 21 x1
x2 =
22
.
.
.
j−1
bj − jk xk
k=1
xj = j = 2, . . . , n
jj
Ejemplo 1 Para resolver el sistema lineal
4x1 = −36
3x1 + 2x2 = 11
x1 + x2 + x3 = 16
utilizamos sustituci´n hacia adelante y obtenemos que
o
−36
x1 = = −9
4
11 − 3x1
x2 = = 19
2
x3 = 16 − x2 − x1 = 6
As´ que la soluci´n para el sistema de ecuaciones triangular inferior dado es
ı o
 
−9
 
x =  19 
6
2

3. Supongamos que una matriz An×n puede ser escrita como el producto de
una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U , esto es,
A = LU
Entonces decimos que A tiene una factorizaci´n LU. Esta factorizaci´n
o o
nos permite resolver el sistema lineal Ax = b. Sustituyendo LU por A,
obtenemos
(LU )x = b (1)
esto implica que
L(U x) = b (2)
Si U x = z, entonces tenemos que
Lz = b (3)
Como L es una matriz triangular inferior, podemos resolver para z utilizando
sustituci´n hacia adelante. Luego, como U es una matriz triangular superior,
o
resolvemos U x = z por sustituci´n en reversa.
o
Ejemplo 2 Considere el sistema lineal de ecuaciones
2x1 + 3x2 + 4x3 = 6
4x1 + 5x2 + 10x3 = 16
4x1 + 8x2 + 2x3 = 2
cuya matriz de coeficientes es
 
2 3 4
A =  4 5 10 


4 8 2
y su factorizaci´n LU es
o
   
1 0 0 2 3 4
L =  2 1 0  y U =  0 −1 2 
   
2 −2 1 0 0 −2
3

4. Utilizando la ecuaci´n (3)
o
    
1 0 0 z1 6
    
 2 1 0   z2  =  16 
2 −2 1 z3 2
Por sustituci´n hacia adelante obtenemos
o
z1 = 6
z2 = 16 − 2z1 = 4
z3 = 2 + 2z2 − 2z1 = −2
As´ que
ı  
6
 
z= 4 
−2
Ahora resolvemos U x = z,
    
2 3 4 x1 6
    
 0 −1 2   x2  =  4 
0 0 −2 x3 −2
y obtenemos
x3 = 1
4 − 2x3
x2 = = −2
−1
6 − 4x3 − 3x2
x1 = =4
2
Por lo tanto, la soluci´n para el sistema lineal dado es
o
 
4
 
x =  −2 
1
El siguiente ejemplo ilustra como encontrar una1 factorizaci´n LU para una
o
matriz.
1
En general, una matriz puede tener m´s de una factorizaci´n LU.
a o
4

5. Ejemplo 3 Para encontrar la factorizaci´n LU de la matriz
o
 
2 3 0 1
 4 5 3 3 
A=



 −2 −6 7 7 
8 9 5 21
Primero convertimos en cero todos los elementos debajo del primer elemento
diagonal de A. Para esto, sumamos (-2) veces la primera fila de A a la
segunda fila de A. Luego sumamos la primera fila de A a la tercera fila de
A, y por ultimo sumamos (-4) veces la primera fila de A a la cuarta fila de
´
A, obteniendo la siguiente matriz
 
2 3 0 1
 0 −1 3 1 
 
U1 =  
 0 −3 7 8 
0 −3 5 17
Mientras tanto, comenzamos la construcci´n de una matriz triangular inferior,L1 ,
o
con 1’s en la diagonal principal. Para hacer esto, colocamos los opuestos de
los multiplicadores utilizados en las operaciones de fila en la primera columna
de L1 debajo del primer elemento diagonal de L1 y obtenemos la siguiente
matriz  
1 0 0 0
 2 1 0 0 
L1 = 


 −1 ∗ 1 0 
4 ∗ ∗ 1
Ahora sumamos (-3) veces la segunda fila de U1 a la tercera fila de U1 y
sumamos (-1) veces la tercera fila de U1 a la cuarta fila de U1 . Colocamos
los opuestos de los multiplicadores debajo del segundo elemento diagonal de
L1 y obtenemos
   
2 3 0 1 1 0 0 0
 0 −1 3 1   2 1 0 0 
   
U2 =  y L2 =  
 0 0 −2 5   −1 3 1 0 
0 0 −2 9 4 1 ∗ 1
Ahora sumamos (-1) veces la tercera fila de U2 a la cuarta fila de U2 . Luego
colocamos el opuesto de este multiplicador debajo del tercer elemento diagonal
de L2 y obtenemos las matrices
5

6.    
2 3 0 1 1 0 0 0
 0 −1 3 1   2 1 0 0 
U3 = 

 
 y L3 = 


 0 0 −2 5   −1 3 1 0 
0 0 0 4 4 1 1 1
Las matrices U3 y L3 componen una fatorizaci´n LU para la matriz A.
o
6