Funções de Uma Variável 
Rodney C. Bassanezi 
Livro
Título: Funções de Uma Variável 
Autor: Rodney C. Bassanezi 
Santo André, 
ii
Sumário 
1 Números 1 
1.1 Noções Gerais - Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 
1.2 Propriedade ...
Sumário 
4.1.2 Variações Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 
4.2 Teoremas de derivação . . . ....
Prefácio 
Este texto é dirigido àqueles que, iniciando sua carreira universitária no campo das 
ciências Exatas, se defron...
Sumário 
Cabe a nós a responsabilidade dos erros que seguramente devem existir, assim 
como o previlégio de agradecer aque...
1 Números 
“Os números, na simplicidade com que se apresentam, iludem, não raro, os mais 
atilados... Da incerteza dos cál...
1 Números 
1.1 Noções Gerais - Notações 
Toda vez que introduzimos um conceito novo em qualquer assunto da Matemática, 
de...
1 Números 
A3: 1 não é sucessor de nenhum número natual 
8a 2N=)a+ , 1 
A4: Se dois números naturais tiverem sucessores ig...
1 Números 
Exercício 1 Mostre que a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais é 
dada pela fórmula 
P (n) = 
n(n...
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  1. 1. Funções de Uma Variável Rodney C. Bassanezi Livro
  2. 2. Título: Funções de Uma Variável Autor: Rodney C. Bassanezi Santo André, ii
  3. 3. Sumário 1 Números 1 1.1 Noções Gerais - Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Propriedade dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Operações com os números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Intervalos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Funções 18 2.1 Noções Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Gráfico de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Funções irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.3 Distância entre dois pontos do plano R2 . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.4 Funções Transcendentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.5 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.6 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.7 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Limites e Continuidade 43 3.1 Introdução histórica [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Sequências e Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.1 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Derivada 64 4.1 Variações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.1 Variações discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 iii
  4. 4. Sumário 4.1.2 Variações Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Teoremas de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.1 Regra da Cadeia - Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.2 Derivadas de funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 Exercícios de revisão para derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5 Aplicações da Derivada 98 5.0.1 Tangentes e Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.0.2 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.1 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6 Integral 131 6.1 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.1.1 Propriedades da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.2 Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.1 Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.2 A função logarítmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7 Aplicações da Integral Definida 157 7.0.3 Área entre duas curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.1 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.2.1 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8 Apêndice 175 8.1 A. Regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8.2 B. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 iv
  5. 5. Prefácio Este texto é dirigido àqueles que, iniciando sua carreira universitária no campo das ciências Exatas, se defrontam com o estudo de Matemática. Por ser um curso inicial, não necessita de pré-requisitos monumentais, na verdade é uma continuação emuitas vezes uma revisão do programa de Matemática do ensino médio com um pouco mais de rigor. Destina-se a um período curto que pode variar de 45 a 60 horas, dependendo da maneira que se aborda cada tema. Um dos motivos que nos levou a redigir este texto foi principalmente libertar o aluno da tarefa de copiar as notas de aula, economizando precioso tempo para seu efetivo estudo posterior do assunto. Outra preocupação nossa foi procurar estabele-cer um conteúdo mínimo necessário para a continuação de estudos posteriores que utilizam o cálculo diferencial e integral de uma variável. Procuramos, quase sempre, uma linguagem simples com exemplos ilustrativos, vi-zando facilitar o trabalho do estudante que se propõe aprender sozinho. As respostas dos exercícios propostos nem sempre são fornecidas - acreditamos que o aluno deva procurar enfrentar situações novas sem saber previamente o resultado. Assim os exer-cícios e as aplicações, em sua colocação gradativa, atendem ao propósito de fornecer novas descobertas quando explorados com algum critério científico. Fica como responsabilidade dos estudantes as demonstrações de algumas propo-sições simples e a verificação de muitas questões que são deixadas propositalmente. Isto significa que este texto não deve ser autosuficiente e sim um motivador para estudos mais abrangentes, tanto em relação ao conteúdo de Cálculo como suas impli-cações. Este texto foi redigido em 1976 quando o departamento de matemática da Uni-camp estava iniciando sua expansão e alguns professores contratados, tinham ainda pouca experiência no ensino de Cálculo. O texto serviu de parâmetro para o ensino-aprendizagem desta disciplina por bastante tempo e agora resolvemos reescrevê-lo com o objetivo principal de diminuir o alto índice de reprovação que se evidencia em nossa universidade. v
  6. 6. Sumário Cabe a nós a responsabilidade dos erros que seguramente devem existir, assim como o previlégio de agradecer aqueles que os reportarem até nós. vi
  7. 7. 1 Números “Os números, na simplicidade com que se apresentam, iludem, não raro, os mais atilados... Da incerteza dos cálculos é que resulta o indiscutível prestígio da Matemática”. Malba Tahan - “O Homem que Calculava” 1
  8. 8. 1 Números 1.1 Noções Gerais - Notações Toda vez que introduzimos um conceito novo em qualquer assunto da Matemática, devemos estabelecer as definições em termos de conceitos já conhecidos. Assim, para este primeiro curso de Cálculo admitiremos apenas a familiarização com a noção de conjunto, elemento de um conjunto, número e operações com os números (adi-ção, subtração, multiplicação e divisão), além de conceitos elementares de geometria (área, volume etc). Usaremos alguns símbolos universais que simplificam as idéias: = igual vazio , diferente 1 infinito 2 pertence =) implicação não pertence () equivalência maior contido menor contido propriamente P maior ou igual somatória menor ou igual R integral I tal que N números naturais 8 para todo Q números racionais 9 existe R números reais @ não existe Z números inteiros O leitor já deve estar habituado com os números naturais, isto é, com o conjunto N= f1;2;3;4; :::g ; assim como com as operações definidas emN: adição (+) emultipli-cação ( ou ): Entretanto, uma caracterização formal dos números naturais foi dada por Peano1 que assumiu como “idéias primitivas” as noções de números naturais, um e sucessor; considerando os seguintes axiomas: A1: um (1) é um número natural 1 2N A2: Todo número natural a tem um, e somente um, sucessor a+ 8a 2N=)9 a+ 2N 1Giuseppe Peano logicista e matemático italiano, nasceu a 27 de Agosto de 1858 em Cuneo, Saradinia. Estudou matemática na Universidade de Turim. 2
  9. 9. 1 Números A3: 1 não é sucessor de nenhum número natual 8a 2N=)a+ , 1 A4: Se dois números naturais tiverem sucessores iguais então, eles são iguais 8a;b 2N; a+ = b+ =)a = b A5: Seja S um subconjunto de números naturais. Se 1 pertence a S e se o fato de a 2 S implicar que seu sucessor também pertence a S, então S é formado por todos os números naturais [S N;1 2 S;a 2 S =)a+ 2 S] =)S =N Estes axiomas caracterizam o conjunto dos números naturais. O axioma A5 estabe-lece o P rinc´{pio da Induc ˜ ao Completa : Dada uma proposição P , aplicável a N; Se, mediante um raciocínio matemático, se demonstrar que: 1) P é verdadeira para o número 1; 2) Dado um número qualquer a 2 N; se P é verdade para a implicar que P é verdade para a+ então, P é verdade para todos os elementos de N: Prova: Seja S = fa 2N tal que P (a) é verdadeirag ; Temos que 1 2 S pois P (1) é verdadeira pela hipótese 1. Seja a 2 S; isto é, P (a) é verdadeira. Então, pela hipótese 2 temos que P (a+) é verda-deira logo, a+ 2 S: Considerando o axioma A5 resulta que S = N e, segue-se que P (a) é verdadeira para todo a 2N: Exemplo 1. Vamos mostrar que a soma dos n primeiros números naturais é P (n) = n(n + 1) 2 (1.1.1) 1) P (1) = 1(1+1) 2 = 1 =)P (1) é verdadeira; 2) Suponhamos que 1 + 2 + 3 + ::: + a = a(a+1) 2 ; isto é, P (a) é verdadeira. Então, 2 + a+ = a:a++2a+ 2 = a+(a++1) 2 = P (a+) =) P (a+) é P (a+) = (1 + 2 + 3 + ::: + a) + a+ = a(a+1) verdadeira, e portanto, P (n) é verdadeira para todo n 2N: 3
  10. 10. 1 Números Exercício 1 Mostre que a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais é dada pela fórmula P (n) = n(n + 1)(2n + 1) 6 (1.1.2) : No conjunto dos naturais N nem sempre está definida a operação subtração; De fato, não existe nenhum número natural n tal que n + 3 = 1 Exercício 2 Sejam a e r números naturais e seja o conjunto A = fa;a+r;a+2r; :::;a+nrg. Mostre que a soma dos elementos de A é dada por Sn = (n + 1)(a + nr 2 ) O conjunto A é uma progressão aritmética de razão r. Para resolver esta equação temos necessidade de ampliar o conjunto N com a in-trodução dos números negativos e do zero. Passamos assim ao conjunto dos números inteiros Z : Z = f:::;

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