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uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemáticoárabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar aspropor...
Para obter X=2.Razões e Proporções de SegmentosConsideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas sãodadas, respectivament...
Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST sãosemelhantes e indicamos isto por :ABC ~ DEFFiguras SemelhantesDuas fi...
Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhosdiferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ouo mapa amar...
o que significa que a velocidade média do veículo durante acorrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorridao ca...
3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidadedemográfica, também chamada de população relativa deuma região é considera...
Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que umade chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porquea densidade ...
Construída por Desirée F. Balielo e UlyssesSodré. Atualizada em 24/mar/2005.http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fun...
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Ensino fundamental razão e proporções

  1. 1. Ensino Fundamental: Razões e Proporções Razões Proporções Propriedade fundamental Razões/Proporções desegmentos Polígonos Semelhantes Figuras Semelhantes Aplicações práticas dasrazõesRazõesA palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou oquociente entre dois números A e B, denotada por:ABExemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:123= 4e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:36= 0,5A razão também pode ser expressa na forma de divisão entreduas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo,para preparar uma bebida na forma de suco, normalmenteadicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. Arelação entre a quantidade de litros de suco concentrado e deágua é um número real expresso como uma fração ou razão (quenão tem unidade), é a razão:AB= A/BExemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
  2. 2. Líquido Situação1Situação2Situação3Situação4Suco puro 3 6 8 30Água 8 16 32 80Suco pronto 11 22 40 110Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litrosde água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litrosde água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20arremessos e acerta 10.Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo onúmero de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos,o que significa que o jogador acertou 1 para cada doisarremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de0,5 para cada arremesso.10 : 20 = 1 : 2 = 0,5ProporçõesProporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entreA/B e C/D é a igualdade:AB=CDNotas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione esignifica uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é
  3. 3. uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemáticoárabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar asproporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido porTartaglia, escreveu uma proporção na forma6:3::8:4.Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que maisdivulgou o emprego das proporções durante o período doRenascimento.Propriedade fundamental das proporçõesNuma proporção:AB=CDos números A e D são denominados extremos enquanto osnúmeros B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dosmeios é igual ao produto dos extremos, isto é:A · D = B · CExemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:34=68Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 estejaem proporção com 4/6.Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:x3=46
  4. 4. Para obter X=2.Razões e Proporções de SegmentosConsideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas sãodadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.A________B, C ______________ DComparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razãoentre as suas medidas.m(AB)m(CD)=24Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.Polígonos SemelhantesDois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentescongruentes e os lados correspondentes proporcionais.Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.Observamos que os ângulos correspondentes possuem asmesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os ladoscorrespondentes são proporcionais.AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2
  5. 5. Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST sãosemelhantes e indicamos isto por :ABC ~ DEFFiguras SemelhantesDuas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma formacom medidas correspondentes congruentes, ou seja, quandouma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa queexiste uma proporção constante entre elas sem ocorrência dedeformação. A figura final e a figura original são chamadasfiguras semelhantes.As figuras geométricas são semelhantes quando existe umaigualdade entre as razões dos segmentos que ocupam ascorrespondentes posições relativas nas figuras.Exemplo: Nos triângulosobservamos que os ângulos correspondentes possuem a mesmamedida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentessão proporcionais.AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamospor:ABC ~ DEFExemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
  6. 6. Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhosdiferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ouo mapa amarelo é uma redução do mapa verde.Aplicações práticas das razõesExistem algumas razões especiais muito utilizadas em nossocotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidadedemográfica e densidade de um corpo.1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é umagrandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida(expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por elegasto (expresso em horas, minutos ou segundos).vmédia = distância percorrida / tempo gastoExemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MATpercorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média doveículo nesse percurso?A partir dos dados do problema, teremos:vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h
  7. 7. o que significa que a velocidade média do veículo durante acorrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorridao carro se deslocou 164 Km.2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezasse encontra na escala de redução ou escala de ampliação,conhecidas simplesmente como escala. Chamamos deescala de um desenho à razão entre o comprimentoconsiderado no desenho e o comprimento realcorrespondente, ambos medidos na mesma unidade.escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboçográfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou deuma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois asdimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do queas dimensões do barco azul, ou seja, os ladoscorrespondentes foram reduzidos à metade na mesmaproporção.
  8. 8. 3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidadedemográfica, também chamada de população relativa deuma região é considerada uma aplicação de razão entreduas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero dehabitantes e a área ocupada em uma certa região.Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cadatime, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra.Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador deum time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo timeque tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que adensidade demográfica é menor na quadra que tem umjogador expulso e maior na outra quadra.Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem umapopulação aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente60 habitantes.4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é maisuma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, adensidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre amassa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seuvolume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade devolume.Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidadevolumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há umamassa de 8,75 kg.Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes,observamos que ao colocarmos corpos diferentes em umrecipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.
  9. 9. Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que umade chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porquea densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor.Algumas substâncias e suas densidades estão na tabelaabaixo:Substância Densidade [g/cm³]madeira 0,5gasolina 0,7álcool 0,8alumínio 2,7ferro 7,8mercúrio 13,65. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavammuito com certas razões e descobriram a razão entre ocomprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este éum fato fundamental pois esta razão é a mesma para todacircunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor éaproximadamente:Pi = 3,1415926535Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D amedida do diâmetro da circunferência, temos uma razãonotável:C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...significando queC = Pi . DExemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.
  10. 10. Construída por Desirée F. Balielo e UlyssesSodré. Atualizada em 24/mar/2005.http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/razoes/razoes.htm

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