Estudo da circunferência

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Estudo da circunferência

  1. 1. ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 3 Edificações Grupo 4
  2. 2. INSTITUTO FEDERAL DE SERGIPE (CAMPUS LAGARTO)  Alunos: Andréa Neto; Cristian Valéria; Fernanda Lopes; Hortência Santana; Joana Sueveny; Laísa Fraga; Larissa Menezes; Luciana Venceslau; Natalia Ramos.
  3. 3. DEFINIÇÃO: Equação reduzida da Circunferência Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
  4. 4.  Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C aP(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
  5. 5.  Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.  Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
  6. 6. EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA  Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
  7. 7. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA  Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
  8. 8. A) P É EXTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA:
  9. 9. B) P PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA:
  10. 10. C) P É INTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA:
  11. 11.  Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 + ( y - b )2 - r2 .
  12. 12. Posição relativa entre ponto e reta e circunferência:  Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no plano:
  13. 13. a) A reta r é secante a circunferência; ambas possuem dois pontos em comum.
  14. 14. b) A reta r é tangente a circunferência; ambas possuem somente um ponto em comum.
  15. 15. c) A reta r é externa a circunferência e ambas não possuem nenhum ponto em comum. possuem somente um ponto em comum.
  16. 16. Utilizando-se a fórmula da distância entre um ponto e uma reta, adaptado para a distância entre o centro da circunferência e a reta r de equação geralax + by + c = 0: Podemos concluir a posição relativa entre a reta e a circunferência a partir dos seguintes dados: a) se d < R a reta é secante à circunferência. b) se d = R a reta é tangente à circunferência. c) se d > R a reta é externa à circunferência.
  17. 17. Posição relativa entre ponto e circunferência Utilizando-se o mesmo raciocínio do item anterior determina-se a distância entre o ponto P(xp, yp) e o centro da circunferência por intermédio da fórmula: •Se d > R o ponto é externo à circunferência. •Se d = R o ponto pertence à circunferência. • Se d o ponto é interno à circunferência.
  18. 18. Posição relativa entre duas circunferências: No estudo analítico da circunferência, os elementos raio, diâmetro e centro da circunferência são fundamentais para conclusões de diversos problemas e para a determinação da equação que define essa forma geométrica tão importante. Em se tratando de posições relativas entre duas circunferências, elas podem ser: tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Vamos analisar cada caso.
  19. 19. Circunferências tangentes.
  20. 20. a) Tangentes externas Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios. dOC = r1 + r2
  21. 21. b) Tangentes internas Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios. dOC = r1 - r2
  22. 22. Circunferências externas. Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios. dOC > r1 + r2
  23. 23. Circunferências secantes. Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios. dCO < r1 + r2 
  24. 24. Circunferências internas. Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios. dOC < r1 - r2
  25. 25. Circunferências concêntricas. Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula. dCO = 0
  26. 26. AGORA VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS:
  27. 27. EXEMPLO 1:  Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(4;7) e raio R=2.
  28. 28. EXEMPLO 2:  Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2;3) e que passa pelo ponto P(-1;2).
  29. 29. EXEMPLO 3:  Ache a equação da circunferência cujas extremidades de mm diâmetro são os pontos A(0;-8) e B(6;0).
  30. 30. REFERÊNCIAS:  http://www.brasilescola.com/matematica/circ unferencia.htm  https://sites.google.com/site/geometriaanaliti caportifolio/calendar  http://mscabral.pro.br/sitemauro/aulas/circul o.htm

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