1.
Geometria analítica en el pla PART I – Geometria Afí Matemàtiques I

2.
Índex de continguts <ul><li>I- Geometria afí: </li></ul><ul><li>Introducció: història </li></ul><ul><li>Sistema de coordenades cartesianes </li></ul><ul><li>La recta en el pla </li></ul><ul><li>Posició relativa entre rectes </li></ul><ul><li>II- Geometria mètrica (angles i distàncies): </li></ul><ul><li>Distància entre punts </li></ul><ul><li>Angle entre dues rectes </li></ul><ul><li>Distància punt-recta, recta-recta </li></ul><ul><li>Aplicacions </li></ul>

3.
1. La geometria analítica 4 Trigonometria 5 Vectors en el pla 6 Geometria analítica en el pla 7 Llocs geomètrics i còniques Geometria plana Què va suposar? Aplicar el llenguatge algebraic per a resoldre problemes geomètrics Qui? René Descartes (1596-1650), filòsof, científic i matemàtic francès, considerat el fundador de la filosofia moderna.

4.
2. Sistema de referència cartesià Un sistema de referència en el pla queda determinat per: - un punt O anomenat origen - una base de vectors B ={ u , v } Si triam la base canònica B ={ i , j } obtenim un sistema de referència Cartesià j i O A OA Vector de posició del punt A

5.
3. La recta en el pla Una recta queda definida per: - Dos punts, o - Un punt i un vector director <ul><li>Formes d’expressar la recta en el pla: </li></ul><ul><ul><li>Equació vectorial </li></ul></ul><ul><ul><li>Equació paramètrica </li></ul></ul><ul><ul><li>Equació contínua </li></ul></ul><ul><ul><li>Equació general </li></ul></ul><ul><ul><li>Equació punt-pendent </li></ul></ul><ul><ul><li>Equació explícita </li></ul></ul><ul><ul><li>Equació segmentària </li></ul></ul><ul><ul><li>Equació normal </li></ul></ul>

6.
3. La recta: Equació vectorial Recta que passa pel punt A i té la direcció del vector u (vector director) Per a tot nombre real  r j i O A X X

7.
3. La recta: Equació vectorial Activitat: Escriu l’equació vectorial de la recta que passa pel punt A (2,-3) i té vector director u =(1, -1).

8.
3. La recta: Equació paramètrica <ul><li>Partim de l’equació vectorial de la recta </li></ul>i expressam els vectors en components Per a cada valor real de  que donem, obtenim un punt (x, y) de la recta <ul><li>Igualam component a component </li></ul>

9.
3. La recta: Equació contínua <ul><li>Partim de l’equació paramètrica </li></ul>Activitat: Escriu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que passa pel punt A (-3,2) i té vector director u =(2, -1). i aïllam  de cada equació: <ul><li>Igualam les dues expressions </li></ul>

10.
3. La recta: Equació contínua Activitat: Escriu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que passa pel punt A (-3,2) i té vector director u =(2, -1).

11.
3. La recta: Equació general <ul><li>Partim de l’equació contínua </li></ul>Activitat: Donada la recta 2 x +3 y -7=0 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma contínua. i feim el producte creuat <ul><li>operant </li></ul><ul><li>Trobam l’eq. general </li></ul><ul><li>Fixa’t, el vector director és </li></ul>

12.
Activitat: Donada la recta 2 x +3 y -7=0 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma contínua. 3. La recta: Equació general

13.
3. La recta: Equació punt-pendent <ul><li>Determinar la recta que passa per dos punts A (a x , a y ) B (b x , b y ) </li></ul>m és el pendent de la recta <ul><li>Vector director: </li></ul><ul><li>La recta en forma contínua és: </li></ul><ul><li>Operant: </li></ul>j i O A B

14.
3. La recta: Equació punt-pendent <ul><li>Determinar la recta que passa per dos punts A (a x , a y ) B (b x , b y ) </li></ul>Significat del pendent de la recta, m j i O A B b y - a y b x - a x  m >0 m <0  

15.
3. La recta: Equació punt-pendent Activitat: Calcula l’equació punt-pendent de la recta que passa pels punts A(2,4) i B(5,0). Troba l’angle que forma la recta amb l’eix OX.

16.
3. La recta: Equació explícita y=... <ul><li>Quin és el vector director? </li></ul><ul><li>Partim de l’equació punt-pendent </li></ul><ul><li>Operam i aïllam la y en funció de x </li></ul><ul><li>És a dir, </li></ul>Activitat: Donada la recta y =3 x -5 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma paramètrica.

17.
3. La recta: Equació explícita y =... Activitat: Donada la recta y =3 x -5 troba el vector director i un punt. Expressa-la en forma paramètrica.

18.
3. La recta: Equació segmentària <ul><li>Quin és el significat geomètric de p i q ? </li></ul><ul><li>Partim de l’equació explícita </li></ul>p q x y <ul><li>Operam i dividim per n </li></ul><ul><li>És a dir, </li></ul>Activitat: Donada la recta y+2 =5( x -1), expressa-la en forma segmentària. Troba els talls amb els eixos de coordenades.

19.
3. La recta: Equació segmentària Activitat: Donada la recta y+2 =5( x -1), expressa-la en forma segmentària. Troba els talls amb els eixos de coordenades. <ul><li>Gràfica de la recta </li></ul>

20.
3. La recta: Equació normal <ul><li>Primer mirem com calcular el vector normal d’una recta: </li></ul><ul><li>u =(u x ,u y ) és el vector director, n =(n x ,n y ) és el vector normal </li></ul><ul><li>Ha de passar que ja que formen un angle de 90º. </li></ul><ul><li>Triem n =(u y ,-u x ) </li></ul>Activitat: Calcula el vector normal de la recta 2 x -3 y +5=0. x y

21.
3. La recta: Equació normal <ul><li>Equació d’una recta sabent un punt A(a x ,a y ) i el vector normal n =(n x ,n y ) </li></ul>Fixa’t bé: Vector normal Vector director Expressant la relació en components: S’ha de complir Activitat: Calcula l’equació de la recta que passa pel punt A(2,1) i que té com a vector normal n =(1,4) x y A

22.
3. La recta: Equació normal Activitat: Calcula l’equació de la recta que passa pel punt A(2,1) i que té com a vector normal n =(1,4)

23.
4. Posició relativa entre dues rectes en el pla Quines possibilitats existeixen?  Té infinites solucions r s x y Es tallen en un punt r s x y Són paral·leles r s x y Són coincidents són linealment independents són linealment dependents  Té solució única  No té solució són linealment dependents

24.
4. Posició relativa entre rectes en el pla Exemple : Determina la posició relativa del parell de rectes r : x – 2y +1 =0 i s : 2x – 4y – 6 =0 Cercam primer els vectors directors de cada recta: Veim que són linealment dependents (les rectes poden ser paral·les o coincidents): 0 = 4 Impossible! Sistema incompatible Les rectes són paral·leles

25.
4. Posició relativa entre rectes en el pla Activitats : Determina la posició relativa del parell de rectes a) r : x – 2y + 1= 0 i s : 3x – 2y – 9 =0 b) r : 3x – 2y – 9 =0 i s : 2x + 3y + 9 =0 c) r : 2x + 3y – 4 = 0 i s : 4x + 6y – 8 =0