Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD - Vicerrectoría Académica y de
Investigación - VIACI
Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Programa: Ingeniería de Sistemas
Curso: Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
UNIDAD 1: ECUACIONES, INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
Presentado por:
JHONRGE ONETH IBARGUEN MORENO Código: 11800117
IVAN DARIO GARZON Código:
Grupo: 301301_169
TUTOR:
RICARDO AUGUSTO VILLA
Asignatura:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Universidad Nacional Abierta y a Distancia-UNAD
Ingeniería de sistemas
Bello 30 de Mayo de 2017

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Curso: Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo del presente trabajo colaborativo se ponen en práctica los conceptos
aprendidos en cuanto a los temas de Ecuaciones, Inecuaciones y Valor Absoluto. En éste
trabajo, se desarrollan ejercicios propuestos implementando las técnicas y procedimientos de
solución de ecuaciones, e inecuaciones y gráficos en el plano cartesiano.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
Problema 1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y compruebe su solución con
Geogebra.
La ecuación 1, corresponde al planteamiento del ejercicio número 1 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(1)
3𝑥
2
− 4𝑦 + 2𝑧 = 15
3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12
4𝑥 − 17𝑦 + 10𝑧 = 13
A continuación, se presenta el procedimiento
Despejar x
4x − 17y + 10z = 13
4x = 17y − 10z + 13 agrupar términos
x =
17y − 10z + 13
4
despejar x
Reemplazar x en la segunda ecuación y despejar y
3x + 8y − 16z = 12
3 (
17y − 10z + 13
4
) + 8y − 16z = 12 reemplazar x
51y − 30z + 39
4
+ 8y − 16z = 12 resolver paréntesis
51𝑦
4
−
15𝑧
2
+
39
4
+ 8y − 16z = 12 agrupar términos comunes

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51𝑦
4
+ 8y − 16z −
15𝑧
2
= 12 −
39
4
simplificar
51𝑦 + 32𝑦
4
−
32𝑧 + 15𝑧
2
=
48 − 39
4
resolver
83𝑦
4
−
47𝑧
2
=
9
4
simplificar términos
83𝑦
4
=
9
4
+
47𝑧
2
despejar
83𝑦
4
=
9 + 94𝑧
4
solucionar
𝑦 =
9 + 94𝑧
83
despejar
Se reemplazan los valores en la ecuación 1
3x
2
− 4y + 2z = 15
3
2
(
17y − 10z + 13
4
) − 4 (
9 + 94𝑧
83
) + 2z = 15 Se remplazan los términos
51y − 30z + 39
8
−
36 + 376𝑧
83
+ 2z = 15 se resuelven los paréntesis
51
8
𝑦 −
15
4
𝑧 +
39
8
−
36
83
−
376
83
𝑧 + 2z = 15 se separa los dividendos
51
8
(
9 + 94𝑧
83
) −
15
4
𝑧 +
39
8
−
36
83
−
376
83
𝑧 + 2z = 15 se agrupan términos
459 + 4.794𝑧
664
−
15
4
𝑧 +
39
8
−
36
83
−
376
83
𝑧 + 2z = 15 se resuelve
459
664
+
4.794
664
𝑧 −
15
4
𝑧 +
39
8
−
36
83
−
376
83
𝑧 + 2z = 15 se simplifica
4.794
664
𝑧 −
15
4
𝑧 −
376
83
𝑧 + 2z = 15 −
459
664
−
39
8
+
36
83
se agrupan términos

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1.591.608𝑧 − 826.680𝑧 − 998.656𝑧
220.448
+ 2z
= 15 −
304.776 + 2.149.368 − 191.232
440.896
despeja
−233.728𝑧
220.448
+ 2z = 15 −
2.262.912
440.896
se agrupan términos
440.896𝑧 − 233728𝑧
220448
=
6.613.440 − 2262912
440896
se da solución
207.168𝑧
220448
=
4.350.528
440896
se simplifica
207.168𝑧 =
4.350.528
2
se despeja
207.168𝑧 = 2.175.264 se soluciona
𝑧 =
2.175.264
207.168
resultado final
𝑧 = 10.5 se encuentra la solución
Se remplaza el valor hallado en las otras ecuaciones
𝑦 =
9 + 94𝑧
83
se remplaza el valor encontrado
𝑦 =
9 + 94 ∗ 10.5
83
se soluciona aritméticamente
𝑦 = 12 se encuentra la solución
x =
17y − 10z + 13
4
x =
17 ∗ 12 − 10 ∗ 10.5 + 13
4
se remplaza el valor encontrado
x =
204 − 105 + 13
4
se soluciona aritméticamente
x = 28 se encuentra la solución
La solución a este sistema de ecuaciones es:

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x = 28, 𝑦 = 12, 𝑧 = 10.5
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 1. Tenemos la representación gráfica de la ecuación y realizada con
el software Geogebra online.
3𝑥
2
− 4𝑦 + 2𝑧 = 15
3𝑥 + 8𝑦 − 16𝑧 = 12
4𝑥 − 17𝑦 + 10𝑧 = 13
Figura 1: grafica de la ecuación 1 correspondiente al ejercicio #1 del trabajo colaborativo unidad 1.

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Problema 2. Determine el valor de “x” que satisface la siguiente ecuación racional y compruebe
su solución con Geogebra.
La ecuación 2, corresponde al planteamiento del ejercicio número 2 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(2)
2(𝑥2
− 16)
(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)
−
5(𝑥2
+ 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥3 − 1)
+
(𝑥 + 7)2
(𝑥3 + 21𝑥2 + 147𝑥 + 343)
= 2
A continuación, se presenta el procedimiento
Se resuelven los paréntesis
2(𝑥2
− 16)
𝑥2 + 4𝑥 − 4𝑥 − 16
−
5(𝑥3
− 𝑥2
+ 𝑥2
− 𝑥 + 𝑥 − 1)
(𝑥3 − 1)
+
(𝑥 + 7)2
(𝑥3 + 21𝑥2 + 147𝑥 + 343)
= 2
2(𝑥2
− 16)
𝑥2 − 16
−
5(𝑥3
− 1)
(𝑥3 − 1)
+
(𝑥 + 7)2
(𝑥3 + 21𝑥2 + 49𝑥 + 98𝑥 + 343)
= 2
Se simplifica
2 − 5 +
(𝑥 + 7)2
𝑥(𝑥2 + 14𝑥 + 49) + 7𝑥2 + 98𝑥 + 343)
= 2
Se agrupan los términos
2 − 5 +
(𝑥 + 7)2
𝑥(𝑥2 + 14𝑥 + 49) + 7𝑥2 + 98𝑥 + 343)
= 2
Se factorizan los términos comunes
2 − 5 +
(𝑥 + 7)2
𝑥(𝑥 + 7)2 + 7(𝑥2 + 14𝑥 + 49)
= 2
2 − 5 +
(𝑥 + 7)2
𝑥(𝑥 + 7)2 + 7(𝑥 + 7)2
= 2
Se simplifica
2 − 5 +
(𝑥 + 7)2
(𝑥 + 7)2(𝑥 + 7)
= 2
Se despeja
2 − 5 +
1
(𝑥 + 7)
= 2

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1
(𝑥 + 7)
= 2 − 2 + 5
Se resuelve
1
(𝑥 + 7)
= 5
𝑥 + 7 =
1
5
𝑥 =
1
5
− 7
𝑥 =
1 − 35
5
𝑥 =
−34
5
= −6.8
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 2. Tenemos la representación gráfica de la ecuación y realizada con
el software Geogebra online
Figura 2: grafica de la ecuación 2correspondiente al ejercicio #2 del trabajo colaborativo unidad 1.
Problema 3. Hallar la solución de la siguiente ecuación y compruebe su solución con Geogebra.
La ecuación 3, corresponde al planteamiento del ejercicio número 3 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(3)
𝑥6
+ 5𝑥3
− 24 = 0

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A continuación, se presenta el procedimiento
𝑋6
+ 5𝑋3
- 24 = 0
Se hace cambio de variable
U = 𝑋3
 𝑈2
= 𝑋6
Se reemplaza X por la variable en la ecuación original
𝑈2
+ 5𝑈 – 24 = 0
Se factoriza
(U + 8) (U - 3) = 0
Por regla del producto nulo
U + 8 = 0  U = -8
U – 3 = 0  U = 3
Reemplazamos el valor de U por 𝑋3
y se despeja X
𝑋3
= −8  X = √−8
3
 X = -2
𝑋3
= 3  X = √3
3
Respuesta X = -2 o X = √𝟑
𝟑
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 3. Tenemos la representación gráfica de la ecuación 𝑋6
+ 5𝑋3
-
24 = 0 y realizada con el software Geogebra online

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Figura 3: grafica de la ecuación 3correspondiente al ejercicio #3 del trabajo colaborativo unidad 1.
Problema 4. Hallar la solución de la siguiente ecuación con radicales y comprobar su solución
con Geogebra.
La ecuación 4, corresponde al planteamiento del ejercicio número 4 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(4)
2√4𝑥 − 7 − √5𝑥 + 6 = 20
A continuación, se presenta el procedimiento
Igualamos la ecuación  6520742  xx
Elevamos al cuadrado ambos lados  22
)6520()742(  xx
Resolvimos el cuadrado )2()( 222
bababa   656520220)74(4 2
 xxx
Aplicamos distributiva  6565404002816  xxx
Reagrupamos términos semejantes  6540400628516  xxx
Reducimos términos semejantes  654043411  xx

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Elevamos al cuadrado ambos lados  22
)6540()43411(  xx
Resolvimos el cuadrado )2()( 222
bababa   )65(1600434434112)11( 22
 xxx
Aplicamos distributiva  960080001883569548121 2
 xxx
Igualamos a cero  0960018835680009548121 2
 xxx
Términos semejantes 017875617548121 2
 xx
Aplicando fórmula general
a
acbb
x
2
42


1212
17875612141754817548 2


x
242
22141440017548 
x
242
1488017548 
x
134
242
1488017548


x V 02.11
121
1334
242
1488017548


x
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 4. Tenemos la representación gráfica de la ecuación
2√4𝑥 − 7 − √5𝑥 + 6 = 20 y realizada con el software Geogebra online

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Figura 4: grafica de la ecuación 4, correspondiente al ejercicio #4 del trabajo colaborativo unidad 1.
Problema 5. Hallar la solución del siguiente Sistema de ecuaciones y comprobar su solución
con Geogebra.
La ecuación 5 y 6 corresponde al planteamiento del ejercicio número 5 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(5)
7
𝑥
+
5
𝑦
= 9
2
𝑥
−
4
𝑦
= 3 (6)
A continuación, se presenta el procedimiento:
7
𝑋
+
5
𝑌
= 9
2
𝑋
-
4
𝑌
= 3
Se enumeran las ecuaciones
7
𝑋
+
5
𝑌
= 9 (5)
2
𝑋
-
4
𝑌
= 3 (6)
Se despeja Y en (5)

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5
𝑌
= 9 -
7
𝑋
5 = (9 −
7
𝑌
) y
El resultado de despejar Y lo enumeramos como (7)
Y =
5
9 −
7
𝑋
(7)
Sustituimos (7) en (6)
2
𝑋
-
4
𝑌
= 3 (6)
2
𝑋
-
4
5
9 −
7
𝑋
= 3
Aplicamos ley de medios y extremos
2
𝑋
-
36+
28
𝑥
5
= 3
Para eliminar el 5 como denominador multiplicamos todo por 5
10
𝑋
– 36 +
28
𝑋
= 15
10
𝑋
+
28
𝑋
= 15 + 36
10
𝑋
+
28
𝑋
= 51
38
𝑥
= 51
La x que está dividiendo la paso a multiplicar para despejar X
38 = 51X
X =
38
51
Sustituimos el valor de X en (7)
Y =
5
9 −
7
𝑋
(7)
Y =
5
9 −
7
38
51
Aplicamos ley de medios y extremos
Y =
5
9 −
7(51)
38

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Curso: Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
Y =
5
9(38)− 7(51)
38
Aplicamos ley de medios y extremos
Y =
5(38)
9(38)−7(51)
Y =
190
−15
Simplificando queda
Y = -
38
3
Respuesta X =
𝟑𝟖
𝟓𝟏
, Y = -
𝟑𝟖
𝟑
Comprobamos remplazando X y Y en (5)
7
𝑋
+
5
𝑌
= 9
7
38
51
+
5
−
38
3
= 9
357
38
-
15
38
= 9
349
38
= 9
Simplificando
9= 9
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 5. Tenemos la representación gráfica de la ecuación
7
𝑋
+
5
𝑌
= 9 y
2
𝑋
-
4
𝑌
= 3, realizada con el software Geogebra online

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Figura 5: grafica de las 5 y 6, correspondiente al ejercicio #5 del trabajo colaborativo unidad 1
Problema 6. Expresar como fracción parcial la siguiente función racional y compruebe su
solución con Geogebra.
La ecuación 8 corresponde al planteamiento del ejercicio número 6 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(8)
(4𝑥 − 3)
(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)2
A continuación, se presenta el procedimiento:
Factorización de la fracción
4𝑥−3
(𝑥+3)(𝑥+2)2
=
𝐴
𝑥+1
+
𝐵
𝑥+2
+
𝐶
(𝑥+2)2
Igualamos las expresiones 4𝑥 − 3 = 𝐴(𝑥 + 2)2
+ 𝐵(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) + 𝐶(𝑥 + 1)
Se hallan los valores de A para 𝑥 = −1
4(−1) − 3 = 𝐴(−1 + 2)2
−7 = 𝐴

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Se hallan los valores de C para 𝑥 = −2
4(−2) − 3 = 𝐶(−2 + 1)
−11 = −𝐶
11 = 𝐶
Se hallan los valores de B para 𝑥 = 1
4(1) − 3 = −7(1 + 2)2
+ 𝐵(1 + 1)(1 + 2) + 11(1 + 1)
1 = −63 + 6𝐵 + 22
1 = −41 + 6𝐵
42
6
=
6
6
𝐵
7 = 𝐵
Luego:
4𝑥 − 3
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)2
= −
7
𝑥 + 1
+
7
𝑥 + 2
+
11
(𝑥 + 2)2
A continuación en la figura 2. Presentamos la comprobación de la ecuación
4𝑥−3
(𝑥+3)(𝑥+2)2 = −
7
𝑥+1
+
7
𝑥+2
+
11
(𝑥+2)2, donde expresamos como fracción parcial una función
racional.
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 6. Tenemos la representación gráfica de la ecuación
(4𝑥−3)
(𝑥+1)(𝑥+2)2
realizada con el software Geogebra online

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Figura 6: grafica de la ecuación 8 correspondiente al ejercicio #6 del trabajo colaborativo unidad 1
Problema 7. Hallar la solución de la siguiente inecuación racional con valor absoluto y
comprobar su solución con Geogebra.
La ecuación 9 corresponde al planteamiento del ejercicio número 7 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(9)
|
𝑥 − 7
4𝑥 − 15
| > 8
A continuación, se presenta el procedimiento:
Esta es una inecuación de la forma |
𝑎𝑥−𝑏
𝑐𝑥−𝑑
| > e
El primer valor se encuentra con la siguiente formula:𝑇1=
𝑒(−𝑑) −𝑏
𝑒(𝑐)+𝑎

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Resolvemos la operación 𝑇1=
8(−(−15)) −(−7)
8(4)+1
=
8(15)+7
32+1
=
120+7
32+1
=
127
33
Este seria el primer punto o tramo
El segundo punto lo hallamos al tomar esta fraccion
120+7
32+1
del primer punto y se le
cambian los signos
𝑇2=
120−7
32−1
=
113
31
Este es el segundo tramo ó punto
El tercer punto sale de convertir el denominador en una ecuación lineal por lo tanto
P = 4x – 15 = 0
4x = 15
x =
15
4
Solución: (
113
31
,
15
4
) ∪ (
15
4
,
127
33
)
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 7 tenemos la representación gráfica de la ecuación
|
𝑥−7
4𝑥−15
| > 8, realizada con el software Geogebra online

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Figura 7: grafica de la ecuación 9 correspondiente al ejercicio #7 del trabajo colaborativo unidad 1
Problema 8. Hallar la solución de la siguiente inecuación racional y comprobar su solución con
Geogebra.
La ecuación 10 corresponde al planteamiento del ejercicio número 8 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(10)
𝑥2
+ 3𝑥 − 16
𝑥 − 2
≤ 8
A continuación, se presenta el procedimiento:
Igualamos a cero y pasamos al otro lado el número 8 con signo contrario
𝑥2+3𝑥−16
𝑥−2
- 8 <= 0
Multiplicamos en cruz
𝑥2+3𝑥−16 − 8 (𝑥−2)
𝑥−2
<= 0
Realizamos la multiplicación para destruir el paréntesis
𝑥2+3𝑥 −16 − 8𝑥 + 16
𝑥−2
<= 0

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Realizamos las operaciones de suma o resta
𝑥2 − 5𝑥
𝑥−2
<= 0
Factorizamos el numerador por factor común
𝑥 (𝑥−5)
𝑥−2
<= 0
Sacamos los valores críticos
X, Valor crítico x = 0
X - 5, Valor Crítico X = 5 en esta aplicamos la regla del producto nulo
X – 2, Valor Crítico X = 2 en esta aplicamos la regla del producto nulo
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 8 tenemos la representación gráfica de la ecuación
x2+3x−16
𝑥−2
<=
8, realizada con el software Geogebra online
Figura 8: grafica de la ecuacion 10, correspondiente al ejercicio #8 del trabajo colaborativo unidad 1

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Escuela: Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Programa: Ingeniería de Sistemas
Curso: Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
Problema 9. Hallar la solución de la siguiente ecuación con valor absoluto y comprobar su
solución con Geogebra.
La ecuación 11 corresponde al planteamiento del ejercicio número 9 de la guía de trabajo
colaborativo unidad 1
(11)
|𝑥2
+ 3𝑥 − 15| = 3
A continuación, se presenta el procedimiento:
Igualamos a cero y pasamos el 3 a la ecuación con el signo contrario en este caso negativo
𝑥2
+ 3𝑥 − 15 – 3 = 0 Luego sumamos los dos números que no tienen coeficiente y
la ecuación queda de la siguiente forma
𝑥2
+ 3𝑥 − 18 = 0
Factorizamos la ecuación anterior ya que es un trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 y nos
queda (x + 6) (x – 3), aplicamos la regla del producto nulo
x + 6 = 0  x = -6
x – 3 = 0  x = 3
|𝑥2
+ 3𝑥 − 15| = - 3
𝑥2
+ 3𝑥 − 15 + 3 = 0, Igualamos a cero y pasamos el 3 a la ecuación con el signo
contrario en este caso positivo
𝑥2
+ 3𝑥 − 12 = 0
Factorizamos por medio de la ecuación cuadrática la ecuación: 𝑥2
+ 3𝑥 − 12 = 0
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎

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𝑥 =
−3 ± √32 − 4(1)(−12)
2(1)
𝑥 =
−3 ± √9 + 48
2
𝑥 =
−3 ± √57
2
𝑥 =
−3 + √57
2
𝑥 =
−3 − √57
2
Solución: x = -6, x = 3, 𝑥 =
−3+√57
2
, 𝑥 =
−3−√57
2
Representación Geogebra
A continuación, en la figura 2 tenemos la representación gráfica de la ecuación
|𝑥2
+ 3𝑥 − 15| = 3, realizada con el software Geogebra online

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Figura 9: grafica de la ecuación 11 correspondiente al ejercicio #9 del trabajo colaborativo unidad 1

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CONCLUSIONES
Con el desarrollo del presente trabajo se han puesto en práctica los conocimientos adquiridos
sobre los conceptos aprendidos en cuanto a los temas de Ecuaciones, Inecuaciones y Valor
Absoluto, por lo tanto se llega a las siguientes conclusiones:
Según Rondón, J. (2011),
Al resolver ecuaciones comúnmente acortamos el uso de la propiedad de la igualdad, observamos
que al mover de un lado al otro un signo de igualdad, el signo cambia; en realidad, lo que pasa es
que estamos sumando el opuesto a ambos lados de la ecuación.
A lo largo de esta actividad hemos aprendido, qué son las ecuaciones y como se resuelven,
también aprendimos a solucionar problemas y como plantearlos.
Aprendimos que existen diferentes clases de ecuaciones, según el grado del polinomio que la
describe, según el número de variables, según el tipo de coeficientes. También conocimos que de
acuerdo al grado del polinomio, existen ecuaciones de primer grado, de segundo grado, etc. Y
que de acuerdo al número de variables, se tienen ecuaciones de una variable, ecuaciones de dos
variables, etc. También que según el tipo de coeficientes, se tienen ecuaciones de coeficientes
enteros, de coeficientes racionales, de coeficientes reales.
Aprendimos que para resolver ecuaciones, existen diversas técnicas matemáticas que depende del
tipo de ecuación, pero siempre se debe tener presente el principio de operaciones opuestas: Tales

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como: Suma – Resta, Producto – Cociente, Potenciación – radicación, potenciación –
Logaritmación.
2. Con el estudio de esta unidad pudimos conocer que las Inecuaciones son expresiones
matemáticas donde se comparan dos términos, utilizando principios matemáticos bien definidos.
Por esto a las inecuaciones también son conocidas como Desigualdades.
Lo primero que se debe hacer para resolver una inecuación cuadrática es llevarla a la
comparación con cero y luego linealizarla; es decir, expresarla como producto de dos factores
lineales, lo que se puede hacer por factorización o por la fórmula cuadrática.
3. Hemos podido conocer que el valor absoluto, es una figura matemática creada para relacionar
un número con una distancia. Su funcionalidad es permitir que en diversas situaciones se pueda
trabajar con números no negativos. En términos generales, el valor absoluto referencia la
distancia entre dos números reales.

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BIBLIOGRAFIA
Rondón, J. (2011) Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 1 – 146. Recuperado
de: http://hdl.handle.net/10596/7301
Gimenez, G (2012) La cultura como identidad y la identidad como cultura. Instituto de
investigaciones sociales de la UNAM
Jiménez, W (2012). El concepto de política y sus implicaciones en la ética pública:
reflexiones a partir de Carl Schmitt y Norbert Lechner*. Revista del CLAD Reforma y
Democracia. No. 53. Caracas.
Cifuentes, M (2016). Objeto Virtual de Información Unidad Uno.Universidad Nacional
Abierta y a Distancia.
El Profe Bani. (2014, Mayo 5)1. Inecuaciones Racionales con Valor Absoluto. Recuperado
de:https://www.youtube.com/watch?v=HVRsNUMDeKQ