1. UNIDAD 2: Funciones reales de una variable real.
Tema 3. Derivadas.
Problemas
1. Usando la definición de derivada, hallar las derivadas de las siguientes funciones en x = 2:
6x
a) f ( x) = 2 x 3 + 5 x b) g ( x) =
x +1
2
2x
2. Calcúlense las derivadas laterales de la función f ( x) = 1
en el origen de coordenadas.
e +x
x
3. Usando la definición de derivada, hallar f ' ( x) de las siguientes funciones:
5x 2 + 3 1
a) f ( x) = b) f ( x) = c) f ( x) = x + 1
6x 3x + 5
4. Escribir la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto indicado:
a) f ( x) = x 2 + 1 (2, 5) b) f ( x) = x 2 + 2 x + 1 (−3, 4)
c) f ( x) = x 3 (2, 8) d) f ( x) = x − 1 (5, 2)
5. Hallar la recta paralela a y − 2 x − 1 = 0 que sea tangente a y = ln x .
6. Hallar el ángulo de intersección de las parábolas y = ( x − 2) 2 e y = − 4 + 6 x − x 2 .
7. Se consideran las funciones
x 2 − 4x
2
f ( x) = , x ∈ [0,4] y g ( x) = 2 + x , x ∈ [− 1,1]
3
x+2
Estúdiese si se verifican las condiciones del teorema de Rolle. En caso afirmativo, determínese el
punto interior del intervalo de definición en que se anula la derivada.
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2. 8. Demostrar que en el intervalo [0,1] la función f ( x) = x 3 − 3x + 1 tiene exactamente una raíz.
9. En el segmento de la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1,1) y B(3,9), hallar un
punto cuya tangente sea paralela a la cuerda AB.
1
10. Hallar el polinomio de Taylor de grado n para la función f ( x) = en el origen.
1+ x
11. Sea P ( x) = 1 − 2 x 2 + 3x 4 el polinomio de Taylor de orden 4 de f en x = 0. Entonces, la gráfica
de f tiene tangente horizontal en x = 0. ¿Cierto? ¿Por qué?
12. Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de las siguientes funciones:
10 x 2 + 3
a) f ( x) = x 2 − 6 x − 1 b) f ( x) = c) f ( x) = log 2 x 3 + 3x 2
x
1
d) f ( x) = xe x e) f ( x) = f) y = 2 x + 3 3 x 2
3
x − 8 x + 17
2
13. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones:
6x + 5
a) f ( x) = 2 x 2 + 3x + 1 b) f ( x) = c) y = x 3 + 1
x2
d) f ( x) = exp(− x 2 ) e) f ( x) = 3 x + 2 f) f ( x) = e − x (x 2 + 6 x + 8)
14. Calcular las asíntotas de las funciones
x +1
a) y = 1 / x 2 b) f ( x) = x 2 x2 −1 c) y = x + ln x d) f ( x) = ln
x −1
15. Estudiar y representar gráficamente las siguientes funciones:
6x − 1
a) y = b) f ( x) = 15 x 3 + 14 x + 9 c) y = ln x x
2x
⎧3 x 2 ln x x≠0 x
d) f ( x) = ⎨ e) y = ( x 2 − 4) 2 / 3 f) f ( x) =
⎩ 0 x=0 3
x2 −1
g) f ( x) = xe x
h) f ( x) =
(x + 3)3 i) y =
x
( x + 2 )2 ( x − 1)( x − 3)
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3. 16. Se quiere cercar una parcela de 864 m2 por medio de una valla rectangular y además dividirla en
dos partes iguales por otra valla paralela a uno de los lados. ¿Qué dimensiones deben elegirse para
que la longitud total de la valla sea mínima?
17. Calcular el cilindro de menor superficie, entre todos aquellos que sean rectos de volumen fijo.
18. Con una cartulina de 8×5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo.
Hallar las dimensiones de dicha caja.
19. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado sobre el eje X y está
inscrito en el triángulo determinado por las rectas y = 0, y = x e y = 4-2x.
20. Se pretende construir un depósito de base cuadrada y con capacidad 1 m3. Se sabe que el precio
del material de la base es 10 euros por m2, mientras que el de los laterales es de 5 euros el m2.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de ese depósito paralelepipédico para que el coste sea mínimo?
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