Guide for laboratory report made by students after laboratory sessions of Physics at Yachay Tech University (Urcuquí, Ecuador). Official guide during April-August 2017 semester. Based on Ismael Mozo's work.

1. Directrices para la realizaci´on del informe de
las pr´acticas de laboratorio
1. Secciones del informe de pr´acticas
Para cada pr´actica realizada en el laboratorio ha de realizarse un informe que habr´ıa de constar la
siguiente informaci´on:
T´ıtulo de la pr´actica.
Autor o autores del informe.
Introducci´on te´orica, donde se describan los fundamentos de la pr´actica.
Descripci´on del equipo que se va a utilizar en la pr´actica y c´omo se va a realizar la misma.
Resultados obtenidos as´ı como el c´alculo de sus errores.
Conclusiones.
Bibliograf´ıa
2. Errores de las magnitudes directas
Una magnitud est´a correctamente expresada cuando se da el n´umero, su error y las unidades:
(n´umero ± error) unidades. De todos estos apartados, aquel que habr´ıa de resultar m´as novedoso es
el c´alculo de los errores.
Siendo este, presumiblemente, el primer contacto que se tiene con la teor´ıa de errores, se va a
centrar el estudio en hallar una estimaci´on de los errores que, si bien no es exactamente el m´etodo
m´as habitualmente seguido en la comunidad cient´ıfica, es una buena aproximaci´on.
Para empezar, hay que hablar de lo que se podr´ıa llamar error de escala. Este error tiene su origen
en el hecho de que los aparatos de medida tienen un precisi´on limitada, de modo que no dan un n´umero
infinito de decimales.
Para ilustrar lo que se intenta explicar, se va a tomar el ejemplo de medir la altura de una mesa.
Sup´ongase que se realiza la medida con una cinta m´etrica, que tiene como divisi´on m´as peque˜na el
mil´ımetro. Al medir la altura de la mesa, resulta que mide exactamente un metro. A la hora de expresar
el resultado habr´ıa que escribirlo como:
Altura de la mesa = 1.000 m ± 0.001 m = (1.000 ± 0.001) m (1)
Por supuesto, tambi´en podr´ıa haberse expresado en mil´ımetros como: (1000 ± 1) mm, como en
cualquier otro m´ultiplo o subm´ultiplo de la longitud. As´ımismo, tambi´en podr´ıa haberse expresado
como 1.000 m ± 1 mm, de modo que las unidades del n´umero y del error sean diferentes.
Advi´ertase, que en la altura de la mesa expresada en metros se han escrito tres ceros tras el punto
decimal. Se han escrito expresamente para indicar que el valor de los dec´ımetros, de los cent´ımetros y
de los mil´ımetros es conocido y, en este caso, valen cero.
El valor del error de la cinta m´etrica, as´ı como de cualquier otro aparato de medida es el corres-
pondiente a la divisi´on m´as peque˜na que se puede apreciar. Es su error de escala. Oficialmente lo
vamos a denominar error tipo B.
1

2. Tabla 1: Medidas de los tiempos de ca´ıda
medida tiempo / s
n´umero ± 0.01 s
1 0.45
2 0.47
3 0.45
4 0.43
5 0.45
Se va a considerar ahora que desde esa altura se deja caer un objeto y se mide el tiempo que tarda
en caer. Se utiliza un cron´ometro, que mide hasta las cent´esimas de segundo. Cuando se realiza la
medida se obtiene un valor de: 0.45 ± 0.01 s
Si se repite la medida de la altura de la mesa, seguramente se obtendr´ıa el mismo valor. Sin
embargo, si se repite la medida del tiempo de ca´ıda del objeto, no es tan seguro que se obtenga
exactamente el mismo valor. Puede que se reaccione un poco m´as lenta o r´apidamente y por tanto el
tiempo sea diferente. Sup´ongase que se realizan un total de 5 medidas, obteni´endose los resultados de
la tabla 1.
Cuando se realizan este tipo de medidas, se observa que exite un tipo de error diferente al error
de escala. Se lo conoce con el nombre de error accidental, y su nombre oficial ser´a error tipo A. El
valor del tiempo de ca´ıda que se va a considerar es la media de los tiempos medidos.
tmedia =
n
i=1
ti
n
=
t1 + t2 + t3 + t4 + t5
5
= 0.45 s (2)
El error que se va a asignar a esta magnitud va a ser suma de dos t´erminos. Por un lado el error
tipo B (que es 0.01 s). Por el otro se va a sumar el error tipo A. Para obtenerlo primero se necesita
hallar una propiedad estad´ıstica de nuestro conjunto de medida que se conoce como error est´andar, y
que se define por la siguiente expresi´on:
ES(t) =
n
i=1
(ti − tmedia)2
n(n − 1)
(3)
En concreto, para el ejemplo que se est´a utilizando con un total de 5 medidas (n = 5) habr´ıa que
aplicar la f´ormula siguiente:
s(t) =
(t1 − tmedia)2 + (t2 − tmedia)2 + (t3 − tmedia)2 + (t4 − tmedia)2 + (t5 − tmedia)2
5(5 − 1)
(4)
Si la distribuci´on de los datos siguiese una distribuci´on normal, la desviaci´on est´andar nos permi-
tir´ıa saber el intervalo dentro del cual se encuentra el 68.2 % de las medidas. Sin embargo, nuestros
datos no seguir´an una distribuci´on normal y adem´as querremos un intervalo de confianza mayor. Pa-
ra poder hacerlo se va a multiplicar el error est´andar ya obtenido por el valor 1.96, de modo que
comprenda el 95 % de los valores de la distribuci´on. 1
En el caso que se est´a utilizando como ejemplo, se tendr´ıa que el error tipo A es: εA = 1.96ES(t) =
1.96 × 0.0063 = 0.0012 s
De modo que el valor del error del tiempo ser´a la suma de los dos tipos de errores ya hallados:
ε(t) = εA + εB = 0.012 s + 0.01 s 0.02 s
1
V´ease el ´ultimo valor de la columna del 95 % en la tabla 4
2

3. Aquellos estudiantes que hayan le´ıdo el manual de sus calculadoras o que sepan utilizar hojas de
c´alculo encontrar´an una serie de funciones ´utiles para la realizaci´on de estos c´alculos, tales como la
desviaci´on est´andar o la desviaci´on poblacional.
Tras estos c´alculos, el valor del tiempo ser´ıa el siguiente:
Tiempo de ca´ıda = 0.45 s ± 0.02 s (5)
3. Errores de las magnitudes indirectas
Hasta ahora se ha visto como obtener el error de magnitudes cuyo valor se mide directamente. Sin
embargo, esos valores se suelen utilizar para hallar otras magnitudes. Estas ´ultimas magnitudes no
se miden directamente, sino que se hallan a trav´es de una ecuaci´on que las relaciona con otras. Son
halladas de forma indirecta, de modo que se las denomina magnitudes indirectas.
Los errores tipo A se van a propagar de modo diferente hacia las magnitudes indirectas que los
errores tipo B.
Consid´erese que se poseen las magnitudes x, y, z, . . ., cuyos valores sean conocidos.
Para calcular el error tipo B de una magnitud f(x, y, z, . . .) que se halla utilizando las magnitudes
medidas x, y, z, . . ., se debe aplicar la siguiente f´ormula:
εB(f) =
∂f
∂x
εB(x) +
∂f
∂y
εB(y) +
∂f
∂z
εB(z) + . . . (6)
Es la suma, para cada una de las magnitudes, del producto de: su error por el valor absoluto de
la derivada de la funci´on con respecto de esa magnitud. Es importante darse cuenta de que el valor
absoluto es esencial, pues los errores siempre se suman. El tipo de derivada que se utiliza es una
derivada parcial. Para aquellos que no conozcan todav´ıa este tipo de derivada, pueden considerar que
es constante todo lo que no sea la variable con respecto a la cual se deriva, de modo que casi siempre
son derivadas muy sencillas.
Siguiendo con el ejemplo del objeto que cae desde cierta altura, se puede intentar aplicar la f´ormula:
h = 1
2gt2, y hallar el valor de g = 2h/t2. De modo que el error tipo B de g ha de hallarse como sigue:
εB(g) =
∂g
∂h
εB(h) +
∂g
∂t
εB(t) =
2
t2
∂h
∂h
εB(h) + 2h
∂t−2
∂t
εB(t) =
=
2
t2
εB(h) + 2h(−2t−3
) εB(t) = 9.87 s−2
0.001 m + 2 m(−21.95 s−3
) 0.01 s =
= 9.87 s−2
0.001 m + −43.9 m s−3
0.01 s =
= 0.00987 m s−2
+ 0.439 m s−2
= 0.44887 m s−2
(7)
He aqu´ı un ejemplo donde los valores absolutos aseguran que se sumen adecuacamente las contri-
buciones de cada variable al error total de la magnitud correspondiente.
Ahora habr´ıa que encargarse de hallar el error tipo A. Para ello, la ecuaci´on general que debe
aplicarse es:
εA(f) =
∂f
∂x
2
ε2
A(x) +
∂f
∂y
2
ε2
A(y) +
∂f
∂z
2
ε2
A(z) + . . . (8)
Para el caso del ejemplo que se est´a viendo, la ecuaci´on resultante es:
εA(g) =
∂g
∂t
2
ε2
A(t) = |2h(−2t−3|2
ε2
A(t) = |2m(−21.95s−3|2
0.0122 s2 = 0.5412 m s−2
(9)
3

4. Hay un ´ultimo paso necesario, que es calcular el valor de la gravedad a partir de los datos anterio-
mente obtenidos: g = 2h/t2 = 9.876 m s−2. De modo que la magnitud de la aceleraci´on de la gravedad
que se obtiene con las medidas halladas es finalmente:
Aceleraci´on de la gravedad = g = 9.876 m s−2
± (0.44887 + 0.5421) m s−2
= (9.876 ± 0.9909) m s−2
= (9.9 ± 1.0) m s−2
(10)
4. Redondeo
Hay que aprender a redondear las magnitudes de modo que no se den decimales que no tengan
sentido o importancia. Para ello lo primero que hay que hacer es hallar tanto el valor del n´umero como
el de su error. Si, para una magnitud de longitud, el valor del n´umero es 1.23456 cm, y el del error
es 0.0321 cm, lo primero que debe hacerse es tomar el error y dejarlo ´unicamente con la primera cifra
significativa, la primera cifra que no sea un cero. En el ejemplo que se sigue habr´ıa que redondear el
n´umero del error en las cent´esimas: 0.03 cm. Ahora lo que hay que hacer es redondear el n´umero de
la magnitud en el decimal en el cual se ha redondeado el error, suponiendo que ambos n´umeros est´an
expresados en las mismas unidades. En el ejemplo significa redondearlo tambi´en en las cent´esimas:
1.12 cm. De modo que el valor de esta longitud se expresa como = 1.12 cm ± 0.03 cm
Para redondear una cifra hay que fijarse en la siguiente. Si la siguiente cifra est´a entre 0 y 4,
entonces no se modifica la anterior al redondearla. Si la siguiente cifra est´a entre 5 y 9, cuando al
redondear se elimina esa cifra se le a˜nade una unidad a la anterior. Por ejemplo, si se quiere redondear
el n´umero 765 en las decenas, quedar´ıa como: 770 ya que la cifra que sigue, la de unidades, es un 5,
de modo que se le suma una unidad a las decenas.
Existe una excepci´on a estas reglas cuando en el error la cifra significativa que habr´ıa que dejar al
redondear fuese un 1, en cuyo caso tambi´en se conservar´a la siguiente cifra, y en el n´umero tambi´en
habr´ıa que dejarlo hasta esa sengunda cifra. Por ejemplo, si hubiese que redondear: 6.1524 cm ± 0.0123
cm, el error habr´ıa que redondear el error como 0.012 cm, y el n´umero tambi´en habr´ıa que redondearlo
en las mil´esimas: 6.152 cm, de modo que se expresar´a como: 6.152 cm ± 0.012 cm
Compruebe ahora como redondear realizando los siguientes ejemplos:
(1.026 ± 0.035) u (1.03 ± 0.04) u
(98765 ± 432) u (98800 ± 400) u
(7.650003 ± 0.00679) u (7.650 ± 0.007) u
(4312 ± 163) u (4310 ± 160) u
5. Regresi´on lineal
En el laboratorio se va a hallar la medida de diferentes magnituedes. Es habitual encontrar que
algunas de estas magnitudes est´an relacionadas mediante una ecuaci´on lineal. Consid´erese por ejemplo
el caso en el cual se miden la magnitud x as´ı como la magnitud y. Ambas relacionadas mediante una
ecuaci´on del tipo: y = a + bx. Sup´ongase tambi´en que se realizan diferentes medidas en las cuales se
obtiene un valor de x, y para cada uno de estos valores se halla el valor de y correspondiente. Por
ejemplo, consid´erense los valores dados en la tabla 2.
Para obtener los valores de las magnitudes a y b lo que se va a realizar es aplicar el m´etodo de
la regresi´on lineal. Este m´etodo permitir´a obtener los valores estad´ısticos de a y b. La aplicaci´on del
4

5. Tabla 2: Datos de dos variables relacoinadas linealmente.
x / u1 y / u2
± 0.2 u1 ± 2 u2
10 17
20 26
30 34
40 43
50 52
60 62
m´etodo que aqu´ı se describe supone que el error de la magnitud x es menor que el de la magnitud y.
Si fuera del rev´es simplemente se intercambiar´ıan las magnitudes de lugar.
Este m´etodo mide las distancias entre los datos medidos y los datos obtenidos de la ecuaci´on en
el eje vertical. Los valores de a y b son tales que hacen que esas distancias sean m´ınimas.
El m´etodo en s´ı mismo puede encontrarse descrito paso a paso en multitud de trabajos. En este
documento tan s´olo se indicar´an los resultados finales. Las ecuaciones que permiten hallar los valores
de las magnitudes que se buscan son las siguientes:
a =
( n
i=1 yi) n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi) ( n
i=1 xiyi)
n n
i=1 x2
i − n
i=1 x2
i
2 (11)
b =
n ( n
i=1 xiyi) n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi) ( n
i=1 yi)
n n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi)2 (12)
Por supuesto, para verdaderamente hallar el valor de estas magnitudes hay que hallar tambi´en
sus errores. Sin embargo, estas magnitudes s´olo van a tener error tipo A. Para hallarlo, las siguientes
ecuaciones permiten hallar el error est´andar de cada una de las magnitudes:
ES(a) =
n
i=1 x2
i
n
i=1 (yi − a − bxi)2
(n − 2) n n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi)2
(13)
ES(b) =
n n
i=1 (yi − a − bxi)2
(n − 2) n n
i=1 x2
i − ( n
i=1 xi)2
(14)
Tras estos c´alculos, es preciso ir a la tabla 4 y encontrar el coeficiente adecuado para que el intervalo
de confianza sea del 95 %, que es lo que se considera en este documento. Sin embargo, en esta ocasi´on
es necesario tener en cuenta algo m´as. Se deben calcular los grados de libertad que se tienen, que se
calcular´a a partir del n´umero de puntos medidos (n), y en concreto el n´umero de grados de libertad
ser´a: n − 2, debido a los dos coeficientes que se calculan en la regresi´on lineal.
Para el caso de los datos de la tabla 2, los valores de las variables que se obtienen son: b = 0.891
u2 u−1
1 y a = 7.80 u2, mientras que los correspondientes errores est´andares son: ES(b) = 0.014 u2 u−1
1
y ES(a) = 0.5 u2. Como se han medido 6 puntos, eso significa que el coeficiente que debe utilizarse
para el error tipo A es: 2.7765
De modo que: εA(a) = (0.5 u2) 2.7765 = 1.4 u2, y an´alogamente se calcular´ıa: εA(b) = (0.014 u2
u−1
1 ) 2.7765 = 0.04 u2 u−1
1 .
Por fin, se pueden as´ı calcular los valores de los par´ametros buscados como:
5

6. Tabla 3: Posiciones en funci´on del tiempo para el m´ovil estudiado.
Tiempo / s Posici´on / cm
± 0.1 s ± 1.0 cm
10.5 44.1
11.0 46.1
11.5 47.9
12.0 50.0
12.5 51.9
13.0 54.0
a =(7.8 ± 1.4)u2
b =(0.89 ± 0.04)u2u−1
1
(15)
Como suele ser habitual, conocer las posibilidades de c´alculo de las calculadoras o de algunos
programas de computador permite realizar estos c´alculos de manera muy sencilla.
6. Presentaci´on de los datos en tablas
Utilizar tablas para presentar los datos obtenidos es una excelente forma de hacerlo. No obstante,
hay que seguir ciertas pautas para permitir que la informaci´on sea f´acil de interpretar. Para empezar,
las tablas deben llevar una etiqueta identificativa que permita hacer referencia a la misma de forma
breve. En lo relativo a estas pr´acticas se seguir´a el criterio de nombrarlas como: Tabla 1, Tabla 2, . . . ,
es decir, con la palabra tabla y un n´umero, donde la numeraci´on sigue el orden de aparici´on de las
tablas en el documento. Tras esta referencia hay que escribir una leyenda o t´ıtulo, donde se explique
muy brevemente el contenido de la tabla. La tabla habr´a de contener una serie de columnas donde
se muestran los datos y que en la primera fila indique las magnitudes se estan expresando. Como
magnitudes, hay que poner el n´umero, sus unidades y su error, sin embargo, si todos los n´umero de
esa columna tienen las mismas unidades y el mismo error, se pueden indicar simplemente en la primera
fila. V´eanse como ejemplo las tablas de este documento.
7. Presentaci´on de los datos en figuras
´Esta es tambi´en otra magn´ıfica forma de presentar los datos. Pero tambi´en hay que seguir ciertas
pautas para aprovechar al m´aximo sus posibilidades. Al igual que con las tablas, en las figuras se
tendr´a una etiqueta identificativa, que consistir´a en la palabra figura, seguida de un n´umero: Figura 1,
Figura 2, . . . . Tras ello tambi´en habr´a una breve descripci´on del contenido de la figura, de los valores
que en ella se representan. Para tener una idea de d´onde estan los valores es necesario que las figuras
tengan un par de ejes perpendiculares que se corten. Hay que aprovechar el espacio disponible, de
modo que no necesariamente los ejes han de cortarse en el origen de coordenadas.
Sup´ongase que se dispone de los valores de la tabla 3. Como puede observarse, todos los valores del
tiempo est´an entre 10 y 14 segundos, y todos los valores de la posici´on est´an entre 40 y 60 cent´ımetros.
Por tanto, a la hora de representar estas parejas de valores en una figura no se va a hacer como en
la figura 1, sino que ha de hacerse como en la figura 2. En esta figura no s´olo est´an representados
los datos de la tabla, sino que adem´as se representan tambi´en los errores de cada punto mediante
unas barras, denominadas barras de error. El tama˜no de las barras hacia cada lado del punto es el
del error correspondiente. En este caso, el tama˜no en horizontal es de ± 0.1 s, puesto que el tiempo
6

7. Figura 1: Representaci´on de los valores de la posici´on en funci´on del tiempo. Figura incorrecta.
Figura 2: Representaci´on de los valores de la posici´on en funci´on del tiempo. Figura correcta.
7

8. es la magnitud representada en el eje de abcisas. An´alogamente para el eje de ordenadas donde se
representa la posici´on, en el cual la barra vertical representa el error en la medida de la misma.
No siempre ocurrir´a que las barras de error sean suficientemente grandes como para que sean
apreciables en la representaci´on gr´afica. Puede ocurrir que el error en una de las magnitudes sea tan
peque˜no, que cada punto tan s´olo muestre una de las dos barras de error. Incluso, podr´ıa ocurrir que
el error en ambas magnitudes fuese tan peque˜no que ninguna barra de error fuese apreciable, de modo
que en la figura tan s´olo se vieran los puntos.
Obs´ervese tambi´en que en los ejes se indica expresamente cu´al es la magnitud que se representa
en el mismo, as´ı como las unidades en las cuales se expresa.
Falta un ´ultimo detalle para representar las figuras: las divisiones de los ejes. Para saber el valor
de los puntos que se representan, en los ejes se ponen los valores cada ciertas divisiones. No se ponen
exactamente los valores correspondientes a los puntos representados, sino que se indican tan s´olo unos
pocos y el lector podr´a extrapolar el valor de los puntos que desee conocer. Para permitir que esta
extrapolaci´on sea sencilla y agradable, las divisiones de los ejes que se numeran van de 1 en 1, o bien
de 2 en 2, o bien de 5 en 5, as´ı como alguno de sus m´ultiplos o subm´ultiplos. Es decir, que para el
intervalo de 0 a 30, no se colocan las divisiones en 0, 6, 12, 18, . . . de modo que van de 6 en 6. O bien
se elige hacerlo cada 5: 0, 5, 10, 15, . . . o bien se elige hacerlo cada 10: 0, 10, 20, . . . . Al decir que se
pueden utilizar los m´ultiplos o subm´ultiplos, lo que se intenta se˜nalar es que tambi´en se pueden hacer
las divisiones en intervalos de 10 o de 20 o de 50, as´ı como en intervalos de 0.01 o de 0.02 o de 0.05.
La elecci´on del intervalo depender´a de el tama˜no que tenga el eje correspondiente.
Existen multitud de programas inform´aticos que permite realizar representaciones gr´aficas de los
datos de forma casi inmediata. Tales programas son muy ´utiles, especialmente cuando se ha de repre-
sentar una gran cantidad de datos.
8. Conclusiones
Siempre es importante recapacitar sobre el trabajo que se acaba de realizar. Por ejemplo, pueden
buscarse cuales son las aplicaciones de la vida cotidiana donde aparecen los mismos principios. Tam-
bi´en, como es el caso del ejemplo que en estas hojas se ha realizado, pueden buscarse las magnitudes
reales para comparar el resultado obtenido con el verdadero valor. En el ejemplo estudiado se ha
hallado un valor de la aceleraci´on de la gravedad parecido al que se considera como real ( 9.8 m s−2).
Por supuesto, una reflexi´on sobre la evaluaci´on de los errores es siempre un buen ejercicio. En el
ejemplo seguido, cabe mencionar que el error es relativamente grande. Se podr´ıa hacer un an´alisis
sobre como se podr´ıa realizar una medida con mayor precisi´on, ¿habr´ıa de tener una regla mejor o
un cron´ometro mejor? Para responder a esta pregunta hay que ver cuales son las contribuciones al
error de cada una de estas magnitudes. En la ecuaci´on 7 se puede ver que la contribuci´on al error
total es principalmente debida al error en el tiempo. De modo que para conseguir una medida m´as
precisa de la aceleraci´on de la gravedad habr´ıa que empezar por reducir el error en la determinaci´on
del tiempo de ca´ıda. Y seg´un la ecuaci´on 4, el error de haber realizado varias medidas (el error tipo A)
as´ı como el error de la m´ınima precisi´on del cron´ometro son muy similares. Por tanto, no s´olo habr´ıa
que conseguir un cron´ometro mejor, sino tambi´en que las medidas del tiempo, cuando se realiza la
medida varias veces, fuese m´as similar.
8

9. Tabla 4: Two tailed t-Student distribution. Confidence vs degrees of freedom (df).
df 0.50 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.96 0.98 0.99 0.995 0.998
1 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3137 12.706 15.895 31.821 63.656 127.32 318.29
2 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 4.8687 6.9645 9.9250 14.089 22.329
3 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 3.4819 4.5407 5.8608 7.4532 10.214
4 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7765 2.9985 3.7469 4.6041 5.5975 7.1729
5 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 2.7565 3.3649 4.0321 4.7733 5.8935
6 0.7176 0.9057 1.1342 1.4395 1.9432 2.4469 2.6122 3.1427 3.7074 4.3168 5.2075
7 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.5168 2.9979 3.4995 4.0294 4.7853
8 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.4490 2.8965 3.3554 3.8325 4.5008
9 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.3984 2.8214 3.2498 3.6896 4.2969
10 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.3593 2.7638 3.1693 3.5814 4.1437
11 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.3281 2.7181 3.1058 3.4966 4.0248
12 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.3027 2.6810 3.0545 3.4284 3.9296
13 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.2816 2.6503 3.0123 3.3725 3.8520
14 0.6924 0.8681 1.0763 1.3450 1.7613 2.1448 2.2638 2.6245 2.9768 3.3257 3.7874
15 0.6912 0.8662 1.0735 1.3406 1.7531 2.1315 2.2485 2.6025 2.9467 3.2860 3.7329
16 0.6901 0.8647 1.0711 1.3368 1.7459 2.1199 2.2354 2.5835 2.9208 3.2520 3.6861
17 0.6892 0.8633 1.0690 1.3334 1.7396 2.1098 2.2238 2.5669 2.8982 3.2224 3.6458
18 0.6884 0.8620 1.0672 1.3304 1.7341 2.1009 2.2137 2.5524 2.8784 3.1966 3.6105
19 0.6876 0.8610 1.0655 1.3277 1.7291 2.0930 2.2047 2.5395 2.8609 3.1737 3.5793
20 0.6870 0.8600 1.0640 1.3253 1.7247 2.0860 2.1967 2.5280 2.8453 3.1534 3.5518
21 0.6864 0.8591 1.0627 1.3232 1.7207 2.0796 2.1894 2.5176 2.8314 3.1352 3.5271
22 0.6858 0.8583 1.0614 1.3212 1.7171 2.0739 2.1829 2.5083 2.8188 3.1188 3.5050
23 0.6853 0.8575 1.0603 1.3192 1.7139 2.0687 2.1770 2.4999 2.8073 3.1040 3.4850
24 0.6848 0.8569 1.0593 1.3178 1.7109 2.0639 2.1715 2.4922 2.7970 3.0905 3.4668
25 0.6844 0.8562 1.0584 1.3163 1.7081 2.0595 2.1666 2.4851 2.7874 3.0782 3.4502
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29 0.6830 0.8542 1.0553 1.3114 1.6991 2.0452 2.1503 2.4620 2.7564 3.0380 3.3963
30 0.6828 0.8538 1.0547 1.3104 1.6973 2.0423 2.1470 2.4573 2.7500 3.0298 3.3852
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40 0.6807 0.8507 1.0500 1.3031 1.6839 2.0211 2.1229 2.4233 2.7045 2.9712 3.3069
50 0.6794 0.8489 1.0473 1.2987 1.6759 2.0086 2.1087 2.4033 2.6778 2.9370 3.2614
60 0.6786 0.8477 1.0455 1.2958 1.6706 2.0003 2.0994 2.3901 2.6603 2.9146 3.2317
75 0.6778 0.8464 1.0436 1.2929 1.6654 1.9921 2.0901 2.3771 2.6430 2.8924 3.2024
100 0.6770 0.8452 1.0418 1.2901 1.6602 1.9840 2.0809 2.3642 2.6259 2.8707 3.1738
∞ 0.6745 0.8416 1.0364 1.2816 1.6449 1.9600 2.0537 2.3263 2.5758 2.8070 3.0902
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