El documento describe los sistemas numéricos, incluyendo binario, octal, decimal y hexadecimal. Explica la notación posicional y polinómica para representar números en diferentes bases. También cubre la conversión entre sistemas numéricos, así como operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división en diferentes bases.

1. Sistemas Digitales SISTEMAS NUMERICOS 2009

5. Sistemas Digitales Sistemas de uso común F 17 1111 15 E 16 1110 14 D 15 1101 13 C 14 1100 12 B 13 1011 11 A 12 1010 10 9 11 1001 9 8 10 1000 8 7 7 111 7 6 6 110 6 5 5 101 5 4 4 100 4 3 3 11 3 2 2 10 2 1 1 1 1 0 0 0 0 Hexadecimal Octal Binario Decimal

16. Sistemas Digitales BCD : Binary Coded Decimal Ejemplo: ( 4096 ) 10 = 0100 0000 1001 0110 Número decimal Representación BCD Comparación con su representación en Base binaria. ( 4096 ) 10 = ( 1000000000000 ) 2 4 0 9 6

37. Sistemas Digitales NUMEROS SIGNADOS Representación de los Complementos + 5 10 1 0 1 0 0 0, 1 + + 4 10 0 0 1 0 0 0, - 12 10 1 1 0 0 1 1, + + 17 10 1 0 0 0 1 0, Bits de acarreo 1 1 0 0 1 1

40. Sistemas Digitales ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO Caso 1: C s+1 C s Si C s+1 = C s se descarta Acarreo Si C s+1 ≠ C s se considera Acarreo y la coma se desplaza un bit a la izquierda +11 1 1 0 1 0 0 0 0, +4 0 0 1 0 0 0 0 0, + +7 1 1 1 0 0 0 0 0,

41. Sistemas Digitales Caso 2: ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO 1 1 Compl. 2 -6 0 1 1 0 0 0 0 1, + +15 1 1 1 1 0 0 0 0, +9 1 0 0 1 0 0 0 0, -6 0 1 0 1 1 1 1 1, + +15 1 1 1 1 0 0 0 0,

42. Sistemas Digitales ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO Caso 3: 0 0 Compl. 2 -24 0 0 0 1 1 0 0 1, + +16 0 0 0 0 1 0 0 0, -8 0 0 0 1 1 1 1 1, -24 0 0 0 1 0 1 1 1, + +16 0 0 0 0 1 0 0 0,

43. Sistemas Digitales ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO Caso 4: 1 1 Compl. 2 Compl. 2 -9 1 0 0 1 0 0 0 1, + -5 1 0 1 0 0 0 0 1, -14 0 1 0 0 1 1 1 1, -9 1 1 1 0 1 1 1 1, + -5 1 1 0 1 1 1 1 1,

44. Sistemas Digitales ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO LA RESTA - DIFERENCIA + N 3 SUSTRAENDO N 2 MINUENDO N 1

46. Sistemas Digitales Regla II Después de sacar el complemento 2’s del sustraendo súmelo al minuendo y obtenga la diferencia. El bit correspondiente al signo de la diferencia determina si éste es positivo o negativo y desde luego si se encuentra en la forma binaria correcta o en complemento 2’s. ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO LA RESTA

47. ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO LA RESTA Ejemplos : 1 1 C. 2’s Sistemas Digitales +5 1 0 1 0 0, +4 0 0 1 1 1 , - +9 1 0 0 1 0, +5 +4 0 0 1 0 0, - +9 1 0 0 1 0,

48. Sistemas Digitales 0 0 C. signo ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO LA RESTA Ejemplos : +13 1 0 1 1 0, -4 0 0 1 0 0 , - +9 1 0 0 1 0, +13 -4 0 0 1 0 1, - +9 1 0 0 1 0,

49. Sistemas Digitales 1 1 C. Signo y 2’s ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO LA RESTA Ejemplos : C. 2’s -13 1 1 0 0 1, +4 0 0 1 1 1 , - -9 1 1 1 0 1, -13 +4 0 0 1 0 0, - -9 1 0 0 1 1,

50. Sistemas Digitales 0 0 C. Signo ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO LA RESTA Ejemplos : C. 2’s -5 -4 0 0 1 0 1, - -9 1 0 0 1 1, -5 1 1 0 1 1, -4 0 0 1 0 0 , - -9 1 1 1 0 1,

51. Sistemas Digitales 0 0 C. Signo ARITMETICA BINARIA DE NUMEROS CON SIGNO LA RESTA Ejemplos : +8 -4 0 0 1 0 1, - +4 0 0 1 0 0, +8 0 0 0 1 0, -4 0 0 1 0 0 , - +4 0 0 1 0 0,

52. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA SUMA BCD es un código numérico y que puede utilizarse en operaciones aritméticas. La suma es la más importante de estas operaciones, ya que las otras tres operaciones (sustracción, multiplicación y división) se pueden llevar a cabo utilizando la suma. A continuación, se explicará como se suman dos números en código BCD.

53. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA SUMA Paso 1. Sumar los dos números BCD utilizando las reglas de la suma binaria. Paso 2. Si una suma de 4 bits es igual o menor que 9, es un número BCD válido. Paso 3. Si una suma de 4 bits es mayor que 9, o si genera acarreos en el grupo de 4 bits, el resultado no es valido . En este caso, se suma 6 (0110) al grupo de 4 bits para saltar así los seis estados no válidos y pasar al código 8421. Si se genera un acarreo al sumar 6, éste se suma al grupo de 4 bits siguiente.

54. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA SUMA 13 4 9 3 1 BCD válido 1 1 0 0 1 0 0 0 Se Suma 6 0 1 1 0 + BCD no válido > 9 1 0 1 1 + 0 0 1 0 + 1 0 0 1

55. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA SUMA 18 9 9 8 1 BCD válido 0 0 0 1 1 0 0 0 Se Suma 6 0 1 1 0 + No válido por acarreo 0 1 0 0 1 + 1 0 0 1 + 1 0 0 1

56. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA SUMA 31 15 16 1 3 BCD’s válidos 1 0 0 0 1 1 0 0 Se Suma 6 0 1 1 0 + 1 + acarreo BCD no válido > 9 BCD válido 1 1 0 1 0 1 0 0 + 1 0 1 0 1 0 0 0 + 0 1 1 0 1 0 0 0

57. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA SUMA 0 0 BCD’s Válidos 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 2 1 120 53 67 Se Suma 6 0 1 1 1 0 1 + BCD’s no válidos > 9 0 1 0 0 1 + 1 1 0 1 0 + 1 1 1 1 0

58. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA RESTA 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 11 34 45 BCD’s válidos 1 0 0 0 0 - 0 0 1 0 0 - 1 0 1 1 0

59. Sistemas Digitales ARITMETICA DE NUMEROS EN CODIGO BCD LA RESTA 1 0 0 1 9 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 9 19 28 Resta 6 0 1 1 - BCD no válido BCD válido 1 1 1 0 0 - 1 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0

61. Sistemas Digitales CODIGO DIGITAL GRAY 1000 1111 15 1001 1110 14 1011 1101 13 1010 1100 12 1110 1011 11 1111 1010 10 1101 1001 9 1100 1000 8 0100 0111 7 0101 0110 6 0111 0101 5 0110 0100 4 0010 0011 3 0011 0010 2 0001 0001 1 0000 0000 0 GRAY BINARIO DECIMAL

64. Sistemas Digitales CODIGO DIGITAL EXCESO 3 Es un código digital relacionado con el BCD, y se deriva de él sumando 3 a cada dígito decimal y convirtiendo el resultado de esta suma en número binario de 4 bits. Es un código sin ningún peso. 1100 1001 9 1011 1000 8 1010 0111 7 1001 0110 6 1000 0101 5 0111 0100 4 0110 0011 3 0101 0010 2 0100 0001 1 0011 0000 0 EXCESO-3 BCD DECIMAL

71. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Números de Paridad Si al número de bits de información lo designamos como m , entonces el número de bits de paridad, p , se determina mediante la siguiente relación: 2 p > m + p + 1 Por ejemplo, si se tiene cuatros bits de información ( m =4), p se calcula mediante el método de prueba y error. Sea p =2, entonces 2 p > =2 2 =4 y m + p + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 Puesto que p =2 no satisface la ecuación, se busca probar con p =3 .

72. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Sea p =3, entonces: 2 p =2 3 =8 y m + p + 1 = 4 + 3 + 1 = 8 este valor de p satisface la ecuación, de manera que se necesitan tres bits de paridad para proporcionar corrección simple de errores para cuatro bits de información. Conviene fijarse en que la detección y corrección de errores se proporciona para todos los bits, tanto de paridad como de información, dentro de un grupo de código.

73. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Situación de los bits de paridad dentro del código Se debe tener en cuenta que en esta expresión, el código se compone de cuatro bits de información y de tres bits de paridad . El bit más a la izquierda se designa como bit 1, el siguiente bit 2, y así sucesivamente del mismo modo: bit 1, bit 2, bit 3, bit 4, bit 5, bit 6 , bit 7

74. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Los bits de paridad se sitúan en las posiciones cuya numeración corresponde a las potencias de dos en sentido ascendente ( 1,2,4,8,….. ), tal como se indica: P 1 , P 2 , M 1 , P 3 , M 2 , M 3 , M 4 El símbolo P n designa un determinado bit de paridad y M n designa un determinado bit de información .

78. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Ejemplo : Determinar el código de corrección de error para el número de código BCD 1001 ( bits de información ) , utilizando paridad par . Solución : Paso 1 . Encontrar el número de bits de paridad requeridos. Sea p=3 , entonces 2 p = 2 3 = 8 y m + p + 1 = 8 tres bits de paridad son suficientes. Bits totales del código = 4 + 3 = 7

79. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Paso 2 . Construir una tabla de posiciones de los bits para un código de corrección de errores de 7 bits . Recuerde que el número es el BCD 1001 ( bits de información ) BCD 1001 Bits de paridad ( P n ) 1 0 0 1 Bits de información ( M n ) 111 110 101 100 011 010 001 Número binario de posición 7 6 5 4 3 2 1 Posición de bit M 4 M 3 M 2 P 3 M 1 P 2 P 1 Designación de bit

80. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Paso 3 . Determinar los bits de paridad de la siguiente manera: El bit P 1 comprueba las posiciones 1, 3, 5 y 7 y tiene que ser 0 para que haya un número par de unos (2) en este grupo. El bit P 2 comprueba las posiciones 2, 3, 6 y 7 y tiene que ser 0 para que haya un número par de unos (2) en este grupo. El bit P 3 comprueba las posiciones 4, 5, 6 y 7 y tiene que ser 1 para que haya un número par de unos (2) en este grupo.

81. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Paso 4 . Estos bits se introducen en la tabla. El código combinado resultante es 00 1 1 001 1 0 0 Bits de paridad ( P n ) 1 0 0 1 Bits de información ( M n ) 111 110 101 100 011 010 001 Número binario de posición 7 6 5 4 3 2 1 Posición de bit M 4 M 3 M 2 P 3 M 1 P 2 P 1 Designación de bit

83. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Los pasos a seguir son entonces los siguientes: Paso 1 . Comenzar con el grupo que comprueba P 1 . Paso 2 . Comprobar que el grupo tenga la paridad adecuada. Un 0 representa que la comprobación de paridad es correcta y un 1 representa una mala comprobación . Paso 3 . Repetir el paso 2 para cada grupo de paridad. Paso 4 . El número binario formado a partir de los resultados de todas las comprobaciones de paridad determina la posición del bit de código que contiene un error . Este es el código de posición de error . La primera comprobación de paridad genera el bit menos significativo . Si todas las comprobaciones son correctas, no hay error .

84. Sistemas Digitales Código HAMMING de Corrección de Errores Ejemplo : Suponer que la palabra de código del ejemplo anterior ( 0011001 ) es transmitida y que recibimos 0010001 . El receptor no “ conoce ” cuál fue la palabra transmitida y tiene que buscar las paridades adecuadas para determinar si el código es correcto. Encontrar cualquier error que haya habido en la transmisión si utilizamos paridad par . Solución : Construimos una tabla de posición de bit : 1 0 0 0 1 0 0 Código recibido 111 110 101 100 011 010 001 Número binario de posición 7 6 5 4 3 2 1 Posición de bit M 4 M 3 M 2 P 3 M 1 P 2 P 1 Designación de bit