Este documento explica cómo derivar ecuaciones implícitamente definidas. Presenta la fórmula general para calcular la derivada implícita dy/dx y la aplica a ejemplos numéricos. También incluye un teorema sobre cómo derivar una ecuación de la forma F(x,y)=0 para hallar dy/dx. Finalmente, propone un problema de aplicación sobre la velocidad de deslizamiento de un extremo de un tablón levantado por un obrero.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
¨FRANCISCO DE MIRANDA¨
ÁREA: TECNOLOGÍA
PROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
Realizado por:
Licdo. Flores, Jesús
Licda. Pérez, María
Puerto Cumarebo; mayo de 2016

2. En todo lo estudiado, hasta ahora se ha supuesto
como representación de función explícita, es
decir como: y=f(x). La derivación implícita se
da, cuando no se puede expresar en esta forma.
Cuando la variable y esta definida implícitamente,
se deriva teniendo estos pasos:
 Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x.
 Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el
lado izquierdo de la ecuación y los demás a la
derecha.
 Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuación
 Despejar dy/dx

3. EJEMPLO: DERIVAR LA ECUACIÓN
Y3+Y2-5Y -X2 =-4
3 2 2
[ 5 ] [ 4]
d d
y y y x
dx dx
    
   3 2 2
5 4
d d d d d
y y y x
dx dx dx dx dx
              
2
3 2 5 2 0
dy dy dy
y y x
dx dx dx
   
SOLUCIÓN
1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a x

4. 2. Agrupar los términos que aparezcan dy/dx en el lado
izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha.
2
3 2 5 2
dy dy dy
y y x
dx dx dx
  
3. Factorizar dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación
2
[3 2 5] 2
dy
y y x
dx
  
4. Despejar dy/dx
2
2
3 2 5
dy x
dx y y

 

5. TEOREMA:
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y)=0, define a y de manera
implícita como una función de x, es decir: y=f(x), para todo x, en el
dominio de f(x).
Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx, con la fórmula:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝑭 𝒙
𝑭 𝒚
(𝑭 𝒚 ≠ 𝟎)
donde:
𝑭 𝒙: es derivada de F con respecto a x, se
toma y como constante.
𝑭 𝒚: es derivada de F con respecto a y, se
toma x como constante.

6. EN EFECTO:
TENEMOS LA ECUACIÓN:
F(X,Y)=0
𝑑𝐹(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
=
𝑑(0)
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝐹
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝐹
𝑑𝑥
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−
𝑑𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝐹
𝑑𝑦
=
−𝐹𝑥
𝐹𝑦
(𝐹𝑦 ≠ 0)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝑭 𝒙
𝑭 𝒚
(𝑭 𝒚 ≠ 𝟎)

7. EJEMPLO: DERIVAR:
𝒙 𝟐 𝒚 − 𝒙𝒚 𝟐 + 𝒙 𝟐 = −𝒚 𝟐
SOLUCIÓN
𝐹 𝑥, 𝑦 = 0 → 𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦2 + 𝑥2 + 𝑦2 = 0
𝐹𝑥 = 2𝑥𝑦 − 𝑦2 + 2𝑥
𝐹𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝐹𝑥
𝐹𝑦
hallamos
Luego, se reemplaza en la fórmula y
se obtiene:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−(𝟐𝒙𝒚−𝒚 𝟐+𝟐𝒙)
𝒙 𝟐−𝟐𝒙𝒚+𝟐𝒚
=
−𝟐𝒙𝒚+𝒚 𝟐−𝟐𝒙)
𝒙 𝟐−𝟐𝒙𝒚+𝟐𝒚

8. APLICACIÓN:
Un obrero levanta con la ayuda de una
soga, un tablón hasta lo alto de un edificio
en construcción.
Supongamos que el otro extremo del
tablón de 5m sigue una trayectoria
perpendicular a la pared y que el obrero
mueve el tablón a razón de 0.15m/s. ¿A
qué ritmo se desliza por el suelo el
extremo cuando está a 2.5 m de la pared?

9. SOLUCIÓN
Del teorema de Pitágoras
se tiene que x2 + y2 = r2
Derivamos a la expresión
como función implícita
tomando en cuenta que el
tablón no cambia de
longitud. Se tiene:
0.15m/s
Vx

10. DE DONDE:
.x
dx y dy
v
dt x dt
 
4.33
.(0.15)
2.5
0.26
x
x
v
mv
s



11. EJERCICIOS
1. Hallar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
de 5𝑥3 + 2𝑦5 = 𝐿𝑛(𝑥𝑦)
2. Dada la ecuación: 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑦 = 𝑥3. Hallar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.