M9 2 bim_aluno_2014

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M9 2 bim_aluno_2014

  1. 1. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EDUARDO PAES PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO CLAUDIA COSTIN SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO REGINA HELENA DINIZ BOMENY SUBSECRETARIA DE ENSINO MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOS COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA SÍLVIA MARIA SOARES COUTO ORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRA GIBRAN CASTRO DA SILVA SIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA REVISÃO FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIOR DESIGN GRÁFICO EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA. EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO O que temos neste Caderno Pedagógico:  Racionalização de denominadores  Relação entre potência e raiz  Equações  Equação de 2º.grau ● Introdução ● Raízes ● Coeficientes ● Equações incompletas ● Equações completas – Fórmula de Bhaskara ● Discriminante ● Soma e produto das raízes  Irracionais na reta numérica  Semelhança de polígonos  Triângulo retângulo  Relações métricas no triângulo retângulo  Teorema de Pitágoras  Tratamento da informação
  2. 2. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 20144 Ginástica de cérebro Exercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso... Texto: Rachel Tôrres - Adaptado A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. “O sudoku, então, é o mais rejeitado!”, brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os quadradinhos com números. Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a “malhação” de neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias – uma rede de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem. jujubamld.blogspot.com
  3. 3. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 ___________ 5 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES É incrível como a Matemática pode ser vista como diversão! Observe! Racionalizar o denominador em pode ser fácil! 2 3 Basta encontrar uma fração equivalente a com denominador racional.2 3 Para obter uma fração equivalente, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número. Qual é o número que multiplicado por torna o denominador igual a 2? 2 Agora, multiplique numerador e denominador por esse número. Legal! equivale à metade de .23 2 3 Racionalize os denominadores de 3 12 ) 3 6 ) 5 2 ) c b a AGORA, É COM VOCÊ!!!
  4. 4. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 20146 RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ Você sabe calcular ? É uma potência com expoente fracionário. As propriedades do expoente inteiro aplicam-se ao expoente fracionário. AGORA, É COM VOCÊ!!! 2 3 4 Comparando...   2 3232 2 2 3 3 2 3 2 3 444 82²24          xxx xxxx   8244 33 22 3  !!!FIQUE LIGADO n mn m aa  86442 3  ou 1) Calcule:   4 1 3 1 2 3 2 1 00010)27) 9)25) dc ba 2) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras: 2 1 33 3 22 3 3 1 3 33)1111) 55)77)    dc ba 3) Calcule:      2 1 03 1 1 3 2 3 1 4238) 10 100100 ) b a ou →
  5. 5. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 20147 A - Movendo 2 palitos, tire o lixo de dentro da pá. B - Mova somente 3 palitos para formar apenas 3 quadrados. Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo tamanho. guiagratisbrasil.com guiagratisbrasil.com D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final. Veja mais jogos com palitos clicando aqui                                                         1=1² 1 + 3 =___= __² 1 + 3 + 5 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___ = __² Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n  1) ? _____ http://www.youtube.com/watch?v=abHXg156AvU 1 7 5 9 4 3 6 8 2 9 6 3 7 8 2 1 5 4 2 4 8 6 1 5 3 7 9 4 5 1 2 3 6 7 9 8 7 2 6 8 9 4 5 3 1 3 8 9 5 7 1 2 4 6 5 3 4 1 2 8 9 6 7 8 1 7 3 6 9 4 2 5 6 9 2 4 5 7 8 1 3 C - SUDOKU
  6. 6. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÕES 8 A Matemática possui muitas curiosidades. Você sabia que 1,5 + 3 é igual ao triplo de 1,5? Verificando... 1 , 5 1 , 5 + 3 , 0 x 3 4 , 5 4 , 5 Interessante, não? Será que existe um número que somado a 5 seja igual ao seu quíntuplo? Equacionando... Consideremos esse número como x: x + 5 = 5x Resolvendo... 4x = 5  25,1x Verifique se esse número é, realmente, 1,25. AGORA, É COM VOCÊ!!! !!!FIQUE LIGADO Lembrando... Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, a situação, através de uma igualdade algébrica. 1) Qual é o número y para que 6 + y = 6 . y? 2) Qual é a fração que, somada com ou multiplicada por , dá, nos dois casos, o mesmo resultado? 5 3 5 3 3) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles? ( + 3)² = 64 4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que podem ser colocados no lugar de . Quais são eles? (  2)² = 81
  7. 7. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INTRODUÇÃO 9 2) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu grau. Dividi 4 por um número e encontrei um resultado igual a 4 menos esse número. Equacionando a situação, temos: 044²²444 4  xxxxx x Esta é uma equação de 2.º grau? !!!FIQUE LIGADO Equação de 2º grau de incógnita x é toda equação do tipo: ax² + bx + c = 0 onde a, b, c são números reais e a  0. Verifique se os números 2 e 4 atendem à situação acima, substituindo x, na igualdade, por esses números. AGORA, É COM VOCÊ!!! Numa equação de 2.º grau, o maior expoente da incógnita (letra) é 2. 1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior expoente da variável. Sendo assim, 3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior expoente da variável é ______. Logo, 3x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de _______ grau. Observe as equações abaixo e determine seu grau. a) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0  _______ b) 5x – 7 = 0  ___________ c) x² - 5x + 2 = 0  ___________ a)(x + 3)(x – 5) = 7  _______________ = 0  ____ grau b) 3x – 5 = 2x – 2  _____________ = 0  ______ grau
  8. 8. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201410 AGORA, É COM VOCÊ!!! O quadrado de um número, somado a 9, é igual a 25. Que número é esse? 1) 2) Considere a equação do 2.º grau: x² + 3x  10 = 0. a) 2 é solução dessa equação? b) 2 é solução dessa equação? c) 5 é solução dessa equação? d) 5 é solução dessa equação? 3) Verifique se 3 e 3 são soluções da equação z²  3z = 0. Fiquei intrigada! Como pode haver dois valores diferentes que servem para a mesma equação? Uma equação de 2.º grau tem, no máximo, 2 resultados, que são chamadas de raízes da equação. Esses valores podem ser iguais ou diferentes. !!!FIQUE LIGADO Raiz de uma equação é o valor que a incógnita assume, tornando a igualdade verdadeira. 4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação x²  3x  10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa equação. x = 5  _____________________________ x = 2  _____________________________ x = 0  _____________________________ x = 2  _____________________________ x = 5  _____________________________ EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - RAÍZES
  9. 9. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201411 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - COEFICIENTES Algumas equações aparecem escritas em ordem decrescente do expoente da incógnita, como x² - 5x + 6 = 0. Essas equações se apresentam na forma normal ou reduzida. Há equações com menos termos em que não aparecem todas as potências da incógnita. É que essas equações são incompletas. Por exemplo, 6x³  3x² – 4x + 2 = 0 é uma equação do 3º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes de zero. Já x4 – 10 =0 é uma equação do 4º grau incompleta, pois os coeficientes de x³, x² e x são nulos. O que são coeficientes? São as constantes que acompanham a incógnita (letra). Observe! clipart Entendi! Quando o coeficiente é zero, a incógnita não aparece e a equação é considerada incompleta. Legal! Glossário: termo independente – é o valor que aparece sem a incógnita (letra), na equação. Introdução à equação de 2.º grau
  10. 10. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201412 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU 1) Determine os coeficientes nas equações abaixo: AGORA, É COM VOCÊ!!! a) 7x² + 5x + 8 = 0  a = _____ b = ____ c = ____ b) y² ─ y ─ 1 = 0  a = _____ b = ____ c = ____ c) z² + 3z = 0  a = _____ b = ____ c = ____ d) 3x² ─ 4 = 0  a = _____ b = ____ c = ____ e) 5x² = 0  a = _____ b = ____ c = ____ 2) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se a = 0, porém b ≠ 0 e/ou c ≠ 0? ___________________________________________ 3) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos parênteses, I se a equação for incompleta e C se a equação for completa . ( ) 3x(x  7) = x²  5  ______________ ( ) 5x + 4x² = 3x(x + 2)  x  3  _________ ( ) (x + 2)² = x + 4  _________________ 4) Verifique se 2 é raiz das equações abaixo: a) x² - 2x = 1 b) 3x²  1 = 11 c) x³ = 2 d) ( x  1) ( x  3) ( x  4) = 2 5) Podemos afirmar que 2 e 3 são raízes da equação 3x² + 2x  21 = 0? 6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas): a) O número 9 é raiz da equação x²  9x + 9 = 0. b) As raízes da equação 6x²  5x + 1 = 0 são . 3 1 2 1 e
  11. 11. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - INCOMPLETA Precisamos cercar essa área. A área de lazer continua quadrada? Não. Ampliaram 1 m no comprimento e reduziram 1 m na largura. Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida do lado do terreno inicial como x, x + 1 x  1 13 A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada. ( x + 1 ) . ( x  1 ) = 8  x²  1 = 8  x² = 9 Essa é uma equação de 2º grau. Isso mesmo! Observe! (+3)² = 9 ou (3 )² = 9. x² = 9  x = 3 ou x =  3 Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser 3. Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x  1 = 2 Para cercar essa área, serão necessários 2.(4 + 2) = 12 m de cerca. equacionamos a situação: E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca seriam necessários. AGORA, É COM VOCÊ!!! Sabendo que
  12. 12. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201414 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA Augusto e Beto precisam cercar um terreno. O terreno era quadrado, mas ampliaram para 12 metros no comprimento. A superfície do terreno ficou 5 vezes maior que a área do terreno quadrado. x x + 12 Equacionando... x ( x + 12 ) = 5x²  x² + 12x = 5x² Reduzindo a equação... 4x²  12x = 0 Fatorando o polinômio 4x²  12x, temos 4x ( x  3 ) = 0 Área do terreno quadrado  x² O que acontece quando dois fatores geram um produto igual a zero? Temos um produto de dois fatores ( 4x e x  3 ) igual a zero. 4x = 0  x = 0  x  3 = 0  x = 3 a) Qual é o valor de x que serve para essa situação? b) Determine a medida de cada lado do terreno. c) Quantos metros de cerca serão necessários para cercar todo o terreno? ________ AGORA, É COM VOCÊ!!! 1) O produto de um número pela soma desse número mais 3, é igual ao quádruplo do quadrado desse número. Determine quais os números que podem atender a essa igualdade. _________________ _____ __________
  13. 13. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 e) x (x + 2) = 2x + 25  ___________________________ _________________________ c) 9x² = 54x  ___________________________________ ____________________________________ 15 AGORA, É COM VOCÊ!!! 1) Determine as raízes das equações abaixo: a) x² - 49 = 0  b) 2x² - 32 = 0  c) 5x² - 50 = 0  d) 2x² + 18 = 0  2) Fatore as expressões algébricas a seguir: a) x² + 7x = __________ b) 3y²  12y = ___________ c) 12z + 9z² = ____________ 3) Resolva as equações a seguir: a) 3x ( x + 2) = 0  _________________________ b) x (2x + 5) = 2x  _____________________________ 4) Agora, resolva essas equações: a) 5x²  10x = 0  ______________________________ ______________________________ b) 3x²  7x = x(2x – 4)  _________________________ _________________________ _________________________ d) (x – 5)(x – 6) = 30  _________________________ ____________________________ 5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas raízes. a) O que acontece quando a equação é incompleta porque b = 0? _____________________________________ b) O que acontece quando a equação é incompleta porque c = 0? _______________________ 6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu perímetro. y + 5 y  5 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA
  14. 14. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201416 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU !!!FIQUE LIGADO Forma geral da equação de 2.º grau: ax² + bx + c = 0 • em que x é a incógnita que pode ser representada por qualquer letra ( y, z, w... ); • a, b e c são valores constantes, chamados de ____________. As equações de 2.º grau podem ser completas ou incompletas. a) Em ax² + bx + c = 0, se a  0, b  0 e c  0, podemos afirmar que é uma equação de 2.º grau ___________. b) Porém, se a  0, b = 0 e < 0, a equação será ___________, do tipo ax² + c = 0, e suas raízes serão __________________. c) Se a ≠ 0, b = 0 e > 0, as raízes ______________________. d) Quando a  0, b  0 e c = 0, a equação será também _____________, do tipo ax² + bx = 0, e uma de suas raízes será _____________. e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é uma equação do ____ grau. a c a c AGORA, É COM VOCÊ!!! 1) Escreva a equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0, em que os coeficientes sejam a = 3, b = -2 e c = 7. __________________ 2) Na equação py² + 3y – 2 = 0, quais devem ser os valores de p para que ela seja de 2.º grau? _______________________________________________ 3) Em ( m – 3 )w² - 5w + 4 = 0, quais devem ser os valores de m para que a equação seja de 2.º grau? 4) Na equação do exercício 3, o valor de m pode ser 2? 5) Em 2z² - 3z + ( n – 2 ) = 0, determine n de modo que uma de suas raízes seja zero. 6) Em 2z² - 3z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma de suas raízes seja zero.
  15. 15. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201417 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU 7) A equação ( 2m − 6 )x² + 6x + 3 = 0 é do 1.º grau. Sendo assim, podemos afirmar que o valor de m é _____. 8) Na equação x² + ( 2p + 6)x  p = 0, o valor de p pode ser 3, para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas?____ Por quê? ____________________________. 9) A equação (n  3)x² + 5x + (n²  9) = 0 é do 2.º grau e uma de suas raízes é zero. Determine o valor de n. Preciso que o senhor aumente em 1m o comprimento e a largura do mural quadrado do pátio e coloque uma moldura. A superfície do mural terá 9 m² de área. Quantos metros de moldura vou precisar? y + 1 y + 1 ( y + 1)² = 9 O cálculo da área do quadrado é lado ao quadrado. y + 1 =  3 y + 1 = 3  y = 2 y + 1 = 3  y =  4 y =  4  y + 1 = 4 + 1 =  3  não pode ser a medida do lado do mural. y = 2  y + 1 = 2 + 1 = 3  o lado do mural mede 3 m. Logo, ele vai precisar de 4 . 3 = 12 m de moldura.
  16. 16. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201418 1) Fatore o trinômio e resolva as equações: AGORA, É COM VOCÊ!!! EQUAÇÃO DE 2º GRAU a) x² - 2x + 1 = 4 b) x² + 6x + 9 = 49 c) 4y² - 4y + 1 = 25 d) 9z² + 12z + 4= 64 2) Determine um número cujo quadrado de sua soma com 3 resulte em 36. 3) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione sua área, na forma reduzida. x x 3 Essa equação é completa. O trinômio não é um quadrado perfeito. Acho que terei que usar a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la. Bhaskara foi matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Adaptado - http://www.xtimeline.com
  17. 17. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201419 EQUAÇÃO DE 2º GRAU – FÓRMULA DE BHASKARA Vamos descobrir juntos a fórmula de Bhaskara? A ideia é genial: tentar escrever ax² + bx + c como um produto. Vamos lá! Considerando a equação de 2.º grau como ax² + bx + c = 0, onde a  0. a) Subtraímos c de ambos os membros da equação: ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx =  c. b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a: ( ax² + bx ) . 4a = – c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx =  4ac. c) Adicionamos b² a ambos os membros: 4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b²  4ac. Que legal!!! Com esse processo, transformamos o 1.º membro da equação em um trinômio quadrado perfeito! 4a²x² + 4abx + b² ↓ ↓ ↓ 2ax 2 . 2ax . b b Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( 2ax + b )² d) Temos, então, a igualdade: (2ax + b )² = b² - 4ac e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros, encontramos 2ax + b = acb 4²  Agora, é só isolar o x! f) Subtraímos b de ambos os membros: 2ax + b – b =  b, isto é, 2ax = bac4²b  ac4²b  g) Dividindo ambos os membros por 2a, tem-se x = a2 ac4²bb  Esta é a Fórmula de Bhaskara! Para achar os valores de x, basta substituir os valores de a, b e c da equação na fórmula.
  18. 18. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201420 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA Vamos resolver a equação x²  3x  4 = 0, utilizando a fórmula de Bhaskara. Sendo a equação geral de 2.º grau ax² + bx + c = 0, então em x²  3x  4 = 0 a = 1, b =  3 e c =  4. Substituindo, na fórmula,       12 41433 2 4² 2      x a acbb x 2 253 2 1693     xx 1 2 2 4 2 8 2 53 2 253         x x xx São as raízes da equação 1 e 4. EQUAÇÕES DE 2.º GRAU O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40. Equacionando x²  3x = 40 → x² − 3x − 40 = 0. Os coeficientes são : a = 1, b = −3 e c = −40. Calculando ∆, Aplicando à fórmula de Bhaskara: As raízes são 8 ou  5.     169401434² 2  acb   5 8 2 133 12 1693 2         x x xx a b x Vamos calcular o radicando primeiro? Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada um na equação. O radicando b²  4ac é chamado de discriminante da equação e é representado pela letra grega delta (∆).
  19. 19. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201421 AGORA, É COM VOCÊ!!! 2) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a seu quíntuplo. Determine esse número. 1) Determine as raízes das equações a seguir: a) x²  5x + 6 = 0 b) 2y² + 3y  14 = 0 c) (2x + 3) (x  1) = 3 3) A área do retângulo é igual à área do quadrado. Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões: x  3 2x  2 x  1 x  1 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA
  20. 20. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201422 EQUAÇÃO DE 2º GRAU - DISCRIMINANTE Agora, serão propostas três equações de 2.º grau para que você as resolva. Use a fórmula de Bhaskara. Preste atenção a cada ∆ e relacione com as raízes encontradas. Você fará uma incrível descoberta! I) Determine as raízes de x² – 4x + 4 = 0. Que valor encontrou para ? ______ Como são as raízes? _________ II) Resolva a equação: x² + x – 12 = 0 O valor que você encontrou para  é positivo ou negativo? __________________ As raízes são iguais ou diferentes? ____________ III) Quais são as raízes de x² – 2x + 10 = 0? O valor de  é positivo ou negativo? __________ Por que as raízes não são reais? _______________________________________________ _______________________________________________ !!!FIQUE LIGADO Discriminante da equação de 2.º grau Se ∆ = 0, suas raízes são reais e iguais. Se ∆ > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes. Se ∆ < 0 (negativo), suas raízes não são reais. Vou sempre calcular o ∆ antes de resolver a equação. Assim, já sei que tipo de raízes vou encontrar.
  21. 21. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201423 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - DISCRIMINANTE Agora, eu sei porque ∆ se chama discriminante. Ele indica se as raízes de uma equação de 2.º grau são reais e iguais, reais e diferentes ou se não são reais. AGORA, É COM VOCÊ!!! 1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes. A equação 2y² – y – 8 = 0 possui raízes _________________ , porque o discriminante () é ____________________. 2) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 25 = 0? Justifique sua resposta. 3) Sabendo que a equação x² – 2x + (m – 3) = 0 tem raízes reais e iguais, qual é o valor de m? 4) O valor de k, para que a equação 2w² – 2w – k = 0 tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero? 5) Podemos afirmar que a equação 3 x ² – 4 x + 1 = 0 possui raízes reais e diferentes? _____ Por quê? 6) Na equação 4 x ² – (p + 1) x + (p – 2) = 0, determine os valores de p, para que a equação tenha raízes reais e iguais.
  22. 22. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201424 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA DE RAÍZES clipart Fiz uma experiência e descobri algo incrível. Mostre para nós o que você descobriu. Sabemos que a equação geral de 2.º grau é a x ² + b x + c = 0. Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim encontradas: a acbb x 2 4² 1   a acbb xe 2 4² 2   Se somarmos as raízes, temos: x1 + x2 = a2 ac4²bb a2 ac4²bb    Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma toda sobre o mesmo denominador. x1 + x2 = a2 ac4²bbac4²bb  a b a b     2 2 Vamos testar? Determine as raízes de z² − 7z – 30 = 0. Verificando... a) z1 + z2 = _____________ b) Utilizando a regra que encontramos...   7 1 7    a b a b Não é que deu certo? z² − 7z – 30 = 0. AGORA, É COM VOCÊ!!! Determine a soma das raízes das equações: a) 9x²  9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y  3 = 0
  23. 23. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201425 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – PRODUTO DE RAÍZES clipart Descobriu mais alguma coisa? Agora, vamos multiplicar as raízes:     aa acbbacbb xx a acbb a acbb xx 22 4²4² 2 4² 2 4² 21 21        Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença, temos:        21 22 21 ²4 4² xx a acbb xx   ²a4 ac4²bb2  Retirando os parênteses: a² acbb xx 4 422 21   Simplificando: a c a ac xx  ²4 4 21 Sim! Veja que interessante! clipart Vamos testar com a mesma equação? z² − 7z – 30 = 0 Verificando... a) z1 . z2 = ___________ b) Utilizando a regra encontrada... As suas raízes são 3 e 10. AGORA, É COM VOCÊ!!! 1) Determine o produto das raízes nas equações: a) 9x²  9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y  3 = 0 2) Determine a soma e o produto das raízes em 2y²  3y + 1 = 0
  24. 24. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201426 AGORA, É COM VOCÊ!!! EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA E PRODUTO DE RAÍZES Uma equação do 2.º grau é da forma ax² + bx + c =0, com a  0. 1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e onde o coeficiente de x² é um (a = 1). ( ) 2 e 6 ( ) – 8 e 1 ( ) – 3 e – 4 2) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes das equações: a) x² – 6x – 7 = 0 (S) = ______ (P) = ______ b) 3y² + 4y + 1 = 0 (S) = ______ (P) = ______ 3) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é igual a 7, determine o valor de k: 4) Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1. Determine o valor de p. 5) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente do termo em x² é 1, então essa equação é ______________ 6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do tipo ax² + bx + c = 0 a seguir. a) z² − 7z – 30 = 0 b) 4x²  12x + 9 = 0 7) Descubra o produto das raízes da equação x²  3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6.
  25. 25. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201427 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – COMPOSIÇÃO Nossa! Na atividade 5 da página anterior, montamos uma equação! Será que podemos compor equações a partir das raízes? Escreva uma equação de 2.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha raízes 3 e -4. Consideremos o coeficiente a = 1. A soma das raízes é 3 + (4) = 1. Como a soma das raízes é = O produto das raízes é 12. Como o produto das raízes é = A equação é x² + x  12 = 0. Pensando... x - 3 = 0  x = 3 e x + 4 = 0  x = 4 Então: (x  3) (x + 4) = 0  x² + x  12 = 0 Resolva a equação e verifique se as raízes são 3 e 4. 11 1 ,  b b a b .1212 1 ,  c c a c Veja como pensei! Descobri! Se considerarmos a = 1, podemos compor uma equação de 2º grau usando a fórmula: x²  Sx + P = 0, sendo S a soma das raízes e P o produto delas. Utilizando o produto de binômios, formados com os simétricos das raízes, também encontramos a equação. Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas raízes são 5 e 3. AGORA, É COM VOCÊ!!!
  26. 26. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201428 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO A minha última descoberta foi a mais incrível! Através da soma e do produto, é bastante simples achar as raízes das equações de 2.º grau, se as raízes forem números inteiros. clipart Vamos brincar um pouco? Diga 2 números que, somados, deem 7 e cujo produto seja 10. Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4. O par, cujo produto é 10, é 2 e 5. Montando o produto, temos: (x – 2 ) (x – 5 ) = 0  x²  2x  5x + 10 = 0 x²  7x + 10 = 0 Resolva a equação e verifique se as raízes são 2 e 5. AGORA, É COM VOCÊ!!! Descubra os dois números inteiros que atendam às condições propostas a seguir: a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5? ______. b) cujo produto é 15 e cuja soma é  8. São eles: ____ e _____ . c) cujo produto é  30 e cuja soma é -1. São eles: _______. !!!FIQUE LIGADO Se o produto de 2 números for positivo, os números têm sinais iguais. negativo, os números têm sinais diferentes. Se os 2 números possuem sinais iguais, a soma é o resultado da adição de seus módulos com o mesmo sinal desses números. sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração de seus módulos com o sinal do número com maior módulo. Lembre-se de que • o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. • o módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo.
  27. 27. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201429 clipart Mas como podemos utilizar a soma e o produto para descobrir as raízes de uma equação de 2.º grau? clipart Sabemos que uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, em que a = 1 pode ser determinada por x²  Sx + P = 0, onde S é a soma e P o produto das raízes. 1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as raízes das seguintes equações: a) x²  9x + 18 = 0. AGORA, É COM VOCÊ!!! b) 2z² + 4z  30 = 0. 2) Determine as raízes da equação x² + 3x  28 = 0, utilizando a soma e o produto das raízes. 3) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as equações a seguir. a) x²  9x + 14 = 0 b) y² + 6y + 8 = 0 c) z²  z  12 = 0 d) w² + 5w  6 = 0 e) x² + 4x + 4 = 0 EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO
  28. 28. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201430 Agora, resolva a equação y²  2 = 0. Localize, aproximadamente, suas raízes na reta numérica. clipart LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA Observe as setas. Quais delas apontam para os valores mais próximos das raízes dessa equação? clipart Entre que inteiros está ?2 2411  Eu utilizei a calculadora. É um pouco mais de 1,4. Sendo a equação , determine suas raízes e assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes. 03²  yy
  29. 29. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201431 SEMELHANÇA DE POLÍGONOS Essas duas fotos são semelhantes. Essas duas fotos não são semelhantes. Em Matemática, para que a redução de uma figura seja semelhante à figura original é necessário que se mantenham as devidas proporções. Observe os trapézios ACFD e BCFE. Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo. Meça os ângulos de cada trapézio. Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? _____ Determine a razão ___________________________ Verifique se a razão é a mesma em  AC BC . CF BE e DF EF Podemos concluir que os trapézios ACFD e BCFE são semelhantes. !!!FIQUE LIGADO Descobrimos que dois trapézios são semelhantes quando seus ângulos correspondentes são congruentes (têm a mesma medida) e seus lados correspondentes são proporcionais. clipart
  30. 30. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201432 SEMELHANÇA DE POLÍGONOS AGORA, É COM VOCÊ!!! 1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine as medidas x e y. 6 cm 4 cm x y 15 cm 20 cm 2) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm, podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ___cm. 4 3 3) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes. Justifique sua resposta. 6cm 3cm 8cm 6cm 10cm 10cm 4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo lado também mede 7 cm são semelhantes? Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras:
  31. 31. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201433 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Trace, em uma folha de papel quadriculado, dois triângulos retângulos como o modelo abaixo. Meça seus lados e ângulos e verifique se são semelhantes. A B D E 3cm 5cm 60° 60° C Trace, em uma folha de papel quadriculado, um triângulo cujos lados meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm. Observe abaixo. Multiplique por 2 as medidas dos lados do triângulo traçado e construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo. Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes. O que descobriu? _____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ É possível desenhar quadriláteros, pentágonos, hexágonos e outros polígonos com lados proporcionais e ângulos diferentes. Porém, com os triângulos não é possível desenhá-los desta maneira. F
  32. 32. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201434 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de AGORA, É COM VOCÊ!!! . 3 1 A 4 B _____  CE AC 2) De acordo com a figura abaixo, responda:   6cm 3cm 10cm A B D C 4cm E a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes? b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE e DCE? c) Qual é a medida de d) Qual é a medida de ?DE ?BE
  33. 33. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201435 TRIÂNGULO RETÂNGULO redesul.am.br Preciso reforçar esse teto! todaoferta.uol.com.br O triângulo ABC é retângulo em Â. é a altura relativa à hipotenusa. AH C A B H B CH Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuem nomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. Analisando o triângulo retângulo ABC... a) Qual é o nome dado ao lado b) Qual é o cateto maior? c) Qual é o cateto menor? d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC? e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC? f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes? ?BC H B A H A C A B C H A ________________ ________________ Qual será a medida da viga de sustentação? ________________
  34. 34. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201436 TRIÂNGULO RETÂNGULO AGORA, É COM VOCÊ!!! Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e determine o que se pede.    A B C D 4 6 a) Podemos afirmar que a medida do ângulo  é igual à medida de ? _____ Por quê? ___________________________________________________ ___________________________________________________ b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BCD? _____ Por quê? ___________________________________________________ ___________________________________________________ c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao ângulo reto. d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao ângulo . . e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado _____ do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos ângulos  e  , sabendo que  = . f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então o lado AD mede ______. ____x______x___ ___ ___ ___ ___ BD ___ CD BD  TRIÂNGULO RETÂNGULO
  35. 35. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201437 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO  Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o triângulo retângulo...  São elas: a → a medida da hipotenusa b → a medida de um cateto c → a medida do outro cateto h → a medida da altura A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. m → é a medida da projeção ortogonal de b. n→ é a medida da projeção ortogonal de c. Já sei que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho três triângulos retângulos semelhantes. Agora, vou verificar as relações que posso obter com as medidas de seus lados. A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as medidas das projeções dos catetos, obtenho a hipotenusa. • Então, a = ____+ _____  (1.ª relação) Comparando os dois triângulos maiores. Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes. b a m b AC BC HC AC  Multiplicando meios e extremos... b . b = a . ___ → _________ A 2.ª relação mostra que o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. • Então, b² = am  (2.ª relação) bb A A B c C C h a m H
  36. 36. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201438 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Comparando o triângulo maior com o menor. Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes. c a n c AB BC HB AB  Multiplicando meios e extremos... c . c = a . ___ → _________ A 3.ª relação mostra que o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. • Então, c² = a.n  (3.ª relação) Comparando os triângulos menores... Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a igualdade com os lados correspondentes. h n m h HA BH HC HA  Multiplicando meios e extremos... h . h = m . n→ _____________ A 4.ª relação mostra que o quadrado da medida da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. • Então, h² = mn  (4.ª relação) b A B c C a h A B c H n h A B c H n b A C h m H
  37. 37. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201439 RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO Comparando os dois triângulos maiores novamente... h c b a AH AB AC BC  Multiplicando meios e extremos... a . ___= ____ . c → ____________ Na 5.ª relação, descobri que o produto da medida da hipotenusa, pela medida da altura relativa a ela, é igual ao produto das medidas dos catetos.  Então, ah = bc  (5.ª relação) A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver o projeto da viga no telhado que precisa ser reforçado. Retomando o projeto (página 34) ... De acordo com as medidas da figura acima, complete e calcule a medida do comprimento da viga de sustentação. H a) Considerando as representações das medidas dos elementos de um triângulo retângulo... a = ____ b = ___ c = ___ h = ____ b) Utilizando a 5.ª relação... ah = bc _______________________________ c) A viga de sustentação deve medir ________ m. B A C 3 m 5 m 4 m b A B c C a b A C h m H
  38. 38. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201440 TEOREMA DE PITÁGORAS  que Pitágoras é conhecido pelo famoso teorema que leva seu nome? Era filósofo e astrônomo, além de matemático?  que Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada, em sua homenagem, de Pitagórica, cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da Matemática e da Filosofia Ocidental? Imagem retirada de http://www.suapesqui sa.com/pesquisa/pita goras.htm Existem mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras. A próxima atividade utilizará um processo com base em uma dessas demonstrações. Nesta figura, vemos dois quadrados:  Um claro de lado a. Um escuro de lado (b + c). A área do quadrado claro é a². Para achar a área do quadrado claro, podemos calcular a área do quadrado grande e tirar a área desses 4 triângulos retângulos escuros. Vamos calcular a área do quadrado escuro: a) Se o lado do quadrado grande é b + c, a área da figura toda é (b + c)². b) Desenvolvendo esse quadrado: (b + c)² = b² + 2bc + c² c) A área de cada triângulo retângulo é a metade da área de um retângulo de lados b e c. Veja! b c Um triângulo  Quatro triângulos  2 bc bc2 2 bc4  d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos quatro triângulos retângulos, temos: b² + 2bc + c² - 2bc = b² + c² e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de Pitágoras  a² = b² + c²
  39. 39. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201441 TEOREMA DE PITÁGORAS Também podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras usando as relações que encontramos. Observe. Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões que deduzimos. b² = am e c² = an. Então, b² + c² = __________ Colocando a em evidência, temos : b² + c² = _____ Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a . _____ Logo, b² + c² = a² !!!FIQUE LIGADO RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO  a = m + n  b² = am  c² = an  h² = mn  ah = bc  a² = b² + c² Oi, amigos! Sou treinador de um time de futebol da minha comunidade. Gosto de mostrar diversas jogadas para que os jogadores conheçam boas estratégias de jogo. Esta jogada é uma delas. Observe. Imagemadaptadade:http://www.google.com.br/em4/6/10 Determinando as distâncias dos jogadores 1, 2 e 3, nesse momento, é possível ver que suas posições formam um triângulo retângulo e que a distância entre o jogador 1 e a bola é a altura relativa à hipotenusa desse triângulo.
  40. 40. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201442 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO AGORA, É COM VOCÊ!!! 1. De acordo com as representações das medidas de um triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos dizer que  a distância entre os jogadores 2 e 3 é a __________________.  a distância entre os jogadores 1 e 2 é o _______________.  a distância entre os jogadores 1 e 3 é o _________________. a distância entre o jogador 1 e a bola é a _____________.  a distância entre o jogador 2 e a bola é _______________ _______________________________. a distância entre o jogador 3 e a bola é __________________________________. A distância do ► jogador 2 até a bola é de 3,2 m. ► jogador 3 até a bola é de 1,8 m. 2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3? 3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2? 4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3. 5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância entre o jogador 1 e a bola.
  41. 41. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201443 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. Um cabo de aço ligará 2 prédios (veja o desenho abaixo). Determine a medida x do cabo de aço. 40 m 20 m x 25 m A medida x é de ________________. 2. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo: 3. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo: B A C H a 4 5 B A C H w 50 18 y z
  42. 42. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201444 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de suas dimensões estão representadas na figura abaixo. 12 m13 m 32 m 18 m a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior da figura. b) As medidas que você deverá encontrar estão assinaladas como x, y e z na figura a seguir. 12 m13 m 32 m 18 m x y z c) Calcule, primeiro, x, depois, y e, por último, o valor de z. Assim, ficará mais fácil. Resolução da questão:
  43. 43. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201445 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO 5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo. Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede 1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira? Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais próximo de é o ____ .2 6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo: x 5 a) x b) 24 7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo: 6h 1 1
  44. 44. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201446 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não compromete o orçamento doméstico. Controlo direitinho todo dinheiro que recebo com as tortas. Observe a tabela que fiz para controlar a quantia que sobra ao final do mês. CONTROLE DE 2014 Janeiro R$ Fevereiro R$ Março R$ Abril R$ Maio R$ Recebi pelas tortas 480 320 600 280 640 Gastos pessoais 250 150 420 300 400 Sobra 230 180 ̶ 20 De acordo com a tabela acima, determine o que se pede. a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi __________, no valor de R$ _________. b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico para cobrir seus gastos em __________, no valor de R$ _______. c) O maior gasto pessoal foi em ________, no valor de R$ _____________. d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu mais tortas em _______ e menos tortas em _______. A quantia que sobra, em cada mês, coloco na Caderneta de Poupança. De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano, ela colocou R$ _________na Caderneta de Poupança. Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete o quadro abaixo. TORTAS VENDIDAS Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Nº de tortas 12 Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima.
  45. 45. Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 201447 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO O gráfico de colunas mostra as notas, de 0 a 5, dos alunos de uma turma, em um teste de Geografia. a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____ E nota um? _____ b) Complete a tabela com os dados do gráfico: c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste, quantos alunos há nessa turma? ______ d) Qual foi a média da turma? _______ e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma?______ 0 1 2 3 4 5 Notas 0 1 2 3 4 5 Nº de alunos 2 O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos anos de 2002 a 2008, que gerou o gráfico abaixo. De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que a) o ano de _________ teve a maior taxa de desemprego desse período. b) O maior número de habitantes empregados, nesse período, foi em ___________. c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foi nos anos de _________ e ________. Fonte IBGE

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