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Area entre 2 curvas

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  1. 1. Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones y , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b]. Si las graficas están sobre el eje x y la grafica esta debajo de la grafica , se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar el área de la función al área de la función , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos. Definición Si y son continuas en [a,b] y ≤ para todo x en [a,b], entonces el área de la región acotada por las graficas y y las rectas verticales y es  Área de una región entre dos curvas que se intersecan Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin
  2. 2. importar que grafica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica de ≤ o ≤ y de esa forma se tendrá los 3 intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c].  Si la grafica de una función de y es una frontera de una región, es a menudo conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan  
  3. 3. Donde (x1, x2) y (y1 , y2) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas. Ejemplo # 1 Encontrar el área de la región:  Solución Como se observa en la figura nuestra función de arriba es y la de abajo es por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde donde
  4. 4.  Ejemplo # 2 Encontrar el área de la región: Solución Como se muestra en la figura la función de arriba es y en la parte de abajo es por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde donde
  5. 5.  Ejemplo # 3 Calcule el área del a región definida por las parábolas: Solución Ecuación de la parábola: completamos al cuadrado
  6. 6. igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones: ó ó
  7. 7. Ejemplo # 3 Calcule el área de la región definida por las parábolas: Ecuación de la parábola: Para graficar esta parábola en caso de que no nos acordemos como se hace solo con viendo la ecuación podemos graficarla metiéndole valores a X para saber cuánto vale en Y y así graficarla
  8. 8. Igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones(los puntos en donde evaluaremos la integral): y ya teniendo las intercesiones que es 0 y 2 (esto quiere decir que integraremos de 0 a 2 que es el área que encierran las dos parábolas) integramos:
  9. 9. Ejemplo # 4 Calcule el área de la región definida por: Solución Igualamos las ecuaciones para encontrar los intervalos en que crece el área delimitada:
  10. 10. tomamos |x| como positivo por ser el valor absoluto de |x|: factorizamos utilizando el método cuadrático: pero como la recta de la que depende el área es |x| (el valor absoluto de x) es positiva evaluamos en 0, y los intervalos nos quedan: Ahora evaluamos el área sub i Ahora para aproximarnos más al área evaluamos el límite:</tex> Ahora calculamos la integral:

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