SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 17
Baixar para ler offline
РАЗДЕЛ 9. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ.

   Дискретная (цифровая) обработка сигналов - это направление радиоэлек-
троники, использующее методы и средства цифровой вычислительной техники
для цифровой фильтрации сигналов и спектрального анализа сигналов, пред-
ставленных набором дискретных отсчетов.

  Основы аналитического описания дискретных сигналов и цепей
  Как и аналоговые сигналы, дискретные сигналы могут описываться во вре-
менной области, в частотной, в области комплексной переменной.
  Во временной области дискретные сигналы представляются в виде дискрет-
ных последовательностей размерного или безразмерного времени
                             s(nT), t=nT,                            (9.1)
                             s(n), n=t/T                             (9.2)

   Примеры:
   1) s 0 (n ) - дискретный единичный импульс – рис. 9.1 сигнал, который подают
на дискретную цифровую систему, чтобы снять ее импульсную характеристику.

                            1, n = 0
                 s 0 (n ) = 
                            0, n ≠ 0

                                                   Рис. 9.1. Дискретный единичный
                                                                импульс

   2) Дискретизированное гармоническое колебание
                                                2π
                      s(nT ) = cos(ω0nT ) = cos( nT)
                                                T0

                 s(nT)



                                                         nT


                    Рис. 9.2. Дискретизированное гармоническое
                                     колебание
     Z - преобразование.
                          .
    Z-преобразование X(z) и временная последовательность x(n) связаны вы-
  ражениями



                                        118
.        ∞
                 Z[ x (n )] = X(z) = ∑ x (n )z − n , z = x + jy      (9.3)
                                            n =∞


                             1       .                   . 
                 x (n ) =         ∫  X(z)z n −1dz = Z −1 X(z) ,       (9.4)
                            2πj z =1                         

называемыми соответственно прямым и обратным Z-преобразованиями.
   Z-преобразование для описания дискретных сигналов и цепей играет при-
мерно ту же роль, что преобразование Лапласа для описания аналоговых сигна-
лов и цепей.
   Основные свойства Z-преобразования по форме записи и по сути близки к
свойствам преобразования Фурье.
   1. Линейность:
временной последовательности
                  x (n ) = a ⋅ x 1 (n ) + b ⋅ x 2 ( n ) + ... ,
соответствует Z-преобразование
                  .                 .              .
                   X(z) = a ⋅ X1 (z) + b ⋅ X 2 ( z) + ... .             (9.5)
   2. Запаздывание:
если x(n), X(z) – исходный сигнал и его Z-преобразование, то запаздывающая
последовательность x(n-m) будет иметь Z-преобразование
                         Z[x(n-m)]=X(z)z-m                              (9.6)
   3. Свертка:
дискретная свертка двух последовательностей x(n), y(n)
                                ∞
                 s( n ) = ∑ x ( k ) y( n − k )                          (9.7)
                            k = −∞
                                     
с известными Z-преобразованиями X(z), Y(z)
будет иметь Z-преобразование
                            .           .     .
                        S(z) = X(z) ⋅ Y( z)                            (9.8).
   Z- преобразование переносит сигнал из временной области в комплексную
плоскость z=x+jy.
   Для аналоговых сигналов преобразование Лапласа переводит сигнал из вре-
менной области в комплексную плоскость p=σ+jω.
   Соотношение z=epT устанавливает связь между точками двух комплексных
плоскостей – “p” и “z”.
   Мнимая ось плоскости “ p ”в плоскости “ z ”отображается в виде единичной
окружности, путем многократного наложения. Если берем левую полуплос-
кость ”p”, то она отображается на плоскости ”z” внутри окружности единично-
го радиуса.


                                                   119
Дискретные преобразования Фурье.
   Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) применяют для расчета спектра
дискретного сигнала, заданного во временной области в виде дискретной по-
следовательности отсчетов x(n), n=0, 1, 2…..(N-1), где N- база сигнала.
                           T       Tc
                       N= c =            = 2f m Tc ,
                            T 1 / 2f m
Tc – длина реализации сигнала,
T – интервал дискретизации (по Котельникову),
fm – верхняя частота в спектре сигнала.
Прямое ДПФ (или собственно ДПФ), с помощью которого рассчитывают
спектр дискретного сигнала, имеет вид
                                        2π
             .        N −1         −j      kn
            X(kΩ) = T ∑ x (nT )e        N , k = 0,1,2...( N − 1) ,           (9.9)
                      n =0
                                              2π 2ω m
где   Ω - шаг спектральных отсчетов, Ω =         .        =
                                         N    Tc
   Обратное ДПФ, позволяющее от спектра дискретного сигнала вернуться к
временной последовательности, представлено выражением
                                                         2π
                                  1 N −1 .   j kn
                       x (nT ) =     ∑ X(kΩ)e N .                 (9.10)
                                 Tс k =0
Кроме приведенной пары выражений в литературе по цифровой обработке сиг-
налов можно найти довольно похожие правила, имеющие, однако несколько
иной смысл. Речь идет о соотношениях
                                                    2π
                        .       N −1           −j      kn ,                 (9.11)
                        X ( k ) = ∑ x ( n )e        N
                                n =0

                                                    2π
                                1 N −1 .     j kn                       (9.12)
                       x (n ) =    ∑ X ( k )e N
                                N k =0

   Выражения (9.9) и (9.10) в полном смысле являются преобразованиями Фу-
рье, т.е. связывают временную функцию и спектральную плотность непериоди-
ческого сигнала, полностью заданного N - отсчетами. Выражения (9.11) и (9.12)
связывают временные отсчеты и комплексные амплитуды гармоник периодиче-
ского сигнала один период которого задан N отсчетами.
       Соотношения (9.9) и (9.11) дают спектр с периодической структурой,
                                                                 .      .
причем   период    повторения      равен           т.е. X[ (k + mN)Ω] = X(kΩ) ,
                                                 базе     N,
0 ≤ k ≤ N − 1 . Кроме того, для вещественных функций x (n ) первые N / 2 спек-

                                           120
N
тральных отсчетов ( 0 ≤ k ≤   − 1 ) будут являются величинами, комплексно со-
                            2
                                                                N
пряженными со второй половиной спектральных отсчетов ( ≤ k ≤ N − 1).
                                                                2
Поэтому спектр вещественного дискретного сигнала можно рассчитывать в ин-
               N                               ω
тервале 0 ≤ k ≤ − 1 , или в полосе частот 0 ÷ д .
               2                                2

   Структурная схема системы цифровой обработки аналоговых сигналов.
    На рис. 9.3 представлена структурная схема системы цифровой обработки
аналоговых сигналов.
  x(t)+n(t)                x(t)         x(nT)         x(n)        y(n)         y(nT)        y(t)
              Аналоговый
                 ФНЧ              УВХ           АЦП          ЦП          ЦАП           СФ




                                                             УУ



                       Рис. 9.3. Структурная схема цифровой обработки сигналов

   На вход системы поступает смесь аналогового сигнала x(t), подлежащего об-
работке, и (возможно) высокочастотная помеха n(t), которая должна быть уда-
лена по причинам, о которых будет сказано позднее. Аналоговый фильтр ниж-
них частот (предварительный ФНЧ) и служит для подавления помех в полосе
                                                    f
                                         частот f > д .
  x(t)                                               2
                                            Устройство выборки и хранения
          x(nT)                   x(t)   (УВХ) производит дискретизацию
                                                       сигнала во времени и запоминает
                                                       значение выборки на время паузы
                                                       T = 1 / f д . Запоминание производит-
                                                       ся для облегчения условий работы
                                                       следующего блока – АЦП. Соотно-
                                         t             шение между сигналом на входе
     Рис. 9.4. Соотношение между сигналом              УВХ – x(t) и на его выходе – x(nT)
                на входе и выходе УВХ                  показано на рисунке 9.4.

   Следующий блок - АЦП – аналогово-цифровой преобразователь. Он произ-
водит квантование сигнала, т.е. преобразует аналоговый уровень x(nT) в много-
разрядный код цифровой x(n), x (nT) → x (n ) .

                                                121
ЦП – цифровой процессор – основной блок системы, в котором производит-
ся обработка сигнала: последовательность чисел x (n ) преобразуется в новую
последовательность y(n ) , т.е. x (n ) → y(n ) .
   ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь. Он преобразует выходную по-
следовательность чисел y(n ) в ступенчатый сигнал y( nT) , т.е. y( n ) → y(nT ) .
   СФ – синтезирующий фильтр, сглаживает резкие перепады ступенек, форми-
руя аналоговый выходной сигнал y(t).
   УУ – устройство управления, формирует импульсные последовательности,
управляющие работой цифровых и аналогово-цифровых блоков.
   Блоки системы, стоящие до цифрового процессора, играют вспомогательную
роль, готовя сигнал к цифровой обработке. Блоки, стоящие после процессора
(ЦАП и СФ), формируют аналоговый выходной сигнал и могут отсутствовать в
системе, если аналоговый выход не нужен.

   Структура спектра дискретизированного сигнала. Теорема Котельнико-
ва.
   Суть рассматриваемого вопроса состоит в изучении правил дискретизации
аналоговых сигналов. Ответ на этот, очень важный для практики вопрос дает
теорема Котельникова. Но для того, чтобы понять, чем обусловлено правило
выбора интервала дискретизации, которое содержит теорема Котельникова,
нужно вначале установить структуру спектра дискретизированного сигнала.
    Итак, предположим, что мы имеем аналоговый сигнал s( t ) с известной
                          
спектральной плотностью S(ω) . Этот аналоговый сигнал мы подвергаем дис-
кретизации, производя выборки с шагом T (рис. 9.5).

                    s(t)



                                                    s(nT
                                                    )
                      0    T 2T 3T                   t
                      Рис. 9.5. Дискретизация аналогового
                    сигнала с шагом дискретизации T



   Обозначим дискретизированный сигнал, представляющий собой последова-
тельность выборок аналогового сигнала, sT(t) и найдем его спектральную плот-
ность
                                          ∞
                               ST (ω) = ∫ sT ( t )e − jωt dt
                                                                         (9.13)
                                         −∞



                                          122
Процедуру взятия выборок из аналогового сигнала принято представлять как
результат умножения временной функции аналогового сигнала на решетчатую
функцию hT(t)
                           sT(t) = s(t)hT(t),
где
                                          ∞
                             h T ( t ) = ∑ δ( t − nT )                                     (9.14)
                                        n = −∞
   Вид функции hT(t) приведен на рис. 9.6, а ее аналитическая запись представ-
лена соотношением (9.14).
                                       hT(t)




                                  -T      0      T     2T      t
                                Рис.9.6. Решетчатая функция
   Поскольку функция hT(t) является периодической, ее можно представить в
виде разложения в комплексный ряд Фурье
                                          ∞                   ∞
                                                           jkω t
                             h T ( t ) = ∑ δ( t − nT) = ∑ C k e д ,                        (9.15)
                                        n = −∞              k = −∞

        2π
где ωд =   .
        T
По общим правилам определения комплексных коэффициентов Фурье
                                                 2π
           T                           − jk nT ∞
     = 1 ∫ δ( t − nT)e − jkωд t = 1 e
    Cn                                     T                1
                                                ∫ δ( t )dt = .                             (9.16)
         T0                        T           −∞           T
    Поэтому
                      ∞                  ∞                      ∞
                                              jkω t 1 ∑ e jkωд t
         h T ( t ) = ∑ δ( t − nT) = ∑ C n e д =                                        (9.17)
                    n = −∞            k = −∞               T k = −∞

    Подставляя (9.17) в (9.13), получаем
            ∞             ∞                          ∞     ∞
     (ω) = ∫ s( t )[ 1 ∑ e jkωд t ]e − jωt dt = 1 ∑ [ ∫ s( t )e − j(ω− kωд ) t dt ] = .
    ST
           −∞         T k = −∞                   T k = −∞ − ∞

        1 ∞
    =       ∑ S(ω − kωд ).                                                                 (9.18)
        T k = −∞




                                                 123
Смысл полученного вы-
           S(ω)                                          ражения можно охарактери-
                                                         зовать так:
                                                         структура спектра дискрети-
                                                         зированного сигнала содер-
           -ωm 0      ωm   ω                             жит бесконечное множество
                                                         полос, образованных смеще-
           ST(ω)                                         нием спектральных состав-
                                                         ляющих исходного аналого-
                                                         вого сигнала влево и право
                                                         по оси частот с шагом в kωд.
                                                             Графическая иллюстра-
     -ωд          0        ωд        2ωд             ω
                                                         ция (9.18) приведена на рис.
Рис. 9.7. Спектр ST(ω) дискретизированного сигнала       9.7. При этом множитель
                                                         1 / T перед знаком суммы
для простоты не учитывался.
   Переходим к собственно теореме Котельникова.
   Теорема Котельникова: если функция s(t) такова, что отвечает условию
                                       | f|‌ <fm,
то такая функция полностью определяется последовательностью своих от-
счётов s(nT) взятых с шагом
                                       T=1/(2fm).                     (9.19)
   Смысл термина “функция полностью определяется” следует понимать как
возможность вернуться от набора дискретных отсчетов s(nT) к аналоговой
функции s(t). Такую возможность дает ряд Котельникова
                                  ∞            sin ω m ( t − nT )
                        s( t ) = ∑ s(nT )                         .   (9.20)
                                n = −∞           ω m ( t − nT)




                                           124
Чтобы понять, на что влияет шаг выборок T, построим спектр дискретизирован-
               ST(ω)
                                                T<1/(2fm), ωд>2ωm
                                             а)


                       0 ωm ωд                    ω
                   ST(ω
                   )                                  б) T=1/(2fm), ωд=2ωm

                       0 ωm ωд                ω
                   ST(ω)

                                                      в) T>1/(2fm), ωд<2ωm

                        0   ωm     ωд         ω
                  Рис. 9.8. Спектры дискретизированого сигнала для
                  разных интервалов дискретизации.
ного сигнала для трех случаев: T < 1 / 2f m , T = 1 / 2f m , T > 1 / 2f m (рис. 9.8).
    Если T≤1/(2fm), то восстановить аналоговый сигнал по набору дискретных
отсчётов можно. Например, с помощью ФНЧ, который удалит дополнительные
спектральные составляющие, возникающие при дискретизации аналогового
сигнала. При этом сохраняются неизменными составляющие в основной полосе
− ωm < ω < ωm .Если дискретизация проведена неверно, т.е. T>1/(2fm), то ника-
кая фильтрация не позволит восстановить аналоговый сигнал. Структура спек-
тра дискретизированного сигнала в полосе (-ωm÷ωm) уже отличается от спектра
аналогового сигнала из-за наложений в частотной области (заштрихованные об-
ласти на рис 9.8).
    В итоге правило выбора интервала дискретизации по Котельникову можно
записать в виде
                             T ≤ 1 / 2f m .                                           (9.21)

    Правило выбора шага временных отсчетов Tид , содержащееся в формули-
ровке теоремы Котельникова, рассчитано на “идеализированные” условия дис-
кретизации аналогового сигнала и его восстановления по набору дискретных
отсчетов. Идеализация состоит в предположении, что спектр сигнала ограничен
по ширине, а длительность временной функции бесконечно велика.
В системах цифровой обработки реальное значение шага временных выборок T
зависит от решаемой задачи. При спектральном анализе дискретного сигнала,
заданного последовательностью отсчетов s(nT) конечной длины N=Tc/T, обыч-
но берут TР ≈ Tид .




                                            125
1 1
В задачах цифровой фильтрации шаг выборок берут меньше TР ≤ ( ÷ )Tид .
                                                                 5 2
Это необходимо для того, чтобы при восстановлении обработанного аналогово-
го сигнала в синтезирующем фильтре можно было использовать в качестве СФ
реальный фильтр нижних частот с конечной крутизной спада АЧХ (конечного
порядка). Эта ситуация иллюстрируется рисунком 9.9.

                    S(ω)
                            АЧХ фильтра




                                                         ω
                                   fД

                               Высшие гармоники
              Рис. 9.9. Восстановление аналогового     сигнала
              реальным фильтром нижних частот


  Квантование сигнала.
  На рис. 9.10 схематично представлена суть операции квантования, выпоняе-


     x(nT)                                                   Δ=
                               xmax


                                                          Δx(n)



                               t                                  t
          0     T      2T           0

                     Рис. 9.10. Квантование сигнала.

мая АЦП. Каждая из ступенек x(nT) (слева), сравнивается с сеткой разрешен-
ных уровней (справа), соответствующих кодовым числам, снимаемым с выхода
АЦП. Если, например, АЦП однополярный, рассчитан на диапазон входных
уровней от 0 до xmax , а разрядность выходного двоичного кода равна R, то шаг
∆ , разделяющий два ближайших разрешенных уровня, будет равен
                                   x
                               ∆ = max .
                                    2R



                                        126
В процессе квантования неизбежно будет возникать ошибка квантования
∆x (n ) = x (nT ) − x (n ) , так как число уровней входного сигнала x(nT) неограни-
ченно, а число разрешенных уровней АЦП принципиально ограничено конеч-
ной разрядностью выходного кода R и равно 2R. В различные моменты времени
t=0,T,2T,…., nT, ошибка (погрешность) квантования в общем случае различна.
Она равна ∆x (n ) . Искажение сигнала в процессе квантования можно рассмат-
ривать как результат наложения на истинный сигнал «шума квантования» -
фиктивного случайного процесса ξ(nT) (рис. 9.11).

                       x (nT)           Σ           x (n)



                                          ξ (nT)

                         Рис. 9.11. Учет шума квантования

   Число разрядов АЦП рекомендуется выбирать так, чтобы средняя амплитуда
                   ∆
шума квантования      была в несколько раз меньше уровня шума во входном
                  2 3
сигнале.



   Основные характеристики системы цифровой обработки сигналов.
   Между цифровыми и дискретными системами существует принципиальная
разница, т.к. в цифровых системах все операции выполняются над величинами
с конечным числом разрядов, а в дискретных системах число уровней сигнала
не ограничено. Однако при достаточно большой разрядной сетке величин в
цифровых системах разница между цифровыми и дискретными сигналами бу-
дет очень мала. Поэтому далее мы будем говорить фактически о характеристи-
ках дискретных систем.
   Для облегчения понимания материала вначале вспомним выражения, описы-
вающие обычные аналоговые системы, их характеристики, связь воздействия и
отклика. Свойства линейного аналогового четырехполюсника могут быть опи-
саны операторным коэффициентом передачи K(p), частотной характеристикой
K(ω), либо импульсной характеристикой g(t). Все эти функции связаны между
собой соотношениями (9.22) – (9.26).




                                        127

                                K ( p ) K (ω )
                 x(t)                                         y(t)=?

                                 g(t )                    
               
               X(ω)                                       Y ( ω) = ?
           Рис. 9.12. Связь между входным и выходным сигналами в
                              аналоговой системе.

                                   a + a1p + ... + a M p M
                           K ( p) = 0                                       (9.22)
                                   b 0 + b1p + ... + b N p N
                           
                           K (ω) = K (p)                                    (9.23)
                                              p = jω

                           g( t ) = L−1[ K (p)]                             (9.24)

   Зависимость отклика цепи от функции воздействия и характеристики цепи
представлена правилами (9.25) – (9.26).

                                       
                           Y(ω) = X(ω) ⋅ K (ω)                              (9.25)

                                   ∞
                           y( t ) = ∫ x (τ)g ( t − τ)dτ                     (9.26)
                                  −∞

   Теперь рассмотрим аналогичные правила для линейных дискретных систем.
   Свойства линейной дискретной системы (ЛДС) можно описать системной
           .                                              .
функцией H(z) , частотной характеристикой H(ω) и импульсной характеристи-
                                                                        .
кой g(n ) . Входная последовательность x (n ) имеет Z-преобразование X(z) , а
                                     .
выходная соответственно y( n ), Y( z) (рисунок 9.13).



                                     
                                 H(z) H(ω)
                  x(n)                                         y(n)=?
                                     g (n )
                  X(z)                                         Y(z)=?
                         Рис. 9.13. Связь между входным и
                           выходным сигналами в ЛДС
  Системная функция ЛДС обычно записывается в виде отношения двух поли-
номов по отрицательным степеням комплексной переменной z.

                                                128
.    a 0 + a 1z −1 + ... + a M z − M
                 H(z) =                                                 (9.27)
                           b 0 + b1z −1 + ... + b N z − N
  Частотная характеристика ЛДС при известной системной функции может
быть найдена по правилу
         .
                 (z)              a 0 + a1e − jωT + ... + a M e − jMωT
        H(ω) = H                =                                       (9.28)
                      z = e jωT
                                   b 0 + b1e − jωT + ... + b N e − jNωT
                 j(ω1 + kω д )T                                           .
Поскольку    e           = e jω1T , справедливо H(ω ± kωд ) = H(ω) , то есть ча-
стотная характеристика у ЛДС – функция периодическая.
   Сравним частотные характеристики аналоговых и цифровых фильтров.
   На рис. 9.14 приведена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) анало-
                                      K(ω)


                                               0.7Kmax



                                          0          ω
                                                                  Полоса
                                                               задерживания
                                        Полоса
                                      пропускания

                            Рис. 9.14. Амплитудно-частотная
                            характеристика аналогового ФНЧ
гового фильтра нижних частот (ФНЧ). Упрощенно можно считать, что вся об-
ласть положительных частот для него делится на полосу пропускания
0 ≤ ω ≤ ωc и полосу задерживания ω > ωc .
   На рис. 9.15 приведен график АЧХ цифрового ФНЧ. Как видно, в силу пери-
одичности частотной характеристики цифрового фильтра у него существует
                          K(ω)
                                                         Паразитная полоса
                                                           прозрачности
                                                         0.7Kmax



                              0 ωC      ωд/2        ωд         ω
             сигнал
                                  Ω                         Помеха на частоте
                                                                 ωд+Ω

                           Рис.    9.15.    Амплитудно-частотная
                                             129
                           характеристика цифрового фильтра
множество полос пропускания (прозрачности). Из них одна: 0 ≤ ω ≤ ωc является
основной (рабочей), а остальные – паразитными.
   Помеха, попавшая в паразитную полосу пропускания, трансформируется по
                                            ωд
частоте в основную полосу частот 0 ≤ ω ≤        , и отклик на прошедшую помеху
                                              2
невозможно отличить от отклика на полезный сигнал с частотой Ω . Формально
это легко доказать тем, что
                  cos(ω д + Ω) nT = cos Ω nT .
   Для исключения прохождения помех в паразитных полосах прозрачности, на
входе системы ставят аналоговый ФНЧ.
Периодичность АЧХ цифровых систем – их главная особенность.
   Импульсная характеристика системы g(n ) , ее реакция на дискретный еди-
ничный импульс s 0 (n ) (см. выше). При известной системной функции ЛДС им-
пульсную характеристику можно найти по правилу
                            −1    
                                 .
                  g (n ) = Z H (z) –
                                  
обратное z -преобразование от системной функции.
   Отклик и воздействий ЛДС в плоскости z связаны соотношением, похожим
на основное расчетное выражение спектрального метода анализа
                                       .            .         .
                                       Y (z) = X (z) H ( z)                      (9.29)
   Если значения z задать на единичной окружности z = e jωT , то правило (9.25)
трансформируется в выражение, связывающее отсчеты ДПФ входной и выход-
ной последовательностей
                              .            .    .
                          Y(ω) = X(ω) H(ω) ω=kΩ                                  (9.30),
.
H(ω) – частотная характеристика ЛДС.
   Временные последовательности отклика и воздействия связаны операцией
дискретной свертки
                                  ∞x                               n
                   y( n ) =       ∑ x ( k )g ( n − k ) = ∑ x ( k ) g ( n − k )   (9.32)
                              k = −∞                              k =0

   Алгоритм работы и структурная схема процессора цифрового фильтра.
   Рассмотрим цифровой фильтр (ЦФ) с системной функцией, заданной выра-
жением (9.27) и положим для удобства b0 = 1 . Далее воспользуемся (9.29) и по-
лучим
            .
            Y(z)     .      a 0 + a 1z −1 + ... + a M z −M
                   = H(z) =                                                      (9.33)
            .
                             1 + b1z −1 + ... + b N z − N
            X(z)


                                                        130
.
    Преобразуем это выражение, оставив в левой части Y(z) и перенеся осталь-
 ное в правую часть уравнения
       .      .
                        [         −1
     Y(z) = X(z) a 0 + a 1z + ... + a M z             −M
                                                           ]    .
                                                                    [
                                                         − Y(z) b1z −1 + ... + b N z − N     ]    (9.34)
     Далее перейдем от уравнения для z -преобразований к уравнению для вре-
 менных функций, используя теоремы (свойства) линейности и запаздывания.
 Получим
 y( n ) = a 0 x (n ) + a 1 x ( n − 1) + ... + a M x (n − M ) − b1Y( n − 1) − ... − b N Y(n − N) . (9.35)
     Это разностное уравнение задает алгоритм работы процессора цифрового
 фильтра и может быть использовано для построения прямой формы реализации
 процессора (рис.9.16).
 При построении структурной схемы использованы обозначения:

             Z-1                – блок задержки на один такт (интервал Т),
              a
                            – блок аналогового умножения на постоянный



             Σ                  – сумматор



                                                                                     -bN
                                                                            -b1
                            M                        x (n-M)

x(n)                                                           aM
                   Z   -1
                                            Z   -1
                                                                        Σ     Z-1 y(n-1) Z-1

                                                                                         N
                                       a1
                                                                                  y(n)
                    a0



                    Рис. 9.16. Прямая форма реализации алгоритма цифровой
                    фильтрации
    Приведенная выше структурная схема соответствует дискретному фильтру,
 так как предполагает выполнение умножения в аналоговом виде, без учета по-
 грешности вычисления произведения. Чтобы нарисовать процессор собственно
x(n)     a0
             Σ        Блок цифрового умножения
                      на константу 131

                   ξ(nT)
цифрового фильтра, в котором произведения тоже находятся цифровым спосо-
бом, нужно блоки аналогового умножения на константу заменить следующей
схемой.
   Здесь на выходе каждого аналогового умножителя включен дополнительный
генератор шума, подобный источнику шума квантования в АЦП (см. выше).
   Структурная схема на рис. 9.16 соответствует так называемой ‘прямой фор-
ме реализации ЦФ’, так как вычисления в ней производятся прямо по (9.35).

   Виды цифровых фильтров, их достоинства и недостатки.
   Цифровые фильтры делятся на рекурсивные и нерекурсивные. Рекурсивны-
ми называют фильтры, у которых системная функция имеет хотя бы один по-
люс. Соответственно на структурной схеме таких фильтров имеется хотя бы
одна петля обратной связи (рис. 9.16).
   У нерекурсивных фильтров системная функция имеет только нули.
                   H(z) = a 0 + a1z −1 + ... + a M z − M
      Поэтому на структурной схеме их процессора отсутствуют петли обрат-
ной связи (рис. 9.17).


                                  M

 x(n                                                    x (n-M) a
             Z--1
                           Z--1
                                             Z    --1           M
                                                                        y(n)
 )                                                                  Σ
                                       a3
                            a1
              a0


                    Рис. 9.17. Нерекурсивный цифровой фильтр
   Рекурсивные ЦФ называют еще «БИХ–фильтрами», так как их импульсная
характеристика теоретически имеет бесконечную длину: g(n ) → 0, при n → ∞ .
   Нерекурсивные ЦФ соответственно называют также КИХ–фильтрами, так
как их импульсная характеристика конечна: g(n ) = 0, при n > M .
   Достоинством БИХ – фильтров является достаточно простая структура при
реализации АЧХ с крутыми спадами.
   Преимуществами КИХ – фильтров являются абсолютная устойчивость и
возможность получения строго линейной ФЧХ.

   Достоинства и недостатки цифровых фильтров по сравнению с аналого-
выми.
   Цифровые фильтры в сравнении с аналоговыми имеют важные преимуще-
ства и серьезные недостатки.
   Достоинствами ЦФ в сравнении с аналоговыми являются:
                                            132
1) высокая стабильность характеристик, гарантированная точность получаемо-
    го результата;
2) высокая универсальность, гибкость, возможность реализации сложных и в
    частности адаптивных алгоритмов фильтрации;
3) возможность одновременной обработки нескольких медленно меняющихся
    сигналов или фильтрации одного сигнала в разных полосах частот в режиме
    разделения во времени.
    Соответственно недостатки ЦФ:
1) более низкая скорость обработки сигнала,
2) более высокая сложность и стоимость.
    Преимущества ЦФ обусловлены тем, что частотная характеристика фильтра,
определяемая (11.28), зависит только от набора констант a k , b k и интервала
дискретизации T. Их стабильность во времени и диапазоне температур с одной
стороны, и возможность их изменения по заданному алгоритму, с другой сторо-
ны, в цифровых системах легко обеспечить.
Что же касается низкой скорости обработки сигнала в ЦФ, то она в основном
связана с последовательным выполнением целого ряда операций (см. 9.35),
необходимых для расчета одного значения y n . Все эти расчеты должны быть
выполнены за время T.
    В настоящее время цифровые фильтры в основном используют в двух случа-
ях:
    1) если в состав разрабатываемого комплекса уже входит компьютер, кото-
рому можно поручить и операции цифровой фильтрации,
    2) если требования, предъявляемые к разрабатываемому фильтру, не могут
быть реализованы на аналоговой элементной базе.

   Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ).
   Непосредственное использование формулы ДПФ (9.9, 9.11) для расчета
спектра сигналов с большой базой N приводит к большим затратам времени из-
за необходимости вычисления большого количества умножений. Именно число
необходимых умножений в значительной степени определяет время расчета
спектра, так как умножения в ЦВМ, как правило, выполняются гораздо медлен-
нее, чем сложения. Специальные алгоритмы вычислений, существенно умень-
шающие число необходимых умножений, называют алгоритмами быстрого
преобразования Фурье (БПФ). Рассмотрим идею алгоритма БПФ с прорежива-
нием во времени.
      Ниже воспроизведено соотношение (9.11) с использованием подстановки
                                2π
                           −j
                       e        N =W
                                    N
                  .        N −1
                                   kn
                 X(k ) = ∑ x (n ) WN , k = 0,1,2...( N − 1).           (9.36)
                           n =0
   По этому соотношению легко подсчитать, что число умножений, которые
необходимо выполнить для расчета N спектральных отсчетов равно

                                        133
NДПФ = ( N − 1) 2                     (9.37)
и для больших значений N равно примерно N2.
   Разобьем входную последовательность длиной N на две более короткие, так,
чтобы первая содержала отсчеты с четными номерами 0,2,4,…, а вторая – с не-
четными номерами 1,3,5….
                       x (n ) = x (2n ) + x (2n + 1)
   Тогда выражение (9.26) приобретет вид
                                N                      N
                                  −1                     −1
.          N −1                 2                      2
X( k ) = ∑ x (n ) Wn = ∑ x (2n ) WN2n + ∑ x (2n + 1) WN( 2n +1) =
                   kn             k                   k
           n =0                 n =0                   n =0

    N                     N
      −1                    −1
    2                                         .              .
                kn      k 2             kn                 k             (9.38)
= ∑ x 1 ( n ) W N 2 + W N ∑ x 2 ( n ) W N 2 = X1 ( k ) + W N X 2 ( k )
 n =0                     n =0

    При получении (9.28) учтено, что
                                             2π
                                        −j
                                2π           N
                           −j      ⋅2                 .
                   2            N =e          2 =W
                  WN = e                           N2
    Количество умножений, необходимых для расчета спектра по (9.38):
                                  2              2
                  N  N                 N2
                   − 1 +  − 1 + N ≅          (для N>>1).
                  2      2              2
   Следовательно, разбив исходную последовательность на две половинной
длины, мы примерно вдвое уменьшили число необходимых умножений.
   Если продолжить разбиение последовательностей x1 и x 2 на более ко-
роткие до тех пор, пока вспомогательные последовательности не будут содер-
жать всего по два отсчета, то общее число умножений уменьшится до
                                      N
                               N БПФ ≈ log 2 N .                    (9.39)
                                       2
Сравнив (9.37) и (9.39) для различных N можно оценить выигрыш во времени,
необходимом для расчета спектра, который будет давать алгоритм БПФ. Обыч-
но выигрыш наблюдается уже при N>100.




                                                     134

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

о построении цены производных инструментов
о построении цены производных инструментово построении цены производных инструментов
о построении цены производных инструментовIlya Gikhman
 
Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"
Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"
Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"Yandex
 
электронно лучевая литография
электронно лучевая литографияэлектронно лучевая литография
электронно лучевая литографияstudent_kai
 
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...ITMO University
 
CV2011 Lecture 4. Image representation
CV2011 Lecture 4. Image representationCV2011 Lecture 4. Image representation
CV2011 Lecture 4. Image representationAnton Konushin
 
Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)Alexey Paznikov
 
20110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture06
20110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture0620110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture06
20110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture06Computer Science Club
 
317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений
317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений
317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излученийivanov1566359955
 
Определенные интегралы
Определенные интегралыОпределенные интегралы
Определенные интегралыdaryaartuh
 
Магистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. Королева
Магистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. КоролеваМагистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. Королева
Магистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. КоролеваAndrey Ivanoff
 
Математическое дополнение
Математическое дополнениеМатематическое дополнение
Математическое дополнениеBigVilly
 

Mais procurados (19)

DSP / Filters
DSP / FiltersDSP / Filters
DSP / Filters
 
о построении цены производных инструментов
о построении цены производных инструментово построении цены производных инструментов
о построении цены производных инструментов
 
Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"
Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"
Е.В. Бурнаев "Сегментация сигнала на основе скрытой марковской модели"
 
электронно лучевая литография
электронно лучевая литографияэлектронно лучевая литография
электронно лучевая литография
 
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...
О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ И ДИСПЕРСИОННОМ РАСПЛЫВАНИИ В ПРОЗРАЧНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧ...
 
3 radiosign
3 radiosign3 radiosign
3 radiosign
 
CV2011 Lecture 4. Image representation
CV2011 Lecture 4. Image representationCV2011 Lecture 4. Image representation
CV2011 Lecture 4. Image representation
 
Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
Лекция 5. Метод конечных разностей (параллельные алгоритмы в стандарте MPI)
 
колеб
колебколеб
колеб
 
20110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture06
20110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture0620110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture06
20110313 systems of_typed_lambda_calculi_moskvin_lecture06
 
17.04.2012 parabolicqw durnev
17.04.2012 parabolicqw durnev17.04.2012 parabolicqw durnev
17.04.2012 parabolicqw durnev
 
317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений
317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений
317.оптимизация интервалов времени измерения интенсивности потоков излучений
 
лекция 9
лекция 9лекция 9
лекция 9
 
Lection04
Lection04Lection04
Lection04
 
Определенные интегралы
Определенные интегралыОпределенные интегралы
Определенные интегралы
 
Lection02
Lection02Lection02
Lection02
 
Магистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. Королева
Магистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. КоролеваМагистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. Королева
Магистерская диссертация - СГАУ им. акад. С.П. Королева
 
Математическое дополнение
Математическое дополнениеМатематическое дополнение
Математическое дополнение
 
5 sl sign
5 sl sign5 sl sign
5 sl sign
 

Destaque

дм прз-гл-1-рр-25
дм прз-гл-1-рр-25дм прз-гл-1-рр-25
дм прз-гл-1-рр-25Zhanna Kazakova
 
Git extensionsusermanual v09
Git extensionsusermanual v09Git extensionsusermanual v09
Git extensionsusermanual v09Zhanna Kazakova
 
методические указания по выполнению расчетно графической работы
методические указания по выполнению расчетно графической работыметодические указания по выполнению расчетно графической работы
методические указания по выполнению расчетно графической работыZhanna Kazakova
 

Destaque (9)

дм прз-гл-1-рр-25
дм прз-гл-1-рр-25дм прз-гл-1-рр-25
дм прз-гл-1-рр-25
 
Git extensionsusermanual v09
Git extensionsusermanual v09Git extensionsusermanual v09
Git extensionsusermanual v09
 
Mobil1
Mobil1Mobil1
Mobil1
 
методические указания по выполнению расчетно графической работы
методические указания по выполнению расчетно графической работыметодические указания по выполнению расчетно графической работы
методические указания по выполнению расчетно графической работы
 
7 nps
7 nps7 nps
7 nps
 
Zadachi2
Zadachi2Zadachi2
Zadachi2
 
1 uprsign
1 uprsign1 uprsign
1 uprsign
 
When i was little
When i was littleWhen i was little
When i was little
 
The telephone
The telephoneThe telephone
The telephone
 

Semelhante a 9 cifi otc

5.2. курс лекций афу
5.2. курс лекций афу5.2. курс лекций афу
5.2. курс лекций афуGKarina707
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integralDimon4
 
Определенные интеграллы
Определенные интеграллыОпределенные интеграллы
Определенные интеграллыdaryaartuh
 
предел последовательности
предел последовательностипредел последовательности
предел последовательностиtomik1044
 
Fractal Geometry
Fractal GeometryFractal Geometry
Fractal GeometrySSA KPI
 
презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12
презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12
презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12galinalevna
 
4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афу4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афуGKarina707
 
5.1. курс лекций афу
5.1. курс лекций афу5.1. курс лекций афу
5.1. курс лекций афуGKarina707
 
Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...
Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...
Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...Nikolay Grebenshikov
 
4.5. курс лекций афу
4.5. курс лекций афу4.5. курс лекций афу
4.5. курс лекций афуGKarina707
 
презентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниямпрезентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниямGalnalevina
 
презентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниямпрезентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниямlevinaga
 
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinagaпрезентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками LevinagaGalnalevina
 
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinagaпрезентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками LevinagaGalnalevina
 

Semelhante a 9 cifi otc (20)

109130.ppt
109130.ppt109130.ppt
109130.ppt
 
5.2. курс лекций афу
5.2. курс лекций афу5.2. курс лекций афу
5.2. курс лекций афу
 
817996.pptx
817996.pptx817996.pptx
817996.pptx
 
fiz-mat
fiz-matfiz-mat
fiz-mat
 
Opredelennyj integral
Opredelennyj integralOpredelennyj integral
Opredelennyj integral
 
Определенные интеграллы
Определенные интеграллыОпределенные интеграллы
Определенные интеграллы
 
предел последовательности
предел последовательностипредел последовательности
предел последовательности
 
Fractal Geometry
Fractal GeometryFractal Geometry
Fractal Geometry
 
презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12
презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12
презентация с авторским шаблоном и заметками дз 28.03.12
 
4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афу4.3. курс лекций афу
4.3. курс лекций афу
 
10474
1047410474
10474
 
5.1. курс лекций афу
5.1. курс лекций афу5.1. курс лекций афу
5.1. курс лекций афу
 
Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...
Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...
Лекция №4. Асимтотическая нотация. Предмет "Структуры и алгоритмы обработки д...
 
4.5. курс лекций афу
4.5. курс лекций афу4.5. курс лекций афу
4.5. курс лекций афу
 
Integral1
Integral1Integral1
Integral1
 
Get Ft
Get FtGet Ft
Get Ft
 
презентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниямпрезентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниям
 
презентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниямпрезентация к лекции по параметрическим колебаниям
презентация к лекции по параметрическим колебаниям
 
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinagaпрезентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
 
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinagaпрезентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
презентация с авторским шаблоном и заметками Levinaga
 

Mais de Zhanna Kazakova (20)

презентация диагностика
презентация диагностикапрезентация диагностика
презентация диагностика
 
лаб. работа №1
лаб. работа №1лаб. работа №1
лаб. работа №1
 
лекция 26
лекция 26лекция 26
лекция 26
 
лекция 25
лекция 25лекция 25
лекция 25
 
лекция 24
лекция 24лекция 24
лекция 24
 
лекция 23
лекция 23лекция 23
лекция 23
 
лекция 22
лекция 22лекция 22
лекция 22
 
лекция 22
лекция 22лекция 22
лекция 22
 
лекция 21
лекция 21лекция 21
лекция 21
 
лекция 20
лекция 20лекция 20
лекция 20
 
лекция 18
лекция 18лекция 18
лекция 18
 
лекция 19
лекция 19лекция 19
лекция 19
 
лекция 18
лекция 18лекция 18
лекция 18
 
лекция 17
лекция 17лекция 17
лекция 17
 
лекция 16
лекция 16лекция 16
лекция 16
 
лекция 15
лекция 15лекция 15
лекция 15
 
лекция 14
лекция 14лекция 14
лекция 14
 
лекция 13
лекция 13лекция 13
лекция 13
 
лекция 12
лекция 12лекция 12
лекция 12
 
лекция 11
лекция 11лекция 11
лекция 11
 

9 cifi otc

  • 1. РАЗДЕЛ 9. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. Дискретная (цифровая) обработка сигналов - это направление радиоэлек- троники, использующее методы и средства цифровой вычислительной техники для цифровой фильтрации сигналов и спектрального анализа сигналов, пред- ставленных набором дискретных отсчетов. Основы аналитического описания дискретных сигналов и цепей Как и аналоговые сигналы, дискретные сигналы могут описываться во вре- менной области, в частотной, в области комплексной переменной. Во временной области дискретные сигналы представляются в виде дискрет- ных последовательностей размерного или безразмерного времени s(nT), t=nT, (9.1) s(n), n=t/T (9.2) Примеры: 1) s 0 (n ) - дискретный единичный импульс – рис. 9.1 сигнал, который подают на дискретную цифровую систему, чтобы снять ее импульсную характеристику. 1, n = 0 s 0 (n ) =  0, n ≠ 0 Рис. 9.1. Дискретный единичный импульс 2) Дискретизированное гармоническое колебание 2π s(nT ) = cos(ω0nT ) = cos( nT) T0 s(nT) nT Рис. 9.2. Дискретизированное гармоническое колебание Z - преобразование. . Z-преобразование X(z) и временная последовательность x(n) связаны вы- ражениями 118
  • 2. . ∞ Z[ x (n )] = X(z) = ∑ x (n )z − n , z = x + jy (9.3) n =∞ 1 . .  x (n ) = ∫ X(z)z n −1dz = Z −1 X(z) , (9.4) 2πj z =1   называемыми соответственно прямым и обратным Z-преобразованиями. Z-преобразование для описания дискретных сигналов и цепей играет при- мерно ту же роль, что преобразование Лапласа для описания аналоговых сигна- лов и цепей. Основные свойства Z-преобразования по форме записи и по сути близки к свойствам преобразования Фурье. 1. Линейность: временной последовательности x (n ) = a ⋅ x 1 (n ) + b ⋅ x 2 ( n ) + ... , соответствует Z-преобразование . . . X(z) = a ⋅ X1 (z) + b ⋅ X 2 ( z) + ... . (9.5) 2. Запаздывание: если x(n), X(z) – исходный сигнал и его Z-преобразование, то запаздывающая последовательность x(n-m) будет иметь Z-преобразование Z[x(n-m)]=X(z)z-m (9.6) 3. Свертка: дискретная свертка двух последовательностей x(n), y(n) ∞ s( n ) = ∑ x ( k ) y( n − k ) (9.7) k = −∞   с известными Z-преобразованиями X(z), Y(z) будет иметь Z-преобразование . . . S(z) = X(z) ⋅ Y( z) (9.8). Z- преобразование переносит сигнал из временной области в комплексную плоскость z=x+jy. Для аналоговых сигналов преобразование Лапласа переводит сигнал из вре- менной области в комплексную плоскость p=σ+jω. Соотношение z=epT устанавливает связь между точками двух комплексных плоскостей – “p” и “z”. Мнимая ось плоскости “ p ”в плоскости “ z ”отображается в виде единичной окружности, путем многократного наложения. Если берем левую полуплос- кость ”p”, то она отображается на плоскости ”z” внутри окружности единично- го радиуса. 119
  • 3. Дискретные преобразования Фурье. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) применяют для расчета спектра дискретного сигнала, заданного во временной области в виде дискретной по- следовательности отсчетов x(n), n=0, 1, 2…..(N-1), где N- база сигнала. T Tc N= c = = 2f m Tc , T 1 / 2f m Tc – длина реализации сигнала, T – интервал дискретизации (по Котельникову), fm – верхняя частота в спектре сигнала. Прямое ДПФ (или собственно ДПФ), с помощью которого рассчитывают спектр дискретного сигнала, имеет вид 2π . N −1 −j kn X(kΩ) = T ∑ x (nT )e N , k = 0,1,2...( N − 1) , (9.9) n =0 2π 2ω m где Ω - шаг спектральных отсчетов, Ω = . = N Tc Обратное ДПФ, позволяющее от спектра дискретного сигнала вернуться к временной последовательности, представлено выражением 2π 1 N −1 . j kn x (nT ) = ∑ X(kΩ)e N . (9.10) Tс k =0 Кроме приведенной пары выражений в литературе по цифровой обработке сиг- налов можно найти довольно похожие правила, имеющие, однако несколько иной смысл. Речь идет о соотношениях 2π . N −1 −j kn , (9.11) X ( k ) = ∑ x ( n )e N n =0 2π 1 N −1 . j kn (9.12) x (n ) = ∑ X ( k )e N N k =0 Выражения (9.9) и (9.10) в полном смысле являются преобразованиями Фу- рье, т.е. связывают временную функцию и спектральную плотность непериоди- ческого сигнала, полностью заданного N - отсчетами. Выражения (9.11) и (9.12) связывают временные отсчеты и комплексные амплитуды гармоник периодиче- ского сигнала один период которого задан N отсчетами. Соотношения (9.9) и (9.11) дают спектр с периодической структурой, . . причем период повторения равен т.е. X[ (k + mN)Ω] = X(kΩ) , базе N, 0 ≤ k ≤ N − 1 . Кроме того, для вещественных функций x (n ) первые N / 2 спек- 120
  • 4. N тральных отсчетов ( 0 ≤ k ≤ − 1 ) будут являются величинами, комплексно со- 2 N пряженными со второй половиной спектральных отсчетов ( ≤ k ≤ N − 1). 2 Поэтому спектр вещественного дискретного сигнала можно рассчитывать в ин- N ω тервале 0 ≤ k ≤ − 1 , или в полосе частот 0 ÷ д . 2 2 Структурная схема системы цифровой обработки аналоговых сигналов. На рис. 9.3 представлена структурная схема системы цифровой обработки аналоговых сигналов. x(t)+n(t) x(t) x(nT) x(n) y(n) y(nT) y(t) Аналоговый ФНЧ УВХ АЦП ЦП ЦАП СФ УУ Рис. 9.3. Структурная схема цифровой обработки сигналов На вход системы поступает смесь аналогового сигнала x(t), подлежащего об- работке, и (возможно) высокочастотная помеха n(t), которая должна быть уда- лена по причинам, о которых будет сказано позднее. Аналоговый фильтр ниж- них частот (предварительный ФНЧ) и служит для подавления помех в полосе f частот f > д . x(t) 2 Устройство выборки и хранения x(nT) x(t) (УВХ) производит дискретизацию сигнала во времени и запоминает значение выборки на время паузы T = 1 / f д . Запоминание производит- ся для облегчения условий работы следующего блока – АЦП. Соотно- t шение между сигналом на входе Рис. 9.4. Соотношение между сигналом УВХ – x(t) и на его выходе – x(nT) на входе и выходе УВХ показано на рисунке 9.4. Следующий блок - АЦП – аналогово-цифровой преобразователь. Он произ- водит квантование сигнала, т.е. преобразует аналоговый уровень x(nT) в много- разрядный код цифровой x(n), x (nT) → x (n ) . 121
  • 5. ЦП – цифровой процессор – основной блок системы, в котором производит- ся обработка сигнала: последовательность чисел x (n ) преобразуется в новую последовательность y(n ) , т.е. x (n ) → y(n ) . ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь. Он преобразует выходную по- следовательность чисел y(n ) в ступенчатый сигнал y( nT) , т.е. y( n ) → y(nT ) . СФ – синтезирующий фильтр, сглаживает резкие перепады ступенек, форми- руя аналоговый выходной сигнал y(t). УУ – устройство управления, формирует импульсные последовательности, управляющие работой цифровых и аналогово-цифровых блоков. Блоки системы, стоящие до цифрового процессора, играют вспомогательную роль, готовя сигнал к цифровой обработке. Блоки, стоящие после процессора (ЦАП и СФ), формируют аналоговый выходной сигнал и могут отсутствовать в системе, если аналоговый выход не нужен. Структура спектра дискретизированного сигнала. Теорема Котельнико- ва. Суть рассматриваемого вопроса состоит в изучении правил дискретизации аналоговых сигналов. Ответ на этот, очень важный для практики вопрос дает теорема Котельникова. Но для того, чтобы понять, чем обусловлено правило выбора интервала дискретизации, которое содержит теорема Котельникова, нужно вначале установить структуру спектра дискретизированного сигнала. Итак, предположим, что мы имеем аналоговый сигнал s( t ) с известной  спектральной плотностью S(ω) . Этот аналоговый сигнал мы подвергаем дис- кретизации, производя выборки с шагом T (рис. 9.5). s(t) s(nT ) 0 T 2T 3T t Рис. 9.5. Дискретизация аналогового сигнала с шагом дискретизации T Обозначим дискретизированный сигнал, представляющий собой последова- тельность выборок аналогового сигнала, sT(t) и найдем его спектральную плот- ность ∞ ST (ω) = ∫ sT ( t )e − jωt dt  (9.13) −∞ 122
  • 6. Процедуру взятия выборок из аналогового сигнала принято представлять как результат умножения временной функции аналогового сигнала на решетчатую функцию hT(t) sT(t) = s(t)hT(t), где ∞ h T ( t ) = ∑ δ( t − nT ) (9.14) n = −∞ Вид функции hT(t) приведен на рис. 9.6, а ее аналитическая запись представ- лена соотношением (9.14). hT(t) -T 0 T 2T t Рис.9.6. Решетчатая функция Поскольку функция hT(t) является периодической, ее можно представить в виде разложения в комплексный ряд Фурье ∞ ∞  jkω t h T ( t ) = ∑ δ( t − nT) = ∑ C k e д , (9.15) n = −∞ k = −∞ 2π где ωд = . T По общим правилам определения комплексных коэффициентов Фурье 2π T − jk nT ∞  = 1 ∫ δ( t − nT)e − jkωд t = 1 e Cn T 1 ∫ δ( t )dt = . (9.16) T0 T −∞ T Поэтому ∞ ∞ ∞  jkω t 1 ∑ e jkωд t h T ( t ) = ∑ δ( t − nT) = ∑ C n e д = (9.17) n = −∞ k = −∞ T k = −∞ Подставляя (9.17) в (9.13), получаем ∞ ∞ ∞ ∞  (ω) = ∫ s( t )[ 1 ∑ e jkωд t ]e − jωt dt = 1 ∑ [ ∫ s( t )e − j(ω− kωд ) t dt ] = . ST −∞ T k = −∞ T k = −∞ − ∞ 1 ∞ = ∑ S(ω − kωд ). (9.18) T k = −∞ 123
  • 7. Смысл полученного вы- S(ω) ражения можно охарактери- зовать так: структура спектра дискрети- зированного сигнала содер- -ωm 0 ωm ω жит бесконечное множество полос, образованных смеще- ST(ω) нием спектральных состав- ляющих исходного аналого- вого сигнала влево и право по оси частот с шагом в kωд. Графическая иллюстра- -ωд 0 ωд 2ωд ω ция (9.18) приведена на рис. Рис. 9.7. Спектр ST(ω) дискретизированного сигнала 9.7. При этом множитель 1 / T перед знаком суммы для простоты не учитывался. Переходим к собственно теореме Котельникова. Теорема Котельникова: если функция s(t) такова, что отвечает условию | f|‌ <fm, то такая функция полностью определяется последовательностью своих от- счётов s(nT) взятых с шагом T=1/(2fm). (9.19) Смысл термина “функция полностью определяется” следует понимать как возможность вернуться от набора дискретных отсчетов s(nT) к аналоговой функции s(t). Такую возможность дает ряд Котельникова ∞ sin ω m ( t − nT ) s( t ) = ∑ s(nT ) . (9.20) n = −∞ ω m ( t − nT) 124
  • 8. Чтобы понять, на что влияет шаг выборок T, построим спектр дискретизирован- ST(ω) T<1/(2fm), ωд>2ωm а) 0 ωm ωд ω ST(ω ) б) T=1/(2fm), ωд=2ωm 0 ωm ωд ω ST(ω) в) T>1/(2fm), ωд<2ωm 0 ωm ωд ω Рис. 9.8. Спектры дискретизированого сигнала для разных интервалов дискретизации. ного сигнала для трех случаев: T < 1 / 2f m , T = 1 / 2f m , T > 1 / 2f m (рис. 9.8). Если T≤1/(2fm), то восстановить аналоговый сигнал по набору дискретных отсчётов можно. Например, с помощью ФНЧ, который удалит дополнительные спектральные составляющие, возникающие при дискретизации аналогового сигнала. При этом сохраняются неизменными составляющие в основной полосе − ωm < ω < ωm .Если дискретизация проведена неверно, т.е. T>1/(2fm), то ника- кая фильтрация не позволит восстановить аналоговый сигнал. Структура спек- тра дискретизированного сигнала в полосе (-ωm÷ωm) уже отличается от спектра аналогового сигнала из-за наложений в частотной области (заштрихованные об- ласти на рис 9.8). В итоге правило выбора интервала дискретизации по Котельникову можно записать в виде T ≤ 1 / 2f m . (9.21) Правило выбора шага временных отсчетов Tид , содержащееся в формули- ровке теоремы Котельникова, рассчитано на “идеализированные” условия дис- кретизации аналогового сигнала и его восстановления по набору дискретных отсчетов. Идеализация состоит в предположении, что спектр сигнала ограничен по ширине, а длительность временной функции бесконечно велика. В системах цифровой обработки реальное значение шага временных выборок T зависит от решаемой задачи. При спектральном анализе дискретного сигнала, заданного последовательностью отсчетов s(nT) конечной длины N=Tc/T, обыч- но берут TР ≈ Tид . 125
  • 9. 1 1 В задачах цифровой фильтрации шаг выборок берут меньше TР ≤ ( ÷ )Tид . 5 2 Это необходимо для того, чтобы при восстановлении обработанного аналогово- го сигнала в синтезирующем фильтре можно было использовать в качестве СФ реальный фильтр нижних частот с конечной крутизной спада АЧХ (конечного порядка). Эта ситуация иллюстрируется рисунком 9.9. S(ω) АЧХ фильтра ω fД Высшие гармоники Рис. 9.9. Восстановление аналогового сигнала реальным фильтром нижних частот Квантование сигнала. На рис. 9.10 схематично представлена суть операции квантования, выпоняе- x(nT) Δ= xmax Δx(n) t t 0 T 2T 0 Рис. 9.10. Квантование сигнала. мая АЦП. Каждая из ступенек x(nT) (слева), сравнивается с сеткой разрешен- ных уровней (справа), соответствующих кодовым числам, снимаемым с выхода АЦП. Если, например, АЦП однополярный, рассчитан на диапазон входных уровней от 0 до xmax , а разрядность выходного двоичного кода равна R, то шаг ∆ , разделяющий два ближайших разрешенных уровня, будет равен x ∆ = max . 2R 126
  • 10. В процессе квантования неизбежно будет возникать ошибка квантования ∆x (n ) = x (nT ) − x (n ) , так как число уровней входного сигнала x(nT) неограни- ченно, а число разрешенных уровней АЦП принципиально ограничено конеч- ной разрядностью выходного кода R и равно 2R. В различные моменты времени t=0,T,2T,…., nT, ошибка (погрешность) квантования в общем случае различна. Она равна ∆x (n ) . Искажение сигнала в процессе квантования можно рассмат- ривать как результат наложения на истинный сигнал «шума квантования» - фиктивного случайного процесса ξ(nT) (рис. 9.11). x (nT) Σ x (n) ξ (nT) Рис. 9.11. Учет шума квантования Число разрядов АЦП рекомендуется выбирать так, чтобы средняя амплитуда ∆ шума квантования была в несколько раз меньше уровня шума во входном 2 3 сигнале. Основные характеристики системы цифровой обработки сигналов. Между цифровыми и дискретными системами существует принципиальная разница, т.к. в цифровых системах все операции выполняются над величинами с конечным числом разрядов, а в дискретных системах число уровней сигнала не ограничено. Однако при достаточно большой разрядной сетке величин в цифровых системах разница между цифровыми и дискретными сигналами бу- дет очень мала. Поэтому далее мы будем говорить фактически о характеристи- ках дискретных систем. Для облегчения понимания материала вначале вспомним выражения, описы- вающие обычные аналоговые системы, их характеристики, связь воздействия и отклика. Свойства линейного аналогового четырехполюсника могут быть опи- саны операторным коэффициентом передачи K(p), частотной характеристикой K(ω), либо импульсной характеристикой g(t). Все эти функции связаны между собой соотношениями (9.22) – (9.26). 127
  • 11. K ( p ) K (ω ) x(t) y(t)=? g(t )   X(ω) Y ( ω) = ? Рис. 9.12. Связь между входным и выходным сигналами в аналоговой системе. a + a1p + ... + a M p M K ( p) = 0 (9.22) b 0 + b1p + ... + b N p N  K (ω) = K (p) (9.23) p = jω g( t ) = L−1[ K (p)] (9.24) Зависимость отклика цепи от функции воздействия и характеристики цепи представлена правилами (9.25) – (9.26).    Y(ω) = X(ω) ⋅ K (ω) (9.25) ∞ y( t ) = ∫ x (τ)g ( t − τ)dτ (9.26) −∞ Теперь рассмотрим аналогичные правила для линейных дискретных систем. Свойства линейной дискретной системы (ЛДС) можно описать системной . . функцией H(z) , частотной характеристикой H(ω) и импульсной характеристи- . кой g(n ) . Входная последовательность x (n ) имеет Z-преобразование X(z) , а . выходная соответственно y( n ), Y( z) (рисунок 9.13).   H(z) H(ω) x(n) y(n)=? g (n ) X(z) Y(z)=? Рис. 9.13. Связь между входным и выходным сигналами в ЛДС Системная функция ЛДС обычно записывается в виде отношения двух поли- номов по отрицательным степеням комплексной переменной z. 128
  • 12. . a 0 + a 1z −1 + ... + a M z − M H(z) = (9.27) b 0 + b1z −1 + ... + b N z − N Частотная характеристика ЛДС при известной системной функции может быть найдена по правилу .  (z) a 0 + a1e − jωT + ... + a M e − jMωT H(ω) = H = (9.28) z = e jωT b 0 + b1e − jωT + ... + b N e − jNωT j(ω1 + kω д )T . Поскольку e = e jω1T , справедливо H(ω ± kωд ) = H(ω) , то есть ча- стотная характеристика у ЛДС – функция периодическая. Сравним частотные характеристики аналоговых и цифровых фильтров. На рис. 9.14 приведена амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) анало- K(ω) 0.7Kmax 0 ω Полоса задерживания Полоса пропускания Рис. 9.14. Амплитудно-частотная характеристика аналогового ФНЧ гового фильтра нижних частот (ФНЧ). Упрощенно можно считать, что вся об- ласть положительных частот для него делится на полосу пропускания 0 ≤ ω ≤ ωc и полосу задерживания ω > ωc . На рис. 9.15 приведен график АЧХ цифрового ФНЧ. Как видно, в силу пери- одичности частотной характеристики цифрового фильтра у него существует K(ω) Паразитная полоса прозрачности 0.7Kmax 0 ωC ωд/2 ωд ω сигнал Ω Помеха на частоте ωд+Ω Рис. 9.15. Амплитудно-частотная 129 характеристика цифрового фильтра
  • 13. множество полос пропускания (прозрачности). Из них одна: 0 ≤ ω ≤ ωc является основной (рабочей), а остальные – паразитными. Помеха, попавшая в паразитную полосу пропускания, трансформируется по ωд частоте в основную полосу частот 0 ≤ ω ≤ , и отклик на прошедшую помеху 2 невозможно отличить от отклика на полезный сигнал с частотой Ω . Формально это легко доказать тем, что cos(ω д + Ω) nT = cos Ω nT . Для исключения прохождения помех в паразитных полосах прозрачности, на входе системы ставят аналоговый ФНЧ. Периодичность АЧХ цифровых систем – их главная особенность. Импульсная характеристика системы g(n ) , ее реакция на дискретный еди- ничный импульс s 0 (n ) (см. выше). При известной системной функции ЛДС им- пульсную характеристику можно найти по правилу −1   . g (n ) = Z H (z) –   обратное z -преобразование от системной функции. Отклик и воздействий ЛДС в плоскости z связаны соотношением, похожим на основное расчетное выражение спектрального метода анализа . . . Y (z) = X (z) H ( z) (9.29) Если значения z задать на единичной окружности z = e jωT , то правило (9.25) трансформируется в выражение, связывающее отсчеты ДПФ входной и выход- ной последовательностей . . . Y(ω) = X(ω) H(ω) ω=kΩ (9.30), . H(ω) – частотная характеристика ЛДС. Временные последовательности отклика и воздействия связаны операцией дискретной свертки ∞x n y( n ) = ∑ x ( k )g ( n − k ) = ∑ x ( k ) g ( n − k ) (9.32) k = −∞ k =0 Алгоритм работы и структурная схема процессора цифрового фильтра. Рассмотрим цифровой фильтр (ЦФ) с системной функцией, заданной выра- жением (9.27) и положим для удобства b0 = 1 . Далее воспользуемся (9.29) и по- лучим . Y(z) . a 0 + a 1z −1 + ... + a M z −M = H(z) = (9.33) . 1 + b1z −1 + ... + b N z − N X(z) 130
  • 14. . Преобразуем это выражение, оставив в левой части Y(z) и перенеся осталь- ное в правую часть уравнения . . [ −1 Y(z) = X(z) a 0 + a 1z + ... + a M z −M ] . [ − Y(z) b1z −1 + ... + b N z − N ] (9.34) Далее перейдем от уравнения для z -преобразований к уравнению для вре- менных функций, используя теоремы (свойства) линейности и запаздывания. Получим y( n ) = a 0 x (n ) + a 1 x ( n − 1) + ... + a M x (n − M ) − b1Y( n − 1) − ... − b N Y(n − N) . (9.35) Это разностное уравнение задает алгоритм работы процессора цифрового фильтра и может быть использовано для построения прямой формы реализации процессора (рис.9.16). При построении структурной схемы использованы обозначения: Z-1 – блок задержки на один такт (интервал Т), a – блок аналогового умножения на постоянный Σ – сумматор -bN -b1 M x (n-M) x(n) aM Z -1 Z -1 Σ Z-1 y(n-1) Z-1 N a1 y(n) a0 Рис. 9.16. Прямая форма реализации алгоритма цифровой фильтрации Приведенная выше структурная схема соответствует дискретному фильтру, так как предполагает выполнение умножения в аналоговом виде, без учета по- грешности вычисления произведения. Чтобы нарисовать процессор собственно x(n) a0 Σ Блок цифрового умножения на константу 131 ξ(nT)
  • 15. цифрового фильтра, в котором произведения тоже находятся цифровым спосо- бом, нужно блоки аналогового умножения на константу заменить следующей схемой. Здесь на выходе каждого аналогового умножителя включен дополнительный генератор шума, подобный источнику шума квантования в АЦП (см. выше). Структурная схема на рис. 9.16 соответствует так называемой ‘прямой фор- ме реализации ЦФ’, так как вычисления в ней производятся прямо по (9.35). Виды цифровых фильтров, их достоинства и недостатки. Цифровые фильтры делятся на рекурсивные и нерекурсивные. Рекурсивны- ми называют фильтры, у которых системная функция имеет хотя бы один по- люс. Соответственно на структурной схеме таких фильтров имеется хотя бы одна петля обратной связи (рис. 9.16). У нерекурсивных фильтров системная функция имеет только нули. H(z) = a 0 + a1z −1 + ... + a M z − M Поэтому на структурной схеме их процессора отсутствуют петли обрат- ной связи (рис. 9.17). M x(n x (n-M) a Z--1 Z--1 Z --1 M y(n) ) Σ a3 a1 a0 Рис. 9.17. Нерекурсивный цифровой фильтр Рекурсивные ЦФ называют еще «БИХ–фильтрами», так как их импульсная характеристика теоретически имеет бесконечную длину: g(n ) → 0, при n → ∞ . Нерекурсивные ЦФ соответственно называют также КИХ–фильтрами, так как их импульсная характеристика конечна: g(n ) = 0, при n > M . Достоинством БИХ – фильтров является достаточно простая структура при реализации АЧХ с крутыми спадами. Преимуществами КИХ – фильтров являются абсолютная устойчивость и возможность получения строго линейной ФЧХ. Достоинства и недостатки цифровых фильтров по сравнению с аналого- выми. Цифровые фильтры в сравнении с аналоговыми имеют важные преимуще- ства и серьезные недостатки. Достоинствами ЦФ в сравнении с аналоговыми являются: 132
  • 16. 1) высокая стабильность характеристик, гарантированная точность получаемо- го результата; 2) высокая универсальность, гибкость, возможность реализации сложных и в частности адаптивных алгоритмов фильтрации; 3) возможность одновременной обработки нескольких медленно меняющихся сигналов или фильтрации одного сигнала в разных полосах частот в режиме разделения во времени. Соответственно недостатки ЦФ: 1) более низкая скорость обработки сигнала, 2) более высокая сложность и стоимость. Преимущества ЦФ обусловлены тем, что частотная характеристика фильтра, определяемая (11.28), зависит только от набора констант a k , b k и интервала дискретизации T. Их стабильность во времени и диапазоне температур с одной стороны, и возможность их изменения по заданному алгоритму, с другой сторо- ны, в цифровых системах легко обеспечить. Что же касается низкой скорости обработки сигнала в ЦФ, то она в основном связана с последовательным выполнением целого ряда операций (см. 9.35), необходимых для расчета одного значения y n . Все эти расчеты должны быть выполнены за время T. В настоящее время цифровые фильтры в основном используют в двух случа- ях: 1) если в состав разрабатываемого комплекса уже входит компьютер, кото- рому можно поручить и операции цифровой фильтрации, 2) если требования, предъявляемые к разрабатываемому фильтру, не могут быть реализованы на аналоговой элементной базе. Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Непосредственное использование формулы ДПФ (9.9, 9.11) для расчета спектра сигналов с большой базой N приводит к большим затратам времени из- за необходимости вычисления большого количества умножений. Именно число необходимых умножений в значительной степени определяет время расчета спектра, так как умножения в ЦВМ, как правило, выполняются гораздо медлен- нее, чем сложения. Специальные алгоритмы вычислений, существенно умень- шающие число необходимых умножений, называют алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ). Рассмотрим идею алгоритма БПФ с прорежива- нием во времени. Ниже воспроизведено соотношение (9.11) с использованием подстановки 2π −j e N =W N . N −1 kn X(k ) = ∑ x (n ) WN , k = 0,1,2...( N − 1). (9.36) n =0 По этому соотношению легко подсчитать, что число умножений, которые необходимо выполнить для расчета N спектральных отсчетов равно 133
  • 17. NДПФ = ( N − 1) 2 (9.37) и для больших значений N равно примерно N2. Разобьем входную последовательность длиной N на две более короткие, так, чтобы первая содержала отсчеты с четными номерами 0,2,4,…, а вторая – с не- четными номерами 1,3,5…. x (n ) = x (2n ) + x (2n + 1) Тогда выражение (9.26) приобретет вид N N −1 −1 . N −1 2 2 X( k ) = ∑ x (n ) Wn = ∑ x (2n ) WN2n + ∑ x (2n + 1) WN( 2n +1) = kn k k n =0 n =0 n =0 N N −1 −1 2 . . kn k 2 kn k (9.38) = ∑ x 1 ( n ) W N 2 + W N ∑ x 2 ( n ) W N 2 = X1 ( k ) + W N X 2 ( k ) n =0 n =0 При получении (9.28) учтено, что 2π −j 2π N −j ⋅2 . 2 N =e 2 =W WN = e N2 Количество умножений, необходимых для расчета спектра по (9.38): 2 2 N  N  N2  − 1 +  − 1 + N ≅ (для N>>1). 2  2  2 Следовательно, разбив исходную последовательность на две половинной длины, мы примерно вдвое уменьшили число необходимых умножений. Если продолжить разбиение последовательностей x1 и x 2 на более ко- роткие до тех пор, пока вспомогательные последовательности не будут содер- жать всего по два отсчета, то общее число умножений уменьшится до N N БПФ ≈ log 2 N . (9.39) 2 Сравнив (9.37) и (9.39) для различных N можно оценить выигрыш во времени, необходимом для расчета спектра, который будет давать алгоритм БПФ. Обыч- но выигрыш наблюдается уже при N>100. 134