Lógica y
conjuntos
José David Ojeda M.
Matemáticas - 11º

1. Proposiciones
Matemáticas - 11º

1. Proposiciones
• Las proposiciones son enunciados que se
pueden calificar como verdaderos o
falsos.
• La opiniones, preguntas, ordenes y
exclamaciones no son proposiciones.
Ejemplos:
• a) Un año tiene 345 días
1 1
• b) -3 + 4 = 1
c)
+ =2
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2
2

1. Proposiciones
• Proposición simple: Es aquella en la que
no se utilizan términos de enlace. Su
valor de verdad es Verdadero o falso, en
algunos casos puede ser indeterminado
• Ejemplo:
p: Hoy es jueves;
q: el 3 es numero primo;
r: 7 en un factor del 14;
s: Hoy llueve en Medellín (Ind)
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1. Proposiciones
• Proposiciones
compuestas:
Están
formadas por dos o mas proposiciones
simples, unidas por elementos de enlace
llamados conectores lógicos.
Conectivo lógico
y
O
si...entonces…
…si y solo si…
Negación (no)
Símbolo
∧
∨
⇒
⇔
¬

1. Proposiciones
• Ejemplo: Dadas las proposiciones
p: la suma de los dígitos de 15 es 6
q: 9 es un numero ir raciones
r: 15 es múltiplo de 3
s: 9 = 3
Escribir la proposiciones compuestas:
a) p ∧ q
b) q ∨ r
c) p ⇒ r
d) q ⇔ s
e) ¬ s
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1. Proposiciones
• Solución:
a) p ∧ q : La suma de los dígitos de 15 es 6
y 9 es un numero irracional.
b) q ∨ r : 9 es un numero irracional o 15
es múltiplo de 3.
c) p ⇒ r : Si la suma de los dígitos del 15
es 6, entonces 15 es múltiplo de 3.
d) q ⇔ s : 9 es un numero irracional, si y
solo si, 9 = 3 .
e) ¬s : 9 ≠ 3

1. Proposiciones
¬
• Negación de una proposición (
)
Permite cambiar el valor de verdad de
una proposición. Si la proposición p tiene
valor de verdad verdadero, su negación
¬p es falsa, y viceversa.
¬p se lee “no p”
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1. Proposiciones
• Ejercicio: Negar la proposición y
escribir el valor de verdad de la
negación:
• a) p : Todos los días son festivos (F)
¬p : No todos los días son festivos (V)
• b) q : −15 + 3 = −12
(V)
¬q : −15 + 3 ≠ −12 (F)
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1. Proposiciones
• Conjunción: Proposición compuesta por
dos o mas proposiciones unidas por el
conector lógico “y”, que se simboliza ∧
Valor de verdad de la conjunción:
p ∧q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
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1. Proposiciones
• Disyunción: Proposición compuesta por
dos o mas proposiciones unidas mediante
el conectivo “o”, que se simboliza ∨
Valor de verdad de la disyunción:
p
q
p ∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
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1. Proposiciones
• Ejercicios: Determinar el valor de verdad
de las siguientes proposiciones compuestas:
• a) p ∧ q : 20 es múltiplo de 3 y 4 es
divisor de 12.
La proposición p es falsa y la proposición q
es verdadera, por lo tanto p ∧ q es falsa.
• b) r ∨ s : 18 es múltiplo de 6 ó 18 es
múltiplo de 5
La proposición r es verdadera y la
r
proposición s es falsa, por tanto ∨ s
es
verdadera.
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1. Proposiciones
• Condicional: Proposición compuesta por
dos o mas proposiciones unidas mediante
el conectivo “si…entonces…”, que se
simboliza ⇒
Valor de verdad del condicional:
p
q
p ⇒q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V

1. Proposiciones
• Bicondicional: Se presenta cuando cada
proposición implica a la otra. Están
relacionadas por el conectivo “si y solo
si”, que se simboliza ⇔
Valor de verdad del condicional:
p
q
p ⇔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V

1. Proposiciones
• Ejemplo: Determinar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones compuestas:
• a) p ⇒ q : Si 20 termina en cero, entonces
es múltiplo de 5.
La proposición p es verdadera y la
proposición q es verdadera, por tanto p ⇒ q
es verdadera.
• b) r ⇔ s : 6 es un factor de 12, si y solo si,
6 x 2 = 12.
Ambas proposiciones son verdaderas, por
tanto r ⇔ s es verdadera

1. Proposiciones
• Tablas de verdad: Se usan para determinar
el valor de proposiciones compuestas.
• Ejemplo: Hallar el valor de verdad de
¬( p ∧ q ) ∨ ¬( p ⇔ q )
p q p ∧ q ¬( p ∧ q ) p ⇔ q ¬( p ⇔ q ) ¬( p ∧ q ) ∨ ¬( p ⇔ q )
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
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1. Proposiciones
• Ejemplo 2: Hallar el valor de verdad de
la siguiente proposición:
( p ⇒ q ) ∧ p  ⇒ q


p
q
p ⇒q
( p ⇒q) ∧ p
( p ⇒ q ) ∧ p  ⇒ q


V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
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1. Proposiciones
• Ejercicios: Elaborar la tabla de valor de
verdad para cada una de las siguientes
proposiciones:
a) ( p ∨ q ) ⇒ ( q ∨ p )
c) p ⇒ ( p ⇔ q )
b) ( p ∧ q ) ⇒ ( p ∨ q )
d) ( p ∧ q ) ∧ ¬ ( q ∨ p )
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2. Teoría de
conjuntos
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2. Teoría de conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos
determinados, a cada objeto del
conjunto se le denomina elemento.
Dado un objeto y un conjunto, se puede
establecer si el elemento pertenece o no
al conjunto.
Los conjuntos se nombran con letras
mayúsculas.
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2. Teoría de conjuntos
• Recordemos los conjuntos numéricos
Racionales
(Q)
Positivos (N)
Enteros Cero
(Z)
Negativos
Fraccionarios
Reales
(R)
Irracionales
(I)
Positivos
Negativos
Positivos
Negativos

2. Teoría de conjuntos
• Determinación de conjuntos:
• Un conjunto se determina por extensión
cuando se nombra cada uno de los
elementos que lo integran.
• Ejemplo: El conjunto de los números
naturales pares se determina por
extensión así:
M = { 2, 4, 6, 8, 10, 12,......}
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2. Teoría de conjuntos
• Un
conjunto
se
determina
por
comprensión cuando se recurre a la
propiedad que lo caracteriza y que solo
cumplen sus elementos:
• Ejemplo: El conjunto de los números
pares se determina por comprensión así:
M = { x ∈ N / x = 2n }
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2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Determinar por extensión y
por
comprensión
los
siguientes
conjuntos.
a) El conjunto de los números primos
menores que 35
Por {Extensión: 13, 17, 19, 23, 29, 31}
P = 2, 3, 5, 11,
Por {comprensión:
P = x / x es un numero primo ∧ 1 < x < 35}
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2. Teoría de conjuntos
b) El conjunto de los cuadrados perfectos
menores que 100.
Por extensión:
S = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
{
Por comprensión:
{
}
S = x ∈ Z / x = n 2 ∧ 0 ≤ n < 100, n ∈ Z
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}

2. Teoría de conjuntos
• Relación de Pertenencia:
Un elemento pertenece a un conjunto si
cumple con las características que definen
al conjunto. El símbolo
se utiliza para
expresar dicha relación.
• Si el elemento a pertenece al conjunto B,
se escribe a ∈ B y se lee a pertenece a B.
• Si el elemento t no pertenece al conjunto
H se escribe t ∉ H
y se lee t no
pertenece a H .
∈
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2. Teoría de conjuntos
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Relación de contenencia: Un conjunto A
esta incluido en un conjunto B, si y solo
si todo elemento de A es también
elemento de B.
• Se simbolizaA ⊂ B
y se lee A esta
contenido en B o A es subconjunto de B.
• Si existe por lo menos un elemento de A
que no pertenece a B, se dice que A no
esta contenido en B y se escribe A ⊄ B
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2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Determinar las relaciones de
contenencia entre cada par de conjuntos.
H = { x / x ∈ N : x es divisible entre 5}
I = { x / x ∈ Q : x ≥ 5}
H ⊂ I ya que todos los naturales
divisibles entre 5 cumplen con la
condición x ≥ 5
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2. Teoría de conjuntos
I = { x / x ∈ Q : x ≥ 5}


1
J = x / x ∈ R : − < x 
5


J ⊄ I ya
que el conjunto I no
contempla ningún numero negativo,
mientras que el conjunto J si.
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2. Teoría de conjuntos
• Relación de Igualdad: Dos conjuntos A
y B son iguales si tienen exactamente los
mismos elementos
• Simbólicamente:
A =B ⇔A ⊂B ∧B ⊂A
• Es decir todo elemento de A pertenece
a B y todo elemento de B pertenece a A.
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2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Determinar si los siguientes
conjuntos son iguales.
{
K = x / x ∈Z
+
∧
}
x ≤4
L = { 0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16}
• K esta compuesto por los enteros
positivos menores o iguales a 16, esto es
K = { 0, 1, 2, 3... 13, 14, 15, 16} por tanto
K =L
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2. Teoría de conjuntos
• OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:
Intersección
entre
conjuntos:
La
intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos que
pertenecen simultáneamente a A y B.
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2. Teoría de conjuntos
• Simbólicamente
A ∩B
A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Si el conjunto A ∩ B es vacio, se dice que
A y B, son conjuntos disyuntos: A ∩ B = ∅
de lo contrario se dice que son conjuntos
intersecantes: A ∩ B ≠ ∅
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2. Teoría de conjuntos
• Ejemplos: Dados…
A = { x / x ∈ Z , − 4 ≤ x < 5}
{
}
= { x / x ∈ Z − , x < 10}
B = x / x ∈ Z +, x ≤ 6
C
2
D = { x / x ∈ Z , − 4 < x < 0}
Hallar y representar en un diagrama de
Venn.
a) A ∩B
b) B ∩ C
c) C ∩ D
d) A ∩ C
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2. Teoría de conjuntos
a) A ∩B
A
-4
-3 1
-2 -1
3
0
B
2
5
4
6
b) B ∩ C
B
1
2
4
d) A ∩ C
c) C ∩ D
-2
-2
6
A
-4
C
-3
C ∩D = C = D
-3
B ∩C = ∅
A ∩ B = { 1, 2, 3, 4}
-1
-1
3
5
C
-1
0
-2
1
C
4
-3
2
3
A ∩C = C

2. Teoría de conjuntos
• Unión entre conjuntos: La unión entre
los conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos de A o a B o
a ambos.
Simbólicamente,
A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Dados los conjuntos
A = { x / x es multiplo de 3 ∧ 1 ≤ x < 15}
B = { x / x es multiplo de 12 ∧ 5 < x ≤ 36}
Hallar A ∪ B y representarlo en un
diagrama de Venn.

2. Teoría de conjuntos
• Solución: Determinando A y B por
extensión se tiene que.
A = { 3, 6, 9, 12}
B = { 12, 24, 36}
• Entonces: A ∪ B = { 3, 6, 9, 12, 24, 36}
B
A
3
6
12
24
36
9
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2. Teoría de conjuntos
• Cardinal de un conjunto: Es la cantidad
de elementos que posee, el cardenal del
conjunto A se simboliza n(A).
• Para el ejemplo anterior:
n A = 4; n B = 3;
( )
( )
n ( A ∪ B ) = 6; n ( A ∩ B ) = 1 En general:
n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∩ B )
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2. Teoría de conjuntos
• Unión de conjuntos a partir de la
relación existente entre ellos:
• La parte sombreada corresponde a la
unión.
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2. Teoría de conjuntos
• Propiedades de la unión y la intersección
1. Conmutativa:
A ∪B = B ∪A
2.Asociativa:
A∪ B ∪C = A∪B ∪C
(
) (
)
A ∩B = B ∩A
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
3.Distributiva:
A ∪ (B ∩C ) = (A ∪B ) ∩ (A ∪C
)
A ∩ (B ∪C ) = (A ∩B ) ∪ (A ∩C )
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4. Absorción
A ∪ ( B ∩ A) = A
B ∩(A ∪B) = B

2. Teoría de conjuntos
• Diferencia
entre
conjuntos:
La
diferencia entre los conjuntos A y B es
el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a A y no pertenecen a B.
• Simbólicamente: A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B }
A −B ≠ B −A
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2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Sean
R = { x / x ∈ N , x en numero par ∧ x < 15}
S = { x / x ∈ Z , − 2 ≤ x ≤ 6}
Hallar: R − S y S − R y representar cada
operación en un diagrama de Venn.
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2. Teoría de conjuntos
• Solución:
R −S
R
8
10
12
14
4
2
6
S −R
-2
-1
1
3
5
S
R
8
0
R − S = { 8, 10 , 12, 14}
10
12
14
4
2
6
-2
-1
1
3
S
0
5
S − R = { −2, −1, 0, 1, 3, 5}
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2. Teoría de conjuntos
• Conjunto Universal: Formado por todos los
elementos del tema en referencia, se
representa gráficamente mediante un
rectángulo y simbólicamente mediante U.
• Complemento
de
un
conjunto:
El
complemento de un conjunto con respecto
al conjunto universal U es el conjunto
formado por los elementos que no
pertenecen a A. El complemento de A se
simboliza A’ o Ac y se lee A complemento.
Simbólicamente A ' = U − A = { x / x ∈U ∧ x ∉ A}

2. Teoría de conjuntos
• Ejemplo: Dados
U = { x / x ∈ N ∧ 1 ≤ x ≤ 20}
A = { x / x es divisor de 18}
Hallar A’
y representarlo en un
diagrama de Venn.
• Solución:
U = { 1, 2, 3, ..., 19, 20}
A = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}
Luego:
A ' = { 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20}
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2. Teoría de conjuntos
• Gráficamente:
U
7
11
14
17
5
4
8
12
15
19
A
10
2
13
9
16
20
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1
6
3
18

2. Teoría de conjuntos
• Ejercicio: Dados los siguientes conjuntos
U = { x / x ∈ Z , − 3 < x ≤ 20}
A = { x / x ∈ Z , x ≤ 3}
B = { x / x ∈ Z , x ≤ −1 ∨ x ≥ 8}
C = { x / x ∈ Z , x < 4}
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2. Teoría de conjuntos
• Escribir los elementos correspondientes
a cada expresión:
1. A ∪ B
4. C ∩ A
2. B ∪ C
5. A − B
7. A '
8. B '
13. B '∩ C '
14. A '− B '
3. B ∩ C
6. B − A
9. ( B ∪ C ) '
10. ( A ∩ C ) ' 11. ( C ∪ A ) ' 12. A '∪ B
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15. B '− C '