1. TRIGONOMETRÍA
ETIMOLÓGICAMENTE:
Trigonometría, es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los
ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo del valor o medida
de alguno de ellos.
EN LA ACTUALIDAD:
Trigonometría: es la rama de la matemática que estudia las propiedades y las aplicaciones
de las funciones trigonométricas.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de ejes
cartesianos o de coordenadas rectangulares y su radio mide la unidad.
ÁNGULOS: Es la región del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen el origen
común llamado vértice. Las semi-rectas son lados del ángulo, siendo uno el lado inicial y el otro el
lado final o terminal.
EL ÁNGULO GEOMÉTRICO es siempre positivo, mientras que el ángulo trigonométrico puede ser
positivo o negativo. Si se considera al ángulo como una rotación de una semi-recta; bien en sentido
contrario al giro de las agujas del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negativo).
aob∠ boa∠
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos se miden mediante varios sistemas, siendo los más usuales: el sistema Circular o
Radian, el sistema Sexagesimal y el sistema Centesimal.
EL SISTEMA CIRCULAR O RADIAN: Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco
de longitud igual al radio de la circunferencia. La unidad es el radian.
El ángulo llano mide π Radianes, o sea: 180º
El ángulo recto mide
2
π
Radianes, es decir: 90º
Por ser la longitud de la circunferencia 2 π . r, que contiene 360°, entonces 2 π . r =
360°, por lo tanto:
1 radian =
π
180º
= 57,296° = 57º 17’ 45” .∙. π = 3,14159
SISTEMA SEXAGESIMAL: Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60.
La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el
cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a 1
/3600 ava
parte de la circunferencia de un círculo.
1
o
a0
b
Lado Final o
Terminal
Lado Inicial
a0
o
b
Vértice
Vértice
Lado Final o Terminal
Lado Inicial
+
-

2. Un minuto (‘) es la
60
1
ava parte de un grado; un segundo (“) es la
60
1
ava parte de un
minuto, o sea
3600
1
ava parte de un grado.
Sistema Centesimal: La circunferencia también puede ser dividida en 400 partes iguales
llamadas grados centesimales, cada grado centesimal posee 100 minutos centesimales y cada
minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales.
OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
ADICIÓN DE MEDIDAS ANGULARES:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: 47° 23’ 42” + 241° 18’ 6” + 136° 22’ 11”
47° 23’ 42”
241° 18’ 6” Resultado: 424° 53’ 59”
136° 22’ 11”
424° 53’ 59”
2. Efectuar: 248° 41’ 38” + 121° 58’ 34” + 88° 46’ 56”
2° 2’
248° 41’ 38”
121° 58’ 34”
88° 46’ 56” Resultado: 359° 47’ 8”
359° 147’ 128”
-120’ -120”
47’ 8”
SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS ANGULARES
EJEMPLOS:
1. Restar: 78° 43’ 28” de 119° 58’ 36”
119° 58’ 36”
78° 43’ 28”
41° 15’ 8”
2. Efectuar: 211° 36’ 15” - 198° 24’ 49”
35’ 60”
211° 36’ 15”
- 198° 24’ 49”
13° 11’ 26
2
+75”

3. 3. Efectuar: 96° 15’ 18” - 75° 49’ 52”
74’
75’ 78”
95° 60’ 60” + 78”
96° 15’ 18”
- 75° 49’ 52“
20° 25’ 26”
MULTIPLICACIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR POR UN ESCALAR:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: 6 (32° 7’ 9”)
32° 7’ 9”
6
192° 42’ 54”
2. Efectuar: (54° 25’ 48”). 9
58° 32’
+ 4° + 7’
54° 25’ 48”
9
522° 288’ 432”
-240’ -420”
48’ 12”
3

4. DIVISIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR ENTRE UN ESCALAR:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: (162° 54’ 36”) : 9
162° 54’ 36” 9
72° 0’ 0” 18° 6’ 4”
0º
2. Dividir: (149° 38’ 54”) : 6
149° 38’ 54”
- 29° + 120” 6
5 x 60’ = 300’ 174”
338’ 54” 24° 56’ 29”
38’ 0”
2´ x 60”
CONVERSIÓN DEL SISTEMA CENTESIMAL AL SISTEMA SEXAGESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo del sistema decimal al sexagesimal, se multiplican las
cifras decimales por sesenta (60’) para convertirlos en minutos y si aún existen cifras decimales, se
multiplican nuevamente por sesenta (60”) para convertirlos en segundos, siendo la parte entera del
número dado, los grados y de las partes enteras de ambas multiplicaciones los minutos y segundos
de la medida angular.
EJEMPLOS:
A ) 29,23° B ) 62, 4°  62° 24’
29, 23°  29°
0,23 0,4
.60 . 60’
13,80  13’ 24,0  62° 24’
0,8.
60
48,0  48”
29, 23° = 29° 13’ 48”
4

5. CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGESIMAL AL CENTESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo dado en el sistema sexagesimal, se plantea una suma
de fracciones en donde los grados son la parte entera, los minutos se dividen entre 60 y los
segundos entre 3600; y luego se efectúa la división para llevarlo a centesimal.
EJEMPLOS:
Transformar Al Sistema Centesimal:
1.- 48° 30’
48° +
60
30º
= 48,5º
60
2910º
60
30º2880º
60
30º
1
48º
==
+
=+
2.- 98° 7’ 30”
125º98,
3600
250353
3600
30º420º8000352
3600
30º
60
7º
º98 ==
++
=++
CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES O VICEVERSA:
Para convertir radianes a grados, se multiplica la expresión dada por
π
º180
y para
transformar grados a radianes, se multiplica por
180º
π
Rad.
EJEMPLOS:
1.-
les.sexagesimagradosarad
3
2
Convertir π
120º
3
360º
3
180º.2
180º.
3
2
rad
3
2
====π
2.- les.sexagesimagradosarad.
12
7
Reducir
105º
12
260º1
12
180º.7
180º.
12
7
rad.
12
7
====π
5

6. 3.- Transformar 50° a radianes
50° = 50°.
rad8730,872660,rad
º180
0795157,
º180
rad3,14159
.50ºrad
180º
≈===
π
4.- Expresar en radianes la expresión: 42° 24’ 35”
a) En primer lugar transformamos la expresión dada al sistema centesimal:
4142,409º42,
3600
675º152
3600
35º440º1200º151
3600
35º
60
24º
º42 ≈==
++
=++
b) Por ultimo se transforma del sistema decimal al sistema radial:
42,41° .
74020,740193510,rad
º180
2348319133,
rad
º180
141593,.41º42,
180º
≈===
π
rad
42° 24’ 35” ≈ 0,7402 rad
5.-Convertir a grados sexagesimales la expresión rad.
5
2
92º22,9183116º22,
15,70795
360º
141593,.5
180º.2180º
.
5
2
≈===
π
0,92º 0,20’
60’ 60” rad
5
2
= 22° 55’ 12”
55,20’  55’ 12,00”  12”
6

7. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
El círculo trigonométrico, es la circunferencia cuyo radio es la unidad.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.- Seno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la ordenada “y” del punto P, es decir:
Seno (α) = y
Sen α = y
2.- Coseno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la abscisa “x” del punto P, o sea:
Coseno (α) = x
Cos α = x
3.- Tangente: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la razón entre la ordenada “y” y la
abscisa “x” del punto P.
Tangente (α) =
α
α
Cos
Sen
x
y
=
Tg α =
α
α
Cos
Sen
x
y
=
4.- La Cotangente: es la función inversa de la tangente, es decir:
Cotangente (α) = αtag
1
x
y
ó
Ctg α = x
y
ó Ctg α = αtag
1
5.- La Secante: es la función inversa del coseno, por tanto:
7
0
r = 1
P (x,y)
(1,0)
y
(1,0)
y
(0,1)
(0,- 1)
x
α

8. Secante (α) =
αCos
1
x
1
=
Sec α =
x
1
ó Sec α =
αCos
1
6.- La Cosecante: es la inversa de la función seno, o sea:
Cosecante (α) = αSen
1
y
1
=
α
α
Sen
1
y
1
==Csc
El producto de toda función trigonométrica por su inversa, es igual a la unidad.
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 0° - 90° - 180° - 270° y 360°
Ángulos
Funciones
0° 90° 180° 270° 360°
Seno 0 1 0 -1 0
Coseno 1 0 -1 0 1
Tangente 0 No 0 No 0
Cotangente No 0 No 0 No
Secante 1 No -1 No 1
Cosecante No 1 No -1 0
Los valores máximos y mínimos de las funciones: Seno y Coseno es 1 y –1, por lo tanto el Rango de
ambos es el intervalo cerrado.
Rgo f seno = [-1 , 1]
Rgo f coseno = [-1 , 1]
La representación gráfica del seno es una curva llamada Sinousoide y la del coseno:
Cosinousoide.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
8

9. RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Por definición:
Sen α = y Ctg α = α
α
Sen
Cos
y
x
=
Cos α = x Sec α =
αCos
1
x
1
=
Cuadrantes
Funciones
I c II c III c IV c
Seno + + - -
Coseno + - - +
Tangente + - + -
Cotangente + - + -
Secante + - - +
Cosecante + + - -
9
0
+ y
II c
I c
III c
IV c
- x + x
- y
0
y
R = 10
x
α
y
x

10. Tg α =
α
α
Cos
Sen
x
y
= = Csc α = αSen
1
y
1
=
IDENTIDADES PITAGÓRICAS:
El triángulo de la figura es rectángulo, y la circunferencia es el círculo trigonométrico (r = 1) y
según el Teorema De Pitágoras tenemos:
y2
+ x2
= r2
De acuerdo con las igualdades anteriores:
a.- Sen2
α + Cos2
α = 12
Sen2
α + Cos2
α = 1 (identidad pitogórica fundamental)
b.- Si la identidad fundamental se divide miembro a miembro entre el Cos2
α, tenemos:
Sen2
α + Cos2
α = 1
αα
α
α
α
22
2
2
2
Cos
1Cos
Cos
Sen
=+
Cos
Según las identidades iniciales:
Tg2
α 1 = Sec2
α
c.- Dividiendo la identidad fundamental entre Sen2
α, nos queda:
Sen2
α + Cos2
α = 1
αα
α
α
α
22
2
2
2
Sen
1Cos
Sen
Sen
=+
Sen
1 + Ctg2
α = Csc2
α
DADO EL VALOR DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR EL VALOR DE LAS DEMÁS:
Para determinar los demás valores de las funciones trigonométricas conocida una de ellas, es
necesario indicar el cuadrante donde se encuentra el ángulo dado y en caso de no darse, es de
suponer que el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, donde todos los valores de las funciones
trigonométricas son positivas.
Cuando uses alguna de las relaciones pitagóricas, debes recordar que la raíz cuadrada de un
número real es doble y opuesta. Por ejemplo
10

11. X = ± a 2
= ± a .˙. a ∈ ℝ +
1. Calcula las demás funciones trigonométricas de α, sabiendo que Sen α = -
13
12
y que
cIII∈α
1Cos22
=+ ααSen
5
12
5.13
13.12
13
5
-
13
12
-
Cos
Sen
=+===
α
α
αTag
1Cos
13
12
- 2
2
=+





12
5
12.13
13.5
13
12
-
13
5
-
Sen
Cos
=+===
α
α
αCtg
1Cos
169
144 2
=+ α
169
144
-12
=αCos
12
13
-
12.1
13.1
-
13
12
-
1
1
13
12
-
1
Sen
1
=====
α
αCsc
169
144-1692
=αCos
169
252
=αCos
169
25
±=αCos = ±
13
5
13
5
-CosIII: c =⇒∈ ααpero
11

12. 2.- cIIy x
7
24
-Tag ∈=xSi , calcular las demás funciones trigonométricas de x.
1Tag 22
+= ααSec 1Cos22
=+ xxSen
=2
xSec
2
7
24
- 





+ 1 Cos-1 22
xxSen =
1
49
5762
+=xSec
2
2
25
7
--1 





=xSen
49
625
49
495762
=
+
=xSec
625
49
-12
=xSen
7
25
49
625
x ±=±=Sec
625
49-6252
=xSen
7
25
-x =Sec
25
24
625
576
x ±=±=Sen
7
25
-
1
1
xSec
1
x ==Cos
25
24
xIIX c =⇒∈ Sen
25
7
-
25.1
7.1
-x ==Cos
24
7
-
24.25
25.7
-
25
24
-
25
7
-
Sen x
xCos
x ====Ctg
25
7
-
7
25
-
1
1
Sec
1
xCos ===
α
12

13. 3.- Sabiendo que .y
5
34
- cIVCsc ∈= ββ Calcula los demás valores de las funciones
trigonométricas de β.
34
34.5
-
34
5
-
5
34
1
1
Csc
1
==
−
==
β
βSen (racionalizando)
1156
850
-1
1156
34.25
-1
34
34.5
--1Sen-1Cos1Cos
2
2222
==







==⇒=+ ββββSen
34
34.3
34
17.3.2
1156
306
Cos
1156
306
1156
850-1156 2
2
±=±=±=⇒== ββCos
34
34.3
=βCos
3
5
-
34.3.34
34.34.5
-
34
34.3
34
34.5
-
Sen
====
β
β
β
Cos
Tag
5
3
-
34.5.34
34.34.3
-
34
34.5
34
34.3
Cos
==
−
==
β
β
β
Sen
Ctg
3
34
34.3
34.34
34.3
34
34.3
34.1
34
34.3
1
1
Cos
1
======
β
βSec
EJERCICIOS
1.- Calcula los valores de las demás funciones trigonométricas sabiendo que:
a)
25
7
=ϕSen e) cIIIcon x2-x ∈=Csc
b) cIIy
5
4
- ∈=ϕCos f) cIVy x
5
6
x ∈=Sec =
c) cIVcon
12
5
∈= ββTag g) cIIcon x
2
3
x ∈=Sen
d) cIIIcon x
7
24
x ∈=Ctg h)
13
3
x =Cos
13

14. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea el triángulo rectángulo A B C, en donde A y B son ángulos agudos y el ángulo C es recto,
y además los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” se llama hipotenusa.
En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “b cateto adyacente.
El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre el cateto
opuesto (a) y la hipotenusa (c).
c
axaopuestoCat.
Sen x ==
ahipotyenus
El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto
adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.
c
bxaadyacenteCat.
x ==
hipotenusa
Cos
La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el cateto
adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.
b
a
.
xopuestoaCat.
x ==
xaadyacenteCat
Tag
La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el cateto
ayacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.
a
b
xa.
xaadyacenteCat.
x ==
opuestoCat
Ctg
14
B
c a
x
A C
b

15. La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa ( c ) y el cateto
adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.
b
c
xaadyacente.
hipotenusa
x ==
Cat
Sec
La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la hipotenusa
(c) y el cateto opuesto a x.
a
c
xaopuesto.
hipotenusa
x ==
Cat
Csc
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 30º - 45º - 60º
Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º,
usaremos un triángulo equilátero, cuyo lado miden 2 unidades longitud y al cual le trazaremos la
altura que calcularemos a través del TEOREMA DE PITÁGORAS
Para el ángulo de 30º, el cateto apuesto (b) mide una (1) unidad de longitud, el cateto
adyacente (h) mide 3 unidades de longitud y la hipotenusa (c) mide 2 unidades de longitud.
Los valores de las funciones trigonométricas de 30º se obtendrán al aplicar las definiciones de
las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
2
1
hipotenusa
30ºaopuestoCat.
30º ==Sen
2
330ºaadyacenteCat.
30º ==
hipotenusa
Cos
3
3
3
1
30º.
30ºaopuestoCat.
30º ===
aadyacenteCat
Tag (Racionalizando)
15
h =
B
2
C
c = 2
A
b2
+ h2
= c2
h2
= c2
- b2 22
b-ch =⇒
31-41-2h 222
===
30º
60º

16. 3
1
3
30ºa.
30ºaadyacenteCat.
30º ===
opuestoCat
Ctg
3
3.2
3
2
adyacente.
hipotenusa
30º ===
Cat
Sec (racionalizando)
2
1
2
opuesto.
hipotenusa
30º ===
Cat
Csc
El triángulo anterior será usado para calcular los valores para 60º, sólo que los catetos
cambian, es decir, opuesto será el adyacente y viceversa.
2
360ºaopuestoCat.
60º ==
hipotenusa
Sen
2
160ºaadyacenteCat.
60º ==
hipotenusa
Cos
60ºa.
60ºaopuestoCat.
60º
adyacenteCat
Tag = = 3
1
3
=
60ºa.
60ºaadyacenteCat.
60º
opuestoCat
Ctg = =
3
3
3
1
= (racionalizando)
2
1
2
60ºa.
hipotenusa
60º ===
adyacenteCat
Sec
3
3.2
3
2
60ºa.
hipotenusa
60º ===
opuestoCat
Csc (racionalizando)
Debes observar que los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º
se intercambian por ser complementarios, es decir la suma de sus medidas es igual a 90º .
Los valores de las razones trigonométricas se obtendrán usando un cuadrado cuyos lados
miden unas unidades de longitud y a la cual se le Trazará una diagonal cuya longitud será calculada
mediante el TEOREMA DE PITÁGORAS.
16

17. B D
2
2
2
145ºaopuestoCat.
45º ===
hipotenusa
Sen (racionalizando)
2
2
2
145ºaadyacenteCat.
45º ===
hipotenusa
Cos (racionalizando)
1
1
1
45ºaadyacenteCat.
45ºaopuestoCat.
45º ===Tag
1
1
1
45ºa.
45ºaadyacenteCat.
45º ===
opuestoCat
Ctg
2
1
2
45ºaadyacente.
hipotenusa
45º ===
Cat
Sec
2
1
2
45ºa.
hipotenusa
45º ===
opuestoCat
Csc
El ángulo de 45º es complementario con él mismo, ya que: 45º + 45º es igual a 90º.
EN RESUMEN
17
c= 2
45º
A
a = 1
b = 1 C

18. Ángulos
Razones
30º 45º 60º
Seno
2
1
2
2
2
3
Coseno
2
3
2
2 2
1
Tangente
3
3 1 3
Cotangente 3 1
3
3
Secante
3
32
2 2
Cosecante 2 2
3
32
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Un triángulo es rectángulo, si uno de sus ángulos internos mide 90°, es decir, posee un ángulo
recto.
Los lados que forman al ángulo recto, se llaman catetos y el lado que los une (el de mayor
longitud) es la hipotenusa .
La suma de las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo es igual a 90°, por
tanto, son complementarios y la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.
LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
ALTURA: la altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado desde un vértice a la
recta que contiene el lado opuesto a dicho vértice. La altura de un triángulo se denota con la letra “h”
Todo triángulo posee tres vértices, por tanto, se pueden trazar tres alturas que se cortan en un
ángulo llamado ORTOCENTRO.
Mediana: es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto tres
medianas del triángulo se cruzan en un punto llamado Baricentro.
Mediatriz: es la recta perpendicular en el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de
un triángulo se cortan en un punto llamado Circuncentro.
18

19. Bisectriz: la bisectriz de un ángulo interno de un triángulo es la semirrecta que divide al dicho
ángulo en dos ángulos congruentes (de igual medida). Las tres bisectrices de un triángulo se cortan
en el punto llamado Incentro.
IMPORTANTE
Para la correcta notación de un triángulo, se deben coincidir que
a) Si el vértice de un triángulo es “A”, el lado opuesto es de longitud “a” o
viceversa.
b) El lado opuesto al vértice “B”, es de longitud “b”.
c) El lado opuesto al vértice “C” es de longitud “c”.
En todo triángulo se cumple que: al ángulo de mayor medida se opone el lado de mayor
longitud y el ángulo de menor medida es opuesto al lado de menor longitud.
Todo triángulo consta de seis elementos: 3 ángulos internos y tres lados. En el caso de los
triángulos rectángulos, por tener un ángulo interno recto (90º), se pueden resolver cuando se
conocen dos de sus elementos, siempre y cuando no de ellos sea un lado.
Según lo anteriormente expuesto, existen cuatro casos según los datos conocidos; los cuales
son:
Dados la longitudes de los catetos.
Para resolver este caso: se aplica el teorema de Pitágoras para conocer el otro lado, y la
tangente de uno de los ángulos agudos, para determinar su medida y luego para calcular el otro
ángulo agudo la relación: 90º=+ βα y se despejo de ella el ángulo agudo que falta por
calcular.
EJEMPLO:
Resolver el triángulo rectángulo de figura adjunta
19
B
A
C
a
c
b

20. 5"0'52º4,56"0'52ºXm281,
50
64
b
a
xaadyacenteCat.
xaopuestoCat.
x ≈=⇒====Tag
x + B = 90º ⇒ B = 90º - x ⇒ B = 90º - 52 0’ 5” = 37º 59’ 55”
Dados las longitudes de un cateto y la hipotenusa.
En este caso, también se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado
desconocido, para obtener la medida de los ángulos agudos se aplican las funciones trigonométricas
seno y coseno según sea el cateto dado el apuesto o el adyacente al ángulo que se desea calcular
EJEMPLO:
Resolver el siguiente triángulo
55"10'62º54,7"10'62ºB4666666660,
60
28
c
b
hip.
Baady.Cat.
≈=⇒====βCos
5"49'27º5,3"49'27ºB660,46666666
60
28
c
b
.
Baop.Cat
≈=⇒====
hip
Sen β
Comprueba que: x + β = 90º
Dados la longitud de un cateto y la medida de un ángulo agudo.
20
x
C
b = 50m
A
c
B
a = 64m
PITAGORAS
22222
bacba +=⇒+=c
250040965064 22
+=+=c =
281,21576206596 ==c ~ 81,22m
222222
b-cacb =⇒=+a
2860bc 2222
−=−=a
553,06599662816784-3600 ===a
a = 53, 06599665 ~ 53,07m
B
A
C
a =?
c = 60m
x
b = 28 m

21. Para resolver este caso, se aplican sólo las funciones trigonométricas principales (Seno,
Coseno, o Tangente)
EJEMPLO:
Resolver el triángulo de la siguiente figura
1,8578
0,75355405
41,
37ºTag
41,
xTag
a
baxTag.b
b
a
xaady..
xaop.Cat.
x ====⇒=⇒==
Cat
Tag
x + β = 90° ⇒ β = 90° - x = 90° - 37° = 53°
Dados la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo.
Al igual que en el caso anterior, solo se pueden aplicar las funciones seno y coseno
15,78120,78513681.20,116'38ºCos.20,1xCos.cb
c
b
.
xaady.Cat.
x ====⇒==
hip
Cos
m7815,915,7812498 ≈=b
Los ejercicios que se proponen a continuación, son combinaciones de estos casos y las
medidas de los ángulos agudos serán de 30º, 45º y/o 60º decir para resolverlos sólo aplicarán las
razones trigonométricas (Seno, Coseno y/o Tangente) y no necesitará la calculadora para obtener los
valores de dichas razones trigonométricas.
EJEMPLO:
21
x = 37º
a = 1,4m
a
c
a
.
37ºaop.Cat.
37º ==
hip
Sen
m2,3382,32629619
30,60181502
41,
37ºSen
a
≈===c
c = 20,1m
x = 38º 16´
x x
B
C
b
A
cB
c
a
hip.
xaop.Cat.
==xSen
16'38ºSen.120,Sen x.c ==a
4483794912,20,61932236.20.1 ==a
m4512,4483794912, ≈=a
a
x x
B
b = 50 m
A
c
B
C
a

22. Calcula el valor de x, según el triángulo de la figura adjunta
m350
2
3
.100BD60ºSen.BCBD
BC
BD60ºaop.Cat.
60º ==⇒=⇒==
hip
Sen
45ºSen
BD
xBD45ºSen.x
x
BD
AB
BD
hip.
45ºaop.Cat.
45º =⇒=⇒===Sen
m650
2
2.350.2
2
350.2
2
2
1
350
2
2
3.50
=====x
EJERCICIOS:
Resuelve cada uno de los siguientes triángulos, aplicando las razones trigonométricas y sus
valores. (Sólo debes calcular el valor de x).
1.-
2.-
22
100m
D
A C
B
x
El lado BD (altura del triángulo ABC) es común para
los triángulos rectángulos ABD y BCD, por lo tanto
se debe calcular en primer lugar. Por ser el cateto
opuesto al ángulo de 60º se aplica el seno; ya que
se conoce longitud de la hipotenusa45°
60°
B
150 m
60°B
30°B
C
D-------- X ------A
B
60°B 30°BD-------- X ------A

23. 3.-
4.-
200 m
5.-
23
300 m
B
X
D----- 200m -----B
60°B
60°B 30°B
C
C
30°B 60°
h = X
C
A
B
D
B
A
C 60°B 30°B

24. F
AD = BE
BC = 4 m
DE = x
FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
Sen (α + β) = Sen α . Cos β + Sen β. Cos α.
Sen (α − β) = Sen α .Cos β – Sen β . Cos α.
Cos (α + β) = Cos α . Cos β – Sen α . Sen β
cos (α − β) = Cos α . Cos β + Sen α . sen β
)(
)(Sen
Tag.Tag-1
TagTag
)(Tag
βα
βα
βα
βα
βα
+
+
=
+
=+
Cos
)-(
)-(Sen
Tag.Tag1
Tag-Tag
)(
βα
βα
βα
βα
βα
Cos
Tag =
+
=+
EJEMPLOS.
1.- Calcula el valor de las funciones trigonométricas principales para 75°:
75° = (45° + 30°) = (α + β )
24
D ----------- X ------------ E

25. a) Sen (α + β) = Sen α . Cos β + Sen β . Cos α.
Sen (45° + 30°) = Sen 45° . Cos 30° + Sen 30°. Cos 45°
4
26
4
2
4
6
2
2
.
2
1
2
3
.
2
2
75º
+
=+=+=Sen
b) Cos (α + β) = Cos α .Cos β - Sen α . Sen β.
Cos (45° + 30°) = Cos 45°. Cos30° - Sen45°. Sen30°
4
2-6
4
2
-
4
6
2
1
.
2
2
-
2
3
.
2
2
75º ===Cos
c)
-6
6
)2-6(4
)26(4
4
2-6
4
26
)º30º45(
)º30º45(Sen
)º30º45(
+
=
+
=
+
=
+
+
=+
Cos
Tag
(se debe racionalizar)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 4
3.428
2-6
21226
2-6
22.626
26
26
.
2-6
26
22
22
+
=
++
=
++
=
+
++
= 32
4
348
+=
+
Tag 75° = 2 + √3
2.- Calcula el valor de las funciones trigonométricas principales para 15°
15° = (60° - 45°) = (α − β )
a) Sen (α − β) = Sen α . Cos β – Sen β . Cos α
25

26. Sen (60° - 45°) = Sen 60° . Cos 45° - Sen 45° . Cos 60°
4
2-6
4
2
-
4
6
2
1
.
2
2
-
2
2
.
2
3
15º ===Sen
b) Cos (α − β) = Cos α . Cos β + Sen α . Sen β
Cos (60° - 45°) = Cos 60°. Cos 45° + Sen 60° . Sen 45°
4
62
4
6
4
2
2
2
.
2
3
2
2
.
2
1
15º
+
=+=+=Cos
c)
62
6-6
)62(4
)2-64(
4
62
4
2-6
º15
15ºSen
15º
+
=
+
=
+
==
Cos
Tag
(Racionalizando)
2-6
)2()2(.)6(2-)6(
)2(-)6(
)2-6(
2-6
2-6
.
26
2-6 22
22
2
+
==
+
( ) 3-2
4
3-24
4
34-8
4
3.42-8
4
2122-6
====
+
=
EJERCICIOS
1.- Calcular el valor de las funciones trigonométricas principales para los ángulos:
a) 150° = (180° - 30°) d) 240° g) 2880°
b) 3 π / 4 e) 5/6 π η) 135° = (180° − 45°)
c) 225° f) 420° i) 315° = (360 ° - 45°)
2.- Sabiendo que: .IVcon
13
5
-Sen:queyIIIcon
5
3
- cc ∈=∈= ββααCos Determina: Sen ( α + β);
Cos ( α + β), Sen ( α − β) y Cos (α − β) y el cuadrante al cual pertenece tanto (α + β) como (α − β).
26

27. 3.- Calcula los valores de Sen (α − β), Cos (α − β) y tg (α − β) y el cuadrante al cual pertenece la solución,
sabiendo que: .
12
5
Tagy
17
8
- == βαSen
4.- Si
25
7
SenyIIcon
13
12
- c =∈= βααCos , calcula los valores de las funciones trigonométricas
principales para (α + β) y (α − β) y determina el cuadrante al cual pertenecen dichas soluciones.
FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA EL ANGULO DOBLE
Sen 2 α = 2 sen α . cos α
Cos 2 α = cos2
α – sen2
α
Tag-1
Tag2
2 2
α
α
α =Tag
EJEMPLOS
1.- Utilizando las fórmulas del ángulo doble, calcula los valores de las funciones trigonométricas para 120°
120° = 2 (60°) = 2 α.
a) Sen 2 α = 2 Sen α . Cos α
Sen 120° = sen 2 (60°) = 2 sen 60° . cos 60°
( )
2
32
4
1.3.2
2
1
.
2
3
.260º2120º ====Sen
b) Cos 2 α = Cos2
α − Sen2
α
60ºSen-60ºCos)60º(.2Cos120º 22
==Cos
2
1
-
4
2
-
4
3
-
4
1
2
3
-
2
1
120º
22
===













=Cos
c)
α
α
α 2
Tag-1
Tag2
2 =Tag
27

28. ( )
3-
2-
32
3-1
32
3-1
3.2
º60Tag-1
60ºTag2
)(60º2Tag120º 22
======Tag
EJERCICIOS
1.- Usando las fórmulas del ángulo doble, calcula los valores de las funciones trigonométricas
principales de los ángulos.
a) 540° d) 360° g) 2 070º
b) 180° e) 720° h) 1 791º
c) 60° f) 90° i) 1 425º
FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA EL ANGULO MEDIO (MITAD).
2
Cos-1
2
αα
±=Sen
2
Cos1
2
αα +
±=Cos
α
α
α
α
α
αα sC-1
Cos1
Sen
Cos1
Cos-1
2 Sen
o
Tag =
+
=
+
±=
1.- Mediante la aplicación del ángulo mitad, calcula el valor de las funciones trigonométricas para
EJEMPLOS
28

29. a) 15°
CI30º15º.215º
2
∈=⇒=⇒= αα
α
.
1
2
2
-2
2
2
3
-1
2
30ºCos-1
2
Cos-1
2
30º
Sen
2
±=±=±=±==
αα
Sen
2
3-2
4
3-2
15º ±=±=Sen
2
3-2
15ºSenI15º c =⇒∈Pero
1
2
2
32
2
2
3
1
2
30ºCos1
2
30º
Cos
2
+
=
+
±=
+
±==
α
Cos
2
32
4
32
15º
+
±=
+
±=Cos
2)32(2
2
2
32
2
1
2
3
1
2
1
30ºCos1
30ºSen
Cos1
Sen
2
=
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
α
αα
Tag
Racionalizando:
( )
3-2
3-4
3-2
3-2
3-2
32
32
.
32
1
22
===
−
−
+
b)
180º
π
45º5º22,.25º22,
2
5º22,
8
180º
8
=⇒=⇒=⇒== αα
απ
29

30. 1
2
2
2-2
2
2
2
-1
2
º45Cos-1
2
45º
Sen
2
±=±=±==
α
Sen
2
2-2
4
2-2
22.5º ±=±=Sen
2
2-2
5º22,SenI5º22,: c =⇒∈Pero
1
2
2
22
2
2
2
1
2
45ºCos1
2
45º
Cos
2
+
±=
+
±=
+
±==
α
Cos
2
22
4
22
5º22,
+
±=
+
±=Cos
2
22
22,5ºCosI22,5º: c
+
=⇒∈Pero
( )
( )
2
22
2-22
2
2
2
2-2
2
2
2
2
-1
º45
45ºCos-1
2
45º
Tag
2
======
Sen
Tag
α
( ) ( ) ( )
2
2-22
2
2-22
)2(
2-2.2
2
2
.
2
2-2
522,
2
2
====Tag
( ) 1-2
2
1-22
22,5º ==Tag
c) Calcula los valores de las funciones trigonométricas principales a través del ángulo mitad, sabiendo que
Sen α =
13
5
con α ∈ IIc
30

31. 2
13
1213
2
13
12
1
2
13
12
--1
2
Cos-1
2
±=
+
±=
+
±=






±=±=
αα
Sen
( ) 26
26.5
26
26.5
26
26
.
26
5
26
5
26
25
2
±=±=±=±=±=
26
265
-
2
SenII:Pero c =⇒∈
α
α
1
2
13
1
2
13
12-13
2
13
12
-1
2
13
12
-1
2
Cos-1
2
±=±=±=






+
±=±=
αα
Cos
( ) 26
26
26
26
26
26
.
26
1
26
1
2 2
±=±=±=±=
α
Cos
26
26
-
2
CosIIc =⇒∈
α
αComo
5
5
25
5.13
13.25
13
5
13
25
13
5
13
1213
13
5
13
12
1
13
5
13
12
--1
Cos-1
2
====
+
=
+
=






==
α
αα
Sen
Tag
EJERCICIOS:
1.- A partir del semi-ángulo (ángulo mitad), calcula los valores de las funciones
trigonométricas principales de los siguientes ángulos (Recuerda los cuadrantes en donde se
encuentran ubicados los ángulos dados).
a)
8
π
b) 30° c)
4
7 π
d)
8
7 π
e) 105° f) cIVcon
5
3
-Senquesabiendoa,
2
∈= αα
α
FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE ÁNGULOS
( ) ( )
2
-
Cos.
2
Sen2Sen
βαβα
βα
+
=+Sen
31

32. ( ) ( )
2
-
Cos.
2
Cos2Sen-
βαβα
βα
+
=Sen
( ) ( )
2
-
Cos.
2
Cos2Cos
βαβα
βα
+
=+Cos
( ) ( )
2
-
Sen.
2
Sen2-Cos-
βαβα
βα
+
=Cos
( )
βα
βα
βα
Cos.
Sen
Tag
Cos
Tag
+
=+
( )
βα
βα
βα
Cos.
-Sen
Tag-
Cos
Tag =
EJEMPLOS:
Transformar en productos (Factorizar) cada una de las siguientes expresiones:
a)
5ºCos.45ºSen2
2
10º
Cos.
2
90º
Sen2
2
40º-50º
Cos.
2
40º50º
Sen240ºSen50º ==
+
=+Sen
5ºCos25ºCos.
2
2
.240ºSen50º ==+Sen
b)
2
50º
Sen.
2
90º
Cos2
2
20º-70º
Sen.
2
20º70º
Cos220ºSen-70º =
+
=Sen
25ºSen.245ºSen.
2
2
.225ºSen.45ºCos.220ºSen-70º ===Sen
c)
30ºCos.60ºCos2
2
60º
Cos.
2
120º
Cos.2
2
30º-90º
Cos.
2
30º90º
Cos230ºCos90º ==
+
=+Cos
2
3
2
3
.
2
1
.230ºCos90º ==+Cos
d)
( )
2
40º-
Sen.
2
110º
Sen2-
2
75-35º
Sen.
2
75º35º
Sen2-75ºCos-35º =
+
=Cos
( ) 20ºSen.55ºSen220ºSen.55ºSen2--75ºCos-35º ==Cos
32

33. e)
2
4x
Cos.
2
10x
Sen2
2
3x-7x
Cos.
2
3x7x
Sen23xSen7x =
+
=+Sen
2xCos.5xSen23xSen7x =+Sen
f)
2
3x
Sen.
2
5x
Cos2
2
x-4x
Sen.
2
x4x
Cos2Sen x-4x =
+
=Sen
g)
2
6a
Cos.
2
10a
Cos2
2
2a-8a
Cos.
2
2a8a
Cos22aCos8a =
+
=+Cos
3aCos.5aCos22aCos8a =+Cos
h)
2
30º-60º
Cos.
2
30º60º
Sen230ºSen60ºSen60ºCos60º
+
=+=+Sen
C.215ºCos.
2
2
.215ºCos.45ºSen2
2
30º
Cos.
2
90º
Sen260ºCos60º ====+Sen
EJERCICIOS
1.- Factorizar cada una de las siguientes expresiones.
a) Sen 35° + Sen 25° h) Sen 4 x + Sen 2 x
b) Sen 35° - Sen 35° i) Sen 105° - Sen 15°
c) Cos 465° - Cos165° j) Cos 30° - Sen 30°
d) Cos 80° - Cos 20° k) Cos 60° - Sen 60°
e) Tag 20° + Tag 50° l) Tag 45° - Tag 15°
f) Tag 30° + Tag 60° m) Tag 60° + Ctg 60°
g) Tag 50° – Tag 25°
2.- Demostrar transformando en producto (factorizando) cada una de las siguientes expresiones:
a) Sen 40° + Sen 20° = Cos 10°
33

34. b) Sen 105° + Sen 15° =
2
6
c)
3
3
15ºCos75º
15ºSen-75ºSen
=
+Cos
d) 2-
35ºCos-25º
40ºCos-50ºCos
=
Cos
e)
2
6
40ºCos-50º
25ºSen-35ºSen
=
Cos
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo es oblicuángulo si no posee entre sus ángulos internos un ángulo recto, es decir, los ángulos
internos o son agudos a dos agudos y uno obtuso.
Recuerda que:
- Se ha convenido que la notación de sus ángulos agudos sean Â, B, Ĉ y las longitudes de sus correspondientes
lados opuestos se identificarán como: a, b y c.
- La suma de las medidas de sus ángulos internos es 180°, es decir; Â + B + Ĉ = 180°.
Para resolver un triángulo oblicuángulo, sólo se usan las leyes del seno y/o del coseno.
B
A
LEY DE LOS SENOS
En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante; esto es:
34
C
a
b
c

35. ϕβα Sen
cb
Sen
a
==
Sen
En la resolución de los triángulos oblicuángulos se aplica dos a dos según los datos conocidos y el
desconocido (incógnita).
βα
b
Sen
a
Sen
=
ϕα Sen
c
Sen
a
=
ϕβ Sen
cb
=
Sen
LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo oblicuángulo ABC, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del
ángulo comprendido entre dichos lados.
αCos.c.b.2-cb 222
+=a
βCos.c.a.2-ca 222
+=b
ϕCos.b.a.2-ba 222
+=c
En estas relaciones, sólo se puede despejar el coseno del ángulo y nunca ninguno de
los lados.
SOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS
Cuando se conocen tres elementos de un triángulo oblicuángulo, (no todos los
ángulos) se dice que el triángulo está bien determinado o en forma única.
En la resolución de los triángulos oblicuángulos se pueden presentar los siguientes
casos:
1.- Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Se recomienda aplicar la ley de
los senos para calcular en primer lugar el lado opuesto del segundo ángulo dado.
2.- Conocidos dos ángulos y el lado comprendido entre ellos se debe calcular en primer
lugar la medida del tercer ángulo y después mediante la aplicación de la ley de los senos
cualquiera de los lados restantes (desconocidos).
35

36. 3.- Dados los dos lados y el ángulo comprendido entre dichos lados.
Para resolver los triángulos rectángulos, según este caso se aplica la ley de los senos y se
calcula en primer lugar la medida del ángulo opuesto al segundo de los lados conocidos,
cuando el 1≤αSen ≤.
4.- Dados un ángulo y los lados que lo forman. En primer lugar se calcula el tercer lado
mediante la aplicación de la ley de los cosenos.
5.- Dados los tres lados. En este caso, se aplica la ley de los cosenos y se despejan los
cosenos para calcular las medidas de los ángulos.
AREA DE LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
El área de los triángulos (AT) es igual al semi-producto de su base por la altura.
2
h.b
=TA
Para calcular el área de un triángulo oblicuángulo, según el caso se pueden usar las siguientes fórmulas:
1.- Para los tres primeros casos.
α
ϕβ
Sen2
Sen.Sen.a 2
=TA
β
ϕβ
Sen.2
Sen.Sen.b2
=TA
ϕ
βα
Sen2
Sen.Sen.c2
=TA
2.- Para el cuarto caso
2
Sen.b.a ϕ
=TA
2
Sen.c.a β
=TA
36

37. 2
Sen.c.b α
=TA
3.- Para el quinto caso.
( ) ( ) ( )c-p.b-p.a-pp=TA
En donde:
2
cba ++
=p , es el semi-período
EJEMPLOS:
1.- Resuelve el triángulo oblicuángulo sabiendo que c = 23 cm, y los ángulos ϕα y miden respectivamente
20° y 15°:
258810,
86642,
258819,0
3420200,.23
15º
20ºSen.23
a
Sen.c
a
Sen
c
Sen
a
===⇒=⇒=
SenSenϕ
α
ϕα
cm3930,=a
( ) ( ) 35-180º15º-20º-180º--180º--180º180º ====⇒=++ ϕαϕαβϕβα
342020,0
19224813,
342020,0
5735760,.23
20º
145ºSen.23
b
Sen.a
b
Sen
ab
===⇒=⇒=
SenSenSen α
β
αβ
cm5738,=b
( )
( ) 517638,0
78103,
2588190,.2
5735760,.3420200,.529
15ºSen.2
145ºSen.20ºSen.23
Sen2
Sen.Sen.c
22
====
ϕ
βα
TA
22
cm5200,cm49200, ≈=TA
2.- Resuelve el triángulo oblicuángulo, sabiendo que el lado “a” mide de 125 cm y los ángulos βα y miden
54° 40’ y 65° 10’ respectivamente.
( ) ( )10'65º40'54º-180º-180º--180º180º +=+==⇒=++ βαβαϕϕβα
10'60º50'119º-180º ==ϕ
37

38. 815801,0
441625113,
815801,0
9075330,.125
40'54º
10'65ºSen.125Sen.a
b
Sen
ab
====⇒=
SenSenSen α
β
αβ
cm1139,cm06139, ≈=b
815801,0
4345108,
815801,0
8674760,.125
40'54ºSen
10'60ºSen.125Sen.a
c
Sen
a
Sen
c
====⇒=
α
ϕ
αϕ Sen
cm133=c
( )
( )8158010,.2
8674760,.9075330,.15625
40'54ºSen.2
10'60ºSen.10'65ºSen.125
Sen.2
Sen.Sen.a
22
===
α
ϕβ
TA
2
cm217539,2114357539,
631602,1
9924612300,
≈==TA
3.- Resuelve el triángulo oblicuángulo en donde:
a = 11 cm, b = 21 cm y ϕ = 97° 50’
c2
= a2
+ b2
– 2 a .b . Cos ϕ
c2
= 112
+ 212
– 2 .11 . 21 Cos 97° 50’
c2
= 121 + 441 – 462 ( - 0,136292) = 562 + 62,9666904
c2
= 624,966904 cm2599924,966904624,c ≈==⇒
a2
= b2
+ c2
– 2 . b . c . Cos α
a2
+ 2 . b . c . Cosα = b2
+ c2
2 . b . c . Cos α = b 2
+ c 2
– a 2
38

39. 0501
945
25.21.2
121-625441
25.21.2
11-2521
.cb.2
a-cb 222222
=
+
=
+
=
+
=αCos
31"50'25º90,
0501
945
=⇒== ααCos
b2
= a2
+ c2
– 2 . a . c. Cos β
1419'56º.55454545..0,
550
305
25.11.2
441-625121
c.a.2
b-ca 222
=⇒==
+
=
+
= ββCos
cm42114,
2
84228,
2
9906690,.21.11
2
50'97ºSen.21.11
2
Sen.b.a
=====
ϕ
TA
4.- Resuelve el triángulo oblicuángulo, sabiendo que:
a = 13 cm, b = 4 cm y c = 15 cm
a2
= b2
+ c2
– 2 . b . c . Cosα
222
cbCos.c.b.2 +=+ αa
2 . b . c. Cos α = b2
+ c2
– a2
53º60,
120
72
120
169-22516
120
13-154
15.4.2
13-cb 222222
=⇒==
+
=
+
=
+
= ααCos
9692310,
390
378
390
16-225169
15.13.2
4-1513
c.a.2
b-ca 222222
⇒==
+
=
+
=
+
= ββCos
104
40
-
104
22516169
4.13.2
15-413
b.a.2
c-ba 222222
=
−+
=
+
=
+
=ϕCos
12"37'112º3846150,- =⇒= ϕϕCos
16
2
32
2
15413
2
cba
==
++
=
++
=p
39

40. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 961.12.3.1615-16.4-16.13-16.16c-p.b-p.a-p.p ====TA
5.- Resuelve el triángulo ABC según la siguiente figura
A
B a = 62,5
924989,0
95556341,
924989,0
6712890,.562,
210'112º
10'42ºSen.562,Sen.a
c
Sen
c
Sen
a
====⇒=
SenSen α
ϕ
ϕα
cm3645,3579042645, ≈=c
( ) ( 42º20'112º-180º-180º--180º180º +=+=⇒=⇒=++ ϕαβϕαβϕβα
30'25º30'154º-180º ==β
924,0
9026,
924989,0
4305110,.562,
20'112º
30'25ºSen.562,Sen.a
b
Sen
b
Sen
a
====⇒=
SenSen α
β
βα
cm0129,0889329, ≈=b
9249890,.2
6712890,.4305110,.253906,
20'112ºSen.2
0'42ºSen.30'25ºSen.)562,(
Sen2
Sen.Sen.a 22
===
α
ϕβ
TA
2
cm22610,
849978,1
8967811128,
==TA
6.- Resuelve el triángulo oblicuángulo en donde
40
112° 20’
42°10’ C

41. c = 628 cm
b = 480 cm
ϕ= 55° 10’
628
99393,
628
8208180,.480
628
10'55ºSen.480Sen.b
Sen
sen
c
Sen
b
====⇒=
c
ϕ
β
ϕβ
24"51'38º6273760, =⇒= ββSen
( )ϕβϕβαϕβα -180º--180º180º +==⇒=++
( ) 36"58'85º24"1'94º-180º10'55º24"51'38º-180º ==+=α
820817,0
997530,.628
10'55º
36"58'85ºSen.628Sen.c
a
Sen
c
Sen
a
===⇒=
SenSenϕ
α
ϕα
2
cm21763,2058443763, ≈=a
2
cm56150348,
2
12300687,
2
36"58'85ºSen.480.628
2
Sen.c.b
====
α
TA
7.- Resuelve triángulo oblicuángulo en donde a = 525 cm, c = 421 cm y el ángulo α = 130° 50’
525
7566150,.421
525
50º130ºSen.421
Sen
Sen.c
Sen
Sen
c
Sen
a
==⇒=⇒= ϕ
α
ϕ
ϕα a
13"21'37º6067330,
525
534824318,
=⇒== ϕϕSen
41

42. ( ) ( )13"21'37º50'130º-180º-180º--180º180º +=+=⇒=⇒=++ βαβϕαβϕβα
49"48'11º13"11'168º-180º ==β
756,0
20,.525
50'130º
49"48'11ºSen.525
b
Sen.a
b
Sen
b
Sen
a
==⇒=⇒=
SenSenα
β
βα
cm06142,=b
452
2
2047290,.421.525
2
49"48'11ºSen.421.525
2
Sen.c.a
====
β
TA
2
cm226251136122625, ≈=TA
EJERCICIOS
Resuelve cada uno de los siguientes triángulos oblicuángulos, sabiendo que
1.- a = 125 cm 2.- c = 25 cm
α = 54° 40’ α = 35°
β = 65° 10’ β = 68°
3.- b = 275 cm 4.- b = 215 cm
α = 125° 40’ c = 150 cm
ϕ= 48° 50’ β = 42° 40’
5.- a = 512 cm 6.- b = 50,4 cm
b = 426 cm c = 33,3 cm
α = 48° 50’ β = 118° 30’
7.- b = 40,2 cm 8.- b = 51,5 cm
a = 31,5 cm a = 62,5 cm
42

43. β = 112° 20° β = 40° 40°
9.- a = 320 cm 10.- b = 120 cm
c = 475 cm c = 270 cm
α = 35° 20’ α = 118° 40’
11.- a = 24,5 cm 12.- a = 6,34 cm
b = 18,6 cm b = 7,30 cm
c = 26.4 cm c = 9,98 cm
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para cualquier valor del ángulo que
aparezca en la igualdad.
Existen varios métodos para demostrar las identidades trigonométricas; pero aplicaremos el más sencillo,
además también algunas sugerencias muy importantes y que se pueden seguir.
Es recomendable, expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y del
coseno y efectuar las operaciones indicadas, en uno sólo de los dos miembros de la igualdad
hasta llegar al otro. Si no se consigue este propósito entonces se debe aplicar los mismos
artificios en el otro miembro.
PASOS GENERALES PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES
1. Conocer las ocho (8) relaciones básicas y sus formas alternativas, es decir, con sus respectivos despejes si
los tuviera.
2. Conocer los procedimientos de adición y sustracción, cálculo del m.c.m. para reducir, transformar las
fracciones obtenidas en otras equivalentes.
3. Conocer las técnicas de la factorización y de los productos notables.
4. Usar sólo procedimientos de sustitución y de simplificación que permitan trabajar solamente en uno de los
dos miembros la identidad.
5. Seleccionar el lado de la igualdad que parezca ser el más complicado, e intentar transformarlo en el otro.
6. Si decides trabajar en ambos lados de la igualdad, debes hacerlo en forma independiente, es decir, sin
transposiciones de términos.
43

44. 7. Evitar sustituciones que introduzcan raíces.
8. Usar sustituciones para cambiar todas las funciones trigonométricas en expresiones que contengan
únicamente senos y cosenos y luego simplificar (siempre en un solo lado).
9. Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el conjugado de cualquiera de ellos.
10. Simplificar la raíz cuadrada de una fracción usando conjugados para transformarla en el cociente con
cuadrados perfectos.
EJEMPLOS
Demostrar cada una de las siguientes identidades trigonométricas:
1.-
xCos.x
xCos2Sen
xCtg.2x
22
Sen
Tag
+
=+
xCos.x
xCos2xSen
x
xCos2
xCos
Sen x 2
SenSen
+
=+
m.c.m. = Sen x . Cos x.
xCos.x
xCos2xSen
xCos.x
xCos2xSen 2222
SenSen
+
=
+
l.q.q.d.
2.-
xCos
xCsc
xCtgx =+Tag
xCos
xCsc
Sen x
xCos
xCos
Sen x
=+
m.c.m. = Sen x . Cos x
x
xCsc
xCos.x
xCosSen 22
CosSen
x
=
+
CosxSen
xCsc
xCos.x
1
=
44

45. x
xCsc
xCos
1
.
Sen x
1
Cos
=
x
xCsc
xCos
1
.x
Cos
Csc =
x
xCsc
x
xCsc
CosCos
=
3.-
Sen x
xTagx
xSec
=
+Ctg
Sen x
xCos
Sen x
Sen x
xCos
xCos
1
=
+
Sen x
xCos.x
xSenxCos
xCos
1
22
=
+
Sen
Sen x
xCos.Sen x
1
xCos
1
=
Sen x
xCos
xCos.Sen x
=
Sen xx =Sen
4.-
Sen x
xCos-1
xCos1
Sen x
=
+
Se multiplica y se divide el primer miembro por la expresión conjugada del denominador
Sen x
xCos-1
xCos-1
xCos-1
.
xCos1
Sen x
=
+
( )
( ) ( ) x
xCos-1
xCos-1.Cosx1
xCos-1.Sen x
Sen
=
+
45

46. ( )
x
xCos-1
xCos-1
xCos-1.Sen x
2
Sen
=
( )
x
xCos-1
x
xCos-1.Sen x
2
SenSen
=
x
xCos-1
Sen x
xCos-1
Sen
=
5.-
xTagx
1
xTagx
xTag-xSec
+
=
+ SecSec
Como el lado izquierdo tiene raíz, se multiplica y se divide la fracción de la cantidad sub-
radical por la conjugada de cualquiera de los elementos de la fracción radical. En este
ejercicio se usará la expresión conjugada del numerador.
xTagx
1
xTagxSec
xTagxSec
.
xTagx
xTag-xSec
+
=
+
+
+ SecSec
( ) xTagx
1
xTagxSec
xTag-xSec
2
22
+
=
+ Sec
( ) xTagx
1
xTagx
1
2
+
=
+ SecSec
xTagx
1
xTagx
1
+
=
+ SecSec
6.-
xSen2x2Sen. 2
=xTag
xSen2xCos.Sen x.2.
xCos
Sen x 2
=
xSen2Sen x.2.x 2
=Sen
xx 22
sen.2sen.2 =
7.-
Cos 2 x = Cos4
x – Sen4
x.
46

47. Cos 2 x = (Cos2
x + Sen2
x) . (Cos2
x - Sen2
x)
Cos 2 x = 1 . (Cos2
x – Sen2
x)
Cos 2 x = Cos2
x – Sen2
x.
Cos 2x = cos 2 x.
8.-
x2Sen
x
x2Cos1
=
+
Ctg
x2Sen
x
xCos
xSen-xCos1 22
=
+
Sen
( ) x2Sen
x
xCos
xCos-1-xCos1 22
=
+
Sen
x2Sen
Sen x
xCos
xCos1-xCos1 22
=
++
x2Sen
x
xCos
xCosxCos 22
=
+
Sen
x2Sen
x
xCos
xCos2 2
=
Sen
x2Sen
x
xCos
1
xCos2 2
=
Sen
x2Sen
x
xCos2.Sen x 2
=
Cos
x2SenxCos.Sen x.2 =
Sen 2 x = Sen 2 x
9.-
47

48. xTag-1
xTag1
x2Sen-1
x2Cos +
=
x
Sen x
-1
x
Sen x
1
xCos.Sen x2-1
xSen-xCos 22
Cos
Cos
+
=
xCos
Sen x-xCos
xCos
Sen xxCos
xCos.Sen x2-1
xSen-xCos 22
+
=
xCos-x
Sen xxCos
xCos.Sen x2-1
xSen-xCos 22
Cos
+
=
Sen x-xCos
Sen x-xCos
.
Sen x-x
Sen xxCos
xCos.Sen x2-1
xSen-xCos 22
Cos
+
=
xSenSen x.xCos2-x
xSen-xCos
xCos.Sen x2-1
xSen-xCos
22
2222
+
=
Cos
xCos.Sen x2-1
xSen-xCos
xCos.Sen x2-1
xSen-xCos 2222
=
10.-
1
1-xTag
xCscx
xCsc-xSec
+
=
+ xTagSec
1x
1-xTag
Sen x
1
xCos
1
Sen x
1
-
xCos
1
+
=
+
Tag
1x
1-xTag
xCos.Sen x
xCosSen x
xCos.x
xCos-Sen x
+
=
+ Tag
Sen
1
x
Sen x
1-
x
Sen x
xCosx
xCos-Sen x
+
=
+
Cos
Cos
Sen
48

49. x
xCosSen x
xCos
xCos-Sen x
xCosx
xCos-Sen x
Cos
Sen +
=
+
xCosx
xCos-Sen x
xCosx
xCos-Sen x
+
=
+ SenSen
EJERCICIOS
Demostrar cada una de las siguientes identidades trigonométricas.
1.-
1
x
xCos
x
Sen x
=+
SecCsc
2.-
Sen x
xCtgx
xSec
=
+Tag
3.-
Sen x1
xCosSen x-1
+
=
Cosx
4.-
Sen x1
xCos
xTagx
1
+
=
+Sec
5.-
xSec-
xCscxSec
xCos-
xCosSen x
xSecxSen
+
=
+
6.-
xTag1
Tag-1
xSen2-1 2
2
2
+
=
x
7.-
49

50. x
Sen x2Cos
xCosxTag2
2
Cos
+
=+
8.-
xTag.xSem
xCsx
xTagSen x
=
+
+
Ctg
9.-
xCosx
CosxSen
xTag-1
x2Cos.xTag 33
2
+
+
=
Sen
x
10.-
x
xCos1
xCos1
Sen x
xCsc2
Sen
+
+
+
=
11.-
xCos1
xSec
x
Sen x-xTag
3
+
=
Sen
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Las ecuaciones trigonométricas, es decir, as ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de
ángulos desconocidos, se llaman:
a) Ecuaciones idénticas o identidades. Si se satisfacen para todos los valores de los ángulos
desconocidos, cuyas funciones están definidos.
b) Ecuaciones condicionales, o simplemente, ecuaciones. Si solo se satisfacen en ciertos valores de
los ángulos desconocidos.
Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las cuales la incógnita aparece como un ángulo de
funciones trigonométricas cuyas soluciones pertenecen al intervalo 0° ≤ x ≤ 360º.
No existe un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se
recomienda, transformar toda la ecuación de manera que quede expresada en términos de una sola
función trigonométrica y luego resolverla como una ecuación algebraica cualquiera.
Muchas veces, se obtienen soluciones extrañas, por lo tanto se deben comprobar las obtenidas en la
ecuación dada. Además hay que recordar que las funciones trigonométricas repiten sus valores en
los cuatro cuadrantes del plano de coordinadas rectangulares, siendo positivas en dos de ellos y
negativa en los otros dos, es decir, hay dos cuadrantes en las que el valor de un ángulo de función
trigonométricas tiene el mismo valor y signo.
50

51. EJEMPLOS:
1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas.
a) Sen x = Sen 80º
Para que se cumpla la igualdad, la medida del ángulo x debe ser igual a 80º
x = 80º
b) Cos x = Cos (60º - x)
para que la expresión se cumpla, es necesario que:
x = 60º - x
x + x = 60º
2 x = 60º
x =
2
60º
x = 30º
c)






= x2-
2
Tagx
π
Tag






= x2-
2
180º
TagxTag
( )x2-90ºTagx =Tag
2x-90º=x
90ºx2 =+x
3 x = 90º
3
90º
=x
30º=x
c) 2 Sen x = 1
51

52. Sen x =
2
1
El seno de un ángulo es
2
1
, cuando dicho ángulo es 30º, además el seno es positivo también en
el segundo cuadrante, por lo tanto, para encontrar el otro ángulo, se toma:
α + β = 180º
α = 180º - b = 180º - 30º = 150º
x = 30º, 150º
e) 2 Cos x = Ctg x
2 Cos x =
x
xCos
Sen
2 Cos x . Sen x = Cos x
2 Sen x =
xCos
xCos
2 Sen x = 1
Sen x =
2
1
Las soluciones son las del ejercicio d) x = 30º, 150º
f)
xSecx =Csc
xCos
1
Sen x
1
=
1
x
xCos
=
Sen
Ctg x = 1
Por ser positivo el resultado, las soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrante, en donde la
Ctg x es positiva.
En el primer cuadrante x = 45º
52

53. Para el tercer cuadrante:
α − β = 180º
α = 180º + 45º = 225º
Soluciones:







=+=
=
225º45º180ºx
III
45º
I
C
C
x
g)
01xTag.xCos2 =−
01-
x
Sen x
.xCos2 =
Cos
2 Sen x - 1 = 0
2 Sen x = 1
Sen x =
2
1
Las Soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrantes, por ser el resultado positivo
Soluciones:







==
=
150º30º-180º
30ºx
IC
x
IIc
h)
4 Cos2
x = 3 – 4 Cos x
4 Cos2
x + 4 Cos x – 3 = 0
Esta ecuación se resuelve aplicando la resolvente por ser un una ecuación de 2º grado:
a = 4, b = 4 y c = - 3
53

54. ( ) ( )
( ) 8
4-
8
48144-
4.2
3-.44-44-
a.2
c.a.4-bb-
x
22
±
=
+±
=
±
=
±
=Cos
8
84-
x
±
=Cos
2
1
8
4
8
84-
x1 ==
+
=Cos
2
3
-
8
12
-
8
8-4-
x2 ===Cos (esta solución es extraña pregúntale al profesor)
La solución es
2
1
x1 =Cos
Soluciones:







==
=
300º60º-360º
IV
60º
c
x
x
IC
g) 3 + 3 cos x = sen2
x
3 + 3 Cos x = 1 – Cos2
x
por ser una ecuación cuadrática, se debe igualar a cero y además el polinomio de la ecuación se
ordena en forma decreciente
Cos2
x + 2 Cos x + 3 – 1 = 0
Cos2
x + 3 Cos x + 2 = 0
a = 1; b = 3 y c = 2
( ) ( ) 3-
2
8-93-
1.2
2.1.4-33-
a.2
c.a.4-bb-
x
22
=
±
=
±
=
±
=Cos
2
13-
x
±
=Cos
1-
2
2
-
2
13-
x1 ==
+
=Cos
2-
2
4
-
2
1-3-
x2 ===Cos (Solución extraña) ¿Por qué?
54

55. h) Cos x + 2 Sen2
x = 1
Cos x + 2(1 – Cos2
x ) = 1
Cos x + 2 – 2 Cos2
x = 1
- 2 Cos2
x + Cos x + 2 – 1 = 0
- 2 Cos2
x + Cos x + 1 = 0
a = - 2; b = 1 y c = 1
( ) ( )
( )
1
4
811-
2-.2
1.2-4-11-
a.2
c.a.4-bb-
x
22
=
−
+±
=
±
=
±
=Cos
4
31-
x
−
±
=Cos
2
1
-
4
2
-
4
31-
x1 ==
−
+
=Cos (solución negativa, los ángulos que dan solución a la
ecuación pertenecen a los cuadrantes: )IIIy CCII .
11
4-
4-
4
3-1-
x 2 =+==
−
=Cos (Solución positiva, los ángulos que solucionan a
la ecuación se ubican en los cuadrantes: ).IVy cCI
soluciones :













=
=+=
==
=
360ºx
IV
240º60º190º
III
120º0º6-180º
II
0º
c
c
c
x
x
x
Ic
EJERCICIOS:
55

56. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
1.- Sen x – 2 Sen x . Cos x = 0
2.- 3 Cos3
x = Sen2
x
3.- 2 Sec x = Tag x + Ctg x
4.- 2 Cos x = 1 – Sen x
5.- 2 Sen x + Csc x = 2
6.- Cos x + Cos 2 x = 0
7.- 2 Cos2
x – 3 Sen2
x = 0
8.- 2 Sen2
x + Cos x = 1
56