Presentacion de Diapositivas Respecto al Trayecto Inicial "Matematicas" Unidad 2 "Numeros Reales y Plano Numerico".

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
NÚMEROS REALES Y PLANO NUMÉRICO
Estudiante: Javiv Calles
Profesora: María Carruido

2. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma
como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas,
números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al
conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Definición de Conjunto
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos
sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si
se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de
los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

3. Operacionescon Conjunto
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. Entre
ellos es
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. El
símbolo que se
usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Unión de Conjuntos
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11}
la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 1:

4. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9}
la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6},
en donde B está incluido en A, la unión será AUB={3,5,6,7}.
Usando diagramas de Venn se tendría
Ejemplo 2.
Ejemplo 3.

5. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. El símbolo que se usa para indicar la
operación de
intersección es el siguiente: ∩.
Intersección de conjuntos.
Ejemplo 1.

6. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos
conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia
simétrica es el siguiente: △.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
Diferencia de conjuntos.
Ejemplo 1.
Diferencia de simétrica de conjuntos.
Ejemplo 1.

7. Números Reales
Los números reales son todos números que están representados como puntos en la recta real. Este conjunto está
formado por la unión de los conjuntos de números racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
Los números reales se aplican para:
Expresar cantidades
Describir mediciones geométricas
Describir mediciones en fenómenos físicos o químicos
Describir mediciones del espacio exterior
Relacionar valores
Los números reales participan en todas las operaciones
matemáticas básicas:
Suma
Resta
Multiplicación
División
Usos de los Números Reales
Operaciones de los números reales
Se Representa con R: { …, –1.01, –1, 0, 1, 1.01, … }
e incluye los siguientes conjuntos:
Números naturales (N):
Números enteros (Z):
Números racionales(Q):
Números irracionales(I):
Representación

8. Características de los Números Reales
Infinitud
El conjunto de los números
reales tiene una
cantidad infinita de elementos
Orden
En la recta real el orden de los números se
conoce por su posición en la recta, mientras
más a la derecha está un número,
es más grande, en contraste, mientras
más la izquierda es menor
Integral
quiere decir que no hay espacios
vacíos en este conjunto de números, osea,
cada conjunto tiene un límite superior, y
tiene un límite más pequeño.
Expansión decimal
Cada número real se puede ser
expresado como un decimal cuya
expansión decimal
puede ser finita o infinita.

9. Clasificación de los Números Reales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números son: 1,
2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra
mayúscula N. Se caracterizan por ser siempre positivo
Números Naturales (N)
Números Enteros (Z)
Los Números enteros están compuestos por el conjunto de números naturales,
sus opuestos negativos y el cero. Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como: Z={…-5,-4-,-3,-2,-
1,0,1,2,3,4,5,…}.
Los números enteros nos sirven para:
Representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha;
Representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la
izquierda.
Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos pero solo tiene 3.000 pesos.
Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos.
Ejemplo:

10. Números Racionales (Q)
Los números racionales, que también se conocen como fraccionarios, surgen por la necesidad de
medir cantidades que no necesariamente son enteras. Medir magnitudes continuas tales como la
longitud, el volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números
racionales se designa con la letra Q:
Si divides un pastel entre tres personas, en partes iguales, a cada persona le corresponde
1/3. Una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m
Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la
división de enteros en el que el denominador es distinto de cero, las magnitudes que no
pueden expresarse en forma entera o como fracción (π=3,141592…),
y Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero
ni fraccionario (√2, √3, √5, √7). Se representa por la letra mayúscula I.
Números irracionales (I)
Ejemplo

11. Desigualdades
Cada una de ellas debe relacionar dos
elementos matemáticos. De modo que implicaría
que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b. En el
caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b,
“a≤b”; a es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por
desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor
o igual. Cada una de las distintas tipologías de
Desigualdad debe ser expresada con diferente
signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a
operaciones matemáticas diferente según
su naturaleza
> <
≠

12. • Si a <b y b <c, entonces en ese caso,
a < c. Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.
• Si a> b y b> c, entonces a > c.
• Si a ≥ b y b ≥ c, entonces b ≥ c.
Propiedades
si a < b entonces a+c < b+c y a-c < b-c
si a > b entonces a+c > b+c y a-c > b-c
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c
Transitividad
Adición y sustracción
Multiplicación y división

13. Ejemplo
Resuelve y grafica la desigualdad de: 4x+2≥2x+10
• Empezamos con el problema original.
4x+2≥2+10
• Restamos 2 y 2x de ambos lados para despejar la variable:
4x+2−2−2x≥2x+10−2−2x
• Simplificando la desigualdad, tenemos:
2x≥8
• Dividimos ambos lados por 2 y simplificamos para obtener la respuesta:
𝟐
𝟐
×
𝟖
𝟖
= x≥4
• Aquí, el 4 sí es parte de la solución, por lo que usamos un punto cerrado para indicar esto:
Solución:

14. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en una recta numérica .
Por ejemplo, 4 y –4 tienen el mismo valor absoluto (4).
Esta definición se explica de la siguiente manera:
x, si x ≥ 0. El valor absoluto es positivo si el número es positivo (x > 0).
Por ejemplo: |8| = 8, porque 8 > 0 (8 es mayor que 0). Si el número es 0 (x = 0),
el valor absoluto será cero: |0| = 0, porque 0 = 0.
-x, si x < 0. El valor absoluto es positivo si el número es negativo (x < 0).
Por ejemplo: |-8| = 8, porque -8 < 0 (-8 es menor que 0), entonces el
resultado del valor absoluto es -x = -(-8) = 8.
En matemáticas, existe una definición de
valor absoluto que se expresa:
|x| = {x, si x ≥ 0
{-x, si x < 0

15. Respecto a la notación del valor absoluto, el número siempre
se escribe entre barras verticales:|8| = 8. Esto significa que el
valor absoluto de 8 es igual a 8.|-8| = 8. Esto significa que el valor
absoluto de -8 es igual a 8.
Además, el valor absoluto se puede aplicar en distintos cálculos:
Cálculo en el que la operación se encuentra entre las barras: Si todos los
números se encuentran dentro de las barras, primero se resuelve la operación
y después se le asigna el valor absoluto al resultado.
Por ejemplo:|-10 -7| = |-17| =17
Cálculo en el que solo hay un número entre las barras: En este caso, primero se
determina el valor absoluto del número que se encuentra entre las barras y
después se resuelve la operación. Por ejemplo:|-2| – 5 = 2 – 5 = -3

16. Ejemplos:
• El valor absoluto de un producto es
el producto de los valores absolutos
de sus factores:
𝑥. 𝑦 = 𝑥 . |𝑦|
Análogo para el cociente:
𝑥
𝑦
=
|𝑥|
|𝑦|
Ejemplo:
• Valor absoluto de una raíz
𝑥 = 𝑥2
Ejemplo:

17. Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con
una variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {𝑥| − 4 < 𝑥 < 4}
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para
cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
Desigualdades de valor absoluto (<):
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

18. Ejemplo 1 :
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

19. Desigualdades de valor absoluto (>)
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es {𝑥|𝑥 < −4𝑥 𝑜 > 4}
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b , entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
|𝑥 + 2| ≥ 4
Separe en dos desigualdades.
𝑥 + 2 ≥ 4 𝑂 𝑥 + 2 ≤ −4
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
𝑥 ≥ 2 𝑂 𝑥 ≤ −6
La gráfica se vería así:
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.