1. ´Algebras de Boole
1. ´Algebras
Definici´on 1.1. Un conjunto A se dice que es un ´algebra si dispone de dos opera-
ciones:
+ : A × A −→ A · : A × A −→ A
(a, b) −→ a + b (a, b) −→ a · b
verificando:
a) Elemento neutro para ambas operaciones: Existen 0 ∈ A y 1 ∈ A tales que:
a + 0 = a y a · 1 = a para todo a ∈ A.
b) Propiedad asociativa para ambas operaciones: Para todo a, b, c ∈ A se verifica
que (a + b) + c = a + (b + c) y (a · b) · c = a · (b · c).
c) Propiedad conmutativa para ambas operaciones: Para todo a, b ∈ A se verifica
que a + b = b + a y a · b = b · a.
d) Propiedad distributiva: El producto distribuye la suma, es decir :
(a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c ∈ A.
e) Idempotencia: a2
= a para todo a ∈ A.
f) Absorci´on: a + 1 = 1 para todo a ∈ A.
Si adem´as A verifica la propiedad de abajo entonces diremos que el ´algebra A es
un ´algebra de Boole:
g) Todo elemento a ∈ A tiene complementario; es decir existe ¯a ∈ A tal que
a + ¯a = 1 y a · ¯a = 0.
Observaci´on 1.2. En un ´algebra de Boole no se puede ni restar ni dividir y por tanto
no se verifica la ley de cancelaci´on; es decir no se verifica que
{
a + x = a + y ⇒ x = y
a · x = a · y ⇒ x = y
Ejemplos
1. Si X es un conjunto entonces el conjunto de los subconjuntos de X con las
operaciones de uni´on e intersecci´on es un ´algebra de Boole. Lo denotaremos por P(X).
2. A = { proposiciones } donde p + q = p y q ; p · q = p ´o q. (Ver el cuadro del
final)
3. A = { circuitos digitales } donde p + q = montar en serie p y q ; p · q = montar
en paralelo p y q.
El 0 de esta ´algebra es un circuito donde siempre pasa corriente. El 1 de esta
´algebra es un circuito donde nunca pasa corriente.
4. B = {0, 1} donde 0+0 = 0 ; 1+1 = 1 ; 0+1 = 1+0 = 1 = 1·1 ; 1·0 = 0·1 = 0.
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2. 5. Sea X es un conjunto y B = {0, 1}. Llamaremos funciones booleanas de X
y la denotaremos por FB(X) al conjunto de aplicaciones de X valoradas en B; es
decir FB(X) = { aplicaciones f : X → B} . Es un ´algebra donde las operaciones son:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) y (f · g)(x) = f(x) · g(x).
Un ejemplo de estas funciones son las funciones caracter´ısticas: Si Y ⊂ X es un
subconjunto de X entonces la funci´on caracter´ıstica de Y es
χY
(x) =
{
1 si x /∈ Y
0 si x ∈ Y
Se verifica que: χY
+ χZ
= χY ∩Z
y χY
· χZ
= χY ∪Z
1.1. ´Algebra de los polinomios booleanos
Sea W un conjunto, queremos construir el ´algebra de Boole libre generada por
W ; es decir el conjunto de todas las expresiones algebraicas posibles construidas con
los elementos {x, ¯x}x∈W . A esta ´algebra la denotaremos por B[W] y la llamaremos
´algebra libre generada por W o el ´algebra de polinomios booleanos de variables libres
W.
Definici´on 1.3. Construcci´on de B[W]: Supongamos que Wn = {x1, x2, . . . , xn} es
finito. Vamos a construir An = B[x1, . . . , xn] por inducci´on sobre n.
Para n = 0, A0 = k y An = An−1[xn] = {a · xn + b · xn / a, b ∈ An−1} donde
sus elementos se suman y multiplican como sigue : (a · xn + b · xn) + (c · xn + d · xn) =
(a + c) · xn + (b + d) · xn y (a · xn + b · xn) · (c · xn + d · xn) = a · c · xn + b · d · xn.
1 = 1 · xn + 1 · xn y 0 = 0 · xn + 0 · xn.
An−1 ⊂ An porque a = a · xn + a · xn.
Cuando W es infinito : W =
∪
Y ⊂W
Y donde Y recorre los subconjuntos finitos
de W y se tiene que B[W] =
∪
Y ⊂W
B[Y ].
Se llama ´Algebra de Proposiciones de proposiciones elementales W al ´algebra
libre B[W]. Se llama ´Algebra de Circuitos de interruptores W al ´algebra libre B[W].
Observaci´on 1.4. Todo elemento p(x1, . . . , xn) ∈ B[x1, . . . , xn] puede pensarse como
una funci´on booleana en el conjunto de las sucesiones finitas de ceros y unos de longitud
n como sigue:
Bn p
−→ B
(a1, a2, . . . , an) −→ p(a1, a2, . . . , an)
1.2. Propiedades de las ´algebras
Proposici´on 1.5. Si A es un ´algebra se verifica:
a) Para todo a ∈ A : a + a = a y a · 0 = 0.
b) La suma distribuye al producto: a · b + c = (a + c) · (b + c).
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3. Demostraci´on:
a) a + a = a + a2
= a · (1 + a) = a · 1 = a.
a · 0 = a · 0 + 1 · 0 = (a + 1) · 0 = 1 · 0 = 0.
b) (a+c)·(b+c) = a·b+c·b+a·c+c2
= a·b+c·b+a·c+c = a·b+c·(b+c+1) = a·b+c.
Estas propiedades permiten deducir que si a un ´algebra A le intercambiamos las
operaciones de suma y producto se obtiene a su vez otra ´algebra. Luego:
Principio de dualidad: Todo enunciado para las ´algebras produce otro enunciado
intercambiando + por · y 0 por 1 llamado enunciado dual.
As´ı todo concepto tiene su concepto dual. Por ejemplo el concepto dual del 0 (ele-
mento neutro con +) es el 1 (elemento neutro con el ·).
Un enunciado es cierto si y solo si es cierto su enunciado dual.
Proposici´on 1.6. Propiedades del complementario
a) Si existe el complementario de a es ´unico.
b) a = a ; 0 = 1 ; 1 = 0.
c) Leyes de De Morgan: Para todo a, b ∈ A se verifica que: a · b = a + b y
a + b = a · b.
Demostraci´on:
a) Sea a′
, a ∈ A tal que a + a′
= 1 = a + a y a · a′
= 0 = a · a. Se tiene
que: a = 1 · a = (a + a′
) · a = a · a + a′
· a = a′
· a. Del mismo modo se tiene que
a′
= a′
· 1 = a′
(a + a) = a′
a + a′
a = a′
· a y se concluye que a′
= a.
b) El complementario de a es a porque a + a = 1 y a · a = 0.
An´alogamente se comprueba que el complementario de 0 es 1 y el complementario
de 1 es 0.
c) Veamos que el complementario de a · b es a + b :
a · b + (a + b) = (a + a) · (b + a) + b = 1 · (b + a + b) = 1 + a = 1
(a · b) · (a + b) = b · a · a + a · b · b = 0 + 0 = 0
Veamos que el complementario de a + b es a · b :
a + b + (a · b) = a + (b + a) · (b + b) = a + (b + a) · 1 = 1 + b = 1
(a + b) · (a · b) = a · a · b + a · b · b = 0 + 0 = 0
Observaci´on 1.7. El concepto dual de “ser el complementario” es “ser el complemen-
tario”. La segunda ley de De Morgan es el enunciado dual de la primera y no hacia
falta, por tanto, demostrarla.
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4. 2. Producto de ´algebras
Definici´on 2.1. Si A y B son dos ´algebras, se llama producto de A y B al
conjunto A × B con la suma y producto como sigue:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ; (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)
El producto de ´algebras de Boole es de Boole pues (a, b) = (a, b).
As´ı Bn
= {a1a2 . . . an / ai = 0 ´o 1} es un ´algebra de Boole.
3. Morfismos de ´algebras
Definici´on 3.1. Una aplicaci´on f : A → B entre dos ´algebras se dice que es un
morfismo de ´algebras si verifica:
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(a · b) = f(a) · f(b)
f(0) = 0 y f(1) = 1
Si f : A → B es un morfismo entre ´algebras de Boole, entonces f(a) = f(a) para
cada a ∈ A ya que f(a) + f(¯a) = f(a + ¯a) = f(1) = 1 y f(a) · f(¯a) = f(a · ¯a) =
f(0) = 0.
Un morfismo se dice que es isomorfismo cuando es inyectivo y epiyectivo.
Un ejemplo de isomorfismo es ψ : P(X)
∼
→ FB(X) definida por ψ(Y ) = χY
.
Definici´on 3.2. Se llaman valoraciones de verdad de A a los morfismos de ´algebras
de A en B = {0, 1}. Pondremos { valoraciones de verdad de A } = V = Mor (A, B).
Se llama tabla de verdad de a ∈ A a (v(a))v∈V siendo V el conjunto de todas
las valoraciones de verdad de A.
Ejemplo: Dar una valoraci´on de verdad v : B[x1, . . . , xn] → B es equivalente a dar
una aplicaci´on v : {x1, . . . , xn} → B ; es decir basta dar la imagen de las variables:
v(xi) = ai pues si p(x1, . . . , xn) es un polinomio booleano, entonces v(p(x1, . . . , xn)) =
p(a1, . . . , an).
4. Ideales
Definici´on 4.1. Un subconjunto I de una ´algebra A se dice que es un ideal si
verifica:
a) Para todo x , y ∈ I se tiene que x + y ∈ I.
b) Para todo x ∈ I y a ∈ A se tiene que a · x ∈ I.
Ejemplos: Si a ∈ A es un elemento de un ´algebra, entonces (a) = {a · b / b ∈ A}
es un ideal de A. Luego {0} = (0) y (1) = A son ideales.
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5. Los ideales de la forma (a) se llaman ideales principales.
Si I y J son ideales, entonces la suma I + J = {x + y / x ∈ I, y ∈ J} ; el producto
I · J = {
n∑
i=1
xi · yi /xi ∈ I, yi ∈ J, n ∈ N} y la intersecci´on I ∩ J son ideales.
Adem´as I · J = I ∩ J pues si x ∈ I ∩ J , entonces x = x · x ∈ I · J.
Definici´on 4.2. Dado un conjunto Y ⊂ A, llamaremos ideal generado por Y a
< Y >= {a1y1 + · · · + anyn / ai ∈ A, yj ∈ Y }.
Proposici´on 4.3. Propiedades de los ideales principales
a) b ∈ (a) ⇐⇒ b = a · b ⇐⇒ ¯a · b = 0.
b) (a) + (b) = (a + b) y (a) ∩ (b) = (a · b)
c) (a) = (b) ⇐⇒ a = b.
Demostraci´on: a) Si b = a · c, entonces a · b = a · a · c = a · c = b.
Si b = ab, multiplicando por ¯a se obtiene que ¯a · b = ¯a · ab = 0.
Si ¯a · b = 0, se tiene que b = b · 1 = b(a + ¯a) = ba + b¯a = ba.
b) Es evidente que (a + b) ⊆ (a) + (b). Para ver que (a) + (b) ⊆ (a + b) basta ver
que a y b ∈ (a+b) : a·(a+b) = a2
+a·b = a+a·b = a(1+b) = a. Lo mismo para b.
c) (a) = (b) =⇒ a ∈ (b) y b ∈ (a) =⇒ a = a · b y b = b · a =⇒ a = b.
Corolario 4.4. Si A es un ´algebra de Boole finita, todo ideal de A es principal.
Demostraci´on: Sea I un ideal de un ´algebra finita. Si I = {a1, . . . , an}, entonces
I = (a1) + · · · + (an) = (a1 + · · · + an).
4.1. Deducciones
Definici´on 4.5. Sea (A, +, ·) un ´algebra de Boole. Diremos que a ≤ b si y solo si
a · b = b. Por la proposici´on 4.3 a) es equivalente a que b ∈ (a) ´o a que ¯a · b = 0.
En el ´algebra de conjuntos decir que a ≤ b es decir que a ⊆ b.
En el ´algebra de proposiciones decir que p ≤ q es decir que p implica q ( o q
se deduce de p ) o equivalentemente decir que “Si p entonces q” es una tautolog´ıa.
Definici´on 4.6. Diremos que q se deduce de las premisas {p1, . . . , pn} si q se
deduce de p = p1 y p2 y . . . y pn = p1 + p2 + · · · + pn.
Diremos que q se deduce de un conjunto Y ⊂ A si q se deduce de alg´un
subconjunto finito de Y .
Proposici´on 4.7. q se deduce de Y si y solo si q esta en el ideal generado por Y .
Demostraci´on: q ∈< Y > ⇔ q = a1p1 + · · · + anpn para alg´un p1, . . . , pn ∈ Y ⇔
q ∈< p1, . . . , pn >=< p1 + · · · + pn > para alg´un p1, . . . , pn ∈ Y ⇔ q se deduce de
p1 + · · · + pn para alg´un p1, . . . , pn ∈ Y ⇔ q se deduce de {p1, . . . , pn} ⊆ Y .
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6. 5. Ideales primos
Definici´on 5.1. Un ideal I del ´algebra A se dice que es primo si verifica que:
Si x · y ∈ I, entonces x ∈ I o y ∈ I.
Definici´on 5.2. Un ideal I se dice m´aximo si no esta contenido en ning´un otro ideal
excepto el mismo y el total.
Lema 5.3. Sea I un ideal del ´algebra A. x + y ∈ I ⇐⇒ x ∈ I e y ∈ I.
En particular a + b = 0 ⇐⇒ a = 0 y b = 0.
Demostraci´on: Supongamos que x + y ∈ I. Entonces x · (x + y) = x2
+ x · y =
x · (1 + y) = x ∈ I. Lo mismo para y.
Teorema 5.4. Relaci´on entre los ideales primos y las valoraciones. Sea A un
´algebra. Si v : A → B es un morfismo de ´algebras entonces, pv = {a ∈ A, v(a) = 0}
es un ideal primo y rec´ıprocamente si p es un ideal primo entonces vp : A → B
definido por vp(a) =
{
0 si a ∈ p
1 si a /∈ p
es un morfismo de ´algebras.
Esto da un equivalencia entre el conjunto de los ideales primos de A
y el conjunto de las valoraciones de verdad de A.
Demostraci´on: Se comprueba trivialmente que pv es un ideal y que es primo.
vp es un morfismo de ´algebras:
vp(x + y) = 0 ⇔ x + y ∈ p
lema 5.3
⇔ x ∈ p e y ∈ p ⇔ vp(x) = 0 y
vp(y) = 0 ⇔ vp(x) + vp(y) = 0.
vp(x·y) = 1 ⇔ x·y /∈ p ⇔ x /∈ p e y /∈ p ⇔ vp(x) = 1 y vp(y) = 1 ⇔ vp(x)·vp(y) = 1.
Para probar que es una equivalencia hay que comprobar que pvp = p y que vpv = v.
Proposici´on 5.5. En un ´algebra, todo ideal m´aximo es primo y si el ´algebra es de
Boole, entonces todo ideal primo es m´aximo.
Demostraci´on: Sea I m´aximo y supongamos que x · y ∈ I y que x /∈ I. Entonces
I ⊂ I + (x). Por maximalidad I + (x) = A. Por tanto 1 = b + a · x donde b ∈ I.
Luego y = y · 1 = y · (b + a · x) = y · b + a · (x · y) ∈ I.
Supongamos ahora que A es de Boole. Sea pv un ideal primo y pv′ un ideal
m´aximo que lo contiene. Si pv ̸= pv′ , entonces existe a ∈ pv′ tal que a /∈ pv. Luego
v′
(a) = 0 y v(a) = 1. Por tanto v(¯a) = 0 y se tiene que ¯a ∈ pv ⊂ pv′ . Es decir
1 = a + ¯a ∈ pv′ y por tanto pv′ = A.
Teorema 5.6. Teorema de Euclides. Todo ideal, I, de un ´algebra de Boole es la
intersecci´on de los ideales primos que lo contienen. Es decir: I = ∩
I⊆p
p.
Demostraci´on: Es evidente que I ⊆ ∩
I⊆p
p . Veamos que ∩
I⊆p
p ⊆ I. Si a ∈ ∩
I⊆p
p,
entonces I +(a) no esta contenido en ning´un ideal m´aximo. En efecto: Si I +(a) ⊂ p,
entonces I ⊂ p y por tanto a ∈ p. Pero como a ∈ p, se tendr´ıa que 1 = a + a ∈ p.
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7. Por tanto I + (a) = A y se tiene que 1 = b + a · x donde b ∈ I. De aqu´ı se
concluye que a = a · 1 = a · b + a · a · x = a · b ∈ I.
Corolario 5.7. Si I es un ideal de A , entonces I = ∩
v(I)=0
pv.
Demostraci´on: Es el teorema de Euclides teniendo en cuenta que I ⊆ pv si y solo
si v(I) = 0.
Corolario 5.8. Dos elementos de un ´algebra de Boole son el mismo si y solo si tienen
la misma tabla de verdad. Es decir:
a = b ⇐⇒ v(a) = v(b) para toda valoraci´on v de A.
Demostraci´on: Si v(a) = v(b) para toda valoraci´on v , entonces (a) = ∩
v(a)=0
pv =
∩
v(b)=0
pv = (b) . Luego por la proposici´on 4.3 c), a = b.
Corolario 5.9. Teorema de completitud de Godel: q es una deducci´on ´o con-
clusi´on obtenida a partir del conjunto de premisas Y si y solo si v(q) = 0 para toda
valoraci´on de verdad v de A tal que v(Y ) = 0.
Demostraci´on: Ded(Y ) = ideal generado por Y = ∩
v(Y )=0
pv de donde se concluye.
6. Teorema de representaci´on de Stone
Sea A un ´algebra de Boole y V el conjunto de sus valoraciones de verdad.
La aplicaci´on ϕ : A → FB(V ) definida por: ϕ(a)(v) = v(a) es un morfismo
de ´algebras inyectivo. Por tanto, toda ´algebra de Boole es una sub´algebra de
funciones booleanas o una sub´algebra de conjuntos.
Adem´as si A es un ´algebra de Boole finita entonces ϕ es isomorfismo.
Demostraci´on: : Para ver que es morfismo, hay que probar que:
- ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b).
- ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b).
- ϕ(0) = 0 y ϕ(1) = 1.
Veamos que son iguales aplic´andoselo a cada v ∈ V .
- ϕ(a + b)(v) = v(a + b) = v(a) + v(b) = ϕ(a)(v) + ϕ(b)(v) = (ϕ(a) + ϕ(b))(v).
- ϕ(a · b)(v) = v(a · b) = v(a) · v(b) = ϕ(a)(v) · ϕ(b)(v) = (ϕ(a) · ϕ(b))(v).
- ϕ(0)(v) = v(0) = 0(v) y ϕ(1)(v) = v(1) = 1(v) .
Es inyectivo porque si ϕ(a) = ϕ(b) entonces ϕ(a)(v) = ϕ(b)(v). Luego v(a) = v(b)
para todo v ∈ V . Por el corolario 5.8 se concluye.
Veamos que ϕ es epiyectiva cuando A es finita.
Sea f : V → B una funci´on booleana y Y = {v1, . . . , vs ∈ V tales f(vi) = 0}.
Sabemos que pv1 = (a1), pv2 = (a2), . . . , pvs = (as). Comprobemos que si a =
a1 · a2 · . . . · as , entonces ϕ(a) = f.
ϕ(a)(v) = v(a) = v(a1) · . . . · v(as) = 0 ⇔ v(ai) = 0 para alg´un i .
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8. f(v) = 0 ⇔ v = vi para alg´un i .
Solo queda probar que v(ai) = 0 si y solo si v = vi. En efecto si v(ai) = 0, entonces
pvi
= (ai) ⊂ pv. Por maximalidad v = vi.
Corolario 6.1. Toda ´algebra de Boole finita A tiene 2n
elementos, siendo n el
n´umero de valoraciones de verdad de A.
Demostraci´on: A ≃ FB(V ) donde V es el conjunto de sus valoraciones de verdad
y |FB(V )| = 2|V |
.
Corolario 6.2. Dos ´algebras de Boole finitas con el mismo n´umero de elementos son
isomorfas.
Demostraci´on: Por el corolario anterior, si dos ´algebras de Boole tienen el mismo
n´umero de elementos, sus respectivos conjuntos de valoraciones V y V ′
tienen el mismo
n´umero de elementos y podemos establecer una biyecci´on φ : V → V ′
. La aplicaci´on
FB(V ′
) → FB(V ) dada por f → f ◦ φ es un isomorfismo .
7. DICCIONARIO L´OGICA-´ALGEBRA
L´ogica conjunto de proposiciones P p ´o q
p∨q
p y q
p∧q
No p
¬ p
“ falso”
Contradicci´on
“ verdad”
tautolog´ıa
Si p entonces q
p→q
´Algebra ´algebra de Boole P p · q p + q ¯p 1 0 ¯p · q
L´ogica p si y solo si q
p↔q
Principio del tercero excluso Principio de no contradicci´on
´Algebra p · q + p · q p · p = 0 p + p = 1
L´ogica valoraci´on de verdad ´algebra de proposiciones proposici´on elemental
´Algebra morfismo en {0, 1} ´algebra de polinomios booleanos variable libre
L´ogica q se deduce del conjunto de premisas Y
´Algebra q ∈ < Y >= ideal generado por Y
BIBLIOFRAF´IA
Grimaldi Ralph. P. “Matem´atica discreta y combinatoria”. Addison -Wesley.
Kenneth H.Rosen. “Matem´atica Discreta y sus aplicaciones”. McGrawHill.
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